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SOLUCIONARIO MAT I Y MAT APLICADAS I ( PRIMER PARCIAL)

Curso 2016-2017

Departamento de Matemáticas IES GRANDE COVIÁN

Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 2

CONTENIDOS PRIMER PARCIAL

FECHA EXAMEN ……………….

Números Reales. Radicales y logaritmos

Polinomios

Inecuaciones

Sistemas de ecuaciones ( Método de Gauss) Funciones

http://anarodriguez.iescla.org/wp-content/uploads/2009/09/41.-Inecuaciones.doc

http://anarodriguez.iescla.org/wp-content/uploads/2009/09/51.-Sistemas.-Gauss.doc

http://anarodriguez.iescla.org/wp-content/uploads/2009/11/61..Funciones.doc


Números Reales. Radicales y logaritmos

1. Clasifica en Verdaderas o Falsas las siguientes afirmaciones indicando la razón:

a) Todo número entero es natural. FALSO Por ejemplo….-2𝜖 ℤ 𝑦 − 2 ∉ ℕ

b) Todo número natural es entero. VERDADERO porque ℕ ⊂ ℤ

c) Todo número entero es racional. VERDADERO porque ℤ ⊂ ℚ

d) Algunos números racionales son enteros. VERDADERO porque ℤ ⊂ ℚ

e) Algunos números naturales no son racionales. FALSO ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ( Todo número natural es

racional)

f) Todo número racional es entero. FALSO Por ejemplo 2

5 𝜖 ℚ 𝑝𝑒𝑟𝑜

2

5 ∉ ℤ

2. Escribe, si es posible, varios números con las siguientes condiciones:

a) Real y no racional : 𝝅, 𝒆 ,−√𝟐

𝟑, 𝝓 ……

b) Irracional no real. 𝕀 ⊂ ℝ ⇒ 𝑻𝒐𝒅𝒐 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒊𝒓𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒆𝒔 𝒓𝒆𝒂𝒍

c) Racional no entero. 𝟐

𝟑 ,𝟒

𝟗,𝟏

𝟐,… . . 𝒆𝒕𝒄 ( "𝑪𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒆𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒏𝒐 𝒔𝒆𝒂 𝒎ú𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓 )

3. Expresa como fracción los siguientes números decimales:

𝑎) 2,7 = 𝟐𝟕

𝟏𝟎

𝑏) 2, 7̂ = 𝟐𝟓

𝟗

𝑐) 6,23̂ = 𝟏𝟖𝟕

𝟑𝟎

𝑑) − 0,24 ̂ =𝟏𝟏

𝟒𝟓

𝑒) − 5, 2̂ = −𝟒𝟕

𝟗

𝑓) 5, 472̂ = 𝟓𝟒𝟔𝟕

𝟗𝟗𝟗


4. Expresa como conjunto de números reales (con desigualdades) los siguientes intervalos o

semirrectas:

𝑎) 1,3 = {𝒙 ∈ ℝ −𝟑 < 𝒙 < −𝟏⁄ }

𝑏) ,4 = {𝒙 ∈ ℝ 𝒙 ≥ 𝟒⁄ }

𝑐) 9,3 = {𝒙 ∈ ℝ 𝟑 < 𝒙 ≤ 𝟗⁄ }

𝑑) 0, = = {𝒙 ∈ ℝ 𝒙 < 𝟎⁄ }

5. Escribe con otra notación los siguientes conjuntos

𝑎) 52/ xx = [−𝟐,𝟓)

𝑏) 7,55,2 = {𝒙 ∈ ℝ −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟕⁄ } ∖ {𝟓}

𝑐) ,30, = ℝ ∖ [𝟎, 𝟑]

6. Expresa como intervalos o semirrectas las siguientes desigualdades:

𝑎) ‒ 3 ≤ 𝑥 ≤ 2 ↔ [−𝟑, 𝟐]

𝑏) 5 < 𝑥 ↔ (𝟓,+∞)

𝑐) 𝑥 ≥ ‒ 2 ↔ [−𝟐,+∞)

𝑑) ‒ 2 ≤ 𝑥 < 4 ↔ [−𝟐, 𝟒)

𝑒) ‒ 3 ≤ 𝑥 ↔ [−𝟑,+∞)


7. Escribe la desigualdad correspondiente a estos intervalos:

𝑎) 7,2 = {𝒙 ∈ ℝ −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟕⁄ }

𝑏) ,13 = {𝒙 ∈ ℝ 𝒙 ≥ 𝟏𝟑⁄ }

𝑐) 0, = {𝒙 ∈ ℝ 𝒙 < 𝟎⁄ }

𝑑) 0,3 = {𝒙 ∈ ℝ −𝟑 < 𝒙 ≤ 𝟎⁄ }

𝑒) , = ℝ

8. Si tenemos los conjuntos 2,3A y 5,0B , calcula la 𝐴 ∩ 𝐵 𝑦 𝐴 ∪ 𝐵.

𝑨 ∩ 𝑩 = [𝟎, 𝟐] 𝑨 ∪ 𝑩 = [−𝟑, 𝟓]

9. Halla los siguientes valores absolutos:

𝑎) 11 = 𝟏𝟏 − 𝝅

𝑏) = 𝝅

𝑐) 5 = √𝟓

𝑑) 3 = 𝝅 − 𝟑

𝑒) 23 = 𝟑 − √𝟐

𝑓) 21 = √𝟐 − 𝟏

10. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:

𝑎) 5x ↔ 𝒙 = 𝟓 ó 𝒙 = −𝟓

𝑏) 5x ↔ −𝟓 ≤ 𝒙 ≤ 𝟓 ↔ 𝒙 ∈ [−𝟓, 𝟓]

𝑐) 24 x ↔ 𝒙 = 𝟔 ó 𝒙 = 𝟐


𝑑) 24 x ↔ 𝒙 ∈ [𝟐, 𝟔]

𝑒) 54 x ↔ 𝒙 ∈ (−∞,𝟗) ∪ (𝟏,+∞)

11. Simplifica:

𝑎) 12 9x = √𝒙𝟑

𝟒

𝑏) 12 8x = √𝒙𝟐

𝟑

𝑐) 5 10x = 𝒙𝟐

𝑑) 6 8 = √𝟐

𝑒) 9 64 = √𝟐𝟐𝟑

𝑓) 8 81 = √𝟑

12. ¿Cuál de estos números es mayor: 4 31 o 3 13 ?

4 31> 3 13

13. Reduce a índice común las siguientes parejas de números reales:

a) 12 5

a y 12 5

a 12 5

a = √𝒂𝟏𝟓𝟑𝟔

12 5

a = √𝒂𝟏𝟒𝟑𝟔

b) 3 51 y 9 132650 3 51= √𝟏𝟑𝟐𝟔𝟓𝟏𝟗

9 132650√𝟏𝟑𝟐𝟔𝟓𝟎𝟗

14. Simplifica:

a)

8

x = 𝒙 b)

5 3 10x = √𝒙𝟐

𝟑 c) 3 6

x = 𝒙


15. Realiza las operaciones siguientes y simplifica al máximo:

a) 8 = √84

= √𝟐𝟑𝟒

b) 2 = √𝟐𝟒

c) 3 32 = √𝟐𝟓

𝟔

d) 422 = 𝟐

e) 6 354 3 aaaaaa = 𝒂𝟐√𝒂

𝟔

f) 2

3 6322

ba = 𝟐𝒂𝟖𝒃𝟏𝟐

16. Extrae todos los factores posibles:

a) 745

8 cba = 𝟐𝒂𝟐𝒃𝟐𝒄𝟑√𝟐𝒂𝒄

b) 3 78

27 ba = 𝟑𝒂𝟐𝒃𝟐√𝒂𝟐𝒃𝟑

c) 7 142715128 zyx = 𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑𝒛𝟐√𝒙𝒚𝟔

𝟕

d) 519

1712

243

32

c

ba =

𝟐𝒂𝟐𝒃𝟑

𝟑𝒄𝟑√𝒂

𝟐𝒃𝟐

𝒄𝟒

𝟓

e) 4196

151081

yx

yx =

𝟑𝒙

𝒚

f) 3271516

201510

45

72

zyx

cba=

𝟐𝒂𝟑𝒃𝟓 𝒄𝟔

𝒙𝟓𝒚𝟓𝒛𝟗 √

𝒂𝒄𝟐

𝟓𝒙

𝟑


17. Reduce:

a) 3

33 2

= √𝟑𝟔

b) 3 3

9 = √𝟑𝟐

𝟑

c) 2

165

= √𝟐𝟑𝟏𝟎

d) 3

7294

= 𝟑

18. Suma y simplifica:

a) xxx 235 = 𝟏𝟎√𝒙

b) 825018 = 𝟗√𝟐

c) 8125027 = 𝟓√𝟑 − 𝟑√𝟐

d) 4952539244 = −𝟏𝟖

e) 2418450372583 = −𝟏𝟕√𝟐

19. Introduce dentro de la raíz:

a) 3 32 = √𝟐𝟒

𝟑

b) 3

4

1 · 4 = √𝟒𝟐

𝟑

c) 8

32 x

x = √

𝟑

𝟐𝒙

d) 4 42 = √𝟔𝟒

𝟒


20. Expresa como una única raíz:

a) 4 3 4 = √𝟐

𝟔

b) 3 4 82 = √𝟐𝟕

𝟏𝟐

c) xxx :5 44 3 = 𝒙 √𝒙

𝟐𝟎

21. Racionaliza:

a) 7

5 =

𝟓√𝟕

𝟕

b) 3 4

3 =

𝟑 √𝟐𝟑

𝟐

c) 3

1

a =

√𝒂

𝒂𝟐

d) 50

3 =

𝟑√𝟐

𝟏𝟎

e) 3 25

2=

𝟐 √𝟓𝟑

𝟓

f) 3 100

2 =

√𝟏𝟎𝟑

𝟓

22. Racionaliza y simplifica:

a) 12

1

= √𝟐 − 𝟏

b) 1

1

x

x = √𝒙 + 𝟏

c) yx

yx

=

(𝒙+𝒚)(√𝒙−√𝒚)

(𝒙−𝒚)

d) 532

1

=

𝟐√𝟑+√𝟓

𝟕

e) 3223

3223

= 𝟓 + 𝟐√𝟔


f) 25

3

= √𝟓 + 𝟐

g) 352

11

= 𝟐√𝟓 − 𝟑

h) 18

232 =

√𝟔−𝟏

𝟑

i) 532

1

= −

√𝟑+√𝟓

𝟒

23. Calcula:

a) 16log2 = 4

b) 25,0log2 = - 2

c) = 0

d) 16log2 = 4

e) 64log 4 = 3

f) 49log 7 = 2

g) 4

ln e = 4

h) 4

1

ln

e = -1/4

i) 04,0log5 = -2

j) 216

1log 6 = -3

24. Calcula la base de los siguientes logaritmos:

a) 3125log x 𝒙 = 𝟓

b) 29

1log x 𝒙 = 𝟑

1log9


25. Halla el valor de x en estas expresiones usando las propiedades de los logaritmos:

a) 13log17loglog x b) 9ln36lnln x

x = 221 x = 4

c) d) 6log225log12loglog x

x = 125 x = 25 / 3

26. Sabiendo que 8,1log5 A y 4,2log5 B calcula las siguientes expresiones:

a) 3

2

525

logB

A = −𝟐. 𝟐�̂� =

−𝟒

𝟏𝟓

b) 2

3

5

5log

B

A =

−𝟏𝟏𝟏𝟎

27. Averigua la relación que hay entre x e y, sabiendo que se cumple: 5ln2ln xy

𝒚 = 𝒆𝟐𝒙

𝟓

5ln3ln x


3log

log1

log

a

aa

28. Expresa como un solo logaritmo la siguiente expresión: zyx lnln2ln

zyx lnln2ln = 𝒍𝒏 𝒙𝒚𝟐

𝒛

29. Si xK log , entonces calcula en función de x:

a) 2

log K = 2x b) 100

logK

= x - 2 c) K10log = 𝟏+𝒙

𝟐

30. Comprueba que: 6

1

log

log1

log

3

a

aa

(siendo a ≠ 1)

𝐥𝐨𝐠 𝟏 − 𝐥𝐨𝐠𝒂 + 𝟏𝟐 𝐥𝐨𝐠𝒂

𝟑 𝐥𝐨𝐠𝒂 =− 𝟏𝟐 𝐥𝐨𝐠𝒂

𝟑 𝒍𝒐𝒈𝒂 = −𝟏

𝟔


)()( xqxp

POLINOMIOS

1. Halla el valor numérico en los siguientes casos:

a) 35)(2 xxp cuando x = 1

𝒑(𝟏) = 𝟖

b) 1323)(24 xxxxq cuando x = 0

𝒒(𝟎) = 𝟏

c) 136)( xxxr cuando x = 2.

𝒓(𝟐) = 𝟑𝟎

d) 94245)(2356 xxxxxs cuando x = -2

𝒔(−𝟐) = 𝟒𝟕𝟏

2. Dados los polinomios

3)(;7236)(;13)(232 xxrxxxxqxxp efectúa las

operaciones siguientes:

a) )()( xqxp = 𝟔𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 + 𝟖

b) = −𝟔𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟔

c) )()( xqxp = 𝟏𝟖𝒙𝟓 − 𝟗𝒙𝟒 + 𝟏𝟐𝒙𝟑 + 𝟏𝟖𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟕

d) )()( xrxp = 3𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐

e) )()( xqxr = −𝟔𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟒

f) )()( xrxp = 𝟑𝒙𝟑 + 𝟗𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑


3. Realiza las operaciones que se indican con los siguientes polinomios:

122722346 xxxxxxp

123235 xxxxxq

12 xxxr

43 xxs

a) )()( xqxp

b) )()( xsxq = 𝟗𝒙𝟔 + 𝟏𝟐𝒙𝟓 + 𝟔𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 − 𝟒

c) )()( xsxr = 𝟑𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟒

d) )()( xrxq = 𝟑𝒙𝟕 − 𝟑𝒙𝟔 + 𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟏

e) )()( xrxp = …

f) )()( xsxp = …

g) 2)(xr = 𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏

h) 2)(xs = 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝟒𝒙 + 𝟏𝟔

4. Realiza los siguientes productos:

a) 2222 xxxx = 𝟒𝒙𝟐 − 𝒙𝟒

b) baba 33 = 𝟗𝒃𝟐 − 𝒂𝟒

c) yxyx 3636 = 𝟑𝟔𝒙𝟐 − 𝟗𝒚𝟐

d) xxxx 3322 = 𝟒𝒙𝟔 − 𝒙𝟐

5. Dados los polinomios siguientes 3

12)(;5710)(

2 xxqxxxp calcula:

a) )()( xqxp = 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 +𝟏𝟔

𝟑

b) )(3)( xqxp = 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟒


c) 2

)(xq = 𝟒𝒙𝟐 +𝟒

𝟑𝒙 +

𝟏

𝟗

d) )()( xqxp = 𝟐𝟎𝒙𝟑 −𝟑𝟐

𝟑𝒙𝟐 +

𝟐𝟑

𝟑𝒙 +

𝟓

𝟑

e) )(:)( xqxp → 𝑪(𝒙) = 𝟓𝒙 − 𝟏𝟑

𝟑 𝑹 =

𝟓𝟖

𝟗

6. Realiza las siguientes divisiones:

a) xxxx :63 245 = 𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟑 + 𝒙 − 𝟔/𝒙

b) 2234 2:6126 xxxx = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟑

c) 335 5:1015 xxx = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐

d) 2:723 45 xxxx 𝑪(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟑 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 + 𝟑𝟖 𝑹 = −𝟔𝟗

e) 1:147 xxx 𝑪(𝒙) = 𝒙𝟔 + 𝒙𝟓 + 𝒙𝟒 𝑹 = 𝟏

f) 2:636 256 xxxx 𝑪(𝒙) = 𝒙𝟓 − 𝟖𝒙𝟒 + 𝟏𝟔𝒙𝟑 − 𝟑𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝟕𝒙 − 𝟏𝟑𝟒

𝑹 = 𝟐𝟕𝟒


7. Usando la regla de Ruffini, divide el polinomio 4256)( 35 xxxxp por los

divisores que se indican. Además, utiliza el teorema del resto para comprobar que el resto

obtenido es el correcto:

a) x-1

𝑪(𝒙) = 𝟔𝒙𝟒 + 𝟔𝒙𝟑 + 𝟏𝟏𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟏𝟑 𝑹 = 𝑷(𝟏) = 𝟗

b) x+2

𝑪(𝒙) = 𝟔𝒙𝟒 − 𝟏𝟐𝒙𝟑 + 𝟐𝟗𝒙𝟐 − 𝟓𝟖𝒙 + 𝟏𝟏𝟖 𝑹 = 𝑷(−𝟐) = −𝟐𝟒𝟎 c) x-5

𝑪(𝒙) = 𝟔𝒙𝟒 + 𝟑𝟎𝒙𝟑 + 𝟏𝟓𝟓𝒙𝟐 + 𝟕𝟕𝟓𝒙 + 𝟑𝟖𝟕𝟕 𝑹 = 𝑷(𝟓) = 𝟏𝟗𝟑𝟖𝟏

d) x+3

𝑪(𝒙) = 𝟔𝒙𝟒 − 𝟏𝟖𝒙𝟑 + 𝟓𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟕𝟕𝒙 + 𝟓𝟑𝟑 𝑹 = 𝑷(−𝟑) = −𝟏𝟔𝟎𝟑

e) x-3

𝑪(𝒙) = 𝟔𝒙𝟒 + 𝟏𝟖𝒙𝟑 + 𝟓𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟕𝟕𝒙 + 𝟓𝟑𝟑 𝑹 = 𝑷(𝟑) = 𝟏𝟓𝟗𝟓 f) x+4

𝑪(𝒙) = 𝟔𝒙𝟒 − 𝟐𝟒𝒙𝟑 + 𝟏𝟎𝟏𝒙𝟐 − 𝟒𝟎𝟒𝒙 + 𝟏𝟔𝟏𝟖 𝑹 = 𝑷(−𝟒) = −𝟔𝟒𝟕𝟔

8. Sin necesidad de efectuar la división, halla el resto de las siguientes divisiones:

a) 1:49 xxx → 𝑹 = 𝑷(−𝟏) = −𝟐

b) 2:43 56 xxxx → 𝑹 = 𝑷(−𝟐) = 𝟏𝟓𝟐

c) 3:1432 25 xxxx → 𝑹 = 𝑷(𝟑) = 𝟒𝟒𝟖

d) 1:10132 23 xxxx → 𝑹 = 𝑷(𝟏) = 𝟎

e) 2:6423 xxxx → 𝑹 = 𝑷(−𝟐) = 𝟐

f) 2:44 234 xxxxx → 𝑹 = 𝑷(𝟐) = 𝟎


9. Utilizando el valor numérico, halla el valor de m en los siguientes polinomios sabiendo

que se verifica:

a) mxxx 23 3 es divisible por x-1

𝒎 = 𝟐

b) 1055 23 xmxx es divisible por x-2

𝒎 = 𝟏𝟎

c) 2810302 234 xxmxx es divisible por x+1

𝒎 = 𝟏𝟎

10. Calcula las raíces de los siguientes polinomios:

a) 252 x ↔ 𝒙 = ±𝟓

b) 162 4 x ↔ 𝒙 = ±√𝟖𝟒

c) 646 x ↔ 𝒙 = ±𝟐

d) 24 366 xx ↔ 𝒙 = 𝟎 ( 𝑹𝒂í𝒛 𝒅𝒐𝒃𝒍𝒆) 𝒙 = ±√𝟔


11. Factorizar los siguientes polinomios:

a) 322 xx = (𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟑)

b) 862 2 xx = 𝟐(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟒)

c) xx 33 3 = 𝟑𝒙 (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)

d) 44 23 xxx = (𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟒)

e) xxxx 22 234 = 𝒙 (𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐)

f) xxxx 6363 234 = 𝟑𝒙 (𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐)

g) 253 234 xxxx = (𝒙 − 𝟏)𝟑(𝒙 + 𝟐)

h) xxxx 8126 234 = 𝒙(𝒙 − 𝟐)𝟑

i) 423 xx = (𝒙 − 𝟐)(𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟐)

j) 122 23 xxx = (𝒙 + 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏)

k) 1243 23 xxx

No tiene raíces enteras


12. Calcula dos polinomios de segundo grado que tengan como raíces 3;2

121 xx .

𝑷(𝒙) = (𝒙 −𝟏

𝟐) (𝒙 + 𝟑) 𝒚 𝑸(𝒙) = 𝒌 · (𝒙 −

𝟏

𝟐) (𝒙 + 𝟑) ∀𝒌 ∈ ℝ

Ejemplo: 𝑆𝑖 𝑘 = 2 𝑸(𝒙) = 𝟐 · (𝒙 −𝟏

𝟐) (𝒙 + 𝟑) = (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟑)

13. ¿Qué número m se ha de añadir al polinomio xxx 52 23 para que sea divisible por …..?

a) 3x ⇒ 𝒎 = 𝟔

b) 5x ⇒ 𝒎 = −𝟓𝟎

c) 4x ⇒ 𝒎 = −𝟏𝟐

d) 3x ⇒ 𝒎 = 𝟑𝟎

14. Calcula el valor de m para que las divisiones siguientes sean exactas:

a) 1:2 23 xmxxx b)

2

1:2352 23 xmxxx

⇒ 𝒎 = 𝟐 ⇒ 𝒎 = −𝟏𝟎


15. Halla un polinomio de primer grado que al dividirlo por 1x dé de resto 1, y al dividirlo

por 2x dé de resto 7.

𝑷(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟑

16. Determinar los coeficientes a y b para que el polinomio baxx 35 sea divisible por

11 xx .

𝒂 = −𝟏 𝒃 = 𝟎

17. Calcula, de dos formas distintas, el valor de m para que el polinomio

213)( 23 xmmxxxp sea divisible por 2x .

⇒ 𝒎 = −𝟔


512

3

1

22

xxx

x

2

2

3

12

x

x

x

x

32

2

3

72

xx

x

x

x

2

123

5

x

x

x

18. Halla el polinomio de segundo grado que satisfaga las siguientes condiciones

simultáneamente:

a) el coeficiente de segundo grado es -2

b) es divisible por 3x

c) al dividirlo por 2x el resto es -10.

𝑷(𝒙) = −𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟔

19. Realiza las operaciones que se indican:

a)

= 𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟏𝟎

(𝒙 − 𝟏)𝟐

b)

= 𝒙𝟑 − 𝟕𝒙 + 𝟐

(𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟐)

c)

= 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟕

(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟑)

d)

= 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏

𝒙𝟐


151

12

2

3 2

x

x

x

x

xx

xxx

x

x

x

2

7

2

32322

= 𝟏𝟑𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏

𝟐(𝒙 − 𝟏)

e)

f) 1

8

2

5

2

17

652

12223

xxxx

x

xxx

x= ….

g)

= −𝟒𝒙 + 𝟏𝟑

𝒙(𝒙 − 𝟐)

h) x

xx

x

x

x

x

2

1

2

3

3

5 2


03

3

2

2

1

1

xxx

21

65

10

7

14

15

20

113

xxxx

ECUACIONES

1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

a) 156

5

4

3

2

xxx ⇒ 𝒙 = 𝟑𝟔

b)

⇒ 𝒙 =𝟔

𝟓

c) 3520

53

15

2

xxx ⇒ 𝒙 = 𝟏𝟓

d)

⇒ 𝒙 =−𝟐𝟕

𝟐𝟗


e) 6

9

4

1

13

41

8

173 xxxx

⇒ 𝒙 =𝟐𝟗𝟕

𝟐𝟑𝟗

f) 21

65

10

7

14

15

20

113

xxxx

⇒ 𝒙 = −𝟑

g) 6

9

4

1

13

41

8

173 xxxx

⇒ 𝒙 = −𝟑

h) 2

1

22

2

31

xxx

⇒ ∄ 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏

i)

6

32

4

45 xx

⇒ 𝒙 = 𝟔

j) 57

24

4

17

6

35

xxx

⇒ 𝒙 = 𝟑


2. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) 01872 xx

𝒙𝟏 = 𝟗 𝒙𝟐 = −𝟐

b) 0181532 xx

𝒙𝟏 = −𝟐 𝒙𝟐 = −𝟑

c) 0742 xx

d) 0282172 xx

𝒙𝟏 = 𝟏 𝒙𝟐 = −𝟒

e) 02872 x

𝒙 = ±𝟐

f) xxx 32

∄ 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒙𝟏 = 𝟎 𝒙𝟐 = 𝟏

g) 33

32

3

16 22 xxx

x

𝒙 = ±𝟑

h) 0812 x

𝒙 = ±𝟗

i) 05

43

2 xx

𝒙𝟏 = 𝟎 𝒙𝟐 =−𝟒

𝟏𝟓

j) 25322x

𝒙𝟏 = 𝟒 𝒙𝟐 = −𝟏

k) 02

3

2

1 2 xx

𝒙𝟏 = 𝟎 𝒙𝟐 = 𝟑


l) 02332 xx

𝒙𝟏 =𝟑

𝟐 𝒙𝟐 =

𝟐

𝟑

m) 3

43

3

44 22

x

xxxx

𝒙 = 𝟐 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒐𝒃𝒍𝒆

n) 4

1234

2

22

xxx

x

𝒙𝟏 = 𝟏𝟒 + 𝟐√𝟒𝟔 𝒙𝟐 = 𝟏𝟒 − 𝟐√𝟒𝟔

3. Resuelve las siguientes ecuaciones de grado superior:

a) 0423 xx

→ 𝒙 = 𝟐

b) 0123 xxx

→ 𝒙𝟏 = 𝟏 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒐𝒃𝒍𝒆

𝒙𝟐 = −𝟏

c) 01243 23 xxx

→ 𝒙𝟏 = 𝟐 𝒙𝟐 = −𝟐 𝒙𝟑 = − 𝟑

d) 021266 23 xxx

→ 𝒙𝟏 = −𝟏 𝒙𝟐 =𝟕

𝟑 𝒙𝟑 =

− 𝟑

𝟐

e) 0652 23 xxx

→ 𝒙𝟏 = 𝟐 𝒙𝟐 = 𝟑 𝒙𝟑 = −𝟐

f) 02016 234 xxxx

→ 𝒙𝟏 = 𝟎 𝒙𝟐 = −𝟐 𝒙𝟑 = 𝟓 𝒙𝟒 = −𝟐

g) 02552 34 xxx

→ 𝒙𝟏 = 𝟏 𝒙𝟐 = −𝟏 𝒙𝟑 = 𝟐 𝒙𝟒 =𝟏

𝟐

h) 44 23 xxx

→ 𝒙𝟏 = 𝟏 𝒙𝟐 = −𝟏 𝒙𝟑 = − 𝟒


i) 253 234 xxxx

→ 𝒙𝟏 = 𝟏 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒕𝒓𝒊𝒑𝒍𝒆

𝒙𝟐 = −𝟐

j) 122 23 xxx

→ 𝒙𝟏 = −𝟏

4. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:

a) 03613 24 xx b) 022534 24 xx

𝒙 = ±𝟑 𝒙 = ±𝟐 𝒙 = ±𝟑 𝒙 = ±𝟓

c) 042925 24 xx d) 098 24 xx

𝒙 = ±𝟏 𝒙 = ±𝟐

𝟓 𝒙 = ±𝟑

5. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:

a) 4

5

1

2

1

2

x

x

x

𝒙𝟏 = 𝟑 𝒙𝟐 = −𝟕

b) 2

11

1

412

xx

x

𝒙𝟏 = 𝟐 𝒙𝟐 = −𝟏

𝟕

c) x

x6

5

𝒙𝟏 = 𝟑 𝒙𝟐 = 𝟐

d) xx

x

x

x

x

x

2

1101

1

𝒙𝟏 = 𝟒 𝒙𝟐 = 𝟎 𝑵𝒐 𝒗á𝒍𝒊𝒅𝒂


e) 1

12

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

𝒙𝟏 = 𝟎 𝒙𝟐 = −𝟒

f) 423

x

x

𝒙 =𝟏

𝟐

6. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:

a) 74 x

𝒙 = 𝟒𝟓

b) 125 2 xx

𝒙𝟏 = 𝟒 𝒙𝟐 = −𝟑 𝑵𝒐 𝒗á𝒍𝒊𝒅𝒂

c) 8105 xx

𝒙𝟏 = 𝟐𝟑 𝒙𝟐 = −𝟐

No VÁLIDAS

d) 034 xx

𝒙𝟏 = 𝟑 𝒙𝟐 = 𝟏

e) 11 xx

𝒙𝟏 = 𝟑 𝒙𝟐 = 𝟎 𝑵𝒐 𝒗á𝒍𝒊𝒅𝒂

f) xx 236

𝒙 = 𝟔𝟒

g) 6412 xx

𝒙𝟏 = 𝟓 𝒙𝟐 = 𝟐𝟐𝟏 𝑵𝒐 𝒗á𝒍𝒊𝒅𝒂

h) 7825 xx

𝒙𝟏 = 𝟒 𝒙𝟐 = 𝟐𝟖𝟒 𝑵ó 𝒗á𝒍𝒊𝒅𝒂

i) 1327 xx

𝒙𝟏 = −𝟑 𝒙𝟐 = 𝟏

j) 4272 xx

𝒙𝟏 = −𝟐 𝒙𝟐 = −𝟏 𝑵𝒐 𝒗á𝒍𝒊𝒅𝒂


7. Amelia tiene el triple de edad que su hermano Pedro, pero dentro de 5 años solamente

tendrá el doble de edad. ¿Cuál es la edad que tiene actualmente cada uno de ellos?

Solución : Pedro tiene 5 años y Amelia tiene 15 años

8. Beatriz tiene 8 años más que Carlos, y hace 2 años tenía el doble de edad que él. ¿Cuántos

años tienen actualmente cada uno de ellos?

Solución : Carlos tiene 10 años y Beatriz tiene 18

9. En un examen tipo test compuesto de 40 preguntas, era obligatorio responder a todas ellas.

Cada pregunta acertada valía un punto, pero cada fallo restaba medio punto. Averigua las

preguntas que acertó Miguel sabiendo que su puntuación total fue 32,5 puntos.

Solución : Miguel acertó 35 preguntas y falló 5

10. Un taller de confecciones gana 0,75 € por cada par de calcetines que entrega a la venta,

pero pierde 2,50 € por cada par defectuoso. ¿Cuántos pares válidos y cuántos defectuosos ha

producido en una jornada de trabajo si en total ha fabricado 700 pares y ha obtenido un

beneficio de 382 €?

Solución : Se fabricaron 656 pares válidos y 44 defectuosos

11. Calcula las dimensiones de una parcela rectangular sabiendo que es 25 m más larga que

ancha y que el perímetro mide 210 metros.

Solución : La parcela mide 40 m de ancha y 65 m de larga


12. Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla

la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 metros cuadrados.

Solución : Los lados miden 6m 8m y 10 m

13. Un grupo de amigos va a cenar a un restaurante. Cuando van a pagar observan que si cada

uno pone 20 € sobran 5 €. Sin embargo, si cada uno de ellos pone 15 €, entonces faltan 20 €.

¿Cuántos amigos fueron a cenar y cuál fue el precio de la cena?

Solución : Fueron 5 amigos y la cena les costó 95€

14. En una empresa obtienen 6 € de beneficio por cada envío que hacen; pero pierden 8 € si

el envío es defectuoso. En un día hicieron 2.100 envíos, obteniendo 9.688 € de beneficio.

Calcula los envíos válidos y los envíos defectuosos que hicieron ese día.

Solución : Se hicieron 1892 envíos válidos y 208 defectuosos

15. Encuentra tres números impares consecutivos cuyos cuadrados sumen 5.051.

Solución : Los números son 39 , 41 y 43

También sería válida la solución -43, -41 -39

16. Los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética con 5 cm. de

diferencia. Calcula el perímetro y el área de ese triángulo.

Solución : Los lados miden 15cm, 20cm y 25 cm. Perímetro = 60cm Área= 150 cm2


INECUACIONES

1. Resuelve las siguientes inecuaciones:

1) xx

13

1 ⇔ 𝒙 ∈ (−∞ , 𝟏 )

2) 2

1

8

x ⇔ 𝒙 ∈ [𝟒 , +∞)

3) 212

13

6

1

4

xxx

⇔ 𝒙 ∈ (−∞ ,

𝟏

𝟐 )

4) 2

41

5

1

xx ⇔ 𝒙 ∈ (−∞ ,

𝟑𝟐

𝟑]

5) 3520

53

15

2

xxx ⇔ 𝒙 ∈ (−∞ , 𝟏𝟓 )

6) 2

2

3

31

xxx ⇔ 𝒙 ∈ [

𝟔

𝟓 , +∞)

2. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

1) 062 xx ⇔ 𝒙 ∈ (−∞ , −𝟐 ) ∪ (𝟑 , +∞ )

2) 0962 xx ⇔ ∀ 𝒙 ∈ ℝ

4) 028217 2 xx ⇔ 𝒙 ∈ (−∞ ,−𝟒] ∪ [𝟏 , +∞)


5)

2

1

4

11

3

1232

xxxx

⇔ 𝒙 ∈ (−∞ , −𝟏 ) ∪ (𝟐𝟏

𝟓 , +∞ )

6) 023

1

23

12

2

232

xxxxx

3. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas:

1) 065 23 xxx ⇔ 𝒙 ∈ (𝟎 , 𝟐 ) ∪ (𝟑 , +∞ )

2) 01243 23 xxx

⇔ 𝒙 ∈ (−∞ ,−𝟑] ∪ [−𝟐 , 𝟐 ]

3) 02016 234 xxxx

⇔ 𝒙 ∈ (−∞ ,−𝟐] ∪ [−𝟐 , 𝟎 ] ∪ [𝟓 , +∞)

4) 0192 xx

⇔ 𝒙 ∈ [−𝟑 ,−𝟏 ] ∪ [𝟑 , +∞)

5) 045 24 xx ⇔ 𝒙 ∈ [−𝟐 ,−𝟏] ∪ [𝟏 , 𝟐 ]

6) 044 4 x ⇔ ∀ 𝒙 ∈ ℝ


4. Soluciona las siguientes inecuaciones fraccionarias:

1) 02

4

x

x ⇔ 𝒙 ∈ (−∞ ,−𝟐 ) ∪ [𝟒, +∞)

2) 042

2

xx

x ⇔ 𝒙 ∈ (−𝟒 , 𝟎 )

3) 03

12

x

x

⇔ 𝒙 ∈ (−𝟑,−𝟏] ∪ [𝟏, +∞)

4)

01

322

x

x

⇔ 𝒙 ∈ [𝟑 𝟐⁄ ,+∞)


6. Resuelve las siguientes inecuaciones:

1) 022x ⇔ 𝒙 = 𝟐

2) 04122 xx ⇔ 𝒙 ∈ (−∞,

𝟓

𝟐]

3)

03

132

x

x ⇔ 𝒙 ∈ (−∞ ,

𝟏

𝟑)

4) 0123 xxx ⇔ 𝒙 ∈ [−𝟏,+∞)

5) 3

2

3

1

xx ⇔ 𝒙 ∈ (𝟗 , +∞ )

6) 086 234 xxx ⇔ 𝒙 ∈ (𝟐, 𝟒)


SISTEMAS

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas:

a)

864

832

yx

yx b)

464

832

yx

yx c)

10849

623

yx

yx

(𝒙, 𝒚) = (𝟏, 𝟐) ∄ 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 (𝒙, 𝒚) = (𝟖, 𝟗)

d)

1028

2756

yx

yx e)

1034

2756

yx

yx f)

1067

254

yx

yx

(𝒙, 𝒚) = (𝟐, 𝟑) (𝒙, 𝒚) = (𝟏𝟑𝟏

𝟑𝟖,𝟐𝟒

𝟏𝟗) (𝒙, 𝒚) = (

𝟔𝟐

𝟓𝟗,−𝟐𝟔

𝟓𝟗)

g)

133

23

124

yx

yxyx

h)

5

1

1

4

11

y

x

y

x

i)

25

32

05

2

3

1

yx

yx

(𝒙, 𝒚) = (𝟔, 𝟏𝟎) (𝒙, 𝒚) = (𝟓, 𝟐𝟒) (𝒙, 𝒚) = (𝟒, 𝟑)


2. Soluciona los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas:

( EN CLASE)

a)

1

42

yx

yx b)

22

6

yx

yx

c)

48023

3002

yx

yx d)

22

42

yx

yx

e)

22

42

yx

yx f)

22

42

yx

yx

g)

3042

556

yx

yx h)

3062

335

yx

yx


3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales con dos incógnitas:

a)

82

8 2

yx

yx b)

90

9

yx

yx

(𝒙𝟏, 𝒚𝟏) = ( 𝟖 , 𝟖 ) (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) = ( 𝟏𝟓 , 𝟔 ) (𝒙𝟐, 𝒚𝟐) = (𝟐 , −𝟒 ) (𝒙𝟐, 𝒚𝟐) = (−𝟔 , −𝟏𝟓 )

c)

3

1022

yx

yx d)

24

5522

yx

yx

(𝒙𝟏, 𝒚𝟏) = ( 𝟏 , 𝟑 ) (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) = ( 𝟖 , 𝟑 ) (𝒙𝟐, 𝒚𝟐) = (−𝟏,−𝟑 ) (𝒙𝟐, 𝒚𝟐) = (−𝟖 , −𝟑 )

(𝒙𝟑, 𝒚𝟑) = ( 𝟑, 𝟏 ) (𝒙𝟑, 𝒚𝟑) = (−𝟑𝒊 , 𝟖𝒊 ) (𝒙𝟒, 𝒚𝟒) = (−𝟑,−𝟏 ) (𝒙𝟒, 𝒚𝟒) = (𝟑𝒊 , −𝟖𝒊 )

h)

8

10

22

22

yx

yx j)

3

6

xyy

yxx

(𝒙𝟏, 𝒚𝟏) = ( −𝟑 , 𝟏 ) (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) = (−𝟐 , 𝟏 ) (𝒙𝟐, 𝒚𝟐) = (−𝟑,−𝟏 ) (𝒙𝟐, 𝒚𝟐) = (𝟐 , −𝟏 )

(𝒙𝟑, 𝒚𝟑) = ( 𝟑, 𝟏 )

(𝒙𝟒, 𝒚𝟒) = (𝟑𝒊 , −𝟖𝒊 )


4. Resuelve los siguientes sistemas usando el método de Gauss:

a)

42

1322

2

zyx

zyx

zyx

𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒂𝒕𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐. 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟏, 𝟐, 𝟏)

b)

62

62

73

zyx

zyx

zyx

𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒂𝒕𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐. 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟑,−𝟏, 𝟏)

c)

125

03

422

zyx

zyx

zyx

𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒂𝒕𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐. 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟐,−𝟐, 𝟒)

d)

332

4424

3243

zyx

zyx

zyx

𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒂𝒕𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐. 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟏, 𝟐, 𝟏)


e)

72

042

432

zyx

zyx

zyx

𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒂𝒕𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐. 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟐, 𝟑, 𝟏)

f)

1632

5223

1

zyx

zyx

zyx

𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒂𝒕𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐. 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟑, 𝟐, 𝟒)

g)

12

2

6

zyx

zyx

zyx

𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒂𝒕𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐. 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟒, 𝟑, 𝟓)

h)

0247

1523

12352

zyx

zyx

zyx

𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒂𝒕𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐. 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟐, 𝟓, 𝟑)


i)

253

32

zyx

zyx

𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒂𝒕𝒊𝒃𝒍𝒆 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐

𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟗𝜶 + 𝟕

𝟕,𝟖𝜶 − 𝟕

𝟕, 𝜶) ∀𝜶 ∈ ℝ

j)

053

02

zyx

zyx


𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟗𝜶

𝟕,𝟖𝜶

𝟕, 𝜶) ∀𝜶 ∈ ℝ

k)

2

12

5

yx

zx

zy

𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒂𝒕𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐.

𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟏𝟏

𝟑,𝟏𝟕

𝟑,𝟒

𝟑)

l)

25

02

12

zx

zyx

zyx


𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟐 − 𝜶

𝟓,𝟑𝜶 − 𝟏

𝟓, 𝜶) ∀𝜶 ∈ ℝ


EJERCICIOS REVÁLIDAS

1. Se considera el sistema:

5

93

3359

zyx

zyx

zyx

a) Resuélvelo y clasifícalo en función del número de soluciones.

b) b) Determina si es posible, o no, eliminar una de las ecuaciones de forma que el sistema que resulte

sea equivalente al anterior. Razona la respuesta. (1 punto)

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO. INFINITAS SOLUCIONES

(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟑 − 𝜶

𝟐 ,

−𝟕 + 𝜶

𝟐, 𝜶) ∀𝜶 ∈ ℝ

2. La distancia de tres playas (A, B, y C) del lugar de veraneo de una familia es tal que el doble de la distancia

a A es el triple de la distancia a B. La suma de las distancias a A, B y C es de 90.000 m, y el doble de la distancia

a B más el triple de la distancia a C menos la distancia a A es igual a 130.000 m.

¿Cuál es la distancia a cada playa?

{

𝟐𝒙 = 𝟑𝒚𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟗𝟎

−𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏𝟑𝟎 Solución : La familia está a 30km de A, a 20km de B y a 40 km de C

3. En la lista de precios de una cafetería figura la siguiente información:

- Cuatro cafés y un bocadillo cuestan lo mismo que cinco refrescos.

- Cuatro cafés y tres bocadillos cuestan lo mismo que diez refrescos.

- Dos cafés, un refresco y un bocadillo cuestan 9,50 €.

Calcular el precio de cada uno de los productos.

{

𝟒𝒙 + 𝒚 = 𝟓𝒛𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟎𝒛

𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟗, 𝟓𝟎 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 𝑬𝒍 𝒄𝒂𝒇é 𝒄𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 𝟏, 𝟐𝟓€, 𝒆𝒍 𝒃𝒐𝒄𝒂𝒅𝒊𝒍𝒍𝒐 𝟓€ 𝒚 𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒇𝒓𝒆𝒔𝒄𝒐 𝟐€

4. Por un helado, dos horchatas y cuatro batidos, nos cobraron un día 1.700 ptas en una heladería. Otro día, en

esa misma heladería, por cuatro helados y cuatro horchatas nos cobraron 2.200 ptas. Un tercer día tuvimos que

pagar 1.300 ptas por una horchata y cuatro batidos. Razona si hay motivos, o no, para pensar que alguno de los

días nos presentaron una factura incorrecta.

{

𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟏𝟕𝟎𝟎𝟒𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟏𝟑𝟎𝟎

𝑺𝑰𝑺𝑻𝑬𝑴𝑨 𝑰𝑵𝑪𝑶𝑴𝑷𝑨𝑻𝑰𝑩𝑳𝑬. ∄ 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵, 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒂𝒍𝒈ú𝒏 𝒅í𝒂 𝒍𝒂 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒇𝒖𝒆 𝒊𝒏𝒄𝒊𝒓𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂

5.) El señor Gómez deja a sus hijos en herencia su fortuna con las siguientes condiciones:

- El mayor recibirá la media aritmética de lo que reciban los otros dos más 30.000 €.

- Al mediano le deja la media aritmética de lo que reciban los otros dos.

- El pequeño recibirá la media aritmética de lo que perciban los otros dos menos 30.000 €. Calcula lo que ha

heredado cada uno de los hijos.

{

𝒙 =

𝒚 + 𝒛

𝟐+ 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎

𝒚 = 𝒙 + 𝒛

𝟐

𝒛 = 𝒙 + 𝒚

𝟐− 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎

𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵: 𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝑪𝑶𝑴𝑷𝑨𝑻𝑰𝑩𝑳𝑬 𝑰𝑵𝑫𝑬𝑻𝑬𝑹𝑴𝑰𝑵𝑨𝑫𝑶

(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝜶, 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝜶, 𝜶) ∀𝜶 ∈ ℝ

6. Con 450 gramos de medicamento se fabricaron 60 pastillas de tres tipos: grandes, pequeñas y medianas. Las

pastillas grandes pesan 20 gramos, las medianas 10 y las pequeñas 5 gramos. Si el total de pastillas grandes y

medianas es la mitad del número de pastillas pequeñas, ¿cuántas se fabricaron de cada tipo?

{

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟔𝟎𝟐𝟎𝒛 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟒𝟓𝟎

𝒙 + 𝒚 =𝒛

𝟐

𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 ∶ 𝑺𝒆 𝒇𝒂𝒃𝒓𝒊𝒄𝒂𝒓𝒐𝒏 𝟓 𝒑𝒂𝒔𝒕𝒊𝒍𝒍𝒂𝒔 𝒈𝒓𝒂𝒏𝒅𝒆𝒔, 𝟏𝟓 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂𝒔 𝒚 𝟒𝟎 𝒑𝒆𝒒𝒖𝒆ñ𝒂𝒔


FUNCIONES

1. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a) 53)( 23 xxxxf h) 1

)(2

2

x

xxf

𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙) = ℝ 𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙) = (−∞,−𝟏) ∪ (𝟏,+∞)

b) 214

153)(

2

xx

xxf i) 22)( 23 xxxxf

𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙) = ℝ ∖ {−𝟑, 𝟕} 𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙) = (−𝟐,−𝟏) ∪ (𝟏,+∞)

c) 32

52)(

2

xx

xxf j)

9

2)(

2

x

xxf

𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙) = ℝ 𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙) = ℝ

d) 3)( xxf k) 4

1)(

2

x

xxf

𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙) = [−𝟑,+∞) 𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙) = [−𝟏,+∞)

e) 4)( 2 xxf l) xxxf 7)( 2

𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙) = (−∞,−𝟐] ∪ [𝟐,+∞) 𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙) = (−∞,𝟎] ∪ [𝟕,+∞)


f) 65)( 2 xxxf m) xx

xxxf

4

12)(

2

2

𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙) = (−∞,−𝟏] ∪ [𝟔,+∞) 𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙) = (−∞,−𝟒) ∪ (𝟎,+∞)

g) xx

xxf

2

72)(

2

n)

2

1)(

x

xxf

𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙) = ℝ ∖ {−𝟐, 𝟎} 𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙) = (−∞,−𝟐) ∪ [𝟏,+∞)

2. En cada caso, dibuja la gráfica de la función, calcula su dominio y su recorrido, estudia su

continuidad y el crecimiento y decrecimiento:


3. Dadas las funciones xxxf 2)( 2 y 45)( xxg , calcula:

(𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟒

(𝒇 · 𝒈)(𝒙) = 𝟓𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟖𝒙

(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝟐𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝟎𝒙 + 𝟖

(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 − 𝟒

(𝒈−𝟏)(𝒙) =𝒙 + 𝟒

𝟓

4. Dadas las funciones 12)( 3 xxxf y 34)( xxg , calcula:

(𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙 + 𝟐

(𝒇 · 𝒈)(𝒙) = 𝟒𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟑 + 𝟖𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑

(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝟔𝟒𝒙𝟑 + 𝟏𝟒𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝟔𝒙 + 𝟑𝟐

(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 + 𝟖𝒙 − 𝟏

(𝒈−𝟏)(𝒙) =𝒙 − 𝟑

𝟒


5. Dadas las funciones 1

1)(

2

xxf y 4)( 2 xxg , calcula:

(𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 1

12 x

+ 42 x

(𝒇 · 𝒈)(𝒙) =42 x

12 x

(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) =𝟏

𝒙𝟐 − 𝟓

(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = √𝟏 − 𝟒(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟐

(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟐= √

−𝟒𝒙𝟒 + 𝟖𝒙𝟐 − 𝟑

𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏

(𝒈−𝟏)(𝒙) = √𝒙𝟐 + 𝟒

6. Dadas las funciones 23

12)(

x

xxf y 32)( xxg , calcula:

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 23

12

x

x+ 32 x

(𝒇 · 𝒈)(𝒙) =( 12 x ) 32 x

23 x

(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) =𝟐 32 x − 1

𝟑 32 x + 2

(𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = √−𝟓𝒙 − 𝟖

𝟑𝒙 + 𝟐

(𝒈−𝟏)(𝒙) =𝒙𝟐 + 𝟑

𝟐

7. Dadas las funciones y 2

1)(

x

xxg , calcula:

𝒂) 𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙) = ℝ ∖ {𝟏} 𝑫𝒐𝒎 𝒈(𝒙) = (−∞, 𝟏] ∪ (𝟐,+∞)

𝒃) (𝒇−𝟏)(𝒙) = 𝒙 + 𝟐

𝒙 − 𝟑 (𝒈−𝟏)(𝒙) =

𝟐𝒙𝟐 − 𝟏

𝒙𝟐 − 𝟏

𝒄) (𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝟑√𝒙 − 𝟏 + 𝟐√𝒙 − 𝟐

√𝒙 − 𝟏 − √𝒙 − 𝟐 (𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = √

𝟐𝒙 + 𝟑

𝒙 + 𝟒

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