MECANICA DEL MEDIO CONTINUO La mecnica del medio continuo o estudia el compor-tamiento mecnico de los slidos y los fluidos en una escala macroscpica, ignorando la naturaleza discontinua del material, el cual se considera uniformemente distribuido en la totalidad del cuerpo.

1.1 Notacion Indicial En la mecnica del medio continuo, la notacin indicial establece una forma abreviada de representacin de campos y operaciones, vectoriales y tensoriales. Tal notacin omite los signos de sumatoria dejando implcita la suma de los productos entre las componentes del vector o del tensor. Este documento se utilizar con frecuencia la notacin indicial. Las componentes de las cantidades vectoriales se indican con letras en minscula cursi-va acompaadas de un subindice, por ejemplo ai ,bj , ck , etc. En cambio, las componentes de los tensores se representan mediante letras en mayscula cursiva acompaadas de varios subndices de acuerdo con el orden del tensor. Por ejemplo, las componentes de un tensor de segundo orden se pueden expresar como Aij , Bkl , Crs , etc. Asimismo, los vectores unita-rios en las direcciones de los ejes x1, x2 , x3 de un sistema coordenado cartesiano se denomi-nan vectores base y se expresan como e1,e2 ,e3 respectivamente. 1.2 Transformacion Lineal Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformacion lineal o mapeo lineal de V a W es una funcion T : V W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c: T(u + v) = T(u) + T(v) T(c u) = c T(u) Ejemplo Sea A una matriz m n. Demuestre que la transformacion T : MnkMmk denida como T(B) = A B es lineal. Solucion Sean B y C dos matrices n k cualquiera y c un escalar cualquiera: T(B + C) = A(B + C) = A B + A C = T(B) + T(C)

T(c B) = A(c B) = c (A B) = c T(B) Como se cumplen las dos condiciones: T(B + C) = T(B) + T(C) T(c B) = c T(B) T es lineal 1.3 Productos tensoriales (1) El producto tensorial es C(M)-bilineal. (2) El producto tensorial es asociativo y no conmutativo.

1.4 Leyes de transformaciones para vectores y tensoresCuando una propiedad fsica est representada por un escalar, el valor de sta no depende del sistema de ejes coordenados utilizado. Cuando una propiedad fsica es de carcter vectorial, su mdulo no depende de la orientacin escogida para los ejes coordenadas, pero s sus componentes segn estos ejes. Vamos a encontrar la relacin entre las componentes de la propiedad fsica expresada en un sistema de referencia ortogonal OXYZ y un sistema de referencia ortogonal OXYZ rotado respecto al primero:

1.5 Valores y direcciones principales

1.6 Gradiente, divergencia y rotacional de campos escalares y vectoriales Campo Vectorial

Campo escalar

1.7 Teoremas de Green y Stokes

2 Cinematica de los medios continuos 2.1 Descripcion del movimiento

2.2 Descripciones de lagrange y Euler

2.3 Derivadas materialesLas leyes fundamentales que gobiernan el comportamiento de un fluido pueden formularse directamente para una partcula o sistema de fluido concreto. As por ejemplo la segunda ley de Newton formulada en un tiempo t para una partcula que est identificada por sus coordenadas lagrangianas RM y que ocupa una posicin x(RM,t) se escribe como: La aceleracin, a, se define como la rapidez de variacin con el tiempo de la velocidad de la partcula. Al estar descritas las propiedades en forma Lagrangiana esto se expresa como:

Y la ecuacin de la ley queda como:

Al ver esto da la sensacin que el enfoque Lagrangiano permite formular de forma directa las ecuaciones de las leyes fundamentales. Planteando estas ecuaciones para todas las partculas que intervienen en el problema y resolviendolas se obtendra la solucin al problema desde el punto de vista Lagrangiano. Si se adopta un enfoque Euleriano del problema y se centra la atencin en un punto del espacio localizado por sus coordenadas xP, para la partcula, sin importarnos su identidad, que en el instante t considerado ocupa esta localizacin se cumplir que: a(xP,t) expresa la aceleracin de la partcula que en el instante t est ocupando la posicin xP. La cuestin es, a la vista de la definicin de aceleracin, cmo obtener una expresin para la misma. Para ello se derivar con respecto del tiempo la velocidad de la partcula en cuestin v(xP,t), pero teniendo en cuenta que la posicin de la partcula x varia con respecto del tiempo, por lo tanto:

Siendo la velocidad de la partcula v(xP,t). Esto se cumplir para cualquier punto del campo de flujo por lo que se tendr el campo de aceleraciones que viene dado por:

A este tipo de expresin se le denomina derivada material o euleriana y permite a partir de una propiedad descrita en forma euleriana obtener la rapidez de cambio con el tiempo de la propiedad para una partcula. Concretamente, si se tiene una propiedad genrica b(x,t) su derivada material proporciona:

A la parte se denomina trmino local y a trmino convectivo. Como puede, el trmino convectivo no es lineal y es el culpable de la dificultad matemtica del anlisis diferencial de los flujos. Si se vuelve a escribir la ecuacin de la segunda ley de Newton escribiendo la expresin de la derivada material se obtiene:

Si se observa ahora y faltando por desarrollar el trmino de las fuerzas, gracias a la derivada material se ha transformado una ecuacin vlida para una partcula en una relacin entre las variables de flujo en un punto, por lo tanto, la derivada material es la herramienta matemtica que va a permitir formular las leyes fundamentales trabajando con un enfoque euleriano.

2.4 Descripcion matematica de la deformacion

2.5 Gradientes de deformacion y desplazamiento

2.6 Tensor de deformacion para deformaciones infinitesimales y desplazamientos pequenos

2.7 Rotacion extension alargamiento 2.8 Deformaciones iscoricas 2.9 Deformaciones y direcciones principales 2.10 Ecuaciones de compatibilidad 3 Principios de conservacion 3.1 Teorema del transporte de Reynolds 3.2 Movimientos isocoricos 3.3 Principio de la conservacion de la masa 3.4 Principio de la Conservacion de la cantidad de movimiento 3.5 Principio de la conservacion del momento de la cantidad de movimiento 3.6 Principio de la conservacion de la energia 4 Esfuerzo 4.1 Fuerzas de superficie y de cuerpo 4.2 Principio del balance de la cantidad de movimiento 4.3 Teorema de Cauchy 4.4 Vector traccion. Tensor esfuerzo 4.5 Esfuerzos y direcciones principales del tensor esfuerzo 4.6 Esfuerzos cortantes maximo y minimo 4.7 Estado plano de esfuerzo. Circulo de Mohr 4.8 Tensiones esferica y desviadora