Metodo de Euler

En una granja se cuenta con un cilindro recto circular de 10 pies de radio y 20 pies de altura, el cual se encuentra lleno con agua. El cilindro tiene un pequeño orificio en el fondo , el cual tiene una pulgada de diámetro. Determinar :¿El tiempo en que se vaciará todo el tanque?¿ cuando h(3)?

Utilizar la ecuación según la Ley de Torricelli

Dato:

Se sabe que para una altura de 20 pies el tiempo con el que se vacía el agua es t= 0 sg.

El diámetro del orificio por donde fluye el agua fuera del tanque es de 1 pulgada, por lo tanto el radio es 1/2pulgada. Como las dimensiones del tanque están dadas en pie, utilizando la equivalencia de 1 pulgada =121pies y puesto que el área del orificio de salida es el área de una circunferencia ( :

= =

El coeficiente ‘c’ es igual a 1 y la gravedad es igual a

Para determinar A(h), que es el área de la sección transversal del tanque en función de la altura “h” , obsérvese en la Fig. 1 que las secciones transversales del tanque son circunferencias de radio constante r = 10 pies. Por lo tanto, el área de la sección transversales la misma, independientemente de la altura h a la cual se efectúe el corte. Así:

𝐴(h )=𝜋 𝑟2=𝜋 ¿

Sustituyendo a, c, g, y A(h) en la ecuación

100𝜋 h𝑑 =−𝜋576

√2(32)h

Multiplicando por :

………….(2)

La ecuación (2) es la ecuación diferencial asociada al problema; la misma debe resolverse sujeta a la condición inicial que para el tiempo t= 0 seg, la altura inicial es h= 20 pies, pues en el enunciado se dice que el tanque esta totalmente lleno.

Aplicando el Metodo de Euler

La ecuación diferencial (2) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables, la

ecuación (2), se multiplica por el factor

h(0)=20𝑝𝑖𝑒𝑠;

Solucion Analitica:

−7200

√hh𝑑 =𝑑𝑡

−7200∫ 1

√hh𝑑 =∫𝑑𝑡

------ (3)

−14400 √h=𝑡−14400√20

multiplicando por  y elevando al cuadrado

h(𝑡 )=¿

Solucion Numerica:

H= 10

y=h= 20

x=t= 0

𝑋 1=𝑋 0+𝐻

𝑋 1=0+10

𝑋 1=10

-

-

𝑦 1=19.994