.. UNIDADII

ELEMENTOS DE LOGICA. MA TEMA TICA . .

,

_.a ~

'Introduccl6n

-,Por muchOs'años el estudio de' la lóg'ica se consideró i'ndependiente de'10 matemática, siendo .así-que los lógicos eran. incapaces de simbolizar ,oseguir unraionamiento .simbólico y losmate~áticos ajenqs totalmentea. la ius~ificación de las técnicas que iban aprendiendo: los lógicos seremitían al estudio de los antiguos griegos Y ,los matemáticos a estudiosde las ciencias. .

\ . .Afortunadamente para todos, la evolución de ambos estudios ha lIe-o.gado.a tin punto en el que es imposible distinguir una frontera entre am-, bos,. separar lo que sería solamente lógica de lo que sería solamente'

matemática, a este respecto Bertrand Russell nos propone decidir,' en quépunto de las sucesivqs definiciones y' deducciones de su obra "PrincipiaMathematica" acaba la lógica y empieza la' matemática, siendo evidel1teque cualquier .respuesta. sería completamente arbitraria.. ' ,

Podemos considerar entonces a esta unidaq Gomo el primer y másimportante paso en el estudio 10rmal d,e los fundamentos de la matemá..tica, au.nque para cumplir nuestros' objetivos no profundicemos demasiadopor ese camin,o. '.' .

55

Objetivos generales

.,1

/

. Al término de esta unidad, el alumno:,.

1. - Distinguirá los principales métodos de la lógica.

2. Utilizará el lenguaje de conjuntos -visto en la unidad anterior-o pararepresentar simbólica. y gráficamente las proposiciones del lenguajeordinario. .

3. Simbolizará proposiciones dadas en el lenguaje común.

4. Traducirá proposiciones-en len~uOjesimbólico al °l~nguajecomún.

5. Aplicará los conectivoslógicos en las operaciones de la 16gica.t

6. Interpretará.el valor de verdad de proposiciones compuestas con ayu-da de diagramOasde Vet:'ln. .

56

"""'- --

Diagrama temático estructural

57

.Razonamiento- deductivo Razonamientoinducti,vo

Oración gramatic.alProposiciónY sus partes

Gráfi9a .de prop., simples-

Coniuntos y Diagramas Gróflca de proposiciónde Venn Abierta

I

Operaciones con con- Conjunción, disyunciónjuntos y conjunto com- negación , I

plemento

Leyes de DeMorgan

Cuantiflcadores

Negación de proposicióncon cuantificadores

Equivalencia lógica

Implicación

Conversa

Contra positiva Inversa

Doble Implicación

Silogismo Reglas deinferencia

Demostración a doscolumnas.

Glosario

.. - l'

. Razonaml~mto Inductlvo. Es ~I proceso de encontrar un principio genera1. basándoseen la presentación de hechos o casos especificos. '

Razonamiento deCIuctlvo. Es el proceso mediante el cual se hace uso deun principio general, aceptado como verdadero, para obtener una,conclusi6n en un.hecho.0 caso particular. ..' .

Postulado. Proposición acerca de obietós. bi~n definidos, la cual se aceptacomo verdadera. Los .postulados iunto a fas definiciones son los pi-'lores y puntos de partida de una teoria. . , .

Proposicl6n~ Es la oración gramatical cuyo significado forzosamente hade ser: "verdadero o falso". pero no ambos. a la vez..

Proposlcl6n simple. Es aquella que no, puede separ:(]rse en otras propo-siciones ,un'idas por uno o más conectivos 16glcos. . .

Proposición abierta. Es el. tipo de proPOsici6n que -contiene alguna varia-ble y un coniunto de reemplazamiento para ella.

Valor de verdad. Es la propiedad que tiene toda proposición: esto es: serverdadera o bien, ser falsa. SI la proposlcl6n es verdadera decimosquesu valor de verdades 1, y, si es falsa.su valor de verdades.O.

Conlunto de verdad.' Coniunto tomado por los elementos del conlunto dereemplazamientpde una proPOslci6nabiert(J y que la hacen verda-dera. . .'

Conectlvos í6gleos.Sirven para asociar dos o más' proposiciones. Estosconeqtlvosson "y", "0", "si. .. entonces". . . ,

Proposlcl6n compuesta.' Es una proposición form~da por dos o más 'pro...posicionesunidaspor.conectivos. '.'

Conluncl6n.'Proposici6n compuesta formada por 'dos proposiciones aso-claaas por elconectivo "y". '

Dlsyuncl6n. Proposición compuesta formada por dos pro'posiclonesaso-.cladas por el. conectlvo'''o''.,

Cuantlflcador universal. Expresl6n "paro todo x", que se apll~a a propo-siciones abiertas que con~lenenla variable x para Indicar referenciaa una totalidad de suletos.

Cuantlflcador exlstenclal. Expresi6n "existe un x tal que", que se aplicaa proposiciones abiertas que contienen la variable x. para afirmar laexl~tencia de algún suleto... . . .

Hipótesis. Es una'proposici6n que se toma como punto de partida de una... prueba. .', '

, Prop~slclones equivalentes. Son aquellasque tienen el mismovalor deverdad o el mismo coniunto de verdad.

Conversa. Si cambiamos el orden. de las pr9PQsiclonesd$lando en sulugar al conectivo, formamos una variante de la Implicación, a la

. que llamamos "conversa".Contra positiva. - q => - p es ,la "contraposltiva" de p => q.Inversa.,...,p => ,...,q es la "'inversa"de p => q. ,

Doble Impllcacl6n. OperaciQn binaria la cual con'ecta dos proposiciones. por el conectivo 16glco"si y s610sf". Es decir, es lo mismo que una

proposicl6n "Implica a la otra y-es implicada por ella". '

~

M6dul~ &

. OBJETIVOS ESPECIFiCaS

Al concluir el estudio de este módulo, el alumno: :1. Disti.nguirá entre razonamiento en que se empleen los métodos induc-

tivo Vdeductivo. .

Definirá con sus palabras la idea de proposición.

Distinguirá entre un conjunto de oraciones dadas cuáles son propo-siciones. '.

Construirá proposicio'nes 'simples V proposiciones abiertas dando suvalor de verdad o conjunto de verdad. .

Graficará, mediante diagramas de Venn, proposiciones simples Vabiertas identificando su valor de verdad o conjunto de verdad.

2.3.

4.

5,

ESQUEMA RESUMEN

Método~ de la lógica:

. - Inductivo.

- Deductivo.

-:- AnaI6gico.'

Proposiciones simples V' abiertas:

- Proposiciones simples.- Valor de verdad. .

- Proposicionesabiertas.- Conjunto de verdad.

- Gráficas de proposiciones.

59

Induccl6n y deduccl6nt ,

La lógica tiene por obleto facilitarnos el camino para llegar a la verdad,utilizando para ello el método raciona'l que procede en dos formas, laformaInductlvay la formadeductlva.' ,

Lá forma Inductlva es el proceso de encontrar un principio general~basándose en la presentación de hechos o casos especfflcos; tiene' suaplicación principalcomo método de descubrimi,ento.por elemplo: Eduardofue enviado a la Dirección de la Escuela durante cuatro dios seguidospor llegar tarde a clase~Cuando llegó tarde el quinto dfa concluyó: "me.enviarán a la DlreccI6n". Usó un razonamiento Inductlvo al concluir quelo enviarfan a la Dirección por el hecho de que asf .habfa sido .durantecuatro dios. es decir. que basado en hechos. generalizó que asf sucederfasiempre. . '

Sin embargo, eLrazonamiento Inductlvo no siempre Qonducea resul.todos exactos y debe usarse con precaución; toma siempre como base unasuposición por lo que. aunque sus conclusiones representan 'un. razona.miento.Inteligente, no son conclusiones probadas.. La formadeductivoes el proceso medianteel cual una persona usaun principio general. aceptado como verdadero.para obtener una con.clusión en un caso o hecho particular: algunas veces a la conclusl6nmisma se le llama deducción; elemplo: Es principio general aceptado quea todo alumno que llega tarde a clase se le envio a la Dirección de"laEscuela: en un caso particular. Eduardo llega tarde a clase por 1.0queconCluye:"me van a enviar a la DlreccI6n". Ahora usó un .razonamlentodeductl\to, pues aceptando el 'prlnclplo como verdadero. razoo6 a partirde él 'para sacar una conclusión en su .caso particular.,

"Deducir es razonar en Matemática". Efectivamente. el' razonamientomatemático es eminentemente deductivo y los principios en los que seapoya son de dos tipos: los.Postulados y las Deflnlclon,.. Tanto los POI-tulados como las Definiciones son Principios Generale. que aceptamoscomoverdaderos. . .

Proposicionessimplesy abiertas. . .

En matemática,al Igual que en el lenguale coman,tenemosque tratarconoracionesen lasqueexistela posibilidadde decidirsi sonverdaderas

. Q son falsas. Paraque esto sea posible,las orQclonesusan términososJmbolosque tienen un significado Canlcoy bien definido; cuando' se tratade un~ oración abierta, como se definióantes en conluntos. la oracl6ndebese.ro falsa o verdadera,péro no ambascosas,con cada valorques~ asigne a la variabletomadode su conluntode reemplazamiento.A las'oracionesde lasquese puededecirsl.sonverdaderaso sonfalsas.'abler.tos o ne, se les .lIamaproposlclor.es.Ejemplode oracionesque 80n pro-posiciones: ",

1.' '~xes un.número Impar:x E:N".Es proposiciónporquecon cadanCl.mero natural que se reemplacea la "x" la oracl6nseró, o falso-o

, verdadera. . .

m

/

i'.

2. Un triángulo equllátero es Isósceles. (Falsa).3. 3 + 9 = 6x~x e: N: (.proposición),por lo mismo que en el ej..No.l~4. 9 es un factor de 27. (Verdadera)Proposición.5. Mont,rrey es' un estado de la República Mexicana: (Falsa}.

. '"

Elemplode oracionesqu_eNO Ion proposiciones porq,ueno se puede decir'de ellas que sean falsas o verdaderas.,~ ,.' ,

a) 2x'+ 5 = x - 1: (No. se da conlÚnto de reemplazamiento para 'la-va-. rlable por lo que no hay modo de decidir cuándo sea falsa o cuándo

sea verdadera). -,b) Juan tiene 21 años. (No se define' de qué Juan se trata, por lo que no

se puede decidir si es falsO o verdadero). , .c) "y" es un número Impar. (No se da conlunto de ~emplazamlento para

la variable "y".Observando los elemplos anteriores, podemos clasificar a las propo-

sl.clones e,n dos tipos. " .

A aquellas proposiciones de las que Inmediatamente se puededecir si son verdaderas,o son falsas las UamaremosProposlclo-nel Slmplelr De e,lIas se dice que tienen un valor de verdad,Verdaderoo Falso.' ,.

El otro tipo de'proposición es aquella que tiene arguna variabley un conl'untode reemplazamientopar(l ella. A éstas las llama-remos.Propollclonel Ablertal, y de ellas se dice que tienen unconlunto de verdad, el cual es un subconlunto de su conjunto dereemplazamiento.El conlun.o de verdad lo forman los elementosque,hacen que,la proposición sea verd~dera.

De acuerdo con lo anterior, a cualquier proposición abierta se le con-vierte én' proposición simple al asignar para la variable un elemento delconlunto de reemplazamiento.Elemplo: . .. ,

"x es un n~mero Impar; x e: N". Esta es una Proposlcl6n abierta ytiene un conlunto de,verdad q4e es ,el de los n~meros Impares,el cual esun subconlunto del conlunto de .Ios números naturales, su conjunto,dereemplazamiento.SI tomamos de "N'~el número 7 para 'reemplazarla x, laproposlcl6nqueda como "7 es un número Impar" de la que Inmediatamentepodemosdecir que es Verdadera.SI tomamosel 28,dlrfa "28 es un namero'Impar". Falsa. - . - ' . , ",

NOTA:Númeroparesaquelqueal dtvldlrloentredosda residuo= O. .-

NúmeroImpar,es aquelqueaJdlvldlrloentredos da un residuo= 1. '

Gr6tlca de propollclone. ,-

Los proposiciones simples son oraciones declara~lvasque tlenén un sujeto'. y un predicado,.No tienen'componentesunidos por conlunclones'como "V",

"0", "sl .. ,.entonce.s", Yfgeneralmente usan el verbo ser:: esto últimofacilita que se puedan re-escribir o modificar 'para decl,rque un 'suje~o,es

81

o no' es, elemento de cierto conjunto, y representar esto por medio de undiagrama de Venn. Es decir, podemos emplear el lenguaje de conjuntostonto simbólico como grófico visto en lo Unidad I poro nuestros proposi-ciones en el lenguaje ordinOrio. . .

Eiemplo a): "6 es "unnúmero por" puede reescribirsecomo "6 es un elemento del conjunto de números

, pares" y. graficar lo. proposición como se muestroen lo figuro.

Eiemplob): "Todo hombre es mortal" se. re-escribecomo "El conjunto de todos los hombres es un sub-conjunto del conjunto de todos los mortales".

Lo gráfico de lo proposición abierto es el diagrama de Venn repre-sentando 01 conjunto de reemplazamiento y su subconj'Unto el coniuntode verdad; también llamado conlunto solución.

Elemplo a): "x es un número por; x E: N'\

62

Elemplo b):-/Ix es un múltiplo de 4; x e: N".

-- - - - '...

PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACION H-5

. Use el razonamiento inductivo para establecer un principio general,:. 1..Un estudiante de nuevo ingreso observó duranté varios lunes conse-

cutiv()s que se teunfa a todos los alumnos para hacer el saludo a laBandera . . .

, conCIUSI~n:~ ('1,:./~~"~, '. : ~ ~. ,. . ','... .. r 1. rJt\O..f\.,~ .. 011-. ~ .~.' . i" ; . ) , . .. '. ¡ <

Use el razonamiento deductivo para establecer un princif)ioparticular:

2. . Todos los iugadores de las Ligas Mayores tienen buen salario. SiGarcfa es un iugador de Liga Mayor entonces.

." Conclusl6n: (\ f L...~Ct . .. _t'

En.Io~siguiente's problemas diga si la conclusión se obtuvo por Induc-cióno por deducción: . .'. .

3. Hoyes marte$,mañana será miércoles.el c:..l_.. ~ I ..4. Lloverá esta Navida~, p'lesto que cinco años con~ec.utivos ha llovidoen Navidad. I '. 1"

5. Si el perfmetro de un cuadrado m,

ide 4ccm, cada lado mide un cm... . C\~ el ~C\ . '-i ~ -

. En los siguientes elercicios clasifique IQsoraciones. diciendo si son ono, proposiciones y en caso afirmativo, si éstas son simples o abiertasdando su valor de verdad o su conlunto de verdad según sea el caso.. .

8. "5' es un número Impar"..7. "2x + 1 =5".8. "3 + 9 =2x; x e: N". . '.

9. "x es un número par; )Ce: Ñ.":

Utilicéel lenguale de conluntos para modificar las siguientes proposi-c,io~esy.asf pod~r graficarlas. . ' .' . '

10. "Todos los múltiplos de 8 sOfJ números pares".11. "3 < 5". I .

r ...,.,

,,1

63

M6dulo 6.'

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Al concluir .el estudio de este módulo, el alumno:

1. Dada una lista de proposiciones qiscrlminará las simples de lascompuestas. .'

2. Dará ejemplos de prbposicion~s expresadas en lenguaje común, uni-das por el correctivo conjunción.

'3. Encontrará el valor de verdad o conjuhto solución en la conjunciónde p~oposiciones simples o abiertos respectivamente.

4.' R'epresentará mediante diagrQmasde Venn el conjunto de verdad dela conjunción de dos proposiciones. "

5. Distinguirá entre IQ disyunción inclusivo y la exclusiva:

6. Encontrará el valor de verdad o conjunto solución en la disyunciónde dos. proposiciones dados.

7. Representará, mediante diagramas de Venn el conjunto solución de ladisyunción de dos proposiciones abiertas.

8. Graficará, utilizando, diagramas de Venn, proposiciones compuestasque llevan los "conectivos lógicos": y, o, encontrando el coniunto

, de verdad de ellas.

ESQUEMA RESUMEN' .

ProposIciones-compuestas. .

Conectivos lógicos:

- Conju~ción.- Valor de verdad o conjunto de verdad.

- Representacióngráfico mediante diagrómas de Venn.- Disyunción inclusivo:

- Disyunción-exclusiva.

- Valor de verdad o conjunto de verdad.

- Re'presentacióngráfica mediante diagramas de Venn.

64

1/ .~ .'

" c.,

Proposiciones compuestas -...

t 'f' .I

"" ,.,

..

Las proposiciones simples, y abiertas son los elementos básicos en el ma1-nejo de nuestro lenguaje, y partiendo de 'ellas .pueden"cc;mstruirseotras r

cada vez más complejas, asociándolas mediante conectivos que llamare-mos eonectlvós lógicos. Estos conectivos son: "y", "o", "si . . . entonces".Usaremos también la partícula ".no" aunque hablando eón propiedQd noes un conectivo ya que sólo afecta a una proposición. A las proposicionesasí asociadas las. llamaremos Proposiciones Compuestas y su valor deverdad o su conJunto de verdad dependerá de los valores de verdad o,conluntos de verdad de .las proposicionea componentes. .Conlunción '

Si' asociamos dos proposiciones usando el.conectivo lógico "y",formamos una proposición compuesta llamada proposición eon-

, luntiv~ o simplemente coniunclón.

La co'nlunciónde dos proposiciones simples es verdadera sólo si am-bas proposíciones son- verdaderas, -ya,que 'estamos afirmando las dosdeclaraciones; si una de ellas es falsa o si ambas lo son, entonces laconluneión es falsaó .' . '. '

D~bemos tener presente que ,una proposición simple tiene un valor' deverdad (verdadero o falso) ,.mientras que una proposición abierta tiene un,conlunto 'de verdad o coniunto solución formado por los 'elementos del'conjunto universal O' de reemplazamiento que hacen de .10 proposiciónabierta una proposición simple y verdadera. Por lo anterior la coniunción'de dos proposiciones simples' tiene un valor de ~rdad como vemos ep lossiguientes ejemplos: '" ' ,

'. Elemploa): "4 es '1;.10.número par y 4 es numero natural". Vp.rdadera,ambas proposiciones lo son. , ,

Elemplo b): "3 es un número natural y 3 es un número par". Falsa,- porque Ja segunqa proposición "3 es número par" es falsa.

Elemplo e): "Yo soy alumno del ITESMy no sé leer". Falsa, la segundaproposición "Yo no sé leer" es falsa. '. . ' "

La conlunción de dos proposiciones abiertas es sólo ver:daderaparaaquellos elementos del c:bnjunto de reemplazamieñto que hagónqueambas proposiciones ,abiertas sean verdaderas; si un elemento haceque alguna de las proposici,ones o que ambas sean falsas, la conjunciónse'rá,falsa para ese elemento. " ,\

Como ,cada proposición abierta tiene su conjunto de verdad tendre.;mos dos conjuntos de verdad y el conjunto de verdad de la conjunción loformarán los elementos comunes., es decir, los que pertenezcan a Id inter-sección de los dos conjuntos de. verdad.

Elemplo: "x >- 5 Yx es un número par; x 'E:N". Esta eonluneión sóloserá verdadera para elemen~os de N que siendo números pares sean a la

65

vez mayores que 5. El conjunto solución o de verdad se 'podría escribircomo: ¡ .

. {x e:'N Ix> 5 Y x ~s par}. Este conjunto c~)rrespondea la intersec-ci6n 'del conjunto A = fx e: N Ix> 5} con el con;unto B = {x e: N Ix espar}. '

N A B

En estos casos es partic~larmente útil la'gráfica con los diagramas de Venn. donde Nes el, conjunto universal o de reemplazamientoy la ',solución de la proposición coniuntiva que-da graficada p~r la intersección de A y B.

En'las siguientes coniunciones encuentre el valor de verda,d o el con-¡unto solución con su gráfica. según sea la coniunción de proposicionessimples o abiertas respectivamente. . .

1.' Cinco veintes hacen un peso y dos veintes hacen un tostón.2. x es un número par y x es menor que'5; x E: N.. .

Si sus respuestas son acertadas siga adelante.Respuestas' '. .1.. Falsa. La segunda proposición es falsa lo que hace falso a 'la coniun-

ción. ' ,

2. Conjunto solución = {x e: N Ix < 5 Y x es par} = {4. 2}.

'\

N

Disyunción,

Cuando dos proposiciones Ise asocian con el conectivo lógico"o". la proposición compuesta que se forma s.e llama proposicióndisyuntiva o disyunción.' ,

. ,

. En español el conectivo lógico "0" tiene dos significados. uno es elllamado "0 exclusivo') que se entiende como "0 uno o el otro. pero NQambos"; y -el otro se llama el "0 Inclusivo'" que se entiende como "0 uno del otro. o ambos". En Matemática. como en la Lógica. es este último signl-,ficado el que se utiliza siempre.. . La disyunción de dos proposiciones simples es verdadera si cualquierade las proposiciones es verdadera y sólo será falsa cuando ambas seanfalsas. pues er:"este caso se afirma cualquiera de las proposiciones.

Ejemplo a): "6 es factor de 35 o 6 + 2 = 8". Verdadera; porque la se-gunda es verdadera. aunque 1<:1primera "6 es factor de 35" es fals~.

66

II

, Eiemplob): "Yo estudio preparatoria o tengo más de 10años". Verda-dera; .ambas proposiciones son verdaderas., - '

Eiemplo e): "Monterret estó en FranciQ o estó en Brasil". Falsa: am-bas proposiciones son falsas. . ~

Lq disyunci,6nde dos proposiciones abieatos es verdadera paJa loselementos del coniunto de reemplazamiento que hagan verdade~a a cual-quiera de las dos proposiciones abiertas que la,componen, o para aquelloselementos que hagan verdaderas a las dos. Esto en coniuntos correspondea la unión de los dos conjuntos solución.

Elemplo: "x> 5 o x es un númeropar: 'XE: N". Esta disyunción es verda-'dera poro elementos de N que cumplanuna cualquiera de las dos afirmaciooes,es decir que dichos elementos perte-necen ,al conjunto solución de x> 5 0\pertenecen al coniunto ,solución de xes por, o pertenecen a ambos. Puede

D u El: observarse por lo antes dicho que loGráficade la Disyunción solución corresponde Q la unión de un

, , conjunto D = {x E: N Ix> 5} con unconjunto E = {x e::: N Ix es par}. La grófica de las proposiciones abiertasen un"mismo conjunto de reemplazamiento nos da una, mejor y mós claraideo'de la solución. Sólo 1, 3, 5 no pertenecen a la solución. '

En las siguientes disyunciones encuentre el valor de verdad'o el con-junto solw;;ióncon su grófica, según corresponda:1. El número 9 es primo o el número 9 es impar. ,

2." x es me.norque 6 o.x es por: x e: N.Si sus respuestas son correctos sigo adelante, coso contrario repose

la disyunción., '

Respuestas:1,. Ve~dadera; aunque la primera proposiQión,es falsa la segunda es '

ver~adera.

N D E

N

2. {xe: N Ix < 6 o.x es par} ={1,2,3,4,5,6, 8, 10, 12, 14, 16, . . .}

Las proposiciones pomp'uestas que hemos analizado son las mós ele-mentales ya que los formamos al conectar dos proposiciones simples odos proposiciones abiertas, pero en muchas ocasiones conectamos pro-posiciones simples con proposiciones compuestas o aún mós"conectamosdos proposiciones compuestas haciendo que la proposición resÜltante seacoda vezmós, compleja y por lo mismo más difícilpara determinar su valorde verdad'o su conjunto de verdad, pero siempre será posibledeterminarlosi procedemos' metódicamente como en los ejemplos que siguen: '

Elemploa) "El 7 es un número nqtural primo y además es impar".

67

¡;¡:f' a~.----

En este caso tenemos tres proposiciones ~imples en conluncl6n quepodemos simbolizar usando letras minúsculas: '

p: El 7 es número naturalq:. El 7 es número primor: El 7 es número i~par

(p y q)' y rEl valor de verdad es verda~ero, porque siendo p verdqdera y q tam-

bién, su\coniunción es verdadera; como r es verdadera la conjunción de la '

conjuncion p y q con r será también verdadera. .

Eiemplo b)

Considerando U-' '{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} co~o universo de la va-riable ¿cuál' será~el conjunto de verdad de "x es un múltiplo de 2 menorque 9 o es un número divisible entre 3 mayor que 5"7

Primero necesitamos saber' cuántas proposiciones diferentes de (asllamadas básicas tenemos y vamos a simbolizarlas.

a: '''x es múltiplo de. 2" c) "x es 'divisible entre 3"b: "x -<,9" d) "x > 5" .Identificamos en seguida los conjuntos .de verdad de cada proposición

considerando que U es el conjunto de reemplazamiento., A = {2, 4, 6, 8, 10} , '

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, a}e = {3, 6, 9lD = {6, 7, 8, 9, 10}

Ahora simbolizaremos las relaciones entre las proposiciones; a, b 'for-man una conjunción aunque podemos observar 'que no se mencionó elconectivo "y" Este se encuentra rmplícitoal decir que'''x es múltiplode 2menor que 9" (a y b) , .

. e, d también están en conjunción (c y d)y las dos, eonrunciones forman una disyunción

(a y b) o (c y d)

'- Po~lo que el conjunto de verdad de esta compleja proposición será:

/

a y b; A n B {2,4,6,8}

c y d; C n D C

CIDD

6 73 8

9 '10

{5,'9}

'(a y b) o (c y d); (A n B) U (C n D){2, 4, 6, 8} U {6,9} = {2, 4, 6, S, 9}

68

- - -- -

i

PROBLEMAS PARA AUTOEV ~LUACION 11-6

'Use el lenguaje de conjuntos p~'rp .reescrittir las siguientes oraciones:

1. Todos los múltiplos de 6 son números pares.2. 3 es un número impar. . '3. x es un número natural y es menor que 4..

,4. El triángulo T es equilátero.5.8. Los problema's 5, 6,' 7.y 8 grafíquelos. Utilice los primeros cuatro res-

pectivamente. - .

En los problemas siguientes ilu,stre con diagramas de Vef1n, los pro-posjciones simples que se dan, considerando al conjunto N como el

. conjunto universal. . '

9. El conjunto de todos los números primos mayores que 2 es un sub-conjunto del conjunto de números impares.

10. Todos los múltiplos de 2 son números pares.11. Ningún número primo es múltiplo de ~

Para los problemas siguientes considere que M = {1. 2. 3, 4, 5,6,7,8,' 9, 10} es el conjunto de reemplazamiento. .

12. Con las siguientes proposiciones .forme la disyunción y escriba unalista de los elementos que pertenezcan al. conjunto solución, HX es

- menor que 8"" "x es múltiplo de 3", .13. Forme Ja disyunción de ,"x es múltiplo de 3" con la disyunción entre

','x es número par" y "x es menor que e-". Escribo una listo de loselementos del conjunto solución. .

14. Con cualquiera de las proposiciones utilizadas en el problema ante-rior forme una proposición compuesta cuyo conjunto solución es{3, 6}. Indicación: Puede formar la proposición compuesto usandootras ya compuestos como en el problema anterior.

.15. . Con las proposiciones usadas en los problemas .anteriores forme una,que tenga como conjunto solución {2, 3, 4, 6}. .-Sean A,-B, C los conjuntos solución 'de tres proposiciones abiertaso, b, c, respectivamente. (Ninguno de los tres es conjunto disiunto).Dibuje los diagr.amas de Venn para las siguientes proposiciones com-puestas, sombreando 'el área que representa la solución de la pro-posición compuesto.

16. o o b -.17. b Ye -

18. (b Y e) o a19. b Y (c o a) '\20. . b Y (c y Q)

89

-~ ~ -~-

M6dulo '7

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Al concluir el estudio de este módulo~ el alumno:

1.2.

3.4.5.

Expresará ,la negación de una proposición dada.Enqontrará, graficará el conjunto de verdad de la negación de unaproposición.Construi.rá la negación de una coniunción~Construirá la negación de una disyunción. I

Representará gráficamente utilizando diagramas de Venn y aplicandola3 leyes de De Morgan la negación de proposiciones conjuntivas odisyuntiyas. ' '

Discriminará entre un cuantificador uni.versal y un (fuantificador exis-tencia!. ' '

Construirá proposiciones con cuantificadores.Negará proposiciones con cuantificadores.Representará gráficamente mediante diagramas de 'Venn la negaciónde' proposiciones que cont,engan un cuantificador universal o el cuan-tificador existencial.

6.

7.8.9.

ESQUEMA RESUMEN

Negación de proposiciones:

- Negación de una proposición abierta.~ Conjunto de verdad.' ,- Representacióngráfica mediante diagramas de Venn.- Negaciónde,proposicionescompuestas..- Negación qe una conjunción.- Conjuntode verdad. . .- Representacióngráfica mediante diagramas de Venn.- Negación de una disyunción.- Conjunto'de verdad.'- Representacióngráfica mediante'diagramas de Venn.- Leyes de DeMorgan.

. Cuantificadores lógicos:

- Cuanttficador univer~al, y su negación. .- Cuantificador existencial, y su negación.- Representación. gráfica mediante diagramas de Venn.

. ,

70

Negación'

Ya mencionamos que aunque la partícula "no" afecte sólo a una propo- ,

sición, consideraremos qu~ la negación de una proposiqión datfa forl11auna propo~ició{l compuesta. El'valor de verdad de la proposición así com-puesta..es el opuesto del valor de verdad de la proposición dada.

Eiemplo: Al pensar 'la negación de laoración "Hoyes un, día nublado". Escribi-mos~"Es falso que hoyes un día nubl'ado"'o también "Hoy no es un día nublado".Puedeobservarseque si la proposición da- .

da' es verdadera 'entonces la negacit,Snesfalsa, y viceversa. La representación, dela proposición dada en ~n ,diagramade Venn se mue~tra a la izquierda; eh élse observa que la solución o representa-.ción'gráfica de la negación es precisamen-te el conjunto complem.ento.

Si la proposiciórí dada es abierta. los di"agramas de Venn so~ todavía'más valiosos, para determinar el conjunto de verdad' de la negación. En elejemplo siguiente tenemos la proposiciól1 "x es múltiplo de .4; x 'E N". cuya.

y~~ negación sería "es falso que x sea múltiploN . de 4; x E N".o "x no es, múltiplo de 4; x E N".De acuerdo a lo antes dicho la proposiciónes verdadera para los elementos del conjun-

. to de reemplazamiento que hagan falsa a laproposición original. En seguida presentamos.,el diagrama de V~nn. La parte sombreado re-presenta la solución.

,Un error muy común es el, de considerar que la negaciQn .de una pro-posición es otra pfo~osición, que afirma al'go Conjuntos de todos los días ~

contrario o algo diferente. Por ejemplo algu- ~ .-nos pretenden negar la proposidón "Hoyes 100 W ... ~,lunes", diciendo "Hoyes ,jueves". " ~ ~ ...%'/!-%~r~

El diagrama de Venn para" "Hoyes lu- .~'~-¡§§ ~~ ~~,~~~~ t, nes", ~i el conjunto ~e ree~pI9z<:J"!1ientoes .§~1~.~~.~~'E~~~~

el conlunto de todos los diOS, sena el que ~ ~ ~~ ~~ ~'~o~~~.sse muestra a la derecha; e"l él se pyede no- :~:~:~:~:~:¡~...tar que el complemento sena el con'luntode' .g%c0c~c~.§~c~.gmartes, miércoles

,

' jueves, viernes, S. ábadoS ~t~~~~~~~~~~ .y domingos. Por lo que la negación consi':. 0L"///~/~//h:

dera que hoy pOdría ser uno cualquiera de los otros días de fa- semana.Se sqmbrea la negación.' - .

El error antes mencionado es más frecu~nte cu~ndo la proposición es

Conjuntos de todos los' días

Conjuntosde todoslosdías.

nublados

Conjuntos, de todos

los díasclaros

71

~ ...'- - - ..; -

abierto. Por ejemplo, Jo. negación de"x > 5; x E: N" sería x ::t>5; x e: N" otambién ",es falso que x :> 5; x e: N",pero' muchos escriben o interpretan lonegaCióncomo "x < 5;x e: N".Los dia-gramos de Venn nos proporcionan unmétodo más sencillo de acertar en la

.solución. Usando el ejemplo anterior'

.tendremos el diagrama que se muestroparo. la proposición dada. en él se som- , ". .brea la' solución para la. negación y como se ve es e,l complemento; SIA = {x E: N 1.x > 5}. la negación será A' = {x'e: N Ix ::t>5}.- .

Negación'de proposiciones compuestas .

. Hasta aquí hemos tratado sólo con la negación:de' una proposición. Con-sideraremos ahora, la negación de Ilroposiciones compuestas, y para ha-cerlo empezaremos por analizar la misma, negación./ "

Eiemplo: Al pensar la negación de la proposición compuesta "x no esnúmero impar; x e: N" cuyo conjunto solución es

, el que se muestra sombreado en lo figuro; la ne-gación de lo proposición dada serp "Es falso quex no es número impar; x e: N" y su gráfica serásombrear el complemento, de la gráftca ',dado,lo que significa que la proposición es, equiva-lente a decir /Ix es J:1úmeroimpar; x e: N". Detodo esto podemos deducir que la negaciónde lá negación de una, proposidón es, la pro-posición misma o también que negar una propo-,sición negativa es igual' a' enuric1ar la proposi-ción afirmativa.

Analicemos ahora la negación de una coniunclón o través de otroejemplo.' .

a) Sea "~ > 3 Y x < 10; x e: N" cuyo conjunto solución se muestraen .el primer dia~rama dé esta página y que en ellenguaie de coniu.ntos esla inter.sección de {x e: N Ix> 3'}con {x e: N I x < 10}.La negación de laproposicióriconjuntiv.aserá entonces "Es falso que x,> 3 Yx< 10;x e: N". ,Yel conjunto solución es el complemento del conjunto solución de la pro-posición original. como 'se Ve ~n el siguiente diagrama deVenn. Estediagrama nos sugiere otra forma de escribir la negooión utilizando, loscomplementos de cada conjunto solución; como puede comprobarse, enlos diogramas de Venn la unión de los complementos es igual 01comple-mentó de laeintersección. (A' U B') = (A n B)' entonces lo negación que-daríacomo{xe: N Ix ::t>3} unido,con {x e: N Ix <t:10}queenellenguaie'comúnsería{xe: ,N Ix ::t> 3,0 x <t 10} ,

"

'~

Gráfica deconjunción

N A B

EE72

,;¡,,---~--

.... /

. Gráfica de lanegación de la .

conjunción" .

(A n B)'

/

.. /.'-'-

A'l' ---/...,

X < 10 B'

Lo combinaciónde los dos.cuadros.anteriores en' uno solo nos sugiere elresultado de negar uno conjunción ytambién nos da un método poro manipu-lar los proposiciones compuestos usan- A' U B'do diferentes sombreados poro determi-nar un resultado final de loco~posi.ción~

b) Escribo lo negaéión de "x e$ n(¡meropor y x es menor que 5;'x E: N"Yencuentre su conjunto de verdad. Utilizando lo notación de conjuntosobtenemos y graficamos ,el conjunto solución ~e lo conjunción dada{x.e: N Ix es por}n {xe: N Ix < 5} = {2,4}. El'conjunto complementodel anterior es igualo lo unión del complemento de codo conjunto solu-ción. Lo negación será pues "x no es poro x no es menor que 5; x e: N".

N

"x no es par" "x no es menor que Stt

73

N'/7f.,//

x. >.... '//,

x< 10

I

Conjuntos de todos los días

~ ~2

~"x no es por. o x no es menor que S"

Analicemos ahora la negaci6n de una dIs-yunción y su diagrama de Venn. "Hoyes iueveso es I:Jn día nublado". La negaci6n de la propo-sición será "Es falso que hoy sea iueves o esténublado". El diagrama de esta proposición seráel compl~mento del diagrama de la disyuncióndada.. '

Si consideramos la negación de cada uno de las proposiciones queforman la disyunción anterior ¿cuál 's~r¡a la proposición compuestaque tenga el mismo coniunto soluci6n?Llcime "a" a la primera proposicióny "b" a la segunda. A y B serán los coniuntos soluci6n de' cada una res-pectivamente. Si puede acertar en su respuesta significa que ha cQptad9perfectamente la' idea de la negación de las proposiciones compuestas,en caso contrario repásela de nuevo.' .

RespuestaSea la' proposición compuesta~ a o 'b cuyo diagrama se muestra en

seguida sombreando el complemeoto. .

Conjuntosde todoslos días (A U B)'

I ..

Con.siderando la negación de o y de b los coniuntos solución serian A'y B' respectivamente. La combinación que me dará la misma área som-.breada que tenía, será el área cuadriculada que corresponde a la Intersec-ción de A' y-8', por lo tanto la soluci6n es: no o y no b: "Hoy no es 'iueves

. .Yno es un día nubladO". (A U B)' = A' n B'... . I- EI:-IK74 ~ A'nB'.,.- :.............

Después de acertar en el problema anterior puede entender perfecta-mente las Leyes de De Morgan que nos dicen:

¡ .

.10. La negación de una. conjunción, es la disyunción de las n,e-gciciones.

20. La ~egación de 4na disyunción, es la coniunción de las ne-.gaclones. . l. .

En otros palabras para negar una conjunción cambiamos el conecti'lológico "y" por un "o" y negamos las proposiciones componentes; paranegar una disyunción cambiamos el conedtivo "0" por un ".v", negando lasproposiciones componentes.

. Eiemplos:.

a .a) - =c y b =1=O

b.

b) ab:f:- ac 6.0 = O

aNegación:- =1=c o b =O

b

Negación: ab =ac y o =1=- O

Cuantificado res

H.emos considerado un tipo de proposiciones simples en las que se men-ciona la cantidad de suietos que intervienen, como por ejemplo "Todos losmúltiplos de 6 son números pares", al decir todos estamos cuantificando,es decir, hablamos de cantidad de múltiplos en este ejemplo. Para grafi-car una proposición de este tipo usamos el lenguaje de conjuntos diciendo.

. que el conjunto de sujetos es 'un subc()niunto del conjunto que formo elpredicado. Ejemplo: "El conjunto de todos los múltiplos de 6 es un subcon-lunto del conjunto de los números pares".

Diagrama deuniversal af"mnativo

¿C6mo consideraría el cuantificador ninguno?Dibuie la gráfica de la siguiente proposición: "'Ningún múltiplo de 6 es.número par".

La gráfiéa de la proposición nos sugiere la modificación de lo propo-sici6n..diciendo "Todos los mÚlti'plosde 6 no son números pares", que en

75

el lenguaje de' Qonjuntos. quedaría como "El conjunto de todos los múl-tiplos de 6 es disiunto del conjunto de números pares".

La gráfica se muestra en seguida para quecompruebe su resultado.. . .Por lo anterior podemos decir 'que "n'ingu-

.no" es equivalente a: "todos.. .no. . .".

Diagrama de universal negativo

Todos y ninguno son. entonces cuantificadores que considera.n la, to.tolidad de los sujetos, y los llamamos cuantificadores. universqles, sólo queel primero es afirmativo y el segundo es negativo. . .

.la negación de este tipo de proposiciones simples es un caso parti-cular y muy frecuente en Matemática, razón por la que lo consideramosseparadamente. la negación de "A. es subconiunto de B" sería "A no essubconiunto de S", que de acuerdo con la definición de subconiunto, "aquel'

. " cuyos elementos (todos) lo son también delotro conjunto", se puede escribir o interpretarcomo "por lo menos un elemento de A no eselemento de, S,". Estas proposiciones en losque no se consideran' la totalidad de los suje-tos emplean cuantificadores lIa'mados particu-loro existencia l. Ejemplo: Escriba la negacióny dibuje la gráfica de "Todos los hombres sonmortóles". La proposición se podría modificar:

Diagramade particularnegativa "el conjunto' de todos los hombres ,es subcon-, ju~to del' conjunto de los mortales" y 19nega-

ción será decir que no es subconjunto, lo cual escribimos como "Por lo .menos un hombre no es mortal". Su diagrama de V,enn se presenta a loizquierdo. . <1

I Al negar la. proposición universal afirmativahemos obtenido una proposición particular nega-tiva, (por lo menos uno. . ,no es. . .) el ~antifico-dor particular lo encontramos también, como,

. algunos o algún. ¿La négación de la proposiciónDiagramadeparticularafirmativaparticular. negativ,a, <?uál sería? Y la' dé .1,0univer-. sal negativa?Otroelemplo de la nega~lon, negar

8 8 "Por lo menos un nÚmero entero es racional". Esto. '. es una propos.iciónparticular afirmativa y modifi-

Enteros RaclOno/es cándola al lenguaje de conjuntos sería, "el conjun-, to de números enteros no es disiunto del conjunto

. . . de números racionales" y su diagrama está a lo iz-DUIglamadeuniversalnegativa quierda. Lo negació'nsería decir que es disjunto,y en el lenguaje común es "NingÚn número entero es racional" cuyo dia-.grama se dibuja en la página anterior y que correspon.de al universal ne-

- gativo. ' , \El valor de verdad de la negación de una proposición es verdadero si

la proposición 8$falsa, y viceversa, esto se aplica a las proposicionescon'

76

los cuantificaqores universal o particular, pues son proposiciones 'simples.'¿Podría escribir unas regios para la negación de las proposiciones concuantificadores? . . .

. Complete la lista con los tres reglas que faltan.

1.

2.3.4;

Lal.negaCiÓnde la universal afirmativa es. la particu.

lar ne-

gatrva. . .~La negación de la universal negatiya es la , oA.¡La negación de la particular afirmativa es 'f ,."'¡hve.f CA)La negación de I~ particular f'egativa es la ll1h .reu~

Estas reglas nos muestran a nosotros que' la negación, tanto en laLógica como eh la Matemótica, es la contradicción móxima ya qÜe apartedenegar lo que se afirma. o sea .cambiar la calidad de la proposición. tam-bién se cambia la cantidad. si es universal. a. particular y si es particularti universal. .

1

!'

77

, PROBLEMAS DE AUTOEVALUACION 11'-7

En los siguientes problemas escriba la 'negación, de las propo$icionesque sean simples y dé' su valor de verdad. Dibuj.e .el diagrama de Venn,sombreando 10 negación en las que sean proposiciones abiertas.,1. 11 es un número pr,imo. ,\, \2. x + 3 = 10;x e: N3. 6 < 84. No es verdad que 3 < 55. x es un múltiple.de 3; x e: N6. Hoyes sóbado;hoyes un día de la semana.

En los problemasdel 7 al 10,dibuje los diagramas de Venn y sombreeel conjunto solución para la negación.Aplique las leyes de DeMorgan paraescribir dich~ negación. '

7. "x es por o x > 5; x e: - N"8. "Hoy es martes y 'es un día lluvioso", Hoy e: Conjunto de todos los días9. "x > 3 y x < 10; x E: N",10. "2x = 6 o x =FO;x E: N" ,

" En los siguientes problemas escribo .10negación y dibuje el diagramade Venn. Observe el cumplimiento de los reglas de negación para los pro-'posiciones con cuontificadores.11: El conjúnto de números primos no es subconjunto del, conjunto de nú-

meros impares; ,U = conjunto de números racionales.- . . ,

12. Todos los húmeros naturales son enteros. U = racionales.13. Los rectos paralelos no se corta,n. U= conjunto de todos los rectas.

,14. Por lo menos un r:¡úmeroentero no es raciQnal. U = conjunto de nú- , '

,meros reales. ' ,

15. Algunos triángulos equiláteros no son isósceles. U = coniunto de todaslas figuras geortlétricas. ' ,

16. Ningún día lluvioso es claro. U = conjunto de todos los días.

En el diagrar:na de lo izquierda tenemostres conjuntos solución de tres proposiciones

. o, b, c, que son: A = conjunto de múltiplosde 3; 8 = conjunto de números'porás, y C =conjunto de mÚltiplos de 5, respectivamente.

, En un dibujo igual al mostra~o escriba el nú-Múltiplos

) mero de la proposición en el órea adecuadade para que la proposición sea verdadera.

, ,,- 5 , Ejemplo: 1) Es falso que 45 no sea~m(jl-. tiplo de 3 o no sea n;túltiplo de 5. Usando

Leyes de DeMorgon lo proposición quedo: 45 esmúltiplo de 3 y es múl-tiplo de 5. ','

17. 2) 40 es múltiplo de 5 y es número par, pero no es múltiplo de 3.16. 3)' 30 es número par y. múltiplo de 3 y también múltiplo de 5.19'. 4) 28 no es múltiplo de 5 ni de .tres, pero es por. ,

20. 5) 45 es múltiplo de 3 y 5, Y es número impar.' ,

21. . 6) es falso que 121 es. múltip'lo de 3 o múltiplo de 5 o número par... .

78

-. - -- - -- 8'

M6dulo 8 -

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Aí concluir el estudio de este m9d~lo, el alumno:

1. Identificará la suposición o hipótesis de la implicación y la conclusiónde ella. - -',

2. Determina-ráel valor de verdad de una implic,aciónconociendo el valorde verdad o conjunto de verdad de su hipótesis y el de su conclusión.

3. Identificará las proposiciones equivalentes mediante sus coniuntps,de~~d .-

4. Graficará, mediantediagramasde Venn,el coniunto de verdad de unaimpllcacI6n-. . "

5. Expresará en diferentes formas una implicación. ' -

'6. Obtendrá la conversa de una implicación y determinará su valor, de -verdad. -

7. Hará una lista de formas diferentes de expresar una doble implicación.. 8. ~raflcará el coniunto de I verdad de una - pror;!osici6n blcondicional

(doble implicación). '.

~9. Determinará el valor de verdad de la contrapositiva, la inversa deuna Implicaci6n.- . "

10. Distinguirá las partes de un silogi'smo~ .11. Graficará utilizando diagramas de Venn, un silogismo válido. .12. Expresará con sus propias palabras lo que es inferenciaJ6gica.13. Aplicará en ca~os sencillos las reglas de inferencias más usuales.14. Diferenciará entre pensamiento cotidiano y el pensamiento matemá-

tico.

, ,

ESQUEMA RESUMEN

Implicácl6n., ,

Estructura y significado de la implicación., El conectivo lógico "si. .. entonces..."

Formas de expresar una implicación:, Notación.Valor de verdád.

Equivalencia lógica,"

Proposiciones equivalentes.Valor de verdad.,Representación gráfica.

79

'Vqriantes de la implicación.

Proposición conversa.Conjunto de verdad.Doble implicación.Conjunto de verdad.Contrapositiva de una proposición.

.' Representación gráfica y valor de verdad.

, ,

Silqgismo.

'Estruc.tura d,eun silogismo.Reglas de la inferencia.

I Representación gráfica, utilizando diagramas de Venn, para mostrarla validez de un silogismo. ' .

Demostraciones a problemas.

/

i ,

80

-- MI- - -- . -- 11: "{

Implicación. Equivalencia \Iógica

Cuando asoci(Jmos, dos proposiciones utilizando el conectivológico "si. . .entonces. . .", formamos la proposición compuesto más .importante en f.oMatemática. Esta proposició.n compuesta se llama Implicación y se con-sidera formada en dos portes: la primera es la proposición que se precede

~ . por lo partícula "si" y..Iollamaremos suposición o hipótesis de la implica-ción, la segunda porte está" constituida por .10otra p'roposición precedidapor la palabra "entonces" y la l'Iamaremos la conclusión de la implicación. .

Hay muchos. modos diferentes de expresar una implicación y en 01-.guoos de ellos no aparece el cone~f¡vo lógico "si. .. entonces" razón por

'10 que se debe desarrollar ha.bilidad para expresar tales implicacionesen la forma en que se expresa el conectivo;. en seguida se ven algullos'de las formas. más frecuentes, entre las que se incluye el símbolo o nota-

, .ción aceptado en la r;\1(Jyoríade. los. text9s; considerando que "p" repre-senta la suposic'ión y "q" la conclusión. tendríamos: ."

si p entonces q.. ,¡ ,

P'=> q.(La forma simbólica que se lee como "si p entonces q"),, .

P 's610 si q..

p implica q.

q si 'p. (Esta forma es frecLiente y debemos observar que lahipótesis y la conclusión aparecen en orden invertic;to.razónde .frecuentes errores)..,'

. !

. Veamos algunos ejemplos. en donde se cambiQ a la formo tradicional,si p entonces q. .

a) "x > ~ Implicax > '4". I"si x > 5 entonces x > 4".

b) "x = 1 si '3x - 1 = 2x" (Esta, es la. forma q'si p)"~I3x'- 1 = 2x entonces x. =;= 1". .

c~ IIDos círculos con radios iguales.'tienen áreas iguales"."Si d<?scirculos tienen radios iguales entonces tienen áreas iguales".

d) "Todos los ángulos rectos tienen .10misma' medida". ,"SI los ángulos. 'so.n rectos entonces- tienen., .10'misma medida"

El últimoejemplo nos da una forma de proposición con.cuantificado-

81

res; sabemos que ese tipo de proposiciones son simples y se les puedeasignar un valor de verdad de inmediato, lo que nos sugiere la idea deconsiderar a las implicaciones como otra forma especia1 de las proposi-ciones simples, sÓlo que su hipótesis y su conclusión pueden ser propo-siciones abiertas. Atialicemo~ otro ejemplo: "Si x es múltiplo de 2, enton-ces es un Qúmero par; x e: N"; .en el lenguaje de conjul1tos quedaría como"x es elemento del conjunto 'de múltiplos de 2, y x es elemento del con-

\ junto de números pares"; esto, como se púede observar, es ,una conjun-ción,. por lo que x pertenece a ambos conjuntos, lo que significa, que elconjunto de todos los múltiplos de 2 es un subconiunto del conjunto denúmeros pares; "es decir que "si al pertenecer al primer conjunto entonces,pertenece al segundo", el primer, conjunto debe necesariamente estarcontenido en el segundo, y como ya vimos antes, decir" A es un subcon-junto de B" es una proposición simpl\ y su valor de verdad se puede ex- 'presar de inmediato. ,

De acuerdo con lo anterior, podemos decir entonces que e!, valor deverdad de una Implicación puede da,rse de inmediato,' y sólo es verdaderasi el conjunto', de verdad de su hipótesis es subconjunto del conjunto deverqad de su' conclusión; de otro modo la implicac~ón será falsa. También'pOdemos observar de lo ,anterior que las siguientes proposiclQne$ sonfo;mas diferentes de decir una misma cosa. ' '

, Todos los áng'ulos rectos son de la misma medida..Si los ángulos son rectos entonces tienen la mi'sma medida.El conjunto de ángulos rectos es un subconiunto del conjunto de án-

gulos con la misma medida. ' ,Tenemos entonces tres proposiciones que' por decir lo mismo tienen'

el mismo valor de verdad o, el mismo conlunto de verda~.

Las proposiciones G1uetienen el mismo valor de verdad o el mis-mo conlunto de verdad las llamamos pr~posiéiones equivalentes.

, Una proposición universal afirmativa es entonces lógicamente equl- .vale~te a' una implicación.

, Eiemplos:

'a) "S'i x < 6, entonces x < 10, xe: conjun'to de números enteros';. Paradeterminar su valor de verdad recurrimos al lenguaje de conjuntos ,y

sus ,diagramas. La proposición equivalente seria "El conjun.t~ de nú-, meros enteros menores que 6 <8Ssubconlunto del conjunto de núme-

ros enteros menores que 1'0". U = Conjunto de núm~ros enteros.

A ={1,2;3,4,5}B = {1,2,3,4,5,E?, 7,8,9}A~B

82'I

Enteros

Gráfica de Implicaci6n Verdadera

Compare esta gráfica con la del universal afirmativa

b.) "Si ,una figu.r.a eS.ijn cuadrado, entonces ea un paralelogra.mo". Con-junto de. cuadrados es' subconjunto del conjunto de paralelogramos,conjunto de reemplazamiento el conjunto de todas las figuras geo-métricas. Se cumple lo que se afirma, por lo que la implicación esverdadera.

tTodas ms FtgUrQS geométricas

Gráfica de Imp~cación Verdadera

c) "Si una figura es un triángulo, entonces es un triángulo equilátero".El conjunto de tpdos los triángulos es un sub- .conjunto del conjunto de triángulos equiláteros.'Conjunto de reemplazamiento el conjunto. de to-das las figuras geométricas. Podemo~ ver en la .figura que esta última afirmación no se cumplepor lo que la implicación es falsa.

Gráfica de la implicación 83

, A B

(])'~ ...

.xA nB

( d) "Si x és un elemento de' A n S, entonces' -x es un elemento de S". Esta propoSiciónya e$tó en el lenguaje de conjuntos, y enel diagrama. de Venn se, muestra que elconjunto A n S es un subconjunto del con-junto S, luego la implicación es verdadera.

e) "Todos los .rnúltiplos de 15 son múltiplos de 5". Como se había hecho;, notar, las proposiciones con cuantificadores

son una 'de las formas de decir que un conjuntoes subco'njunto de otro, al igual que las implica-ciones, por lo que puede escribirse la proposi-ción lógicamente equivalente "Si un número esmúltiplo de ,15,entonces es un m,últiplo de 5", oen ,lenguaje de, conjuntos, "El conjunto de múl-'tiplos de 15 es un subconjunto del conjunto ,de

, m,últiplos de 5". La implicación es verdadera como se muestra en la,figura.,

Para comprobar la valiQez de nuestra afir-mación, usamos lo que se liorna un "'contra-

oejemplo": es -decir, un ejemplo que no cum-pla la implicación, es decir, en este casouna figura que siendo trióhgulo no sea equi-lótero. "Trióngulo isósceles" es elemento de

,la suposición o hipótesis, pero no es -ele-oment-o.de la conclusión y su figura' se mues-tra a la izquierda. El conjunto de la hipótesisno es subconiunto de la conclusión y la im-plicación es falsa. 'x representa un triángulo lsósceles

-Variantes de la implicación

La Implicación da lugar al mayor problema en la búsqueda de la verdad,ho solamente por el hecho de que existen tantas y tan diferentes formosde enunciar una implicación,' pues aun usando' el conectivo lóg:ico ".'si. . . entonces. . .", pequeños cambios en las proposiciones o en el ordenen que se dicen, cambian el valor de verdad de la implicación. ,

, Si cambiamos el orden de las proposiciones Cteiandoeo su lug~r alconectivo, formamos una variante de la implicación, a la que llamamosConversa o recíproca de lo implicación. Ejemplo: Cambiemos el orden delas proposiciones de la siguiente implicación "si un número entero es

84

, I

múltiplo de 8, entonces es número par".' "Si un, número entero es-par, entonces es múltiplode 8".

Considerando el diagrama de Venn para laimplicación dada,' podemos apreciar que es ver-dadera, ya que el conjunto de múltiplos de 8 es sub-conjunto del de números pares, pero no sucede lomismo con las proposiciones invertidas; por lo quela conversa es falsa. Contra-ejemplo: el 4 es parpero np es múltiplo de 8. Por lo anterior podemos

. concluir lo siguiente: "Aun cuando una implicaciónsea verdadera su conversa puede no serio". Enotras palabras, de la verdad de una implicación no se puede concluir la

. verdad de .10conversa de.Ja implicación. Sin embargo, puede darse el casode que la, conversa también sea verdaderCJ. Ejemplo. "Si todos los 6ngu-los de un triángu10 son iguales, entonces el triángulo es equilátero"; su pro-posición c'onversa "Si ,un triángulo es equilátero, entonces todos sus án-gulos son iguales" Ambas proposiciones son verdaderas, es decir, el con--junto de triángulos con sus ónglJlos iguales es subconjunto del de trión-gulos equiláteros, y viceversa; por lo tanto, se trata de conjuntos iguales, -y se dice qu.e las proposiciones representan esencialmenté lo mismo. Es-tas proposiciones cuyo coniunto de verdad o val.or de verdad es el mismo,ya vimos que son proposiciones equivalentes; cu"ando se trata de una im-plicación y su conversa se pueden combinar en una proposición más

. compleja usando el conectivo "y", con lo que se forma una doble impli-cación, cuyo 'símbolo es ,la flecha con. doble punta. Ejemplo: . .

"Si 7 -. 2' = 5, entonces 5 + 2 = 7". Simbolizada esta implicaciónquedaría: "(7 - 2 = 5) ::::::) (5 + 2 = 7)". Loaproposición conversa sería"(5 + 2 = 7) ::::::) (7 ~ 2 = 5)". Con nuestros conocimientos de esos nú-meros pOdemos comprobar que ambas proposiciones son Verdaderas ycombinadas en una doble implicación quedan, "(7 - 2 = 5) <=:)(5 + 2 =7)"que se lee "7 - 2 = 5 si y sólo si 5 + 2 = 7". Siendo su conjuntode verdad ,el mismo, ambas son verdaderas o ambas son falsas, demos-trando una, se demuestra también a '10 otra. Veamos otro ejemplo.' -

"Si un tnáng~lo es rectángulo, entonces el cuadrado de su lado ma-yor es igual a la s~ma de los cuadrados dej,sus otros dos lados".

. Conversa: "Si el cuadrado del lado mayor de u'n triángulo es' igual a lasuma de los cuadrados de los otros dos lados, entonce$ el triángulo es rec-tángulo". ' . .

Combjnadas en una proposición conjuntiva las dos implicaciones ante- .riores<dirí.an"Un triángulo es rectángulo, si y sólo si.el cuadrado de su ladomayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados". (Teo-rema de Pitágoras). '. .

Cuando 'enuncial1Jos una implicación estamos diciendo que un deter..minado conjunto es subconjunto de otro. Existe una modificación al intro- .ducir la negaciÓn en las proposiciones componentes que no cambia elvalor de ve.rdad de la implicación dada: nos da una proposición equivalente'y la llamamos la Contrapositiva de la implicación.. esta variante es muyútil en las demostraciones. ' .

Veamos con un ejemplo el' valor de verdad de una implicación y de sucontrapositiva. "Si una figura geométrico es un rectángulo, 'entonces esf

85

.. un paralelogramo."Enlenguajede conjun-Todaslasfigurasgeométncas .1 tos diríamos: "Si una figura geométrico

es elemento del conjunto de rectángulos,entonces es elemento del conjunto de po-ralelogramps!'; en seguida se. muestra eldiagrama de Venn donde se ve .que lo im-plicación es verdadero.' . :

Formemos lo contrapositivo de ICJim-plicación poro lo cual formamos primero'lo converso y luego negamos los propo-siciones, quedándonos ,"Siuno 'figurageo-métrico no .es un paralelogramo, entoncesno es un r.ectángulo". Haga un diagramade Venn poro esto último proposición y

'. demuestre que son equivalentes.Consideremos dos proposiciones "p" y "q" formando uno implicación,

y llamemos P y a o sus conjuntos de verdad respectivamente; tomando laimplicación como verdadera repasemos la implicación y sus variantes uti-.lizando sólo símbolos. El símbolo" "," ante~. de uno proposición indico sunegación. .

Implicación: p ==> q es verdadero siempre que, como se muestro en el

diag'ramade Venn,P e a.

. Convetsa: q ==>p su valor de ,verdad no sededuce del valor de ver-dad de lo implicación.

Doble implicación: p <=) q es verdadera siempre que P = a yo que seformó con lo conjunción de una 'implicacióny sU conversa (p ==> q) y (q ==> p). ' .

Contrapositi~a: Nq ==> --p .es una proposición equivalente a la implica-I ción por lo cual tiene el mismó valor de ver-

dad P e a equivalente o a' e PI.esta proposición es equivalen~ede la cO,nver-so, 'rozón por lo que no es muy frecuente suaplicación. .

Inversa: '- p ==> -- q,

Silogismos. Demostraciones

. En cualquier sistema matemático los postplados y las definiclo.nes son las.bases para las demostraciones~En álgebra se hacen ciertas suposicionesacerca de las propiedades de lo igualdad, de la desigualdad y del conjuntode los números 'reales; estas suposiciones se aceptan como verdaderos yforman los postulados con los que.s'e construye un conjunto,de conclusio-nes acerca de los números paro formar el sistema matemático. utilizandopara el-lo el razonamiento deductivo. Los conclusiones o deducciones se .

expresan generalmente en lo forma de implicaciones usando .el "si'. . .en-tonces. . .", y sus enunciados constituyen lo que conocemos comúnmentecon el nombre de Teoremas, los que una vez demostrados. sirven también

86

..-- - -~--- --

¡untocon los postulados y definiciones, como bases' para nuevas construc-ciones y nuevas demostraciones. Los teoremas son generalmente expre-sados en.la forma ."si . . .entonces..." por lo que la implicación es una,parte importante en el proceso de razonamiento deductivo. , ' '

La hipótesis la constituimos con' postulados o' definiciones, y las rela-ciones ~ógicamente vólidas que establecemos entre diferentes proposicio-nes simples o compuestas, nos lIeyan a admitir la validez de la conclusiónal aceptar. la hipótesis; esto es Lbqlle constituye una demostración. Estasrelaciones también llamadas argumentación, toman el nombre de Reglasde Inferencia o Siloglsmos, según su estructura.'

Las reglas de inferencia,son argumentaciones válidos en la forma deimpUcaciones y existen infinidad de ellas', por lo que sólo mencionarem'osuna de las de mó~ frecuente aplicación, conocida como la ,Regla de la Ca-

o dena. ' '

Elemplo: Tómensedos implicaciones. ,

a) Si x es elemento del conjunto R, entonces x es elemento del conjuntoS. Simbólicamente (r ==> s)., .

b) Si x es elemento del conjunto S. entonces x es elemento del conjuntoT. Simbólicamente (s => t). '

En la primera implicación decimos que' R ,c S, y en la segunda queS c T, po'r lo, tanto cualquier elemento de R lo es también de S, y porto tanto también de T. En el lenguaje de conjuntos la, conclusión q~e

obtendríamos con las do's implicaciones verdaderassería "Si x es elementode R,entonces x es elemen- '

to de T" (r => t). Esta sería una conclusión válidacomo se puede ver en el diagrama de Venn que sepresenta a la izquierda.

Regla de la cadena en' símbolos:

í (r =>s) y (s => t) ~ '==> í (r ==>' t) ~

.- ~ . hipótesis j tconclusión'j

I '

El silogismo es ,la otra unidad básica en las demostraciones, se formacon tres proposiciones. La primera, llamada 'Premisa mayor es una implica- .cl6n aceptada como verdadera. .La segunda, llamada Premisa menor, esuna proposición también aceptada como verdadera y nos, dice en. un tér-mino, algo que es elemento del conjunto que se menciona en la hipótesisde la premisa mayor; a éste se le llama término medio porque inter~ieneen ambas premisa$ o proposiciones pero nU,ncaaparece en la conclusióndel silogismo. La tercera proposición o conclusión se forma suprimiendoel término medio, conjunto que aparece en ambas premisas y tomando eltérmino de la premisa menor como elemento del confunto de la premisamayor. . . \

Silogismo' simbolizadop ==>q Premisa mayor P e Q ,

x. e: p Premisa menor P es el término medio.'x E! Q Conclusión.

87

, El diagrama de Venn paro un silogismo válido o correcto presentala gráfica de dos conjuntos. el .de lo hipótesis P y el de lo conclusión a. elprimerosiemprees subconjuntodel segundo (P e a)-; presento también 01elemento x del término medio el que por estor contenid.o-en P forzoso~enteestará contenido en a. Ejemplo: ' '

, '

Premisa Mayor: Si un nÚmero es ry,1últiplode 6, entonces esmOltiplode 2. '

{múltiplos de 6} e {múltiplos de 2}

Premisa Menor: 18 es múltiplo de, ,618 e: {múltiplos de 6} ,

Conclusión e18 es múltiplo de 2 "

18 e: {múltiplbs de 2}

G. ,

El siiogismo ant~rior' 'está ~imboJizado usond9 el lenguaje' de con-juntos..Qtraforma es lo siguiente:, '

Premisa Mayor: Si, x es elemento del conjunto de múl-tiplos de 6. entonces x es elementod~1 conjunto demúltiplos de 2. .

Premisa Menor:.18 es elemento del conjunta de múltiplos,de 6. '

Conclusión:,18, es elemento del conjunto de' múltiplos'de 2. . Diagramadelsilogismo

Tanto en 'las reglas de inferencia como en los silogismos la validez nodepende del valor de verdad de los proposiciones componentes. sino de laforr:na en que se emplean. pues si no se siguen los reglas de 1,0lógico.la conclusión no seró uno deducción de las premisas; y del razonamientóo argumentación se dice' que no tléne validez o que es falaz.

Lo anterior significa que lo conclusión .puede' ser verdadera o falsa. :pero su valor de' verdad depende de una informaci(m diferente o adicionala la 'que' proporcionan las premisas. '

Ejemplos:

a)

P '. ( Si un'

animal es un oso entonces' le gusto la mielremisas t A mi animal preferido le gusta la miel

Conclusión:....

Este silogismo es ,invólldo independientemente de que la conclusiónpueda ser verdadera o falso porque de lo que se afirma en las premi~asno se puede obtener una conclusión. ya que no se (lfirma que sólo a los'osos les guste la miel por lo que mi, animal preferido pudiera ser un osoo pudiera no serio. '

88

---

'"

b)

P '. (:~i un'número es múltiplo de 4 entonces es divisible entre dosremisos t El número 14 es divisible entre dos. ..

Conclusión: El número 14 es múltiplo de 4. .Lo conclusión es notoriamente falso, el silogismo es Invólido pues no

siguió los reglas de lo lógico. .c) "

P '.. ( Si un número es múltiplo de 4'entonces es divisible entre dosremisos t El número 16 es divisible entre 2 ' .

Conclusión: El número 16 es múltiplo de 4Ahora lo conclusión es verdadero,. pero el silogismo sigue siendo Invá-

lido, el valor de verdad de lo conclusión lo obtengo de conocimientos delos relaciones entre los números, diferentes de los que se proponen en laspremisa$.Lo conclusión entonces no se deduce de los premisas.

En los demostraciones se utilizan uno o va.rios silogismos, r,)rinciplandocon los hechos enunciados o dados por el problema., o por hechos yo cono-cidos. como los postulados, hasta llegar o nuevos hechos o conclusiones;siempre usando el razonamiento deductivo. Lo 'demostración matemáticoexige apoyar ~on uno o varios razones caQa afirm'Qci6n que se hago. esto

I rozón puede ser un postulado, uno definici6n o lo conclusión de un teo-rema que ya fue demostrado.

Para este.tipo de demostraciones utilizaremos dos col,umnas,uno para los hechos dados en el problema y los afirmacionesque iremos deduciendo .hasta llegar o lo conclusión que se quieredemostrar. y la otro columna en donde darem.os los razones decado. afirmación que. se hago.

Ejemplo: Supongamos que ya conocemos que los siguientes hechosson verdaderos; "Si un número es múltlplo de 9 y también de 5. entonceses múltiplo de 45". "Si lo' suma de los dígitos que formQn un número es :múltiplo de 9, entonces el número es múltlplo de 9". "Si un número tert1)i-no en Oo.en 5. entonces es múltiplo de .5.".

.Pruebeque 33.210es múltiplo de 45.Proposiciones

33,210es múltiplo de ti

3 +.3 + 2 + 1 + 0=933,210 es 'múltiple de 9

CQnciusi6n:33,210es múltiple de 45 (Si un n~meroes múltiplo de 9 y tam-

bién de 5 entonces es múltiplo de 45).

Razones(Si un número termino en O) => (esmÚltiplo de 5).Hechos de lo sumo.(Si lo su'ma de los dígitos de un nú-

mero es múltiplo de 9) => (el númeroes múltiplo de 9).

89

-',

, ).

'En ía demostración ante~lor hemos utilizado tres slloglsmos durantenuestros razo.namlento~,sólo :que por razones prácticas no los escribimosen la,forma como los definimos y que a continuación se presenta. y en' su

. lugar utilizamos las dos columnas. omitiendo la ,premisa menor'quegene-ralmente'es evidente. '

¡

Premiso Mayor: (La razón que justifica nuestra afirmaciÓn). Siun número termina en 0:0 en 5, entonces es múltiplo de':5.Premisa Menor: (Omitida) 33;210 termina en -O. '.Conclusión: (~uestra afirmación) 33,210 es múltlplo de.5.

, .

1

Premisa Mayor: Si la,suma de

.

d

.

igitos que forman un número, es múltiplo de 9, entonces.el número es.múltiplo de 9.

Premisa Menor: Los digitos que forman el número 33,210 su-manunmúltiplo de 9. (No omitida). '

Conclusión: 33,210es múltiplode 9. '\ .

,

¡

pr

o

~";isa Mayor: ',~i

.

~n nú~ero es múltiplo de 9 y también.

de'5, entonc~s es multlplo de 45. .

Premisa Menor: 33,210 es múltiplo de 9-y de 5. " .Co~clusión: 33,210 es' múltiplo de 45. .

, Con el ejemplo ante~ior, se ve lo práctico que resulta el uso de lasdos co.lumnas 'en las demostraciones, por lo que a lo largo de este' cursocontinuará empleándose. La prem'isa menor se omite para simplicidad ya'que general.mente es una información dada o consegu.tda en el mismo:problema. .. .'.

.~. .

" .

I '\.

90

PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACION 11.8

En los siguientes problemas diga cuál es la suposición y cuál es laconclusión. y reescriba la proposición usando la forma "si. . . entonces. . .",si corresponde. .

1~ Si llueve,entoncesse pospondráel juego.eo r ~\,-'

2. Un número enter~ es múltiplo de 8 sólo si es par.1

3. Para toda x > O,x > - , x e: N.'x .

\

4. Que x sea .múltiplo de 9 implica que sea múltiplo de 3; x e: N.

5. El equipo gana si Pablo iuega.

6. Si se acepta como verdadera la proposición "si a = 5. entonces02 = 25".¿Cuál de las cuatro proposiciones siguientes es una deducción co-

. rrecta? . ,a) Si 02 = 25,entonces a = '5 c) Si 02=1=25,entonces a =1=5b) Si a =1=5, entonces 02,=1=25 d) 02 = 25. sól~ si a = 5

7. En los problemas que siguen dibuje el 'diagrama' de Venn después dereescribir la proposición en lenguaje de conjuntos, de modo que sevea que la implicación es verdadera. . .0), "Si un número es divisible entre 6, entonces es número par".b) "Si ~ < 10, entonces x < 15; x e: N".

8'. Usando las dos proposiciones que se dan, forme una ir:nplicación ver-dadera. '

a x2 = 4: x = 2.b) Triángulo isósceles; triángulo equilátero.

9. Reescriba las siguientes implicaciones usando el lenguaje de con-¡untos. Use diagramas de Venn para demostrar ~i la .implicación eso no verdadera.a) Si un número es divisible entre 4, entonces es un número par. .b) Si x es un número entero que no es menor que 10, entonces no

es menor que 6. .10. Cambie la proposición universal verdadera que se da, por su equiva-

lente lógica. una implicación en donde use primero el conectlvo lógico"si. . .entonces. . ." y luego escríbdla usando "sólo si" para observarla impresión que se produce eñ el valor de verdad que no se ha'cambiado. '

. a) Todos los días lluviosos son nublados.b) Todos los múltlplos de 6 son múltiplos de 3.

91

-=-- ""- - ---.-

Considerandoo n > 5 como "p", y a n = 4 como "q", 'escriba lossiguientes implicaclones en lo forma "si... entonces. . .", recuerde, que,el símbolo-.- representa la negación y también que n E R.11. p=>q . 12. q=:>.-p 13. q==>p14. .- q => , p ,15. ; 'p => -".q 16. -.; p => q

Diga qué variante de la ,implicaciónrepresentan los símbolos.

17. q =>p

18.' ,...,q=>.- p

19. .- P=>,..., q

20. Utilice los diagramas de Venn para determinar el valor de verdad'en~os ejercicios del 11 01 16,. ' ,

21. ¿Cuál de las propoSiciones siguiéntes es equivalente a "si r, enton-ces s"? " ,

t1) r, s610si ~ b) s, sólo si r c) r, si sólo si s22. Complete las siguientes oraciones de, modo que el significado no

cambie y que el valor de verdad sea Verdadero. -a) -Dador =>~s;' sólo sib) Dado p => q; si -c) Cuando p =>q y q ==> p son implicaciones verdade'ras, a "p" y

"q" se les llama proposiciones.

"

'.

. ,En los problemas del 23 al 28, compruebe si los silogismos que se

don son o no válidos, explicando por 'qué. Dibuje un diagrama de Vennpara cada problema. Recuerde que no estamos analizando la validez decoda atrrmación. -,

23: Si un número es mÚltiplo de 10, entonces es múltiplo de 5. 20 esmúltiplo de 10. '

Por lo tanto, 20 es un múltiplode 5.24. Si una ciudad está ~n Nuevo León, entonces está en América. Mon..

terrey está en América. -

Por lo tanto, Monte.rreyestá en Nuevo .León.25. Si un número es múltiplode 10, entonces es múltiplode 5. 75 es múl-

tlplo'de 5.Entonces, 75 es múltiplode 10.

26. Todo burro tiene orejas.Tú tienes orelas.Por lo tanto, tú eres un burro. ,

27. Dos ángulos de un triángulo són iguales, si y sólo si los lados opues-tos o esos ángulos son 19uales.~ASC, (léase triángulo .ASC)AS = BCEntonces, el ángulo C es igual al ángulo 'A.

28. Todos lo,sángulos rectos tienen igual medida.Los'óngulosA y S son rectos. '

Por lo tanto, el ángulo A es Igual al ángulo B.

92

29. Si aceptamos como postulado la" siguiente propostcióri "Los ángulosopuestos por el vértice tiÉmen,la mismo medida" ¿Cuáles de lassiguientes proposiciqnes se pueden "deducir" de este postulado y ,

por qué?' , ",

a) Dos 'ángulos que no tienen la misma medida no pueden ser 'án-gulos opuestos por el vérticé. ,

b) Algunos ángulos que tienen la misma medida, son ángulos opues-tos por el vértice. '

c) Dos ángules que tienen la misma medida son opuestos por elvértice, , ,

d) Dos ángulos que no son opuestos por el vértice, no pueden' tenerla misma medida., ' , '.. '

Escriba una conclusión basada en la información que' se da. '

30'. 'El Sr. González recibirá un ascenso si termina su preparatoria. .El Sr. González termina su preparatoria.., . '

\

31. .Todo número pares divisible .entre dos, x es un número par.

RESUMEN

Hemos utilizado los términos que ,se introdujeron en la unidad anterior. yhan sido una gran ventaja, no sólo por facilitarr:tos la sirnbolizaci6n denuestro lenguaje ordinario siho también porque nos han permitido expre-sarnos d~ una forma más clara y precisa, evitando así las amb.gü~d(]despropias del lenguaje ordinario. ' " , ..

En esta Unidad 11definimos nuevos términos para precisar aún m6snuestras expresiones e ideas, así como también nuestras argumentacio,;.fles o demostraciones, los más importantes son: '

Deducción Silogismo ' .Valor de verdad Proposici.6n sj'mpl~ 'Negación, ConjunciónCuantificador particu'lar Leyes de DeMorganEquivalencia ,lógica Implicación,Conversa de una implicación Cuantiflcador univer.salDemostración a dos columnas 'Doble implicación .Proposición abierta. Contrapositiva d~ una imp'licaciónDisyunción '\.

93

"

Panele. de verlflcacl6n.

CONJUNTO DE PROBLEMAS. 11-5

1. Todos los lunes se lleva a cabo el saludo a la bandera.2. García obtiene un bueo salario.

. 3.. Deducción: al aceptar que es martes. I4. Inducción: se generalizó lo sucedido cinco años consecutiv.os.5. Deducción: al aceptar que los cuatro lados iguales midan 4 cm. de-

dujo la medida de cada lodo.. .6. Sí; proposición simple, verdadera. ,

7. No tie.neconjunto de reemplazamientopor lo tanto, no es proposición.8. Sí; proposición abierta {6}.9.. sr; proposición abierta {x e: N I x es par}.

10. "EI conjunto de los múltiplos de 6 es subconjuntodel de 'númerospares".

11. "3 es elemento del conjunto de númerosmenores que 5"

CONJUNTO DE PROBLEMAS 11-6

1. El conjunto de múltiplos.de 6 es un .subconjuntodel conjunto de nú-meros pares.

2. 3 es un elemento del conjunto de números impares.3. x es elemento del conjunto de números naturales y del conjunto de , .

números menores que 4.4. El triángulo T es,un elemento del conjunto de triángulos equiláteros.

5. 6. 7.

.

B. Impares

". 3I

94

8. 9.

11 N

10.

N N

12. Disyunción, '''x < 8" o "x esmúltiplode3" x e: M

Conlunto de verdad{1, 2, 3. 4, 5, 6. 7} U {3, 6, 9} = {1, 2, 3, 4,5,6, 7, 9}

13 . Disyun~ión '

"x es múltiplo de 3" o "x. es número par o es menor que 8". x e: M'Coniuntosolucl6n_, ' -, ,

{3.6. 9} U [{2.4, 6. 8,.10} U {1,2. 3, 4, 5. 6, 7}] = '

= {3. 6. 9} U ,{1, 2, 3, 4. 5, 6. 7. 8, 10}= {1. 2. 3, 4,~. 6, 7.8. 9. 10} = M

, 14. Primer paso"x es mÚltiplo,de 3" A = {3, 6; 9}"x es par",' B ::;: {2, 4. 6. 8. 10}"x es menor' que 8" . e = '{1.2-,3. 4, 5. 6,7} . .

' " M = {1. 2. '3.4,5, " 7, 8, 9, 10}

I

I

Segundo paso.

M '

BA

95

, '

Resp~esta. "A n c" "x es' múltipl~ <;te3 y es menor que 8"

15. Wsando los pasos 1 y 2 del problema anterior buscamos ahora. laoperaQión entre los conjuntos que nos dé {2, 3, 4, 6}Solución(A U B) n e que corresponde a:"x es múltiplo de 3 o es par" y "x es menor que 8"

Sean A, B, e no disiuntos

16.aób b'yc

,. A AB

19. b Y(c ó a).

(b Ye) ó a

A B.

20. b Y (e Ya)

A lB

CONJUNTO DE PROBLEMAS 11.7

A

1. Es una proposición slmpre.Negación. 11TlOes un número primo.Falsa.

~LA

2. .Proposición abierta. Negación. x + 3 =1= 10; x e: N.El área sombreado contiene loselementos que cumplen con la negación. .

3. Proposición simple. .Negación. 6 4: 8. Falsa.

96

- - -- - - -- - - .

4. Proposición simpleN'egación. 3 <. 5. Verdadera

. . .5. Proposición abierta. - .

Ne.gación. "x no es un múltiplo de 3; x e:. N"

6. Proposición simple. .

Negación. "Hoy no es só.bado". Valor de verdad contrario del -quetengo la afirm.ación. .

7. Negación. 20. Ley de DeMorgdn.

Todos los días

8 . .Negacló",.10. Ley de DeMorgan"Hoy no es martes o no es un d(a lluvioso.

r

N

9. Negación."x :t>3 Óx <t 10, x E: N"Esta ne9ación es equivalente a:".x~ 3 o x ~ 10,XE: N"

N

10. Negación. .

"2x =F6 Y x = O; X E: N"

11. El cohjunto de números primos ,e~subconjunto del de números ;mpares

Racionale~

97

12. Algunos númerqs naturales no son enteros.

13. En este problemó se afirmo que los rectos p~rdlelas no se corta'n, Vaunque no se menciono el cuantificador no se da lugar a' excepciones

, por lo que se considero que se afirmo que todas los r89tas paralelasno se cortan. Este es el lenguaie. ordinariamento empleado, por lo que

. debemos desarrollar capacidad poro transformár ~o que se nos dicea lo formo simbólico que aquí aprendemos a manipular- (esta trans-,

, formación se puede hacer sólo mentalmente) poro así comprender Vasimilar el significado o semántica de lo que' se nos dice.

Negación: Algunos rectos paralelos se cor-tan. Observar que esto formo de simbolizarnos permite eliminar un error frecuente dé lanegación 01.trotar de negar lo proposición enlo formo siguiente: .Los rectos paralelos se cortan.Formo equivocada y además frecuente.

14. Todos los números enteros son ra~iona~es.

15. Todos los tri~ngulos equiláteros son is6sceles.

16.. Algunos días lluviosos son claros.

98

,

Reole.

Figura. Geom~triCtl.

Todo. 10.' dÚl'

A = {múltiplos:de 3}B ={pares}e = ,{múltiplos de ~}

17.

18.

20.'

2) 40 es múltiplo de-5 y es par,pero no es r{1últiplode 3.

,19.

21. Falso que (121 múltiplo de 3 omÚltiplo de 5) o par.Es falso que (121 múltiplo de 3o múltiplo de 5) y no es par.(121 no es múltiplo de 3 y noes múltiplo de 5) y no es par.

99

CONJUNTO DE PROBLEMAS 11.8

1.. Suposición: Que llueva.Conclusión: Posponer el ju~go.

2. Suposición: Ser número entero múltiplo de 8. .

Conclusión: Ser par. . ..'

Implicación: Si un número entero es múltiplo de' 8. entonces es par.

3. Suposición:x > O. x e: N1

1Conclusl6n:x > -,. X E: N .x

1Implicación: Si x > O,entonces x > -, x e: N

- x

.4. Suposición: x mÚltiplo de 9.Conclusión: x múltiplo de 3.Impllcacl6n: si x es múltiplo de 9. entonces es múltiplo de 3; x e: N.

5. Suposición: Que.Pgblo juegue. 'Concl.usI6n:El equipo gana. .Impllcacl6n: Si Pablo juega. entonces el equipo gana.

6~ a)' 02= 25=> a = 5 Incorrecto porque a podrfa ser - 5.'

b) a#-5 => 02,* 25 Incorrecto por la,'mlsma razón que antes.c) Si 02'* 25.entonces a '* 5 Correcto porque si no .se cumple la

conclusión. no se cumple tampoco la hipótesis. .d) 02= 25 =>a = 5 Incorrecto es la misma proposición que en in-

ciso a) pero en. otra forma.

7. a) Si un número es 'divisible entre '6,' enton-.. ces es par. "'El conjunto de números divisibles entre 6es subconjunto del conjunto de númerospares. '

100

b) SI x < 10. entonces' x < 15. x e: N. El con-lunto de números naturales menores que.10 es subconlunto del coniulito de núm9-ros naturales menores que 15.

8. al Xl = 4: x = 2. x e: N. Impllcaci6n x = 2 => x2 ==40b) 6. Is6sceles, 6. equilóteroo '1l'J1Pllcoci6n.Si un 6. es equilátero ==>

'es Is6sceles. '

8. a) El conlunto J de números divlsibles entre 4 es subconiunto de lospares.Por definicl6n "Los números divisibles .

por 4 son múltlplos de 4"El 4 es múltlplode 2 .

Por tanto es par '

Todos los múltlplos de 4 son pares

Verdaderab) El.conlunto' de números enteros no menores que 10 es subconjunto

del conlunto de números ~nteros no menores que 6.A = {Conlunto'de "número~ no menores que 10}= {10, 11, 12, 13. 14,.. . o}B ={Conluntode números no menores que 6}= {6, 7, 8. 9, 10,11,12, o. o}.

ACB

Verdadera

10. -a) "SI un dIo'es lluviosoentonee. es nublado".b) "Un .dIoes lluviosos610si es nublado".c) "SI un número es múltlplode 6. entonces es múltlplode 3".

HUn,número es múltlplode 6 s610si es múltiplode 3"0Analice detenidamente estas impllcaolonesy compárelas con las orl..glnales. Las tres f()rmas nos dicen exactamente lo mismo. pero nosiempre nos damos cuenta, el lenguale ordinario nos presenta mu..chas dificultades para encontrar la verdad V esto es una oportunidadde analizar lo que decimos o nos dicen para poder luzgar.

, 11. SI n > 5. entonces n = 4 n e: N (p => q). .12. SI n = 4. entonces n :J>5 n e: N (q => - p)o13. SI n = 4. entonces n > 5 n e: N (q => p).

101

14. -Si n:# 4, entonces' n )::-5 n E: N (-- q =:) -- p).15. Si n ,)::-5, entonces n :# 4 n E: N (-- p =:) -- q).16. Si n:1>5, entonces n = 4 n E: N (~p =:) q).17. La proposición q =:) p es lo conversa.18. La proposición ~ q =:) -- P es la contrapositiva.

,19. La proposición ,~, p ==> ~ q eS la invérsa. '20. Una proposición .equivalente a n)::-5 sería n <,5; (n)::-5 <=>n < 5)

en muchos casos esm6s conveniente usar el diagrama de u!napro-posición afirmativa en lugar de la proposición negativa como lo 'ha-remos,en al'gunos de los.problemas.que siguen. '

Sombre'aremos las hipótesis con rayado a la dere~ha

y las conclusiones con rayado a la izquierda

1. Implicación falsa 2~Implicación verdadera

s

4. Implicación falsa S. ImpUcaclón faba.21. a) r s610 si s, equivale a r::::) s.

3. Implicación falsa

6. Implicación falsa

, 22. a) r => s; r s610 si' 8

b). P => q; q si p' ,

c) Cuando p => q y. q => p son Implicaclones verdaaeras, a "p" y"q" s~ le~ lIam~ proPoSiciones.equivalente.,

102

- -.- --

.:>-n'<"'S(\

4

23. Diagrama del Silogismo-{múltiplos de 10}c {múltiplos de 5}

. 20 E: {múltiplos de 10} ,

20 E: {múltiplos de5}

Razonamiento Válido

24. {ciudades. de Nuevo León} e {ciudades de América}. MonterreyE: {ciudades de América} - 7 -- I .

, ~Monterrey E: {ciudades de Nuevo León}.

, Razonamiento ',InválidoIndependientemente de que lo conclusión seoverdade-ra. . .

25. {múltiplos de 10} e {múltlplos de 5}75 E: {múltiplos de '5} -7

; 15 E: {r.núltiplos de 10}

Inválido

26. "Todo burro tiene orejas" es equivalente o"Si es burro => tiene orejas" V o{burros} e {ani'males con orejas}Tú E: .{an.malescon orejas} -?Tú ~ {burros} -' .

I

Inválido

27. {Triánguloscon dos ángulos iguales} = {trián-gulos'con dos Iodos .iguales} .~ ASC.E: {triánguloscon dos Iodos-igualés}~ ASC E: {triánguloscon dos ángulos iguales}Observación: No se pretende demostrar los pre-

'misas, sino que se aceptan como verdaderos,sólo verificamos que lo conclusión se derivede o esté contenidoen los premisas.

Válido

7'rl41wu1o.COIIdo, ~

/IutIln1rl4".u1o ASO.

trliíngulo, 'COIIdo.bloI igwJ",

103

Válido

" 28 . {ángulos rectós} c{ ángulos con igual medida}<r A y <r B E {ángulos rectos}<rA=<rB

29. a) Esta proposiciónes equivalente a la proposición dada porque es lacontrapositiva. ' ' "

b) Esta proposición es la particular afirmativa que se' puede deducirdel' Universalafirmativo que nos dan "Todos los ,ángulos opuestos

I por el vértice tienen la misma medida". "

c) Esta proposición es la conversa' por. lo que no se "d~duce" de laimplicación. .

d) Esta proposición es la conversa equivalente a la conversa del in-ciso anterior. '

30. Cambiamos a la forma si . . .entonces.. . .de modo que identifiquemos, sin error la hipóte,sis y la conclusión. '

" ,

{

Si termina su preparatoria el Sr. GonzÓlezentonces recibirá.un,Premisas ascenso. ' .

. El Sr. Gonzáteztermina su preparatoria. (

Conclusión: El Sr. ,González recibirá un ascenso

31. Si un número es par entonces es divisible entre dos; x es número par., '

Conclusíón: x es' divisible entre dos.

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