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CUADERNO

PENDIENTES

MATEMÁTICAS I

Curso 2017-2018

Departamento de Matemáticas IES GRANDE COVIÁN

Departamento de Matemáticas Pendientes MAT I IES Grande Covián 2

CONTENIDOS PRIMER PARCIAL

FECHA EXAMEN ……………….

Números Reales. Radicales y logaritmos

Polinomios

Inecuaciones

Sistemas de ecuaciones ( Método de Gauss) Funciones

CONTENIDOS SEGUNDO PARCIAL

FECHA EXAMEN ……………….

Límites

Derivadas

Trigonometría

Números Complejos

Geometría Analítica

http://anarodriguez.iescla.org/wp-content/uploads/2009/09/41.-Inecuaciones.doc

http://anarodriguez.iescla.org/wp-content/uploads/2009/09/51.-Sistemas.-Gauss.doc

http://anarodriguez.iescla.org/wp-content/uploads/2009/11/61..Funciones.doc

http://anarodriguez.iescla.org/wp-content/uploads/2009/11/91.-L%C3%ADmites.doc


Números Reales. Radicales y logaritmos

1. Clasifica en Verdaderas o Falsas las siguientes afirmaciones indicando la razón:

a) Todo número entero es natural. FALSO Por ejemplo….-2𝜖 ℤ 𝑦 − 2 ∉ ℕ

b) Todo número natural es entero. VERDADERO porque ℕ ⊂ ℤ

c) Todo número entero es racional. VERDADERO porque ℤ ⊂ ℚ

d) Algunos números racionales son enteros. VERDADERO porque ℤ ⊂ ℚ

e) Algunos números naturales no son racionales. FALSO ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ( Todo número

natural es racional)

f) Todo número racional es entero. FALSO Por ejemplo 2

5 𝜖 ℚ 𝑝𝑒𝑟𝑜

2

5 ∉ ℤ

2. Escribe, si es posible, varios números con las siguientes condiciones:

a) Real y no racional.

b) Irracional no real.

c) Racional no entero.

3. Expresa como fracción los siguientes números decimales:

a) 2,7

b) 2,7

c) 6,23

d) -0,24

e) -5,2

f) 5,472


4. Representa y expresa como desigualdad los siguientes conjuntos:

a) 1,3

b) ,4

c) 9,3

d) 0,

5. Representa los siguientes conjuntos

a) 52/ xx

b) 7,55,2

c) ,30,

6. Expresa como intervalos o semirrectas las siguientes desigualdades:

a) ‒ 3 ≤ x ≤ 2

b) 5 < x

c) x ≥ ‒2

d) ‒2 ≤ x < 4


e) ‒3 ≤ x

7. Escribe la desigualdad correspondiente a estos intervalos:

a) 7,2

b) ,13

c) 0,

d) 0,3

e) ,

8. Si tenemos los conjuntos 2,3A y 5,0B , calcula la 𝐴 ∩ 𝐵 𝑦 𝐴 ∪ 𝐵.

9. Halla los siguientes valores absolutos:

a) 11

b)

c) 5

d) 3

e) 23

f) 21

10. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:

a) 5x

b) 5x

c) 24 x


d) 24 x

e) 54 x

11. Simplifica:

a) 12 9

x

b) 12 8

x

c) 5 10

x

d) 6 8

e) 9 64

f) 8 81

12. ¿Cuál de estos números es mayor: 4 31 o

3 13 ?

13. Reduce a índice común las siguientes parejas de números reales:

a) 12 5

a y 18 7

a

b) 3 51 y 9 132650

14. Simplifica:

a)

8

x b)

5 3 10x c) 3 6

x


15. Realiza las operaciones siguientes y simplifica al máximo:

a) 8

b) 2

c) 3 32

d) 422

e) 6 354 3 aaaaaa

f) 2

3 6322

ba

16. Extrae todos los factores posibles:

a) 745

8 cba

b) 3 78

27 ba

c) 7 142715128 zyx

d) 519

1712

243

32

c

ba

e) 4196

151081

yx

yx


f) 3271516

201510

45

72

zyx

cba

17. Reduce:

a) 3

33 2

b) 3 3

9

c) 2

165

d) 3

7294

18. Suma y simplifica:

a) xxx 235

b) 825018

c) 8125027

d) 4952539244

e) 2418450372583

19. Introduce dentro de la raíz:

a) 3 32

b) 3

4

1 · 4


c) 8

32 x

x

d) 4 42

20. Expresa como una única raíz:

a) 4 3 4

b) 3 4 82

c) xxx :5 44 3

21. Racionaliza:

a) 7

5

b) 3 4

3

c) 3

1

a

d) 50

3

e) 3 25

2

f) 3 100

2

22. Racionaliza y simplifica:

a) 12

1

b) 1

1

x

x

c) yx

yx

d) 532

1


e) 3223

3223

f) 25

3

g) 352

11

h) 18

232

i) 532

1

23. Calcula:

a) 16log2

b) 25,0log2

c) 1log9

d) 16log2

e) 64log4

f) 49log7

g) 4

ln e

h) 4

1

ln

e

i) 04,0log5

j) 216

1log6

24. Calcula la base de los siguientes logaritmos:

a) 3125log x


b) 29

1log x

25. Halla el valor de x en estas expresiones usando las propiedades de los logaritmos:

a) 13log17loglog x b) 9ln36lnln x

c) 5ln3ln x d) 6log225log12loglog x

26. Sabiendo que 8,1log5 A y 4,2log5 B calcula las siguientes expresiones:

a) 3

2

525

logB

A

b) 2

3

5

5log

B

A

27. Averigua la relación que hay entre x e y, sabiendo que se cumple: 5ln2ln xy


28. Expresa como un solo logaritmo la siguiente expresión: zyx lnln2ln

29. Si xK log , entonces calcula en función de x:

a) 2

log K b) 100

logK

c) K10log

30. Comprueba que: 6

1

log

log1

log

3

a

aa

(siendo a ≠ 1)


POLINOMIOS

1. Halla el valor numérico en los siguientes casos:

a) 35)(2 xxp cuando x = 1

b) 1323)(24 xxxxq cuando x = 0

c) 136)( xxxr cuando x = 2.

d) 94245)(2356 xxxxxs cuando x = -2

2. Dados los polinomios

3)(;7236)(;13)(232 xxrxxxxqxxp efectúa las

operaciones siguientes:

a) )()( xqxp

b) )()( xqxp

c) )()( xqxp

d) )()( xrxp

e) )()( xqxr

f) )()( xrxp


3. Realiza las operaciones que se indican con los siguientes polinomios:

122722346 xxxxxxp

123235 xxxxxq

12 xxxr

43 xxs

a) )()( xqxp

b) )()( xsxq

c) )()( xsxr

d) )()( xrxq

e) )()( xrxp

f) )()( xsxp

g) 2)(xr

h) 2)(xs

4. Realiza los siguientes productos:

a) 2222 xxxx

b) baba 33

c) yxyx 3636

d) xxxx 3322

5. Dados los polinomios siguientes 3

12)(;5710)(

2 xxqxxxp calcula:

a) )()( xqxp

b) )(3)( xqxp


c) 2

)(xq

d) )()( xqxp

e) )(:)( xqxp

6. Realiza las siguientes divisiones:

a) xxxx :63 245

b) 2234 2:6126 xxxx

c) 335 5:1015 xxx

d) 2:723 45 xxxx

e) 1:147 xxx

f) 2:636 256 xxxx


7. Usando la regla de Ruffini, divide el polinomio 4256)( 35 xxxxp por los

divisores que se indican. Además, utiliza el teorema del resto para comprobar que el resto

obtenido es el correcto:

a) x-1

b) x+2

c) x-5

d) x+3

e) x-3

f) x+4

8. Sin necesidad de efectuar la división, halla el resto de las siguientes divisiones:

a) 1:49 xxx

b) 2:43 56 xxxx

c) 3:1432 25 xxxx

d) 1:10132 23 xxxx

e) 2:6423 xxxx

f) 2:44 234 xxxxx


9. Utilizando el valor numérico, halla el valor de m en los siguientes polinomios sabiendo

que se verifica:

a) mxxx 23 3 es divisible por x-1

b) 1055 23 xmxx es divisible por x-2

c) 2810302 234 xxmxx es divisible por x+1

10. Calcula las raíces de los siguientes polinomios:

a) 252 x

b) 162 4 x

c) 646 x

d) 24 366 xx


11. Factorizar los siguientes polinomios:

a) 322 xx

b) 862 2 xx

c) xx 33 3

d) 44 23 xxx

e) xxxx 22 234

f) xxxx 6363 234

g) 253 234 xxxx

h) xxxx 8126 234

i) 423 xx

j) 122 23 xxx

k) 1243 23 xxx


12. Calcula dos polinomios de segundo grado que tengan como raíces 3;2

121 xx .

13. ¿Qué número m se ha de añadir al polinomio xxx 52 23 para que sea divisible por …..?

a) 3x

b) 5x

c) 4x

d) 3x

14. Calcula el valor de m para que las divisiones siguientes sean exactas:

a) 1:2 23 xmxxx b)

2

1:2352 23 xmxxx


15. Halla un polinomio de primer grado que al dividirlo por 1x dé de resto 1, y al

dividirlo por 2x dé de resto 7.

16. Determinar los coeficientes a y b para que el polinomio baxx 35 sea divisible por

11 xx .

17. Calcula, de dos formas distintas, el valor de m para que el polinomio

213)( 23 xmmxxxp sea divisible por 2x .


18. Halla el polinomio de segundo grado que satisfaga las siguientes condiciones

simultáneamente:

a) el coeficiente de segundo grado es -2

b) es divisible por 3x

c) al dividirlo por 2x el resto es -10.

19. Realiza las operaciones que se indican:

a) 512

3

1

22

xxx

x

b) 2

2

3

12

x

x

x

x

c) 32

2

3

72

xx

x

x

x

d) 2

123

5

x

x

x


e) 151

12

2

3 2

x

x

x

x

xx

f) 1

8

2

5

2

17

652

12223

xxxx

x

xxx

x

g) xxx

x

x

x

2

7

2

32322

h) x

xx

x

x

x

x

2

1

2

3

3

5 2


ECUACIONES

1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

a) 156

5

4

3

2

xxx

b) 03

3

2

2

1

1

xxx

c) 3520

53

15

2

xxx

d) 21

65

10

7

14

15

20

113

xxxx


e) 6

9

4

1

13

41

8

173 xxxx

f) 21

65

10

7

14

15

20

113

xxxx

g) 6

9

4

1

13

41

8

173 xxxx

h) 2

1

22

2

31

xxx

i)

6

32

4

45 xx

j) 57

24

4

17

6

35

xxx


2. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) 01872 xx

b) 0181532 xx

c) 0742 xx

d) 0282172 xx

e) 02872 x

f) xxx 32

g) 33

32

3

1622

xxx

x

h) 0812 x

i) 05

43

2 xx

j) 25322x

k) 02

3

2

1 2 xx


l) 02332 xx

m) 3

43

3

44 22

x

xxxx

n) 4

1234

2

22

xxx

x

3. Resuelve las siguientes ecuaciones de grado superior:

a) 0423 xx

b) 0123 xxx

c) 01243 23 xxx

d) 021266 23 xxx

e) 0652 23 xxx

f) 02016 234 xxxx

g) 02552 34 xxx

h) 44 23 xxx


i) 253 234 xxxx

j) 122 23 xxx

4. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:

a) 03613 24 xx b) 022534 24 xx

c) 042925 24 xx d) 098 24 xx

5. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:

a) 4

5

1

2

1

2

x

x

x

b) 2

11

1

412

xx

x

c) x

x6

5

d) xx

x

x

x

x

x

2

1101

1


e) 1

12

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

f) 423

x

x

6. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:

a) 74 x

b) 125 2 xx

c) 8105 xx

d) 034 xx

e) 11 xx

f) xx 236

g) 6412 xx

h) 7825 xx

i) 1327 xx

j) 4272 xx


7. Amelia tiene el triple de edad que su hermano Pedro, pero dentro de 5 años solamente

tendrá el doble de edad. ¿Cuál es la edad que tiene actualmente cada uno de ellos?

8. Beatriz tiene 8 años más que Carlos, y hace 2 años tenía el doble de edad que él.

¿Cuántos años tienen actualmente cada uno de ellos?

9. En un examen tipo test compuesto de 40 preguntas, era obligatorio responder a todas

ellas. Cada pregunta acertada valía un punto, pero cada fallo restaba medio punto. Averigua

las preguntas que acertó Miguel sabiendo que su puntuación total fue 32,5 puntos.

10. Un taller de confecciones gana 0,75 € por cada par de calcetines que entrega a la venta,

pero pierde 2,50 € por cada par defectuoso. ¿Cuántos pares válidos y cuántos defectuosos

ha producido en una jornada de trabajo si en total ha fabricado 700 pares y ha obtenido un

beneficio de 382 €?

11. Calcula las dimensiones de una parcela rectangular sabiendo que es 25 m más larga que

ancha y que el perímetro mide 210 metros.


12. Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5.

Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 metros cuadrados.

13. Un grupo de amigos va a cenar a un restaurante. Cuando van a pagar observan que si

cada uno pone 20 € sobran 5 €. Sin embargo, si cada uno de ellos pone 15 €, entonces faltan

20 €. ¿Cuántos amigos fueron a cenar y cuál fue el precio de la cena?

14. En una empresa obtienen 6 € de beneficio por cada envío que hacen; pero pierden 8 € si

el envío es defectuoso. En un día hicieron 2.100 envíos, obteniendo 9.688 € de beneficio.

Calcula los envíos válidos y los envíos defectuosos que hicieron ese día.

15. Encuentra tres números impares consecutivos cuyos cuadrados sumen 5.051.

16. Los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética con 5 cm. de

diferencia. Calcula el perímetro y el área de ese triángulo.


INECUACIONES

1. Resuelve las siguientes inecuaciones:

1) xx

13

1

2) 2

1

8

x

3) 212

13

6

1

4

xxx

4) 2

41

5

1

xx

5) 3520

53

15

2

xxx

6) 2

2

3

31

xxx

2. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

1) 062 xx

2) 0962 xx

4) 028217 2 xx


5)

2

1

4

11

3

1232

xxxx

6) 023

1

23

12

2

232

xxxxx

3. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas:

1) 065 23 xxx

2) 01243 23 xxx

3) 02016 234 xxxx

4) 0192 xx

5) 045 24 xx

6) 044 4 x


4. Soluciona las siguientes inecuaciones fraccionarias:

1) 02

4

x

x

2) 042

2

xx

x

3) 03

12

x

x

4)

01

322

x

x

5. Representa las soluciones de las siguientes inecuaciones con dos incógnitas:

1) 6 yx

2) 1427 yx

3) 0 yx

4) 5

1

2

3

5

2

yx


6. Resuelve las siguientes inecuaciones:

1) 022x

2) 04122 xx

3)

03

132

x

x

4) 0123 xxx

5) 3

2

3

1

xx

6) 086 234 xxx


SISTEMAS

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas:

a)

864

832

yx

yx b)

464

832

yx

yx c)

10849

623

yx

yx

d)

1028

2756

yx

yx e)

1034

2756

yx

yx f)

1067

254

yx

yx

g)

133

23

124

yx

yxyx

h)

5

1

1

4

11

y

x

y

x

i)

25

32

05

2

3

1

yx

yx


2. Soluciona los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas:

a)

1

42

yx

yx b)

22

6

yx

yx

c)

48023

3002

yx

yx d)

22

42

yx

yx

e)

22

42

yx

yx f)

22

42

yx

yx

g)

3042

556

yx

yx h)

3062

335

yx

yx


3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales con dos incógnitas:

a)

82

8 2

yx

yx b)

90

9

yx

yx

c)

3

1022

yx

yx d)

24

5522

yx

yx

h)

8

10

22

22

yx

yx j)

3

6

xyy

yxx


4. Resuelve los siguientes sistemas usando el método de Gauss:

a)

42

1322

2

zyx

zyx

zyx

b)

62

62

73

zyx

zyx

zyx

c)

125

03

422

zyx

zyx

zyx

d)

332

4424

3243

zyx

zyx

zyx


e)

72

042

432

zyx

zyx

zyx

f)

1632

5223

1

zyx

zyx

zyx

g)

12

2

6

zyx

zyx

zyx

h)

0247

1523

12352

zyx

zyx

zyx


i)

253

32

zyx

zyx

j)

053

02

zyx

zyx

k)

2

12

5

yx

zx

zy

l)

25

02

12

zx

zyx

zyx


EJERCICIOS REVÁLIDAS

1. Se considera el sistema:

5

93

3359

zyx

zyx

zyx

a) Resuélvelo y clasifícalo en función del número de soluciones. (2 puntos)

b) Determina si es posible, o no, eliminar una de las ecuaciones de forma que el sistema

que resulte sea equivalente al anterior. Razona la respuesta. (1 punto)

2. La distancia de tres playas (A, B, y C) del lugar de veraneo de una familia es tal que el

doble de la distancia a A es el triple de la distancia a B. La suma de las distancias a A, B y

C es de 90.000 m, y el doble de la distancia a B más el triple de la distancia a C menos la

distancia a A es igual a 130.000 m.

¿Cuál es la distancia a cada playa? (3,5 puntos)

3. En la lista de precios de una cafetería figura la siguiente información:

- Cuatro cafés y un bocadillo cuestan lo mismo que cinco refrescos.

- Cuatro cafés y tres bocadillos cuestan lo mismo que diez refrescos.

- Dos cafés, un refresco y un bocadillo cuestan 9,50 €.

Calcular el precio de cada uno de los productos. (2,5 puntos)

4. Por un helado, dos horchatas y cuatro batidos, nos cobraron un día 1.700 ptas en una

heladería. Otro día, en esa misma heladería, por cuatro helados y cuatro horchatas nos

cobraron 2.200 ptas. Un tercer día tuvimos que pagar 1.300 ptas por una horchata y cuatro

batidos. Razona si hay motivos, o no, para pensar que alguno de los días nos presentaron

una factura incorrecta. (3,3 puntos)

5.) El señor Gómez deja a sus hijos en herencia su fortuna con las siguientes condiciones:

- El mayor recibirá la media aritmética de lo que reciban los otros dos más 30.000 €.

- Al mediano le deja la media aritmética de lo que reciban los otros dos.

- El pequeño recibirá la media aritmética de lo que perciban los otros dos menos 30.000 €.

Calcula lo que ha heredado cada uno de los hijos. (3,3 puntos)

6. Con 450 gramos de medicamento se fabricaron 60 pastillas de tres tipos: grandes,

pequeñas y medianas. Las pastillas grandes pesan 20 gramos, las medianas 10 y las

pequeñas 5 gramos. Si el total de pastillas grandes y medianas es la mitad del número de

pastillas pequeñas, ¿cuántas se fabricaron de cada tipo? (3 puntos)


FUNCIONES

1. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a) 53)( 23 xxxxf h) 1

)(2

2

x

xxf

b) 214

153)(

2

xx

xxf i) 22)( 23 xxxxf

c) 32

52)(

2

xx

xxf j)

9

2)(

2

x

xxf

d) 3)( xxf k) 4

1)(

2

x

xxf

e) 4)( 2 xxf l) xxxf 7)( 2


f) 65)( 2 xxxf m) xx

xxxf

4

12)(

2

2

g) xx

xxf

2

72)(

2

n)

2

1)(

x

xxf

2. En cada caso, dibuja la gráfica de la función, calcula su dominio y su recorrido, estudia

su continuidad y el crecimiento y decrecimiento:

a)

01

01)(

xsix

xsixxf

b)

0

0)(

2

xsix

xsixxf

c)

24

24)(

2

xsix

xsixxf

d)

2

22

22

)( 2

xsix

xsix

xsix

xf


e)

33

339

32

)( 2

xsix

xsix

xsi

xf

f)

23

203

03

)(

2 xsixx

xsi

xsix

xf

3. Dadas las funciones xxxf 2)( 2 y 45)( xxg , calcula:

1,,,, gfggfgfgf

4. Dadas las funciones 12)( 3 xxxf y 34)( xxg , calcula:

1,,,, gfggfgfgf


5. Dadas las funciones 1

1)(

2

xxf y 4)( 2 xxg , calcula:

11 ,,,,, gffggfgfgf


12)(

x

xxf y 32)( xxg , calcula:

11 ,,,,, gffggfgfgf


23)(

x

xxf y

2

1)(

x

xxg , calcula:

A) El dominio de ambas funciones

B) Sus funciones inversas

C) fgygf .


FUNCIONES Continuidad Funciones a trozos

1. Representa las hipérbolas siguientes y señala las asíntotas que presentan cada

una de ellas:

a) 3

1)(

xxfy

b) 2

1)(

xxfy

c) 21

1)(

xxfy

d) 13

1)(

xxfy


2. Realiza el estudio analítico de la continuidad de las siguientes funciones a trozos:

a)

21

262

)(

2

xsix

xsix

xx

xf

b) 3)( xxf

c) 6)( xxf

d)

13

5

113

7

13

)(

3

2

xsix

xsix

xsix

xf

e) 1)( xxxf


f)

12

11

1

)(

2

xsix

xsix

x

xf

g) 4)( 2 xxf

3. Halla el valor de los parámetros para que las funciones a trozos dadas sean continuas:

a)

02

01

62

)(

2

2

xsiax

xsix

xx

xf

b)

35

30

01

)(

2

xsix

xsibax

xsix

xf


c)

01

04

43

)(

2 xsix

xsibax

xsix

xf

d)

12

12)(

xsibx

xsiaxxf


FUNCIONES Límites

1. Calcula los siguientes límites:

1) 1

32lim

2

2

0

x

xx

x

2) 32

1lim

3

1

x

x

x

3) 2

1lim

21

x

x

x

4)

13 2

2

1lim

x

x

5) 5

12

2

3lim

x

x

x

6)

x

x x

x

23

64lim

2

2

7) 1

1lim

2

1

x

x

x

8) 2

86lim

2

2

x

xx

x


9) 20

1lim

x

x

x

10)

x

x

x

11lim

2

1

11) 82

43lim

2

2

4

xx

xx

x

12) 82

43lim

2

2

xx

xx

x

13) 75

123lim

3

x

xx

x

14) xx

x

x 42

2lim

22

15)

23

11lim

2

x

x

xx

16)

x

x

x

82lim

3

0

17) 4

3 1lim

x

x

x

18)

x

x

x

11lim

2


19) 9

124lim

2

25

x

xxx

x

20) 1

1lim

3

6

1

x

x

x

21) 52

86lim

2

2

x

xx

x

22)

1

1

1

2lim

21 xx

x

x

23) 22

1lim 2

2

x

x

x

x

24) xxx

1lim 2

25) 11

3lim

0 x

x

x

26) 31

lim

xxx

27) 23lim 22

xxxx

28) 11

lim0 x

x

x

29) 14

42lim

4

2

x

x

x


30) 22

2lim

2

x

x

x

31) 1

13lim

6

2

x

xx

x

32) 3

9lim

2

2

3

x

x

x

33) 1

2lim

4

3

x

x

x

34) 1lim 22

xxxx

35) 1

2lim

2

2

1 x

x

x

36) xxx

1lim 2

37) 2

825lim

2

23

1

xx

xxx

x

38) 1

lim3

2

1 x

x

x


39) 5

23lim

2

3

x

xx

x

40)

5

2

5lim

22

x

x

x

x

x

41) 35

63lim

22

x

x

x

42) xx

x1

021lim

43)

x

x x

31lim

44)

x

x x

x6

2

2

73

3lim

45) 2

2

2

32

12lim

x

x xx

x

46) 1

2

123lim

x

xx

47) 1

3

2

2

2

2lim

x

x

x x

x

48)

x

x x

x4

2 1

21lim

49) 1

1lim

2

3

1

x

x

x


50) xxxx

242lim

51) xxx

x 3

1

0

212lim

52) x

x

x x

x1

2

2

2

1lim

53) 1342lim 22

xxx

54) 5252lim

xxx

55) xxxx

4416lim 2

56) xx

xxx

x

2

3

0

2lim

57) 12

44lim

2

2

2

xx

xx

x

58) 6

35

0lim

x

xx

x


59) 44412lim 2

xxxx

60) x

x

x 3

13lim

2

61)

1

22

1

3lim

21 x

x

xx

62)

xx

x

x

x

x 21

1

1

1lim

63)

xxx

1

2

1lim

2

64) 2

1

2

22lim

x

x x

x


2. Estudia la continuidad de las siguientes funciones a trozos y clasifica sus

discontinuidades:

1)

03

32

01

12

)(

2

xsix

xx

xsix

x

xf

2)

02

86

02

1

)(

2

xsix

xx

xsix

xf

3)

01

1

02

4

)(

2

3

2

xsix

x

xsix

x

xf

4)

121

11

)(

1

2

xsix

xsix

xx

xf

x


DERIVADAS

Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

2

2

2

2 2

3

2 4

3 3 3

2 32

1. ln 1 2. ln 3. ln 1

24. 5. ln 1 6. 7.

22 1

8. 9. 10. 11. 12. 10

113. 3 14. ln 15. 3 1 16. ln

1

117. ln cos 2 18.

1

n

x xx

axx x nx x

xxx

x

xy x y y x x

x a

x e ey ln y x x y e y

x

ey e y x e y y a y

x

ey x y y x y senx

e

senxy x y

senx

2

1 cos19. ln

1 cos

20. cos 21. 2 22. 2 32

123. 3 24. 25. 2

1

x

xy

x

xy e y senx sen x y arcsen x

xy arctag x y arctag y cotag a x

x

33

2

2 23

2

126. 27. ln cos3 28.

3

1 129. 1 30. 31.

1 332. log 33. ln 34. ln 2 35. ln 1

1 2

ln ln36. 37. ln 38. 39. cos 3 4 1

4

ax

senx

y e sen x y x y tag x tagx x

by x arcsen x y arctag tagx y x

x ab a

x xy y y x x y x x

x x

x xy y x x x y y x x

x x

5 2 2

2

2

0. 41. 4cos 2 1 42. cot 4 43. cot 4

1 144. sec5 45. 3 46. cos 47.

1 ln

48. 49. ln 2 50. 51.21

senx

y tag x y x y ag x y ag x

xy x y sen x y y arcsen

x x

x xy arctag y arcsen x y tagx y sen senx

x


Soluciones:

2

2

24

2 2 2 2

3 2 3

2

2

2 3

2 1 2 5 1 11. 2. 3. 4. 5. 6.4

2 1 2 2 11 1

2 17. 8. 2 9.3 1 10..

2 2

1 1 211. ln 12. 10 ln10 13. 3 4 ln 3 14.

12 2

3 2 315. 3 1 2ln 3 1

3 1

x

axx xx x

xnx x x

x

x

x a x xe

x x x xn x x x a x

e axe ex e x e x

x x

en a a x x

ex x

xx x

x

2

4 2 2

24

22 2

116.cot 17. 2 2 18.

1

1 1 219. 20. cos 21.cos 2 2 cos 2 22.

2 2 2 1 2 3

6 1 223. 24. 25. 26. cos 27. 3

1 9 1 2

1 1 128. 29. 30.

1 1

x

ax

gx tag xsenx

x xe sen x sen x senx x

senx x

xe asen x x tag x

x x sen a x

x tag xtag x arcsen

x ax x

2 2

2 22

2 2

31. cos ln

1 1 2 232. 33. 34.2 ln 2 35.ln 1

1 ln10 3 2 2 1

senx senxx x x

b tag x x

x xx x x

x x x x x

2

2

2 4

2

2 2

2 2 2

2 2

1 ln 2 ln36. 37.ln 38. 39. 6 4 3 4 1

2

1 140. 1 41. 40cos 2 1 2 1

2 cos 2

8 8cot42. 8 1 cot 4 43. 44.5sec5 5

4 4

3cos3 2 1 145. 46. 47.

12 3 1 ln ln 1

x xx x sen x x

x x x

tag x x sen xx x x

x agxx ag x x tag x

sen x sen x

x xsen

xsen x x x x x

2

22

148.

1

1 149. 50. cos ln 51.cos cos

2 cos4

senx

x

xtagx x tagx senx x

x xx


TRIGONOMETRÍA

1. ¿Es cierta la siguiente igualdad trigonométrica?

x

xsenx

xtg

senx

coscos

2

22

2. Si cosec α = −3 y π < α < 3π/2, encuentra el valor de las restantes razones

trigonométricas del ángulo α. 3. Si tg α = 1/2 y 0 < α < π/2, calcula de forma razonada las siguientes

expresiones:

a) sen α y sec α

b) tg (π + α), sen (π −α) y cotg (−α)

4. ¿Para que valores de x se cumple la siguiente igualdad? 14

tg

x

5. Resuelve un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 5 cm y uno de los

ángulos agudos 30º.


6. La distancia en línea recta entre dos puntos P y Q es de 70 metros. El mástil de una bandera se encuentra anclado en el punto Q, y la parte más alta se observa desde el punto P bajo un ángulo de 60º. Determina la altura del mástil.

7. ¿Qué ángulo del segundo cuadrante verifica la ecuación 2

1tgcos xx ?

8. Dos individuos distantes entre sí 68 metros y situados en la misma orilla de un

río, observan un nido en la copa de un roble, situado en la orilla opuesta. Uno de los individuos sabe que dista 44 metros del nido y también que, desde éste, las visuales a ambos observadores forman un ángulo de 140º. Determina los restantes elementos del triángulo que se forma.

9. Resuelve un triángulo del que conocemos dos lados, uno mide 10 cm y el otro 8

cm, y el ángulo comprendido entre ellos que es de 45º.


10. Si tg α = −2

5 y π/2 < α < π, encuentra el valor de las restantes razones

trigonométricas del ángulo α. 11. Calcula el lado desigual de un triángulo isósceles si los otros dos lados miden 12

cm y el ángulo desigual es de 120º. 12. Calcula de forma razonada las siguientes expresiones:

a) sen 510º b) cos (−750º) c) tg 31π/6

14. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

1cos

22

2

yx

ysenx

15. Justifica la siguiente igualdad:

gtg cot2


16. Hallar razonadamente las razones trigonométricas del ángulo de 2655º.

17. Calcula el seno, coseno y tangente de un ángulo del tercer cuadrante del que se

sabe que su cosecante es igual a -2.

18. Calcula razonadamente:

a)

5cos

arcsen

b)

3

7cosarccos

c)

3

7arccos

sen

d)

2

1arccos2cos

e) 4cos arctg f) 22arctgtg

g)

2'0arccos

2

1cos

SOLUCIONES


19. Halla las razones trigonométricas de los ángulos de 105º, 15º, 75º y 315º.

20. Deduce las fórmulas que permiten expresar

22cos,

2

xtgyxxsen ,

en función de 𝑠𝑒𝑛𝑥, 𝑐𝑜𝑠𝑥,𝑦 𝑡𝑔𝑥.

21. Simplifica las siguientes expresiones:

a

a

a

asen

cos

cos1

cos1

2

2

asen

senaaa

sen

2

12

cos2

2


a

asen

a

asen

cos

2

cos1

2

2

xxxx

xsenxsenxsensenx

7cos5cos3coscos

753

a

atgasen

cot

2

ba

ba

senbsena

senbsena

coscos

coscos

aa

asenasen

4cos2cos

42


22. Demuestra las siguientes identidades:

abbasenbasen 22 coscos

baba

bababa

secseccsccsc

csccscsecsecsec

x

xsenx

xtg

senx

coscos

2

2 2

xsenctgxtgx

2

2

tgbbasenbasen

baba

coscos

1

1

ctgbtga

ctgbtga

basen

basen


2cos2cos1 2 x

x

xxctgxtgxctg 2csc2422

atgatgatg 2244

23. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

01cos244 xxsen


36

cos6

4

xxsen

xsenxsenxx 356cos2cos

3cos22

4

x

xsen


xx

tg sec12

82

xsenxxxsenx coscoscos


24. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigonométricas:

2

13

2

13

senysenx

senysenx

2

3

2cos

2

3

yx

senysenx

0

0coscos

seny

yxyxsen


NÚMEROS COMPLEJOS

1. Efectuar las siguientes operaciones:

5 + 7 i + 5 – 7 i =

1 + 3 i + 2 + 5 i - (3 – 2 i) =

2 + i + 1 + i - (2 + 3 i + 5 – 2 i) =

2. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 4 – 8 i - (x + 2 i) = 4 – 9 i

b) x + 2 i - (2 – 5 i) = 7 – 3 i

3. Determinar para qué valores de x son reales las siguientes expresiones:

a) 2 + x i b) 1 - (x - 2) i

4. La suma de dos complejos conjugados es de 18 y la diferencia es 4i, ¿cuáles son dichos

complejos?.

5. El producto de dos complejos conjugados es de 80. Si la componente real es 4, ¿cuál es

la otra componente?.


6. Pasar los siguientes complejos a la forma polar:

8. Hallar el complejo z en cada uno de los siguientes casos:

9. Determinar los conjugados y opuestos de los siguientes complejos:

a) z1 = - 4

b) z2 = 2 i

c) z3 = i43

1

d) z4 = i6

1


10. Dados los números complejos:

11. Expresa los siguientes complejos en la forma a +bi:

a)

b)

c)

13. Verifica las siguientes igualdades entre complejos:

a)

b)

c)


14. Escribe en forma polar el resultado del cociente: 2

85

i

ii

15. La suma de las partes reales de dos complejos conjugados es 6 y el módulo de uno de

ellos es 5. Calcula ambos números.

16. La suma de dos números complejos es 3 i y la parte real de uno de ellos es 2.

Determina dichos números sabiendo que su cociente es imaginario puro.

17. Calcula m y n para que se cumpla la igualdad: 4 2

36 2

m i

nii

.

18. Calcula las partes reales e imaginarias de:

a) 3 2

2

i

i

b) 1

1 5( ) i


c) 4

1 3

i

i

d) 1 3

2

i

i

e) 3 2

2 3

i

i

f) 5 5

3 4

i

i

g) 1

2 3

2

1 3

5 2 3

2 3

i i

i

i

/

h) ( )( )1 1 i i i

i) ( )( )5 1 5 i i

j) ( )2 5 3 i

k) ( )3 2 3 i

19. Sean z y w dos números complejos cualesquiera. Comprueba la igualdad z w z w ___

.


19. Dados los números complejos z14

5 , z2 152 º y z i3 4 , calcula

a) z z3 2

b) z

z

1

2

2( )

c) z z

z

1 2

3

3

d) z z1 2

e) ( )

( )

z

z z

1

3

2 3

2

f) zz

z3

1

2

20. Sea i

ikz

2. Calcula el valor de k para que iz 2 .

20. Sea z i ki ( )( )3 6 4 . Calcula el valor de k para que z sea un número imaginario puro.

21. Sea z i ki ( )( )3 6 4 . Calcula el valor de k para que z sea un número real.


22. Sea z 3 i . Calcular:

44z)d z)c

z

1 b) z)a

24. Representa gráficamente las soluciones de las ecuaciones:

a) 01342 xx b) 016

2 x

25. Halla los módulos y los argumentos de los números complejos:

a) 4 – 3 i

b) 5 +1 2 i

c) – 3 +3 i

d) 2 4i

26. Expresa en forma binómica los siguientes complejos:

a) 7120º

b) 2 6/


c) 33 4/

d) 5135º

27. Determina la forma polar de los números:

a) 2 3 2 i

b) 3 3 3 i

c) 4 4i

d) 7 7 i

28. Escribe en forma binómica el cociente de los números 6120º y 3 3/ .

29. Halla el módulo, el argumento y después la forma binómica de cada uno de los

siguientes números complejos:

a) 3 245 15º º

b) 1 2 333 16 41º º º

c) 5 323 97º º

d) 9 337 97º º:


e) 2 1106 61º º:

f) 6 221 24 º º:

g) ( )º º2 325

3

15

h) ( ) :( )º º2 451

4

72

2

i) ( ) :( )º º1 245

18

90

3

30. Calcula el resultado de las siguientes operaciones, y escríbelos en todas las formas que

conoces:

a) ( )( )1 1

2 2 3

5

i i

i

b) 2

1 3

2

1 3

2

1

i i i

31. Escribe en todas las formas que conoces las soluciones de la ecuaciones:

a) x i x2 2 0 b) x i x x3 22 2 0


c) x2 2 0 d) x x3 3 0

e) x x2 1 0 f) x x2 4 13 0

g) x x2 2 5 0 h) x x2 2 2 0

i) 012 zz j) z

z ii

3

21

k) z

i

z

i2

1

4 23

l)

z

i

z

ii

3 2 4 23


GEOMETRÍA ANALÍTICA

1. Determina la ecuación continua de la recta en los siguientes casos: a) Pasa por A(-1,3) tiene como vector director v(-3,2)

b) Pasa por A(3,1) y B(-2,4)

c) Pasa por M(2,-5) y tiene como vector perpendicular n = (-1,3)

d) Pasa por P(3,-2) y su pendiente es –3/2

e) Pasa por el punto P(-1,1) y su ordenada en el origen es –5.

f) Su pendiente es 3 y su ordenada en el origen es 2.

2. Dada la recta de ecuación 𝑦 = −3𝑥 + 5, obtén un punto de la recta y la pendiente.

Escribe todas sus otras ecuaciones. 3. De entre los siguientes pares de rectas, indica cuáles son paralelas, cuáles son

coincidentes y cuáles son secantes. Indica el ángulo formado por las rectas en cada caso.

a)

paralelas

yxs

yxr

0864:

032:

b)

57,71.sec

012:

0:

yxs

yxr

c)

laresPerpendicu

yxs

yxr

0432:

0523:


d)

04,59.

324:

012:

Sec

yxs

yxr

e)

69,78.

123

:

2:

Sec

yxs

xyr

f)

Paralelas

ty

tx

ty

tx

32

26

1

43

4. Dada la recta de ecuación 𝑦 = 𝑥 + 2 , calcula la ecuación de la recta paralela a ésta que

pasa por el punto (1,1).

5. Halla la ecuación de la recta perpendicular a la recta 3𝑥 – 𝑦 + 2 = 0 y que pasa por el

punto de corte de las rectas: 𝑥 = 1 𝑦 2𝑥 + 𝑦 = 0.

6. Halla la ecuación de la recta que corta a 2𝑥 – 3𝑦 = 6 en el punto de abscisa 6, y forma con ella un ángulo de 45

0.


7. Dadas las rectas 2

13:

y

a

xr y 𝑠 ∶

tx 3

ty 72 Determina el valor de “a”

para que las rectas sean:

a) PARALELAS B) SECANTES C) COINCIDENTES

8. Dadas las rectas 01)1( yaax y 022 ayax Determina el valor de “a”

para que las rectas sean:

a) Paralelas

b) Perpendiculares.

9. Halla la distancia del punto 𝑃(−2,0) a la recta 𝑟: 3𝑥 + 2𝑦 + 2 = 0.


10. Halla los valores de “𝒂” y “𝒃” en las recta 𝑟: 𝒂𝑥 – 𝑦 + 1 = 0 𝑦 𝑠: 7𝑥 – 𝒃𝑦 + 7 = 0

sabiendo que son paralelas y que 𝑟 pasa por el punto (1,2)

Halla la distancia entre 𝑟 𝑦 𝑠 11. Halla la ecuación de la recta mediatriz del segmento de extremos A(4,3) y B(-5,7) 12. Halla la ecuación de la recta mediatriz del segmento de extremos A(-2,3) y B(6,-5) 13. Halla el simétrico del punto A(2,3) respecto del punto P(5,4)


14. Calcular el simétrico del punto 𝑃(1,1) respecto de la recta 𝑦 = 3𝑥 − 7 15. Calcular el simétrico del punto 𝑇(1,5) respecto a la bisectriz del primer cuadrante. ¿Cuál será el simétrico de P(6,2)? ¿Y en general, cuál será el simétrico de P(a,b)?

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