Curso:

El desarrollo del pensamiento matemático en los alumnos de sexto

grado de primaria

GUÍA DEL PARTICIPANTE

El curso El desarrollo del pensamiento matemático en los alumnos de sexto grado de primaria fue elaborado por la Universidad Nacional Autónoma de México, en colaboración con la Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio, de la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública. SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA Mtro. Alonso Lujambio Irazábal Secretario de Educación Pública

Mtro. José Fernando González Sánchez Subsecretario de Educación Básica

Lic. Leticia Gutiérrez Corona Directora General de Formación Continua de Maestros en Servicio

Dra. Jessica Baños Poo Directora de Desarrollo Académico

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO Dr. José Narro Robles Rector

Dr. Sergio Alcocer Martínez de Castro Secretario General

Dra. Rosaura Ruíz Gutiérrez Secretaria de Desarrollo Institucional

Dr. Ramón Peralta y Fabi Director de la Facultad de Ciencias

Coordinación General

Lic. Leticia Gutiérrez Corona Dra. Rosaura Ruíz Gutiérrez

Coordinación Académica

Dra. Jessica Baños Poo Dr. Jesús Polito Olvera

Ing. Alma Lucia Hernández Pérez

Dr. Alfredo Arnaud Bobadilla M. en C. Concepción Ruiz Ruiz-Funes

Autores

Dra. Maritza Pescador Rivera

Revisión

Lic. Martha Leticia Hernández Arrieta M. en C. Concepción Ruiz Ruiz-Funes

Diseño de Portada

LDG Ricardo Muciño Mendoza

Este programa es de carácter público, no es patrocinado ni promovido por partido político alguno y sus recursos provienen de los impuestos que pagan los contribuyentes. Está prohibido el uso de este programa con fines políticos, electorales, de lucro y otros distintos a los establecidos. Quien haga uso indebido de los recursos de este programa deberá ser sancionado de acuerdo con la ley aplicable y ante la autoridad competente. D.R.© Secretaría de Educación Pública, 2009 Argentina 28, Colonia Centro, 06020, México, D.F. ISBN En trámite

1

CURSO DE ACTUALIZACIÓN DOCENTE

El desarrollo del pensamiento matemático en los alumnos de sexto grado de primaria

GUÍA DEL PARTICIPANTE

SESIÓN 1

Se recomienda hacer los ejercicios y actividades de esta sesión por parejas.

Distintos usos y significados de las Fracciones

Una fracción es un par ordenado de números enteros a y b, donde b no puede ser

cero, que usualmente se representa en la forma a/b.

Al número b se le llama denominador e indica el número de partes iguales en las que

se divide la unidad y al número a se le llama numerador e indica el número de partes

que se toman de la unidad dividida.

Para leer las fracciones, se enuncia primero el numerador y después el denominador,

que es el que determina el nombre de cada una de las partes en las que fue dividida la

unidad, si éste es 2 se lee medios, si es 3 se lee tercios, si es 4 se lee cuartos, si es 5

se lee quintos, si es 6 se lee sextos, si es 7 se lee séptimos, si es 8 se lee octavos, si es

9 se lee novenos, si es 10 se lee décimos. Si el denominador es mayor que 10, se

añade al nombre del número la terminación avos.

Las fracciones pueden clasificarse en varios tipos, una fracción cuyo numerador es

menor que su denominador se llama fracción propia; y otra cuyo numerador es mayor

que su denominador se llama fracción impropia.

La riqueza de significados es un aspecto relevante de las fracciones, sin embargo, es

esto mismo lo que más dificultades causa en el proceso de asimilación de este

2

concepto, aún cuando todos estos significados tienen aplicación directa en la vida

cotidiana. Revisemos entonces dichas interpretaciones.

• El todo y sus partes.

Esta relación se presenta cuando un todo se divide en partes iguales. La fracción

indica la relación que existe entre el número total de partes en que se dividió el

todo y un número determinado de partes que se resaltarán o tomarán del total,

en donde el todo recibe el nombre de unidad.

Por ejemplo, en la siguiente gráfica la relación que se representa es que de

cuatro partes iguales en que se dividió el todo o unidad se iluminan tres, es decir,

se iluminan tres cuartas partes de la unidad, escribiendo la fracción tenemos ¾.

Otra forma de representar la interpretación parte–todo de las fracciones, es con

la representación de éstas como puntos en la recta numérica. Para la

representación de la fracción a/b como punto sobre la recta numérica, cada

segmento unidad se divide en b partes iguales de las que se toman a.

0 3/4 1

Existe otra forma de enseñar las fracciones en la interpretación parte–todo, ésta

es mediante aquellos casos en los que la unidad o el todo está compuesto por

varios elementos, llamándosele a esta unidad conjunto.

3

En estos casos, casos discretos, para representar la relación parte–todo, se

divide al todo (conjunto) en partes iguales, es decir en subconjuntos que

contienen cada uno la misma cantidad de “objetos”.

Ejemplo:

Del siguiente conjunto de objetos tomar 3/5

1 3/5

• Relación de medición.

En estas situaciones se tiene una unidad y se quiere determinar cuántas veces

cabe ésta en la cantidad que se va a medir, lo que nos da la medida (longitud,

área, volumen, kilos, litros, etcétera) de dicha cantidad respecto a la unidad dada

de medida, dando mayor precisión a la actividad de medir, pues si se busca

obtener mejores aproximaciones de la cantidad a medir, se hace necesario

reconocer y nombrar partes cada vez más pequeñas de la unidad de medida. El

caso más simple lo tenemos cuando la unidad cabe un número exacto de veces

en dicha cantidad.

El concepto de medida está fundamentado en la interpretación de la relación del

todo y sus partes, ya que la obtención de subunidades requiere de su relación

con la unidad.

4

Ejemplo

Tomemos el segmento AB como unidad para saber cuántas veces cabe éste en

el segmento CD.

A B unidad de medida

C D cantidad a medir

C D

A B A B

El segmento AB cabe 4 y media veces en el segmento CD. Suponiendo que el

segmento AB fuese de un centímetro de longitud tendríamos que el segmento

CD mide 4 y medio centímetros. Es importante destacar que, para obtener una

mejor aproximación de la longitud del segmento a medir, se tuvo que dividir

nuestra unidad de medida en dos partes iguales. Este fue un ejemplo sencillo,

habrá ocasiones en que se tendrá la necesidad de dividir en más partes nuestra

unidad de medida para obtener una mejor aproximación. Cabe hacer notar que

situaciones como ésta se pueden presentar no sólo para longitudes sino también

en otras unidades de medida, por ejemplo kilos, área, litros, etcétera.

• Razón.

Una razón es una comparación numérica entre dos cantidades; las fracciones se

pueden usar como razones. En este caso no se tiene una única unidad de

referencia para hacer las comparaciones como podría ocurrir en otros casos,

pudiéndose hacer comparaciones bidireccionales, es decir, tomar como unidad a

una u otra de las partes involucradas. Las comparaciones describen una relación

conjunto a conjunto, todo a todo, aunque también aparecen como comparaciones

parte–parte, y se simboliza con a:b.

5

Para aclarar esta interpretación de las fracciones tenemos los siguientes

ejemplos:

a) En una fiesta infantil hay 15 niños y 10 niñas, la relación entre estas

cantidades es 2/3, que quiere decir que por cada tres niños hay dos niñas, lo que

se puede expresar también como 3/2 si hacemos una comparación bidireccional,

es decir, por cada dos niñas en la fiesta hay tres niños, ahora tomamos como

referencia a las niñas para hacer la comparación.

b) Las escalas en los dibujos, mapas, planos, etcétera.

Escala 1:2

En el ejemplo 1:2 significa que el dibujo más grande tiene el doble de altura que

el pequeño.

c) Supongamos que tenemos en una bolsa 10 fichas negras, 6 fichas blancas y 4

fichas azules, si sacamos una ficha al azar de la bolsa y queremos saber qué

probabilidad hay de que esa ficha sea azul, debemos tener en cuenta que

contamos únicamente con 4 fichas azules en la bolsa, a lo que llamaremos casos

favorables, y también que contamos con un total de 20 fichas en la bolsa, a lo

que llamaremos casos totales.

De acuerdo con la definición de probabilidad clásica o probabilidad teórica, al

sacar una ficha al azar de la bolsa la probabilidad de que ésta sea azul es:

número de casos favorables 4 __________________________ = ------ número de casos totales 20

6

La fracción obtenida representa la comparación entre el conjunto de casos

favorables y el conjunto de casos totales.

Entonces la fracción que representa la probabilidad de que la ficha extraída al

azar de la bolsa sea azul es: 4/20.

Así, la probabilidad de sacar al azar de la bolsa una ficha negra es 10/20, donde

10 es el número de casos favorables, pues se tienen 10 fichas negras y 20

representa el número de casos totales, se tienen 20 fichas en total. Por último, la

probabilidad de sacar de la bolsa al azar una ficha blanca es 6/20, donde 6 es el

número de casos favorables, se tienen 6 fichas de color blanco y 20 fichas en

total, casos totales.

d) El porcentaje es una relación entre un número y el número 100, esta

aplicación puede entenderse como el establecimiento de relaciones o razones

entre conjuntos. Por ejemplo, cuando se tiene un descuento del 20% en algún

producto cuyo precio es $ 400.00, se tiene primeramente la relación $20 de

$100, que para la cantidad de $400 sería cuatro veces la relación anterior, lo

que se puede representar de la siguiente manera:

$20 de $100 $20 de $100 $20 de $100 $20 de $100

Obteniendo la siguiente relación: 20 es a 100 (20/100) como 80 es a 400

(80/400). Así, concluimos por la relación anterior que el 20% de $400.00 es

$80.00.

e) Dados dos segmentos AB y CD

A B C D

La longitud AB es ¼ de la longitud CD: (1:4)

La longitud CD es 4 veces la longitud AB: (4:1)

7

La relación o razón existente entre estos dos segmentos está dada por AB es ¼

de CD, lo que se traduce en que si comparamos la longitud de AB con la longitud

de CD tenemos que CD es cuatro veces más grande que AB o AB es cuatro

veces menor que CD, es decir AB es una cuarta parte de CD.

• Cociente.

En esta interpretación, un todo es subdividido en partes iguales, cuyo número

está determinado por la cantidad de objetos a los que se le va a hacer la

repartición. Con esta interpretación se asocia la fracción con la operación de

dividir un número natural entre otro, teniendo siempre la idea de un reparto.

Ejemplo: Se tiene una bolsa con 40 canicas y ocho niños a quienes repartírselas

(40/8) ¿cuántas canicas le tocarán a cada uno?

1/8 1/8 1/8 1/8

1/8 1/8 1/8 1/8

Ejercicios

1.- Escriba en forma de fracción la parte de superficie que está coloreada en las figuras A y B.

A B

8

2.- Complete la siguiente tabla

3.- Sandra, Julia y Francisco han recibido la misma caja de bombones. Sandra se ha comido 5/6 de su caja, Julia 3/4 de la suya y Francisco 7/12 de la suya, ¿A quién le quedan menos bombones?

4.- A un festival benéfico han acudido los 2/3 de la clase de Irene y los 5/6 de la clase de Raúl. Si en las dos clases hay el mismo número de alumnos, ¿de qué clase han ido más escolares?

5.- Un ciclista corre una etapa de 120 Km. Lleva recorridos tres quintos de la etapa. ¿Cuántos Kilómetros le falta hasta la meta?

6.- Dibuje un cuadrado como el ilustrado y recorte por el borde.

Fracción Numerador Denominador Tipo

5/9 propia

12 7

3 impropia

14 propia

9

- El cuadrado tiene _____ cuadritos por lado.

Doble el cuadrado por la mitad y corta.

- El cuadrado quedó divido en ____ partes rectangulares, cada una de ellas representa la fracción _____

Doble uno de los rectángulos en cuatro partes y corta.

- La fracción que representa cada una de esas partes es _____ con respecto al rectángulo cortado.

- La fracción que representa cada una de esas partes es _____ con respecto al cuadrado original.

Doble ahora el otro rectángulo en cinco partes y corta.

La fracción que representa cada una de esas partes es _____ con respecto al rectángulo recién cortado.

La fracción que representa cada una de esas partes es _____ con respecto al cuadrado original.

7.- Si un curso está compuesto por 23 hombres y 15 mujeres, entonces ¿cuál es la fracción que representa el número de hombres del curso?

8.- Ernesto compra una camisa en $ 350.00, le harán un descuento del 10%. ¿Cuánto pagará por la camisa?

9.- Mayra tiene tres barras de chocolate y quiere repartirlas entre sus cuatro primos pequeños. ¿Qué parte de chocolate le tocará a cada niño? Ilustre con un dibujo su procedimiento.

10

10.- Realice lo que se solicita.

Repartir en

partes iguales Entre

A cada uno le

corresponden

Fracción del

total

4 manzanas 8 personas media

manzana

1 pizza 4 personas

12 chocolates 4

chocolates

2 personas 1

plátano

6

dulces 1/3

Fracciones equivalentes y comparación de fracciones

Las fracciones equivalentes son aquellas que representan la misma aparte de la unidad.

La palabra equivalentes se refiere a que dos o más cosas tienen el mismo valor (equi =

igual, valente = valor).

Dependiendo del contexto en el que se esté trabajando, las fracciones que sean

equivalentes representarán la misma parte de una figura (área), la misma longitud de un

segmento de recta, la misma cantidad de elementos, etcétera.

Para obtener una fracción equivalente a otra dada se multiplica al numerador y el

denominador de ésta por el mismo número entero, distinto de cero.

11

Ejemplo:

Dada la fracción 5/7 encontrar una fracción equivalente.

5 4 20 ----- x ----- = ------- 7 4 28

20/28 es una fracción equivalente a 5/7.

Comparación de fracciones

Para comparar fracciones con igual denominador, basta con comparar los numeradores

para definir cuál es mayor o menor.

Resulta mayor la que tiene mayor numerador.

Resulta menor la que tiene menor numerador.

Ejemplo:

Comparemos 5/6 y 2/6. La primera es mayor ya que 5 > 2.

Para comparar fracciones con diferente denominador, se deben buscar fracciones

equivalentes con denominador común.

Ejemplo: Comparemos las fracciones 2/3 y 3/4.

Para compararlas debemos reducir estas fracciones a un denominador común,

busquemos una fracción equivalente de cada una de ellas que tengan el mismo

denominador.

Multiplicaremos por 4 al numerador y al denominador de la fracción 2/3 para obtener

una fracción equivalente y de la fracción 3/4 multiplicaremos por 3 al numerador y al

denominador, obteniéndose respectivamente, 8/12 y 9/12.

12

Observando los numeradores de las fracciones encontradas, tenemos que como 9 > 8,

la fracción mayor es 9/12 o sea que 3/4 >2/3.

Ejercicios

1.-Construya 7 tiras de papel de igual longitud. Una de las tiras será la unidad por lo que no se le harán modificaciones

a) Utilizando 3 tiras de papel:

En una marque 0; 1/2 ; 2/2 ; en otra 0; 1/4 ; 2/4 ; 3/4 ; 4/4 ; y

en otra 0; 1/8 ; 2/8 ; 3/8 ; 4/8 ; 5/8 ; 6/8 ; 7/8 ; 8/8.

Determine las fracciones equivalentes comparando las tiras de papel y escribe las equivalencias.

Reflexione:

¿Con cuántos cuartos se cubre la mitad de la tira?

¿Con cuántos octavos se cubre la mitad de la tira?

b) Utilizando las otras 3 tiras en una marca los tercios ( 0, 1/3, 2/3 y 3/3 ), en otra los sextos

(0, 1/6 ; 2/6 ; etc.), en la última marcan los novenos (0, 1/9 ; 2/9 ; etc.).

Determine las fracciones equivalentes comparando las tiras de papel y escribe las equivalencias.

Reflexione:

¿Con cuántos sextos se cubre un tercio de un entero (tira de papel)?

¿Con cuántos novenos se cubre un tercio del entero?

13

c) Busca fracciones equivalentes comparando las tiras con medios, cuartos y octavos con las que tienen marcados los tercios, sextos y novenos.

- Utilizando las conclusiones de la actividad anterior, busca otras equivalencias entre fracciones (quintos y décimos)

• Registre en tarjetas las familias de fracciones equivalentes que se encontraron. Por ejemplo, en una tarjeta escriben 1/2 y todas las equivalentes a ella.

2.- Utilizando las tiras construidas anteriormente resuelva:

a) ¿Quién pintó más?

Entre Camila y Jaime pintaron una pared, Camila pintó 5/9 de la pared y Jaime el resto.

b) ¿Quién comió más pizza?

Raúl y Samuel compartieron una pizza. Raúl se comió la mitad y Samuel 1/4 de la pizza.

c) ¿Quién van ganando la carrera?

A Cristina le faltan 2/6 del recorrido para llegar a la meta y a Soledad le falta 1/3.

d) ¿Quién compró más queso?

Camila compró medio kilo, Jaime compró 1 kilo y 1/8; Felipe compró 3/4 de kilo.

14

SESIÓN 2

Se recomienda hacer los ejercicios de esta sesión en forma individual

Recta numérica y densidad

Dados dos números racionales (fracciones) siempre es posible encontrar otro

comprendido entre los números dados. A esta propiedad que caracteriza a los números

racionales se le denomina densidad. La recta numérica nos permite visualizar la

densidad de los números racionales.

Ejemplo:

Dadas las fracciones 1/2 y 3/4, encontrar fracciones entre ellas.

0 1/4 1/2 3/4 1

5/8

9/16

Si continuamos con este proceso podríamos encontrar más fracciones entre las

fracciones 1/2 y 3/4.

Ejercicios

Construya una tira de papel de 20 cms. de longitud, copie en una ella todas las fracciones marcadas en las tiras del ejercicio 1 del subtema 1.2 y encuentre fracciones que cumplan con las siguientes condiciones:

Tres fracciones entre 1/2 y 1

Tres fracciones menores que 1

15

Tres fracciones entre 1 y 2

Tres fracciones entre 1 y 3/2

Tres fracciones entre 1 y 2 ½

Expresión decimal de una fracción.

Para transformar una fracción a la forma decimal, se requiere tratarla como cociente, es

decir, se divide el numerador entre el denominador y podemos obtener decimales con

diferentes características:

Así, si se quiere convertir 1/8 a decimal tenemos que efectuar la división 1 entre 8

1 / 8 = 0.125 o sea un decimal exacto, cuyas cifras después del punto son finitas.

Se efectúa ahora la transformación de 2/3 a forma decimal.

2 / 3 = 0.66666.. o sea un decimal periódico puro, cuyas cifras después del punto son

infinitas.

Para convertir a decimal la fracción 1/6.

1 /6 = 0.166666... o sea un decimal semi periódico.

Ejercicios

1.- Encuentre ejemplos de la vida cotidiana en la que se utilicen las siguientes fracciones y da su expresión decimal:

a) 1/2 b) 3/4 c) 1/8 d)50/100

16

Número irracionales.

Un número es irracional si tiene una expansión decimal infinita y no periódica, por tanto

no se pueden expresar en forma de fracción.

El número irracional más conocido es , que se define como la razón entre la longitud

de la circunferencia y su diámetro.

= 3.141592653589...

Otro número irracional es:

El número áureo utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da

Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

Ejercicios

1.- Indique cuáles de los siguientes números son irracionales

a) √15 b)3.1415… c) 5/10 d) 4.121122123124125

17

SESIÓN 3

Se recomienda realizar los ejercicios y actividades de esta sesión por equipos de 3 integrantes que reflexionen de manera colectiva las preguntas que se proponen.

Valor Unitario

En muchas ocasiones y en diferentes situaciones hemos tenido necesidad de hacer fila,

conforme pasa el tiempo mientras estamos en la fila, vemos que el número de personas

en ésta crece o decrece, por lo que la longitud de la fila cambia.

La longitud de la fila y el número de personas en ella son magnitudes que se

encuentran relacionadas. Cuando una magnitud depende de otra decimos que están

relacionadas, al contrario decimos que son independientes cuando no existe una

relación en la que una magnitud dependa de otra, por ejemplo, la longitud de la fila y la

cantidad de autos que pasen por la calle.

Pensando en magnitudes relacionadas, podemos encontrar que éstas pueden ser

proporcionales y no proporcionales, por ejemplo:

- Si una manzana cuesta $ 3, 2 manzanas valdrán $ 6 y 3 manzanas valdrán $9.

La cantidad de manzanas y su precio son cantidades relacionadas, además

decimos que son proporcionales si existe un operador (que multiplica o divide)

que permite pasar de una a otra cantidad.

- Si un niño a los 3 años de edad mide 90 cms. otro niño a los 6 años no

necesariamente mide el doble de altura, la edad y la estatura son cantidades

relacionadas pero no proporcionales.

Cuando tenemos magnitudes relacionadas y proporcionales, es posible saber cuál es

el factor o valor unitario que nos indica cuánto toca de una magnitud por cada unidad de

la otra.

18

Ejemplo:

Tengo 8 kilos de manzana, por ellos pagué $ 160.00. ¿Las cantidades son

relacionadas? ¿Las cantidades son proporcionales? ¿Cuánto vale cada kilo de

manzana? ¿Cuántos kilos de manzana puedo comprar con $1? ¿Cuál es el valor

unitario?

Las cantidades son relacionadas porque dependiendo de la cantidad de

manzanas que desee, será la cantidad de dinero que deba pagar.

Cada kilo de manzana cuesta $ 20.00 (lo obtenemos de dividir $160.00

entre los 8 kilos).

# de kilos Precio $

8 $ 160.00

4 $80

2 $40

1 $20

Por cada $ 1.00 puedo comprar (1/20) kg.

$ kilos

20 1

10 1/2

5 1/4

1 1/20

19

Tenemos que por cada peso que pague obtendré 1/20 de kg. de

manzanas

Ejercicios

1.- Si 500 ruedas de metal pesan 3000 kilos, ¿cuántos kilos pesa cada rueda? ¿Cuántas ruedas podré hacer con un kilo de metal?

2.- Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por $ 5760. ¿Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días? ¿Cuánto paga cada persona por día?

3.- Tengo 12 botellas de vino, por ellas pagué $ 1200 ¿Cuánto cuesta cada botella? ¿Cuántas botellas podré comprar con $180?

Factor de proporcionalidad directa

Podemos hablar de proporcionalidad directa de dos magnitudes cuando al crecer a una

de ellas la otra también crece o si al decrecer una de ellas la otra también decrece. El

factor de proporcionalidad directa es un número que determina en qué medida crece o

decrece una de las magnitudes y en consecuencia la otra también. En una relación

directamente proporcional el factor de proporcionalidad o cociente de cada par de

magnitudes relacionadas es siempre igual.

Ejemplo.

Si 1 kg de carne cuesta $ 38.00, 2 kg, cuestan $ 76.00, 1/2 kg. cuesta $ 19.00

$ kilos Factor de

proporcionalidad

19 1/2 19/ (1/2) = 38

38 1 38/1 = 38

20

76 2 76/2 = 38

114 3 114/3 = 38

Ejercicios

1. Una receta para preparar mermelada de ciruelas:

Lave bien la fruta, viértala en una cacerola y agregue tres cuartos de kg de azúcar por cada kilo de ciruelas. Deje cocer hasta que tenga una consistencia más bien espesa, mezclando permanentemente.

Considerando que en un grupo no todas las personas prepararán la misma cantidad de mermelada, elabore una tabla en la que registran la cantidad de azúcar necesaria para diferentes cantidades de ciruelas.

Ciruelas Azúcar

1 kg 3/4

2 kg

3 kg

Discuta los procedimientos usados para realizar los cálculos.

¿Cómo se calcula, por ejemplo, el azúcar necesaria para 7 kg de ciruelas?

Responda a las siguientes preguntas, discútalas con los otros miembros del equipo:

¿Qué pasa con la cantidad de azúcar si se duplica la cantidad de fruta?

¿Y si se triplica? ¿O si se ocupa la mitad (medio kilo)?

21

2.- Encuentre el factor de proporcionalidad de las siguientes situaciones, elabora una tabla para ayudarte.

a) La cantidad de cigarrillos que fumo y lo que gasto fumando

b) El número de cuadernos que compro y lo que tengo que pagar

Factor de proporcionalidad indirecta

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al crecer a una de ellas la

otra decrece o si al decrecer una de ellas la otra crece. En una relación proporcional

indirecta el factor de proporcionalidad indirecta o producto de cada par de magnitudes

es el mismo.

Ejemplo

Un automóvil tarda en realizar un trayecto determinado 6 horas si su velocidad es

de 60 km/h, pero si doblamos la velocidad el tiempo disminuirá a la mitad. Es

decir, si la velocidad es de 120 km/h el tiempo del trayecto será de 3 horas.

Ejercicios

1. De valores y explique cómo podría ser el factor de proporcionalidad inverso.

a) La velocidad de un avión y el tiempo que tarda en hacer un viaje

b) Si tiene 1250 pesos para comprar libros, el número de libros que puedes comprar y su precio

Velocidad Km/h

Tiempo Hrs.

Factor de proporcionalidad

30 12 (30)(12)=360

60 6 (60)(6)=360

120 3 (120)(3)=360

22

2.- En la ferretería "Carpintero" se están elaborando los catálogos de las bombas de extracción de agua de pozos. Las características que desean destacar, aparte de otros atributos técnicos, son las dimensiones de las mangueras de salida de agua y el tiempo que se demora en llenar un estanque de 200 litros. Las bombas de extracción de agua que venden en esta ferretería mantienen una velocidad constante de salida del agua cuando se varía el diámetro de la manguera, por lo que mientras mayor es el diámetro de la manguera, mayor es la cantidad de agua que por ella sale. Para mostrar a los clientes esta situación, el encargado elaboró la siguiente tabla:

Diámetro de la manguera de salida de

agua

Tiempo que demora en llenar un estanque de

200 litros

0.5 pulgadas 60 minutos

1 pulgada 30 minutos

3 pulgadas 10 minutos

6 pulgadas 5 minutos

A partir de los datos de la tabla reflexione y discuta con los otros miembros del equipo:

¿Qué ocurre con el tiempo que tarda en llenar el estanque si se aumenta el diámetro de la manguera?

¿Qué ocurre con el tiempo que tarda en llenar el estanque si se disminuye el diámetro de la manguera?

23

Tomando como referencia la manguera de 0,5 pulgadas de diámetro, si se aumenta al cuádruple el diámetro de la manguera, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse el estanque de agua? ¿El tiempo es menor o mayor a lo que se demora la manguera de 1,5 pulgadas de diámetro? ¿Cuánto más o cuánto menos? ¿la cuarta parte? ¿el cuádruple?, etc.

Uso de fracciones para expresar razones

Como se explicó en la unidad anterior, los usos y significados que podemos dar a las

fracciones son diversos dependiendo de la situación que se nos presente; uno de eso

significados es el de Razón, es decir, cuando una fracción nos representa la

comparación numérica de dos cantidades estamos hablando de una razón. En estos

casos no se tiene una única unidad de referencia para hacer las comparaciones como

podría ocurrir en otros casos, pudiéndose hacer comparaciones bidireccionales, es

decir, tomar como unidad a una u otra de las partes involucradas.

Ejemplo:

Cuando decimos que la razón entre chicos y chicas en la escuela es de 3 a 2, estamos

diciendo que por cada 3 chicos hay 2 chicas y se escribe 3/2, también podemos que por

cada 2 chicas en el instituto hay 3 chicos y escribiéndolo como fracción queda 2/3.

Ejercicios

Lea los siguientes enunciados, asigne valores y exprese las razones como fracciones.

a) Los kilos de arroz que vendo y el dinero que me pagan

b) El número de carpinteros y el número de sillas que fabrican

c) El número de leñadores y el número de árboles que pueden cortar

24

Igualdad de razones

Se dice que dos razones dadas son iguales cuando podemos encontrar un factor o

constante de proporcionalidad, a esta relación se le conoce como proporción.

a/b = c/d = K, donde a a, d se llaman extremos y b, c se llaman medios.

Ejemplo:

Dadas las fracciones 20/50 y 4/10 encontrar el factor de proporcionalidad

20/50 = 0.4 4/10 = 0.4 20/50 = 4/10 = 0.4

Estas razones son iguales, es decir, son proporcionales.

Propiedades de la relación proporcional directa

Dada una proporción entre las razones a/b y c/d tenemos que:

- El producto de los medios es igual producto de los extremos.

a*d = c*b

- Si en una proporción cambian entre sí los medios o los extremos, la proporción se

conserva.

a/b = c/d, d/c = b/a

Ejercicios

1.-Una niña sube con su papá a un taxi y le pregunta al conductor cómo funciona el taxímetro. El conductor le dio esta explicación:

25

Cuando se sube un pasajero enciendo el taxímetro, el cual marca $ 15, que es el banderazo por los primeros 200 metros. Después de eso, cada 200 metros el taxímetro va marcando $ 7.

Al llegar a su casa la niña elaboró una tabla para saber cuánto habían recorrido en el taxi, considerando que habían pagado $169 por el recorrido. Llegó a la conclusión de que habían recorrido más de 4.500 metros pero menos de 5000.

a) Elabore la tabla que le ayude a saber cuánto distancia recorrieron.

b) Verifique la igualdad de razones de esta situación.

c) Verifique las propiedades de la proporcionalidad directa.

Porcentajes

El porcentaje es una razón entre un número y el número 100, esto puede entenderse

como el establecimiento de relaciones o razones entre conjuntos, es una cantidad que

corresponde proporcionalmente a una parte de cien.

Ejemplo

Si se dice que «el 25 % de las personas que forman una cámara son de la oposición»,

se está diciendo que de cada 100 parlamentarios, 25 son de la oposición.

Si hay 100 parlamentarios, 25 son de la oposición

Si hay 300 parlamentarios, 75 son de la oposición

25 de 100

25 de 100

25 de 100

Suman 75 de 300

Ejercicios

26

1. En las cosas que yo vendo tengo un beneficio del 7 % ¿Cuánto ganaré si he vendido por 200 pesos?

2. Si en una tienda hacen el 20 % de descuento de todos sus artículos ¿Cuánto me rebajarán de un pantalón que vale 250 pesos?

¿Cuánto tendré que pagar por una camisa cuyo precio original era 180 pesos?

¿Qué descuento o rebaja me harán de una corbata de 107 pesos?

¿Cuánto me descontarán en un jersey que valía 2040 pesos?

3. Calcule el interés de 3410 pesos al 5 % de interés anual durante 3 años.

4.- Al adquirir un vehículo cuyo precio es de $88 000, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

27

SESIÓN 4

Se propone que los ejercicios se realicen individualmente y que después se comparen los resultados obtenidos con el resto del grupo.

Distancia entre dos puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este

eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus

abscisas.

Ejemplo:

La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este

eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus

ordenadas.

Ejemplo

La distancia entre los puntos (0, -1) y (0, 9) es 1 + 9 = 10 unidades

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la

distancia queda determinada por la relación:

Ejemplo:

Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

Asignemos A = (7, 5) = (x1 , y1 ) ; B = (4, 1) = (x2 , y2)

28

d = (4 - 7)2 + (1 - 5)2 = ( -3)2 + (- 4)2 = 9 + 16 = 25 = 5 unidades

Ejercicios

1.- Encuentre la distancia entre los puntos:

a) (6, 3) ; (-1, -1)

b) (5, 5) ; (-5, 1)

2.- Encuentre la longitud de los lados cuyos vértices son los puntos dados:

a) (0, 0) ; (5, -2) ; (-3, 3)

b) (2, -1) ; (4, 2) ; (5, 0)

Distancia entre un punto y una recta

La distancia de un punto P a una recta r, es la menor de las distancias desde el punto a

los infinitos puntos de la recta. Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada

desde el punto hasta la recta.

Dada la recta r cuya ecuación es Ax + By + C = 0 y el punto P (x, y) , la distancia del

punto y la recta está dada por:

Ax + By + C

d(P, r) = -----------------

A2 + B2

Ejemplo:

Dada la ecuación de la recta 5x -12y -26 = 0 y el punto P (-4, 1), encontrar la distancia

del punto a la recta.

29

Ax + By + C (5)(-4) + (-12)(1) – 26 - 20 – 12 -26 58

d(P, r) = ----------------- = -------------------------------- = ----------------- = ------ unidades

A2 + B2 (5)2 + (-12)2 25 + 144 13

Ejercicios

Encuentre la distancia de la recta al punto en cada uno de los casos.

a) 2x + 3y = - 4 ; (0, 4)

b) 4x = 3y -7 ; (0, 0)

c) x + 3 = 0 ; (-1, -4)

Distancia entre un punto y un plano

Dados un punto P y un plano ψ, la distancia entre el punto P y el plano ψ es la menor

de las distancias desde el punto a los infinitos puntos del plano. Dicha distancia

corresponde a la longitud de la perpendicular desde el punto al plano.

Esta distancia esta dada por:

P(x0, y0, z0) Ax + By + Cz + D = 0

Ax0 + By0 + Cz0 + D

d (P, ψ) = -------------------------------

A2 + B2 + C2

Ejemplo:

Sean P(5, 5, 3) y el plano ψ cuya ecuación es 2x + 3y + 10z + 40 = 0

(2)(5) + (3)(5) + (10)(3) + 40 10 + 15 + 30 + 40 95

d (P, ψ) = --------------------------------------- = -------------------------- = ------

22 + 32 + 102 4 + 9 + 100 113

Ejercicios

30

Hallar la distancia del punto al plano en los siguientes casos:

a) P(3, 1, -2) 2x + y – z + 1 = 0 b) P(3, 1, -2) 2y – 3 = 0 c) P(4, -6, 1) 2x + 3y – 6z – 2 = 0

Distancia entre rectas paralelas y distancia entre planos paralelos

Dadas las ecuaciones de dos rectas paralelas, la distancia entre ellas se puede

encontrar calculando la distancia de una de ellas a un punto particular de la otra.

Ejemplo:

Dadas las rectas paralelas 15x + 8y + 68 = 0 , 15x + 8y -51 = 0 encontrar la distancia

entre ellas.

Tomemos el punto (3.4, 0) que se encuentra en la segunda recta.

(15)(3.4) + (8)(0) + 68 119 119

d = ---------------------------- = ------------ = ------- = 7 unidades

152 + 82 289 17

Ejercicios

Encontrar la distancia entre las dos rectas paralelas de los siguientes ejercicios.

a) 4x + y = 6 c) x + 2y + 5 = 0 12x + 3y = 14 x + 2y – 4 = 0

b) x – y + 7 = 0 x – y + 11 = 0

31

Dados las ecuaciones de los planos Ψ1 y Ψ2, para calcular la distancia entre ellos se

halla un punto en uno de los planos y se encuentra la distancia del punto al otro plano.

Ejemplo:

Sean x – 2y – 2z - 12= 0 y x – 2y -2z – 6 = 0 las ecuaciones de dos planos paralelos,

encontrar la distancia entre ellos.

Tomemos el punto P(0, 0, -6) del primer plano. Calculemos la distancia del punto P al

segundo plano.

Ax0 + By0 + Cz0 + D (1)(0) + (-2)(0) + (-2)(-6) – 6 12 – 6 6

d (P, ψ) = ------------------------------ = ------------------------------------- = -------- = ---- = 2 U

A2 + B2 + C2 12 + (-2)2 + (-2)2 9 3

Ejercicios

Hallar la distancia entre los planos paralelos en los siguientes casos.

a) 2x + y – z - 3= 0 ; 4x + 2y +-2z – 7 = 0 b) 2x -y -2z + 5 = 0 ; 4x - 2y – 4z + 15 = 0

32

SESIÓN 5

Se propone que los ejercicios se resuelvan individualmente y que posteriormente se comparen en el grupo los resultados obtenidos.

El compás como instrumento para comparar distancias

El compás es un instrumento que permite construir ángulos y segmentos congruentes,

así como para trazar arcos, circunferencias y transportar medidas.

Está compuesto por dos brazos articulados en su parte superior donde está ubicada

una pieza cilíndrica llamada mango por donde se toma y maneja con los dedos índice y

pulgar.

Uno de los brazos tiene una aguja de acero graduable mediante un tornillo de presión y

una tuerca en forma de rueda. El otro brazo posee un dispositivo que permite la

colocación de portaminas u otros accesorios.

Clases de compás.

- Compás de pieza: es el compás normal que al que se le puede colocar los accesorios

como el portamina o lápiz.

- Compás de puntas secas: posee en ambos extremos puntas agudas de acero y sirve

para tomar o trasladar medidas.

- Compás de bigotera: se caracteriza por mantener fijos los radios de abertura. La

abertura de este compás se gradúa mediante un tornillo o eje roscado. Es utilizado para

trazar circunferencias de pequeñas dimensiones y circunferencias de igual radio.

- Compás de bomba: se utiliza para trazar arcos o circunferencias muy pequeñas. Está

formado por un brazo que sirve de eje vertical para que el portalápiz gire alrededor de

él.

33

Trazos con compás

- Construcción de segmentos congruentes.

o Dibujar un segmento de recta AB

o Dibujar un segmento de recta más larga que AB nombrando a uno de sus

extremos C.

o Colocar la punta del compás en el extremo A del segmento de recta AB,

abrir el compás hasta el extremo B y trazar un arco.

o Sin cambiar la apertura del compás, coloca la punta en el punto C y traza

un arco sobre el segmento de recta, definiendo el punto D y al segmento

de recta CD.

o Las rectas AB y CD son congruentes.

- Construcción de ángulos congruentes.

o Dibujar un ángulo ABC.

o Dibujar un segmento de recta más largo que uno de los lados de ABC

nombrando a uno de los extremos D, este segmento de recta será un lado

del ángulo a construir.

o Con el compás trazar un arco, que intersecte ambos lados de ABC, con

centro en el punto B.

o Sin cambiar la apertura del compás trazar un arco centrado en el punto D.

o En ABC colocar el compás en el punto en que el arco corta al

segmento de recta BC y ajustar la apertura hasta el punto en que el arco

interseca al segmento de recta AB.

o Sin modificar la apertura del compás, colocarlo en el punto en que el arco

corta al segmento de recta con extremo D y trazar un arco que intersecte

al primer arco.

o Dibujar un segmento de recta desde el punto D hasta el punto donde se

intersecan los dos arcos.

- Construcción de la mediatriz de un segmento de recta.

o Dibujar un segmento de recta AB.

34

o Ajustar el compás con una abertura mayor a la mitad de la longitud del

segmento AB.

o Usando un extremo del segmento de recta AB, trazar un arco por encima

del segmento y otro por debajo.

o Sin cambiar la apertura del compás, usar como centro el otro extremo del

segmento de recta y trazar arcos que corten a los primeros.

o Los puntos en donde se intersectan los arcos, por encima y por debajo del

segmento, son equidistantes a los extremos del segmento de recta AB.

o Dibujar la recta que une esos dos puntos, esa recta es la mediatriz del

segmento AB.

- Construcción de la perpendicular a un segmento de recta.

o Dibujar un segmento de recta y un punto P fuera de ella.

o Apoyando el compás en el punto P trazar un arco que corte en dos puntos

al segmento de recta. Nombrar a los puntos de intersección C, D.

o Es importante notar que PC = PD.

o Ajustar el compás con una abertura mayor a la mitad de la longitud del

segmento CD.

o Usando un extremo del segmento de recta CD, trazar un arco por encima

del segmento y otro por debajo.

o Sin cambiar la apertura del compás, usar como centro el otro extremo del

segmento de recta y trazar arcos que corten a los primeros.

o Los puntos en donde se intersectan los arcos, por encima y por debajo del

segmento, son equidistantes a los extremos del segmento de recta CD.

o Dibujar la recta que une esos dos puntos, esa recta es la mediatriz del

segmento CD y pasa por el punto P.

o Nombrar como M al punto donde esta recta intersecta al segmento de

recta CD.

o El segmento de recta MP es la perpendicular a CD.

35

Ejercicios

1.- Construir un triángulo donde uno de sus lados se el segmento de recta AB

A

B

2.- Construye el papalote LMNO, en el que LM = LO y NM = NO usando los segmentos y ángulo siguientes:

L M

N M L

Triángulos inexistentes

Un triángulo es un polígono de tres lados y tres ángulos con las siguientes propiedades:

- Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su

diferencia.

- La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a 180°.

- El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no

adyacentes.

Los triángulos se pueden clasificar de acuerdo a:

- Sus lados.

o Triángulo equilátero: es aquel cuyos tres lados tienen la misma longitud.

o Triángulo Isósceles: es aquel que tiene dos lados de la misma longitud y el

tercero de diferente longitud.

o Triángulo escaleno: es aquel cuyos lados son de diferente longitud.

36

- Sus ángulos

o Triángulo acutángulo: es aquel cuyos ángulos son todos menores a 90°.

o Triángulo rectángulo: es aquel que cuenta con un ángulo de 90°.

o Triángulo obtusángulo: es aquel que tiene un ángulo mayor a 90°.

Ejercicios

1.- Corte popotes de refresco con las siguientes medidas: 3 popotes enteros, 3 de ½ de popote y 3 de ¼ de popote. Intenta construir triángulos combinando los diferentes popotes, construye una tabla con los resultados obtenidos.

Medidas y cantidad de los segmentos

¿Es posible construir un triángulo?

1 ½ ¼ SI / NO

Analizar la tabla de resultados y responder las siguientes preguntas:

¿En qué caso fue posible construir triángulos?

¿En qué casos no fue posible construir triángulos?

Explique la relación entre la longitud de los lados de un triángulo.

37

Las alturas de los triángulos

La altura de un triángulo es el segmento de recta que se traza desde cualquier lado del

triángulo, o de su prolongación, al vértice opuesto a éste. La altura es perpendicular al

lado en que se construyó.

Cada triángulo tiene tres alturas, cada una correspondiente a cada uno de sus lados.

Ejemplo

altura

Ejercicios

1.- Encuentre las 3 alturas de cada uno de los triángulos.

2.- Organizados en grupos construyan en el geoplano, o dibujen en una red de puntos, triángulos que cumplan las siguientes condiciones:

• Triángulos en los que una base sea de 2 unidades y la altura correspondiente, de 4 unidades.

• Triángulos en los que una base mida 4 unidades y la altura correspondiente, 2 unidades.

¿Cuánto triángulos con estas características podemos encontrar?

¿Qué tienen en común todos estos triángulos?

38

Suma de ángulos de todo triángulo

Como ya se mencionó anteriormente, lo triángulos pueden clasificarse de acuerdo la

medida de sus ángulos, pero independientemente de esto, todo triángulo tiene la

siguiente propiedad:

La suma de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera es igual a 180°.

Demostración.

Sean los A, B, C del ABC.

Prolongamos los lados del triángulo que

C convergen en el vértice C.

Trazamos una paralela al lado AB que pase

A B por el vértice C.

Tenemos que:

x + y + C = 180° por ser ángulos suplementarios

pero x = A ; y = B por ser ángulos alternos internos.

Sustituyendo obtenemos:

A + B + C = 180°.

x y

39

Ejercicios

1.- Explicar otras formas de demostrar el resultado anterior.

2.- Encontrar el valor del ángulo faltante.

C C

A B A B

Polígonos regulares

Un polígono regular es una región del plano limitada por tres o más segmentos de recta.

En un polígono regular todos sus ángulos y sus lados son iguales. El nombre que recibe

cada polígono regular depende del número de lados que lo formen.

Un polígono regular consta de las siguientes partes:

- Lados: segmentos de recta que lo limitan.

- Vértices: lugar donde concurren dos lados.

- Centro: punto interior que equidista de cada vértice.

- Radio: segmento de recta que va del centro a cada vértice.

- Apotema: distancia del centro al punto medio de un lado.

- Ángulo central: es el formado por dos radios consecutivos. Si n es el número de

lados de un polígono regular, el valor del ángulo central es 360° / n.

- Ángulo interior: es el formado por dos lados consecutivos. El valor del ángulo

interior de un polígono regular es 180° - ángulo central.

- Ángulo exterior: es el formado por un lado y la prolongación del lado consecutivo.

Los ángulos interior y exterior son suplementarios, es decir, suman 180°.

40° 45°

x

25°

x

40

Ejemplo:

Ángulo central = 360° / 5 = 72°

Ángulo: interior= 180° - 72° = 108°

Ángulo exterior: 72°

Ejercicios

1.- Encontrar todos los elementos del triángulo, cuadrado y hexágono.

2.- Con los elementos dados, deduce la fórmula para calcular el área del pentágono y del hexágono.

Lado

Vértice

Centro

Ángulo central

Ángulo interior

Ángulo exterior

41

SESIÓN 6

Se propone que los ejercicios se resuelvan individualmente y que posteriormente se comparen en el grupo los resultados obtenidos.

Cuadriláteros y paralelogramos Definiciones Se llama polígono a las figuras planas limitadas por rectas, que se llaman lados del

polígono.

Cuadrilátero. Es un polígono con 4 lados.

Paralelogramo: Es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

Propiedades comunes a todo cuadrilátero Los cuadriláteros pueden tener distintas formas pero todo cuadrilátero tiene 4 lados, 4

vértices y 2 diagonales.

Ejercicios 1.- ¿Cuál de las siguientes figuras son cuadriláteros?

a) b) c) 2.- Dados 4 segmentos de recta cualquiera ¿Se puede construir un cuadrilátero? Justifique su respuesta. 3.- Dados 4 puntos cualquiera ¿Se puede construir un cuadrilátero? justifique su respuesta

Cantidad de lados y suma de ángulos interiores.

42

Teorema.- La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 4 ángulos

rectos (360o) pues es la suma de los ángulos de dos triángulos.

Trazando la diagonal AD, se forman dos triángulos y como la

suma de los ángulos interiores de un triángulo son 2 ángulos

rectos concluimos que la suma de los ángulos interiores de un

cuadrilátero son 4 ángulos rectos.

Ejercicios 1.- Dado el cuadrilátero

¿Cuál es el valor del ángulo a?

2.-Dado el cuadrilátero siguiente tal que los lados AB y CD son paralelos

¿Cuál es el valor de los ángulos b, c y d?

3.- Justificar que la suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a tantas veces dos rectos como lados tiene un polígono menos dos.

A B

C D

60

100

80

a

60

A B

C D

b

dc

43

A B

CD

A B

CD

Los cuatro paralelogramos.

Definición.- Los paralelogramos son los cuadriláteros cuyos lados opuestos son

paralelos. Hay 4 clases, éstas son:

Romboide.- Conocidos simplemente como paralelogramo.

Es un paralelogramo que tiene sus ángulos y sus lados

opuestos iguales dos a dos, ósea, AB=CD y AD=BC.

Rombo.- Es un paralelogramo que tiene sus 4 lados iguales y

sus ángulos opuestos iguales dos a dos, ósea,

AB=BC=CD=DA.

Rectángulo.- Es un paralelogramo que tiene sus 4 ángulos iguales y rectos y sus lados

opuestos iguales dos a dos, ósea, AB=BC=CD=DA.

Cuadrado.- Es un paralelogramo que tiene sus 4 ángulos iguales y rectos y sus 4 lados

iguales.

Teorema.- Todo cuadrilátero que tiene sus ángulos opuestos iguales es un

paralelogramo.

Teorema.- Todo cuadrilátero que tiene dos lados iguales y paralelos es un

paralelogramo.

Teorema.- Todo cuadrilátero cuyas diagonales se cortan por la mitad es un

paralelogramo.

Ejercicios 1.- Construir un cuadrado de lado dado.

a

a

b

b

A B

CD

a a

b

b

A

B

C

D

44

2.- Un papel cuadrado de lado 12 cm. se dobla de modo que los cuatro vértices queden en el punto de intersección de las diagonales. ¿Cuál es el valor del lado del nuevo cuadrado que resulta? Justifica tu respuesta. 3.- Determinar los ángulos de un rombo si una de sus diagonales es igual al lado Consecuencias del paralelismo.

Teorema.- Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales, lo mismo que los

ángulos opuestos.

Corolario.- En todo paralelogramo los ángulos adyacentes a un mismo lado son

suplementarios.

Teorema.- Las diagonales de un paralelogramo se cortan por la mitad.

Corolario 1.- Las diagonales de un rombo se cortan en ángulo recto y son bisectrices de

sus ángulos.

Corolario 2.- Las diagonales de un rectángulo son iguales.

Corolario 3.- En un cuadrado las diagonales son iguales y se cortan por la mitad y en

ángulo recto.

45

Ejercicio 1.- Marque con una x las propiedades de cada figura.

F2.- Hallar el valor del lado AB y el Angulo DCB del siguiente paralelogramo.

A B

CD

135

15

Los ángulos opuestos son

iguales

Las diagonales son iguales

Las diagonales son

perpendiculares

Las diagonales se cortan

mutuamente en su punto

medio

Los lados opuestos son

iguales

46

3.- ABCD es un paralelogramo. Hallar las longitudes y y las medidas angulares. AD, EC, los ángulos ADC y BCD

A B

CD 8

5

6545

Clasificaciones útiles.

Clasificación de los cuadriláteros Se clasifican en cóncavos y convexos. Definiendo ambos cuadriláteros:

Cuadriláteros Cóncavos: Son aquellos que cuando al trazar una

recta sobre ellos, ésta corta al mismo en más de dos lados.

Cuadriláteros Convexos: Son aquellos que cuando al trazar

una recta sobre ellos ésta corta al mismo en solamente dos

lados.

47

Se dará mayor énfasis a los Convexos por su mayor utilidad, clasificándose a su vez en

tres:

a) Cuadriláteros Paralelogramos

b) Cuadriláteros Trapecios

c) Cuadriláteros Trapezoides

a) Cuadriláteros Paralelogramos: Son cuadriláteros que tienen sus lados opuestos

paralelos.

Se clasifican en:

• Romboides o paralelogramos.

• Rombos

• Rectángulos

• Cuadrados

Las características de cada uno de estos ya se estudiaron en la sección 4.3

b) Cuadriláteros Trapecios: Son cuadriláteros que tienen dos lados opuestos

paralelos y se les llaman bases.

Se clasifican en:

Trapecios Escalenos: Son aquellos que tienen sus lados no paralelos desiguales.

Trapecios Isósceles: Son aquellos que tienen sus lados no paralelos

iguales.

48

Trapecios Rectangulares: Son aquellos que tienen dos ángulos rectos.

Cuadriláteros Trapezoides: Son cuadriláteros que no tienen ningún lado paralelo al

otro.

Se clasifican en:

Trapezoides Simétricos: Se llaman así cuando una de sus diagonales es

mediatriz de la otra.

Trapezoides Asimétricos: Son aquellos que no tienen ninguna simetría.

Ejercicios

1.- Trabajar en geoplanos o trama de puntos.

49

a) Representar por medio de dibujos o utilizando elásticos de colores al menos 10 cuadriláteros.

b) Comparta el trabajo con otros compañeros y compañeras, observando los cuadriláteros dibujados y realiza una primera clasificación.

Escriba el o los criterios utilizados.

c) Realizar una segunda clasificación agregando sucesivamente otros criterios como, por ejemplo, los ángulos.

d) Comparta criterios de clasificación con otros compañeros y compañeras e incorpore los que eventualmente no haya considerado.

¿Algunos compañeros y compañeras coincidieron con sus criterios de clasificación?

¿Qué criterios de clasificación diferentes le parecieron importantes?

¿Por qué?

Escriba una síntesis y acuerde criterios de clasificación comunes.

2. Escriba sobre la línea el nombre del cuadrilátero que cumple con la definición.

• Paralelogramo que tiene sus lados y sus ángulos congruentes: _____________________

• Paralelogramo que tiene sus lados congruentes: __________________________________

50

• Paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos congruentes: -_________________________

• Cuadrilátero que sólo tiene dos lados paralelos: __________________________________

• Cuadrilátero que no tiene lados opuestos paralelos: _______________________________

• Paralelogramo cuyos lados y ángulos contiguos no son congruentes:__________________

• Trapecio cuyos lados no paralelos son congruentes: ______________________________

• Trapecio que no tiene congruencia en sus lados: -_________________________________

• Trapecio que se llama así por tener un ángulo de 90°: ______________________________

3.-Dibuje los cuadriláteros que cumplan con las siguientes condiciones:

• dos lados de 5 cm y dos lados de 7 cm,

• todos sus lados de 4 cm,

• dos ángulos de la mitad de un recto, un lado de 6 cm y otro lado de 3 cm.

Las alturas del paralelogramo.

La altura de los paralelogramos, se determina indistintamente tomando como base

cualquiera de sus lados, y consiste en la distancia perpendicular entre la base, y el lado

opuesto.

51

En el cuadrado la altura siempre será equivalente al lado, por ser todos iguales.

En el rectángulo, cuando el lado menor sea la base la altura será el lado mayor; y

viceversa.

En el rombo, el romboide y el trapecio, la altura será la distancia perpendicular entre los

lados paralelos.

Romboide

Rombo

Trapecio

Ejercicios

1.- ¿Cuantas alturas distintas tiene un rombo?

2.-¿ Cuantas alturas distintas tiene un romboide?

3.-¿Cuántas alturas distintas tiene un trapecio?

A B

CD

h

A B

CD

h

B

D

A

C

h

A B

CD

h

A B

CD

h

52

El área de los paralelogramos.

Nos proponemos deducir las formulas para calcular el área de los paralelogramos, el

cuadrado, el rectángulo, el rombo, y el romboide partir del conocimiento que tenían los

griegos acerca del área del rectángulo y algunas propiedades de esta figura muy

particular.

La medida de la superficie de las figuras planas, se designa corrientemente en

geometría con el nombre de área. Ella se expresa en unidades de medida de superficie,

que se basan en la figura del cuadrado; por lo cual se llaman metros, decímetros o

centímetros cuadrados.

El área del cuadrado

El punto de partida para la determinación del método aritmético de cálculo de la medida

del área comprendida en las figuras geométricas planas, es el estudio del cuadrado.

Subdividiendo un cuadrado en varios cuadrados cuyo lado sea una parte del cuadrado

original, resulta fácil apreciar que la cantidad de cuadrados menores — que pueden

considerarse como unidad de medida — es igual a la multiplicación del número de

cuadrados contenidos en dos de los lados del cuadrado originario:

5 × 5 = 25.

h

A

Como la altura de un cuadrado coincide con la medida de cualquiera de sus 4 lados, el

procedimiento de cálculo del área para cualquier cuadrado puede expresarse en la

formula:

53

Área del cuadrado = lado × Altura= lado x lado

El área del rectángulo.

h

A

B

Subdividiendo un rectángulo en varios cuadrados resulta fácil apreciar que la cantidad

de cuadrados es igual a la multiplicación del número de cuadrados contenidos ósea

Área del rectángulo =B x A = BASE × ALTURA= A x h

El área del romboide

Como todo paralelogramo no rectangular como en la figura de abajo y a la izquierda,

puede ser transformado en un rectángulo de igual área, aplicando una reconfiguración,

esto lo hacemos moviendo el triángulo AEC a la derecha del paralelogramo no

rectangular para formar el triángulo BFD Ahora veamos lo ocurrido.

Observación: El triangulo AEC es congruente con el triangulo BFD, pues los lados

AC=BD por se lados del paralelogramo, EC=FD son lados opuestos de un rectángulo y

BF=AE pues si fueran distintos AB≠CD pero esto no es posible pues son lados del

paralelogramo.

54

Vemos que el paralelogramo no rectangular ABCD ha sido transformado en el

rectángulo EFDC de igual área, de esta forma tenemos que el área del paralelogramo

no rectangular viene dada por la formula:

Área del romboide =B x h

Área del triangulo

Se calculará porque se ocupa para obtener El área del rombo.

Para calcular el área del triángulo ABC se realiza el cambio figural, añadiendo el

triángulo BCD congruente con el triángulo ABC como se muestra en la figura de abajo y

a la derecha, formando el romboide ABCD con formula para el área deducida

anteriormente, tenemos que el área del triángulo ABC es la mitad del área del romboide

ABCD:

Área del rombo.

Dado el siguiente rombo, con diagonal menor d y diagonal mayor D, realizar un cambio

figural colocándolo dentro de un rectángulo como está en la figura de abajo a la

derecha, esto deja 8 triángulos iguales y 4 son del rombo. Por tanto el área del rombo

es la mitad del rectángulo.

55

Revisando el rectángulo, su base es la diagonal mayor de rombo y su altura la diagonal

menor Como en el rectángulo tenemos que:

Área del rectángulo = base x altura = D x d

Y como el área del rombo es igual a la mitad del rectángulo.la formula es:

Área del rombo =

Ejercicios

1.- Calcular el número de baldosas cuadradas, de 10 cm, de lado que se necesitan para enlosar una superficie rectangular de 4 m de base y 3 m de altura.

2.- Hallar el área de la figura:

3.- Encontrar otra formula para el área del rombo tomando en cuenta la altura y uno de sus lados (recordar cómo se encontró el área del romboide)

56

SESIÓN 7

Se propone que las actividades se realicen en equipos de tres integrantes y que posteriormente se comparen en el grupo los resultados obtenidos.

Cálculo de volúmenes por métodos diversos.

El volumen es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo.

El volumen de un cuerpo regular es un número que se obtiene comparando el volumen

del cuerpo con la unidad de volumen. Consideraremos a la unidad como un cubo de

arista uno y por definición su volumen será 1. Entonces, la medida del volumen de un

cuerpo será igual al número de cubos unitarios que contenga. Por ejemplo,

considerando el cubo unidad que se indica en la figura, el cuerpo adjunto está formado

por 25 cubos unidad. Podemos afirmar entonces que el cuerpo del ejemplo tiene 25

unidades de volumen.

El procedimiento a seguir para medir el volumen de un objeto, dependerá del estado

físico en que se encuentre: gaseoso, líquido o sólido.

En el caso de nubes gaseosas el volumen varia considerablemente según la

temperatura y presión; también depende de si está o no contenido en un recipiente y, si

lo está, adoptará la forma y el tamaño de dicho recipiente. Si la masa gaseosa esta

disuelta en la atmósfera, es difícil precisar qué se entiende por volumen.

57

Para medir el volumen de un líquido, se emplean diversos recipientes graduados,

dependiendo de la exactitud con la que se desee conocer dicho volumen.

Algunos sólidos tienen formas sencillas y su volumen puede calcularse con base a la

geometría clásica. Midiendo sus dimensiones, y aplicando el método adecuado,

podemos determinar su volumen. Así, el volumen de un paralelepípedo recto se

determina midiendo las tres aristas concurrentes a un vértice y multiplicándolas; el cubo

es un caso especial de paralelepípedo en el que todas sus aristas son iguales y su

volumen se obtiene elevando al cubo la longitud de su arista.

En general, existen procedimientos similares para obtener el volumen de otros cuerpos

como los prismas y las pirámides. Estos cuerpos geométricos tienen una característica

que los agrupa: el volumen de los paralelepípedos, los prismas y los cilindros, (sean

ellos rectos u oblicuos), se obtiene multiplicando la medida de su área basal por la

medida de su altura y en el caso de las pirámides y conos, (también rectos u oblicuos)

su volumen es igual a un tercio del producto entre la medida del área basal y su altura.

La esfera es un caso especial.

Si un sólido tiene una forma a la que no es posible aplicar alguna fórmula conocida, se

pueden aplicar otros procedimientos tales como el principio de Cavalieri o el método de

desplazamiento de agua de Arquímedes, en el cual dicho desplazamiento es provocado

por un cuerpo al sumergirlo en un recipiente con agua.

Principio de Cavalieri

"Si dos cuerpos tienen la misma altura y además tienen igual área en sus secciones

planas realizadas a una misma altura, poseen entonces: igual volumen".

Veamos un ejemplo que visualiza este principio.

Usando tres montoncitos de 15 fichas (monedas de $10 u objetos similares, todos

iguales) y una cinta de cartulina cuyo ancho sea mayor que el diámetro de las fichas,

58

ordena las fichas en 3 pilas de modo que solo una sea recta y las otras dos sean

oblicuas o sinuosas y a continuación pasa la cinta entre las fichas a la misma altura en

las tres pilas.

Notarás que las áreas de las fichas que tocan la cinta son iguales para las tres pilas y si

pasas la cinta a cualquier otra altura, las áreas de las fichas siguen siendo iguales. El

Pricipio de Cavalieri asegura que si esto ocurre para cualquier altura entonces las tres

pilas tienen el mismo volumen.

Principio de Arquímedes

El principio de Arquímedes afirma que cuando un cuerpo está parcialmente o totalmente

sumergido en el fluido que le rodea, una fuerza de empuje actúa sobre el cuerpo. Dicha

fuerza tiene dirección hacia arriba y su magnitud es igual al peso del fluido que ha sido

desalojado por el cuerpo. El volumen de agua desplazada es igual al volumen del

cuerpo sumergido, este método es conocido como medición de volumen por

desplazamiento.

Ejemplo

Consideremos un cuerpo sólido impermeable. Supongamos que queremos determinar

el volumen de una piedra.

Una manera de determinar el volumen de la piedra consiste en tomar una probeta de

unos 30 ml, por ejemplo y llenarla de agua hasta la marca de 20 ml. A continuación, se

deposita la piedra dentro del agua. Una vez que la piedra se haya hundido

completamente el nivel del agua habrá ascendido, desde los 20 ml iniciales a digamos

23 ml, por ejemplo.

59

La diferencia de nivel determina el volumen de la piedra, 3 ml ó 3 cm3 en este caso. Ya

que la piedra no absorbe agua, el espacio que ocupa la piedra desplaza el agua hacia

arriba y, de esta manera es posible determinar su volumen.

Una forma ligeramente diferente de realizar la misma tarea, consiste en llenar de agua

completamente un recipiente cualquiera y ponerlo dentro una cubeta. Después, se

introduce la piedra al agua.

Esto producirá un desplazamiento del agua que caerá en la cubeta. El agua que cayó

en la cubeta se vierte en una probeta y se mide.

El resultado de esa medición determina el volumen de la piedra. Este fue el resultado

que encontró Arquímedes al bañarse en la tina.

Es importante destacar que es posible utilizar este mismo método para determinar el

volumen de cuerpos irregulares como por ejemplo una pera o una zanahoria.

Cálculo de volúmenes mediante el conteo de unidades cúbicas.

Unidades de medida del volumen

Las unidades de volumen son estandarizaciones que permiten dimensionar el número

que indica el volumen. Como unidad base, se considera a un cubo cuya arista mide un

centímetro o un metro, un kilómetro, etc. Por definición su volumen tendrá el valor 1,

acompañado de la unidad de su arista elevada a tres. Por ejemplo, en la figura

siguiente, el volumen del cubo mide un centímetro cúbico y se abrevia por 1 cm3 .

Volumen del cubo unidad = 1 cm3

60

Para calcular el volumen de algún cuerpo, se determina la cantidad de unidad base que

lo componen.

Las unidades de medición de la capacidad se muestran en la siguiente tabla:

Múltiplos

kilometro (Km3) 1 000 000 000 m3

hectómetro

(Hm3) 1 000 000 m3

decámetro

(Dam3) 1 000 m3

Unidad metro

cúbico(m3)

Submúltiplos

decímetro (dm3) 0.001 m3

centímetro (cm3) 0.000001 m3

milímetro (mm3) 0.000000001 m3

Ejemplo

Dado el cubo, cuyas aristas miden un centímetro, como unidad de volumen, medir el

volumen del siguiente cuerpo.

Unidad de medida

61

En la base, el cuerpo contiene 8 unidades de medida, de altura está formada por 3

veces la base. En total el cuerpo tiene 8 x 3 = 24 veces la unidad de medida, por lo

tanto su volumen es 24 unidades cúbicas, es decir, 24 centímetros cúbicos.

Ejercicios

1.- Calcule el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto.

2.- En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto se quiere almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuantas cajas se pueden almacenar?

62

SESIÓN 8

Se propone que las actividades se realicen en equipos de tres integrantes y que posteriormente se comparen en el grupo los resultados obtenidos.

El caso del cubo, algunos prismas y algunas pirámides

Los cuerpos geométricos que tienen las caras planas se llaman poliedros. Los prismas

son cuerpos poliédricos que tienen por bases dos polígonos iguales y sus caras

laterales son paralelogramos. El cubo es un caso particular de prisma, pues tiene todas

sus caras iguales.

En general, para cualquier prisma el volumen es igual al producto del área de la base

por la altura.

V = (AB) (h)

Ejemplo

Calcula el volumen de un prisma pentagonal de 27 m2 de base y 72 m de altura.

Sabemos que el volumen de un prisma se obtiene multiplicando el área de la

base por la altura.

AB = 27 m2 h = 72 m

V = (AB) (h) = (27m2)(72m) = 1944 m3

Las pirámides son cuerpos poliédricos que tienen por base un polígono cualquiera y sus

caras laterales son triángulos que convergen en un punto llamado vértice de la

pirámide.

63

La altura de una pirámide es el segmento perpendicular a la base trazado desde el

vértice. Se llama apotema de una pirámide regular a la altura de uno cualquiera de los

triángulos laterales.

El volumen de una pirámide cualquiera es igual a un tercio del área de la base por su

altura.

1

V = ---- (AB)(h)

3

Ejemplo

Hallar el volumen de una pirámide que tiene como base un cuadrado de 13 m por lado y

por altura 15 m.

Obtener el área de la base de la pirámide

AB = (13m)(13m) = 169 m2

La altura ya está dada h = 15 m

Teniendo todos los elementos, se puede calcular el volumen de la pirámide

1 1

V = ---- (AB)(h) = --- (169 m2)(15 m) = 2535 m3

3 3

Ejercicios

1.- ¿Cuál es la altura en metros de una pirámide cuyo volumen es 6.75 m3 y el área de la base es 15 m2?

64

2.- ¿Cuál es el área de la base en cm2 de una pirámide de 10.92 cm3 y 7.2 cm de altura?

3.- Hallar el volumen en m3 de un prisma triangular que tiene como base un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 3 y 4 metros, y la altura es de 6m.

Unidades para la medición de la capacidad

La capacidad se define como el espacio vacío de alguna cosa que es suficiente para

contener a otra u otras cosas dentro de ciertos límites.

Las unidades de medición de la capacidad se muestran en la siguiente tabla:

Múltiplos

kilolitro (kl) 1 000 litros

hectolitro (hl) 100 litros

decalitro (dal) 10 litros

Unidad litro (l)

Submúltiplos

decilitro (dl) 0.1 de litro

centilitro (cl) 0.01 de litro

mililitro (ml) 0.001 de litro

Equivalencias entre unidades de volumen y de capacidad

En muchas ocasiones, los conceptos de volumen y capacidad se confunden. De hecho,

es frecuente que ambos términos se utilicen como sinónimos. Es necesario, por tanto,

establecer la diferencia entre estos conceptos y, al mismo tiempo, a encontrar la

relación entre ambos.

En primer lugar, es pertinente reflexionar sobre los objetos susceptibles de ser medidos

respecto al volumen. Si se entiende por volumen el lugar que ocupa un cuerpo en el

espacio, entonces cualquier objeto del mundo en que vivimos tiene volumen. No

importa si es muy delgado, como una hoja de papel.

65

La capacidad, en cambio, no es una cualidad susceptible de ser medida para cualquier objeto.

Los objetos susceptibles de ser medidos respecto a capacidad se llaman comúnmente

recipientes y son objetos en los que podemos introducir otros objetos o sustancias.

Al establecer el Sistema métrico decimal, se definió el litro como el volumen de un cubo

de un decímetro de arista, es decir, un decímetro cúbico. Ésa es la equivalencia

fundamental entre las unidades de volumen y capacidad.

Un litro es la capacidad de un cubo de 1 dm de arista: 1 dm3 = 1 l.

Si una cuchara de agua de 1 mililitro de capacidad la vertemos en 1 cm3 abierto,

observamos que cabe exactamente.

1 mililitro es la capacidad de un cubo que tiene 1 cm de arista.

La siguiente tabla muestra las equivalencias entre las unidades de volumen y capacidad.

Unidades de volumen m3

dm3

cm3

Unidades de capacidad kl hl dal l dl cl ml

Ejercicios

1.- Un frasco de vitaminas contiene 50 ml. A los bebés y niños de hasta 3 años, el médico les indicó tomar 1,5 ml por día y a los niños mayores de 3 años, el doble. Marcela tiene 4 hijos: Juan, que es un bebé de 10 meses; Andrea que tiene 4 años y mellizos de 6 años. Si todos toman las vitaminas, ¿cuánto tiempo dura el frasco? 2. ¿Cuántos cubos de 1 dm3 se necesitan para llenar un volumen de un cubo de 1 metro de arista? ¿Cómo podrían verificar tu estimación? 3. ¿Cuántos litros puede contener un cubo de 1 m de arista? ¿Y un cubo de metro de arista?

66

SESIÓN 9

Se propone que las actividades se realicen en equipos de tres integrantes y que posteriormente se comparen en el grupo los resultados obtenidos.

Experimentos aleatorios y experimentos deterministas.

Experimento aleatorio

Es aquél cuyos resultados dependen del azar. Se distinguen por los siguientes rasgos:

• Todos los posibles resultados son conocidos con anterioridad a su realización.

• No se puede predecir el resultado de cada experimento particular.

• El experimento puede repetirse en condiciones idénticas.

Ejemplo

Lanzar al aire una moneda y observar el resultado es un experimento aleatorio simple.

Cuando se repite un experimento aleatorio simple da lugar a un experimento aleatorio

compuesto.

Ejercicio Escribir 5 ejemplos de experimentos aleatorios

Espacio Muestral

Es el formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, se designa

por (E).

Para obtener el espacio muestral de los experimentos compuestos resulta conveniente

en muchos casos utilizar un diagrama en árbol.

Si se lanza tres veces una moneda, el espacio muestral es el siguiente:

67

Sucesos aleatorios

Es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral.

Los sucesos elementales son todos y cada uno de los elementos que forman el espacio

muestral. Los conjuntos formados por varios sucesos elementales se llaman sucesos compuestos.

Suceso seguro: es el que se verifica siempre. Coincide con el espacio muestral.

Suceso imposible: el que no se produce nunca. Es el conjunto vacío: ∅.

Espacio de sucesos (S) Es el conjunto de todos los subconjuntos de E.

Ejemplo:

Al lanzar dos monedas y anotar los resultados obtenidos, E={CC, CX, XC, XX}

Ejercicios

1.-Al lanzar un dado numerado del 1 al 6, describir el Espacio Muestral, el espacio

muestral del evento “salir número par”, “salir múltiplo de 3”, “salir número menor que

3”.

68

2.-En una urna tenemos 10 bolas de colores numeradas: Una gris, la número 1. Dos

verdes, la número 3 y la 6. Tres azules, la número 2, 8 y 9. Cuatro amarillas, las número

4, 5, 7 y 10. Describe el espacio muestral y cinco sucesos.

3.- En los siguientes experimentos aleatorios, determinar el Espacio Muestral (E) y

escribir un par de ejemplos de sucesos de distinto tipo:

• Lanzar dos monedas y anotar el número de caras.

• Extraer una carta de una baraja española y anotar qué sale.

• Lanzar dos dados y anotar la suma de puntos que salgan.

Experimentos deterministas

Se denominan experimentos deterministas aquellos que realizados de una misma forma

y con las mismas condiciones iníciales, ofrecen siempre el mismo resultado.

Ejemplos

Si se deja caer una piedra desde una ventana se sabe, sin lugar a dudas, que la piedra

bajará.

Si es arrojada hacia arriba, se sabe que subirá durante un determinado intervalo de

tiempo; pero después bajará.

Ejercicios

1.- ¿De qué tipo son los experimentos siguientes? a) Saber en qué semana se disfrutará las vacaciones de Semana Santa. b) Conocer el peso de un chico de 15 años. c) Saber quienes son los ganadores de un concurso de fotografía. d) Lanzar una moneda y anotar el resultado. e) Medir la longitud de una circunferencia de radio 5 m. f) Quitar el freno de mano de un coche en una cuesta abajo muy pronunciada.

69

g) En una caja hay 2 bolígrafos rojos y 2 azules. ¿El experimento sacar un bolígrafo y adivinar su color es aleatorio o determinista?

2.- Escribe 5 experimentos deterministas diferentes a los anteriores

3.- Tomemos el juego siguiente:

Carrera al 20

Reglas del juego: El primer jugador dice 1 ó 2 Cada uno por turnos, añade 1 ó 2 al número del otro jugador. Gana el primero que dice 20. ¿Este es un experimento aleatorio o determinista? El razonamiento proporcional

Es la capacidad para usar una relación matemática al objeto de determinar una

segunda relación matemática.

Ejemplo

Un constructor tiene ladrillos de dos tamaños, la altura de una casa de un piso lleva 60

ladrillos pequeños y 40 grandes, la altura de una casa especial es de 150 ladrillos

pequeños o ¿cuántos grandes?

Solución

60 es a 40 como 150 es a 100

Ejercicios 1.- Si en una caja hay 3 canicas azules y 6 canicas blancas, ¿cuál es la razón de canicas azules al total de canicas? 2.- ¿Cuál es la razón del largo de un lado de un cuadrado a su perímetro? 3.- Dos grupos se componen de 20 y 26 estudiantes respectivamente. En el primer grupo, 10 son mujeres, mientras que en el segundo grupo 12 son mujeres. ¿Cuál grupo tiene MÁS mujeres?

70

Cuál es el significado de “TENER MÁS”

Definición clásica de la probabilidad y Cálculo de probabilidades

Definición: Dado un experimento aleatorio con un espacio de N sucesos elementales, la

probabilidad del suceso A, que se designará mediante P(A), es la razón entre la

cantidad de casos favorables para la ocurrencia de A y la de casos posibles. En otros

términos

Donde n A es la cantidad de casos favorables de A y N el número de casos totales.

Ejemplo

En una urna hay 5 bolas blancas y 7 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una

bola de la urna ésta sea blanca?

El número de casos favorables en este evento es de 5, pues en la urna hay 5

bolas blancas.

El número de casos totales es 12, pues en total hay 12 bolas en la urna.

La probabilidad clásica es de 5/12 (casos favorables/ casos totales) de que la

bola sacada de la urna sea blanca.

Ejercicios 1.- En un frutero hay 4 manzanas Golden, 5 manzanas Verde Doncella y 6 manzanas

Elstar. Si con los ojos vendados cogemos una manzana del frutero .¿Cuál es la

probabilidad de que sea del tipo Golden?¿Y del tipo Verde Doncella?.¿Y Elstar?.

2.- Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado. Calcule:

a) Probabilidad de obtener un número par.

71

b) Probabilidad de obtener un número menor que 7. c) Probabilidad de obtener un número mayor que 6. 3.- Con los dígitos 1, 3, 5 y 7 se forman números de 3 cifras distintas. Calcule:

a) ¿Cuántos números hay que terminen en 5? b) ¿Cuántos números comienzan por 7? c) ¿Cuántos números son múltiplos de 3?

72

SESIÓN 10

Se propone que las actividades se realicen en equipos de tres integrantes y que posteriormente se comparen en el grupo los resultados obtenidos.

Distintas formas de contar.

Contar constituye un verdadero reto. No es aplicar reglas o fórmulas, es un proceso

mental en el que se deben considerar cuidadosamente las relaciones entre los diversos

elementos participantes. Como ocurre en algunos juegos, digamos ajedrez, conocer o

saber de memoria las reglas no implica saber jugar tal juego. Es necesario ponerse a

jugar para adquirir algún dominio del mismo.

Cuando se abordan problemas de conteo como paso previo para la determinación de la

probabilidad de un evento, exige del aprendiz ser más analítico en sus planteamientos

de conteo.

Principio fundamental de conteo

Si una operación se puede describir como una secuencia de k etapas, y si el número de

formas diferentes de completar la etapa 1 es n1, para completar la etapa 2 es n2, para

completar la etapa 3 es n3, y así sucesivamente, entonces el número total de formas de

completar la operación es

n1 x n2 x...x nk

Ejemplo

Un fabricante de automóviles proporciona los vehículos equipados con opciones

seleccionadas. Cada vehículo puede ser solicitado

Con o sin transmisión automática

73

Con o sin aire acondicionado

Con una de las tres opciones de un sistema de música estéreo

Con uno de los cuatro colores exteriores disponibles.

Solución

Se deduce que el número de vehículos con opciones diferentes que ofrece este

fabricante es

2 x 2 x 3 x 4 = 48.

Ejercicios 1.- Cuantas palabras de 4 letras (sin significado) se puede formar con las letras de la palabra verónica, sin usar mas de una vez cada una de las letras, 2.- Cuantos números de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos 6,7,8,9 si : a) no deben repetirse los dígitos. b) deben repetirse los dígitos. Compruébelo 3.- Cuántos juegos de placas para autos que contengan tres letras seguidas de tres dígitos utilizando para ello las 27 letras del alfabeto y los números del 0-9 si:

a) las letras y dígitos no deben repetirse b) las letras y dígitos pueden repetirse

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar

el número de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre varios

conjuntos. En cambio para un solo conjunto de objetos se pueden desarrollar otros

métodos que son más convenientes para contar el número de posibles arreglos.

74

Combinaciones y permutaciones

¿Qué diferencia hay?

Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el

orden de las cosas es importante. En otras palabras:

"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa

en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas,

manzanas y bananas", es la misma ensalada.

"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no

funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

Así que en matemáticas se usa un lenguaje más preciso:

Si el orden no importa, es una combinación

Si el orden sí importa es una permutación. En otras palabras una permutación es una

combinación ordenada.

Permutaciones

Hay dos tipos de permutaciones:

1. Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".

2. Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar

primero y segundo a la vez.

1. Permutaciones con repetición

Son las más fáciles de calcular. Si se tienen n cosas para elegir y se elige r de ellas, las

permutaciones posibles son:

75

n × n × ... (r veces) = nr

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades

para la segunda elección, y así.)

Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3

de ellos:

10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones

Así que la fórmula es simplemente:

nr

Donde n es el número de cosas que se puede elegir, y se eligen r de ellas

(Se puede repetir, el orden importa)

Ejercicios

1.- ¿De cuántas formas se puede contestar un examen de 12 preguntas de opción múltiple, si cada pregunta tiene 5 alternativas de respuesta; pero no se sabe cuál es la combinación correcta, ¿cuál es el número máximo de intentos que se pueden realizar antes de encontrar las doce preguntas correctas?

2.- ¿Cuántos números de tres cifras con repetición se pueden formar usando todos los siguientes dígitos 7, 4, 8, 5, 3?

3.- Se quiere abrir un candado de combinación de 4 anillos, cada uno marcado con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5; pero no se sabe cuál es la combinación correcta, ¿Cuál es el número máximo de intentos?

2. Permutaciones sin repetición

En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

76

Por ejemplo, ¿cómo se podría ordenar 16 bolas de billar?

Después de elegir por ejemplo la "14" no se puede elegirla otra vez. Así que la primera

elección tiene 16 posibilidades, y la siguiente elección tiene 15 posibilidades, después

14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:

16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000

Pero a lo mejor no se quiere elegir todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:

16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.

Para escribirlo de manera simplificada se utiliza la función factorial “!” que significa que

se multiplican números descendentes. Ejemplos:

• 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

• 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040

• 1! = 1

Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no

multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.

Así que si se quiere elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:

16! = 20, 922, 789, 888,000

Pero si sólo se quiere elegir 3, se tiene que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo

lo escribimos?

16! / 13! = 16 × 15 × 14

77

La fórmula se escribe:

Donde n es el número de cosas que se pueden elegir, y se eligen r de ellas

(No se puede repetir, el orden importa)

Notación

En lugar de escribir toda la fórmula, se usan notaciones como:

Ejercicios

1. ¿Cuántas palabras de cinco letras se pueden formar con la palabra libro? 2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de

butacas? 3. Se tienen 3 libros: uno de aritmética (A), uno de biología(B) y otro de

cálculo(C), y se quiere ver de cuántas maneras se pueden ordenar en un estante.

4. ¿Cuántos números se 2 cifras sin repetición se pueden formar con los dígitos 8, 2, 5, 4, 7?

5. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar seis alumnos en un salón de clases con 25 pupitres?

Combinaciones

También hay dos tipos de combinaciones (recordar que ahora el orden no importa):

78

1. Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)

2. Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)

1. Combinaciones sin repetición

Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si se tienen los números

de la suerte (da igual el orden) ¡entonces se ha ganado!

Una manera fácil de explicarlo es:

• imaginar que el orden sí importa (permutaciones),

• después se cambia para que el orden no importe.

Volviendo a las bolas de billar, si se quiere saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.

Ya se sabe que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.

Pero muchas de ellas son iguales, porque no importa el orden.

Por ejemplo, si se supone que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:

El orden importa El orden no importa

1 2 3

1 3 2

2 1 3

2 3 1

3 1 2

3 2 1

1 2 3

Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.

De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden

ordenar. La respuesta es: 3! = 3 × 2 × 1 = 6

79

Así que sólo se tiene que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las

maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no interesa ordenarlos):

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis,

así:

Donde n es el número de cosas que se pueden elegir, y se elige r de ellas

(No se puede repetir, el orden no importa), se la llama "coeficiente binomial".

Notación

Además de los "grandes paréntesis", también se usan estas notaciones:

Ejemplo

Entonces, el ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:

O se puede hacer así:

80

Es interesante darse cuenta de que la fórmula es bonita y simétrica:

Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13

bolas de 16.

Ejercicios

1.- A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?

2.- ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres? 3.- Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:

a) Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer. b) Una mujer determinada debe pertenecer al comité. c) Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

2. Combinaciones con repetición

Si se tienen cinco sabores de helado: Plátano, chocolate, limón, fresa y vainilla. Se

puede tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay?

Asignando letras para los sabores: {p, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son

• {c, c, c} (3 de chocolate)

81

• {p, l, v} (uno de plátano, uno de limón y uno de vainilla)

• {p, v, v} (uno de plátano, dos de vainilla)

(Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y se eligen r=3 de ellas.

El orden no importa, y sí se puede repetir)

Se puede escribir así:

Donde n es el número de cosas que se pueden elegir, y se eligen r de ellas

(Se puede repetir, el orden no importa)

Ejercicios 1.- ¿De cuántas formas se pueden colocar siete libros iguales en cuatro estanterías? 2.- ¿De cuántas formas se pueden colocar cuatro libros iguales en siete estanterías? 3.- ¿Se puede resolver cualquier ejercicio de combinaciones con repetición utilizando el principio de multiplicación?

Extensión de la definición clásica a medidas geométricas.

Medidas de centralización

Las Medidas de tendencia central, permiten identificar los valores más representativos

de los datos, de acuerdo a la manera como se tienden a concentrar.

MEDIA

Es la medida de posición central más utilizada, la más conocida y la más sencilla de

calcular, debido principalmente a que sus ecuaciones se prestan para el manejo

82

algebraico, lo cual la hace de gran utilidad. Su principal desventaja radica en su

sensibilidad al cambio de uno de sus valores o a los valores extremos demasiado

grandes o pequeños. La media se define como la suma de todos los valores

observados, dividido por el número total de observaciones.

MEDIANA

Con esta medida se puede identificar el valor que se encuentra en el centro de los

datos, es decir, permite conocer el valor que se encuentra exactamente en la mitad del

conjunto de datos después que las observaciones se han ubicado en serie ordenada.

Esta medida indica que la mitad de los datos se encuentran por debajo de este valor y

la otra mitad por encima del mismo. Para determinar la posición de la mediana se

utiliza:

Para comprender este concepto vamos a suponer que tenemos la serie ordenada de

valores (2, 5, 8, 10 y 13), la posición de la mediana sería:

=

Y la tercera posición de la serie, que equivale al número 8.

Si en el ejemplo anterior se anexa el valor 15, se tendría la serie ordenada (2, 5, 8, 10,

13 y 15) y la posición de la mediana sería,

83

Dado que es imposible destacar la posición tres y medio, es necesario promediar los

dos valores de la posiciones tercera y cuarta para producir una mediana equivalente,

que para el caso corresponden a (8 + 10)/2 = 9.

MODA

La medida modal indica el valor que más veces se repite dentro de los datos; es decir,

si se tiene la serie ordenada (2, 2, 5 y 7), el valor que más veces se repite es el número

2 quien seria la moda de los datos. Es posible que en algunas ocasiones se presente

dos valores con la mayor frecuencia, lo cual se denomina Bimodal o en otros casos más

de dos valores, lo que se conoce como multimodal.

Ejercicios

1.- Se escogió un salón de clases de cuarto grado, con un total de 25 estudiantes, y se les pidió que calificaran del 1 al 5 un programa de televisión

(5 = Excelente 4 = Bueno 3 = Regular 4 = No muy bueno 1 = Fatal)

Estos fueron los resultados:

1 3 3 4 1 2 2 2 5 1 4 5 1 5 3 5 1 4 1 2 2 1 2 3 5

Calcular la media, la moda y la mediana.

2.- Los siguientes datos corresponden a las notas obtenidas por los alumnos de una clase de Matemáticas:

84

3, 5, 6, 5, 8, 9, 4, 10, 6, 2

Calcular la nota media aritmética, mediana y moda.

3.- Buscar la moda de :

23 35 45 33 47 31 29 22

Medidas de posición

Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos. Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor, las medidas de posición son:

Los cuartiles.- son medidas descriptivas que dividen a la serie ordenada en cuatro

partes.

Donde j=1, 2, 3; n es el número total de observaciones de la muestra y es la

posición del cuartil j.

Los deciles.- son medidas descriptivas que dividen a la serie ordenada en 10 partes.

Donde j=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; n es el número total de observaciones de la muestra y

es la posición del decil j.

Los Percentiles.- Son medidas descriptivas que dividen a la serie ordenada en 100

partes.

Donde j=1, 2, 3… 99; n es el número total de observaciones de la muestra y es la

posición del Percentil j.

85

Ejemplo

En la siguiente serie simple, que corresponde a la edad de los trabajadores de una

micro empresa: 33, 26, 66, 45, 28, 59, 33, 36, 26, 45, 62, 45, ordenar los datos y

calcular el cuartil uno, los deciles uno, tres y el percentil 50.

Procedimiento:

Se ordenan los datos de mayor a menor: 26, 26, 28, 33, 33, 36, 45, 45, 45, 59, 62, 66

Hallar la ubicación del cuartil uno con la fórmula:

Calcular el valor del cuartil uno:

El primer cuartil se localiza entre el tercer y cuarto valor y se encuentra a 0.25 de la

distancia entre ellos. Como el tercer valor es 28, y el cuarto es 33, se obtiene la

distancia entre ellos restando el valor mayor del menor; es decir, 33 – 28 = 5. Para

ubicar el primer cuartil, hay que moverse a 0.25 de distancia entre el tercer valor y el

cuarto, por lo que 0.25(5) = 1.25. Para terminar el procedimiento, se suma 1.25 al

primer valor, y resulta así que el primer cuartil es: = 28 + 1.25 = 29.25

Hallar la ubicación del decil uno con la fórmula:

Calcular el valor del decil uno:

86

El primer decil se localiza entre el primero y segundo valor y se encuentra a 0.3 de la

distancia entre ellos. Como el primer valor es 26, y el segundo es 26, se asume que el

valor del primer decil es de 26. Valor D1 = 26

Hallar la ubicación del decil tres con la fórmula:

Calcular el valor del decil tres:

El tercer decil se localiza entre el tercer y cuarto valor y se encuentra a 0.9 de la

distancia entre ellos. Como el tercer valor es 28, y el cuarto es 33, se obtiene la

distancia entre ellos restando el valor mayor del menor; es decir, 33 – 28 = 5. Para

ubicar el tercer decil, hay que moverse a 0.9 de distancia entre el tercer valor y el

cuarto, por lo que 0.9(5) = 4.5. Para terminar el procedimiento, se suma 4.5 al primer

valor, y resulta así que el tercer decil es: Valor = 28 + 4.5 = 32.5

Hallar la ubicación del percentil cincuenta con la fórmula:

Hallar la ubicación del percentil cincuenta con la fórmula:

Calcular el valor del percentil cincuenta: 45 - 36 = 9 0.5(9)=4.5 36+4.5=40.5

Por lo tanto el valor de = 40,5

Ejercicios

1.- Calcular los deciles del 1 al 9 a partir de los siguientes datos:

10, 15, 21, 20, 23, 5, 14, 15, 33, 21, 29, 19, 5, 14, 25, 25, 30, 15, 1, 26, 32, 22, 30, 15, 28, 27, 14, 16, 21, 22, 39, 34

87

2.- Se tiene el conjunto de datos ordenados 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 y 36. Se desea hallar el percentil 25. 3.- Las calificaciones del primer examen del curso de matemáticas de este año fueron: 55, 90, 95, 62, 75, 73, 94, 90, 100, 40, 55, 80, 90, 74, 60, 65, 87, 100, 90, 40, 75. Determinar:

• Los valores de P5, P10, P40, P75, P90

• Los valores de Q1, Q2 y Q3

• Los valores de D2, D4, D6 y D8

• La mediana, Q2, D5 y P50

Medidas de dispersión Las medidas de dispersión informan sobre cuanto se alejan del centro los valores de la

distribución, las medidas de dispersión son:

Rango El rango se suele definir como la diferencia entre los dos valores extremos que toma la

variable. Es la medida de dispersión más sencilla y también, por tanto, la que

proporciona menos información. Además, esta información puede ser errónea, pues el

hecho de que no influyan más de dos valores del total de la serie puede provocar una

deformación de la realidad.

Comparar, por ejemplo, estas dos series:

Serie 1: 1 5 7 7 8 9 9 10 17

Serie 2: 2 4 6 8 10 12 14 16 18

88

Ambas series tienen rango 16, pero están desigualmente agrupadas, pues mientras la

primera tiene una mayor concentración en el centro, la segunda se distribuye

uniformemente a lo largo de todo el recorrido. El uso de esta medida de dispersión, será

pues, bastante restringido.

Desviación media La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las

desviaciones respecto a la media.

Varianza

La varianza ( ) es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la

media.

Desviación típica

La variancia a veces no se interpreta claramente, ya que se mide en unidades

cuadráticas. Para evitar ese problema se define otra medida de dispersión, que es la

desviación típica, o desviación estándar, que se halla como la raíz cuadrada positiva de

la varianza. La desviación típica informa sobre la dispersión de los datos respecto al

valor de la media; cuanto mayor sea su valor, más dispersos estarán los datos.

Ejemplo

Calcular la desviación media, la varianza y desviación típica de la distribución: 9, 3, 8, 8,

9, 8, 9, 18

89

3.87

Ejercicios

1.-Hallar la desviación típica de la serie: 5, 8, 10, 12, 16.

2.-Los miembros de una cooperativa de viviendas tienen las siguientes edades: 42 60 60 38 60 63 21 66 56 57 51 57 44 45 35 30 35 47 53 49 50 49 38 45 28 41 47 42 53 32 54 38 40 63 48 33 35 61 47 41 55 53 27 20 21 42 21 39 39 34 45 39 28 54 33 35 43 48 48 27 53 30 29 53 38 52 54 27 27 43 28 63 41 23 58 56 59 60 40 24 Calcular la media y la desviación típica.

3.- Se ha preguntado a 40 personas el número de personas que forman el hogar familiar obteniéndose los siguientes resultados:

Número de personas en el hogar

2 3 4 5 6 7

Frecuencia 4 11 11 6 6 2

Calcular la media, la mediana, la moda y la desviación típica.

Nota: Se llama frecuencia a la cantidad de veces que se repite un determinado valor de la variable.

Definición según la Frecuencia Relativa y uso de la definición frecuencial.

90

Dado un experimento aleatorio, sea A un suceso, se llama frecuencia absoluta de A al

número de veces que se repite cuando el experimento se realiza n veces.

Asimismo se llama frecuencia relativa de A, f(A), al cociente entre el número de veces

que sucede A y el total de experimentos realizados.

Ejemplo

En la siguiente tabla se muestra el resultado de una moneda para un determinado

número de lanzamientos, notar lo que sucede:

Tabla de frecuencias

Lanzar la moneda 30 veces 50 veces 70 veces 100 veces

Número de caras

11 19 32 47

Frecuencia

11/30 =

0,366 19/50=0,38 32/70=0,457 47/100=0,47

Observar que a medida que se aumenta la cantidad de lanzamientos las frecuencias

relativas de salir cara se van acercando a un número determinado muy próximo a la

probabilidad.

91

Ejercicios

1.- Se ha realizado una encuesta sobre aficiones a 500 jóvenes. A 280 les gusta navegar. A 75 les gusta el teatro y al resto les gusta viajar. Completar la tabla de frecuencias.

2.- Si se lanza un dado 90 veces y se anota las veces que sale cada cara. Completar la tabla de frecuencias.

3.- Realizar una encuesta de interés común compuesta por una pregunta con 3 respuestas posibles, al menos que se realicen 200 encuestas. Cual es la frecuencia relativa da cada una de las 3 respuestas.

Relación entre la definición clásica y la frecuencial:

Sea E un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un suceso se aproxima cada

vez más a su probabilidad teórica a medida que aumenta el número de experiencias

que se realizan.

La probabilidad de que se observe algún resultado puede interpretarse como la

frecuencia relativa con la que se observa dicho resultado, si se repitiera el proceso un

número grande de veces bajo las mismas condiciones. Las probabilidades así

determinadas se denominan probabilidades a posteriori, dado que ésta se determina

una vez concluido el experimento aleatorio.

Se define la probabilidad de un suceso A, a través de la frecuencia relativa, como.

92

Ejercicios

1.-Tomar los resultados de lanzar dos dados a la vez, calcular las probabilidades con la

definición clásica y practicar lanzando los dados y cada 10 jugadas compare la

probabilidad clásica con la frecuencial.

2.-Colocar 3 fichas de color azul, roja y amarilla en una caja cerrada, calcular la

probabilidad clásica de que un persona elija la ficha azul roja o amarilla, elaborar el

experimento en el cual se repite la elección al menos 200 veces y calcular la frecuencia

relativa de cada una, cada 10 sucesos acumulando los resultados.

¿Hay alguna similitud en los resultados obtenidos con la definición clásica y

frecuencial?

3.- Calcular la probabilidad que caiga sol cuando se lanza una moneda al aire con la

definición clásica, y compararla con la frecuencia relativa calculada de lanzar al menos

100 veces una moneda al aire.

La Ley de los grandes números.

En un experimento aleatorio, a medida que se aumenta el número de experiencias que

se realizan la frecuencia relativa de un suceso tiende a aproximarse a un número fijo,

llamado probabilidad de un suceso o probabilidad clásica.

La probabilidad, entonces, es un intento de cuantificar el azar, de medir cuán fortuito

puede ser considerado un resultado de, en definitiva, responder a la pregunta: en una

serie de pruebas, ¿en cuántas de ellas podemos esperar que aparezca un suceso?. Por

ello, una forma habitual de expresar la probabilidad, es en tantos por ciento,

señalándose el número de veces que aconteció un resultado en cien intentos.

Ejemplo:

93

Supongamos que lanzamos un dado homogéneo y regular, que se anota el número de

veces que aparecen las caras impares, es decir, el 1, 3 y 5 y obtenemos los resultados

contenidos en las siguientes tablas.

Nº de lanzamientos / Frecuencias absolutas

120 300 600 1200 1800 3000

1 11 46 112 210 290 510

3 19 51 91 201 304 461

5 22 55 86 196 284 517

Nº de lanzamientos / Frecuencias relativas

120 300 600 1200 1800 3000

1 .091 .153 .186 .175 .161 .170

3 .158 .170 .151 .167 .175 .163

5 .183 .183 .143 .163 .158 .166

La aproximación de las frecuencias relativas al valor 1/6 = 0'16 se pone de manifiesto

en la siguiente figura:

94

Si se repitiera de nuevo este experimento, se obtendrían polígonos de frecuencias muy

parecidos al representado. Ahora bien, en todos ellos se verifica el siguiente hecho

experimental:

Las frecuencias relativas del suceso "salir impar" tienden a estabilizarse hacia el valor

0.16, lo que significa que la frecuencia del suceso salir impar toma valores aproximados

por defecto o por exceso en torno a 0.16, de tal manera que las fluctuaciones u

oscilaciones alrededor de este valor son cada vez más pequeñas; es decir, el polígono

de frecuencias se va suavizando a medida que aumenta el número de lanzamientos.

Ejercicios Experimento 1

Tomar dos botellas vacías de plástico de 1 1/2 litros en las que se meten canicas de

vidrio, en una 3 amarillas y 1 azul, en otra 2 amarillas y 2 azules se vuelven a tapar,

cada botella se agita y se coloca en posición vertical con la tapa hacia abajo, hasta que

las canicas caen; se observa entonces el color de las 2 canicas que quedan en el cuello

de la botella.

95

Cada diez tiros de éstos se interrumpe para ver cuántas canicas de cada color se han

observado, y así se va observando de decena en decena y además acumulando la

experiencia hasta tener un total de 200 a 300 tiros

¿En cuál de las 2 botellas hay mayor probabilidad de que queden 2 canicas del mismo

color junto a la tapa?

Experimento 2

En un grupo escolar se crean parejas para jugar al menos unos 30 volados de tal

manera que contabilicen lo que pidió cada niño y el resultado del volado además de ver

quién ganó.

Ejemplo

Niño1 Niño2 Águilas Soles Gano

Sol águila X Niño2

Sol águila X Niño2

Águila sol X Niño1

Sol águila X Niño2

2

soles

2

águila

3 1 3 1 3

niño2

1 niño1

Después se suman los resultados de águilas y soles de todas las parejas del grupo

96

1. ¿Cuál es la probabilidad de las águilas según la probabilidad frecuencial?

2. ¿Cuál es la probabilidad de los soles según la probabilidad frecuencial?

3. ¿Cual estrategia crees que serviría para no perder o perder lo menos posible?

Experimento 3

En una clase de 40 alumnos cada uno de ellos lanzó un dado 120 veces y fueron

contabilizando los resultados. Se reunieron los resultados de cada dos alumnos;

después de cada 10; después los de los 40.

Analizar las gráficas de la distribución de los resultados posibles (1, 2, 3, 4, 5, 6) con las

frecuencias relativas en cada caso.

97

Bibliografía

Gardner, Martín (2007). ¡Ajá! Paradojas que hacen pensar. Editorial EBA

Coleccionables, S.A., Biblioteca Desafíos Matemáticos, España.

Tahan, Malba (2007). El hombre que calculaba. Editorial Limusa, S. A. de C. V., México.

VanCleave, Janice (2002). Matemáticas para niños y jóvenes. Editorial Limusa, S. A. de

C. V., Biblioteca científica para niños y jóvenes.

Perelman, Y., (1978). Aritmética recreativa. Editorial MIR, Moscú (disponible en :

http://www.librosmaravillosos.com/aritmeticarecreativa/index.html).

Perelman, Y., (1978). Álgebra Recreativa. Editorial MIR, Moscú (disponible en :

http://www.librosmaravillosos.com/algebrarecreativa/index.html).