guia 11º mat

Institución Educativa Politécnico La MilagrosaCalculo 11ºDocente: Lilian Zuleyma Córdoba Viafara Guía No. 1

EJES TEMÁTICOS

CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES.

INTERVALOS Y DESIGUALDADES.

FUNCIONES

INDICADORES DE DESEMPEÑO* Identifico con claridad los distintos conjuntos numéricos que contiene los números reales y sus respectivas propiedades. *Analizo, resuelvo y represento acertadamente una inecuación como una desigualdad, o un intervalo en la recta real.*Construyo acertadamente gráficas de funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y trascendentales.* Determina con facilidad el dominio y el rango de una función.

INTRODUCCIÓN

La palabra cálculo proviene del latín calculus, que significa contar con piedras.

Precisamente desde que el hombre ve la necesidad de contar, comienza la historia del cálculo, o de las matemáticas.

Las matemáticas son una de las ciencias más antiguas, y más útiles. El concepto de matemáticas, se comenzó a formar, desde que el hombre vio la necesidad de contar objetos, esta necesidad lo llevó a la creación de sistemas de numeración que inicialmente se componían con la utilización de los dedos, piernas, o piedras. De nuevo, por la necesidad, se hizo forzosa la implementación de sistemas más avanzados y que pudieran resolver la mayoría de los problemas que se presentaban con continuidad.

CIVILIZACIONES ANTIGUAS

En este momento de la historia, la Civilización Egipcia, llevaba la pauta con el avance en sus conocimientos matemáticos. Según varios papiros escritos en esa época, los egipcios inventaron el primer sistema de numeración, basado en la implementación de jeroglíficos. El sistema de numeración egipcio, se basaba en sustituir los números clave (1, 10, 100...), con figuras (palos, lazos, figuras humanas...), los demás números eran escritos por la superposición de estas mismas figuras, pero en clave. Este sistema es la pauta para lo que hoy conocemos como el sistema romano.

Otras civilizaciones importantes en la historia, como la babilónica, crearon otros sistemas de numeración. En la Antigua Babilonia, la solución al problema de contar los objetos, se vio resuelto con la implementación de un método sexagesimal. Este método tenía la particularidad de escribir un mismo signo como la representación de varios números diferenciados por el enunciado del problema.

Civilizaciones como la China Antigua, y la India Antigua, utilizaron un sistema decimal jeroglífico, con la cualidad de que estas implementaron el número cero.

MATEMÁTICAS EN GRECIA

Sin embargo las matemáticas obtuvieron su mayor aporte de la cultura Greco Romana. Fue en Grecia, donde se hizo popular la creación de escuelas, en donde los grandes pensadores de la época daban resolución a los problemas más populares de geometría, álgebra, y trigonometría.

Los aportes de esta cultura a las matemáticas son de enorme magnitud. Por ejemplo en el campo de la geometría, se dio la demostración del teorema de Pitágoras, además que fue hallado el método para conseguir la serie indefinida de ternas de números

pitagóricos, que satisfacen la ecuación . Incluso se trabajó enormemente en la resolución y demostración de distintos problemas, como en la trisección de un

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ángulo, y en la cuadratura de áreas acotadas por una curva. Esto conllevó a al avance en él cálculo del número pi y a la creación del método de exaución (predecesor del cálculo de limites), creado por Euxodo.

El avance que obtuvieron los griegos en cuanto al álgebra y la geometría, los llevó a la construcción de una nueva rama de las matemáticas, llamada, álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto de proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, y la expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia circunscrita.

MATEMÁTICAS EN LA CULTURA ÁRABE

Los Árabes, que en esos momentos vivían un momento de expansión, no sólo territorial sino intelectual, en poco tiempo logran descifrar más conocimientos de esta materia. La historia de las matemáticas en Los pueblos árabes comienza a partir del siglo VIII.

El imperio musulmán fue el primero en comenzar este desarrollo, intentando traducir todos los textos Griegos al árabe. Por lo que se crean gran cantidad de escuelas de gran importancia, en donde se traducen libros como el Brahmagupta, en donde se explicaba de forma detallada el sistema de numeración hindú, sistema que luego fue conocido como "el de Al-Khowarizmi", que por deformaciones lingüísticas terminó como " algoritmo".

Los avances obtenidos en esta época, enmarcan al concepto del límite, la introducción de los números racionales e irracionales, especialmente los reales positivos, y el desarrollo en la trigonometría, en donde se construyeron tablas trigonométricas de alta exactitud.

RENACIMIENTO Y MATEMÁTICAS MODERNAS

La siguiente época importante en la historia de las matemáticas está comprendida en la época del renacimiento. En este momento de la historia es cuando aparece el cercano oriente como conocedor de las matemáticas. Aunque la historia de las matemáticas en el cercano oriente, no es tan antigua como en el lejano oriente, su aporte es de gran magnitud, especialmente con la aparición de gran cantidad de obras escritas por los grandes matemáticos de la época.

Es de destacar la obra de Leonardo de Pissa, titulada Liber Abaci, en donde se explicaba de una forma clara el uso del ábaco y el sistema de numeración posicional. Igualmente entre otras obras importantes, se puede mencionar Él práctica Geometrie, en donde se resolvían problemas geométricos, especialmente los de cálculo de áreas de polígonos.

Uno de los grandes aportes de esta cultura se obtuvo en la introducción de los exponentes fraccionarios y el concepto de números radicales, además se estableció un sistema único de números algebraicos, con lo que se hizo posible expresar ecuaciones en forma general.

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NÚMEROS REALES

3

LA RECTA REAL

A todo número rea l l e corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número rea l .

Los números rea les pueden ser representados en la recta con tanta aprox imac ión como queramos, pero hay casos en los que podemos representar los de forma exacta .

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES

SUMA DE NÚMEROS REALES

PROPIEDADES

1. Interna :

E l resu l tado de sumar dos números rea les es ot ro número rea l .

4

a + b

+

2 . Asoc iat iva :

E l modo de agrupar los sumandos no var ía e l resu l tado.

(a + b) + c = a + (b + c ) ·

3 . Conmutat iva :

E l orden de los sumandos no var ía la suma.

a + b = b + a

4 . E lemento neutro :

E l 0 es e l e lemento neutro de la suma porque todo número sumado con é l da e l mismo número.

a + 0 = a

+ 0 =

5 . E lemento opuesto

Dos números son opuestos s i a l sumar los obtenemos como resul tado e l cero.

e − e = 0

E l opuesto de l opuesto de un número es igua l a l mismo número.

−(− ) =

La d i ferenc ia de dos números rea les se def ine como la suma del minuendo más e l opuesto de l sustraendo .

a - b = a + ( - b )

MULTIPL ICACIÓN NÚMEROS REALES

La reg la de los s ignos del producto de los números enteros y rac ionales se s igue manten iendo con los números rea les .

PROPIEDADES

5

1. Interna : El resu l tado de mult ip l i car dos números rea les es otro número rea l .

a · b

2 . Asoc iat iva : E l modo de agrupar los factores no var ía e l resu l tado. Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que:

(a · b ) · c = a · (b · c )

(e · ) · = e · ( · )

3 . Conmutat iva : E l orden de los factores no var ía e l producto.

a · b = b · a

4 . Elemento neutro : E l 1 es e l e lemento neutro de la mult ip l i cac ión porque todo número mult ip l i cado por é l da e l mismo número.

a ·1 = a

· 1 =1

5 . Elemento inverso : Un número es inverso de l otro s i a l mult ip l i car los obtenemos como resul tado e l e lemento unidad.

6 . D is t r ibut iva : El producto de un número por una suma es igua l a la suma de los productos de d icho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c ) = a · b + a · c

· (e + ) = · e + ·

7 . Sacar factor común: Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

S i var ios sumandos t ienen un factor común, podemos t ransformar la suma en producto extrayendo d icho factor .

a · b + a · c = a · (b + c )

· e + · = · (e + )

La div i s ión de dos números rea les se def ine como e l producto de l d iv idendo por e l inverso de l d iv i sor .

En la siguiente figura se muestra un diagrama de Venn que ilustra las relaciones de contenencia de los diferentes conjuntos numéricos, los naturales, los enteros, los racionales, los irracionales y los reales. N = {1, 2, 3, 4, 5,…}

Z = {…-4, -3, -2, -1, o, 1, 2, 3, 4,…}

Q = {a/b, a y b Z, b ≠ o}

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I = {√2, √5, …}

C = {√-2, √-5,3i, 5√-2 …}

CONJUNTOS NUMÉRICOS

N Z Q R; además I R, y C R

El siguiente es un diagrama de contenencias donde se pueden ubicar con claridad los distintos conjuntos numéricos que contienen a R.

ACTIVIDAD # 1 “NUMEROS REALES”

De acuerdo a lo expuesto anteriormente contesta los siguientes puntos.

PREGUNTAS DE COMPREHENSIÓN

1. Determina si las siguientes relaciones de equivalencias son verdaderas o falsas (argumenta tu respuesta)

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Números Naturales (N)

El conjunto No = {0} N

Enteros negativos: …, -3, -2, -1

Cero: 0

Enteros positivos: 1, 2, 3, …

Números Enteros (Z)

Decimales Infinitos no Periódicos: √3, , 4√7

Enteros: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, …

Decimales finitos: 3.5. -4.32, …

Decimales Infinitos Periódicos: 0.252525, -3.11023023023

Números Irracionales (I)Números Racionales (Q)

Números Reales (R)

R = Q I

C

A. √9 є Q B. -0,75 є R C. ½ є I D. 4,040040004 є Q

RESPUESTAS:

A. VB. VC. FD. F

2. Nombra los conjuntos numéricos a los que pertenecen cada unos de los siguientes números:

A. 7 B. -3/5 C. 2 D. √2 E. 1,325555..

RESPUESTAS:

A. N – Z – Q – RB. Q – RC. N – Z – Q – RD. I – RE. Q - R

3. Ubica sobre la recta real los siguientes números y determina el conjunto numérico al cual pertenecen:

A. 5 B. 1/3 C. 17/4 D. √5 E. -√10

RESPUESTA: LA REALIZA EL DOCENTE

4. Determina el orden ascendente de los números del punto anterior.

RESPUESTA: -√10, 1/3, √5, 17/4, 5.

5. Completa la siguiente tabla con los símbolos є o según corresponda:

NUMEROS N Z+ Z- Z Q I R-10 є є є є√45

-1/62

14/2-√1

3√-10.6666…

RESPUESTAS

NUMEROS N Z+ Z- Z Q I R-10 √4 5

-1/6 2

14/2 -√1

3√-1 0.6666…

PREGUNTAS DE COMPREHENSIÓN

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6. De las siguientes operaciones, la que no tiene como resultado un número natural es:

A. 45-53 B. 15 ÷ 3 C. 56+89 D. 15 x 2

RESPUESTA: A

7. El resultado de (-4) + 6 + (-9) es:

A. -6 B. -7 C. 11 D. 19

RESPUESTA: B

8. De las siguientes operaciones, la que no tiene como resultado un número entero es:

A. (-12)÷(-4) B. (-26)÷(-13) C. 1/2 + 3/ 4 D. (-2)x(-9)

RESPUESTA: C

ANEXOS - REFUERZOS DE LAS HABILIDADES

ANEXO #1 “NÙMEROS REALES”

1. Sin usar la calculadora halla el valor exacto de:

a) 0,8 ( 2 + 7)

b) 2,15 - 0,89

c) 2,705 + 4,3 – 0,045

d) 7,2 - (4,5 – 2,7)

e) 10,81 ÷ 2,3

f) 96,2 ÷ 3,7

g) 2,7 x 3,4

h) 1,9 x 4,3

2. Utilizando el símbolo < ordena los siguientes números en sentido creciente: 34 , 0.702, 0.749, 7/10 , 0.08

3. Escribe las siguientes fracciones en forma decimal y ordénalas de menor a mayor:

a) ¾

b) 7/100

c) -4/5

d) -8/3 e) -4/7

4. En una banda municipal de música, el 16,6 % de los miembros son trompetas y el 22,222..% son tambores. Además, se sabe que el número de músicos no llega a 40, aunque sobrepasa los 30. ¿Cuántas personas hay en la banda?

5. Indica qué número real corresponde a los puntos A, B, C y D del eje numérico.

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6. Escribe los valores correspondientes a las letras que figuran en cada una de las siguientes escalas

- 6.21 A B 6.33 C

-1/2 A 1 B C

A 6.01 6.016 B

7. Escribe tres números decimales, ordenados de menor a mayor, que estén comprendidos entre 1,3535 . . . y 1,36.

8. Indica cuáles de las siguientes expresiones se escriben en forma decimal infinita no periódica:

2π, , ,

9. Con la calculadora se han obtenido las siete primeras cifras decimales de 103,1622776.... Con este dato, completa la siguiente tabla:

Orden Aproximaciones Redondeo

Defecto Exceso

Décimas

Milésimas

Millonésimas

10. Escribe los siguientes números en forma decimal redondeándolos a las centésimas:

a) 2,762

b) 3/5

c) 7,545454...

d) 0,1211211112...

e) -7/6

f) B

g) 3

h) 13,56

i) 3,4646 …

j) 123,75656 …

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11. En la siguiente tabla se recogen algunas de las aproximaciones del número B que se han utilizado a lo largo de la historia:

Época Aproximación Expresión Decimal

Antiguo Egipto (1.800 a.c.)

Grecia (300 a.c.)

Alejandría (Siglo II d.c.)

China (Siglo V d.c.

12. Indica, poniendo una cruz en la casilla correspondiente, a qué conjuntos numéricos pertenecen los siguientes números:

Conjuntos

Numéricos

B 4 1'010203.... 0'66666...

N

Z

Q

I

R

13. Completa la tabla siguiente escribiendo si o no según que pertenezca o no al conjunto arriba indicado.

Cantidad Z Q I R Aproximación Decimal

-0.66667

22.61

-3.476

0'343536.. 0.3425

3.196

1'123456.. 1.122

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14. Di en cada caso si es racional o irracional el número cuya parte entera es nula y cuyas cifras decimales se obtienen por el siguiente procedimiento:

a) Tirar un dado tres veces. Los puntos obtenidos serán las cifras decimales del número.

*Racional *Irracional

b) Tirar un dado infinitas veces.


c) Ir calculando sucesivas potencias de 7 y tomar la cifra de las unidades.


d) Ir calculando los cuadrados de los números naturales y tomar la cifra de las unidades.


e) Poner las cifras de tu número de teléfono y, cuando se acaben, empezar otra vez y así sucesivamente.


15. Razona con ejemplos las respuestas a las siguientes cuestiones:

a. La suma de dos números irracionales ¿es siempre un número irracional?

b. Si la medida del lado de un cuadrado es un número racional, ¿también es racional la medida de su diagonal?

c. Si la medida del lado de un cuadrado es un número racional, ¿qué clase de número es el área del cuadrado construido sobre su diagonal?

16. Indica, poniendo una cruz en la casilla correspondiente, a qué conjuntos numéricos pertenecen los números:

Conjunto Numérico

N

Z

Q

I

R

PARA AVANZAR MÁS…

El gerente de la firma decide consultar la gráfica que hizo el Departamento Administrativo Nacional de Estadística (DANE) de la tasa de desempleo con los resultados de los últimos 8 años, para determinar la facilidad con que podrá conseguir obreros para la obra.

El arquitecto, encargado del diseño del edificio, decide mirar la grafica de temperaturas realizadas por el IDEAM, de los registros obtenidos cada 8 horas, durante el día más caluroso del año, para determinar el tipo de materiales que usarán en la construcción.

1. Examina las graficas a continuación, en las cuales los números del eje horizontal se refieren al tiempo y los del eje vertical a los datos hallados. ¿Qué grafica le corresponde a cada situación?

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Gráfico A Gráfico B

a. La grafica A describe ambas situaciones porque se registraron exactamente o datos en ambas situaciones.

b. La grafica B corresponde a la situación del arquitecto porque la temperatura varía continuamente durante todo el tiempo correspondiente al número real y la grafica A corresponde a la situación del gerente porque los cambios en la tasa de desempleo no se determinan para todo tiempo correspondiente a un número real.

c. La grafica B describe ambas situaciones porque los datos se refieren a situaciones que cambian continuamente.

d. La grafica B corresponde a la situación del gerente porque de año a año los cambios son graduales y la grafica A a la situación del arquitecto porque solo se tomaron 8 datos en el día.

La terraza de un apartamento, en un edificio, tiene la forma y las dimensiones que se indican en el plano de la figura

2. El constructor asegura que el área de la terraza es 21 661/100 m2 porque:

a. Dividió la región en un rectángulo y un triangulo, encontró las áreas de cada uno y las adiciono.b. Dividió la región en un rectángulo y un triangulo, y hallo el área del rectángulo y le adiciono la

longitud de un lado del triangulo.c. Es la suma de las longitudes de los lados de la terraza.d. El área de un rectángulo se encuentra multiplicando las longitudes de la base y de la altura.

3. El arquitecto quiere colocar una baranda alrededor de la terraza. El ordenamentador dice que necesita más de 16.85 metros lineales de la baranda escogida.

a. Él está en lo correcto ya que m (CD) << 3, porque la hipotenusa de un triangulo rectángulo es el lado más largo del triangulo.

b. Él no tiene razón porque el perímetro es meno r que 16.5 mc. Él no puede determinar el valor del perímetro porque la longitud de una parte es un número

irracional.d. Él ornamentador se equivoco al transformar los números racionales de una notación a otra

4. Él arquitecto escogió el siguiente patrón para la baranda

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E

m

D

C

B

A

17/4 m m

6.52 m m

29/5 m m2.8

m

El ornamentador construye módulos como el que se muestra en gris, donde la varilla tiene un espesor de 1 cm y el adorno superior mide 14 cm en su parte más ancha. Para encontrar la cantidad de módulos en cada tramo, el ornamentador debe:

a. Dividir la longitud por 15b. Transformar las medidas a una unidad común y dividirlas por 14c. Dividir las medidas dadas por 0.15d. Sustraer 0.01 a cada medida dada y dividir los resultados por 0.15

5. Él ornamentador asegura que necesita 21 módulos para el CD.

a. Él está en lo correcto por que 3 < √ 14 < 4, luego puede aproximar la longitud del dado a 315cm.b. Él está equivocado por que √14 debe ser un número más cercano a 4 que a 3. Por tanto, debe asumir

que este lado mide 370 cmc. El está equivocado porque 3.7 < √ 14 < 3.8, luego puede usar 25 módulos y asumir que ese lado mide

376 cmd. Como no puede hallar la longitud exacta puede usar cualquier aproximación.

6. Juegos de Adivinanzas. Para el desarrollo de la actividad se trabajará inicialmente de manera individual, luego por pares, en todos los casos se usará como herramienta la calculadora. El objetivo de esta actividad es modelar situaciones reales por medio del algebra.

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INTERVALOS

Los interva los es tán determinados por dos números que se l laman extremos. En un interva lo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los ext remos. Intervalo abierto: Interva lo abierto , (a , b ) , es e l conjunto de todos los números rea les mayores que a y menores que b .

(a , b ) = {x / a < x < b}

Intervalo cerrado: Interva lo cerrado, [a , b] , es e l conjunto de todos los números rea les mayores o iguales que a y menores o iguales que b .

[a , b ] = {x / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda: Interva lo semiabierto por la i zquierda, (a , b] , es e l conjunto de todos los números rea les mayores que a y menores o iguales que b .

(a , b ] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha: Interva lo semiabierto por la derecha, [a , b ) , es e l conjunto de todos los números rea les mayores o iguales que a y menores que b .

[a , b ) = {x / a ≤ x < b}

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos interva los , se ut i l i za e l s igno (unión ) entre e l los .

SEMIRRECTAS

Las semirrectas es tán determinadas por un número. En una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que é l .

X > A (A , +∞) = {X / A < X < +∞}

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X ≥ A [A, +∞) = {X / A ≤ X < +∞}

X < A ( -∞, A) = {X / -∞ < X < A}

X ≤ A ( -∞, A] = {X / -∞ < X ≤ A}

INTERVALOS NO ACOTADOS

X < 3 x ¿ 3

-1 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7

]−∞ ;3[= {x /x ∈R, x < 3} [3 ;∞[= {x /x ∈R, x ¿ 3}

OPERACIONES CON INTERVALOSUnión de intervalos:

La unión de dos intervalos I1 = [−2 ;6 ] y I2 = [1; 8] es el conjunto de números reales que pertenecen a l menos a uno de los dos intervalos.

I2

I1

I1¿ I2

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

I1¿ I2 = [-2; 6] ¿ [1; 8] = [-2; 8]

Intersección de intervalos:

La Intersección de dos intervalos es el conjunto de los números reales que pertenecen a la vez a los dos intervalos.

I2

I1

I1¿ I2

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

I1¿ I2 = [-2; 6] ¿ [1; 8] = [1; 6]

Diferencia de Intervalos :

La diferencia del intervalo I1 y I2 es el conjunto de los números reales que pertenecen al intervalo I1 y no pertenecen al intervalo I2

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I2

I1I1 - I2

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

I1 - I2 = [-2; 6] - [1; 8] = [-2; 1[

ACTIVIDAD

1. Dados los siguientes intervalos: A = [-5, 3]; B = [-3, 5]; C = [- , 2). Realizar las operaciones

indicadas y escribir los intervalos resultantes:

a) A B b) B C c) A C

d) A B e) B C f) B – A

g) C – A h) (B A) – C i) (A C’) – B

j) (A B) C k) (B – C’)’ l) (A C’)’

2. Indica el intervalo que expresa el resultado de las siguientes operaciones:

a ) (−∞ ,0 )∪(0,∞ )=b ) (−∞ ,0 )∩ (0,∞ )=c )(−∞ ,0 ]∩[ 0,∞)=d )(−∞ ,-3 )∪(−7−4 )=

3. Representa gráficamente el punto medio del intervalo: [ -6; -5/2]

4. Calcula y representa en la recta numérica los siguientes intervalos:A) ]1; 5[¿ [4; 6]B) [-4; 7] ¿ ]4; 8]C) ]-3; 6] – [2; 7]

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VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL

Valor absoluto de un número rea l a , se escr ibe |a| , es e l mismo número a cuando es pos i t ivo o cero , y opuesto de a , s i a es negat ivo .

|5| = 5 | -5 |= 5 |0| = 0

|x| = 2 x = −2 x = 2

|x|< 2 − 2< x < 2 x (−2 , 2 )

|x|> 2 x< −2 ó x>2 (−∞ , −2) (2 , +∞)

|x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5

− 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7

PROPIEDADES1. Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

|5| = |−5| = 5

2 . El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

|5 · (−2)| = |5| · | (−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10

3 . El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

|5 + (−2)| ≤ |5| + | (−2)| |3| = |5| + |2| 3 ≤ 7

d(−5, 4 ) = |4 − (−5)| = |4 + 5| = |9|

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL

El Valor Absoluto de un número Real es siempre positivo, y es igual a la figura del número.

| x | = ¿ { 0 sí x es igual a cero ( x= 0 )¿ { x sí x es positivo ( x > 0 )¿ ¿¿

¿

El valor absoluto de un número Real, se representa ubicando el número Real entre dos barras verticales, la cual se lee: “Valor absoluto de”

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-3 0 3

El valor absoluto, también se considera como la distancia que existe desde el origen (punto cero de la Recta Real) tanto a un número Real positivo como negativo.

Observa la Recta numérica representada en la figura dada a continuación. Si medimos la distancia que existe entre: 0 y 3, encontramos que es igual a la distancia que existe entre: 0 y - 3

. . .

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

1) El valor absoluto de cero, es cero

| x | = 0 sí y sólo sí x = 0

| 0 | = 0

2) El valor absoluto de “x” es igual al valor absoluto de “- x” ∀ x ∈ ℜ

| x | = | - x | = x ∀ x ∈ ℜ

| 10 | = | - 10 | = 10

3) El valor absoluto cuando a ¿ 0 y | x | = a

| x | = 3 ⇒ x = 3 ó x = - 3

4) El valor absoluto para todo “x” , “y” ∈ ℜ se cumple que: | x | + | y | ≥ | x + y |

Sí x = 9; y = - 7 ⇒ ¿ {| 9 | + | - 7 | ≥ | 9 + ( - 7 ) |¿ { 9 + 7 ≥ | 2 |¿ ¿¿

5) El valor absoluto para todo “x”,“y” ∈ ℜ se cumple que: | x | ⋅ | y | = | x ⋅ y |

Sí x = - 3; y = 5

⇒¿ {| - 3 | ⋅ | 5 | = | - 3 ⋅ 5 |¿ { 3 ⋅ 5 = | - 15 |¿¿¿

6) El valor absoluto para todo “x”, “y” ∈ ℜ se cumple que:

| x | | y |

= | x y

|

Sí x = 18; y = - 9

⇒¿{ | 18 | | - 9 |

= | 18 - 9

|¿ { 18 9

= | - 2 |¿ ¿¿

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OPERACIONES CON VALOR ABSOLUTO

EJERCIOS:

Resuelve las siguientes operaciones con valor absoluto:

a) | 2

3 + 4 | =

b) | 8 - 15 + 4 | =

c) |

4 5√ 24 5√ 42

| =

d) | 1

4 +

1 2

+ 1

3 | + | 1

6 | =

e) | 3 √ 28 - √ 63 | =

f) | 1

2√ 8 +

3 5√ 50 | =

g) | 2 .√ 5 . 3 √ 20 | =

h) | 3

4 √ 5 +

2 √ 5 4

| =

i) 3√ 5 + | √ 20 + √ 45 | =

j) | 1

5 √ 125 +

3 4√ 45 -

3 7√ 245 | =

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DESIGUALDADES

Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra, y sus signos son > que

se lee mayor que, y < que se lee menor que. 5 > 3 se lee 5 mayor que 3; - 4 < - 2 se lee - 4 menor

que - 2.

Una cantidad a es mayor que otra cantidad b cuando la diferencia a - b es positiva. Así, 4

es mayor que - 2 porque la diferencia 4 - (- 2) = 4 + 2 = 6 es positiva; - 1 es mayor que - 3

porque - 1 - (- 3) = - 1 + 3 = 2 es una cantidad positiva.

Una cantidad a es menor que otra cantidad b cuando la diferencia a - b es negativa: así, -

1 es menor que 1 porque la diferencia - 1 - 1 = - 2 es negativa: - 4 es menor que - 3

porque la diferencia - 4 - (- 3) = - 4 + 3 = - 1 negativa.

Según lo anterior, cero es mayor que cualquier cantidad negativa, por lo tanto 0 es

mayor que - 1 porque 0 - (- 1) = 0 + 1 = 1, cantidad positiva.

El primer miembro de una desigualdad es la expresión que está a la izquierda y el

segundo miembro está a la derecha del signo de desigualdad. En a + b > c - d el primer

miembro es a + b y el segundo c - d .

Los términos de una desigualdad son las cantidades separadas de otras por el signo + ó -,

o por la cantidad que está sola en un miembro. En la desigualdad anterior los términos

son a, b, c y - d .

Dos desigualdades son del mismo signo o subsisten en el mismo sentido cuando sus

primeros miembros son mayores o menores que los segundos. De este modo, a > b y c > d

son desigualdades del mismo sentido.

Dos desigualdades son de signo contrario o no subsisten en el mismo sentido cuando sus

primeros miembros no son mayores o menores que los segundos. Así, 5 > 3 y 1 < 2 son

desigualdades de sentido contrario.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

1) Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma cantidad, el

signo de la desigualdad no varía. Dada la desigualdad a > b, se puede escribir:

a + c > b + c y a - c > b - c

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En una desigualdad un término cualquiera puede pasar de un miembro al otro

cambiándole el signo.

En la desigualdad a > b + c se puede pasar c al primer miembro con signo negativo

quedando a - c > b, porque equivale a restar c a los dos miembros.

En la desigualdad a - b > c , se puede pasar b con signo positivo al segundo miembro y

quedando a > b + c , porque equivale a sumar b a los dos miembros.

2) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma

cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía. Dada la desigualdad a > b y siendo c

una cantidad positiva, puede escribirse:

Es posible suprimir denominadores en una desigualdad sin que varíe el signo de la

desigualdad, porque ello equivale a multiplicar todos los términos de la desigualdad, o sea

sus dos miembros, por el m. c. m. de los denominadores.

3) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma

cantidad negativa, el signo de la desigualdad varía. Si en la desigualdad a > b se multiplica

ambos miembros por - c , se tiene:

- ac < - bc

Si se divide por - c , o sea multiplicando por −1c , se tiene:

Al cambiar el signo a todos los términos, es decir, a los dos miembros de una desigualdad,

el signo de ésta varía porque equivale a multiplicar los dos miembros de la desigualdad

por - 1. Si en la desigualdad a - b > - c cambiamos el signo a todos los términos, se tiene:

b - a < c

4) Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo. Si a > b es

evidente que b < a

5) Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo.

Siendo a > b se tiene que

22

6) Cuando los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma

potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia. 5 > 3 y elevando al cuadrado:

52 > 32 o sea 25 > 9

7) Si los dos miembros o sólo uno es negativo y se eleva a una potencia impar positiva, el

signo de la desigualdad no cambia.

Siendo - 3 > - 5 y elevando al cubo (- 3)3 > (- 5)3 o sea - 27 > - 125

Siendo 2 > - 2 y elevando al cubo 23 > (- 2) o sea 8 > - 8

8) Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el

signo de la desigualdad cambia. Siendo - 3 > - 5 y elevando al cuadrado (- 3)2 = 9 y (- 5)2 =

25 y queda 9 < 25.

9) Cuando un miembro es positivo y otro negativo, y ambos se elevan a una misma

potencia par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar.

Siendo 3 > - 5 y elevando al cuadrado 32 = 9 y (- 5)2 = 25 y queda 9 < 25 (cambia el signo)

Siendo 8 > - 2 y elevando al cuadrado 82 = 64 y (- 2)2 = 4 y queda 64 > 4 (no cambia el

signo)

10) Cuando los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una

misma raíz positiva, el signo de la desigualdad no cambia.

a > b y n es positivo, se tiene:

11) Si dos o más desigualdades del mismo signo se suman o multiplican miembro por

miembro, resulta una desigualdad del mismo signo. Si a > b y c > d , se tiene:

12) Cuando dos desigualdades del mismo signo se restan o dividen miembro por

miembro, el resultado no necesariamente será una desigualdad del mismo signo, pues,

puede ser una igualdad.

23

En 10 > 8 y 5 > 2, restando miembro por miembro: (cambia de signo)

Al dividir miembro por miembro las desigualdades 10 > 8 y 5 > 4 tenemos

(Resulta una igualdad)

24


INECUACIONES

Un estudiante debe mantener un promedio numérico final en cinco exámenes de 80% a 89%, para obtener una nota final d B en el curso de cálculo. Si en los primeros cuatro exámenes obtuvo calificaciones de 96%, 70%, 81% y 95%, ¿Qué calificación deberá obtener en el examen final para obtener una nota de B?

Dejemos que x (0 ≤ X ≤ 100) sea la calificación que debe obtener el estudiante en el examen final. Un promedio se busca sumando las notas y dividiendo entre el número de notas. Así, el promedio del estudiante se calculara de la siguiente manera:

(96 + 70 + 81 + 95 + x) / 5

Si resolvemos que el promedio final quede entre 80% y 90%, inclusive el 80%. Luego, al simplificar la expresión anterior, tenemos:

80 ≤ (342 + x)/ 5 ‹ 90

Si resolvemos la desigualdad anterior:

400 ≤ 342 + x ‹ 450

58 ≤ x ‹ 108

El resultado anterior significa que, el estudiante no puede sacar menos de 58% en el examen final si desea una calificación de B en dicho curso. Otras consecuencias del resultado anterior son que si obtiene una calificación menor de 58% en dicho examen final, su nota final será menos de B y que no hay modo de que el estudiante obtenga una nota final de A, pues 0 ≤ x ≤ 100 y el resultado obtenido implica que tendría que obtener una calificación mayor o igual a 108 para obtenerla.

Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se conocen como desigualdades de condición.

Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la inecuación.

La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdades antes expuestas y en las consecuencias que de las mismas se derivan.

Ejemplos :

1) Resolver 2x - 3 > x + 5

25

La desigualdad 2x - 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y sólo

se verifica para cualquier valor de x mayor que 8. Para x = 8 se convertiría en

una igualdad y para x < 8 en una desigualdad de signo contrario.

Pasando x al primer miembro y 3 al segundo tenemos:

2x - x > 5 + 3

Reduciendo: x > 8

La desigualdad sólo se verifica para los valores de x mayores que 8.

2)

Suprimiendo denominadores (ver propiedad 2) se tiene: 42 - 3x > 10x - 36

Trasponiendo términos: - 3x - 10x > - 36 - 42

- 13x > - 78

Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad, origina: 13x < 78

. 6 es el límite superior de x, es decir que la desigualdad sólo se verifica para los valores de x menores que 6.

3) Encontrar el límite de x en (x + 3)(x - 1) < (x - 1)2 + 3x

Efectuando las operaciones indicadas:

x 2 + 2x - 3 < x 2 - 2x + 1 + 3x

Suprimiendo x 2 en ambos miembros y transponiendo:

2x + 2x - 3x < 1 + 3

x < 4

4 es el límite superior de x.

Las inecuac iones son des igualdades a lgebra icas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:

< menor que 2x − 1 < 7

≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7

> mayor que 2x − 1 > 7

≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7

La so luc ión de una inecuac ión es el conjunto de valores de la variable que la verifica.

La solución de la inecuación se expresa mediante:

1. Una representac ión gráf ica .

2 . Un interva lo .

26

2x − 1 < 7

2x < 8 x < 4

( -∞, 4 )

2x − 1 ≤ 7

2x ≤ 8 x ≤ 4

( -∞, 4]

2x − 1 > 7

2x > 8 x > 4

(4 , ∞)

2x − 1 ≥ 7

2x ≥ 8 x ≥ 4

[4 , ∞)

INECUACIONES EQUIVALENTES

S i a los dos miembros de una inecuac ión se les suma o se les resta un mismo número , la inecuación resultante es equivalente a la dada.

3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x < 1

S i a los dos miembros de una inecuac ión se les mult ip l i ca o d iv ide por un mismo número pos i t ivo , la inecuación resultante es equivalente a la dada.

2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3

S i a los dos miembros de una inecuac ión se les mult ip l i ca o d iv ide por un mismo número negat ivo , la inecuación resultante cambia de sent ido y es equivalente a la dada.

−x < 5 (−x) · (−1) > 5 · (−1) x > −5

1.- Si un número está sumando en un miembro, pasa para el otro miembro restando.

x + 3 > 6 Þ x > 6 - 3 Þ x > 3 ⇒ x ∈ (3,®).

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2.- Si un número está restando en un miembro, pasa para el otro miembro sumando.

x + 5 ≥ 8 ⇒ x ≥8 − 5⇒ x ≥ 3 ⇒ x ∈ [ 3,→)

3.- Si un número positivo está multiplicando en un miembro, pasa para el otro miembro dividiendo.

4 x ≤ 3 ⇒ x ≤

3 4

⇒ x ∈ (← , 3

4]

4.- Si un número negativo está multiplicando en un miembro, pasa para el otro miembro dividiendo, y cambia el sentido de la desigualdad.

−4 x ≥ 5 ⇒ x ≤

5 −4

⇒ x ∈(← , - 5

4]

Los resultados de las inecuaciones se expresan en forma de intervalo, conjunto y gráficamente.

EJERCICIOS:

Determina la solución de las siguientes inecuaciones:

1)3 x + 2 ≤ 20 2 ) 4 x - 5 > 8 x - 4 3) 3x 2

+ 1 ≥ 1 3

x − 5

4 ) x+7 2

≤ x−3 3

5 ) 3x + 1 2

≤ 5 6 ) 4x 3

− 8 ≤ 5x + 1 3

7 ) 3 x - 1 2

≥ 6 ( x − 1) 3

> 0

8 ) 4 x - 1 3

− 2 x − 5 2

≤ 1

9 ) x - 7 2

- 3 x - 9 2

> 5 x - 8 4

10) 7 x - 5 2

- 6 x - 5 2

> 5 x - 4 3

- 4 x

11) 3 x - 7 3

+ 5 x ≥ 8 x - 2 x - 6 4

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INECUACIONES CUADRÁTICAS

La inecuac ión cuadrát ica o de segundo grado :

x2 − 6x + 8 > 0

Se resolveremos aplicando los siguientes pasos:

1º Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

x2 − 6x + 8 = 0

2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0

P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

S = ( -∞, 2 ) (4 , ∞)

x2 + 2x +1 ≥ 0

x2 + 2x +1 = 0

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(x + 1)2 ≥ 0

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es

Soluc ión

x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0

x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0

x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1

x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0

x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 = 0

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es .

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.

Soluc ión

x2 + x +1 ≥ 0

x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 ≤ 0

x2 + x +1 < 0

Ejercicios de inecuaciones cuadraticas

1. 7x2 + 21x − 28 < 0

x2 +3x − 4 < 0

x2 +3x − 4 = 0

P(−6) = (−6) 2 +3 · (−6)− 4 > 0

P(0) = 0 2 +3 · 0 − 4 < 0

P(3) = 3 2 +3 · 3 − 4 > 0

(−4 , 1 )

2 . −x2 + 4x − 7 < 0

30

x2 − 4x + 7 = 0

P(0) = −0 2 + 4 ·0 − 7 < 0

S =

3.

P(−3) = 4 · (−3)2 − 16 > 0

P(0) = 4 · 0 2 − 16 < 0

P(3) = 4 · 3 2 − 16 > 0

( -∞ , −2 ] [2 , +∞)

4 . 4x2 − 4x + 1 ≤ 0

4x2 − 4x + 1 = 0

x 4 + x 3 – 64x 2 > 0

x2 (x2 +12x – 64) > 0

Como el primer factor es siempre positivo, sólo tendremos que estudiar el signo del 2º factor.

P(−17) = (−17) 2 + 12 · 17 − 64 > 0

P(0) = 02 + 12 · 0 − 64 < 0

P(5) = 5 2 + 12 · 5 − 64 > 0

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( -∞, −16] [4 , ∞)

6 . x4 − 25x2 − 144 < 0

x4 − 25x2 − 144 = 0

(−4 , −3) (−3 , 3 ) (3 , 4 ) .

7. x4 − 16x2 − 225 ≥ 0

x 4 − 16x 2 − 225 = 0

(x2 - 25) · (x2 + 9) ≥ 0

El segundo factor siempre es positivo y distinto de cero, sólo tenemos que estudiar el signo del 1er

factor.

(x2 − 25) ≥ 0

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( -∞, −5] [5 , +∞)

33

guia 11º mat

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