guia mat ii

COBACH 02 San José del Cabo

Profr. José de Jesús Carballo Burgoin Página 1

Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California Sur

Guía de Estudio para Matemáticas II

Profr. José de J Carballo B

La presente guía se ha hecho con el propósito de brindarte una opción del trayecto que puedes seguir en tu preparación para presentar exitosamente el examen de Matemáticas II. El compromiso tuyo como estudiante consiste en desarrollarla y lograr tener un dominio de los temas que aquí aparecen, pero sobre todo de la manera de demostrar que los aprendiste que es a través de la solución de ejercicios. Para ello puedes consultar diversas fuentes como libros, apuntes, internet, etc. Y también puedes recurrir con la persona que consideres pertinente. Si tienes alguna duda en la cual, yo como profesor te pueda ayudar cuenta con ello, en el entendido que mi apoyo será en carácter de asesoría de las dudas que tu manifiestes y si tu como interesado asumes el compromiso de dedicarle tiempo a tu preparación. Suerte y éxito, este ultimo depende sobre todo de ti.

ATENTAMENTE

Profr. José de Jesús Carballo Burgoin [email protected]

Triángulo. Es la porción del plano limitada por tres rectas que se cortan dos a dos. Los puntos de intersección son los vértices del triángulo: A, B y C. Los segmentos determinados, son los lados del triángulo: a, b y c. Los lados forman los ángulos interiores que se nombran con las letras de los vértices. El lado opuesto a un ángulo, se nombra con la misma letra pero minúscula. Un triángulo tiene tres elementos: tres lados, tres ángulos y tres vértices. Se llama perímetro de un triángulo a la suma de sus tres lados.

Los triángulos se clasifican:

Equilátero Isósceles Escaleno

Atendiendo a) La medida de sus

lados

b) La medida de sus ángulos

Acutángulo Obtusángulo Rectángulo

B

A

C

b c

a

mailto:[email protected]



Rectas notables en el triángulo:

a) Mediana. Es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Se designan con la letra “m”.

b) Altura. Es la perpendicular trazada desde un vértice, al lado opuesto o su prolongación. Se designa con la letra “h”.

c) Bisectriz. Es la recta notable que corresponde a la bisectriz de un ángulo interior. Se nombran

generalmente con letras griegas: (alfa), (beta), (gama)

d) Mediatriz. Es la perpendicular en el punto medio de cada lado. Se designa con la letra “M”

Puntos notables en el triángulo:

a) Baricentro. Es el punto de intersección de las tres medianas.

b) Ortocentro. Es el punto de intersección de las tres alturas.

c) Incentro. Es el punto donde concurren las tres bisectrices.

d) Circuncentro. Es el punto de intersección de las tres mediatrices.

Congruencia de Triángulos

1) Dados los siguientes triángulos, determinar cuáles son congruentes. I. II. III.

a) Sólo I y II b) Sólo I y III c) Sólo II y III d) I, II y III e) Ninguno 2) Un alumno para demostrar en el cuadrado de la figura que ABC BCD, determinó que AB BD, que AC DC y que el CAB BDC, por ser rectos. ¿Qué criterio de congruencia utilizó?

a) LLL b) LAL c) ALA d) AAL e) LLA



3) En la figura, el CDE es isósceles. C es punto medio de AD y D es punto medio de CB. ¿Qué criterio de congruencia permite demostrar que el ACE BDE?

a) LAL b) ALA c) LLA d) LLL e) AAL

4) En los triángulos siguientes se verifica que AB DE, que BC EF y que el CAB FDE. ¿Qué criterio permite demostrar que estos triángulos son congruentes?

a) LLL b) LAL c) ALA d) LLA e) Falta Información

5) En la figura, el ABC DEF, entonces se verifica que: a) AC DF b) BC DE c) AB FE d) AC FE e) AB FD

6) Para demostrar que los triángulos AOB y COD de la figura, son congruentes, es necesario saber que:

a) AB DC b) BAO DCO c) AB //CD d) AO DO y AB CD e) BO CO y AO DO

7) Marca la alternativa de la proposición verdadera a) Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus ángulos agudos respectivos son congruentes. b) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos miden lo mismo. c) Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son iguales. d) Para demostrar que dos triángulos son congruentes se puede utilizar el criterio AAL e) Todos los triángulos equiláteros son congruentes.



Semejanza de Triángulos

1. Un triángulo tiene como medidas de sus lados 27 metros, 32 metros y 40 metros y un dibujo a escala de lados 135mm, 160mm y 200mm. ¿Son semejantes estos triángulos?

2. Un triangulo tiene como medidas de sus lados 8m, 6m y 12m y otro triangulo tiene

medidas 6m, 4m y 3m. ¿Son semejantes estos triángulos? 3. Un triangulo tiene como medidas de sus lados 8m, 24m y 15m y otro triangulo tiene

medidas 5m, 4m y 8m. ¿Son semejantes estos triángulos? 4. Las medidas respectivas de los lados de un triangulo son 3cm, 5cm y 6cm. Si el más

corto de los lados de otro triangulo semejante mide 4cm, encontrar la medida de cada uno de los otros dos lados. Sugerencia: Haga el dibujo de los triángulos en la posición normal y asigne sus medidas.

5. Las medidas respectivas de los lados de un triangulo son 12cm, 14cm y 9cm. Si el más

largo de los lados de otro triangulo semejante mide 350cm, encontrar la medida de los otros dos lados.

6. Las medidas respectivas de los lados de un triangulo son 21cm, 18cm y 36cm. Si un

lado mide 7cm y no es el mas largo ni el mas corto de los lados de un triangulo semejante, encontrar la medida de los otros dos lados.

7. De acuerdo a la figura adjunta: <A = <D y < B = < E. Hallar las medidas respectivas

de d y e. 8. Si ABC ~ DEF y las letras a, b, c, d, e, f representan las longitudes respectivas de

los lados. Hallar la medida de: a: si b=4cm, d=6cm, e=3cm c: si b=9cm, e=15cm, f=25cm d: si a=7cm, c=7cm, f=11cm e: si f=20cm, c=16cm, b=12cm

9. Sean ABC _ DEF. La longitud de EF es el triple de la de BC. ¿Que longitudes tienen los lados respectivos de DEF?



Actividades: Identifica cuales de las siguientes figuras son polígonos regulares y cuales son irregulares. Considera el siguiente polígono para que contestes las preguntas.

Actividad de consolidación: resuelve los siguientes ejercicios:

1. Coloca en la línea de cada definición el concepto que corresponda:

a) ________________Son aquellas figuras planas, limitadas por una curva cerrada llamada línea poligonal o contorno.

b) ________________Son aquellas figuras planas que tienen sus lados y ángulos iguales, es decir, que son equiláteros y equiángulos.

c) ________________Son aquellas figuras planas que no tienen todos sus lados y ángulos iguales.

d) ________________Es el ángulo formado por dos lados consecutivos del polígono.

e) ________________Es el ángulo formado por dos radios consecutivos del polígono.

f) ________________Segmento de la recta que une un vértice con otro que no le es consecutivo.

¿Qué tipo de polígono es? ¿Cuál es su centro? Trace un segmento de recta que represente el radio del polígono. Trace un segmento de recta que represente el apotema. Trace y ubique un ángulo central del polígono. ¿Cuántos ángulos interiores observa y cuáles son? ¿Cuántos ángulos exteriores observa y cuáles son? Trace las diagonales partiendo de un vértice.

Tomando como referencia los polígonos regulares localicen su centro, definan cuál es el radio y el ángulo central, cuáles son los ángulos interiores y exteriores, así como indicar cuál es la apotema y las diagonales.



Preguntas inteligentes:

A) ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde uno de los vértices de cada polígono? Represéntalo

con una formula.

B) ¿Y desde todos los vértices? (Total de diagonales) Represéntalo con una fórmula.

C) Traza dos radios de cualquier polígono regular y contéstate la siguiente pregunta, ¿cuanto mide el ángulo central?

D) ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono regular? Represéntalo con una fórmula

E) ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un polígono regular? Represéntalo con una fórmula.

F) ¿Cuánto mide el ángulo exterior de un polígono regular? Represéntalo con una fórmula.

A continuación se te presenta una serie de ejercicios para que verifiques tu aprendizaje.

1. ¿Cuál es el valor de un ángulo interior de un hexágono regular? 2. ¿Cuál es el valor de un ángulo central de un octágono? 3. ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un heptágono? 4. ¿Cuál es el total de diagonales de un decágono? 5. ¿Cuál es el valor de un ángulo exterior de un polígono regular de 20 lados?

Utiliza tus conocimientos sobre la suma de los ángulos interiores y exteriores de polígonos para que resuelvas los siguientes casos. 1. Hallar la suma de los ángulos interiores de un cuadrado 2. Hallar la suma de los ángulos interiores de un octágono 3. Hallar la suma de los ángulos interiores de un pentágono. 4. ¿Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores es 540º? 5. ¿Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores es 1260º? 6. ¿Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores es 1800º? 7. Hallar la medida del ángulo interior de un hexágono regular 8. Hallar la medida del ángulo interior de un dodecágono regular 9. Hallar la medida del ángulo interior de un decágono regular 10. Determinar cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior vale 60º.



11. Determinar cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior vale 90º. 12. Determinar cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior vale 135º. 13. Hallar la suma de los ángulos interiores de un heptágono 14. Hallar el valor de un ángulo exterior de un octágono regular. 15. Hallar el valor de un ángulo exterior de un decágono regular. 16. Hallar el valor de un ángulo exterior de un polígono regular de 20 lados

Contesta las siguientes cuestiones:

a) ¿Qué es el perímetro y área de una figura geométrica?

b) ¿Que formulas conoces para calcular perímetros y áreas?

c) Escribe las formulas correspondientes para calcular el área de las siguientes figuras: polígonos irregulares, triángulo, rectángulo, paralelogramo, trapecio y rombo, así como polígonos regulares y círculos.

Encuentra el perímetro de las siguientes figuras. Perímetro = _____________ Perímetro = _____________ II. Coloca en el paréntesis de la izquierda la letra de la columna derecha que relacione al nombre de cada figura con la formula que le corresponda para calcular el área.

( ) Triángulo ( ) Rectángulo ( ) Circulo ( ) Trapecio ( ) Rombo ( ) Polígono regular

a) 2

apA

b) 2

hbA

c) 2

)( hbBA

d) 2rA e) hbA

f) 2

21ddA

2.8 cm

2.5 cm

4 cm

1.5 cm


Profr. José de J Carballo B Página 8

Calcula el área de las siguientes figuras:

Resuelve los ejercicios siguientes: 1. Calcula el perímetro y área de un cuadrado cuyo lado mide 8.3 cm. 2. Calcula el perímetro y área de un rectángulo sabiendo que:

Su diagonal es igual a 10 cm y su altura es 6 cm. Su base es 15.3 m y su altura 3.5 m Su altura es 2.4 cm y su base es el triple de su altura.

3. Calcula el perímetro y área de un trapecio sabiendo que: Su base mayor es igual a 25 cm, su base menor 15 cm y su altura es de 8 cm Sus bases son respectivamente 13 y 7 cm y su altura es de 4 cm.

4. Calcula el perímetro y área de un rombo sabiendo que sus diagonales son de 11 y 7 cm respectivamente.

5. Calcula el perímetro y área de un polígono regular sabiendo:

Tiene 6 lados de tamaño 10 cada uno y su apotema es igual a 8.6. Tiene 4 lados de tamaño 2 cada uno y su apotema es igual a 1.

6. Si el área de un pentágono regular es de 1453 cm2 y su apotema mide 20 cm, ¿qué valor tiene cada lado?

Consulta algún texto, persona o cualquier otro medio que tengas pero responde:

Geométricamente, ¿Qué es el volumen?

¿Cómo se calcula el volumen de un cubo, cilindro, cono y esfera?

Volumen. Se llama volumen de un poliedro (cuerpo de varias caras) a la medida del espacio limitada por el cuerpo. Para medir el volumen de un poliedro se toma como unidad un cubo de arista igual a la unidad de longitud.

En el sistema métrico decimal la unidad es el metro cúbico. También se usan como unidades los múltiplos y divisores del metro cubico.

Inicio: Se plateará un problema cotidiano ejemplificando la construcción de una figura. Ejemplo:

2cm 2.5cm

4.5cm

3cm 1.5cm

6.5cm

2.5 cm

4 cm

1.5 cm



Un ingeniero desea construir una alberca cuyas dimensiones son: 15m de ancho, 11 m de largo y una profundidad de 2.5 m.. ¿Cuántos cubos de 1 m caben en esa alberca?

Relaciona cada formula con el cuerpo cuyo volumen representa.

( ) Esfera

( ) Cono

( ) Cilindro

( ) Cubo

a) V = a³

b) V = Abh

c) V = 3

4 r³

d) V = 3

1r²h

Resuelve los siguientes casos:

a) Calcula el volumen de un tinaco cuyo diámetro es de 1.10m y altura 1.5 m. b) Calcula el volumen de una esfera de 3 m de radio. c) Hallar el volumen de un cubo de 7 cm de arista d) Hallar la medida de la arista de un cubo de 512 cm³ de volumen. e) El área total de un cubo es de 150m². Hallar su volumen.

De acuerdo a lo que investigaste contesta las siguientes cuestiones:

a) Figura formada por todos los puntos que equidistan de otro punto llamado centro. ___________________________________________________________ b) Segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. ___________________________________________________________ c) Recta que corta a la circunferencia en dos de sus puntos. ___________________________________________________________ d) Segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. ___________________________________________________________ e) Figura formada por todos los puntos de la circunferencia y los interiores de la misma. ___________________________________________________________ f) Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. ___________________________________________________________ g) Equivale a dos radios ___________________________________________________________



h) Recta que tiene un solo punto de contacto con la circunferencia. ___________________________________________________________ i) Es la mayor de las cuerdas ___________________________________________________________ Coloca el nombre correspondiente: AI= _____________________ JK= _____________________ CF= _____________________ AJ= _____________________ PQ= _____________________ GH= _____________________

Resolver un triángulo significa:

Dados los tres lados, encontrar los ángulos

Dados dos lados y el ángulo comprendido, encontrar el tercer lado y los otros dos ángulos.

Dados un lado y los ángulos adyacentes, encontrar los otros dos lados y el ángulo que falta. Problemas: 1. Una escalera de 4m llega hasta el pretil de una ventana cuándo el ángulo formado por la escalera y

el suelo es de 65º. ¿ A qué altura se encuentra la ventana? ¿ En qué ángulo debe colocarse la escalera para que quede 50 cm por debajo de la ventana?

2. Un árbol proyecta una sombra de 48 m cuándo el sol se encuentra a una altura de 20º sobre el

horizonte. ¿Cuál es la altura del árbol? ¿ Cuál será la longitud de la sombra cuándo el sol se encuentre a una altura de 35º sobre el horizonte? ¿Cuál será la altura del sol sobre el horizonte cuándo el árbol proyecte una sombra de 20 m?

3. La Torre Latinoamericana, de la Ciudad de México, tiene una altura de aproximadamente 180 m,

incluida la antena. ¿ A qué distancia debo colocarme de ella para verla bajo un ángulo de 15º?

A

E

F

H

G

I

J

K

P

Q



4. ¿ Cuál es el perímetro y el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 10 cm de radio?

5. Encuentra la altura de un árbol, si el ángulo de elevación de su parte superior cambia de 20º a 40º

cuándo el observador avanza 75 hacia la base de este. B A 20º 40º C 75m D

TRIANGULOS OBLICUANGULOS

Un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene ángulo recto. En este tipo de triángulos, los tres ángulos son agudos, o bien, dos de sus ángulos son agudos y uno obtuso. Convencionalmente los lados los representamos con las letras A, B y C, y las longitudes de sus correspondientes lados opuestos se llamarán a, b y c.

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Cuándo se conocen tres elementos de un triángulo, siempre que uno de ellos sea un lado, se dice que el triángulo está determinado en forma única. Los cinco casos que nos permiten resolver la ley de

Senos SenA

a =SenB

b =SenC

c y ley de cosenos a²=b²+c²-2bcCosA son:

Caso I: Dados dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. (Ley de Senos)

Caso II: Dados dos ángulos y el lado entre ellos. (Ley de Senos)

Caso III: Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (Ley de Senos)

Caso IV: Dados dos lados y el ángulo que forman entre ellos. (Ley de Cosenos)

Caso V: Dados los tres lados. (Ley de Cosenos)

Ejercicios para solucionar con las LEYES DE SENOS Y COSENOS

1. La resbaladilla para niños en el parque tiene 30 pies de longitud y una inclinación de 36º desde la

horizontal. La escalera mide 18 pies de largo hasta el extremo superior. ¿Qué inclinación tiene la escalera, esto es, cuál es el ángulo que forma con la horizontal? Supóngase que la resbaladilla es recta y que el extremo inferior de la resbaladilla está al mismo nivel que el extremo inferior de la escalera.

2. Vientos dominantes han ocasionado la inclinación de 11º de un viejo árbol hacia el Este, desde la

vertical. El sol en el Oeste está a 32º arriba de la horizontal, ¿Qué longitud tiene la sombra del árbol si éste mide 114 pies de la corona al suelo?



3. Una habitación rectangular de 16 pies por 30 tiene un techo de dos aguas. Las dos partes del techo forman ángulos de 65º y 32º con la horizontal. Encuentra el área total del techo.

4. En una esquina de un campo triangular, el ángulo mide 52º4’. Los lados que se encuentran en esa

esquina miden 100 metros y 120 metros de largo. ¿Cuánto mide el tercer lado? 5. Un jardín triangular tiene lados de longitud 35, 40 y 60 metros. Encuentra el ángulo más grande

del triángulo. 1. Una trayectoria recta que sube una colina se eleva 26 metros por cada 100 metros horizontales.

¿Qué ángulo hace con la horizontal? 2. Una escalera de tres metros de altura se apoya en una pared haciendo un ángulo de 76º con el

nivel del suelo. ¿Qué tan alto está el extremo final de la escalera sobre la pared? 3. Desde la punta de un faro a 40 metros sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión en dirección

a un barco a la deriva en el mar es de 9.4º. ¿A qué distancia está el barco desde la base del faro? 4. En el siguiente diagrama encuentra el valor de “x” 5. Desde la ventana de un edificio de oficinas, se ve una antena de televisión que está a 600 metros

de distancia (horizontalmente). El ángulo de elevación del extremo superior de la antena es de 19.6º y el ángulo de depresión de la base de la antena es de 21.3º. ¿Qué altura tiene la antena?

6. Un tirante de alambre atado desde un poste hace un ángulo de 69º con el nivel del suelo y está

fijado al suelo a 14 pies del poste. ¿A qué altura sobre el suelo está atado el alambre al poste? 7. Cuando el ángulo de elevación sol es de 28.4º; en París, la Torre Eiffel forma una sombra horizontal

de 1 822 pies de largo. ¿Qué altura tiene la torre?

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14º61 º34

x



Si a es la hipotenusa y b y c los catetos de un triángulo rectángulo, calcular el lado que falta: 01. b= 10cm, c= 6cm 02. a= 32m, c= 12m 03. a= 32m, c= 20m 04 a= 100km, b=80km Hallar la hipotenusa (h) de un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que el valor del cateto es: 05. c= 4m 06. c= 6m 07. c= 9cm 08. c= 11cm Hallar la altura(h) de un triángulo equilátero sabiendo que el lado vale: 09. l= 12cm 10. l= 8cm 11. l= 4cm 12. l= 10m 13. l= 30m Hallar la diagonal (d) de un cuadrado cuyo lado vale: 14. l= 3m 15. l= 5m 16. l= 15cm 17. l= 9cm Hallar la diagonal (d) de un rectángulo sabiendo que los lados a y b miden lo que se indica: 22. a= 4m, b= 8m 23. a= 6m, b= 6m 24. a= 7m, b= 9m 25. a= 10m, b= 12m

26. La diagonal de un cuadrado vale 5 2 m, hallar el lado del cuadrado. Clasificar los triángulos cuyos lados a, b y c, valen: 26. a= 5m, b= 4m, c= 2m. 27. a= 10m, b= 12m, c= 8m. 28. a= 15cm, b= 20cm, c= 25cm. 29. a= 3cm, b= 4cm, c= 2cm. 30. a= 1m, b= 2m, c= 3m.

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