Definiciones. Representación CartesianaGeometría Analítica: Parte de las matemáticas que establece una conexión entre el álgebra y la Geometría Euclidiana:

*Este sistema se denomina Cartesiano en honor de René Descartes, por haber sido quien lo empleara en la unión del álgebra y de la Geometría Euclidiana

Geometría Analítica:

Estudia las propiedades de las figuras por procedimientos algebraicos y sujeta las cuestiones de la Geometría a Métodos generales y uniformes, aplicables a todas las figuras

Cuadrantes. Cuadrantes. Como se verá en seguida, si se Como se verá en seguida, si se trazan dos rectas dirigidas x´x, trazan dos rectas dirigidas x´x,

yý, perpendiculares entre si, yý, perpendiculares entre si, dividen el plano en cuatro dividen el plano en cuatro

regiones, llamadas cuadrantesregiones, llamadas cuadrantes

1º2º

3º

x´ x

y

y´4º

Ejes y origen. Ejes y origen. Las rectas x´x, y´y se llaman ejes Las rectas x´x, y´y se llaman ejes o líneas de referencia, y el punto o líneas de referencia, y el punto de intersección, origen o cero.de intersección, origen o cero.

El eje horizontal es el eje de las El eje horizontal es el eje de las “equis”, y el vertical, el de las “equis”, y el vertical, el de las

“yes”“yes”

Coordenadas.Coordenadas.La posición de un punto en el La posición de un punto en el plano está determinado por plano está determinado por

medio de sus distancias a cada medio de sus distancias a cada uno de los ejes.uno de los ejes.

Abscisa de un punto P es su Abscisa de un punto P es su distancia NP al eje vertical; se distancia NP al eje vertical; se

representa con “x”representa con “x”

Ordenada de un punto P es su distancia MP al eje horizontal; se representa con “y” La abscisa y la ordenada del punto P se llaman coordenadas rectilíneas o coordenadas cartesianas de ese punto* Cartesianas proviene de descartes (Del Latín Cartesius)

X` Abscisas X

Y (ordenadas)

Y´

P.P( NP, MP)

N

M

x

y

P(x,y)

+_

_

+

0

Signos de las coordenadas; por convención, las rectas dirigidas que forman los cuatro cuadrantes son positivas En el sentido x´x, y´y; negativas en el sentido opuesto: según esto,

Signos de los cuadrantes: Signos de los cuadrantes: 1º Toda abscisa a la derecha de y1º Toda abscisa a la derecha de y

´y es positiva´y es positiva2º Toda abscisa a la izquierda de 2º Toda abscisa a la izquierda de

y´y es negativa.y´y es negativa.3º Toda ordenada arriba de x´x es 3º Toda ordenada arriba de x´x es

positiva.positiva.4º Toda ordenada abajo de x´x es 4º Toda ordenada abajo de x´x es

negativa.negativa.

Eje de las abscisas y eje de las Eje de las abscisas y eje de las ordenadas.ordenadas.

Eje de las Ordenadas, un punto tomado en este eje es de abscisa cero.*

Eje de las abscisas, un punto tomado en este eje es de ordenada cero.*

.P

o X

Y

*.

.*

Designación y localización de un Designación y localización de un punto en el planopunto en el plano

Para designar un punto R de Para designar un punto R de abscisa 3 y ordenada 4, se escribe abscisa 3 y ordenada 4, se escribe

R(3,4), para un punto Q de R(3,4), para un punto Q de abscisa 5 y ordenada –7, se abscisa 5 y ordenada –7, se

escribe Q(5,-7), Sí las escribe Q(5,-7), Sí las coordenadas de un punto P son coordenadas de un punto P son variables, se escriben P(x,y), variables, se escriben P(x,y),

primero se escribe “x”, luego “y”primero se escribe “x”, luego “y”

Ejercicios: Representa en los ejes los Ejercicios: Representa en los ejes los puntos puntos (3,2),(-2,3),(-1,-5),(3,-4),(7,-2),(-5,4)(3,2),(-2,3),(-1,-5),(3,-4),(7,-2),(-5,4)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

654321

0 x

y

-9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 -1-1-2-3-4-5

x´

y´

Trácese la recta que une los Trácese la recta que une los puntos(3,-1) y (-2,3), puntos(3,-1) y (-2,3),

xx´

y

y´

0

El segmento OA = 5 y las El segmento OA = 5 y las coordenadas de “C” son (2,3), coordenadas de “C” son (2,3),

Ver Figura¿cuáles son las Ver Figura¿cuáles son las coordenadas del vértice B del coordenadas del vértice B del

paralelogramo OABC?paralelogramo OABC?

0 1 2 3 4 5 6 7 8

A x

y

4321

C B

Hállense las coordenadas de los Hállense las coordenadas de los puntos que distan 13 unidades del puntos que distan 13 unidades del punto P(1,3) y 6 unidades del eje punto P(1,3) y 6 unidades del eje

y´yy´yTarea 1:Tarea 1:

Ejercicios del 1 al 12, Pág.. 20.Ejercicios del 1 al 12, Pág.. 20.Texto, Anfossi, AgustínTexto, Anfossi, Agustín

Editorial ProgresoEditorial Progreso

ABAB22 =AC =AC2 2 +CB +CB22 (1) (1)Pero, AC = DC – DA = xPero, AC = DC – DA = x22- x- x1 1

y CB = EB – EC = Yy CB = EB – EC = Y22-- YY11

D A

B

C

0 F E

II. Distancias y Áreas. II. Distancias y Áreas. Distancia.entre dos puntos;Distancia.entre dos puntos;Sean A(xSean A(x11,y,y11) y B(x) y B(x22,y,y22) los ) los

puntos cuya distancia se quiere puntos cuya distancia se quiere calcular.calcular.

Trácese AC paralelo a OX y BC Trácese AC paralelo a OX y BC perpendicular al mismo eje. perpendicular al mismo eje.

Siendo rectángulo el triángulo Siendo rectángulo el triángulo ACB, se tiene;ACB, se tiene;

Sustituyendo estos valores en (1), Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:se obtiene:

ABAB22= (x= (x22- x- x11))22 +(y +(y22- y- y11))22 De De

dondedondeAB = (xAB = (x22- x- x11))22 +(y +(y22- y- y11))22

= =

(x (x22- x- x11))22 +(y +(y22- y- y11))22

ABAB = = (x(x22- x- x11))22 +(y +(y22- y- y11))2 2 = =

AB= (xAB= (x11- x- x22))22 +(y +(y11- y- y22))22

Distancia de un punto al origenDistancia de un punto al origenOA = (xOA = (x11- 0)- 0)22 +(y +(y11- 0)- 0)22

OA= xOA= x22 + y + y22

AplicacionesAplicaciones1ª Calcúlese la distancia de;1ª Calcúlese la distancia de;

A(-3, 4) a B(6,-2) A(-3, 4) a B(6,-2)2º Calcúlense las coordenadas del 2º Calcúlense las coordenadas del

punto P(x,y) que equidista de punto P(x,y) que equidista de A(9,3) B(3,7) y C(-2,6) Debe A(9,3) B(3,7) y C(-2,6) Debe tenerse PA=PB=PC o sea tenerse PA=PB=PC o sea

(x(x11-9)-9)22 +(y +(y11-3)-3)22= (x= (x11-3)-3)22 +(y +(y11-7)-7)22 = (x= (x11+2)+2)22 +(y +(y11-6)-6)22

1º. AB1º. AB22= (6+3)= (6+3)2 2 +(-2-4)= 81+36 +(-2-4)= 81+36 = 117= 3(13)= 117= 3(13)0.50.5. .

2º. Elévese al cuadrado cada uno 2º. Elévese al cuadrado cada uno de los dos primeros radicales y de los dos primeros radicales y

redúzcase; dando lugar a la redúzcase; dando lugar a la ecuación 3x – 2y = 8, (1), ecuación 3x – 2y = 8, (1),

Se elevan al cuadrado el primero Se elevan al cuadrado el primero y el tercer radical, redúzcanse, y el tercer radical, redúzcanse,

Dando lugar a la ecuación Dando lugar a la ecuación 11x-3y = 25 (2)11x-3y = 25 (2)

Resolviendo el sistema de dos Resolviendo el sistema de dos ecuaciones de primer grado con ecuaciones de primer grado con

dos incógnitas, tiene solución por dos incógnitas, tiene solución por cualquier método de simultaneas; cualquier método de simultaneas;

obteniéndose;obteniéndose;x =2 ; y = -1. Siendo las x =2 ; y = -1. Siendo las

coordenadas del punto que se coordenadas del punto que se busca P(2,-1)busca P(2,-1)

.

.

.

.0

P

A

B

Cy

x

Gráfica de la función

Áreas positivas y Áreas Áreas positivas y Áreas negativas. Un móvil puede negativas. Un móvil puede

recorrer el contorno o perímetro recorrer el contorno o perímetro de un polígono o figura cerrada de un polígono o figura cerrada

cualquiera. En dos sentidos: cualquiera. En dos sentidos: teniendo constantemente a su teniendo constantemente a su

izquierda la superficie limitada izquierda la superficie limitada por dicho contorno(+), o bien por dicho contorno(+), o bien

teniéndolo siempre a su derecha teniéndolo siempre a su derecha (-).(-).

Áreas Positivas y Áreas negativasÁreas Positivas y Áreas negativas

+ _

0 x

y

EstrellaFlechas

1º. Área de un triángulo. Sí se 1º. Área de un triángulo. Sí se conocen las coordenadas de los conocen las coordenadas de los

vértices de un triángulo, se puede vértices de un triángulo, se puede calcular su área en función de calcular su área en función de dichas coordenadas. Ejemplos: dichas coordenadas. Ejemplos:

sea calcular el área del triángulo sea calcular el área del triángulo ABC, dados los vértices A(3,0), ABC, dados los vértices A(3,0), B(0,4), C(-2,0), área de ABC = B(0,4), C(-2,0), área de ABC =

Calcular el Área del triángulo Calcular el Área del triángulo DEF dados los vértices D(1,0), DEF dados los vértices D(1,0),

E(6,0), y F(3,6).E(6,0), y F(3,6).

2152

)6)(5())((21 uCFDEÁreaDEF

2102

)4)(5())((21 uOBCA

1º 2º

0 0

y

x

y

x

B

ACD C E

F

2º

Fórmula del Área del Triángulo. Fórmula del Área del Triángulo. Considérense dos casosConsidérense dos casos

1º. El Triángulo tiene un vértice 1º. El Triángulo tiene un vértice en el origen en cuyo caso su en el origen en cuyo caso su

fórmula es: fórmula es:

2º. Área ABC2º. Área ABC)(

21

1221 yxyxAreaOAB

)(21

311323321221 yxyxyxyxyxyxAreaABC

Área de un Polígono Cualquiera Área de un Polígono Cualquiera

)(21

51154554344323321221 yxyxyxyxyxyxyxyxyxyxAreaABCDE

33

22

11

111

21

yxyxyx

AreaABC

Áreas del polígono por Áreas del polígono por determinantes.determinantes.

22

11

33

22

11

11111

21

yxyxyxyxyx

AreaABC

Por lo tanto; El área de la Por lo tanto; El área de la superficie es igual a la mitad del superficie es igual a la mitad del resultado que se obtiene al restar, resultado que se obtiene al restar, para cada vértice, del producto de para cada vértice, del producto de

su abscisa por la ordenada del su abscisa por la ordenada del vértice consecutivo, el producto vértice consecutivo, el producto

de la abscisa de éste por la de la abscisa de éste por la ordenada del vértice que precede.ordenada del vértice que precede.

Aplicaciones: Calcular, Aplicaciones: Calcular, 1º. El área del triángulo OAB dados 1º. El área del triángulo OAB dados

los puntos A(4,2), B(7,9),O(0,0). los puntos A(4,2), B(7,9),O(0,0). Fórmula a usar,Fórmula a usar,

2º. El área del triángulo ABC, dados 2º. El área del triángulo ABC, dados A(2,3),B(-3,4), C(3,-5).A(2,3),B(-3,4), C(3,-5).

)(21

1221 yxyxAreaOAB

)(21

311323321221 yxyxyxyxyxyxAreaABC

)(21

311323321221 yxyxyxyxyxyxAreaABC

)(21

1221 yxyxAreaOAB

1º. Área OAB =1º. Área OAB =

211143621

9224

21 uAreaOAB

2º. Resultado del Área del 2º. Resultado del Área del triángulo ABCtriángulo ABC

25.1910129891521

531431321

21

u

ÁreaABC

Tarea 2 Pág. 26, Ejercicio 2, del Tarea 2 Pág. 26, Ejercicio 2, del 1 al 26, impares. Ejemplo1. ¿A 1 al 26, impares. Ejemplo1. ¿A

que distancia del origen está cada que distancia del origen está cada uno de los siguientes puntos: uno de los siguientes puntos:

A(5,12), B(8,-15),A(5,12), B(8,-15),C(-21,20), D(99,-20)?C(-21,20), D(99,-20)?

22 yxOA

Fórmula

2. Calcúlese la distancia del 2. Calcúlese la distancia del punto A(5,3) al Punto B(3,4), y punto A(5,3) al Punto B(3,4), y

del punto C(-2,5) al punto del punto C(-2,5) al punto D(4,-3).D(4,-3).

221

22

221

22 )()( yyxxAB

Fórmula

5. Calcúlese el perímetro del 5. Calcúlese el perímetro del triángulo cuyos vértices son triángulo cuyos vértices son

A(1,5), B(-2,3), C(4,-3). A(1,5), B(-2,3), C(4,-3). 8. Los vértices de un triángulo 8. Los vértices de un triángulo son A(12,2), B(-3,5), C(8,8). son A(12,2), B(-3,5), C(8,8).

Calcúlense las coordenadas del Calcúlense las coordenadas del centro de la circunferencia centro de la circunferencia

circunscrita y la longitud del circunscrita y la longitud del radio. radio.

9. ¿Qué radio debe tener la 9. ¿Qué radio debe tener la circunferencia que pasa por los circunferencia que pasa por los

puntos A(10,3),B(9,7), y puntos A(10,3),B(9,7), y C(6,10).?. ¿Son de esta C(6,10).?. ¿Son de esta

circunferencia los puntos circunferencia los puntos D(-2,-4),y E(3,-5).? D(-2,-4),y E(3,-5).?

12. Demuéstrese que el triángulo 12. Demuéstrese que el triángulo A(3,-2), B(9,6), C(10,5), es A(3,-2), B(9,6), C(10,5), es

rectángulo en “C”.rectángulo en “C”.

19. Obténgase el área del 19. Obténgase el área del triángulo de vértices A(1,4), triángulo de vértices A(1,4),

B(-4,5), y C(8,-3). B(-4,5), y C(8,-3). 21. ¿Cuál es el área del 21. ¿Cuál es el área del

cuadrilátero de vértices A(8,0), cuadrilátero de vértices A(8,0), B(2,3), C(5,4) y D(-1,8)? B(2,3), C(5,4) y D(-1,8)?

III. Ecuaciones y su III. Ecuaciones y su representación. Ecuación de un representación. Ecuación de un

lugar geométrico. Sean las lugar geométrico. Sean las expresiones:expresiones:

)3(4

)2(23)1(

2 xy

xyxy

La ecuación 1 indica que se trata La ecuación 1 indica que se trata de un lugar geométrico tal que de un lugar geométrico tal que cada uno de sus puntos tiene cada uno de sus puntos tiene

ordenada y abscisa iguales; la 2 ordenada y abscisa iguales; la 2 indica que, para cada punto, la indica que, para cada punto, la

ordenada es el triple de la abscisa ordenada es el triple de la abscisa aumentado en dos; la 3 expresa aumentado en dos; la 3 expresa

que, para cada punto, el cuadrado que, para cada punto, el cuadrado de la ordenada es el cuádruplo de de la ordenada es el cuádruplo de

la abscisa de dicho punto. la abscisa de dicho punto.

Estas expresiones se llaman Estas expresiones se llaman ecuaciones. ecuaciones.

Ecuación de un lugar geométrico Ecuación de un lugar geométrico es una expresión que indica la es una expresión que indica la conexión que debe existir entre conexión que debe existir entre las coordenadas de un punto y las coordenadas de un punto y ciertas cantidades constantes, ciertas cantidades constantes,

para que dicho punto sea de ese para que dicho punto sea de ese lugar geométrico. lugar geométrico.

Ejemplo: El punto P(3,9) no es Ejemplo: El punto P(3,9) no es del lugar geométrico del lugar geométrico

representado por (2), y= 3x+2, representado por (2), y= 3x+2, porque 9 (3)(3)+2. porque 9 (3)(3)+2.

Constantes: Constantes: En las investigaciones En las investigaciones

matemáticas se encuentran dos matemáticas se encuentran dos clases de cantidades: unas que clases de cantidades: unas que son constantes y otras que son son constantes y otras que son

variables.variables.

Las constantes pueden ser Las constantes pueden ser absolutas o arbitrarias. absolutas o arbitrarias. En la ecuación , En la ecuación , yy = 3 = 3xx+2, +2, 3 3 y y 22

son valores constantes o son valores constantes o absolutos, porque nunca absolutos, porque nunca

cambian; pero en xcambian; pero en x22+y+y22 = a = a2 2 que, que, como se verá más adelante, es la como se verá más adelante, es la ecuación de una circunferencia.ecuación de una circunferencia.

“ “aa” representa el radio, y se ” representa el radio, y se pueden suponer circunferencias pueden suponer circunferencias grandes o pequeñas, en las que grandes o pequeñas, en las que ““aa” tendrá distintos valores, y ” tendrá distintos valores, y

solo permanecerá constante en un solo permanecerá constante en un problema determinado. A estas problema determinado. A estas

constantes arbitrarias se las llama constantes arbitrarias se las llama Parámetros.Parámetros.

En la ecuación y = mx +b, En la ecuación y = mx +b, mm yy b b son parámetros. son parámetros.

Las constantes se representan con Las constantes se representan con números o con las primeras letras números o con las primeras letras

del alfabeto. del alfabeto. Variables. Son de dos tipos; Variables. Son de dos tipos;

independientes y dependientes.independientes y dependientes.

El radio de una circunferencia El radio de una circunferencia puede variar independientemente puede variar independientemente

de cualquiera otra magnitud, de cualquiera otra magnitud, mientras que la superficie del mientras que la superficie del círculo varía, forzosamente, al círculo varía, forzosamente, al

variar el radio: variar el radio: el radioel radio es en este es en este caso, caso, variable independientevariable independiente, y la , y la superficie superficie del circulo es del circulo es variable variable

dependiente.dependiente.

Análogamente, enAnálogamente, en yy = = xx-12-12xx+32, +32, a todo cambio de a todo cambio de xx corresponde corresponde

otro para otro para yy; ; xx es la variable es la variable independiente(también llamado independiente(también llamado

Dominio) y “Dominio) y “yy”es la variable ”es la variable dependiente(denominado reflejo, dependiente(denominado reflejo,

condominio, rango,etc.)condominio, rango,etc.)

Concepto de función. Concepto de función. Atendiendo a todo esto, se dice Atendiendo a todo esto, se dice

que “que “yy” es una función de “” es una función de “xx” en ” en un intervalo, cuando a todo valor un intervalo, cuando a todo valor

de “de “xx”en ese intervalo se hace ”en ese intervalo se hace corresponder, de alguna manera, corresponder, de alguna manera,

un valor para “un valor para “yy”.”.

Las variables se representan con Las variables se representan con las últimas letras del alfabeto. La las últimas letras del alfabeto. La dependencia de una variable con dependencia de una variable con

respecto de otra, por ejemplo, respecto de otra, por ejemplo, que “que “yy” es función de “” es función de “xx”, se ”, se

indica simbólicamente: indica simbólicamente: yy = f( = f(xx), ), yy = F( = F(xx), ), yy = =

((xx), etc. ), etc. NotaNota: Si solo intervienen las variables “x” y ”y”se tiene : Si solo intervienen las variables “x” y ”y”se tiene

una ecuación en coordenadas Cartesianas.una ecuación en coordenadas Cartesianas.

Representación de las funciones Representación de las funciones por métodos Cartesianos. por métodos Cartesianos.

Ejemplo; representar Ejemplo; representar gráficamente la función gráficamente la función yy= 2= 2xx+1, +1,

1º. Se atribuyen valores a la 1º. Se atribuyen valores a la variable independiente variable independiente xx, ,

haciéndola variar en el sentido haciéndola variar en el sentido de ade a

xx -2-2 -1-1 00 11 22 33 yy -3-3 -1-1 11 33 55 77PuntosPuntos AA BB CC DD EE FF

A

B 0

C

D

E

F

Y

X

Gráfica de y= 2x+1Gráfica de y= 2x+1

... .

..