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El material didctico Gua para el Profesor, Matemtica 5, Proyecto Bicentenario, para Quinto ao de Educacin Bsica, es una obracolectiva, creada y diseada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la direccin de
MANUEL JOS ROJAS LEIVA
Coordinacin Cientfico-Matemtica: Gabriel Moreno Rioseco
Edicin: Carolina Villena RamrezMarcia Villena Ramrez
Autores: Mara Antonieta Santis AvalosPedro Enrique Rupin Gutirrez
Correccin de estilo: Isabel Spoerer Varela Astrid Fernndez Bravo
Documentacin: Paulina Novoa Venturino Juan Carlos Reyes Llanos
La realizacin grfica ha sido efectuada bajo la direccin de VERNICA ROJAS LUNA
Con el siguiente equipo de especialistas:
Coordinacin Grfica: Carlota Godoy Bustos
Diseo : Claudia Pino SierraGina Casas Hernndez
Diagramacin : Sebastian Alvear Chahuan
Cubierta: La Prctica S.P.A.
Produccin: Germn Urrutia Garn
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin en ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pblico.
2009, by Santillana del Pacfico S.A. de Ediciones. Dr. Anbal Arizta 1444, Providencia, Santiago (Chile). PRINTED IN CHILE. Impreso en Chile por Quebecor World S.A.ISBN: 978 - 956 - 15 - 1470 - 6 Inscripcin N 172.535.
www.santillana.cl [email protected].
SANTILLANA es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S.L. Todos los derechos reservados.
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Presentacin 4
Ejes del proyecto Bicentenario
Cuadro comparativo entre OFV y CMO 6
Organizacin del texto del alumno 10
Organizacin de la gua para el profesor 12
Planificacin de las unidades 14
Grandes nmeros 14
Mltiplos y divisores 32
Permetro y rea 52
Las fracciones 72
Los nmeros decimales 96
Datos y azar 116
Recursos 136
Solucionario de evaluaciones complementarias 136
Bibliografa 138
1Unidad
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| 4 |Santillana Bicentenario
El proyecto Bicentenario de Santillana, presenta una propuesta destinada a cubrir todos losrequerimientos del Ministerio de Educacin.
Bicentenario, representa una enriquecedora instancia para evocar nuestro pasado y recogerlas experiencias vividas por la nacin en doscientos aos de vida republicana. A su vez,constituye un espacio abierto de debate y reflexin para crear, innovar y proyectar conliderazgo el futuro que hoy se construye en nuestras aulas.
El material didctico que constituye esta serie, busca fomentar en los y las estudiantes lacomprensin de la realidad, facilitando la seleccin de estrategias para resolver problemas ycontribuir al desarrollo del pensamiento crtico y autnomo. Ademas, el currculum de estesector tiene por objetivo aportar al desarrollo de las capacidades de comunicacin,razonamiento y abstraccin de los alumnos y alumnas, impulsando el desarrollo delpensamiento intuitivo y la reflexin permanente.
La propuesta Editorial contempla el Texto del alumno, un Taller de ejercicios, un Anexo consolucionario, la Gua para el profesor y los Recursos digitales.
Ejes proyecto Bicentenario
1. Incorporacin de los ajustes curriculares
La serie Bicentenario ha sido creada acorde a los nuevos ajustes curriculares publicados enjulio de 2008, abordando los nuevos requerimientos relacionados con los ObjetivosFundamentales Verticales y Contenidos Mnimos Obligatorios.
El propsito de esta nueva propuesta para el sector de Matemtica es introducir a los y lasestudiantes en la comprensin del mundo que los rodea por medio de relaciones entre losdiversos aspectos de la realidad, basada en el conocimiento proporcionado por esta readel conocimiento.
PRESENTACIN DEL PROYECTO
Para el alumno(a): Texto del EstudianteTaller de ejerciciosAnexo con solucionario
Para el profesor(a): Gua del Profesor Recursos digitales
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Se pretende que todos los alumnos y alumnas logren, en su formacin general, unaeducacin matemtica bsica. Esta perspectiva se expresa en los Objetivos Fundamentalesy Contenidos Mnimos Obligatorios orientados hacia un aprendizaje contextualizado delconocimiento matemtico.
As el sector de Matemtica se ha reestructurado entorno a cuatro ejes temticosfundamentales, estos son:
1 Nmeros.
2 lgebra.
3 Geometra.
4 Datos y azar.
2. Evaluacin permanente y explcita
En los textos del proyecto Bicentenario, la evaluacin se ha ido desarrollando en diversosmomentos a lo largo de cada una de las unidades con el propsito de obtener informacinsobre los aprendizajes logrados. En este sentido se entregan evaluaciones diagnsticas, deproceso y finales. Cada evaluacin cuenta con su correspondiente pauta de correccin conindicadores, criterios y actividades remediales y de profundizacin, que permiten atender ala diversidad de aprendizaje de los y las estudiantes.
Los tipos de evaluaciones que encontrar en el texto, se detallan a continuacin:
Evaluacin diagnstica. Se presenta al inicio de cada unidad para identificar losconocimientos previos con los cuales los estudiantes se enfrentarn a los nuevosaprendizajes y permite detectar falencias que pudieran entorpecer el logro deaprendizajes ms complejos. Este momento evaluativo, es de carcter formativo.
Evaluacin de proceso. Se desarrolla durante la unidad y, dado su carcter formativo,permitir al estudiante retroalimentar su desempeo y, al docente, realizar a tiempo lasmodificaciones necesarias para mejorar el logro de los aprendizajes.
Evaluacin final. Su carcter es sumativo, pues entrega informacin a cerca del nivel delogro alcanzado respecto de los aprendizajes esperados al trmino de la unidad, dandola posibilidad de reforzar los aprendizajes ms dbiles.
3. Innovacin en el diseo
La propuesta grfica pone nfasis en los recursos visuales, como infografas, ilustraciones,fotografas, esquemas, entre otros; con el propsito de apoyar la labor docente, al favorecerla construccin de aprendizajes, a partir de la comprensin visual.
4. Incorporacin de las TIC
Con el objetivo de responder a la amplia gama de recursos tecnolgicos y para atender la cobertura de alfabetizacin digital, se han introducido nuevos mtodos de enseanza-aprendizaje que contemplan el uso de las TIC como instrumento cognitivo y para la realizacin de actividades interdisciplinarias y colaborativas.
Los recursos digitales que contempla el proyecto son 3 discos compactos que contienen:el libro del alumno digital, tutoriales que muestran al docente cmo utilizar herramientasdigitales y la gua didctica en formato PDF.
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La gua para el profesor del Texto Matemtica 5, Proyecto Bicentenario, es un material creado por editorial Santillana comoapoyo al proceso de enseanza-aprendizaje para el subsector de Matemtica. Esta propuesta de gua incorpora materialconcreto de apoyo a la labor docente, a travs de diversos elementos que se desarrollan en el interior de las pginas.
A continuacin se describen los tipos de pgina que encontrar en cada unidad:
Organizacin de la gua
1. Pginas de inicio
Ttulo de la unidad
Introduccin de la unidadDescribe el propsito dela unidad.
2. Esquema de la unidadOrganizador grfico que muestra losprincipales conceptos tratados en eldesarrollo de la unidad.
3. Sugerencias metodolgicas
Informacin para el docenteEsta seccin est destinada a entregar informacin anexaal docente, de manera de profundizar y complementarla informacin dada en el texto del alumno.
Actividades complementariasProporciona al docente actividades que pueden serrealizadas antes, durante o despus del tratamiento decontenidos y que permiten profundizar o reforzar losconceptos principales abordados en las pginas del textodel estudiante.
Contenidos de la unidadListado de los contenidosdesarrollados en el textodel estudiante.CMOOFV
OFTTiempo estimado
TareaEn esta seccin seproponen diversasactividades deprofundizacin para quelos estudiantes desarrollenlos temas trabajados.
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| 13 |
Sugerencias de evaluacin Para las evaluaciones de cada unidad del texto del alumno,se presenta una tabla que organiza para cada tem losindicadores, las preguntas que responden a cada indicador,los criterios de logro, remediales y actividades deprofundizacin.
Errores frecuentes o posibles dificultadesEsta seccin presenta dos instancias de trabajo, una de ellases la relacionada con los errores ms comunes en quesuelen incurrir los alumnos y alumnas, proponiendoestrategias para evitar y subsanar estos errores. Y la otra, serelaciona con las posibles dificultades que los y lasestudiantes pueden presentar, donde para superarlas sepresentan remediales e indicaciones tiles.
4. Evaluaciones complementariasCada unidad presenta dos pginas destinadas a evaluarlos contenidos de la unidad mediante preguntas deseleccin mltiple.
5. Solucionario Entrega las respuestas de las evaluacionescomplementarias de la gua para el profesor.
6. BibliografaEntrega una serie de recursos bibliogrficos que lepermitirn ampliar el contenido de los temas tratadosen cada unidad del texto.
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| 16 |Santillana Bicentenario
Esquema de la unidad
Informacin para el docente La Teletn es, quizs, la actividad ms significativa que pueden reconocer los(as) alumnos(as)
en el uso de grandes nmeros, sin que estos se expresen en otras unidades (UF, UTM osimilares) ni que se redondee. Se les puede plantear a los(as) alumnos(as) que, en general,para cantidades tan altas de dinero suelen utilizarse unidades muy especficas, como porejemplo la Unidad de Fomento (UF) , pese a que no es el objetivo de esta unidad manejarlas.
Errores frecuentes o posibles dificultades En general, para grandes cantidades de dinero como la expuesta en la Teletn, suele optarse
por redondear las cifras refirindose a alrededor de cierta cifra, dificultando el acceso a lainformacin de los(as) alumnos(as). Se sugiere utilizar como refuerzo el que los(as) alumnosden a conocer la cifra exacta a la cual han aproximado, como un desafo de transparencia.
La lectura y escritura de nmeros ha sido abordada en cursos anteriores, pero en los(as)alumnos(as) suelen presentarse confusiones cuando se trata de leer nmeros mayores quemil, y con mayor razn los que entran en la categora de los millones, decenas o centenas demillones, y aun ms, miles de millones. Se recomienda prestar atencin a las dificultades quelos y las estudiantes puedan presentar y, a los mecanismos que utilizan para desarrollar estasactividades, pues pueden ser herramientas que permitirn planificar lo sucesivo. Muchos delos contenidos de esta unidad tratarn de sistematizar los conocimientos que por los(as)alumnos(as) son manejados de forma previa, pero muchas veces de manera poco efectiva.
PGINAS DE INICIO (Pginas 8 y 9)
Sugerencias metodolgicas
NMEROS
Sistema decimalposicional
Aproximar Algoritmos deadcin y sustraccin
Propiedades de lasoperaciones
Ordenar ycomparar
Cifra acifra
En la rectanumrica
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UNIDAD 1 | GRANDES NMEROS
IndicadorN de
preguntaRespuesta
Logradocon
Remediales/ sugerencias de profundizacin
Leer y escribirnmeros enpalabras.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
500
500
1.600
800
8.500
600
6.400
900
1.700
7 / 9 Realizar un glosario de lectura de nmeros, hasta eltreinta de uno en uno; luego decena a decena hastael cien; centena a centena hasta el mil y luego hastadiez mil.
Pedirles a los y las estudiantes traer distintos tipos deinformacin, sacada de diarios, revistas, noticias, etc.,de inters para ellos, que contengan cantidadesnumricas muy grandes, y que luego, puedan escribirlas cantidades encontradas.
Descomponermultiplicativamenteun nmero.
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
5 100
5 100
16 100
8 100
32 100
85 100
6 100
64 100
9 100
17 100
8 / 10 Trabajar con las y los estudiantes situaciones, quepresenten distintos tipos de cantidades, dondetengan que verificar si cuentan las cifrascorrectamente.
Para profundizar, se propone plantear un problemaanlogo con dinero, descomponiendo en monedasde $ 100. Cuntas son necesarias para dicho monto?
Comparar yordenar nmeros.
20 8.500, 6.400,
3.200, 1.700,
1600, 900, 800,
600, 600, 500,
500
Ordencorrecto
Se propone utilizar el glosario construidoanteriormente para corroborar el orden de losnmeros.
Calcular adicionesy sustracciones.
21
22
24.700
2.1001 / 2 Trabajar con los y las estudiantes, el algoritmo de la
adicin, para que los alumnos y las alumnas se vayanapropiando de habilidades relacionadas con elalgoritmo tradicional.
Presentar a los(as) alumnos(as), situaciones reales, lascuales pueden ser resueltas por algn algoritmo de laadicin en particular.
Aproximarnmeros.
23
24
25.000
20.0002 / 2 Pedir a los(as) alumnos(as) que expliquen sus
procedimientos, para poder constatar si dominanefectivamente las tcnicas de aproximacin.
QU RECUERDO? (Pginas 10 y 11)
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| 18 |Santillana Bicentenario
Informacin para el docente La lectura de nmeros grandes (y de los nmeros en general), aunque parezca extrao, no
es tan universal como podra creerse. En Estados Unidos, por ejemplo, un billn esconsiderado como mil millones, a diferencia del resto del mundo que considera un billncomo un milln de millones. En cuanto a los nombres de los nmeros y el sistema paraasignarlos, llama la atencin que en el idioma francs se traduce, literalmente, el nmerosetenta como sesenta y diez, setenta y cinco como setenta y quince, mientras queochenta se traduce como cuatro veintes.
Para nmeros aun ms grandes, se han establecido algunas reglas para nombrar trillones,cuatrillones, decillones, hexadecillones, etc., llegando al googol y al googolplex (el primero danombre al famoso buscador de Internet Google). Sin embargo, un googol (un uno seguidode cien ceros) es mayor que el nmero de tomos del universo, por lo que no tienedemasiada utilidad prctica. Por lo dems, los nmeros demasiado grandes dejan de serinterpretables para la mente humana, lo que hace imprescindible el uso de comparacionesy analogas.
Actividades complementarias Es imprescindible que, al menos en una primera etapa, los(as) alumnos(as) desarrollen
tcnicas efectivas para la lectura de nmeros; para ello, los puntos separadores son de granimportancia no solo para un rpido conteo de cifras, sino tambin para ayudar a la expresincon palabras. Para ello se sugiere separar el nmero en tres cifras (usando los puntos oespacios), ubicando debajo de cada grupo de cifras las palabras que indican el significado decada tramo. Por ejemplo:
74.657.897.402
Puede anotarse como:
74 657 897 402
mil millones mil
Explicar a los(as) alumnos(as) que para leerlo correctamente, bastar con leer literalmenteel nmero, seguido de la palabra bajo el punto.
Plantear a los(as) alumnos(as) nmeros que tengan ceros en algunas posiciones; lainterpretacin de esos ceros, sobre todo cuando estn en posiciones intermedias al nmeroo incluso formando bloques, les permitir reflexionar respecto al significado de estos y cmointerpretarlos en la lectura. Se les puede pedir, por ejemplo, expresar en palabras lossiguientes nmeros:
53.000.430
53.430.000
53.000.043
Y a partir de ello, constatar cmo interpretan los ceros.
LECTURA Y ESCRITURA DE NMEROS NATURALES (Pginas 12 y 13)
UNIDAD1 14/9/09 12:08 Page 18
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| 19 |
UNIDAD 1 | GRANDES NMEROS
Errores frecuentes o posibles dificultades Puede parecer un tanto curioso para los(as) alumnos(as) que la separacin de cifras se haga
de derecha a izquierda, y sin embargo, el nmero se lea de izquierda a derecha. El contenidosiguiente, referido al valor posicional, puede ayudar a esclarecer esto. Algunas dificultadesasociadas a los ceros ubicados en posiciones intermedias pueden resolverse representandociertos valores en un baco, para que los(as) alumnos(as) establezcan la relacin.
Informacin para el docente El valor posicional de las cifras es un logro que la humanidad tard en conseguir, y que da
cuenta de una concepcin abstracta de nmero (relaciones que se establecieron de laspropiedades de una coleccin de objetos) y una adecuada diferenciacin entre nmero(idea) y numeral (su representacin). En Amrica, sus primeros exponentes fueron losbabilonios y los mayas, estos ltimos con el especial mrito de haber introducido el cero.
Nuestro sistema de numeracin decimal posicional (con base diez) est basado ciertamenteen nuestros dedos de las manos, extendido por los mayas al uso de manos y pies. Los dedos,usados de manera natural para contar, se hicieron rpidamente insuficientes para poderrepresentar nmeros grandes, por lo que fue necesario utilizar otros objetos pararepresentar que las manos ya haban sido utilizadas ms de una vez.
El uso del baco puede ya haberse realizado en cursos anteriores, pero no est de msusarlo nuevamente para que los(as) alumnos(as) comprendan a cabalidad el sistema denumeracin decimal posicional.
Es importante que los(as) alumnos(as) constaten que la descomposicin aditiva de larepresentacin decimal guarda relacin tambin con la lectura que hacemos de los nmeros,omitiendo la palabra ms. La sola yuxtaposicin de las palabras indica la adicin.
Actividades complementarias El uso de monedas con valores de base diez puede servir para la descomposicin de los
nmeros. Tambin puede resultar til el uso de fichas que representen distintos valores.Proponer a los(as) alumnos(as) un juego que otorgue puntaje en distintas competencias, queluego pueda traducirse en fichas. Por ejemplo:
Fichas rojas: 1 punto.
Fichas verdes: 10 puntos.
Fichas azules: 100 puntos.
Fichas blancas: 1.000 puntos.
Finalizado el juego, se les pide a los(as) alumnos(as) que transformen su puntaje a la menorcantidad de fichas posibles, a travs del canje de fichas, es decir, que un alumno(a) que tenga24 fichas verdes, por ejemplo, constatar que puede cambiar 20 de ellas por dos fichasazules y 4 fichas verdes. Al lograr convertir su puntaje en el menor nmero posible de fichas,guiar la actividad para que representen el nmero en su forma decimal.
DESCOMPOSICIN ADITIVA Y VALOR POSICIONAL (Pginas 14 y 15)
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Informacin para el docente La ubicacin de los nmeros en la recta numrica permite introducir tambin el concepto
de medicin. Es importante que los(as) alumnos(as) tengan claro que la eleccin de la unidades arbitraria, pero, una vez que se fija, sirve de referencia para las dems divisiones y mltiplosde ella. Por lo mismo, una recta no tiene por qu estar graduada de uno en uno, sino quecada divisin puede representar ms de una unidad, segn lo que se est trabajado.
Actividades complementarias Con el objetivo de conocer las tcnicas utilizadas por los(as) alumnos(as) para graduar una
recta numrica y ubicar nmeros en ella, plantearles que confeccionen una recta, la gradeny ubiquen determinados nmeros en ella. Utilizar esta informacin para plantear a los(as)alumnos(as) conflictos que le permitan encontrar la solucin para corregir el error surgido.Se les puede sugerir, al respecto, que dividan las mitades de los segmentos definidos, lo quepuede inducir tambin a la tcnica de aproximacin. As, por ejemplo, si deben ubicar en larecta el nmero 1.329 entre 1.000 y 2.000, es til que dividan el segmento por la mitad ynoten que el nmero pedido se ubicar en la primera mitad. Luego, esa mitad puede serdividida nuevamente por la mitad, con el fin de constatar que se encuentra en la mitadmayor. Se les puede pedir que expongan estas tcnicas al resto del curso, destacando loimprescindible que es considerar en primer lugar el nmero mayor.
Se recomienda prestar atencin a la adicin y sustraccin de nmeros en la recta numrica, demanera especial cuando esta no se encuentra graduada de uno en uno. En principio, puede serconveniente que realicen una tabla para obtener resultados intermedios, producto de realizarlos avances o retrocesos espacio por espacio, para luego proponerles abordar el clculoutilizando multiplicacin para encontrar el sumando o sustraendo y luego realizar la operacin.
NMEROS EN LA RECTA NUMRICA (Pginas 16 y 17)
Informacin para el docente La comparacin de nmeros no debera presentar mayores complicaciones para los(as)
alumnos(as), si lograron asimilar las tcnicas de comparacin cifra a cifra. Pero de todas formas,en los casos en que se trabaja con nmeros grandes que terminan en ceros, estos pueden seromitidos, con el fin de que se puedan comparar nmeros. En este sentido se podra planteara los(as) alumnos(as), que realicen comparaciones con determinadas cantidades de dinero, enbilletes o monedas. Por ejemplo:
- Martn tiene $ 2.700 en monedas de $ 100 pesos.
Hugo tiene $ 3.500, tambin en monedas de $100; quin tiene ms dinero?
Los(as) alumnos(as) tendrn que determinar que Hugo tiene ms dinero, constatando el hechode que Martn solo tiene 27 monedas y Hugo 35. Se puede explicitar en este procedimientoque hemos omitido los ceros, al tener ambos nmeros cuatro cifras y que terminan en 00.
ORDEN Y COMPARACIN DE NMEROS (Pginas 18 y 19)
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Actividades complementarias Sugerir a los(as) alumnos(as) que resuelvan problemas de comparacin de nmeros
expresados en palabras. Una opcin de actividad puede ser transformndolos en cifras, obien, problema ms interesantes, es hacer la comparacin verbalmente, detectando lascantidades expresadas y deduciendo a partir de ellas la cantidad de cifras o bien cul es elmayor valor posicional del nmero.
Existen algunos juegos que permiten ejercitar tanto el valor posicional como el orden de losnmeros, como los propuestos en el texto del alumno, que consisten en construir nmeroscon cifras determinadas. Proponer a los(as) alumnos(as) el siguiente ejercicio:
- Dado el nmero 37.458.271
Encontrar un nmero menor que ste, que sea el ms cercano a l, utilizando las mismascifras. Con iguales condiciones, hallar el menor nmero, mayor que ste, tambin con lasmismas cifras. Resulta particularmente interesante detectar las estrategias que utilizan los(as)alumnos(as) para construir los nmeros y verificar sus respuestas.
Errores frecuentes o posibles dificultades Parte de las dificultades que manifiestan los(as) alumnos(as) en relacin a la comparacin de
nmeros se vinculan con errores en el conteo de las cifras, o errores derivados de compararcifras que no estn en la misma posicin. Conviene que se acostumbren a contar una a unalas cifras, y escribir los nmeros en orden de arriba hacia abajo para comparar correctamentelas cifras en sus posiciones correspondientes, al menos mientras logren dominar el orden delos nmeros.
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IndicadorN de
preguntaRespuesta
Logradocon
Remediales/ sugerencias de profundizacin
Leer y escribirnmerosnaturales de msde seis cifras.
1
2
D
B
2 / 2 Presentar a los y las estudiantes ejercicios en loscuales se den nmeros de 6 cifras escritos en suforma grfica, y tengan que escribirlos segn se lean.Y, viceversa.
Identificar elvalor posicionalde cada dgito enun nmero ydescomponeraditivamente.
3
4
5
D
C
C
2 / 3 Se sugiere que, en el caso del valor posicional,escriban el nmero y, paso a paso de izquierda aderecha, escriban los respectivos valores, U, D. C,UM, etc. Para el caso de la descomposicin, sugerirque escriban los nmeros de mayor a menor,utilizando la representacin vertical de la adicin yluego formar el nmero.
Presentar situaciones en las cuales se les entreguennmeros ya descompuestos aditivamente, donde los ylas estudiantes puedan identificar el nmero asociado.
Representarnmerosnaturales en larecta numrica.
6 B
1 / 1 Trabajar con los y las estudiantes material concretorelacionado con la recta numrica. Por ejemplo, encartn dibujar una recta numrica, con variosnmeros como referencia. Pedirles a los(as)alumnos(as) que ubiquen determinados nmeros yque justifiquen su posicin.
Proponer a los alumnos y alumnas que construyantres rectas numricas, proporcionales entre s susmedidas, donde la primera vaya de 5 en 5; la segundade 10 en 10; y la tercera de 40 en 40. luego, que losy las estudiantes puedan exponer sus trabajos.
Ordenar ycompararnmerosnaturales de msde seis cifras.
7
8
9
D
D
a. 99.887.766 y55.667.788
b. Construccin
2 / 3 Para el ejercicio 7, se sugiere a los(as) alumnos(as)escribir uno sobre otro los nmeros de lasalternativas y el de la pregunta, para que realicen lacomparacin de izquierda a derecha, tachando encada caso los menores.
Para las preguntas 8 y 9, pueden hacer un cuadrodonde verifiquen que, para formar el nmeromayor, deben poner a la izquierda las cifras demayor valor, y a la derecha los nmeros de menorvalor, cuando formen el nmero menor.
CMO VOY? (Pginas 20 y 21)
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Informacin para el docente La aproximacin de nmeros tiene aplicaciones y usos frecuentes en la vida cotidiana,
partiendo por las notas de los(as) alumnos(as) que se aproximan a la primera cifra decimal.En el caso de los nmeros naturales, es frecuente que las sumas de dinero se redondeenpara mayor comodidad.
De todas formas, y pese a que el procedimiento de redondeo es bastante estndar, muchasveces depende de la necesidad que se tenga para redondear. Si se trata de una lista desupermercado y tenemos un presupuesto limitado, muchas veces se preferir redondearsiempre hacia cifras mayores, de manera de asegurarse no exceder la suma total de lacompra. Si se trata de ganancias, puede redondearse hacia cifras menores de un nmero,para no esperar una suma mayor de la que se obtendr.
Actividades complementarias Proponer a los(as) alumnos(as) que definan diferentes contextos donde sean utilizados
grandes nmeros. Luego, y ms all de la tcnica aprendida, pedirles que determinen laconveniencia de redondear hacia cifras mayores o redondear hacia cifras menores.
Plantearle a los(as) alumnos(as) discriminar de acuerdo al contexto, cul es la cifra vlida pararealizar la aproximacin.
Si una persona gana un sueldo de $ 851.428.
Guiar la actividad para que los(as) alumnos(as) establezcan que, mientras mayor sea la cifraescogida para el redondeo, mayor es el error de aproximacin que se produce, lo queprovocar que sea cada vez menos significativa. Proponer otras situaciones, utilizando otroscontextos.
Errores frecuentes o posibles dificultades Es posible que los(as) alumnos(as) manifiesten confusin para aplicar la aproximacin de
nmeros por redondeo solo a la cifra escogida y no a las dems. Es conveniente recalcarque una aproximacin se realiza escogiendo una cifra determinada, no siendo vlidoextender la aproximacin a las dems cifras. Puede plantearse, como ejemplo, el redondeodel siguiente nmero: 35.473. Si elegimos redondear a la unidad de mil, obtenemos 35.000.Si lo hacemos a la centena, ser 35.500. Lo que no es vlido es redondear a la centena yluego a la unidad de mil. Al hacerlo, obtendramos primero 35.500, y luego redondeando ala unidad de mil, 36.000.
APROXIMACIN DE NMEROS POR REDONDEO (Pginas 22 y 23)
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Informacin para el docente El sistema de numeracin posicional es el que fundamenta nuestros algoritmos de adicin y
sustraccin, y de hecho gran parte de su utilidad est en la simpleza que otorga a estosalgoritmos. Es imprescindible que los(as) alumnos(as) dominen previamente este sistema, demanera que sean capaces de interpretar la operacin y su procedimiento.
Conviene desde un principio establecer la diferencia entre el nombre de la operacin y suresultado. En el caso de la adicin, este es el nombre de la operacin y su resultado es lasuma, llamndose sumandos los trminos a operar. En el caso de la sustraccin, tenemosminuendo sustraendo = resta o diferencia.
Tareas Utilizar la tabla de la pgina 24 del texto del alumno (exportaciones de algunas regiones del
pas en enero del 2008) para reforzar las operaciones de adicin y sustraccin, planteandolas siguientes preguntas:
- Cul es el monto total de exportaciones entre la Regin del Libertador BernardoOHiggins y la Regin del Maule?
- Cul es el monto total de exportaciones entre la Regin Metropolitana y la Regin deAntofagasta?; cul es la diferencia entre el monto de exportaciones de la Regin deAntofagasta y la Regin del Maule?
- Cul es la diferencia entre el monto de exportaciones de la Regin del LibertadorBernardo Ohiggins y la Regin Metropolitana?
Errores frecuentes o posibles dificultades Los errores ms habituales que cometen los(as) alumnos(as) cuando trabajan con las
operaciones de adicin y sustraccin son por la falta de comprensin adecuada del algoritmo.En el caso de la adicin, puede que los(as) alumnos(as) olviden sumar la cifra derivada de unresultado superior a diez, es decir, la reserva. En el caso de la sustraccin, es posible que tiendana invertir las cifras para poder realizar la sustraccin.
ADICIN Y SUSTRACCIN (Pginas 24 a 27)
Informacin para el docente La comprensin de las propiedades de la adicin, los(as) alumnos(as) la irn construyendo
poco a poco, y resulta fundamental para aos posteriores en el aprendizaje del lgebra.
La adicin es la primera operacin que definimos en los nmeros, y la que poseepropiedades ms obvias. De hecho, la asociatividad est ligada al hecho que, en realidad, nopodemos concebir una adicin entre ms de dos nmeros. Si queremos sumar 5 + 8 + 12,
PROPIEDADES DE LA ADICIN (Pginas 28 y 29)
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EJERCICIOS RESUELTOS (Pginas 30 y 31)
nos es imposible sumar de inmediato los tres nmeros, necesariamente debemos sumar dosde ellos primero. En el caso de la conmutatividad, puede verse que es completamentenatural que 4 + 8 es igual a 8 + 4, pero en el caso de la multiplicacin no es tan obvio, pesea ser cierto, que 8 4 sea igual a 4 8. En relacin a la propiedad elemento neutro, muchoms til que el hecho obvio que sumar cero mantiene el sumando inicial es que si tenemosuna adicin que da como resultado uno de los sumandos, necesariamente uno de elloshabr de ser igual a cero, lo que se usa despus para demostraciones.
Actividades complementarias Proponer a los(as) alumnos(as), como ejercicio, que verifiquen si las propiedades de la
adicin se cumplen tambin para la sustraccin. Guiar la actividad para que los(as)alumnos(as), por un lado, verifiquen estas propiedades no por resultados aislados (es decir,ver uno o dos casos y a partir de ello concluir lo observado), sino que hacerlo a partir de lapropiedad de la operacin, es decir, analizar si se tiene una cierta cantidad y le restamos otra,el resultado claramente no es el mismo que si se hace a la inversa. De hecho, en nmerosnaturales, se exige que el minuendo sea mayor que el sustraendo. En el caso de la propiedadelemento neutro, es ms evidente la propiedad.
Sugerir a los(as) alumnos(as) ms aventajados que comprueben a travs de la operatoriacombinada si la propiedad asociativa se cumple para la operacin de sustraccin. Pero esta vezcon ejemplos concretos, es decir, que se les presente una situacin en que puedan apreciar, porejemplo que 12 6 4 no es igual a 12 (6 4), pero que 12 + 6 4 s es igual a 12 + (6 4).La operatoria combinada se abordar junto a los nmeros enteros; pero conviene, por lopronto, aclarar que, pese a algunos casos particulares, la sustraccin no es asociativa.
Informacin para el docente Comprobar los resultados obtenidos, si bien no constituye un algoritmo, es extremadamente
til en el desarrollo del clculo mental, y permite que desarrollen una capacidad de juzgar demanera rpida lo razonable o no de los resultados obtenidos.
Actividades complementarias Dentro de los ejercicios sugeridos, guiar la actividad para que los(as) alumnos(as) presten
atencin a las adiciones de grandes nmeros terminados en cero, determinando si puedenomitirlos o no. Si es el caso, se les puede pedir realizar adiciones de grandes nmerosterminados en distinta cantidad de ceros, por ejemplo: 24.500 + 15.000, comprobando quefinalmente omitan dos ceros y no tres, a agregar en el resultado final.
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ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS (Pginas 32 y 33)
Pedir a los(as) alumnos(as) que comparen si la adicin 7.429 + 4.375 ser mayor o menorque 3.229 + 5.210. Guiar la actividad para que los(as) alumnos(as) constaten que, en laprimera adicin, el primer sumando es mayor que el primer sumando de la segunda, pero esta condicin se invierte para el segundo sumando. De cualquier manera, la diferencia entrelos primeros sumandos es mucho mayor que entre los segundos sumandos, por lo que elresultado de la primera deber ser mayor que el de la segunda (puesto que, en la primeraadicin, el primer sumando es mayor que el de la primera por aproximadamente 4.000, peroel segundo sumando es menor que el de la segunda apenas por unos 1.000).
Informacin para el docente El algoritmo de la divisin es preciso fundamentarlo con la descomposicin aditiva y
utilizando la idea de que en los nmeros naturales la multiplicacin es una adicin iterada deun solo sumando.
Sugerir a los(as) alumnos(as) resolver el primer problema siguiendo exclusivamente supropia estrategia, que probablemente incluya ensayo y error, utilizando la adicin. En elsegundo problema, indicar a los(as) alumnos(as) que resuelvan, aplicando las estrategiasutilizadas en el primer problema, formalizar explicitando que la adicin iterada se puedeinterpretar como multiplicacin, donde la bsqueda de dicho sumando repetido se realizamediante la divisin.
Errores frecuentes o posibles dificultades Generalmente las dificultades en la resolucin de problemas vienen de una incorrecta lectura
del mismo, o de una bsqueda precipitada de la solucin, evitando pasar por el razonamientode la solucin. Reforzar en los(as) alumnos la idea de comenzar a desarrollar las estrategias,insistiendo en la necesidad de plantear el problema detalladamente, sin saltarse pasos yverbalizando cada uno de ellos. La expresin concreta de las estrategias de resolucin permitirdesarrollar en los(as) alumnos la capacidad para plantear los problemas de manera eficiente.
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Informacin para el docente Los juegos relacionados con la formacin de nmeros son diversos y permiten, de manera
ldica y rpida, evaluar el grado de integracin de los contenidos que muestran los(as)alumnos(as). En general, las estrategias o hechos que deben ocurrir para que gane uno uotro estn determinados de manera bastante clara, y es un buen ejercicio para que los(as)alumnos(as) puedan determinar cules son estos. De esta manera permite verificar quehayan comprendido y sean capaces de aplicar los contenidos abordados, en una grandiversidad de contextos.
Realizar algunas variantes al juego planteado. Pedir a cada jugador que lance seis veces eldado, y con esos dgitos obtenidos escriba el mayor nmero posible. Cada jugador tendrque hacer lo mismo, y el puntaje asignado se otorgar si han escrito el nmerocorrectamente y un punto adicional al que haya escrito el nmero mayor.
La sntesis de esta unidad est enfocada para que los(as) alumnos(as) relacionen los temasexpuestos en la unidad. El sistema decimal posicional induce a la descomposicin aditiva yesta, a su vez, a la manera que tenemos de leer los nmeros y los algoritmos para la adiciny la sustraccin. De la misma manera, el sistema de numeracin nos otorga una formaeficiente y simple de ordenar los nmeros. La separacin de contenidos obedece a unanecesidad metodolgica, pero la comprensin global de este contenido precisa unaintegracin acabada de cada uno de ellos.
Tareas Al inicio de la unidad (ver texto del alumno), se expone un organizador grfico a modo de
sntesis de la unidad. Proponer a los(as) alumnos(as) la construccin de uno propio, que lespermita poner la informacin en un cuadro y relacionarla. Evaluar cada formulacinprestando atencin particular a las palabras que utilizan para relacionar los conceptos delmapa, y de la capacidad que muestren para generalizar los mismos.
Errores frecuentes o posibles dificultades Es preciso al realizar la sntesis final, guiar la actividad para que los(as) alumnos(as) no se limiten
a a utilizar solo procedimientos sin averiguar cmo se hace, en la tendencia de pensar quela matemtica nicamente se trata de resolver problemas, prestando poca atencin a lasjustificaciones y demostraciones, e incluso en contenidos tan procedimentales como eltrabajado. Lo fundamental es el pensamiento subyacente a los procedimientos, y la capacidadde relacionar los contenidos y ser capaz de reconstruirlos con sus propias palabras y esquemas.Se recomienda prestar especial atencin en este aspecto.
JUEGOS Y SNTESIS (Pginas 34 y 35)
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IndicadorN de
preguntaRespuesta
Criteriode logro
Remediales/ sugerencias de profundizacin
Leer y escribirnmerosnaturales de msde seis cifras.
1
2
3
9
D
B
C
36.937.212
3 / 4 Presentar ejercicios de lectura de nmeros de 6 cifras, en los cuales tengan que representarlosnumricamente, de forma escrita, y asocindolos asu descomposicin aditiva y multiplicativa.
Trabajar con los y las estudiantes con grandesnmeros, en los cuales identifiquen, segn sus cifras,valores posicionales. Luego, formular preguntas deequivalencias entre las posiciones de las cifras, en lascuales apliquen operaciones bsicas de multiplicar ydividir. Por ejemplo, 5 centenas a cuntas decenasequivalen?, 9 centenas de mil a cuntas unidades demilln equivalen?
QU APREND? (Pginas 38 a 41)
Comparar,ordenar yrepresentar en larecta numricagrandes nmeros.
4
5
B
B
2 / 2 Presentar a los alumnos y alumnas nmeros condistinta cantidad de cifras cada uno, para que seancomparados y, posteriormente ordenados, de formadecreciente o creciente. Es importante que logrenidentificar que un nmero que tiene menor cantidadde cifras es inmediatamente menor, que otro quetiene mayor cantidad de cifras.
Trabajar con los y las estudiantes orden ycomparacin de grandes nmeros. Es importante queapliquen criterios de comparacin para que el ordende los nmeros no sea al tanteo o azaroso. Pedirlesque expliciten sus criterios de comparacin, ya queen variadas oportunidades es un tanto complicadodescribirlo en papel. Otra buena estrategia deresolucin, para la comparacin y el orden denmeros, es la de ubicarlos en una recta numrica.
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IndicadorN de
preguntaRespuesta
Criteriode logro
Remediales/ sugerencias de profundizacin
Calcularadiciones ysustracciones denmerosnaturales;resolverproblemasque involucrenestasoperaciones yhacer clculosque requieren lasustitucin devariables pornmeros.
7
8
10
11
13
A
A
Verdadera
Falsa
24.274.157
4 / 5 Presentar problemas de adiciones y sustracciones, enlas cuales lo esencial sea desarrollar la mecnica delos distintos algoritmos para estas operaciones.
Trabajar problemas escritos con informacinpresentada en tablas o grficos, en los cuales losalumnos y alumnas puedan interpretar estainformacin, y responder preguntas que tenganrelacin con resolver sumas y restas de grandesnmeros.
Estimar yredondearnmeros de 6cifras o ms.
6
12
B
15.000.00017.000.00019.000.00020.000.00021.000.00022.000.000
2 / 2 Trabajar con ejercicios en los cuales los y lasestudiantes deban aproximar grandes nmeros segnla condicin dada. Por ejemplo, aproxima el nmero8.263.231 a la unidad de milln ms cercana.
Presentar problemas de resolucin en los cules setenga la necesidad de aproximar grandes cantidades,y sean los mismos alumnos que aproximen segnalgn criterio. Luego, que puedan compartir elcriterio utilizado.
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Evaluacin de la unidad Material fotocopiable
NOMBRE: CURSO: FECHA:
Marca la alternativa correcta en las siguientes preguntas.
1. El nmero diecinueve millones cuatrocientos diecisietemil seiscientos noventa y cuatro se escribe:
A. 19.694.417
B. 190.417.694
C. 190.417.094
D. 19.417.694
2. El nmero 34.107.300 se lee:
A. treinta y cuatro millones ciento siete miltrescientos.
B. treinta y cuatro millones diecisiete mil tres.
C. trescientos cuatro millones ciento siete miltrescientos.
D. treinta y cuatro mil millones ciento siete miltrescientos.
3. Cul de las siguientes descomposiciones aditivas nocorresponden al nmero 42.816.521?
A. 4 Dmi + 2 Umi + 6 CM + 1 DM + 8 UM + 5 C +2 D + 1 U
B. 4 Dmi + 2 Umi + 8 CM + 1 DM + 6 UM + 5 C +1 D + 2 U
C. 4 Dmi + 2 Umi + 8 CM + 1 DM + 6 UM + 5 C +1 U + 2 D
D. 4 Dmi + 8 CM + 2 Umi + 1 DM + 5 UM + 6 C +2 D + 1 U
4. Cul de los siguientes nmeros es una aproximacina la unidad de milln del nmero 37.621.637?
A. 30.000.000
B. 37.621.700
C. 37.630.000
D. 38.000.000
5. Cul de estos nmeros es el menor?
A. 3 Dmi + 2 Umi + 4 CM + 5 DM + 9 UM + 8 C+ 4 D + 1 U
B. Treinta y dos millones cuatrocientos cincuenta ynueve mil ochocientos treinta y uno.
C. 34.295.841
D. Trescientos cuatro millones cuatrocientos setentay nueve mil ochocientos cuarenta y uno.
6. En cul de las siguientes rectas est mejor representadoel nmero 37.468.935?
A.
B.
C.
D.
7. El resultado de la adicin 27.052 + 31.032 sedescompone como:
A. 5 DM + 8 UM + 3 C + 8 D + 5 U
B. 5 DM + 9 UM + 8 D + 4 U
C. 8 DM + 5 UM + 8 D
D. 5 DM + 8 D + 4 U + 8 UM
8. Cul es el valor de a en la adicin
74.644.075 + 21.352.4a1 = 95.996.516?
A. 4
B. 5
C. 6
D. 40
38.000.00036.000.000
38.000.00036.000.000
38.000.00036.000.000
38.000.00036.000.000
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9. Cul de las siguientes adiciones da un resultadomayor que la suma 109.427.298 + 84.316.957
A. 100.458.210 + 77.747.942
B. 115.427.298 + 83.124.581
C. 100.408.403 + 84.776.423
D. 105.430.203 + 86.425.843
10. Si redondeamos los sumandos 583.954.049 y358.657.353 a decena de mil y luego los sumamos,el resultado de la adicin es:
A. 942.600.000
B. 942.610.000
C. 942.620.000
D. 942.700.000
11. En la sustraccin 568.936.853 a = 321.834.522, elvalor de a es:
A. 247.102.331
B. 247.132.331
C. 273.902.331
D. 890.771.375
12. Cul de los siguientes nmeros es el ms cercano a358.579?
A. 355.879
B. 358.597
C. 358.759
D. 538.579
13. Al redondear el nmero 756.839, a qu cifradebemos redondearlo si se quiere obtener unnmero menor que l?
A. A la decena.
B. A la centena.
C. A la unidad de mil.
D. A la decena de mil.
14. Cul de los siguientes nmeros es el nico que puedeestar representado por el punto en la siguiente rectanumrica?
A. 30.003
B. 32.750
C. 33.100
D. 33.500
15. Selecciona de las siguientes proposiciones, la nicaverdadera.
A. Al redondear un nmero, siempre se obtiene otromayor que l.
B. Si un nmero es menor que otro, cada cifra delmayor siempre es mayor que la cifracorrespondiente del menor.
C. Si un nmero tiene ms cifras que otro, siemprees mayor que este.
D. Al dividir la recta para ubicar nmeros, lasdivisiones siempre representan una unidad.
16. Cul de estos nmeros no es un correcto redondeode 357.653?
A. 357.660
B. 357.700
C. 358.000
D. 360.000
17. Cul de los siguientes nmeros es el menor nmeromayor que 563.368?
A. 563.367
B. 563.371
C. 563.386
D. 564.369
34.00030.000
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