METODO DE EULER

JHONATAN CHANTRE

Departamento de Matematica Aplicada

UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA

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METODO NUMERICO

La inmensa mayora de las ecuaciones diferenciales no se pueden resolver deforma analtica explicita , por lo que resulta esencial disenar algoritmosnumericos que permitan hallar una aproximacion numerica precisa.El metodo de Euler fue quizas el primer metodo numerico generado mucho antesde la existencia de la los ordenadores.La forma de proceder es buscar una solucion aproximada a la ecuaciondiferencial mediante el uso de un ordenador, utilizando para ello alguno de losmetodos numericos que se conocen, que tienen en nuestros das un desarrolloextraordinario tanto por su numero como por sus posibilidades de calculo,debido al progreso de los ordenadores. Estos metodos se utilizan en la actualidadpara resolver las ecuaciones diferenciales en la teora de los proyectiles balsticosy satelites artificiales, en redes electricas, elasticidad de vigas, estabilidad deaviones y teora de vibraciones, entre otras.

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METODO DE EULER

El metodo de Euler rara vez se utiliza en la practica para obtener la solucionaproximada de un problema de valor inicial, pero se estudia por su simplicidaden la derivacion de la formula y de la determinacion del error. Los metodos deorden superior utilizan las mismas tecnicas, pero el algebra que requieren esmucho mas complicada.

Grafica 1: represetacion metodo de euler.

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METODO DE EULER

La idea del metodo de Euler es muy sencilla y esta basada en el significadogeometrico de la derivada de una funcion en un punto dado. Supongamos quetuvieramos la curva solucion de la ecuacion diferencial y trazamos la rectatangente a la curva en el punto dado por la condicion inicial.

Este metodo nos servira para ilustrar una serie de conceptos que juegan unpapel importante en metodos mas avanzados. El metodo de Euler no se sueleutilizar en la practica debido a que la solucion que proporciona acumula erroresapreciables a lo largo del proceso; sin embargo es importante estudiarlo porquees mas facil llevar a cabo el analisis del error de este metodo que el de otros quele de otros mas exactos pero mas complejos

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FORMULA METODO DE EULER

y= f(x,y)

y(x0) = y0

Ademas x0 es el valor inicial x1 = x0 + h1.x2 + hdonde h es el valor de la diferencia de las x, as que el metodo es:

y1 = y0 + hf(x0.y0)

y2 = y1 + hf(x1.y1)

En general:

yn+1 = yn + hf(xn.yn)

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Aproximacion mediante el metodo de Euler

y=2xy

y(0)=1

Aproximar a (0,5)

h=0.1

Utilizamos el metodo de separacion de variables.

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Aproximacion mediante el metodo de Euler

Iteraciones.

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Aproximacion mediante el metodo de Euler

RESULTADOS:La siguiente tabla muestra cada uno de los datos obtenidos.

|r| = 1,2840251,214403841,284025 100 = 5,4 %

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Grafica Aproximacion mediante el metodo de Euler

Para realizar la siguiente grafica recurrimos a la calculadora grafica demoscalculator.

Grafica 2: Solucion del problema (y = ex2

) y su aproximacion mediante elmetodo de Euler.

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Ejemplo 2

Supongamos que se depositan 1000 euros durante 5 anos a un interes compuestocontinuamente del 10 %. cual es el capital acumulado al cabo de estos cincoanos?

Vamos a ulitizar las aproximaciones de euler con tamanos de paso h= 1, 112

y1

360para aproximar a y(5) en el problema de valor inicial.

y=0.1y en [0,5] con y(0)=1000

Los resultados de aplicar la formula explicita con R=0.1 se recogen en lasiguiente tabla.

En algunos problemas no en todos, podemos hallar una formula explicita paradeterminar las aproximaciones.

yn = y0(1 + hR)n

Para n=0,1,...,M.

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Grafica ejemplo 2

Tabla de resultados ejemplo 2.

yn = y0(1 + hR)n

y(0)=1000; R=0.1

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Grafica ejemplo 2

Pensemos en los valores y5, y60, y1800 que aproximan al capital acumulado a loscinco anos. Estos valores se han obtenido usando tamanos de paso diferentes yrealizando un esfuerzo computacional tambien diferente. la solucion delproblema de valor inicial es y(5) = 1000e0,5=1648.72. Si no usaramos la formulaexplicita entonces tendramos que haber realizado 1800 iteraciones.

Cuando se tiene que aproximar la solucion del problema de valor inicial en unbanco, se utiliza el metodo de Euler porque dispone de una formula explicita.Otros metodos de aproximacion a la solucion mas sofisticados no tienen unaformula explicita para calcular yn, pero necesitan un esfuerzo computacionalmenor.

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