guia mat 7 bic

7/23/2019 GUIA MAT 7 BIC

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El material didácticoGuía para el Profesor, Matemática 7, Proyecto Bicentenario, para Séptimo año de Educación Básica, es una obracolectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección de

MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

Coordinación Científico-Matemática: Gabriel Moreno Rioseco

Edición: Angela Baeza PeñaMarcia Villena Ramírez

Autores: María Antonieta Santis Avalos

Pedro Enrique Rupin GutiérrezCorrección de estilo: Isabel Spoerer Varela

Astrid Fernández Bravo

Documentación: Paulina Novoa Venturino Juan Carlos Reyes Llanos

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección deVERÓNICA ROJAS LUNA

Con el siguiente equipo de especialistas:

Coordinación Gráfica: Carlota Godoy Bustos

Diseño : Claudia Pino SierraGina Casas Hernández

Diagramación : Gina Casas Hernández

Cubierta: La Práctica S.P.A.

Producción: Germán Urrutia Garín

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cumedio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

© 2009, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones. Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile). PRINTED IN CHILE. Impreso en Chile por QuebecISBN: 978 - 956 - 15 - 1460 - 7 Inscripción N° 175.551

www.santillana.cl [email protected].

SANTILLANA® es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S.L. Todos los derechos reservados.

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8 U n i d a

d

7 U n i d a d

6 U n i d a d

5 U

n i d a d

4 U n i d a d

3 U n i d a d

2 U n i d a d

| 3 |

ÍndicePresentación 4

Ejes del proyecto Bicentenario

Cuadro comparativo entre OFV y CMO 6

Organización del texto del alumno 10

Organización de la guía para el profesor 12

Planificación de las unidades 14

Números enteros 14

Variaciones proporcionales 30

Construcciones geométricas 46

Potencias y raíces cuadradas 62

Álgebra y ecuaciones 78

Triángulos y sus elementos 94

Prismas y pirámides 110

Datos y azar 126

Recursos 142

Solucionario de evaluaciones complementarias 142

Bibliografía 143

1 U n i d a d

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| 4 |Santillana Bicentenario

El proyectoBicentenario de Santillana , presenta una propuesta destinada a cubrir todos losrequerimientos del Ministerio de Educación.Bicentenario , representa una enriquecedora instancia para evocar nuestro pasado y recoger las experiencias vividas por la nación en doscientos años de vida republicana. A su vez,constituye un espacio abierto de debate y reflexión para crear, innovar y proyectar conliderazgo el futuro que hoy se construye en nuestras aulas.El material didáctico que constituye esta serie, busca fomentar en los y las estudiantes lacomprensión de la realidad, facilitando la selección de estrategias para resolver problemas y contribuir al desarrollo del pensamiento crítico y autónomo. Ademas, el currículum de estesector tiene por objetivo aportar al desarrollo de las capacidades de comunicación,razonamiento y abstracción de los alumnos y alumnas, impulsando el desarrollo delpensamiento intuitivo y la reflexión permanente.La propuesta Editorial contempla elTexto del alumno , unTaller de ejercicios , unAnexo consolucionario , laGuía para el profesor y losRecursos digitales .

Ejes proyecto Bicentenario

1. Incorporación de los ajustes curricularesLa serieBicentenario ha sido creada acorde a los nuevos ajustes curriculares publicados en julio de 2008, abordando los nuevos requerimientos relacionados con los ObjetivosFundamentales Verticales y Contenidos Mínimos Obligatorios.El propósito de esta nueva propuesta para el sector de Matemática es introducir a los y lasestudiantes en la comprensión del mundo que los rodea por medio de relaciones entre losdiversos aspectos de la realidad, basada en el conocimiento proporcionado por esta áreadel conocimiento.

PRESENTACIÓN DEL PROYECTO

Para el alumno(a): Texto del EstudianteTaller de ejerciciosAnexo con solucionario

Para el profesor(a): Guía del ProfesorRecursos digitales

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| 5 |

Se pretende que todos los alumnos y alumnas logren, en su formación general, una

educación matemática básica. Esta perspectiva se expresa en los Objetivos Fundamentalesy Contenidos Mínimos Obligatorios orientados hacia un aprendizaje contextualizado delconocimiento matemático.Así el sector de Matemática se ha reestructurado entorno a cuatro ejes temáticosfundamentales, estos son:1º Números2º Álgebra.3º Geometría.

4º Datos y azar.2. Evaluación permanente y explícita

En los textos del proyecto Bicentenario, la evaluación se ha ido desarrollando en diversosmomentos a lo largo de cada una de las unidades con el propósito de obtener informaciónsobre los aprendizajes logrados. En este sentido se entregan evaluaciones diagnósticas, deproceso y finales. Cada evaluación cuenta con su correspondiente pauta de corrección conindicadores, criterios y actividades remediales y de profundización, que permiten atender a

la diversidad de aprendizaje de los y las estudiantes.Los tipos de evaluaciones que encontrará en el texto, se detallan a continuación:• Evaluación diagnóstica. Se presenta al inicio de cada unidad para identificar los

conocimientos previos con los cuales los estudiantes se enfrentarán a los nuevosaprendizajes y permite detectar falencias que pudieran entorpecer el logro deaprendizajes más complejos. Este momento evaluativo, es de carácter formativo.

• Evaluación de proceso. Se desarrolla durante la unidad y, dado su carácter formativo,permitirá al estudiante retroalimentar su desempeño y, al docente, realizar a tiempo las

modificaciones necesarias para mejorar el logro de los aprendizajes.• Evaluación final.Su carácter es sumativo, pues entrega información a cerca del nivel de

logro alcanzado respecto de los aprendizajes esperados al término de la unidad, dandola posibilidad de reforzar los aprendizajes más débiles.

3. Innovación en el diseño

La propuesta gráfica pone énfasis en los recursos visuales, como infografías, ilustraciones,fotografías, esquemas, entre otros; con el propósito de apoyar la labor docente, al favorecer la construcción de aprendizajes, a partir de la comprensión visual.

4. Incorporación de las TIC

Con el objetivo de responder a la amplia gama de recursos tecnológicos y para atenderla cobertura de alfabetización digital, se han introducido nuevos métodos deenseñanza-aprendizaje que contemplan el uso de las TIC como instrumento cognitivoy para la realización de actividades interdisciplinarias y colaborativas.Los recursos digitales que contempla el proyecto son 3 discos compactos que contienen:el libro del alumno digital, tutoriales que muestran al docente cómo utilizar herramientasdigitales y la guía didáctica en formato PDF.

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| 7 |

• C á l c u

l o d e p o

t e n c i a s

d e

1 0 c o n

e x p o n e n

t e e n

t e r o y s u a p

l i c a c i ó n p a r a

r e p r e s e n

t a r n ú m e r o s

d e c i m a l e s c o m o

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d u c t o

d e u n n

ú m e r o n a t u r a l

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t e n c i a

d e

1 0 d e e x p o n e n

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e n t e r o .

• R e s o

l u c i ó n

d e p r o

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t e x t o s

d i v e r s o s y s i g n

i f i c a t i v o s e n

l o s q u e s e u t i l

i z a n a d

i c i o n e s y

s u s t r a c c i o n e s c o n n

ú m e r o s e n

t e r o s ,

p r o p o r c i o n e s , p o

t e n c i a s y r a í c e s c o m o

l a s e s t u

d i a d a s ,

e n f a t i z a n

d o e n a s p e c t o s

r e l a t i v o s a l a n á

l i s i s d e

l a s e s t r a t e g i a s

d e r e s o

l u c i ó n ,

l a e v a l u a c i ó n

d e

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v a l i d e z

d e

d i c h a s e s t r a t e g i a s e n

r e l a c i ó n c o n l a

p r e g u n

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d a t o s y a l

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t e x t o

d e l p r o

b l e m a .

• I n t e r p r e

t a r p o

t e n c i a s

d e e x p o n e n

t e n a t u r a l

y c u y a

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n ú m e r o

f r a c c i o n a r i o

o d e c i m a l p o s i t i v o y

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t e n c i a s d e

1 0 c o n

e x p o n e n

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e f e c t u a r

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l t i p l i c a c i o n e s c o n

e s t e t i p o

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t e n c i a s y

a p l i c a r l a s

e n s i t u a c i o n e s

d i v e r s a s .

• C o m p r e n d e r e l

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i f i c a d o y c a l c u

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l a r a í z c u a d r a d a

d e

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ú m e r o

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p o s i t i v o y a p

l i c a r l a e n

l a r e s o

l u c i ó n

d e

p r o

b l e m a s .

• C á l c u

l o e s c r i t o ,

m e n

t a l a p r o x i m a d o y

c o n c a l c u

l a d o r a e n s i t u a c i o n e s

p r o b l e m a s .

• A n á l i s i s d e r e l a c i o n e s e n

t r e

f a c t o r e s y

p r o d u c t o y e n

t r e

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t é r m

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d i v i s i ó n y e l c u o c i e n

t e p a r a e s t a

b l e c e r

r e g u

l a r i d a d e s c u a n

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i n t e r v i e n e n

c a n t i d a d e s m e n o r e s q u e

1 .

P r o p o r c i o n a l i d a d

• R e s o

l u c i ó n

d e s i t u a c i o n e s p r o b

l e m a s ,

e s t a b

l e c i e n

d o r a z o n e s e n

t r e p a r t e s

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l e c c i ó n u o

b j e t o y e n

t r e u n a

p a r t e y e

l t o d o .

• I n t e r p r e

t a c i ó n y u s o

d e r a z o n e s

e x p r e s a d a s

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d i f e r e n

t e s m a n e r a s .

• R e s o

l u c i ó n

d e p r o

b l e m a s ,

e l a b o r a n

d o

t a b l a s c o r r e s p o n

d i e n

t e s a :

• S i t u a c i o n e s

d e v a r i a c i ó n n o

p r o p o r c i o n a l .

• S i t u a c i o n e s

d e v a r i a c i ó n p r o p o r c i o n a l

d i r e c t a e

i n v e r s a .

• I d e n

t i f i c a c i ó n y a n

á l i s i s d e

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t e s r a z o n e s y p a r e j a s

d e

r a z o n e s q u e s e p u e d e n e s t a

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t a b l a s

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d i e n

t e s a v a r i a c i ó n

p r o p o r c i o n a l d

i r e c t a e

i n v e r s a .

• C o m p a r a c i ó n

d e

t a b l a s

c o r r e s p o n

d i e n

t e s a s i t u a c i o n e s

d e

v a r i a c i ó n p r o p o r c i o n a l d

i r e c t a e

i n v e r s a ,

p a r a e s t a

b l e c e r

d i f e r e n c

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• I n t e r p r e

t a c i ó n y e x p r e s i ó n

d e

p o r c e n

t a j e s c o m o p r o p o r c i o n e s ,

y

c á l c u

l o d e p o r c e n

t a j e s e n s i t u a c

i o n e s

c o t i d i a n a s .

p r o p o r c i o n a l c o m o

e s t r a t e g i a p a r a

r e s o

l v e r p r o

b l e m a s

n u m

é r i c o s y

g e o m

é t r i c o s .

g



• R e s o

l v e r p r o

b l e m a s

r e f e r i d o s a

d i v e r s o s

c o n t e x t o s p o r m e d

i o

d e l p

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d e

e c u a c i o n e s

d e p r i m e r

g r a d o c o n u n a

i n c ó g n i t a , e

n e l á m

b i t o

d e

l o s n

ú m e r o s

n a t u r a l e s , f r a c c i o n e s o

d e c i m a l e s p o s i t i v o s y

e n l a s q u e e s n e c e s a r i o

r e d u c i r

l a s e x p r e s i o n e s

i n v o

l u c r a d a s .

i n f o r m a c i ó n , a

p a r t i r

d e c r i t e r i o s

p r e e s t a

b l e c i d o s .

• E s t i m a r

l a p r o

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i l i d a d

d e o c u r r e n c i a

d e u n

e v e n t o , a p

a r t i r d e

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e x p e r i m e n t o s

a l e a t o r i o s , u s a n d o

l a

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t i v a .

• E m p

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i v e r s o s y

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p a r a e l o

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n i v e l , y a n a l

i z a r

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p r o c e d

i m i e n t o s

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d e

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b t e n

i d o s .

| 9 |

• R e d u c c i ó n

d e e x p r e s i o n e s a l g e b r a i c a s

p o r m e d

i o d e l a a p

l i c a c i ó n

d e

p r o p

i e d a d e s d e

l a s o p e r a c i o n e s ,

a d i c i ó n

y s u s t r a c c i ó n d e

t é r m

i n o s s e m e j a n t e s y

e l i m i n a c i ó n

d e p a r é n

t e s i s .

• T r a d u c c i ó n

d e e x p r e s i o n e s e n

l e n g u a j e

n a t u r a l a

l e n g u a j e s i m

b ó l i c o y v i c e v e r s a .

• R e s o

l u c i ó n

d e p r o

b l e m a s m e d

i a n t e e l

p l a n t e a m

i e n t o

d e u n a e c u a c i ó n

d e

p r i m e r g r a d o c o n u n a

i n c ó g n

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i n t e r p r e t a c i ó n

d e

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t é r m

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n t e x t o

d e l p r o

b l e m a .

Á

l g e b r a

d e u n a r e s p e c t o

d e

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t r a ,

l a

i n f o r m a c i ó n a c o m u n

i c a r ,

e l t i p o

d e

d a t o s

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l o s o

b j e t i v o s

p r o p u e s t o s .

• E s t a

b l e c i m

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l i c a c i ó n

d e

c r i t e r i o s p a r a l a

s e l e c c i ó n

d e u n

t i p o

d e

t a b l a s o g r á f i c o s a e m p

l e a r p a r a

o r g a n

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u n i c a r

i n f o r m a c i ó n ,

o b t e n i d a e m p í r i c a m e n t e , o

a t r a v é s

d e

d i v e r s a s

f u e n t e s

d e

i n f o r m a c i ó n .

• D e t e r m

i n a c i ó n

d e

l a f r e c u e n c i a r e l a

t i v a

c o n q u e s e

d a u n

d e t e r m

i n a d o e v e n t o

e n u n e x p e r i m e n t o a l e a t o r i o , c o

m o

l a

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t r e e l n

ú m e r o

d e v e c e s e n

q u e s e o

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d e v e c e s q u e s e r e a l i z

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• U s o

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l a f r e c u e n c i a r e l a

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.

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• A n á l i s i s d e

i n f o r m a c i ó n : u

t i l i z a n d

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d e n c i a c e n

t r a l , l a

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l a m e d

i a y

l a m e d

i a n a .




| 11 |





La guía para el profesor delTexto Matemática 7º, Proyecto Bicentenario, es un material creado por editorial Santillana comoapoyo al proceso de enseñanza-aprendizaje para el subsector de Matemática. Esta propuesta de guía incorpora materialconcreto de apoyo a la labor docente, a través de diversos elementos que se desarrollan en el interior de las páginas.

A continuación se describen los tipos de página que encontrará en cada unidad:

Organización de la guía

1. Páginas de inicio

Título de la unidad

Introducción de la unidadDescribe el propósito dela unidad.

2. Esquema de la unidadOrganizador gráfico que muestra losprincipales conceptos tratados en eldesarrollo de la unidad.

3. Sugerencias metodológicas

Información para el docenteEsta sección está destinada a entregar información anexaal docente, de manera de profundizar y complementar

la información dada en el texto del alumno.Actividades complementariasProporciona al docente actividades que pueden ser realizadas antes, durante o después del tratamiento decontenidos y que permiten profundizar o reforzar losconceptos principales abordados en las páginas del textodel estudiante.

Contenidos de la unidadListado de los contenidosdesarrollados en el textodel estudiante.CMOOFV

OFTTiempo estimado

TareaEn esta sección seproponen diversasactividades deprofundización para quelos estudiantes desarrollenlos temas trabajados.




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Sugerencias de evaluaciónPara las evaluaciones de cada unidad del texto del alumno,se presenta una tabla que organiza para cada ítem losindicadores, las preguntas que responden a cada indicador,los criterios de logro, remediales y actividades deprofundización.

Errores frecuentes o posibles dificultadesEsta sección presenta dos instancias de trabajo, una de ellases la relacionada con los errores más comunes en quesuelen incurrir los alumnos y alumnas, proponiendoestrategias para evitar y subsanar estos errores. Y la otra, esla relacionada con las posibles dificultades que los y lasestudiantes pueden presentar, donde para superarlas sepresentan remediales e indicaciones útiles.

4. Evaluaciones complementariasCada unidad presenta dos páginas destinadas a evaluar los contenidos de la unidad mediante preguntas deselección múltiple.

5. SolucionarioEntrega las respuestas de las evaluacionescomplementarias de la guía para el profesor.

6. BibliografíaEntrega una serie de recursos bibliográficos que lepermitirán ampliar el contenido de los temas tratadosen cada unidad del texto.

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1

I n t r o

d u c c i ó n

E n e s t a u n i d a d

l o s e s t u d i a n t e s a p r e n d e r á n e l c o n c e p t o

d e n ú m e r o

e n t e r o a p a r t i r

d e s i t u a c i o n e s c o

t i d i a n a s

e n q u e s e

u t i l i z a n n ú m e r o s p o s i t i v o s y

n e g a t i v o s .

P a r a l o g r a r e s t e o

b j e t i v o s e

t r a b a j a l a r e p r e s e n

t a c i ó n e n

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r e c t a n u m

é r i c a , e l

o r d e n ,

e l c o n c e p t o

d e v a l o r a b s o

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l a s o p e r a c i o n e s a r i t m

é t i c a s . D

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t e m o

d o s e

e s p e r a q u e

l o s a l u m n o s y a l u m n a s

l o g r e n r e s o

l v e r p r o

b l e m a s q u e n o p o

d í a n s e r r e s u e l t o s m e d

i a n t e e l u s o

d e l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s y e n

l o s q u e s e n e c e s i t a r e p r e s e n t a r c a n t

i d a d e s n e g a t i v a s .

D e s d e e s t a p e r s p e c t i v a ,

s e p r e s e n

t a n s i t u a c i o n e s e n c o n t e x t o s

c e r c a n o s ,

q u e r e p r e s e n t a n u n

d e s a f í o p a r a s u s

h a b i l i d a d e s c o g n i t i v a s

p u e s t r a s c i e n d e n a

l a s i m p l e m e m o r

i z a c i ó n

d e r e g l a s ,

e s p e c i a l m e n t e e n

l o r e f e r i d o a

l a o p e r a t o r i a c o n

n ú m e r o s p o s i t i v o s y n e g a t i v o s .

O F V

C M O

C O N T E N I D O S D E L A U N I D

A D

N ú m e r o s e n

t e r o s

• C o m p r e n d e r q u e

l o s n ú m e r o s e n t e r o s

c o n s t i t u y e n u n c o n j u n t o

n u m é r i c o e n e l

q u e e s p o s i b l e r e s o

l v e r p r o

b l e m a s q u e n o

t i e n e n s o

l u c i ó n c o n

l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s .

• I n t e r p r e t a r i n f o r m a c i ó n p r o p o r c i o n a d a

e m p l e a n d o n ú m e r o s e n

t e r o s ,

r e p r e s e n t a r l o s e n

l a r e c

t a n u m

é r i c a ,

e s t a b l e c e r r e l a c i o n e s

d e

o r d e n e n t r e e l l o s ,

e f e c t u a r a d i c i o n e s y s u s

t r a c c i o n e s

d e

n ú m e r o s e n t e r o s y a p l i c a r l a s e n

d i v e r s a s

s i t u a c i o n e s .

• E m p l e a r

f o r m a s s i m p l e s

d e m o

d e l a m i e n t o

m a t e m

á t i c o , a p l i c a r

h a b i l i d a d e s b á s i c a s d e l

p r o c e s o

d e r e s o

l u c i ó n d e p r o

b l e m a s e n

c o n t e x t o s

d i v e r s o s y s i g n i f i c a t i v o s p a r a e l

• N ú m e r o s p o s i t i v o s y n e g a t i v o s .

• N ú m e r o s e n t e r o s .

• O r d e n y r e p r e s e n t a c i ó n e n

l a r e c t a

n u m é r i c a .

• V a l o r a b s o

l u t o .

• A d i c i ó n

d e n ú m e r o s e n t e r o s .

• S u s t r a c c i ó n


• P r o b l e m a s

d e a d i c i ó n y s u s t r a c c

i ó n

d e

e n t e r o s .

• M u l t i p l i c a c i ó n


• D i v i s i ó n


C u a

d r o s i n ó p

t i c o

• C a r a c t e r i z a c i ó n

d e l o s n ú m e r o s e n t e r o s ,

y

d e l t i p o

d e p r o

b l e m a s q u e e s p o s i b l e

r e s o

l v e r c o n e l l o s .

• R e p r e s e n t a c i ó n

d e n ú m e r o s e n t e r o s e n

l a

r e c t a n u m

é r i c a y

d e t e r m i n a c i ó n

d e

r e l a c i o n e s

d e o r d e n e n t r e e

l l o s

c o n s i d e r a n d o c o m p a r a c i o n e s e n t r e

e n t e r o s n e g a t i v o s e n t r e s í y e n t r e e n t e r o s

p o s i t i v o s y n e g a t i v o s ,

u t i l i z a n d o l a

s i m

b o l o g í a c o r r e s p o n d i e n t e .

• I n t e r p r e t a c i ó n

d e l a s o p e r a c

i o n e s

d e

a d i c i ó n y s u s t r a c c i ó n

d e n ú m

e r o s e n t e r o s ,

e m p l e o

d e p r o c e d i m

i e n t o s d e c á l c u l o

d e

d i c h a s o p e r a c i o n e s y s u a p l i c a c i ó n e n

l a

r e s o

l u c i ó n

d e e j e r c i c i o s y p r o

b l e m a s .

U1 PAG 14-29 9/9/09 10:35 Page 15



| 15 |

O b j e t i v o s

f u n

d a m e n

t a l e s

t r a n s v e r s a

l e s

•

P r o m o v e r e l i n t e r é s y l a

c a p a c i d a d d e c o n o c e r

l a r e a l i d a d ,

u t i l i z a r e l c o n o c i m

i e n t o y s e l e c c i o n a r

l a i n f o r m a c i ó n r e l e v a n t e .

•

D e s a r r o

l l a r l a c a p a c i d a d

d e r e s o

l v e r p r o

b l e m a s ,

l a c r e a t i v i d a d y

l a s c a p a c i d a d e s

d e a u t o a p r e n d i z a j e .

•

D e s a r r o

l l a r l a a u t o n o m í a y r e s p o n s a b i l i d a d

i n d i v i d u a l f r e n t e a

t a r e a s y

t r a b a j o s .

•

D e s a r r o

l l a r e l p e n s a m i e n t o r e f l e x i v o y m e t ó

d i c o y

e l s e n t i d o d e c r í t i c a y a u t o c r í t i c a .

•

E j e r c i t a r l a h a b i l i d a d d e e x p r e s a r y c o m u n i c a r

l a s o p i n i o n e s ,

i d e a s , s e n t i m

i e n t o s y c o n v i c c i o n e s p r o p i a s ,

c o n c l a r i d a d y e f i c a c i a .

o l a e s t u d i a n t e u t i l i z a n d o


d e l n i v e l , y a n a l i z a r

l a v a l i d e z d e l o s

p r o c e d i m

i e n t o s u t i l i z a d o

s y

d e l o s


b t e n i d o s .

• R e s o

l u c i ó n

d e p r o

b l e m a s e n c o n t e x t o s

d i v e r s o s y s i g n i f i c a t i v o s e n l o

s q u e s e

u t i l i z a n a d i c i o n e s y s u s t r a c c i o n e s c o n

n ú m e r o s e n t e r o s ,

e n f a t i z a n d o e n a s p e c t o s

r e l a t i v o s a l a n á l i s i s

d e l a s e s

t r a t e g i a s d e

r e s o

l u c i ó n ,


d e l a v a l i d e z

d e

d i c h a s e s t r a t e g i a s e n r e l a c i ó n c o n

l a

p r e g u n t a ,

l o s

d a t o s y e l c o n t e x t o

d e l

p r o

b l e m a .

T i e m p o e s t i m

a d o

4 a

5 s e m a n a s .

O

b s e r v a c i o n e s

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Esquema de la unidad

NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS

Orden y representaciónen la recta numérica

Números enteros

Valor absoluto

Resolución de problemas

Operatoria

MultiplicaciónAdición DivisiónSustracción

Actividades complementarias• Comentar con los estudiantes situaciones en que se hace necesario extender el conjunto de

los números naturales a números que representen cantidades negativas, mostrar ejemplosde información donde aparezcan cantidades negativas y analizar el significado de estarepresentación en ese contexto. Otro ejemplo cotidiano que puede ser comentado con losalumnos(as) son los ascensores.Por último, analizar con los estudiantes algunos casos de la sustracción de números naturales,en los cuales, el minuendo es menor que el sustraendo, mencionando que este tipo desituaciones puede ser resuelta mediante el uso de números enteros.

Información para el docente• Al empezar está unidad se propone un proyecto grupal que tiene como objetivo que los

alumnos(as) se familiaricen con el uso de números negativos en diversos contextos, por ejemplo, en el concepto de profundidad. En este proyecto se pide que investiguen acercadel punto submarino más profundo del planeta (actividad 6), este lugar es llamado FosaChallenger o de las Marianas y se ubica en el Pacífico al sur de Japón, fue descubierto en1951 por la nave sonda Challenger y tiene una profundidad de 11.022 m.

PÁGINAS DE INICIO (Páginas 8 y 9)

Sugerencias metodológicas

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| 17 |

UNIDAD 1 | Números enteros

TareasPara mayor conocimiento de la historia de los números visita la página:http://edumate.files.wordpress.com/2007/01/numeros–enteros–origen–e–historia.pdf

Información para el docente• Es importante recordar las operaciones aritméticas con números naturales y el orden en la

recta numérica con estos números, para luego generalizarlas a los números positivos y negativos.

¿QUÉ RECUERDO? (Páginas 10 y 11)

Indicador Nº depregunta Respuesta Logrado

conRemediales/

sugerencias de profundización

Utilizar lasoperaciones connúmerosnaturales, pararesolver einterpretar situaciones.

1

2

3

4

5

$ 1.000

Recibe $ 250

$ 240

$ 1.800

No, faltan$ 300

3 / 5 • Realizar ejercicios en que los alumnos(as) ejercitenlas 4 operaciones con números naturales. Realizar sustracciones en que identifiquen cuáles sonposibles de resolver en los números naturales y cuales no.

• Realizar problemas cuya resolución implique operar con números naturales, ejercitando las

4 operaciones.

Construir einterpretar larecta numérica.

6 Ordencronológico:B, A, C, E, D.

1 / 1 • Ejercitar el orden de los números naturales en larecta numérica.

• Resolver problemas en que los alumnos debanordenar cantidades positivas de menor a mayor.

• Construir ejemplos de rectas numéricas endiferentes escalas y que ubiquen en ella númerosnaturales dados.

U1 PAG 14-29 9/9/09 10:35 Page 18




Información para el docente• Es importante hacer énfasis en que en el conjunto de los números enteros se cumplen, entre

otras, dos importantes propiedades: elinverso aditivoy elneutro aditivo, lo cual no ocurreen los números naturales. Los estudiantes deben reconocer estas propiedades y saber suimportancia dentro de la aritmética.

NÚMEROS ENTEROS (Páginas 14 y 15)

5 m

4 m

3 m

2 m

1 m

0 m

–1 m

–2 m

–3 m

–4 m

–5 m

NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS (Páginas 12 y 13)

Información para el docente• Es muy útil para los alumnos(as) entender el concepto de número positivo y negativo

gracias a los muchos modelos que existen en donde se utilizan estas cantidades, sinembargo, hay modelos que se ajustan mejor que otros a las propiedades matemáticas deeste conjunto numérico, y por lo tanto, el docente debe realizar las aclaracionescorrespondientes para que no se produzcan contradicciones o errores entre el modelodado como ejemplo y los fundamentos matemáticos. Por ejemplo, en el caso del modelo

de pisos de un edificio, se debe condicionar a que el cero corresponde a la primera planta,y en otros casos simplemente no se considera el cero.

Actividades complementarias• La siguiente actividad puede ser previa al trabajo con estas páginas.

Ubica los siguientes elementos en el dibujo:1. Un flotador que esté al nivel del mar.

2. Un buzo que esté 5 m bajo el nivel del mar.3. Un pez que esté a –3 m.4. Un pelícano que esté a 10 m sobre el buzo.5. Una caracola que esté a 6 m bajo el pelícano.6. Un submarino que esté a 2 m de la caracola.

A partir de lo anterior, responde.7. ¿A cuántos metros sobre el nivel del mar está

el pelícano?8. ¿A cuántos metros bajo el nivel del mar está la

caracola?9. ¿A cuántos metros bajo el nivel del mar está el

submarino?

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3 ºC –3 ºC –2 ºC 5 ºC –7 ºC 0 ºC

ºC, ºC, ºC, ºC, ºC, ºC

| 19 |


Actividades complementarias

De acuerdo a las propiedades que se cumplen en el conjunto de los números enteros,responde las siguientes preguntas:

1. ¿Cuántos números enteros se pueden intercalar entre (–5) y 5?2. ¿Qué número sumado con (–5) resulta 0?3. ¿Cuál es el inverso aditivo de 0?4. Sia es un número negativo, ¿cómo representamos el número que sumado cona resulta 0?

TareasEl Aconcagua es el cerro más alto de la cordillera de los Andes con una altura de 6.959 msobre el nivel del mar. Por otra parte, la fosa de Atacama tiene una profundidad aproximadade 8.000 m. Responde.

5. Cuál es la distancia entre la cima del Aconcagua y la profundidad de la fosa de Atacama?6. Supón que el Aconcagua estuviera apoyando su base sobre la fosa de Atacama. ¿Aparecería

la cumbre sobre el nivel del mar? ¿A qué distancia del nivel del mar quedaría la cumbre?7. Averigua cuál es la cumbre más alta de Chile y compárala con el Aconcagua.

ORDEN Y REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA (Páginas 16 y 17)

Información para el docente• El ejemplo relacionado con los años antes de Cristo y después de Cristo es muy usado para

explicar la representación de números enteros en la recta numérica, sin embargo, hay queaclarar a los estudiantes que el año cero que correspondería al cero de la recta numérica

no existe como tal en nuestro calendario, en el cual el año 1 a. C. precede al año 1 d. C.,es decir, desde el año 1 a. C. al 1 d. C. ha transcurrido solo un año.

Errores frecuentes o posibles dificultades• Es muy común que los alumnos(as) identifiquen el antecesor de un número negativo como

el antecesor del valor absoluto del número y le agregan el signo –, por ejemplo,erróneamente señalan que el antecesor de –7 es –6 y no –8 que es lo correcto. Lo mismoocurre con el sucesor. Para evitar este error, el uso de la recta numérica es indispensable,

ya que para el alumno(a) será más fácil identificar cuál es el antecesor y sucesor de unamanera gráfica.

Actividades complementariasOrdena las siguientes temperaturas desde la más baja hasta la más alta.

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Información para el docente• Es importante señalar a los alumnos(as) que en situaciones cotidianas, los números negativos

no tienen ningún sentido si no se ocupan como representación y ligados a un contexto

determinado, como por ejemplo, de profundidad, de deudas o de temperatura bajo cero.

Actividades complementarias• Plantear a los alumnos(as) la siguiente situación:

El recorrido de un caracol al subir una muralla es el siguiente: sube 3 metros y baja 2metros. Si la muralla tiene 10 metros de altura ¿cuánto recorre el caracol para llegar a lacima de la muralla?1. Expresa la suma de las distancias recorridas con números enteros.

2. Expresa la suma de las distancias con valores absolutos y calcula el recorrido total delcaracol.

• Para profundizar este contenido se pueden realizar los siguientes tipos de ejercicios.

Completa, en cada caso, con el signo >, = ó < según corresponda.

3. –| –1 | –| 1 |

4. | – 1 | | 1 |5. –| –1 | –1

Errores frecuentes o posibles dificultades• Para los alumnos es difícil entender que existan dos números distintos, que tengan el mismo

valor en su valor absoluto. Una manera simple de justificar y fácil de entender es mostrandoen una recta numérica que tanto –3 como 3 (u otros valores) tienen la misma distancia alcero y por lo tanto el mismo valor absoluto.

VALOR ABSOLUTO (Páginas 18 y 19)

Antecesor Número Sucesor0

–13

2

12

–19

–30

Completa la tabla.

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| 21 |


¿CÓMO VOY?(Páginas 20 y 21)


conRemediales/


Interpretar números enterosen contextoscotidianos.

1

2

C

B

1 / 2 • Realizar actividades en que los alumnos(as) busquenejemplos cotidianos donde sea necesario utilizar losnúmeros enteros, por ejemplo buscar en diarios oen internet.

• Realizar actividades en que los alumnos investiguenacerca de los números enteros en la contabilidad y comparen la notación utilizada en este contextocon la de otros modelos.

Representar números enterosen una rectanumérica y establecer relaciones deorden entre ellos.

3

4

5

B

A

C

2 / 3 • Realizar actividades en que los alumnos(as) ordenennúmeros enteros en la recta numérica, de menor amayor y viceversa. También ejercitar el concepto deantecesor y sucesor en los números enteros usandola recta numérica.

• Realizar actividades en que los alumnos ordenennúmeros enteros en situaciones problemáticas, por ejemplo usando puntos a favor o en contra.

Aplicar el

concepto devalor absoluto y de inversoaditivo de unnúmero entero.

6

7

8

D

D

Debería subir el anzuelo.

2 / 3 • Realizar ejercicios en que los alumnos(as)

identifiquen el valor absoluto de un número enteroy su inverso aditivo.• Para profundizar, realizar ejercicios en que se

mezclen ambos conceptos, por ejemplo, el inversoaditivo del valor absoluto dea, el valor absoluto delinverso aditivo dea, etc.

Información para el docente• La adición de números enteros, sobre todo de números de distinto signo no es algo natural

para los alumnos(as). Aunque logran aprender las reglas de los signos, pueden surgir ciertas

ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (Páginas 22 y 23)

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dificultades o confusiones en ciertos casos. El utilizar la recta numérica para representar laadición es una buena opción porque gráficamente aclara la regla de los signos, pero hay que

tener cuidado en fundamentarlas correctamente; el caso de la adición de un número positivoimplica siempre un avance, pero si se está sumando un número negativo, se cambia dedirección, lo que se traduce en un retroceso.

Errores frecuentes o posibles dificultades• En el caso de la adición de números de distinto signo, los alumnos(as) restar ambos

números pero se equivocan frecuentemente en el signo del resultado. El docente deberemediar estos errores realizando diferentes actividades para que logren practicar elalgoritmo, utilizando la recta numérica, o bien, algún contexto, por ejemplo, situaciones dedeudas y haberes, que sirven para que los alumnos, que aún no manejen la regla de signos,logren identificar el signo del resultado de una adición.

Actividades complementarias• Trabajar con los alumnos(as) las propiedades de clausura, asociatividad y conmutatividad,

de manera particular, en los números enteros, de modo que mejoren su comprensión dela estructura de este ámbito numérico.

• Para profundizar este contenido se pueden realizar los siguientes tipos de ejercicios:

Completa con los signos =, < ó >, según corresponda.

1. –2 + 3 | –2 + 3 |

2. | –2 | + 3 | –2 + 3 |

3. –2 + 3 | –2 | + 3

4. 2 + –3 | 2 + –3 |

Información para el docente• Para introducir la sustracción de números enteros, comentar con los alumnos(as) situaciones

cotidianas donde es necesario calcular la diferencia entre números positivos y negativos, por ejemplo, la oscilación térmica, distancias entre altura y profundidad, saldos a favor y encontra, etc. Al realizar este tipo de ejercicios, los estudiantes calcularán sin dificultad elresultado de la sustracción, por lo que será más fácil justificar el procedimiento a seguir,incluso los mismos alumnos(as), guiados(as) por el docente podrán deducir el algoritmo.

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (Páginas 24 y 25)

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| 23 |


Errores frecuentes o posibles dificultades

• Para que los estudiantes logren resolver sustracciones de números enteros de maneracorrecta, es necesario que manejen el concepto de inverso aditivo. Se le sugiere repasar y profundizar este concepto antes de realizar este tipo de sustracciones. Al margen de lapágina 24, aparece una ayuda para recordar qué es el inverso aditivo de un número.

Actividades complementarias• Para reforzar el algoritmo de la sustracción, se propone realizar la siguiente actividad.

Completa la tabla.

a b c a – b b – a b – c c – b a – c

–2 3 4

5 –2 6

–3 –4 7

3 –1 –5

PROBLEMAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE ENTEROS (Páginas 26 y 27)

Errores frecuentes o posibles dificultades• Los alumnos(as) aprendieron a calcular sustracciones “transformándolas” en adiciones

utilizando el inverso aditivo, pero al resolver problemas, es posible que se confundan y nologren reconocer cuándo se debe restar dos cantidades y cuándo se debe sumar. El

docente debe hacer énfasis en que al traducir el problema a las operaciones matemáticasse identifiquen correctamente las sustracciones y las adiciones y luego se realicen las

transformaciones correspondientes para encontrar el resultado.

Información para el docente• Cuando los estudiantes resuelvan problemas donde se combinen adiciones y sustracciones

de números enteros, se les puede sugerir, que agrupen los números positivos y losnegativos por separado y los sumen, respectivamente, luego resten los dos resultados,

según corresponda.

TareasRepresentar en la recta numérica las siguientes operaciones.

1. –2 + 5 – (–4)

2. 20 + (–3 – 5) + –3 – (–2)

3. 10 – (–3) – 4 – (3 – 4)

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MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (Páginas 28 y 29)

Información para el docente• Es importante justificar a los alumnos(as) porqué la división de números enteros tiene la

misma regla de los signos que la multiplicación, simplemente recordando que una es laoperación inversa de la otra, el docente debe mostrarles que la división se puede expresar como una multiplicación utilizando el inverso multiplicativo del divisor. Lo más probable esque sea necesario y útil, para un mejor entendimiento de los alumnos(as), recordar ladivisión de fracciones.

• En el caso de realizar ejercicios combinados, recordarles que aquí también se cumple la mismaprioridad de las operaciones que en los conjuntos numéricos estudiados en años anteriores.

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (Páginas 30 y 31)

x –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

5

x –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

5 0 5 10 15 20 25 30

Errores frecuentes o posibles dificultades• La multiplicación de números enteros reside su dificultad en la regla de los signos, está se

acrecienta ya que en ningún modelo anteriormente utilizado es posible representar lamultiplicación y justificar la regla de los signos. Los alumnos(as) comúnmente creen que elproducto de dos factores es mayor que cada uno de los factores, lo cual no necesariamenteocurre en el caso de los números enteros, para corregir esta idea, el docente puederecurrir, de manera previa, a ejemplos de productos de números decimales o fracciones en

que esto tampoco se cumple.Actividades complementarias• Para ayudar a los alumnos(as) a deducir la regla de los signos para la multiplicación de

números enteros, se propone realizar los siguientes ejercicios.

Completa los casilleros pintados con el producto que corresponda a cada caso.

Completa los casilleros en blanco con los productos que faltan siguiendo el orden en larecta numérica.

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EJERCICIOS RESUELTOS (Páginas 32 y 33)

Actividades complementariasResuelve lo siguiente.Pedro, al ir del colegio a su casa, decidió jugando, que por cada 6 pasos que caminara, iba aretroceder 2, a lo cual llamó “una jugada”. Suponiendo que cada paso mide lo mismo:130 cm, ¿cuánto avanza si lleva 5 jugadas? ¿Cuál es la distancia entre el colegio y su casa, sipara llegar de una a otro debe realizar 120 jugadas?

Información para el docente• El matemático George Polya, en sus últimos años, invirtió un esfuerzo considerable en

intentar caracterizar los métodos generales que usa la gente para resolver problemas, y para describir cómo debería enseñarse y aprender la manera de resolver problemas. En unplan de cuatro pasos, Polya sintetiza su visión acerca del actuar al resolver problemas:

- comprender el problema- crear un plan- ponerlo en práctica y- examinar lo hecho

El docente puede poner en práctica estos 4 pasos al resolver problemas con susalumnos(as) e invitarlos a conocer más sobre este matemático y sus aportes.

Actividades complementariasUn buzo bajó 24 metros en 4 horas a una velocidad constante.1. ¿Cuántos metros bajó en cada hora?2. Al transcurrir 3 horas, ¿a cuántos metros del nivel del mar estaba el buzo?

Felipe, pide su estado de cuenta en un cajero automático, en él se indica que debe $ 96.000 desu línea de crédito. Se sabe que en los últimos 4 días retiró la misma cantidad de dinero y no serealizaron otros movimientos en su cuenta.3. ¿Cuánto dinero retiró cada día?4. Al tercer día, ¿cuánto dinero había ocupado de su línea de crédito?

• En el caso en que la división de números enteros no sea exacta, el docente puede aprovechar esta oportunidad para introducir decimales y fraccionales negativas para posteriormente ampliar los números enteros a los números racionales.

ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS (Páginas 34 y 35)

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Información para el docente• Revisar con los estudiantes el proyecto presentado al principio de la unidad. Comentar y

reflexionar con ellos acerca de la importancia de los números negativos en nuestra vidacotidiana. Enfrentar a los alumnos(as) a situaciones en que deban reflexionar y proponer soluciones a partir de lo estudiado en la unidad, por ejemplo, preguntarles qué simbologíautilizarían para representar los números negativos si no existiera el signo menos.

TRABAJO CON LA INFORMACIÓN Y SÍNTESIS (Páginas 36 y 37)

Información para el docente• La prueba internacional TIMSS, evalúa las siguientes habilidades: conocimiento, uso de

procedimientos de rutina, uso de procedimientos complejos, investigación y resolución deproblemas, comunicación y razonamiento. El docente puede guiarse por lo anterior y realizar ejercicios con los alumnos(as) para evaluar cada una de estas habilidades. También puedeorganizar las preguntas de sus pruebas y controles en función de estos objetivos para que

los alumnos(as) se vean enfrentados a este tipo de medición o bien como preparación a laprueba SIMCE.

PREGUNTAS TIPO SIMCE (Páginas 38 y 39)

Actividades complementariasEscribe la expresión numérica que corresponda en cada caso y resuelve.

1. A 13 le restas el cociente entre –22 y –11 y le sumas 15.2. Al cuádruple de 9 le restas el producto entre 7 y –7.3. Al triple de –7 le sumas el cuádruple de 8.4. A –25 le restas el triple de –10.

¿QUÉ APRENDÍ? (Páginas 40 a 42)

CÓMO ME FUE (Páginas 42)

IndicadorNº de

pregunta RespuestaLogrado

conRemediales/


Caracterizar números enterosy reconocer situaciones en lasque se puedenutilizar o requerir.

1

2

3

B

D

C

2 / 3 • Realizar ejercicios en que los alumnos(as) identifiquennúmeros enteros en situaciones de la vida cotidiana y los representen en su notación matemática.

• Realizar ejercicios en los cuales dado un númeroentero inventen una situación cotidiana donde seapertinente la utilización del número mencionado.

U1 PAG 14-29 9/9/09 10:35 Page 27



| 27 |


Representar números enterosen la rectanumérica y establecer relaciones deorden.Utilizar conceptos como

valor absoluto einverso aditivode un número.

4

5

11

12

15

B

A

–3 y 3

4

Verdadero

3 / 5 • Realizar ejercicios en que deban ordenar númerosenteros y ubicarlos en la recta numérica. Tambiénreconocer el valor absoluto de un número y elinverso aditivo utilizando la recta numérica.

• Resolver ejercicios con los alumnos(as) en quecomparen valores absolutos e inversos aditivos denúmeros por separado y mezclando ambosconceptos.

Aplicar lasoperaciones deadición y sustracción connúmeros enterosrelacionándolascon situaciones enlas que se utilizan.

6

7

10

13

C

A

C

2.100 ºC

2 / 4 • Realizar ejercicios con los alumnos en que resuelvanproblemas contextualizados que involucrenadiciones y sustracciones por separado. Tambiénrealizar ejercicios numéricos combinando ambasoperaciones.

• Resolver problemas contextualizados en que debancalcular adiciones y sustracciones combinadas.

Calcular y utilizar multiplicaciones y divisiones connúmeros enteros.

8

9

14

B

C

1.750 ºC

2 / 3 • Realizar ejercicios numéricos en que los alumnos(as)resuelvan multiplicaciones y divisiones por separado.

• Resolver problemas contextualizados en que debancalcular multiplicaciones y divisiones combinadas.

Actividades complementarias• Separar en grupos el curso y asignar a cada grupo un modelo en donde se utilice números

enteros (temperatura sobre 0 y bajo 0, años a. C. y d. C., altura y profundidad, pisos y subterráneo, deuda o haber, etc.) y plantéeles que inventen un problema que pueda ser resuelto mediante la siguiente secuencia de operaciones [(34 – 12) : 11] · 3. Luego, quecada grupo presente el problema inventado y en conjunto lo resuelvan e interpreten elresultado obtenido.

EJERCICIOS DE REFUERZO Y PROFUNDIZACIÓN (Páginas 44 y 45)

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1. Un avión vuela a 460 m de altura sobre el nivel delmar y un pez se encuentra a 18 m de profundidad.¿Cómo se pueden representar ambas distancias?

A. –460 y –18B. 460 y 18C. 460 y –18D. –460 y 18

2. En un día la temperatura mínima fue de 10 ºC bajocero y la máxima de 2 ºC bajo cero. ¿En cuántosgrados varió la temperatura?

A. 2 ºCB. 8 ºCC. 10 ºCD. 12 ºC

3. ¿Cuál de las siguientes alternativas siempre es

verdadera?A. Todo número positivo es menor que un número

negativo.B. Todo número negativo es menor que un número

positivo.C. El cero es mayor que todo número positivo.D. El cero es menor que todo número negativo.

4. ¿Cuál de las siguientes temperaturas es mayorque –2 ºC?

A. –5 ºCB. –4 ºCC. –3 ºCD. –1 ºC

5. El valor de | –5 | es:

A. –5B. 0

C. 5D. 10

6. ¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera?

A. –2 < –3

B. –2 < 3C. 2 < –3D. –2 > 3

7. ¿Qué grupo está ordenado de mayora menor?

A. –989, –998, –1.100, –1.010, –1.001B. –998, –989, –1.001, –1.010, –1.100C. –989, –998, –1.001, –1.010, –1.100D. –1.100, –1.010, –1.001, –998, –989

8. El antecesor y sucesor de –7 son, respectivamente:

A. –8 y –6B. –6 y –8C. 6 y 8D. –8 y 6

Evaluación de la unidad Material fotocopiable

NOMBRE: CURSO: FECHA:

Marca la alternativa correcta en las siguientes preguntas.

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9. Una cuenta de ahorro tiene un saldo en contra de

$ 20.000. ¿Cuánto se debe depositar para que elmonto de la cuenta sea de $ 20.000 a favor?

A. $ 10.000B. $ 20.000C. $ 30.000D. $ 40.000

10. El valor de –7 + 4 + 10 – 6 – 4 es:

A. –3B. 3C. –11D. 11

11. ¿A cuál alternativa no equivale la operación –3 – (–9)?

A. 6B. 9 – 3C. 9 + (–3)D. –9 – 3

12. Pitágoras nació en el año 580 a. C. y Sócrates nacióel año 469 a. C. ¿Cuántos años hubiese cumplidoPitágoras el año en que nació Sócrates?

A. 69 años.B. 110 años.C. 111 años.D. 114 años.

13. Felipe se encuentra en el piso 5 y debe ir al

estacionamiento que se encuentra en el piso –2.¿Cuántos pisos recorrerá Felipe? (Considera quela planta baja corresponde al piso 0).

A. 3B. 7C. –3D. –7

14. Cada vez que se ingresa un número a una unidadprocesadora como la que se muestra a continuación,que realiza 3 operaciones, se obtiene un númerode salida.¿Qué número de salida se obtiene al ingresar –10?

Entrada D T M Salida

D = Duplica, T = Triplica y M = Valor absolutoA. –60B. 10C. 20D. 60

15. ¿Cuál es el número que dividido por (–5) es igual a 10?A. –50B. –2C. 2D. 50

16. La temperatura de la mañana fue 2 ºC bajo cero y ascendió 2 ºC por cada 30 minutos. Al cabo de4 horas, ¿qué temperatura se registró?

A. –18 ºCB. –14 ºCC. 14 ºCD. 18 ºC

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2

I n t r o

d u c c i ó n

E n e s t a u n

i d a d

l o s y

l a s e s t u

d i a n

t e s

a p r e n

d e r á n e

l c o n c e p

t o d e

v a r i a c i ó n p r o p o r c i o n a l d

i r e c t a e

i n v e r s a .

M e d

i a n t e

l a s a c t i v

i d a d e s p r o p u e s t a s p o

d r á n

d i s t i n g u

i r ,

e n

d i f e r e n t e s s i t u a c i o n e s ,

m a g n

i t u d e s o v a r i a

b l e s q u e

s e r e l a c i o n e n p r o p o r c i o n a l m e n

t e . E s

i m p o r t a n

t e q u e

l o g r e n r e c o n o c e r

l a s m a g n

i t u d e s c o m o v a r i a

b l e s e

i d e n

t i f i q u e n e l t i p o

d e p r o p o r c i ó n q u e

l a s r e l a c i o n a n .

T a m

b i é n

d e b e r á n r e

l a c i o n a r c a d a

t i p o d e p r o p o r c i ó n

c o n s u r e s p e c t i v o g r á f i c o .

L o s a l u m n o s ( a s ) e s t u

d i a r á n u n

t i p o p a r t i c u

l a r

d e p r o p o r c i o n a l i d a d

d i r e c t a : e

l

p o r c e n t a

j e y s u s a p

l i c a c i o n e s ,

r e s o l v

i e n

d o s i t u a c i o n e s c o

t i d i a n a s ,

o b i e n ,

r e l a c i o n a d a s a l c o m e r c i o y o

t r o s

á m b i t o s .

Y p o r

ú l t i m o a p

l i c a r á n

l a p r o p o r c i o n a l i d a d e n o

t r o s

á m b i t o s ,

c o m o p o r e

j e m p

l o , e n

e s c a l a

d e m a p a s

y p

l a n o s .

O F V

C M O

C O N T E N I D O S D E L A U N I D A D

V a r i a c i o n e s p r o p o r c i o n a

l e s

• I d e n

t i f i c a r m a g n

i t u d e s q u e v a r í a n e n

f o r m a

p r o p o r c i o n a l y e m p

l e a r p r o p o r c i o n e s p a r a

r e p r e s e n

t a r y r e s o

l v e r s i t u a c i o n e s

d e

v a r i a c i ó n p r o p o r c i o n a l .

• E m p

l e a r

f o r m a s s i m p l e s

d e m o

d e l a m

i e n

t o

m a t e m

á t i c o ,

a p l i c a r

h a b i l i d a d e s

b á s i c a s

d e l

p r o c e s o

d e r e s o

l u c i ó n

d e p r o

b l e m a s e n

c o n

t e x t o s

d i v e r s o s y s

i g n

i f i c a t i v o s p a r a e

l

o l a e s t u

d i a n

t e u

t i l i z a n

d o

l o s c o n

t e n

i d o s

d e l n

i v e

l , y a n a l i z a r

l a v a l i d e z

d e

l o s

p r o c e

d i m i e n

t o s u

t i l i z a d o s y

d e

l o s

r e s u

l t a d o s o

b t e n

i d o s .

• P r o p o r c i o n e s .

• V a r i a c i o n e s p r o p o r c i o n a l e s y n o

p r o p o r c i o n a l e s .

• P r o p o r c i o n a l i d a d

d i r e c t a .

• G r á f

i c o


d i r e c t a .

• P r o p o r c i o n a l i d a d

i n v e r s a .

• G r á f

i c o


i n v e r s a .

• P o r c e n

t a j e s .

• A p l i c a c i o n e s

d e

l a s p r o p o r c i o n e s .

• A p l i c a c i ó n

d e

l o s p o r c e n

t a j e s .

C u a

d r o s i n ó p

t i c o

• E m p

l e o

d e p r o c e

d i m i e n

t o s

p a r a

i d e n

t i f i c a r

m a g n

i t u d e s q u e v a r í a n e n

f o r m a

p r o p o r c i o n a l ,

i n t e r p r e

t a c i ó n

d e u n a

p r o p o r c i ó n c o m o u n a

i g u a

l d a d e n

t r e

d o s

r a z o n e s c u a n

d o

l a s m a g n i t u

d e s

i n v o

l u c r a d a s v a r í a n e n

f o r m

a p r o p o r c i o n a l ,

y s u a p

l i c a c i ó n e n

d i v e r s a s s i t u a c i o n e s .

• R e s o

l u c i ó n

d e p r o

b l e m a s e n c o n

t e x t o s

d i v e r s o s e n

l o s q u e s e u

t i l i z a n

p r o p o r c i o n e s ,

e n

f a t i z a n

d o e n a s p e c t o s

r e l a t i v o s a l a n

á l i s i s d e

l a s e s t r a t e g i a s

d e

r e s o

l u c i ó n ,


d e

l a v a l i d e z

d e

d i c h a s e s t r a t e g i a s e n r e l a c i

ó n c o n

l a

p r e g u n

t a ,

l o s

d a t o s y e

l c o n

t e x t o

d e

l

p r o

b l e m a .

U2 PAG 30-45 9/9/09 10:37 Page 31



| 31 |

O b j e t i v o s

f u n

d a m e n

t a l e s

t r a n s v e r s a

l e s

• P r o m o v e r e l

i n t e r é s y

l a c a p a c i d a d

d e c o n o c e r l a

r e a l i d a d ,

u t i l i z a r e

l c o n o c i m

i e n

t o y s e l e c c i o n a r

l a i n f o

r m a c i ó n r e

l e v a n

t e .

• R e s p e t a r y v a l o r a r

l a s i

d e a s y c r e e n c i a s

d i s t i n t a s d e

l a s p r o p

i a s .

• D e s a r r o

l l a r

l a c a p a c i d a

d d e r e s o

l v e r p r o

b l e m a s , l a c r e a t i v

i d a d y

l a s c a p a c i d a

d e s

d e a u

t o a p r e n

d i z a j e .

• D e s a r r o

l l a r

l a a u

t o n o m

í a y r e s p o n s a b

i l i d a d

i n d i v i d u a l

f r e n

t e a

t a r e a s y

t r a b a

j o s .

• D e s a r r o

l l a r e l p e n s a m i e n

t o r e f l e x i v o y m e t ó

d i c o y e

l s e n

t i d o

d e c r í t i c a y a u

t o c r í t i c a .

• E j e r c i t a r

l a h a b

i l i d a d

d e

e x p r e s a r y c o m u n

i c a r

l a s o p

i n i o n e s ,

i d e a s ,

s e n

t i m i e n t o s ,

y c o n v i c c i o n e s p r o p i a s ,

c o n c l a r i d a d y e f i c

i e n c i a .

T i e m p o e s t i m a

d o

9

a 1 0 s e m a n a s .

O b s e r v a c i o n e s

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VARIACIONES PROPORCIONALES

Información para el docente• Al empezar esta unidad se propone un pequeño proyecto grupal que tiene como objetivo

que los alumnos y alumnas se familiaricen con el concepto de variación proporcional conuna variable muy mencionada en estos tiempos como lo es la energía eléctrica.

• La segunda pregunta del proyecto requiere que el o la alumno(a) compare dos cantidades,invitarlo(a) a que utilice diferentes operaciones para comparar, por ejemplo, a través de lasustracción, comentar si es adecuada, y a través de la división, explicando sus ventajas,

también mencionar que a pesar de que se podría afirmar que a mayor población mayor consumo eléctrico, este aumento debiera ser constante y Perú contradice la conclusión, por lo tanto no podríamos hablar de variaciones proporcionales para el caso del consumoeléctrico y la cantidad de habitantes de un país.

• Para complementar la tercera pregunta mencione a sus alumnos y alumnas que Chile utilizaagua como el principal recurso para producir energía eléctrica, seguido del carbón y el gas(para mayor información puede visitar la página http://www.cdec-sic.cl/index_es.php).



Relaciones noproporcionales

Proporcionalidadinversa

Relacionesproporcionales

Proporcionalidaddirecta

Razones

Porcentajes

Aplicacionesde los porcentajes

Aplicaciones delas proporciones

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UNIDAD 2 | Variaciones proporcionales

Información para el docente• Recordar a los alumnos y alumnos que existen diferentes maneras de comparar dos

cantidades, y una de ellas es a través del cociente, lo que da origen al concepto de razón.Se recomienda aclarar que una razón no es una fracción, pero si comparten ciertaspropiedades, mencionando que una razón relaciona parte a parte, comparando cantidadesde la misma magnitud o de magnitudes diferentes.

Errores frecuentes o posibles dificultades• Es complejo para los alumnos asimilar el concepto de variación proporcional, porque deben

comprender a cabalidad el concepto de variable, lo que muchas veces produce dificultades.Por lo tanto, es importante darles ejemplos cotidianos de magnitudes que varíanproporcionalmente, el dinero, por ejemplo, es un buen modelo para usar como unamagnitud que al relacionarla con el costo de algún producto se pueda mostrar una variaciónproporcional que aumenta, así este mismo modelo se puede utilizar con otra magnitud paramostrar una variación proporcional que disminuye.


IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon

Remediales/sugerencias de profundización

Interpretar unarazón comocomparaciónpor cociente.

1

2

3

4

5

6

3 / 6 • Ejercitar con los alumnos y alumnas el concepto derazones equivalentes y el cálculo del valor de unarazón. Para ayudarles a comprender puedenrelacionarse con el concepto de fracciones

equivalentes.• Dar ejemplos contextualizados de dos magnitudes

que se comparen por medio de una razón, y conocida una de las magnitudes y el valor de larazón, pedir que encuentren la otra magnitud. Esimportante que se muestren valores en aumento y disminución para resaltar que el valor de la razón esconstante.

• Estados Unidos y China utilizan diferentes recursos para generar electricidad, al igual queChile, utilizan centrales hidroeléctricas y centrales termoeléctricas, pero también centralesnucleares, plantas geotérmicas, eólicas y, hace muy poco tiempo, plantas mareo eléctricas(este recurso no es utilizado por China).

• A partir de la información anterior, los estudiantes podrán deducir qué recursos pueden ser utilizados por nuestro país sin que signifiquen un gran impacto para nuestro medio ambiente.

142

810

1004

100300

251

1435

Todas

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Interpretar porcentajescomo razónentre doscantidades.

7

8

9

10

25

43,46

110,4

5,2

2 / 4 • Recordar a los alumnos y alumnas que unporcentaje es una razón cuyo consecuente essiempre 100. Repasar ejercicios en que calculenfracciones de una cantidad. Luego realizar ejerciciosen donde deban calcular un porcentaje de unacantidad dada, guiando a los y las alumnos(as) a queprimero transformen el porcentaje a razón y luegomultipliquen esta razón por la cantidad recordandoque se realiza de la misma manera que con las

fracciones.• Ejercitar con los alumnos y alumnas el cálculo

mental de cualquier porcentaje a partir de aquellosque son sencillos de calcular (10%, 5%, 50%, etc.).

Expresar unporcentajecomo fracción o

número decimal.13

14

15

16

2 / 4 • Realizar ejercicios de siguiente tipo:

- Dadas distintas fracciones, amplificar hastaobtener denominador 100 y luego transformar aporcentaje.

- Mostrar fracciones donde el denominador nosea divisor de 100, transformar a porcentaje(Aquí, sugerir al alumno o alumna transformar adecimal y multiplicar por 100).

- Mostrar fracciones o decimales infinitos(periódicos y semiperiódicos) y pedir que los

transformen a porcentaje.

Estos ejercicios pueden servir tanto para remediar como para profundizar, dependerá de la ayudaproporcionada por el docente, y de la dificultad de losvalores utilizados.

50%;

; es la

mitad.

12

50100

25%;

; es la

cuarta parte.

1

4

25100

10%;

; es la

décima parte.

110

10100

20%;

; es la

quinta parte.

15

20100


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| 35 |


Interpretar información realen dondeaparecenporcentajes.

17

18

19

20; quinta

90

25

2 / 3 • Es importante que los alumnos y alumnas puedancalcular complementos de porcentajes, tantoexpresados como porcentajes, como en fraccioneso decimales. Realizar ejercicios de este tipomezclando porcentajes expresados en fracción odecimal. Para los alumnos(as) aventajados utilizar porcentajes y fracciones poco usuales. Para alumnosmenos aventajados usar porcentajes y fraccionesconocidas (50%, 25%, 10%, , , , etc.)3

4

1

4

1

2

Resolver problemas endonde aparecenporcentajes.

11

12

El A

El B

1 / 2 • Analizar con los y las estudiantes que el porcentajede una cantidad varía proporcionalmente a esta, esdecir, si se calcula un mismo porcentaje a doscantidades será mayor aquel cuya cantidad iniciales mayor.

• Realizar con los alumnos(as) ejercicios en que

calculen porcentajes sucesivos y mostrarles que alcalcular el a% de una cantidad y luego el b% delresto, no es lo mismo que calcular el (a + B% de lacantidad original).

Información para el docente• Es importante aclarar a los y las estudiantes que dos razones equivalentes forman una

proporción. Es recomendable hablar de la constante de proporcionalidad como el valor constante en las razones que forman la proporción. Esto será útil al resolver ejercicios en loscuales existan más de dos razones.

Actividades complementarias• Para profundizar el contenido de estas páginas, se pueden realizar ejercicios en donde sepida encontrar ciertos valores a partir de razones sucesivas, por ejemplo: “Los ángulosinteriores de un pentágono irregular están en la razón 1 : 2 : 1,5 : 3 : 0,5 , ¿cuál es la medidade cada ángulo?”

• También se puede ejercitar el concepto de proporcionalidad realizando ejercicios en dondese dé una razón determinada y se pida encontrar otras que formen una proporción con laoriginal.

PROPORCIONES (Páginas 50 y 51)

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Información para el docente• Para los ejercicios en que es conocida una de las razones y además se conoce la suma o la

resta de las cantidades que forman la otra razón (por ejemplo, los ejercicios 9 y 10), es útilque los alumnos(as) conozcan las propiedades de las proporciones que facilitarán laresolución de ese tipo de problemas. Estas son:

- Composición de proporciones:Si a : b = c : d entonces, = , o bien = .

- Descomposición de proporciones:

Si a : b = c : d entonces, = , o bien = .

- Es importante que los y las alumnos(as) comprueben estas propiedades, para lo cualpueden reemplazar los valores, a partir de dos razones que sepan de antemano queforman una proporción.

c – d

d

a – b

b

c – d

c

a – b

a

c + dd

a + bb

c + dc

a + ba

Información para el docente• Es importante que los y las estudiantes comprendan a cabalidad que dos magnitudes pueden

relacionarse de diferentes maneras, puede mostrarles ejemplos en que a dos magnitudes seagregue o se disminuya una cantidad constante. Preguntar a los alumnos(as) ¿estasmagnitudes varían constantemente?, la gran mayoría contestará que sí, luego preguntar a losalumnos ¿cómo están comparando, por medio de que operación?, algunos mencionarán por medio de la sustracción, por lo tanto, pedir a los alumnos(as) que comparen a través delcociente. Al realizar esto se darán cuenta que la razón no es constante, por lo que eldocente debe hacer énfasis en que la variación de las magnitudes no es proporcional y queesta es la condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes varíenproporcionalmente

Actividades complementariasDiscutir con los y las alumnos(as) en cuáles de los siguientes problemas las magnitudesvarían proporcionalmente:1. Al comprar 3 kg de pan, Esteban paga $ 750, y al comprar 5 kg paga $ 1.250.

2. Javier manda una cadena de e-mails a 5 compañeros y cada uno de ellos a su vez mandaeste e-mail a 5 amigos más y así sucesivamente.

3. Dos amigos se toman una bebida de 2 litros en una hora, en cambio, seis amigos se tomanesta misma cantidad en media hora.

TareaPedir a los y las estudiantes que busquen ejemplos de magnitudes que varíenproporcionalmente y no proporcionalmente, determinando la razón constante en loscasos que corresponda.

VARIACIONES PROPORCIONALES Y NO PROPORCIONALES (Páginas 52 y 53)


U2 PAG 30-45 9/9/09 10:37 Page 37



| 37 |

| p p

PROPORCIÓN DIRECTA (Páginas 54 a 57)

Magnitud 1 Valor 1 de magnitud 1 Valor 2 de magnitud 1 Valor 3 de magnitud 1 Etc.

Magnitud 2 Valor 1 de magnitud 2 Valor 2 de magnitud 2 Valor 3 de magnitud 2 Etc.

c o c i e n

t e

Errores frecuentes o posibles dificultades• Los alumnos(as) suelen afirmar que dos magnitudes son directamente proporcionales solo

porque ambas aumentan o disminuyen a la vez. Por esto el docente debe hacer énfasis enque esta característica es necesaria pero no suficiente para que dos magnitudes seandirectamente proporcionales, se debe cumplir además que el cociente entre ellas seaconstante. Al listar los distintos valores de las magnitudes horizontalmente, se facilita elcálculo del cociente para verificar que sea constante, como se muestra a continuación.

Información para el docente• Aclarar a los estudiantes que para el cálculo del cociente entre las magnitudes pueden

realizar la división en el orden según como resulte más sencillo el cálculo, aunqueobviamente el orden en que se realiza una división afecta el cociente.

• En el caso en que pida la constante de proporcionalidad indicar el orden en que se quiereque se realice la división. Si las magnitudes están expresadas en un gráfico indicar a losalumnos(as) que el cociente se realiza del siguiente modo:

magnitud eje y / magnitud eje x

• Utilizar ejemplos relacionados con la física o química en donde es significativo el uso demagnitudes que varían proporcionalmente.

Actividades complementariasConstruye una tabla de valores y el gráfico correspondiente para encontrar la respuesta alas siguientes situaciones.

1. Una fotocopiadora hace 60 copias por minuto. Si se necesita fotocopiar una enciclopediade 3.600 páginas, ¿cuánto tiempo se demora la máquina en hacerlas?

El arriendo de un estacionamiento cuesta $ 600 por hora. ¿Cuánto se debería pagar por5 horas de estacionamiento?

• La siguiente actividad se propone para profundizar el contenido tratado en estas páginas.

2. Si la velocidad de un móvil es constante v = , ¿cuáles de estas magnitudes (velocidad,

tiempo y distancia. son directamente proporcionales? ¿Por qué?

3. Si el Peso de nuestro cuerpo en la tierra se calcula con la fórmula P = m • g, ¿cuál de estasmagnitudes (peso, masa y gravedad. son directamente proporcionales? ¿Por qué?

d t

U2 PAG 30-45 9/9/09 10:37 Page 38




TareaAnaliza el siguiente gráfico y luego contesta las preguntas.

El gráfico corresponde a la trayectoria de dos automóviles, uno de color rojo y el otro azul,en un tiempo determinado, sin que cambien sus velocidades en el tiempo.

1. ¿Cuál de los dos va más rápido?, ¿por qué?

2. ¿En cuánto tiempo el auto rojo recorrerá 60 km y el azul 480 km?

3. ¿Cuál es la razón que se mantiene constante para el auto rojo?, ¿y para el azul?, ¿esta razóna qué magnitud física corresponde?

IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon


Resolver problemas queinvolucranrazones,proporciones y la propiedadfundamental delas proporciones.

1

2

B

C

2 / 2 • Mostrar formas alternativas para reconocer cuandodos razones forman una proporción utilizandopropiedades de las fracciones, por ejemplo, dadasdos razones identificar si una puede ser obtenida apartir de la otra amplificando o simplificando, o bien,verificar si al simplificar ambas razones se puedeobtener una misma razón.

• Se sugiere realizar ejercicios en que se busque un término desconocido de la proporción utilizando el teorema fundamental.

Relacionar magnitudes eidentificar relacionesproporcionalesy noproporcionales.

3 C

2 / 2 • Para que a los estudiantes les sea más fácilreconocer una variación proporcional entre dosmagnitudes, fomentar en ellos razonamientos del

tipo: “si duplico una magnitud, ¿se duplica la otra?” obien “si diminuyo a la mitad una magnitud,¿disminuye a la mitad la otra?”, etc.

CÓMO VOY(Páginas 58 y 59)

120110100

9080706050402010

0

Distancia (km)

Tiempo (h)1 2 3


U2 PAG 30-45 9/9/09 10:37 Page 39



| 39 |

4 D

• También es útil y facilita la comprensión usar

modelos geométricos para identificar magnitudesproporcionales.

Relacionar magnitudes eidentificar relacionesdirectamente

proporcionales.

5

7

C

D

2 / 2 • Realizar ejercicios en que se conozca la constantede proporcionalidad y una magnitud y se pidadeterminar la otra.

• Pedir al estudiante que resuelva situaciones en lascuales se deban utilizar magnitudes físicas o

químicas, por ejemplo, dar la velocidad de un auto y pedir que calculen el tiempo en recorrer una ciertadistancia.

Identificar einterpretar lagráfica derelacionesdirectamenteproporcionales.

6 B

1 / 1 • Analizar gráficos contextualizados realizandopreguntas tanto de comprensión del gráfico comoinformación que se puede extraer a partir de él.

Resolver problemas deaplicación dondese relacionenmagnitudesproporcionales(directa y noproporcionales.

8

- Se necesitan

12 tarros.

- Con 20

tarros se

puede pintar

70 m 2.

1 / 1 • Al realizar ejercicios de este tipo, guiar a losalumnos(as) a seguir un método de resoluciónordenado, como por ejemplo: identificar lasmagnitudes, formar la proporción correspondiente,usar el teorema fundamental y resolver paraencontrar el dato faltante.

Actividades complementarias• Comentar con los alumnos(as) situaciones cotidianas en las cuales existan magnitudes, de

modo que al aumentar una de ellas, la otra disminuya, luego reflexionar acerca de cualessituaciones representan una variación proporcional inversa. Para variar un poco la actividad,puede proponer una magnitud y pedirle a los alumnos(as) que encuentren otra que serelacione inversamente proporcional a esta.

PROPORCIONALIDAD INVERSA (Páginas 60 y 61)

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Errores frecuentes o posibles dificultades• Los alumnos(as) tienden a pensar que solo basta con que una magnitud aumente y la otra

disminuya para que exista una relación de proporcionalidad inversa. Para aclarar lo anterior,haga énfasis en que el producto entre ambas magnitudes debe ser constante y que siemprese debe verificar esto antes de concluir la relación proporcional que existe entre ambasmagnitudes.

Información para el docente• Al resolver problemas que involucran una proporción inversa y uno de los términos de la

proporción es desconocido, es usual utilizar el método de invertir la razón donde está el término desconocido y multiplicar cruzado. Para explicar este método se sugiere usar ladefinición que diferencian ambas proporciones, para la directa el cociente es constante y para la inversa el producto es constante. Así:

Actividades complementariasIndica si las siguientes magnitudes son inversamente proporcionales. Justifica.1. Litros de bencina y kilómetros recorridos por un vehículo.

2. La cantidad de alimento para perros y el número de perros que serán alimentados.

3. Ingreso percápita y número de integrantes del grupo familiar.

Resuelve los siguientes problemas.4. 15 máquinas iguales hacen su trabajo en 5 días. ¿Cuántas máquinas se necesitan para hacer

el trabajo en un día?

5. Si van 12 niños al campamento, los alimentos durarán 6 días. Si todos comen la mismacantidad, ¿cuántos días durará la comida si van 20 niños?

= xc

ab

a • c = x • b

= xa • cb


Información para el docente• Una proporción inversa es una función racional del tipo y = donde k es la constante de

proporcionalidad e “y” y “x” las magnitudes que son inversamente proporcionales.

Los gráficos para las funciones de este tipo son hipérbolas, donde sus asíntotas son los ejescoordenados (asíntota horizontal y = 0, asíntota vertical x = 0), el signo de k nos indica en

k x

GRÁFICO DE PROPORCIONALIDAD INVERSA (Páginas 62 y 63)

= xc

ab

a • x = b • c

x = b • ca

cocienteconstante

productoconstante

Proporción directa Proporción inversa


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| 41 |

PORCENTAJES (Páginas 64 y 65)

APLICACIONES DE LAS PROPORCIONES (Páginas 66 y 67)

APLICACIÓN DE LOS PORCENTAJES (Páginas 68 y 69)

que cuadrante se encuentra la hipérbola, si k es positivo, se encuentra en los cuadrantesI y III, si es negativo en los cuadrantes II y IV. Es importante que los alumnos(as) observen que

las ramas de la hipérbola nunca tocan los ejes coordenados, y que la función se indefine cuandox = 0.

Errores frecuentes o posibles dificultades• A los alumnos(as) les dificulta realizar el gráfico de una proporción inversa, un error

frecuente es que logran graficar los puntos pero tienden a unirlos con una línea recta. Paraevitar esta situación se sugiere fundamentar por qué el gráfico de una proporción inversaes una curva y no una recta como el de la proporción directa.

Información para el docente• Es importante que el alumno(a) se acostumbre a utilizar distintas representaciones de un

porcentaje: notación fraccionaria, porcentaje, decimal, etc.

Errores frecuentes o posibles dificultades• Al resolver problemas que involucran porcentajes, muchos alumnos(as) al plantear la

proporción correspondiente, no logran identificar que uno de los términos está implícito (elque corresponde al 100%), y en consecuencia, creen que les faltan dos datos por buscar.

TareaPedir a los alumnos(as) que busquen información en la prensa, diarios o Internet, de noticiasdonde se utilicen porcentaje adecuadamente y donde no sea pertinente su utilización.

Información para el docente• En la dirección

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Semejanza_y_homotecia/Homote1.htmse pueden encontrar aplicaciones de la proporcionalidad relacionada con geometría(homotecia).

Errores frecuentes o posibles dificultades• Un error frecuente es que los alumnos(as) piensan que al aumentar en a% una cantidad y

luego a este resultado disminuirlo en un a% se vuelve a obtener la cantidad original. Paraevitar lo anterior, pedir que resuelvan ejercicios de este tipo y comprueben que la cantidadoriginal no es igual a la cantidad resultante. Por ejemplo:

- Juan compra un artículo en $ 90.000 y lo vende con un 10% de ganancia. En seguida el artículose vuelve a vender pero ahora con 10% de pérdida. ¿El artículo queda en el precio original?

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Actividades complementariasResuelve el siguiente problema anotando todos los pasos realizados para obtener elresultado.1. Pedro depositó en una cuenta de ahorro $ 10.000 con una tasa de interés mensual de 3,5%.

Construye una tabla para representar el aumento del dinero de Pedro en el transcurso delos meses. Luego grafica.


Información para el docente• En el marco del estudio de los procesos de razonamiento matemático se presenta una

investigación para analizar las posibles relaciones entre los logros cognitivos alcanzadosdurante el estadio del pensamiento formal y la resolución de problemas matemáticos.78 alumnos(as) fueron estudiados mediante la prueba de razonamiento lógico TOLT, y conuna prueba de resolución de problemas matemáticos. Los resultados sugieren que son losalumnos(as) con mayor nivel de pensamiento formal los que mejor resuelven los problemasmatemáticos. Sin embargo, tan solo el 36% de estos fue capaz de resolver problemas dondelos esquemas de proporcionalidad están presentes. Los resultados sugieren que alcanzar elnivel de razonamiento formal no es suficiente para saber aplicarlo en problemasmatemáticos concretos, siendo necesario adquirir el conocimiento específico para llevar acabo una correcta resolución.


Información para el docente• Comentar con los alumnos(as) el proyecto grupal planteado al inicio de la unidad para que

compartan la información recolectada por ellos acerca de las centrales de energía eléctrica.• En cuanto al daño del medioambiente, los alumnos(as) pueden buscar información en la

página http://www.cne.cl/ y generar un debate dentro del grupo o entre todos los gruposrespecto de este tema.


Información para el docenteEn la páginahttp://www.simce.cl/fileadmin/Documentos_y_archivos_SIMCE/orientacion/Orientaciones8o-14.pdf podrá encontrar información acerca de las orientaciones didácticas del SIMCE deoctavo año, los aspectos más relevantes de esta medición y los conocimientos y habilidadesque serán evaluados de acuerdo con los Objetivos Fundamentales y CMO del MarcoCurricular vigente.



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| 43 |


Indicador Nº depregunta

Respuesta Logradocon


Establecer proporcionesentre razones eidentificar variacionesproporcionales.

1

2

3

4

B

C

A

B

3 / 4 • Realizar ejercicios en que los estudiantes reconozcanuna proporción verificando a través del teoremafundamental, o utilizando otro método y quebusquen un término que falta.

• Realizar ejercicios en que apliquen proporcionalidadya sea a través de escalas u otros ejercicios

contextualizados.

Resolver situaciones deproporcionalidaddirecta mediante

tablas y gráficos,estableciendo laconstante de

proporcionalidad.

5

6

12

C

B

$ 82.500

2 / 3 • Realizar ejercicios en que los estudiantes relacionenel gráfico de una proporción directa con la tabla devalores o bien con la constante de proporcionalidad.

• Realizar ejercicios de problemas contextualizadosque involucren proporcionalidad directa en quedeban utilizar una estrategia de resolución y contestar una pregunta formal.

Resolver situaciones deproporcionalidadinversa mediante

tablas y gráficos,estableciendo laconstante deproporcionalidad.

7

8

9

10

13

C

Inversa

K = 120

10; 8; 2,4

0,39 h

3 / 5 • Realizar ejercicios en que los alumnos(as) debancompletar tabla de doble entrada en donde lasmagnitudes sean inversamente proporcionales.

• Realizar ejercicios en donde los alumnos(as) debangraficar dos magnitudes inversamenteproporcionales y deban responder preguntas apartir del gráfico.

Resolver situaciones queImplicanaplicaciones delas proporciones.

11. a

11. b

11. c

11. d

14

24

21%

15

27%

Ambas

3 / 5 • Realizar ejercicios donde los estudiantes debanidentificar distintos tipos de escala para diferentescontextos.

• Realizar ejercicios que se enfrenten a problemascontextualizados en los cuales se utilicenaplicaciones de proporciones, tales como, escalas,porcentajes aplicados al comercio, etc.

Actividades complementariasResuelve los siguientes ejercicios.1. Si una tienda exhibe en su vitrina la oferta “lleve 3 y pague 2”, ¿cuál es el porcentaje de

descuento por producto, si el pago total es $ 1.650?2. Un producto se vende sin IVA y cuesta $ 8.735. ¿Cuánto cuesta el producto con el IVA incluído?

EJERCICIOS DE PROFUNDIZACIÓN (Páginas 82 y 83)


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1. ¿Cuál es el valor que falta en la siguiente proporción?

A. 2

B. 3C. 5

D. 8

2. En un video club se anuncia que por cada 5 videosque se arrienden, se puede llevar otros 2 sin costo.¿Cuántos hay que arrendar para obtener 6 gratis?

A. Se deben arrendar 3 videos.

B. Se deben arrendar 10 videos.

C. Se deben arrendar 15 videos.

D. Se deben arrendar 12 videos.

3. Un actor de teatro memoriza 15 líneas de suparlamento en 25 minutos. En esa misma razón y enlas mismas condiciones, ¿cuánto tiempo necesita paramemorizar 120 líneas?

A. 120 minutos.

B. 200 minutos.

C. 250 minutos.

D. 300 minutos.

4. Elige la alternativa que corresponda a dos magnitudesque sean directamente proporcionales.A. Rapidez con que camina un alumno(as) y

tiempo en que se demora en llegar caminandoal colegio.

B. Número de objetos vendidos y ganancia.

C. Duración de los turnos de una fiesta y elnúmero de voluntarios para hacer el turno.

D. Peso de una persona y talla de la misma.



X12

1015

=

5. En una construcción, 5 maestros pintan una pared en2 horas. Si un día se ausentan 3 maestros, ¿cuánto sedemorarán en pintar una pared igual a la anterior?(Supón que todos los maestros trabajan al mismo ritmo).

A. 1,2 h

B. 2 h

C. 3,5 h

D. 5 h

6. Elige la alternativa que correspondan a dos magnitudesque sean inversamente proporcionales.A. Cantidad de kg recolectados por los alumnos(as)

si cada alumno(a) trajo 1 kilogramo.B. Cantidad de dinero que ahorra una persona en

1 año y cantidad que deposita cada mes.C. Cantidad de entradas que debe vender cada

alumno y el nº de alumnos que venderán.D. Edad de cada alumno y los años que le faltan para

la mayoría de edad.

7. Un mapa esta hecho a escala 1 cm : 150 km. Si ladistancia entre dos lugares es de 750 km, ¿a qué longitud

corresponde en el mapa:A. 0,5 cm.

B. 2,5 cm.

C. 5 cm.

D. 7,5 cm.

8. Un grifo de 3 cm 3 demora 18 horas en llenar unestanque. ¿Cuántas horas empleará en llenar el mismoestanque otro grifo de 6 cm 3?

A. 9 h

B. 36 h

C. 12 h

D. 15 h

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| 45 |

9. Una bacteria mide 0,5 mm de longitud. Si sequiere hacer un dibujo a escala de ella usando100 mm : 1 mm, ¿cuánto medirá la bacteria enel dibujo?

A. 0,005 mm.

B. 0,05 mm.

C. 5 mm.

D. 50 mm.

10. Si una escala de notas evalúa con un 4,0 al 60% delas respuestas correctas, ¿cuántas respuestas correctasdebería tener un alumno en una prueba de25 preguntas para obtener un 4,0?

A. 15 correctas.

B. 17 correctas.

C. 18 correctas.D. 19 correctas.

11. ¿De qué número es 15 el 15%?

A. 15

B. 25

C. 100

D. 115

12. El precio con IVA de un producto es $ 35.000. ¿Cuál

es el precio aproximado del producto, sin IVA?

A. $ 17.000

B. $ 29.411

C. $ 28.700

D. $ 41.300

13. Si a un vestido se le descuenta el 10% de su valor,

cuesta $ 12.500. ¿Cuál es el precio aproximado delvestido sin el descuento?

A. $ 13.880

B. $ 13.889

C. $ 13.900

D. $ 13.989

14. Si la sombra de un árbol mide el triple de su altura,¿en qué razón están el árbol y su sombra?

A. 1 : 4

B. 4 : 1

C. 1 : 3

D. 3 : 1

15. Felipe depositó un millón de pesos en el bancodurante 6 meses. Cada mes ganó 1% de interéssimple. ¿Qué monto tiene al cabo de 6 meses?

A. $ 1.051.010B. $ 1.061.520

C. $ 1.060.000

D. $ 1.600.001

16. El 30% de 3 equivale a:

A. el 100% de 3.

B. el 3% de 30.

C. el 100% de 90.

D. 90.

s c o n

b i é n

á s i c a s

e c t r

i z ,

n e s t a

e n

t e s

a s

U3 PAG 46-61 9/9/09 10:41 Page 46




3

I n t r o

d u c c i ó n

E s t a u n

i d a d

t i e n e c o m o o

b j e t i v o

m o s t r a r a

l o s a l u m n o s y a l u m n a s c o n s t r u c c i o n e s g e o m

é t r i c a s

i n s t r u m e n

t o s

b á s i c o s

d e m e d

i c i ó n , c o m o

l o s o n

l a r e g l a , l a

e s c u a d r a ,

e l t r a n s p o r t a

d o r y e l c o m p

á s , y

t a m

m o s t r a r a l g u n a s c o n s t r u c c i o n e s c o n u n s o f t w a r e g e o m

é t r i c o .

S e r e a l i z a n p r i m e r o

l a s c o n s t r u c c i o n e s

b á

y e

l e m e n

t a l e s q u e s o n

l a b a s e

d e l a s c o n s t r u c c i o n e s m

á s c o m p l e j a s ,

p a r t i e n

d o c o n e

l á n g u l o

y s u

b i s e

r e c t a s p a r a l e

l a s y p e r p e n

d i c u

l a r e s .

A

p a r t i r

d e e s t o , s e

c o n s t r u y e n

t r i á n g u

l o s y c u a d r i l á t e r o s .

A d e m

á s , e n

u n

i d a d s e r e c o r d a r á n y r e

f o r z a r á n p r o p

i e d a d e s q u e c a r a c t e r i z a n

a e s t a s

f i g u r a s g e o m

é t r i c a s , c o n

d i f e r e

m a n e r a s

d e c o m p r o

b a r l a s y

d e

d e d u c i r

l a s .

O F V

C M O

C O N T E N I D O S D E L A U N

I D A D

C o n s t r u c c

i o n e s g e o m

é t r i c a

• C a r a c t e r i z a r e l e m e n t o s

l i n e a l e s e n

t r i á n g u

l o s y v e r i f i c a r a

l g u n a s

d e s u s

p r o p

i e d a d e s m e d

i a n t e

c o n s t r u c c i o n e s

g e o m

é t r i c a s .

• C o n s t r u c c i ó n

d e

á n g u

l o s .


d e r e c t a s .


d e

t r i á n g u

l o s .


d e c u a d r i l á t e r o s .

C u a

d r o s i n ó

p t i c o


d e

á n g u

l o s ,

r e c t a s

p e r p e n

d i c u

l a r e s ,

p a r a l e

l a s , t r

i á n g u

l o s y

c u a d r i l á t e r o s m e

d i a n

t e r e g l a y c o m p

á s .

U3 PAG 46-61 9/9/09 10:41 Page 47



| 47 |

O b j e t i v o s f u n

d a m e n

t a l e s

t r a n s v e r s a

l e s


i n t e r é s y


d e c o n o c e r


u t i l i z a r e

l c o n o c

i m i e n


l a i n f o r m a c i ó n r e

l e v a n

t e .


l a s i d e a s y c r e e n c i a s

d i s t i n t a s a

l a s p r o p

i a s .

• D e s a r r o

l l a r


d e r e s o

l v e r p r o

b l e m a s ,

l a c r e a t i v

i d a d y


d e a u

t o a p r e n

d i z a j e .

• D e s a r r o

l l a r

l a a u

t o n o m


i l i d a d

i n d i v i d u a l

f r e n

t e a

t a r e a s y

t r a b a j o s .

• D e s a r r o

l l a r e l p e n s a m

i e n


d i c o

y e n e

l s e n

t i d o




l a h a b

i l i d a d d e e x p r e s a r y c o m u n

i c a r l a s o p

i n i o n e s ,

i d e a s ,

s e n

t i m i e n

t o s y c o n v i c c i o n e s p r o p i a s ,

c o n c l a r i d a d y e

f i c a c i a .

T i e m p o e s t

i m a

d o

4 a

5 s e m a n a s .


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Santillana Bicentenario


CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS DE:

Con las medidasde sus tres lados

Ángulos

Software geométrico

Información para el docente• La construcción de figuras geométricas a través de regla y compás es una metodología muy

motivadora para el estudiante y por lo mismo se le debe sacar todo el provecho posible. En

el caso de iniciar el tema con origami se da la oportunidad de que el docente relacione varioselementos geométricos en el proceso de doblar el papel, por ejemplo, al realizar el doblez,qué figura geométrica se formó, o qué ángulo se originó, etc.

• En la página http://www.sectormatematica.cl/origami.htm el docente podrá encontrar otrosejemplos descritos por pasos para realizar diferentes figuras en origami.

Actividades complementariasRealizar la siguiente actividad en pareja.Para esta actividad, cada alumno(a) debe tener un cuadrado de papel lustre.1. Doblar el papel a la mitad y desdoblarlo nuevamente.

¿Qué figuras geométricas se forman?

2. Doblar la esquina superior derecha para abajo de tal manera que el vértice A caiga sobre elsegmento BC. Asegúrarse de que el doblez pasa por el vértice D.

¿Qué tipo de triángulo se formó?



Rectas Triángulos Cuadriláteros

Bisetriz Paralelas Paralelógramos

Perpendiculares Equiláteros Cuadrados

D A

B C

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UNIDAD 3 | Construcciones geométricas

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| 49 |


conRemediales/


Clasificar

ángulos.1

2

3

16

4

8

2 / 3 • Realizar ejercicios de clasificación de ángulos

formados por rayos, primero con diferenciassustanciales entre los diferentes tipos de ángulos, paraluego minimizarlas y hacerlas más sutiles. También unbuen ejercicio es presentar los ángulos en un plano,combinando diferentes figuras, donde las cuadraspueden ser distintos polígonos y se pueden incluir plazas, en estos casos los alumnos(as) puedenestimar la medida de ángulos y clasificarlos. Otraforma de ayudarlos es usar el ángulo recto comoreferencia para identificar los agudos de los obtusos.

• Realizar ejercicios de clasificación de ángulosformados solo por rayos y no en polígonos,ponerlos en distintas posiciones y no solamente conuno de sus lados en forma horizontal, para que losalumnos(as) ejerciten el diferenciar los ángulosagudos de los rectos.

3. Doblar la esquina izquierda inferior hacia arriba hasta que se una con la punta del triánguloseñalado en la figura.

¿Qué tipo de triángulo se ha formado?

4. Doblar la base del triángulo tal como se muestra en la figura.

¿Qué tienen en común todos los triángulos formados?


Actividades complementarias• Visitar con los alumnos(as) la página

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/angulospoligonoregular/tiposangulospoligono.htm para ejercitar con los distintos tipos de ángulos que se forman en un polígono.

• En esta misma página

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/angulospoligonoregular/sintesis2.htm el

docente podrá encontrar ejercicios en donde se relaciona el número de lados de unpolígono regular con la medida de sus ángulos, interiores, exteriores y centrales, además dela suma de ellos.

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Clasificar triángulos segúnla medida de susángulos.

4

5

6

9

Ninguno

Ninguno

2 / 3 • Realizar ejercicios en que los alumnos(as) debanidentificar distintos tipos de triángulos, poner los

triángulos en posiciones no convencionales, sobre todo aquellos que sean rectángulos, realizando sutilesdiferencias entre acutángulos y rectángulos.

• Realizar ejercicios en que los alumnos(as) debanidentificar distintos tipos de triángulos, poner los

triángulos en posiciones no convencionales, sobre todo aquellos que sean rectángulos.

Identificar cuadriláteros.

7

12

6

D

1 / 2 • Realizar ejercicios en que los alumnos(as) debanidentificar distintos tipos de cuadriláteros indicandocaracterísticas tanto de sus lados como de sus ángulos.

• Realizar ejercicios en que los alumnos(as) debanidentificar distintos tipos de cuadriláteros indicandocaracterísticas tanto de sus lados como de susángulos. Usar cuadriláteros similares para reforzar lasdiferencias entre ellos, por ejemplo, el rombo y el

cuadrado, trapecio y trapezoide, rectángulo y romboide, entre otros.

Aplicar propiedadesrelacionadas conla suma de lasmedidas de los

ángulosinteriores y exteriores de

triángulos y cuadriláteros.

8

9

10

11

A

B

D

B

2 / 4 • Realizar ejercicios en donde los alumnos(as) debanencontrar el ángulo que falta en un triángulo a partir del valor de la suma de los ángulos interiores oexteriores y conociendo dos de ellos. Lo mismo conlos cuadriláteros.

• Realizar ejercicios en donde los alumnos(as) debanencontrar el ángulo que falta en un triángulo a partir del valor de la suma de los ángulos interiores oexteriores y conociendo alguna característica de este,por ejemplo, si es isósceles, rectángulo, etc. Lomismo con los cuadriláteros, en este caso lascaracterísticas pueden ser el tipo de cuadrilátero(cuadrado, rectángulo, rombo, trapecio, etc.)

Determinar medidas deángulos entrerectas paralelasy secantes.

13

14

15

16

77º

130º

106º

35º

2 / 4 • Realizar ejercicios en que los alumnos(as) debancalcular las medidas de ángulos entre paralelasintersectadas por una secante, comenzando conaquellos que son correspondientes, siguiendo con losalternos internos y por último alternos externos.

• Se puede profundizar en estos ejercicios, poniendo dossecantes entre paralelas y no poniéndolas en laposición convencional.


Ó Á

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CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS (Páginas 88 y 89)

Información para el docente• Al iniciar la clase el docente puede mencionar que la construcción de un ángulo cualquiera

(ángulos no conocidos y no usuales como el “ángulo recto”, “ángulo agudo” o “ánguloobtuso”) no solo puede ser realizada a través del transportador, también es posibleconstruirlos a través de regla y compás.

• Enfocándonos en la construcción de ángulos a través del transportador, es importantemencionar que para medir ángulos se utiliza el sistema sexagesimal (sus unidades demedida son el grado [º], el minuto [‘] y el segundo [‘‘]). Luego, el transportador es un

semicírculo graduado, dividido en 180 partes iguales donde cada una corresponde a ungrado, cada grado corresponde a 60 minutos y cada minuto a 60 segundos.

Errores frecuentes o posibles dificultades• Es muy usual que los alumnos(as) no ubiquen la base del transportador en el vértice del

ángulo y solo hagan coincidir uno de los lados con el transportador. El docente debe hacer hincapié en esto al mostrar en la pizarra como se construye o mide un ángulo.

• Otra posible dificultad es que los alumnos(as) dibujen los lados del ángulo muy cortos en

longitud y por lo tanto al medir con el transportador no se logre intersectar la amplitud dela medida del ángulo. El profesor(a) deberá indicar a los alumnos(as) que es posibleproyectar los lados de un ángulo indefinidamente ya que este está formado por dos rayos.

• Otra forma de evitar posibles dificultades y errores es que los alumnos(as) construyan y midan ángulos en posiciones diferentes a las convencionales (con uno de los lados en formahorizontal) para que así se familiaricen con el uso del instrumento y además no fijen la ideade que los ángulos son siempre con un lado horizontal y solamente el otro lado cambia deposición.

Actividades complementariasResuelve.

1. En el campeonato Bicentenario falta 5 minutos para que termine el primer partido de la temporada, en la ilustración se muestra la ubicación de 2 jugadores que están en posiciónde tirar al arco. El ángulo de tiro es aquel que se forma entre el jugador (vértice) y las rectasque van desde él a los lados del arco de fútbol.a. Determina la medida de los ángulos de tiro en que están ambos jugadores.b. Posiciona un tercer jugador tal que su ángulo de tiro sea de 70º.c. ¿Cuál jugador crees tú que tiene mayor posibilidad de hacer un gol? Establece la relación

entre el ángulo de tiro y las posibilidades de hacer un gol.

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• Las siguientes actividades son para profundizar los contenidos de estas páginas.

Realizar con los alumnos(as) construcciones de ángulos conocidos usando regla ycompás.

1. Construcción de un ángulo de 60º.

1º Se traza un rayo OB y un punto A, que pertenezca al rayo.2º Se dibuja un arco con vértice en O que pase por A.3º Con la misma abertura del arco OA (arco de paso 2º), se traza otro arco con centro

en A.4º Ambos arcos se cortan en un punto que se llama C.5º Se traza el segmento OC obteniéndose el ángulo pedido COA, que mide 60º.


Se traza la bisectriz del ángulo obtenido en la construcción anterior.

3. Construcción de un ángulo de 90º.1º Se traza un rayo AB.2º Se traza un arco con centro en A, que pase por B.3º Se dibuja un punto C que pertenezca al arco de paso 2º.4º Se une el segmento AC y el segmento BC obteniéndose el ángulo pedido ACB, que

mide 90º.


Se traza la bisectriz del ángulo obtenido en la construcción anterior.

TareaVisitar la páginahttp://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/0inicio/bisectriz.htm donde se muestra unsegundo método para trazar la bisectriz de un ángulo.

A

B


CONSTRUCCIÓN DE RECTAS (Pá i 90 93)

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| 53 |

Información para el docente• La construcción de rectas paralelas tiene como protagonista a la circunferencia, por lo tanto,

sería adecuado que se repasara acerca de esta figura, sus elementos importantes, tales comoel centro, el radio, el diámetro, etc. Para que en la construcción no hayan confusiones por no entender el lenguaje utilizado en la descripción de los pasos a seguir.

• Es importante destacar que la circunferencia es CMO de Octavo Año de Educación Básica,sin embargo para facilitar el lenguaje para diversas construcciones se puede mostrar losiguiente:

O: centro de la circunferencia.OA: radio de la circunferencia.

AB: diámetro de la circunferencia.(La medida del diámetro es eldoble que la medida del radio).

• La base de muchas construcciones, es el uso de la simetral o mediatriz, por dos razones, laprimera, es porque determina el punto medio de un segmento, y la segunda, porque lo cortaen forma perpendicular. Esta es la forma más simple y más usada para construir una rectaperpendicular. El docente podrá ver su construcción en un applet de Cabri en la siguientedirección electrónica: http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/0inicio/mediatriz.htm

Actividades complementarias

Resuelve las siguientes situaciones usando regla y compás.1. Un barco navega paralelamente a la orilla de la playa, si el barco pasará por la bolla (A),dibuja la trayectoria del barco:

2. El tren se mueve en forma paralela a una carretera que está a una distancia de 5 km(que corresponden a una escala de 1:100.000) de la línea del tren y pasa por el pueblo C.Dibuja la carretera.

CONSTRUCCIÓN DE RECTAS (Páginas 90 y 93)

A

BO

A

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3. Un barco navega paralelamente a la orilla de la playa, una persona (C) nada en formaperpendicular a la orilla, dibuja su trayectoria e indica como son entre sí las trayectorias del

barco y de la persona.

• Las siguientes actividades se proponen para profundizar el contenido tratado.

Responde.4. Construir una perpendicular con regla y compás siguiendo los pasos dados a continuación.

Trazar la recta perpendicular a la recta AB que pase por el punto P.

Paso 1: Trazar una circunferencia con centro en P y

un radio cualquiera de modo que corte a larecta AB, en los puntos C y D.

Paso 2: Trazar una circunferencia con centro en C y radio CP, del mismo modo trazar unacircunferencia con centro en D y radio DP.

Paso 3: Ambas circunferencias construidas en el pasoanterior se corten en dos puntos, la rectaperpendicular buscada es aquella que pasapor esos puntos.

Errores frecuentes o posibles dificultades• Es importante que el docente ponga énfasis en el buen uso de los instrumentos geométricos,

por ejemplo, preguntarle a la clase si es correcta o no la posición en que puso el instrumento(ubicándolo en forma incorrecta intencionalmente) y que los alumnos(as) le indiquen laforma correcta. Otra forma de evitar errores posteriores, es pedir a los alumnos(as) formar las rectas perpendiculares en posiciones no convencionales para que los alumnos(as) logrenuna mayor abstracción del concepto de perpendicularidad. Por ejemplo:

A

B

C

C

P


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| 55 |


conRemediales/


Construir ángulos y susbisectrices,usando reglay compás.

1

2

7

8

9

A

A

3 / 5 • Realizar ejercicios en donde los alumnos(as) debanconstruir ángulos de distintas medidas usando el

transportador, pedirles que los clasifiquen. De losmismos ángulos construidos, pedir a los alumnos(as)que construyan las bisectrices. Indicarles que con el

transportador comprueben que obtuvieron ángulosde igual medida.

• Realizar ejercicios en donde los alumnos(as)construyan ángulos a partir de los conocidos usandoregla y compás, por ejemplo, un ángulo de 120ºgrados a partir de uno de 90º y uno de 30º, esteúltimo obtenido trazando la bisectriz de un ángulode 60º.


Construir rectasparalelas usando

regla, compás y escuadra.

3

4

A

C

1 / 2 • Realizar ejercicios en que los alumnos debanconstruir rectas paralelas usando regla y compás, y usando la escuadra. Identificar si dos rectas sonparalelas o no.

• Realizar ejercicios en donde los alumnos(as) debanconstruir rectas paralelas pero cumpliendo con máscondiciones que las iniciales, por ejemplo que seencuentre a cierta distancia de la original, o que seaparalela a una tercera recta, etc.

Construir rectas

perpendicularesusando regla,compás y escuadra.

5

6

A

D

1 / 2 • Realizar ejercicios en que los alumnos(as) deban

construir rectas perpendiculares usando regla y compás y escuadra. Identificar si dos rectas sonperpendiculares o no.

• Realizar ejercicios en donde los alumnos(as) debanconstruir rectas perpendiculares pero cumpliendocon más condiciones que las iniciales, por ejemploque se encuentre a cierta distancia de un punto, oque sea paralela a una tercera recta, etc.

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS (Páginas 96 y 97)

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Información para el docente• Dentro de las construcciones de polígonos con regla y compás, son de suma importancia

conocer los datos mínimos necesarios para que la construcción sea posible, un buenejercicio para los alumnos(as) es que el docente los guíe a la reflexión de estas condicionesiniciales y que ellos mismos descubran y determinen con que condiciones es posible o noconstruir un polígono, en este caso un triángulo o un cuadrilátero.

• Como muy bien se concluye en la síntesis, es posible construir un triángulo con regla y compás de tres maneras diferentes:

1. Conociendo la medida de sus tres lados (mostrada en el texto).2. Conociendo la medida de dos lados y la medida del ángulo comprendido entre ellos.

3. Conociendo la medida de uno de los lados y la medida de los ángulos adyacentes.A continuación se describirán las formas 2 y 3.

2. Construir un triángulo conociendo la medida de dos lados y la medida del ángulocomprendido entre ellos.

Paso 1: Con el compás se copia el ángulo de vértice O.Paso 2: Copia el segmento AB a partir del vértice O y en la dirección del rayo.

Paso 3: Copia el segmento CD a partir del vértice O y en la dirección del rayo.Paso 4: Traza el segmento BD. Queda determinado el triángulo.

3. Construir un triángulo conociendo la medida de un lado y la medida de los ángulosadyacentes.

Paso 1: Con el compás copia el segmento AB.

Paso 2: Copia uno de los ángulos en el vértice A.Paso 3: Copia el otro ángulo en el vértice B.

Paso 4: Proyecta los lados libres de los ángulos hasta que se corten en un punto, quedandodeterminado el triángulo.

Actividades complementarias• Visiten la página http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/ctrian4.htm donde encontrarán

construcciones de triángulos en Cabri y podrán manipular el triángulo resolviendo losejercicios propuestos.


( g y )

DO

CBA

BA


Errores frecuentes o posibles dificultades

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• Es importante dejar en claro a los alumnos(as) que es posible construir los triángulos con

regla y compás aunque no se conozca la unidad de medida de los lados, nos basta con poder reproducir su longitud aunque no conozcamos su medida exacta, es decir, si el lado estadibujado, con el compás lo reproducimos, y no fue necesario saber que medía 10 cm, lomismo ocurre con los ángulos, aunque no sepamos cuántos grados miden, si los tenemosdibujados los podremos reproducir. Muchas veces esto dificulta a los alumnos(as), necesitan

tener las medidas “en números”, porque la mayoría muestra una actitud más concreta frentea las matemáticas, por lo que propone trabajar con este tipo de situaciones para laabstracción.

Información para el docente• En la construcción del paralelogramo utilizando un software geométrico, hay que aclarar a

los alumnos(as) que al dibujar los 3 puntos para construir el paralelogramo, sí existe unacondición para la posición de los tres puntos, ya que no pueden ser colineales (tres puntosson colineales si estos tres puntos pertenecen a la misma recta). Comentar con ellos cuál esla razón de que no puedan ser colineales y que comprueben usando los pasos de laconstrucción, ya que no será posible construirlo.

• En las construcciones geométricas se da la oportunidad de corroborar y obtener conclusiones que muchas veces se dan como propiedades y que los alumnos(as) al leerlasno logran comprender. En el caso de la construcción de cuadriláteros por ejemplo, sepueden reforzar las diferencias entre los cuadriláteros más conocidos, por ejemplo, usandola construcción de un paralelogramo, al poner la condición de que los puntos estén a unamisma distancia es posible obtener un rombo o un cuadrado, y si se pone la condición de

la medida de los ángulos que se forman entre las rectas que se cortan, si estas sonperpendiculares, la construcción corresponde a un cuadrado.

Actividades complementarias• Visiten la página http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/cuadri3.htm donde encontraran

construcciones de cuadriláteros en Cabri y podrán manipularlos resolviendo los ejerciciospropuestos.

CONSTRUCCIÓN DE CUADRILÁTEROS (Páginas 98 y 99)

Información para el docente• Es importante enfatizar que las construcciones básicas: ángulos, rectas paralelas y rectas

perpendiculares, son la base para el resto de las construcciones geométricas. Este patrón serepite al complejizar las construcciones, es decir, por ejemplo, para realizar el segundoejercicio necesitamos construir lo que se realizo en el primero.



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conRemediales/


Reconocer propiedades de

triángulos y cuadriláteros apartir de laconstrucción deestos.

5

6

7

8

Todos loslados de igual

medida

No

Sí

Sí

2 / 4 • Realizar ejercicios en donde los alumnos(as)clasifiquen triángulos según la medida de sus lados y ángulos midiéndolos con la regla y el transportador,respectivamente.

• Realizar ejercicios en donde los alumnos(as) debanclasificar cuadriláteros según la medida de sus ladosy sus ángulos.

Actividades complementarias• Analizar con los alumnos(as) por qué con la estrategia mostrada es posible formar un triángulo isósceles, es decir, que nos asegura que al doblar por la mitad el cuadrado, trazar el punto y hacer los dobleces, los segmentos formados son de igual medida. Indicarles, paraayudarlos, que pueden recortar los triángulos formados por los dobleces y compararlos.

• Preguntar a los alumnos(as) por qué el punto trazado puede estar en cualquier posición dela línea que se formó al doblar por la mitad el cuadrado, darles como ejemplo que sucederíasi el punto perteneciera al lado del cuadrado, para que logren verificar que independientedel punto elegido, los triángulos formados son congruentes.

Información para el docente• Revisar con los alumnos(as) el proyecto presentado al inicio de esta unidad. Comentar en

conjunto las respuestas dadas a las preguntas presentadas en esta sección.• El docente podría realizar una exposición con las figuras (la casita) creadas por los

alumnos(as) con origami.

SÍNTESIS (Páginas 104 y 105)

Información para el docente• Las preguntas SIMCE correspondientes a los CMO que incluye esta unidad, están clasificadas

en Nivel Avanzado, donde los alumnos(as) deberán: caracterizar y relacionar formasgeométricas a partir de sus elementos. Para las figuras geométricas estos elementoscorresponden a los lados, los vértices y los ángulos. En el caso de un cuerpo geométrico, suselementos son las caras, las aristas y los vértices. Las características que pueden reconocer en figuras geométricas resultan de comparar el largo estos lados, de verificar el paralelismode sus lados, de verificar la existencia de ángulos rectos o de ejes de simetría, etc. En el casode cuerpos geométricos pueden identificar el número y la forma de las caras, etc.(Fuente: Niveles de Logro del SIMCE, Mineduc).



Construir 1 C 3 / 5 • Realizar ejercicios en donde los alumnos(as) deban

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Construir triángulos usandosolo regla y compás o bienun software

geométrico.

2

9

10

11

C

Construcciones

Construcciones

Construcciones

3 / 5 Realizar ejercicios en donde los alumnos(as) debanconstruir triángulos a partir de las medidas de suslados verificando en cada caso si es posible, es decir,si se cumple la desigualdad triangular.

• Realizar ejercicios en donde se analicen distintaspropiedades de los triángulos a partir de los datosnecesarios para su construcción.

Actividades complementarias• El enfoque de los ejercicios de refuerzo y profundización va dirigido a que los alumnos(as)

reflexionen acerca de las propiedades de los polígonos más usados, como lo son los

triángulos y cuadriláteros, y que fácilmente se pueden comprobar al construirlos con reglay compás generando un aprendizaje más significativo y permanente.


Información para el docente• Los niveles de logro mostrados en el análisis de la pregunta tienen mucha relación con los

Mapas de Progreso, es decir, ofrecen criterios para observar el aprendizaje de losalumnos(as) con respecto al marco curricular. El profesor(a) puede analizar este aprendizajey compartirlo con sus pares, para retroalimentar a sus alumnos(as) y mejorar sus prácticas.Aún no se ha publicado los Mapas de Progreso para el eje Formas y Espacio, pero sí existeel de Números y Operaciones que se puede descargar en la página http://www.curriculum-

mineduc.cl/curriculum/mapas-de-progreso/ del Mineduc.

Construir

cuadriláterosusando solo reglay compás o unsoftware

geométrico.

3

4

12

13

14

C

B

Construcciones

Construcciones

Construcciones

3 / 5 • Realizar ejercicios en donde los alumnos(as)

construyan cuadriláteros a partir de las medidas desus lados.• Realizar ejercicios en donde los alumnos(as)

reflexionen acerca de las modificaciones necesariasque se deben realizar en la construcción de uno deellos para obtener otro de distinto tipo.



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1. Para medir un ángulo se necesita:

A. un compás.

B. un compás y una regla.

C. una regla y un transportador.

D. un transportador.

2. Si se construye un triángulo conociendo la medida desus tres lado, a, b, c, ¿cuál de estas condiciones esnecesaria?

A. a + b = c

B. a + b < c

C. a + b > c

D. a > b > c

3. ¿Qué tipo de cuadrilátero se obtiene si al construir unparalelogramo, a partir de los puntos A, B y C ladistancia entre A y B es igual a la de B y C?

A. Un rectángulo.

B. Un cuadrado.

C. Un trapecio.

D. Un rombo.

4. Para construir un cuadrado usando escuadra y

compás se necesita:A. solo la medida de un lado.

B. la medida de un lado y la perpendicular de unextremo.

C. los cuatro ángulos rectos.

D. la medida de un lado y un punto.

5. Al trazar la bisectriz de un ángulo se obtienen:

A. dos ángulos agudos.

B. dos ángulos de igual medida.

C. dos ángulos rectos.

D. dos ángulos en la razón 1 : 2.

6. ¿Cuál de estas construcciones no es posible realizarlacon regla y compás?

A. Un triángulo equilátero.

B. La trisección de un ángulo.

C. La bisección de un ángulo.D. La bisectriz de un triángulo.

7. Al construir con regla y compás dos rectas paralelas,¿la distancia entre ellas de qué no depende?

A. De la posición de los puntos iniciales trazados enla recta original.

B. Del radio de las circunferencias dibujadas.

C. De la distancia entre los puntos trazados en larecta original.

D. Del largo de la recta a dibujar.

8. Si el ángulo AOB mide 84º y se construye la bisectriz

OD, ¿cuál es la medida del ángulo AOD?A. 21º

B. 42º

C. 126º

D. 168º 84º

B

OA

D

9. ¿Es posible construir un triángulo isósceles con la 12. Construye un rombo cuyo lado mide 4 cm y el

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medida de la base y un ángulo basal? Justifica.

10. ¿Es posible construir un paralelogramo con 3 puntosen línea? Justifica.

11. Construye un triángulo isósceles cuya base mida4 cm y los ángulos basales midan 50º.

ángulo respectivo mide 55º.

13. Divide la porción de torta en dos partes iguales.

14. Se quiere construir una fábrica que esté a la mismadistancia de las poblaciones A y B. Dibújala:

A

B

m é t r i c a e n e l

u e i n v o l u c r a n

n d e p o

t e n c i a

e x p r e s i o n e s y

p a r a e s t e

f i n ,

s , a l i g u a l q u e

c e p t o d e r a í z

. I D A D a e n t e

2 .

p o n e n t e

3 .

i g u a l b a s e .

b a s e .

i g u a l

e x p o n e n t e .

n e n t e

U4 PAG 62-77 9/9/09 11:02 Page 62




4

I n t r o

d u c c i ó n

E n e s

t a u n i d a d

l o s e s t u d i a n t e s c o n o c e r á n e l c o n c e p t o

d e p o

t e n c i a y s u

i n t e r p r e t a c i ó n g e o m

c á l c u l o

d e á r e a s y v o

l ú m e n e s

d e c u a d r a d o s y c u b o s ,

r e s p e c t i v a m

e n t e . R

e s o l v e r á n s i t u a c i o n e s

q u

p o t e n c i a s u t i l i z a n d o c o m o e s t r a t e g i a

d e r e s o

l u c i ó n u n

d i a g r a m a d e

á r b o l . A t r a v é s d e l a d e f i n i c i ó n

y s u s r e g u l a r i d a d e s ,

l o s a l u m n o s p o

d r á n d e d u c i r s u s p r o p i e d a d e s y a p l i c a r l a s p a r a s i m p l i f i c a r e

f a c i l i t a r e l c á l c u l o .

T a m

b i é n , a

t r a v é s d e d i v e r s o s c o n t e x t o s c u i d a d o s a m e n t e s e l e c c i o n a d o s p

a p r o v e c h a r á n s u n o

t a c i ó n s i m p l e y r e d u c i d a p a r a e s c r i b i r n ú m e r o s m u y g r a n d e s y m u y p e q u e

ñ o

l a n o t a c i ó n c i e n t í f i c a ,

m u y u t i l i z a d a e n

d i f e r e n t e s á r e a s d e l a c i e n c i a .

A d e m á s ,

c o n o c e r á n e l c o n c

c u a d r a d a y

l o a p l i c a r á n e n

l a r e s o l u c i ó n

d e v a r i a d a s s i t u a c i o n e s u t i l i z a n d o

d i f e r e n t e s e s t r a t e g

i a s .

O F V

C M O

C O N T E N I D O S D E L A U N I

P o t e n c i a s

y r a í z c u a d r a d

• I n t e r p r e t a r p o

t e n c i a s

d e e x p o n e n t e

n a t u r a l c u y a b a s e e s u n n ú m e r o

f r a c c i o n a r i o o

d e c i m a l p o s i t i v o y p o

t e n c i a s

d e 1 0 c o n e x p o n e n t e e n t e r o , e f e c t u a r

m u l t i p l i c a c i o n e s c o n e s t e

t i p o d e

p o t e n c i a s y a p l i c a r l a s

e n s i t u a c i o n e s

d i v e r s a s .

• C o m p r e n d e r e l s i g n i

f i c a d o y c a l c u l a r

l a r a í z

c u a d r a d a d e u n n ú m e r o e n t e r o p o s i t i v o y

a p l i c a r l a e n

l a r e s o l u c i ó n

d e p r o

b l e m a s .

• E m p l e a r

f o r m a s s i m p

l e s d e m o

d e l a m i e n t o

m a t e m

á t i c o , a p l i c a r h

a b i l i d a d e s b á s i c a s d e l

p r o c e s o

d e r e s o

l u c i ó n

d e p r o

b l e m a s e n

c o n t e x t o s

d i v e r s o s y

s i g n i f i c a t i v o s p a r a e l

o l a e s t u d i a n t e u t i l i z a n d o


• C o n c e p t o

d e p o

t e n c i a .

• D i a g r a m a

d e á r b o l .

• E l

á r e a y

l a p o

t e n c i a d e e x p o

n e

• E l

v o l u m e n y

l a p o

t e n c i a d e e xp


d e p o

t e n c i a s d e


d e p o

t e n c i a s d e i g u a l b


d e p o

t e n c i a s d e

e x p o n e n t e .


d e p o

t e n c i a s d e i g u a l e

• R e g u l a r i d a d e s

d e l a s p o

t e n c i a s .

• P o t e n c i a d e u n a p o

t e n c i a .

• P o t e n c i a d e b a s e 1 0 c o n e x p o n

e n t e r o

.

• N o

t a c i ó n c i e n t í f i c a .

C u a

d r o s i n

ó p

t i c o

•

I n t e r p r e t a c i ó n

d e p o

t e n c i a s q u e

t i e n e n

c o m o

b a s e u n n ú m e r o n a t u r a l , u n a

f r a c c i ó n p o s i t i v a o u n n ú m e r o

d e c i m a l

p o s i t i v o y c o m o e x p o n e n t e u n n ú m e r o

n a t u r a l , e s t a b l e c i m

i e n t o y a p l i c a c i ó n e n

s i t u a c i o n e s

d i v e r s a s d e p r o c e d i m

i e n t o s

d e

c á l c u l o d e m u l t i p l i c a c i ó n y

d i v i s i ó n

d e

p o t e n c i a s d e i g u a l b a s e o

i g u a l e x p o n e n t e .

•

C á l c u l o d e p o

t e n c i a s d e 1 0 c o n

e x p o n e n t e e n t e r o y s u a p l i c a c i ó n p a r a

r e p r e s e n t a r n ú m e r o s

d e c i m a l e s c o m o u n

p r o d u c t o d e u n n ú m e r o n a t u r a l p o r u n a

p o t e n c i a d e 1 0 d e e x p o n e n t e e n t e r o .

•

C a r a c t e r i z a c i ó n

d e l a r a í z c u a d r a d a

d e u n

n ú m e r o e n t e r o p o s i t i v o e n r e l a c i ó n c o n

s p o

t e n c i a s .

p e r f e c t o s .

c u a d r a d a .

U4 PAG 62-77 9/9/09 11:02 Page 63



| 63 |


d a m e n

t a l e s

t r a n s v e r s a

l e s

• P r o m o v e r e l i n t e r é s y


d e c o n o c e r



i e n t o y s e l e c c i o n a r

l a i n f o r m a c i ó n r e l e v a n t e .

• D e s a r r o

l l a r l a c a p a c i

d a d d e r e s o

l v e r p r o

b l e m a s , l a

c r e a t i v i d a d y

l a s c a p a c i

d a d e s d e a u t o a p r e n d i z a j e .

• D e s a r r o

l l a r l a a u t o n o m

í a y r e s p o n s a b i l i d a d

i n d i v i d u a l f r e n t e a

t a r e a s y

t r a b a j o s .

• D e s a r r o


i e n t o r e f l e x i v o y m e t ó

d i c o y e l s e n t i d o

d e c r í t i c a y a u t o c r í t i c a .

• E j e r c i t a r l a h a b i l i d a d d e e x p r e s a r y c o m u n i c a r l a s o p i n i o n e s ,

i d e a s , s e n t i m

i e n t o s y c o n v i c c i o n e s p r o p

i a s , c o

n c l a r i d a d y e f i c a c i a .

d e l n i v e l , y a n a l i z a r l a

v a l i d e z d e l o s

p r o c e d i m

i e n t o s u t i l i z a d o s y

d e l o s


b t e n i d o s .

p o t e n c i a s d e e x p o n e n t e

2 , y

e m p l e o

d e

p r o c e d i m

i e n t o s

d e c á l c u l o m e n t a l d e r a í c e s

c u a d r a d a s e n c a s o s s i m p l e s o

d e c á l c u l o

u t i l i z a n d o h e r r a m i e n t a s t e c n o

l ó g i c a s , e n

s i t u a c i o n e s q u e

i m p l i c a n

l a r e s o

l u c i ó n

d e

p r o b l e m a s .

•

R e s o

l u c i ó n

d e p r o

b l e m a s

e n c o n t e x t o s

d i v e r s o s y s i g n i f i c a t i v o s e n

l o s q u e s e u t i l i z a n

p o t e n c i a s y r a í c e s c o m o

l a s e s t u d i a d a s ,

e n f a t i z a n d o e n a s p e c t o s r e l a t i v o s a l a n á l i s i s

d e l a s e s t r a t e g i a s

d e r e s o

l u c i ó n ,

l a

e v a l u a c i ó n

d e l a v a l i d e z d e

d i c h a s e s t r a t e g i a s

e n r e l a c i ó n c o n

l a p r e g u n

t a , l o

s d a t o s y e l

c o n t e x t o

d e l p r o b l e m a .

• P r o

b l e m a s y a p l i c a c i o n e s

d e l a

• C o n c e p t o

d e r a í z c u a d r a d a .

• N ú m e r o s q u e s o n c u a d r a d o s p

• C á l c u l o a p r o x i m a d o

d e l a r a í z

• O p e r a c i o n e s c o m

b i n a d a s .

T i e m p o e s t

i m a

d o

5 a

6 s e m a n a s .



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CONCEPTO DE POTENCIAS

Aplicaciones

Información para el docente• En esta unidad se introduce el concepto de potencia a través de la nanociencia, que investiga

qué sucede a escalas muy pequeñas. Es importante que el alumno entienda que las potenciasson una notación que representa una multiplicación iterada y que, a pesar de que serelaciona muchas veces con grandes cantidades, también es útil cuando es necesario escribir cantidades muy pequeñas.

Actividades complementariasCompleta las equivalencias entre las siguientes medidas de longitud.

1. 1 nanómetro metros.2. 1 nanómetro centímetros.3. 1 metro nanómetros.4. 1 centímetro nanómetros.

TareaPedir a los estudiantes que investiguen acerca de elementos y microorganismos que semiden usando como unidad de medida el nanómetro.



Regularidades

Interpretacióngeométrica Diagrama de árbol

Concepto deraíz cuadrada

Cuadrados perfectos

Cálculo deraíces cuadradasPropiedades

Base 10

Notación científica

Área Volumen

Multiplicación División

Igual base Igual exponente

Potencia deuna potencia

UNIDAD 4 | Potencias y raíz cuadrada


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| 65 |

Información para el docente• Se sugiere relacionar el concepto de potencias utilizando regularidades en situaciones

problemáticas y en geometría, calculando áreas de polígonos conocidos por los alumnos.


Información para el docente• Es importante que los alumnos analicen la rapidez con que crece el valor de una potencia

de base natural, al aumentar el exponente; puede sugerir a los alumnos que utilicen lacalculadora, para calcular diferentes potencias, incluso pedirles que estimen potenciasverificando esta característica. También es importante que los alumnos reconozcan el casode las potencias de base 1 ó 0, como contraejemplos de la propiedad anterior.

CONCEPTO DE POTENCIA (Páginas 118 y 119)


conRemediales/


Interpretar situaciones queinvolucranpotencias.

1

2

3

4

1; 3; 9; 81

31; 32; 33; 34

243

3n

3 / 4 • Realizar ejercicios en que los y las estudiantescalculen áreas de figuras geométricas que involucrenpotencias de exponente 2.

• Plantear problemas a los y las estudiantes, de modoque al resolverlos deban deducir regularidades queinvolucran potencias de cualquier exponente.

Descomponer aditivamente un

número.

5

6

7

8

8.000.000 +300.000 +

20.0008.000.000 +200.000 +

30.000

8.000.000 +300 + 20

8.000.000 +30.000 + 20

3 / 4 • Repasar la notación decimal y el valor posicional decantidades enteras, partiendo con miles, decenas de

mil, centenas de mil, unidad de millón.• Realizar ejercicios en que los y las estudiantes

deban descomponer cantidades superiores a launidad de millón.

Aplicar elconcepto depotencia alcálculo de áreasde figuras planas.

9

10

11

12 cm 2

24 cm 2

48 cm 2

2 / 3 • Repasar el cálculo de área de distintas figurasgeométricas y luego relacionar este cálculo con elconcepto de potencia.

• Plantear problemas contextualizados en donde losalumnos y alumnas deban calcular áreas utilizandopotencias de exponente 2.

Errores frecuentes• Los alumnos tienden a calcular una potencia multiplicando la base por el exponente,

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Información para el docente• El diagrama de árbol es una estrategia relevante en el área de la combinatoria y,

posteriormente, en el cálculo de probabilidades; por lo tanto, es muy importante que losalumnos logren dominar esta representación, para que no presenten dificultades a futuro.

Actividades complementariasRepresente mediante un diagrama de árbol la siguiente situación.Los equipos de baby fútbol de los cursos 7º A y 7º B se disputan la final del campeonatoescolar, el equipo que gane dos juegos seguidos o complete un total de tres juegos ganados

será el triunfador del torneo. ¿De cuántas maneras puede ser ganado este torneo?

DIAGRAMA DE ÁRBOL Y POTENCIAS (Páginas 120 y 121)

incluso, a menudo se introduce el concepto de potencia utilizando ejemplos, tales como22 = 2 • 2. Los alumnos fijan esto en sus memorias y repiten esta conclusión con otraspotencias, para evitar este error conceptual, es recomendable utilizar ejemplos en loscuales el exponente y la base sean distintos.

• Es importante aclarar a los alumnos que no existe la conmutatividad entre el exponente y la base de una potencia, para esto puede analizar ejemplos similares a los siguientes:32 23; 13 31.

Actividades complementariasExpresar en forma de potencia las siguientes cantidades.1. 32 2. 81 3. 36 4. 5. 4

914

==

Errores frecuentes o posibles dificultades• Una posible dificultad para los alumnos es que al resolver problemas que involucran cambios

de unidades, no manejen las equivalencias entre unidades de longitud y unidades de

superficie; por lo tanto, es recomendable repasar estas equivalencias antes de trabajarestas páginas.

TareasResponde.Pedro corre alrededor de una cancha cuadrada cuyo lado mide 8 metros. Expresa usandopotencias la cantidad de metros que recorrerá si:

EL ÁREA Y LA POTENCIA DE EXPONENTE 2 (Páginas 122 y 123)


1. da solamente una vuelta.2. da cuatro vueltas.

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| 67 |

3. da ocho vueltas.

EL VOLUMEN Y LA POTENCIA DE EXPONENTE 3 (Páginas 124 y 125)

Errores frecuentes o posibles dificultades• De modo similar a las páginas anteriores, una posible dificultad para los alumnos es que al

resolver problemas que involucran cambios de unidades, no manejen las equivalenciasentre unidades de longitud y unidades de volumen.

Actividades complementariasResuelve.Si 1.000 cm 3 equivalen a 1litro, ¿cuántos litros habrá en un cubo en el cual:1. la arista mida 20 cm?2. la arista mida 30 cm?3. ¿Cuántos cm debe medir la arista de un cubo para poder vaciar en él una bebida de 2 litros?

MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE (Página 126)

Información para el docente• En estas páginas se comienzan a trabajar las propiedades de las potencias. Aclarar a los

alumnos que no existen propiedades para simplificar el algoritmo de la adición y sustracciónde potencias, de modo que para resolver deben calcular cada potencia por separado, y

luego sumar o restar según corresponda.

Errores frecuentes o posibles dificultades• Los alumnos y alumnas tienden a pensar que si en una potencia no se explicita el

exponente, entonces este es 0, y no 1, por ende, al multiplicar potencias de igual base, seequivocan al sumar los exponentes. El docente debe recordar esto previamente, realizandoejemplos en los cuales se presente esta situación.

Actividades complementarias• La siguiente actividad puede ser utilizada para profundizar el trabajo de la página 126.Transforma a potencias de igual base y luego expresa el resultado en una sola potencia.

1. 2. 3.( )3

• ( )4

=12

14 ( )

2• ( )

3=2

349 ( )

3• ( )

5=1

418

DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE (Página 127)

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34 • 4 5 • 2 8

23 • 3 2 • 4 3


a3 • b 12 • c 9

a • b 5 • c 4

Información para el docente• Mostrar a los alumnos que en el caso de la división de potencias de igual base no es

necesario que memoricen la propiedad, ya que utilizando la simplificación, como se muestraen el ejemplo del texto, es posible llegar al mismo resultado con éxito. Es importante

también que valoren el uso de la propiedad y que se den cuenta que con ella es más fácil y rápido calcular el resultado.

Errores frecuentes o posibles dificultades• Un error frecuente que cometen los alumnos al dividir potencias de igual base, es dividir

las bases y además restar los exponentes; por ejemplo, 3 3 : 32 = 1 1. Comentar esto conlos alumnos al realizar los ejercicios para que estén atentos y no cometan este error.

Actividades complementariasAplica en cada caso la propiedad de la división de potencias.

1. 2.

MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE (Página 128)

Información para el docente• Es interesante realizar con los y las estudiantes ejercicios en los cuales deban aplicar la

propiedad en el sentido contrario, por ejemplo: 242

= 122

• 22

= 144 • 4 = 576, o bien,64 = 2 4 • 3 4 = 16 • 81 = 1.296.

Errores frecuentes o posibles dificultades• Un error frecuente es que al multiplicar potencias de igual exponente, sumen las potencias

y conserven el exponente, es decir, 2 3 · 3 3 = 5 3. Comentar esto con los alumnos al realizar los ejercicios para que tomen conciencia de este posible error.

Actividades complementarias• La siguiente actividad puede servir para profundizar lo trabajado en esta página.

Analizar con los alumnos qué sucede si se multiplican potencias de igual base y exponente.¿Cuál propiedad se aplica? ¿Da lo mismo? ¿Qué resultado corresponde a na • na = ?


DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE (Página 129)

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| 69 |

Información para el docente• El tratamiento de las potencias, muchas veces se reduce a la memorización de sus

propiedades. Es importante que el docente, a partir de una situación cotidiana, muestre laregularidad, de modo que el estudiante, a través de sucesivos ejercicios, llegue a lageneralización y pueda deducirlas.

Actividades complementarias• Como complemento al trabajo con regularidades, analizar con los alumnos qué sucede si la

base de una potencia es un número entre 0 y 1.

• Para profundizar se sugiere la siguiente actividad:

Analizar con los alumnos el siguiente problema: ¿cuál es la última cifra de 227

? Pararesolver este problema calcular las 11 primeras potencias de 2 (21, 22, 23, etc.) y que losalumnos observen la cifra de la unidad en cada caso. Se darán cuenta de que existe unaregularidad con respecto a esta cifra y podrán deducir la respuesta sin necesidad,obviamente, de calcular esa potencia.

REGULARIDADES DE LAS POTENCIAS (Páginas 130 y 131)

Información para el docente• La propiedad de la división de potencias de igual exponente es un claro ejemplo de lo útiles

que son las propiedades para facilitar el cálculo. Dar énfasis a esto para que los alumnoscomprendan el sentido de utilizar las propiedades.

Errores frecuentes o posibles dificultades• Un error frecuente que cometen los alumnos al dividir potencias de igual exponente es

restar las bases y conserva el exponente. Por ejemplo, 3 3 : 23 = 1 3. Comentar esto con los

alumnos al realizar los ejercicios para que tomen conciencia de este posible error.

Información para el docente• Es probable que los alumnos y alumnas al resolver una potencia de una potencia sumen los

exponentes en vez de multiplicarlos. Para superar esta dificultad es recomendable nocomenzar con ejemplos del tipo (a 2)

2, ya que en estos casos es equivalente el sumar o

multiplicar. Debe hacer hincapié en el procedimiento correcto, mostrando variados ejemplos.

POTENCIA DE UNA POTENCIA (Páginas 132 y 133)


Nº de Logrado Remediales/

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Aplicar propiedades dela multiplicacióny división depotencias.

3

4

5

C

A

B

2 / 3 • Realizar ejercicios de multiplicación y división depotencias de igual base en que deban desarrollar laspotencias para encontrar el resultado.

• Realizar ejercicios de multiplicación y división depotencias en que deban aplicar las propiedades paraencontrar el resultado. Usar potencias numéricas debase literal de modo de generalizar propiedades.

Relacionar potencias deexponentes 2 y 3con área y volumen,respectivamente.

6

7

C

D

2 / 2 • Realizar ejercicios en los cuales deban calcular áreasy volúmenes de cuadrados o cubos,respectivamente, dada la medida de su lado o arista.

• Realizar con los alumnos ejercicios en que debancalcular el lado o la arista de cuadrados y cubos,respectivamente, dado el área o el volumen.

Resolver problemas deaplicación.

8

9

C

9 m 2

2 / 2 • Pedir a los y las estudiantes que inventen unproblema que pueda ser resuelto mediante el usode potencias. Luego, pedir que lo intercambien consu compañero o compañera y lo resuelvan.

• Pedir que resuelvan problemas dada una estrategiaconcreta. Por ejemplo, mediante el uso de diagramade árbol, utilizando ciertas propiedades, etc.

Indicador pregunta Respuesta con sugerencias de profundización

Calcular el valor de una potenciay representarlagráficamente.

1

2

C

D

1/2 • Realizar ejercicios en que los y las estudiantes debanrepresentar una situación en forma de potenciautilizando como representación gráfica el diagramade árbol.

• Realizar ejercicios en que deban resolver situacionesproblemáticas a través de potencias.

Información para el docente• Una sugerencia para introducir este tema es analizar contextos donde las cantidades

involucradas sean grandes números; por ejemplo, distancias en el universo, de modo que losalumnos y alumnas reconozcan que hay cantidades muy grandes que son difíciles de expresar y más aún manipular por lo tanto, se hace necesaria una notación específica para ello, y queen este caso las potencias satisfacen esa necesidad.

POTENCIAS DE BASE 10 CON EXPONENTE ENTERO (Páginas 136 y 137)


Información para el docente• Los alumnos, frecuentemente, se confunden al expresar decimales menores que 1 como

potencias de exponente 10, sin mencionar que es primera vez que trabajan con esta

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1,47 • 10 11

4,9 • 10 2

| 71 |

notación. Para evitar lo anterior se recomienda hacer hincapié en que el exponente de lapotencia, en valor absoluto, debe ser equivalente al número de posiciones que hay despuésde la coma, ya que los alumnos tienden a contar solamente los ceros que involucra elnúmero, por ejemplo: 0,00068 68 • 10 3, o bien, 0,00068 = 68 • 10 5.

• En este contenido los alumnos, por primera vez, se encontrarán con potencias deexponente negativo, por lo cual es posible que presenten dificultades. Por esto, se sugiererepasar la operatoria con números enteros, de manera que al momento de aplicar propiedades de multiplicación y división de potencias de igual base con exponentes

negativos, no tengan dificultades al sumar o restar estos exponentes.

=

Información para el docente• Se sugiere relacionar el contenido de estas páginas con las dos anteriores, aclarando que

cuando el coeficiente que acompaña a la potencia de 10 está entre 1 y 10 corresponde a

notación científica. Indicar también en qué contextos es usual encontrar esta notación.

Errores frecuentes o posibles dificultades• En el caso de expresar en notación científica número menores que 1, recordar a los alumnos

que el exponente de la potencia de 10 debe ser negativo y equivale, en valor absoluto, alnúmero de lugares después de la coma en que se quiera expresar el número; es decir:

0,00068 = 6,8 • 10 –4

Actividades complementariasResuelve.La velocidad de la luz puede medirse al dividir la distancia desde el Sol a la Tierra(1,47 •10 11metros) entre el tiempo que le toma a la luz del Sol llegar a la Tierra(4,9 • 10 2 segundos). Por lo tanto, la velocidad de la luz es:

¿A cuántos metros por segundo equivale esto?

NOTACIÓN CIENTÍFICA (Páginas 138 y 139)

Información para el docente• Analizar con los alumnos en qué situaciones es recomendable utilizar un diagrama de árbol

para facilitar la comprensión del problema y llegar a la solución con éxito. En los casos enque no sea recomendable, pedirles que sugieran alguna estrategia para organizar la

información dada en el enunciado, de manera que facilite el análisis para la posterior resolución del problema.

POTENCIAS DE BASE 10 CON EXPONENTE ENTERO (Páginas 136 y 137)

Información para el docenteI f ió l d t

CONCEPTO DE RAÍZ CUADRADA (Páginas 142 y 143)

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• Información para el docente• Para que los estudiantes comprendan a cabalidad el concepto de raíz cuadrada, es muy

importante que se verbalice que la raíz cuadrada de un número es un valor que multiplicadopor sí mismo resulta dicho número.

• Una vez que el alumno ha comprendido la lógica de la raíz cuadrada, se puede relacionar con el proceso inverso a la potencia de exponente 2.

Errores frecuentes o posibles dificultades• En varios de los ejercicios de estas páginas se mencionan los múltiplos de número, números

primos, números pares, etc. Es posible que los alumnos no puedan resolver los ejercicios por no recordar el significado de estos conceptos, para lo cual se sugiere realizar un pequeñorepaso anterior al desarrollo de estas páginas.

Información para el docente• Un número natural b es un cuadrado perfectosi existe otro número natural a, de modo

que a 2 = b. En este caso se dice que b es el cuadrado perfecto de a.• Un número natural a es la raíz cuadrada exactade otro número natural b, si se cumple que

a2 = b.

Actividades complementariasResuelve.1. Se sabe que la medida de la diagonal de un cuadrado es un número entero. Determina tres

posibles medidas para el lado del cuadrado.

NÚMEROS QUE SON CUADRADOS PERFECTOS (Páginas 144 y 145)

Información para el docente• Se sugiere comentar a los y las estudiantes que no todo número natural tiene raíz cuadrada

exacta; es por eso que en ocasiones es necesario realizar una aproximación.• Al realizar aproximaciones se comete un error respecto al resultado exacto, este no debe

ser olvidado al momento de evaluar los resultados obtenidos.

CÁLCULO APROXIMADO DE LA RAÍZ CUADRADA (Páginas 146 y 147)

Errores frecuentes o posibles dificultades• Al resolver operaciones combinadas es muy común que los y las estudiantes confundan o

no respeten la prioridad de las operaciones, para superar esta dificultad se recomiendamencionar a los alumnos que si en un ejercicio aparecen dos operaciones con la mismaprioridad, se debe respetar el orden en que estas aparecen, es decir, de izquierda a derecha.

OPERACIONES COMBINADAS (Páginas 148 y 149)


Información para el docenteS i d l l l d d i id d d l i é i


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| 73 |

• Se sugiere recordar a los alumnos el orden de prioridad de las operaciones: paréntesis(desde adentro hacia fuera), potencias y raíces, multiplicaciones y divisiones; finalmente,adiciones y sustracciones.

Información para el docente• Para resolver problemas que involucran regularidades de las potencias, es recomendable

solicitar a los y las estudiantes que utilicen tablas para organizar la información, en las cualespuedan observar en forma ordenada los datos dados en el enunciado del problema y llegar a la solución con éxito.


Actividades complementarias• Repasar con los alumnos todos los contenidos trabajados en esta unidad y en conjunto ir

confeccionando en la pizarra el mapa conceptual.Presentar a los alumnos preguntas de análisis como por ejemplo:1. ¿Con qué operación aritmética se relaciona el concepto de potencia?2. ¿Por qué en una potencia el exponente y la base no se pueden intercambiar?3. ¿En qué casos de la vida cotidiana se observa un crecimiento exponencial o un

decrecimiento exponencial?


Información para el docente• En la página http://www.miclaseparticular.cl/?a=7644 puede acceder de manera gratuita a

ensayos tipo SIMCE.


Actividades complementariasResuelve.1. Las distancias de la Tierra a la Luna y al Sol, en un momento dado son 4 • 10 5 y 1,5 • 10 8

respectivamente. ¿Cuántas veces mayor es la distancia de la Tierra al Sol que de la Tierra ala Luna?

2.La Escherichia Coli es una bacteria que habita en nuestro tubo digestivo. Tiene forma de bastóny, aunque se aprovecha de nuestro alimento, no nos perjudica; de hecho, se piensa que es útil,ya que reduce el número de las especies que producen enfermedades. En condicionesóptimas la bacteria se duplica cada 20 minutos:


a. Si se tiene una de esas bacterias, ¿cuántas habrá después de una hora?b. Si inicialmente hay una bacteria, ¿cuánto tiempo tiene que pasar para que haya 128?c. Al llegar al laboratorio, Pedro descubre que hay 4.096 bacterias. ¿Cuántos minutos transcurrieron

para obtener esa cantidad de bacterias si inicialmente había una?

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CÓMO ME FUE (Páginas 160 y 161)


conRemediales/


Calcular el valor de potencias deexponentenatural y basepositiva aplicandolas propiedadesde las potencias.

1

2

B

A

2 / 2 • Realizar ejercicios con los y las estudiantes en los quedeban resolver potencias de base entera, decimal ofracción, y reducir expresiones a una sola potenciautilizando las propiedades de las potencias vistas a lolargo de la unidad.

• Realizar ejercicios combinados en que para resolver la expresión deban utilizar las propiedades de laspotencias.

para obtener esa cantidad de bacterias, si inicialmente había una?

Interpretar geométricamentepotencias deexponentes 2 y 3.

3

4

10

B

B

125 cm 3

2 / 3 • Realizar ejercicios en que deban calcular áreas y volúmenes de cuadrados y cubos respectivamente,dada la medida del lado y arista.

• Realizar ejercicios en que deban calcular la medida dellado o arista de cuadrados y cubos respectivamente,dada la medida del área y del volumen.

Expresar númerosaplicando lanotacióncientífica.

5

6

B

D

2 / 2 • Realizar ejercicios donde deban expresar un númerodado en su notación decimal a notación científica.• Realizar ejercicios donde deban expresar un número

dado en su notación científica a notación decimal.

Usar el diagramade árbol pararepresentar unasituación queinvolucrapotencias en laresolución deproblemas.

11

12

13

92

5.000.000

31 + 3 2 + 3 3

2 / 3 • Realizar ejercicios que involucren el descubrimientode patrones geométricos donde los alumnos debanreconocer la regularidad para encontrar cierto

término desconocido.• Realizar ejercicios en que deban resolver problemas

que involucren regularidades y utilicen comoestrategia de resolución diagramas de árbol.


Identificar,calcular y

resolver

7

8

B

C

3 / 5 • Realizar problemas en los cuales deban describir pasoa paso el procedimiento realizado.

• Resolver problemas que involucran más de una

U4 PAG 62-77 9/9/09 11:02 Page 75



| 75 |

Actividades complementariasResuelve.

1. Para tener conciencia de cómo se puede transmitir una enfermedad contagiosa, piensa enun pueblo al cual llega un enfermo que en el lapso de quince días transmite la enfermedada dos personas; luego, cada una de estas dos personas, al cabo de quince días, se la

transmite a otras dos y así sucesivamente. En un principio, esta enfermedad es asintomática(no presenta síntomas); por lo tanto, las personas, durante un período de tiempo, no sabenque están contagiadas. Si el contagio continúa de esa manera, ¿en cuánto tiempo podríahaber 500 infectados. Si el contagio de cada dos personas se diera, en vez de quince días,cada mes, ¿cuánto demoraría en haber 500 infectados en el pueblo?

2. Se planifican dos planes de ahorro, A y B; ambos comienzan con 110 mil pesos de ahorroy se depositará mensualmente una cierta cantidad de dinero. En el plan A se depositará100 pesos el primer mes y luego 100 pesos más que el mes anterior. En el plan B sedepositarán 10 pesos el primer mes y luego el doble cada mes (es decir, 20 pesos elsegundo mes, 40 pesos el tercer mes y así sucesivamente).a. ¿Cuánto será el aumento en cada caso, sin considerar los intereses?b. ¿Cuánto dinero tendrá cada uno en la cuenta si es que cumplen el plan de ahorro, al

cabo de un año, si no se consideran los intereses?c. ¿Cuál de los dos planes recomendarías tú? Fundamenta tu elección.


problemas queinvolucran cálculode potencias,raíces cuadradasexactas y noexactas y operaciones

combinadas.

8

9

14

15

C

5

134

7

p qoperación. Además resolver problemas querequieran calcular una potencia y luego verificar lasrespuestas obtenidas aplicando la raíz cuadrada,reconociendo lo inverso de ambas operaciones.



Marca la alternativa correcta en las siguientes preguntas

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1. ¿Cuál es el resultado de 2 5 + 2 5 + 2 5?

A. 215

B. 25

C. 215

D. Ninguna de las anteriores.

2. La expresión equivale a:

A. 729

B. 92

C. 37

D. 312

3. ¿Cuál es la expresión verdadera?A. 82 = 4 4

B. 93 = 3 5

C. 272 = 9 3

D. 272 = 3 5

4. ¿Cuál de las siguientes expresiones está escrita en

notación científica?A. 0,43 • 10 6

B. 43 • 10 7

C. 430 • 10 4

D. 4,3 • 10 5

813 • 27 4

96


5. El volumen de un cubo de arista 0,75 cm expresado

en potencia corresponde a:

A. 0,752 cm3

B. 0,753 cm3

C. 7,53 cm3

D. 7,5 • 10 3 cm3

6. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde al área

de un cuadrado cuyo lado mide 7 4 m2?

A. 76 m2

B. 78

m2

C. 710 m2

D. 712 m2

7. Si el área de un rectángulo es 12 4 cm2, ¿cuáles de los

siguientes valores no podrían representar las medidas

de sus lados?

A. 34 cm y 4 4 cm.

B. 124 cm y 5 0 cm.

C. 123 cm y 12 cm.

D. 23 cm y 6 cm.

8. La velocidad de la luz es 300.000 km/s. Expresada

utilizando potencias de 10, corresponde de a:

A. 3 • 1 0 8 m/s

B. 3 • 1 0 5 m/s

C. 3 • 1 0 15 m/s

D. 0,3 • 10 7 m/s

9. Cierta bacteria se duplica cada 10 minutos. Si en un

comienzo había 3 bacterias. ¿Cuántas bacterias hay

en el minuto 30?

13. El área de un cuadrado es 169 cm 2, entonces la

medida del lado es:

A. 11 cm.

U4 PAG 62-77 9/9/09 11:02 Page 77



| 77 |

A. 6 bacterias.

B. 8 bacterias.

C. 12 bacterias.

D. 24 bacterias.

10. En una bolsa hay 5 cajas de chocolate y en cada

caja hay 5 barras de chocolate. ¿Cuántas barras de

chocolates tendré si compró 5 bolsas similares a las

anteriores?

A. 52

B. 25

C. 125

D. 54

11. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son)verdaderas?I. (6 – 3)2 = 6 2 – 3 2

II. (6 + 3)2 = 6 2 + 3 2

III. (6 • 3)2 = 6 2 • 3 2

IV. (6 : 3)2

= 62

: 32

A. I y II

B. III y IV

C. Todas las anteriores.


12. La expresión (2 2 • 3 4 • 4 5 )2

• (2 4 • 3 0 • 4 2 )3

equivale a:

A. 242 • 3 8

B. 2152 • 3 8

C. 248 • 3 8


B. 12 cm.

C. 13 cm.

D. 30 cm.

14. ¿Cuántos cuadrados de lado 2 4 cm pueden

obtenerse de una cartulina que mide 2 4 cm de

ancho y 2 7 cm de largo.

A. 4 cuadrados.

B. 8 cuadrados.

C. 27 cuadrados.

D. 28 cuadrados.

15. De las siguientes alternativas, la mejor aproximación

de √10 es:

A. 3

B. 3,01

C. 3,1

D. 3,16

16. El área de un terreno cuadrado es 160.000 m 2. Si

se desea cercar el terreno y solo hay alambre para

cercar 10 3 m, ¿cuánto alambre falta?

A. 200 m.

B. 600 m.

C. 1.000 m.

D. 2.000 m.

l a g e n e r a l i z a c i ó n

d e

y l a a l u m n a p o

d r á n

e s n u m

é r i c o s ,

r e d u c i r

m é r i c o s ,

a t r a v é s

d e

l

r e t e n d e

d e s a r r o

l l a r e l

ia l m e n

t e a e s t u

d i a r

l a

L A U N I D A D

s e m

e j a n t e s .

s . s d e c i m a l e s .

it a s a

a m b o s

l a d o s

e s .

U5 PAG 78-93 9/9/09 11:04 Page 78




5

I n t r o d u c c i ó n

E s t a u n

i d a d

t i e n e c o m o o

b j e t i v o p r e s e n

t a r n u e v a s

h e r r a m

i e n

t a s r e

l a c i o n a d a s c o n

s i t u a c

i o n e s ,

m e

d i a n

t e l a u

t i l i z a c i ó n

d e

l l e n g u a j e a l g e b r a i c o .

D e

e s t a m a n e r a e l a l u m n o

t r a d u c i r s i t u a c i o n e s

d e l l e n g u a j e n a t u r a l a l m a t e m

á t i c o , l l e

g a r a l a f o r m u

l a c i ó n

d e p a t r o n e

e x p r e s i o n e s a l g e

b r a i c a s y r e s o

l v e r p r o

b l e m a s m

á s c o m p

l e j o s ,

e n

d i s t i n t o s

á m b i t o s n u m

p l a n t e a m

i e n

t o d e e c u a c i o n e s

d e p r i m e r g r a d o c o n u n a

i n c ó g n

i t a .

P o r o

t r a p a r t e ,

s e p r

r a z o n a m

i e n

t o d e

l o s a l u m n o s ( a s ) ,

p a r a e s t o s e

i n c o r p o r a n p

á g i n a s

d e s t i n a d a s e s p e c i a

p e r t i n e n c i a

d e

l a s s o

l u c i o n e s o

b t e n

i d a s c o m o

t a m

b i é n a

i n t e r p r e

t a r s u s r e s u

l t a d o s .

O F V

C M O

C O N T E N I D O S D E

Á l g e b r a y

e c u a c i o n e s

• R e s o

l v e r p r o

b l e m a s

r e f e r i d o s a

d i v e r s o s

c o n

t e x t o s p o r m e d

i o d e l p

l a n

t e o

d e

e c u a c i o n e s

d e p r i m e r g r a d o c o n u n a

i n c ó g n

i t a , e

n e l

á m b i t o d e

l o s n

ú m e r o s

n a t u r a l e s ,

f r a c c i o n e s o

d e c i m a l e s p o s i t i v o s

y e n

l a s q u e s e a n e c e s a r i o r e

d u c i r

l a s

e x p r e s i o n e s

i n v o

l u c r a d a s .

• E m p

l e a r

f o r m a s s i m p

l e s

d e m o

d e l a m

i e n

t o

m a t e m

á t i c o ,

a p l i c a r

h a b

i l i d a d e s

b á s i c a s

d e l

p r o c e s o

d e r e s o

l u c i ó n

d e p r o

b l e m a s e n

c o n

t e x t o s


i f i c a t i v o s p a r a e l

o l a e s t u

d i a n

t e u

t i l i z a n

d o

l o s c o n

t e n

i d o s

d e l n

i v e

l , y a n a l i z a r

l a v a l i d e z

d e

l o s

p r o c e

d i m i e n

t o s u t

i l i z a d o s y

d e

l o s

r e s u

l t a d o s o

b t e n

i d o s .

• L e n g u a j e a l g e

b r a i c o .

• P a t r o n e s n u m

é r i c o s .


d e

t é r m

i n o s

• E c u a c i o n e s .

• E c u a c i o n e s

f r a c c i o n a r i a s

• E c u a c i o n e s c o n n

ú m e r o

• E c u a c i o n e s c o n

i n c ó g n

i t

d e

l a i g u a l d a d .

• E c u a c i o n e s

l i t e r a l e s .

• E s t u

d i o d e

l a s s o

l u c i o n e

C u a

d r o s i n

ó p

t i c o

• T r a d u c c i ó n

d e e x p r e s i o n e s e n

l e n g u a j e

n a t u r a l a

l e n g u a j e s i m

b ó l i c o y v i c e v e r s a .


d e e x p r e s i o n

e s a l g e

b r a i c a s p o r

m e d

i o d e

l a a p

l i c a c i ó n

d e p r o p

i e d a d e s

d e

l a s o p e r a c i o n e s ,

a d i c i ó n

y s u s t r a c c i ó n

d e

t é r m

i n o s s e m e

j a n t e s y e

l i m i n a c i ó n

d e

p a r é n

t e s i s .

• R e s o

l u c i ó n

d e p r o

b l e m a s m e

d i a n

t e e l

p l a n

t e a m

i e n

t o d e u n a e c u a c i ó n

d e p r i m e r

g r a d o c o n u n a

i n c ó g n i t a ,

i n t e r p r e

t a c i ó n

d e

l a s o

l u c i ó n e n

t é r m

i n o s

d e l c o n

t e x

t o d e

l

p r o

b l e m a .

. fic a c i a .

U5 PAG 78-93 9/9/09 11:04 Page 79



| 79 |


d a m e n

t a l e s

t r a n s v e r s a

l e s

• D e s a r r o

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d e r e s o

l v e r p r o

b l e m a s ,

l a c r e a t i v

i d a d y

l a s c a p a c

i d a d e s

d e a u

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d i z a j e .

• D e s a r r o

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i l i d a d

i n d i v i d u a l

f r e n

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t r a b a j o s .

• D e s a r r o


i e n

t o r e f l e x i v o y m e t ó d

i c o y e n e

l s e n

t i d o




i n t e r é s

y l a c a p a c i d a d

d e c o n o c e r


u t i l i z a r e

l c o n o c i m

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l a i n f o r m a c i ó n r e

l e v a n

t e .


l a h a b

i l i d a d

d e e x p r e s a r y c o m u n

i c a r

l a s o p

i n i o n e s ,

i d e a s ,

s e n

t i m

i e n

t o s y c o n v i c c i o n e s p r o p

i a s ,

c o n c l a r i d a d y e

f i c

T i e m p o e s

t i m a

d o

7 a

9 s e m a n a s .



LENGUAJE ALGEBRAICO

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Resolución de problemas

Información para el docente• Antes de comenzar la unidad, comentar con los alumnos(as) la importancia del álgebra en

el desarrollo de las matemáticas, y lo esencial de su uso para resolver problemas de todaíndole, que nos permiten desarrollar tecnologías a beneficio de una mejor calidad de vida.• Al empezar esta unidad se propone un pequeño proyecto grupal que tiene como objetivo

que los alumnos(as) conozcan a grandes rasgos los orígenes del álgebra en la historia de lasmatemáticas. Una parte del proyecto es discutir acerca de los tres tipos de álgebramencionados en las introducción, para información del docente aquí están sus definiciones:Álgebra retórica:se trata de los primeros “pasos” del álgebra. Se expresan las relacionescon palabras no con símbolos ni números.

Álgebra sincopada:es el tránsito hacia del álgebra retórica al álgebra simbólica y sediferencia de la retórica en que aparecen abreviaturas de ciertas palabras. No es universal.Este es el álgebra que por ejemplo utilizó Luca Pacioli en la cual, entre otras, utilizóabreviaturas propias como:- co para cosa (nuestra incógnita x)- ae para la aequalis (nuestra igualdad =)- p para plus ( para sumar +)- m para minus ( restar –)



Ecuaciones

Pertinencia de las soluciones

Ecuaciones con incógnita aambos lados de la igualdad

Ecuacionesfraccionarias

Ecuacionesliterales

Reducción de términos semejantes Eliminación de paréntesis

Ecuacionesdecimales

Patrones numéricos

UNIDAD 5 | Álgebra y ecuaciones

Álgebra simbólica:fue introducida por Viète (1540–1603) que propuso dar letras vocales parareferirse a la cosa (la incógnita) y letras consonantes para referirse a cantidades conocidasintroduciendo el concepto de parámetro. En este tipo de álgebra se utilizaron los símbolos de

( ) t ( ) l d l t i

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| 81 |


conRemediales/


Resolver operaciones con

fracciones.

1

2

3

4

5

6

3 / 6 • Recordar a los(as) alumnos(as) las 4 operacionescon fracciones, usando mcm para la adición y

sustracción.• Ejercitar con los alumnos y alumnas ejercicioscombinados con fracciones.

suma (p), resta (m) pero no los de las potencias.Para más información visitar la página:http://olmo.cnice.mecd.es/~dmas0008/perlasmatematicas/nacimientoalgebra.htm

TareasComo complemento al proyecto grupal pedir a los alumnos y alumnas que visiten la páginahttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99–0045–01/secciones/historia.html para conocermás sobre la historia de las matemáticas.

Errores frecuentes o posibles dificultades• Para resolver ecuaciones es necesario que los alumnos(as) manejen operaciones

aritméticas en los distintos ámbitos numéricos. Es frecuente que tengan dificultades al

operar con fracciones, por ejemplo que al sumar dos fracciones sumen los numeradores y denominadores por separado. Por esto se recomienda recordar las 4 operaciones confracciones incluyendo como sumar fracciones con distinto denominador, calculando elm.c.m y, la simplificación de expresiones fraccionarias.

• En la resolución de ecuaciones aditivas o multiplicativas los alumnos y alumnas puedenpresentar dificultades para identificar la operación inversa en casos como:ax + –b = c no saben si se resta “b” o “–b” a ambos lados de la igualdad. –a x = b no saben si se suma “a” o se divide por “–a” a ambos lados de la igualdad.

–x / a = b no saben si se suma “a” o se multiplica por “–a” a ambos lados de la igualdad.Realizar ejemplos de este tipo para corregir posibles errores.


437

6142329181225

Evaluar expresiones

algebraicas.

7

8

–5

9

3 / 6 • Realizar con los(as) alumnos(as) ejercicios en queevalúen distintos términos algebraicos, por ejemplo,

2a ó –3b. Luego evaluar expresiones algebraicas.• Ejercitar con los y las estudiantes operaciones

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9

10

11

12

0

–30

11

–7

j y pbinarias utilizando símbolos, por ejemplo, definir:a ~ b = 2a + b2, y luego asignar valores para a y b.

Traducir expresionesescritas alenguajealgebraico.

13

14

15

16

17

18

19

20

2x

4m

x + y

z – y

4 / 8 • Realizar con los y las estudiantes traduccionesdirectas de operaciones multiplicativas, por ejemplo,el doble de un número, el triple de un númerocualquiera, etc. como también, otras traduccionesdirectas de adiciones y sustracciones.

• Realizar con los(as) alumnos(as) traducciones más

complejas en que se combinen distintasoperaciones.

y 4z3

(t + v)2

Resolver ecuacionesaditivas y multiplicativas.

21

22

23

24

25

26

27

28

x = 8

y = 1.270

r = –24

m = –48

y = 13

t = –4,5

v = 3

x = –4

4 / 8 • Recordar a los(as) alumnos(as) que para resolver ecuaciones se deben utilizar los inversos aditivos y multiplicativos para despejar la incógnita.Acostumbrar a los y las estudiantes a expresar laoperación inversa explícitamente en la resolución deecuaciones para corregir posibles errores.

• Resolver con los alumnos y alumnas ecuacionesmezclando ecuaciones aditivas y multiplicativas.

(2a + 3b)3


Resolver problemas

utilizandoecuaciones. 29Pablo tiene

13 años

1 / 2 • Ejercitar con los(as) alumnos(as) el proceso derazonamiento del problema, logrando que lo

expresen con sus propias palabras, luegoidentifiquen la incógnita y las relaciones matemáticasd i l bl úl i l

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| 83 |

30 Paula tiene

41 caramelos

descritas en el problema, y por último que logrenexpresar la ecuación y su posterior resolución. Noolvidar que deben responder a la preguntaplanteada.

• Profundizar con los alumnos y alumnas problemasque tengan relación con la edad de las personas o

con tiempos relativos.

Información para el docente• Comentar con los alumnos y alumnas que una de las ventajas del lenguaje algebraico es su

precisión, pues gracias a este lenguaje una situación o problema se pueden traducir exactamente del lenguaje natural al lenguaje algebraico. También es importante destacar susdiferencias, por ejemplo, es posible entender un texto y comprender su significado aunquefalten letras o estén mal escritas algunas palabras, pero el lenguaje algebraico no tiene estapropiedad, ya que un signo equivocado o algún tipo de desorden en las operacionesprovocan un resultado distinto del que originalmente se pensó expresar.

Errores frecuentes o posibles dificultades• Los(as) alumnos(as) pueden presentar dificultades para expresar relaciones como “múltiplos

de dos”, lo más probable es que solo lleguen a casos particulares y no a la generalización,por ejemplo: 2, 4, 6, 8, etc. Por lo tanto, recordar que en este caso la letra que se usará paraexpresar algebraicamente la proposición tiene el carácter de variable y no de incógnita (yaque no se pide una ecuación, es solo una expresión algebraica), por ejemplo; los múltiplosde 2 corresponden a:

2, 4, 6, 8, … 2 •1, 2 •2, 2 •3, 2 •4, …La variable debemos representarla por una letra por lo tanto la expresión obtenida es 2 • x.

Actividades complementarias• Para trabajar la actividad en parejas, ejercicios 16 a 19, los alumnos y alumnas deben decidir

si las proposiciones son verdaderas o falsas. Es importante que logren darse cuenta que unamanera intuitiva de hacer la verificación es remplazar la variable por un valor particular.En el caso de que la proposición sea falsa, es suficiente con dar un ejemplo que no cumplacon la proposición, pero en el caso de que la proposición sea verdadera, deben utilizar otrosmecanismos para concluir la generalidad de la proposición.

LENGUAJE ALGEBRAICO (Páginas 172 y 173)

Expresa las siguientes proposiciones en lenguaje algebraico.1. La suma de 3 números consecutivos.2. El antecesor de un número.3. El sucesor de

un número.

• Para más ejercicios puede visitar la página:http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/guias/ecuacion/GuiaTraducciones/

d h

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Guia_de_Ecuaciones.htm

Información para el docente• A la hora de resolver la secciónPráctica, es útil aclarar a los alumnos y alumnas que el

enésimo término corresponde al término en la posición n, es decir, el enésimo términocorresponde al término general de una sucesión. Es necesario además variar la letra de este término general “enésimo”, por ejemplo, j–ésimo (j), k–ésimo (k), para que los alumnos y alumnas no concluyan que solo el enésimo término es el término general.

Actividades complementarias• Un buen ejercicio es escribir un patrón numérico en el pizarrón que incluya un número que

no se ajusta al patrón, como por ejemplo 4, 6, 8, 11, 12, 14. Preguntar a los y las estudiantessi hay algún término que no se ajusta al patrón y si es así ¿cuál es? (este número correspondea 11). Luego los alumnos y alumnas pueden crear sus propios patrones, incluir un términoque no se ajusta, e intercambiar los patrones entre ellos para que cada uno encuentre el término que no se ajusta en el patrón que creó el otro compañero o compañera.

Errores frecuentes o posibles dificultades• En general para los alumnos y alumnas es difícil llegar a obtener al enésimo término o el

término general de una secuencia. Se recomienda empezar con ejemplos de sucesiones enque los(as) alumnos(as) solo tengan que completar con el siguiente término. Luego queidentifiquen la regla de formación (enésimo término o término en general), pero que laexpresen en palabras (al anterior se le suma 2, o bien al anterior se multiplica por 2, etc.),después que relacionen la posición del término con el propio término. Y por últimorepresentar esta posición con una letra (recordar que esta posición es variable) y completar la fórmula.

• También es importante darles ejemplos a los alumnos y alumnas en que el enésimo términode una sucesión puede ser expresado de distintas maneras, y que estas dependen, por ejemplo, si el primer término está en la posición 1 ó 0.

Información para el docente• Muchas veces para los alumnos y alumnas es importante la justificación (demostración) de

ciertas propiedades matemáticas. Una manera bastante sencilla y simple de verificar propiedades junto a los alumnos y alumnas es a través de modelos geométricos. Se podríareforzar la suma de términos semejantes con el siguiente modelo:

PATRONES NUMÉRICOS (Páginas 174 y 175)

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES (Páginas 176 y 177)


1

21

x Área = 1 • x = xÁrea = 1 • x = x

Área = 2 • x = 2x

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| 85 |

Área + Área = Área totalx + x = 2x

• Buscar variaciones de ejercicios para los alumnos y alumnas, por ejemplo, con rectángulosde ancho 0,5 y largo y, etc.

• Por otra parte cuando los y las estudiantes se enfrentan a un término y deben reconocer sus partes (coeficiente numérico y parte literal) apoyar con ejemplos: ó donde

los(as) alumnos(as) pueden eventualmente confundir cuál es el coeficiente numérico.

Errores frecuentes o posibles dificultades• En el caso de la reducción de paréntesis, los alumnos y alumnas pueden tener dificultades,

ya que suelen cambiar signo solo al primer término del paréntesis. Puede facilitar este

procedimiento, explicarles lo siguiente: –(a + b) es el inverso aditivo de (a + b) por lo tanto –(a + b) = –a + –b = –a – b

• Otra manera de justificar la reducción de paréntesis es justificarla a través de aplicación dela propiedad distributiva. –(a + b) = –1 • (a + b) = –1 • a + –1 • b = –a + –b = –a – b

Actividades complementarias• Las siguientes actividades son para profundizar con los alumnos y alumnas que no presentan

mayores dificultades en este contenido.

Reduce los siguientes términos semejantes.1. 7p3 – [2p2 + p – 1 – (p3 + 3p2 – 4p + 5)] =

2. 2x + {–6y – [–xy + (4x – 2xy – y)]} =

3. 11a – { –5b – [–4c – (9b – 11a + c]} =

Si M = 2x – y + 4 y N = 2x + 3y + 4. Calcula.

4. 2M – N = 5. 3M – 2N = 6. –M – 2N =

Información para el docente• Recordarle a los alumnos y alumnas el concepto de igualdad (importante que no lo

confundan con identidad), incógnita y de las propiedades que debieran conocer pararesolver una ecuación (propiedad conmutativa, asociativa, distributiva, neutros).

ECUACIONES (Páginas 178 y 179)

x

• Al plantear ecuaciones es recomendable no usar siempre la letra x, para no crear en elalumno y alumna una fijación. Además es útil leer las ecuaciones planteadas en voz alta demodo de hacer el ejercicio inverso, es decir, traducir las ecuaciones al lenguaje natural, estopermite una mayor comprensión del concepto de ecuación.

• Al momento de plantear ecuaciones, es necesario escribir la incógnita tanto al costadod h d l ld d l d d b l l l

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derecho de la igualdad, como en el costado izquierdo, para acostumbrar al alumno y alumnay evitar posibles dificultades y errores de signos al resolver ecuaciones en donde la incógnitaeste en el costado derecho de la igualdad.

Errores frecuentes o posibles dificultades• En la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita, es probable que los

alumnos y alumnas cometan el siguiente tipo de error.1º Sumar términos semejantes sin importar el signo de los términos y a qué lado de la

igualdad se ubiquen.2º Al realizar una operación inversa, cambian el signo de términos que no se están

operando por ejemplo,5 – 2x = 3 2x = 3 – 5 (olvidan que la incógnita tiene un coeficiente negativo)

3º Para eliminar el coeficiente negativo que multiplica la incógnita, aplican la operacióninversa equivocada, o bien, aplican la operación inversa de la multiplicación pero seolvidan del signo. –3x = 2 x = 2 + 3 (confunden la operación inversa)

–3x = 2 x = (olvidan el signo)


conRemediales/


Utilizar expresionesalgebraicas pararepresentar cantidades.

1

2

A

B

1 / 2 • Si el alumno y alumna no lograron este objetivo,realizar ejercicios simples donde se involucre una solaoperación y se mencione en el problema de distintasmaneras, por ejemplo, la operación adición se puedepreguntar como; excedente, aumento, etc. Realizar esto para las 4 operaciones y luego complejizar losproblemas incluyendo más de una operación.

Generalizar patronesnuméricosutilizandoexpresionesalgebraicas.

3

4

C

B

1 / 2 • Si el alumno y alumna no lograron este objetivodebe empezar con ejemplos de sucesiones en quesolo tenga que completar con el término siguiente,luego que identifique la regla de formación, después,que relacione la posición del término con el mismo término. Y por último obtener el término general.


Reducir términos 1 / 2 • Si el alumno y alumna no lograron este objetivo,


• Si el alumno y alumna lograron este objetivo,profundizar con progresiones aritméticas o

geométricas.

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Reducir términossemejantes. 5

6

A

A

1 / 2 Si el alumno y alumna no lograron este objetivo,ejercitar la suma de términos semejantes a través deperímetros de figuras geométricas simples.

• Si el alumno y alumna lograron este objetivoprofundizar con ejercicios combinados que incluyandistintos paréntesis y la propiedad distributiva.

| 87 |

Resolver ecuaciones y problemasmedianteecuaciones.

7

8

D

y = 174

1 / 2 • Si el alumno y alumna no lograron este objetivo,guiar la resolución del problema, mencionando cadapaso que se debe seguir para llegar a la solución.

Información para el docente• La mayoría de los(as) alumnos(as) presenta dificultades en el trabajo con la operatoria de

fracciones, se recomienda volver a repasar las 4 operaciones y el cálculo del mínimo comúnmúltiplo para obtener fracciones equivalentes.

• Al resolver una ecuación fraccionaria es importante hacer énfasis en que se multiplicanambos lados de la igualdad por el mínimo común múltiplo, ya que los alumnos tienden arealizarlo solo a un lado de la igualdad.

• También es necesario resaltar la importancia de multiplicar por el mínimo común múltiplo,ya que hacerlo con otro múltiplo mayor, puede dificultar mucho el cálculo y llegar a unresultado incorrecto.

Errores frecuentes o posibles dificultades• Es muy probable que los alumnos presenten alguna dificultad en el siguiente tipo de

expresión:

Como se observa, todas las expresiones son equivalentes, pero con distintas formas derepresentarlas. Al trabajar con este tipo de expresiones es habitual que los alumnos y alumnas cometan errores en sus cálculos, ya que el signo menos se lo asigna solamente alprimer término de la expresión. Se propone al docente aclarar constantemente este tipo dedesarrollo para para evitar posibles errores.

ECUACIONES FRACCIONARIAS (Páginas 182 y 183)

Información para el docente• Al repasar como se trasforma un número decimal a fracción, recordar a los alumnos y

alumnas que los decimales periódicos y semiperiódicos son decimales infinitos y por lo tantob j ll l di i i l j b i

ECUACIONES CON NÚMEROS DECIMALES (Páginas 184 y 185)

U5 PAG 78-93 9/9/09 11:04 Page 88




trabajar con ellos en las distintas operaciones es un tanto complejo ya que no se obtiene unresultado exacto. Por esta razón y para facilitar cálculos se propone que los númerosdecimales infinitos se representen como fracción.

• Al traspasar un decimal infinito periódico a fracción, es recurrente que los y las estudiantesolviden restar la parte entera del decimal. Por esta razón, y para evitar posibles errores sepropone que el docente pueda ejemplificar con números decimales cuya parte entera sea 0u otros que no lo sean.

Errores frecuentes o posibles dificultades• Se pueden generar errores al identificar, en decimales infinitos, el período de ellos, ya que

algunos alumnos(as) escriben, por ejemplo el decimal 1,333333, como y por tanto al transformarlo a fracción no logran llegar a la expresión correcta, o bien, confunden estedecimal periódico con uno semiperiódico y realizan el proceso equivocado de transformación.

Actividades complementariasResuelve las siguientes ecuaciones.1. 1– 2{x – 3[–4(x – 5)]} = 11(11 – 2x) + 2x3.

2.

Información para el docente• Este contenido, ecuaciones literales, es nuevo para los alumnos y alumnas, pues lo habitual en

una ecuación es obtener soluciones numéricas y no literales. Esta situación puede ser un tantodesconcertante para los y las estudiantes pues creen que aún no han terminado de realizar todos los cálculos. Por esta razón es importante que entiendan el concepto de parámetro y lo diferencien de la incógnita. También sería útil dar valores a este parámetro a modo deejemplo y mostrar diferentes soluciones numéricas en diferentes situaciones del problema.

Actividades complementariasResuelve las siguientes ecuaciones literales de incógnita y.1. c(y + 1) = 1 2. ay – b(y – 1) = 3(y + a) 3. y – c + 2 = 2cy + 3(c + y) – 2(c – 5)

ECUACIONES CON INCÓGNITAS A AMBOS LADOS DE LA IGUALDAD (Páginas 186 y 187)

ECUACIONES LITERALES (Páginas 188 y 189)


Resuelve.La magnitud de la fuerza con que se atraen dos cuerpos de masas m y M está dada por lafórmula , donde r es la distancia entre los cuerpos y G es una constante.

1. ¿Qué expresión se obtiene al despejar m?2 Si G = 4 ¿a cuánto equivale M?

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| 89 |

2. Si G = 4, ¿a cuánto equivale M?3. Si G = 1,5, ¿a cuánto equivale m?

Información para el docente

• Es importante siempre que se resuelva una ecuación, contestar la pregunta que se hace y darle sentido al contexto en que se sitúa el problema. Es recomendable poner ejemplos decontextos en que el valor de la incógnita es absurdo, por ejemplo:- Edades: la solución no puede ser negativa o decimal (a pesar de que el tiempo es continuo).- Ganancia: la solución no puede ser negativa.- Producción: la solución no puede ser negativa o cero.- N° de personas: la solución debe ser un número natural, etc.

• Recomendar a los alumnos y alumnas que para analizar la pertinencia de las soluciones en

necesario tener en cuenta lo siguiente:- Ámbito numérico.- La solución cumple con las relaciones en que se desarrolla el contexto del problema.

Información para el docente• En la resolución de problemas, si bien es importante que los alumnos y alumnas generen sus

propias estrategias de resolución y que recurran a sus propios recursos para resolver elproblema, también es importante que el docente les muestre una estrategia clara y ordenadaque garantice el éxito (en la mayoría de los casos) en la resolución del problema.

Información para el docente• La sugerencias de G. Polya para responder a la pregunta de cómo plantear y resolver

problemas son las siguientes:

Comprender el problema ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos?Concebir un plan ¿Podría enunciar el problema en otra forma? ¿Podría plantearlo enforma diferente nuevamente? Si no puede resolver el problema propuesto, trate de resolver primero algún problema similar. ¿Podría imaginarse un problema análogo un tanto másaccesible? ¿Un problema más general? ¿Un problema más particular? ¿Puede resolver unaparte del problema? ¿Ha empleado todos los datos?Ejecución del plan Al ejecutar su plan de la solución, compruebe cada uno de los pasos.¿Puede usted ver claramente que el paso es correcto?

ESTUDIO DE LAS SOLUCIONES (Páginas 190 y 191)



Examinar la solución obtenida ¿Puede usted verificar el resultado? ¿Puede verificar elrazonamiento? ¿Puede obtener el resultado en forma diferente?

I f ió l d


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Información para el docente• Comentar con los alumnos y alumnas el proyecto grupal planteado al inicio de la unidad para

que compartan la información recolectada por ellos acerca de grandes matemáticos de lahistoria.

Información para el docente• En la página http://www.simce.cl/fileadmin/Documentos_y_archivos_SIMCE/orientacion/

Orientaciones8o–14.pdf el docente podrá obtener información acerca de las orientacionesdidácticas del SIMCE de Octavo Año de Educación Básica, los aspectos más relevantes deesta medición y los conocimientos y habilidades que serán evaluados de acuerdo con losObjetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios (OF–CMO) del MarcoCurricular (según Decreto Supremo Nº 232, de 2002).



conRemediales/


Expresar relacionesnuméricasutilizandoexpresionesalgebraicas.

1

2

A

C

1 / 2 • Si el alumno o alumna no logró este objetivo, realizar ejercicios donde se involucre una sola operación y seenuncie el problema de distintas maneras. Realizar esto para las 4 operaciones y luego complejizar losproblemas incluyendo más de una operación.

Generalizar patronesnuméricos y

geométricosutilizandoexpresionesalgebraicas.

3

4

C

C

1 / 2 • Si el alumno o alumna no logró este objetivo debeempezar con ejemplos de sucesiones en que solo tenga que completar con término siguiente, luego

que identifique el patrón de formación, y solodespués, que relacione la posición del término con elmismo término. Por último obtener el términoenésimo.

• Si el alumno o alumna logró este objetivo,profundizar con progresiones aritméticas ogeométricas.



Reducir términossemejantes

eliminandoparéntesis.

7

8

9

12a – 6b – 7c

6z – 4y

5q + 5m

2 / 3 • Si el alumno o alumna no logró este objetivoejercitar la suma de términos semejantes a través de

perímetros de figuras geométricas simples.• Si el alumno o alumna logró este objetivoprofundizar con ejercicios combinados que incluyandi ti t é t i l i d d di t ib ti

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| 91 |

9 5q + 5m distintos paréntesis y la propiedad distributiva.

Resolver ecuaciones concoeficientes

enteros,fraccionarios y decimales.

6

10

11

12

13

14

15

C

x = –2

x = 2

x = –1

x = 2

x = 1,9

x = 53

4 / 7 • Si el alumno o alumna no logró este objetivoejercitar la suma de términos semejantes a través deperímetros de figuras geométricas simples.

• Si el alumno o alumna logró este objetivoprofundizar con ejercicios combinados que incluyandistintos paréntesis y la propiedad distributiva.

Resolver ecuacionesliterales. 16

17

x=

x= (2b –a)a

(5 –3a)4

1 / 2 • Si el alumno o alumna no logró el objetivo,apoyarse en problemas que involucren distintos tipos de fórmulas, utilizando parámetros y asignandovalores a este.

• Si el alumno o alumna logró el objetivo profundizar resolviendo problemas con más dificultad queinvolucren distintos tipos de fórmulas químicas,físicas, etc.

Resolver problemasutilizandoecuaciones.

18

19

20

x = 12

x = 6

z = 7y =14x = 8

2 / 3 • Si el alumno o alumna no logró este objetivo, guiar la resolución del problema, mencionando cada pasoque se debe seguir para llegar a la solución.




1 El í t d t iá l ilát d l d 5 D d l k é i té i d ió

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1. El perímetro de un triángulo equilátero de lado m,corresponde a:A. 3m

B.

C.

D. 3m + 3

2. Si “quincenalmente significa dos veces al mes”,¿cuánto dinero gana un empleado en medio año si lepagan $ z quincenalmente?

A. $ 3zB. $ 6zC. $ 12zD. $ 18z

3. La expresión “el cubo del antecesor de un número n”

esta representada por:A. n3 – 1B. (n + 1)3

C. (n – 1)3

D. 3(n – 1)

4. El enésimo término de la sucesión 7, 14, 21, 28, …

esta dado por:A. 7nB. 8n – 1C. 6n + 1D. 7 + n

5. Dado el k–ésimo término de una sucesión por3k + 2, ¿cuál es el término 102?A. 108B. 304C. 308

D.

6. Luis tenía el estanque de bencina de su auto llenohasta 1/3 de su capacidad. Le agregó 10 litros y llegóhasta la mitad. ¿Cuál es la capacidad del estanque?

A. 10 litrosB. 20 litrosC. 30 litrosD. 60 litros

7. Al reducir la expresión 2a – [a – (a – 2a)] se obtiene:

A. 2aB. 0C. aD. 4a

8. Si dos tercios de la edad de mi tío Pancho

disminuido en dos séptimos de 49 es igual a 20,¿qué edad tendrá mi tío en 9 años más?A. 30 añosB. 40 añosC. 50 añosD. 60 años

13. El valor de z en la ecuación es:

A. z = –4

B. z =

9. 5m – 5 (m – 1) es igual a:A. –5

B. –1C. 5D. 8

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74

47

B. z

C. z =

D. z =

14. Francisco es 3 años menor que María, pero sieteaños mayor que Julia. Si la suma de las edadeses 38, ¿qué edad tiene cada uno?A.Francisco 14, María 7 y Julia 17.B.Francisco 14, María 21 y Julia 7.C. Francisco 14, María 17 y Julia 7.D. Francisco 17, María 14 y Julia 7.

15. El triple de la cantidad de dinero que tiene Felipe,aumentado en $ 1.200 es igual a la misma cantidadpero disminuida en $ 450. ¿Cuánto dinero tieneFelipe?A. –$ 825B.$ 825C. Ninguna de la anteriores.D. No tiene solución.

16. La medida del largo de un rectángulo excede alancho en 6 cm. Si cada medida se aumenta en 3

cm, el área aumentaría en 57 cm2, ¿cuáles son lasmedidas de los lados del nuevo rectángulo?

A.Largo 12 y ancho 6.B.Largo 14 y ancho 8.C. Largo 11 y ancho 5.D. Largo 20 y ancho 37.

| 93 |

10. La suma de tres múltiplos consecutivos de 3 es 90.El antecesor del menor de esos múltiplos es:A. 24B. 26C. 27D. 30

11. Si cuatro veces el triple de un número es 3a,entonces el número es:A. 4aB. a – 4

C.

D.

12. El valor de y en la ecuación 0,7y + 0,4= 0,8 es:A. y = 0,2

B. y = 0,5C. y =

a4

D. y =

n t e s p a r a c o n s t r u

i r t r i á n g u

l o s

y c o m p

á s l a s r e c t a s n o

t a b l e s

. V e r á n c o n e s p e c i a

l c u i d a d o

o b t u s á n g u l o s ,

a n a l i z a n

d o

l a s

n d i s t i n t a s r e l a c i o n e s q u e s e

la c o n s t r u c c

i ó n

d e l t r

i á n g u

l o y

lo s

i n t e r i o r e s ,

d e s u p e r í m e t r o

a r t i r d e

l u s o

d e u n s o

f t w a r e

O S D E L A

U N I D A D

m e n

t o s

la d o s

d e u n

t r i á n g u

l o .

i á n g u

l o .

n t r i á n g u l o .

t r i á n g u l o .

g r a v e d a d

d e u n

t r i á n g u

l o .

á g o r a s .

á g o r a s y g e

o m e

t r í a

.

t e o r e m a d e

P i t á g o r a s

a r e g e o m é

t r i c o .

l t e o r e m a

d e

P i t á g o r a s .

U6 PAG 94-109 9/9/09 11:06 Page 94




6

I n t r o d u c c i ó n

E n e

s t a u n

i d a d ,

l o s a l u m n o s ( a s ) a p r e n

d e r á n

l a s c o n

d i c i o n e s n e c e s a r i a s y s u

f i c i e n

y l o s c l a s i f i c a r á n s e g ú n

l a s m e

d i d a s

d e s u s

l a d o s y

á n g u

l o s .

C o n s t r u

i r á n c o n r e g l a

q u e

s e p u e d e

t r a z a r e n u n

t r i á n g u

l o y e n c o n

t r a r á n

l o s p u n t o s

d e

i n t e r s e c c i ó n .

e s t a s c o n s t r u c c i o n e s e n

t r i á n g u

l o s e q u

i l á t e r o s ,

i s ó s c e l e s ,

r e c t á n g u

l o s y o

p r o p

i e d a d e s q u e s e c o n c l u y e n a p a r t i r

d e e s t a s c o n s t r u c c i o

n e s .

S e a n a l i z a r á n

p r o

d u c e n a l t r a z a r e s t a s r e c t a s y

s u s p u n

t o s

d e

i n t e r s e c c i ó n q

u e c o n

d i c i o n a n

l a

l o p r o v e e n

d e c a r a c t e r í s

t i c a s q u e

f a c i l i t a n e

l c á l c u

l o d e

l a s m e

d i d a s

d e s u s

á n g u

l o

y d e l á r e a .

P o r

o t r a p a r t e s e e s t u

d i a r á e l

t e o r e m a

d e

P i t á g o r a s ,

s u

d e m o s t r a c i ó n a p a

g e o m

é t r i c o y s u s a p

l i c a c i o n e s e n

p r o

b l e m a s o s i t u a c i o n e s

d e l a v i d a r e a l .

O

F V

C M O

C O N T E N I D O

T r i á n

g u l o s y s u s e l e m

• C a r a c t e r i z a r e

l e m e n

t o s

l i n e a l e s e n

t r i á n g u

l o s y v e r i f i c a r a l g u n a s

d e s u s

p r o p

i e d a d e s m e d i a n

t e c o n s t r u c c i o n e s

g e o m

é t r i c a s .

• C o m p r e n

d e r e l t e o r e m a

d e

P i t á g o r a s y

a p l i c a r l o e n s i t u a c

i o n e s c o n c r e t a s .

• E m p

l e a r

f o r m a s s i m p

l e s

d e m o

d e

l a m

i e n

t o

m a t e m

á t i c o ,

a p l i c a r

h a b

i l i d a d e s

b á s i c a s

d e

l

p r o c e s o

d e r e s o l u c i ó n

d e p r o

b l e m a s e n

c o n

t e x

t o s



o l a e s t u

d i a n

t e u t i

l i z a n

d o

l o s c o n

t e n

i d o s

d e

l n

i v e l , y a n a l i z a r

l a v a l i d e z

d e

l o s

p r o c e d

i m i e n

t o s u t

i l i z a d a s y

d e

l o s


b t e n i d o s .

• M e d

i d a s

d e

l o s

l a

• A l t u r a s

d e u n

t r i

• B i s e c t r

i c e s

d e u n

• S i m e

t r a l e s

d e u n

• T r a n s v e r s a l e s

d e

• T e o r e m a

d e

P i t á

• T e o r e m a

d e

P i t á

• V e r i f i c a c i ó n

d e

l t

u s a n

d o u n s o

f t w a

• A p

l i c a c i o n e s

d e l

C u a

d r o s i n

ó p

t i c o

• D e t e r m

i n a c i ó n

d e l p u n

t o d e

i n t e r s e c c i ó n

d e

l a s a l t u r a s ,

t r a n s v e r s a l e s

d e g r a v e

d a d ,

b i s e c t r

i c e s y s i m e t r a l e s

e n u n

t r i á n g u

l o

m e d

i a n

t e c o n s t r u c c i o n e s c o n r e g l a y

c o m p

á s o

d e u n p r o c e s a d o r g e o m

é t r i c o .

D i s c u s i ó n

d e

l o s c a s o s

c o r r e s p o n

d i e n

t e s a

t r i á n g u

l o s r e c t á n g u

l o s ,

e q u

i l á t e r o s e

i s ó s c e l e s .

• V e r i f i c a c i ó n

d e

l t e o r e m

a d e

P i t á g o r a s a

t r a v é s

d e

l a e x p

l o r a c i ó n

d e

l a s r e

l a c i o n e s

d e m e d

i d a s

d e

l o s

l a d o

s d e u n

t r i á n g u

l o

r e c t á n g u

l o y s u a p

l i c a c

i ó n e n c o n

t e x t o s

d i v e r s o s .

• R e s o

l u c i ó n

d e p r o

b l e m

a s q u e

i n v o

l u c r a n

l a

a p l i c a c i ó n

d e l

t e o r e m a

d e

P i t á g o r a s .

l e v a n

t e .

a d y e

f i c a c

i a .

U6 PAG 94-109 9/9/09 11:06 Page 95



| 95 |


d a m e n t a

l e s

t r a n s v e r s a

l e s


i n t e r é s y


d e c o n o c e r


u t i l i z a r e

l c o n o c i m

i e n

t o y s e l e c c i o n a r l a

i n f o r m a c i ó n r e

l


l a s

i d e a s y c r e e n c i a s

d i s t i n t a s a

l a s p r o p

i a s .

• D e s a r r o

l l a r


d e r e s o

l v e r p r o

b l e m a s ,

l a c r e a t i v

i d a d y


d e a u

t o a p r e n

d i z a j e

.

• D e s a r r o

l l a r

l a a u t o n o m


i l i d a d i n

d i v i d u a l

f r e n

t e a

t a r e a s y t r a b a j o s .

• D e s a r r o


i e n

t o r e f l e x i v o y m e t ó d

i c o y e n e

l s e n

t i d o

d e c r í t

i c a y a u



l a h a b

i l i d a d d e e x p r e s a r y c o m u n

i c a r

l a s o p

i n i o n e s ,

i d e a s ,

s e n t i m

i e n


i a s ,

c o n c l a r i d a

T i e m p o e s

t i m a

d o

4 a

5 s e m a n a s .


Esquema de la unidadTRIÁNGULOS Y SUS ELEMENTOS

Clasificación de los triángulosDesigualdad triangular Elementos secundarios

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•El triángulo es uno de los polígonos más estudiados desde los tiempos antiguos y estafascinación en gran parte se debe a que es la figura geométrica cerrada más simple queexiste, y cualquier otro polígono convexo de más de tres lados está compuesto por combinaciones de él. Esta “triangulación” de los polígonos permite establecer relacionesentre ellos y facilitar el cálculo de áreas de polígonos más complejos.

• A modo de introducción, es importante recordar qué datos se necesitan para construir un triángulo utilizando solo regla y compás, analizando cada una de las tres maneras que existeny planteando preguntas, tales como: ¿será posible construir dos triángulos diferentes peroque tengan las mismas medidas de sus lados? Esto puede ser una forma de establecer la justificación de los criterios de congruencia de triángulos que se enseñará más adelante.

Actividades complementarias• Para iniciar esta unidad, repasar los elementos principales del triángulo (lados, vértices,

ángulos interiores y exteriores). Luego, realizar preguntas para que infieran algunas de laspropiedades de los triángulos, por ejemplo: no tienen diagonales, no pueden ser cóncavo(no convexo), u otras.



Según medida de sus lados

Equiláteros

Isósceles

Escalenos

Según medida de sus ángulos

Acutángulos

Obtusángulos

Aplicaciones

Teoremade Pitágoras

Demostración

Rectángulos

Ortocentro

Incentro

Circuncentro

Baricentro

Alturas

Bisectrices

Simetrales

Transversalesde gravedad

UNIDAD 6 | Triángulos y sus elementos

IndicadorNº de

pregunta RespuestaLogrado

conRemediales/


Calcular lasmedidas de

1 x = 120º 6 / 8 • Realizar ejercicios donde los estudiantes determinenla medida de ángulos entre paralelas y los ángulos


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| 97 |

medidas deángulos formadospor rectasparalelas y unarecta secante a

ellas.

2

3

4

5

6

7

8

60º

60º

Las medidas

son iguales.180º

14

Revisar enilustración depágina 208.

Tendrán lasmismas

medidas (seráncongruentes).

la medida de ángulos entre paralelas y los ángulosinteriores y exteriores de un triángulo.

• Realizar ejercicios donde determinen la medida deángulos, mezclando paralelas y secantes en triángulos,donde existan varias incógnitas a la vez, con la

información suficiente y necesaria.

Construir triángulos usandoregla y compás.

9

Revisar en elespacio

asignado, en lapágina 209.

1 / 1 • Realizar ejercicios donde los alumnos(as) debanconstruir triángulos a partir de la medida de sus treslados, la medida de un lado y los ángulos

correspondientes y la medida de dos lados con elángulo comprendido entre ellos.• Realizar ejercicios donde deban construir triángulos

con ciertas medidas y características, para que a partir de ellas deduzcan los datos que faltan para laconstrucción.

Construir labisectriz de unángulo, usandoregla y compás. 10

Todas lasbisectrices secortan en un

punto.

1 / 1 • Realizar ejercicios donde deban construir la bisectrizde un ángulo formado por dos rayos.

• Realizar ejercicios donde deban construir la bisectrizde cada ángulo en diferentes triángulos (unoequilátero, otro isósceles y escaleno), en ellos debenencontrar el punto de intersección, comparar laposición de este punto según el tipo de triángulo y analizar las diferencias.

Construir labisectriz de unángulo, usandoregla y compás.Construir rectasperpendicularesusando la

11

Las rectasperpendicularesque se hanconstruido se

1 / 1 • Realizar ejercicios donde deban construir rectasperpendiculares a una recta dada.

• Realizar ejercicios donde deban construir rectasperpendiculares a los lados de un triángulo, ya sea,que pasen por el vértice opuesto (alturas) o bien,por el punto medio del lado (simetrales), realizar

dif i d iá l

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usando laescuadra.

construido secruzan en unpunto.

esto para diferentes tipos de triángulos y comparar la posición de este punto analizando las diferencias.No es necesario mencionar el nombre de estasrectas, ni del punto de intersección, se puede trabajar de manera intuitiva.

Información para el docente• En estas páginas se estudia la desigualdad triangular, que corresponde a la propiedad más

básica de un triángulo. Se recomienda no definir esta propiedad sino que, mediante unaactividad, puedan deducirla. Probablemente no llegarán a concluir la expresión matemáticaasociada: a + b > c, sin embargo, bastará con que comprueben que no siempre dadas tresmedidas de segmentos, es posible construir un triángulo. Esta actividad puede ser trabajadamediante la utilización de material concreto, como, por ejemplo, palitos, bombillas,mondadientes, etc., de diferentes medidas y con ellos prueben si con tres medidas dadas esposible construir un triángulo. Para formalizar el procedimiento, pedirles que registren en una tabla las medidas con las cuales formaron un triángulo y, en otra tabla, las medidas deaquellos que no. Pedir que analicen si existe alguna regularidad en cada una de las tablas,guiándolos para que se den cuenta que deben sumar dos lados y compararlos con el tercerode ellos, argumentando los procedimientos utilizados con el resto de sus compañeros.

• Un buen ejercicio es analizar los diferentes tipos de triángulos planteando preguntas talescomo: ¿son siempre obtusángulos los triángulos escalenos? o ¿el lado más largo de un triángulo es siempre opuesto al ángulo mayor? Estas preguntas permiten profundizar en laconstrucción de triángulos y sus posibles formas, desarrollando la imaginación y laabstracción respecto de las figuras geométricas.

Errores frecuentes o posibles dificultades• Si los alumnos(as) aprenden la clasificación de triángulos según las medidas de sus ángulos,

de manera memorística, sin entender su contenido, pueden erróneamente, pensar que un triángulo obtusángulo tiene sus tres ángulos obtusos, o bien, que el triángulo rectángulo tienesus tres ángulos rectos. Para aclarar, se recomienda que los desafíe a construir, por ejemplo,

MEDIDAS DE LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO (Páginas 210 y 211)


un triángulo con más de un ángulo obtuso y otro con dos ángulos rectos, de este modoreflexionarán por qué no es posible realizar esas construcciones y logren un conocimiento másprofundo y significativo.

Actividades complementarias• Pedir a los estudiantes que dadas las medidas de tres lados, estimen (sin construir) qué tipo de

triángulo se obtiene, es decir, si es acutángulo, obtusángulo o rectángulo. Sugiera que

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| 99 |

previamente comprueben la desigualdad triangular.

Información para el docente• Antes del trabajo en estas páginas, recordar que la distancia más corta desde un punto a unarecta es la perpendicular trazada desde el punto a la recta. Puede pedirles que realicen ejerciciospara comprobar esta propiedad. Además, es recomendable recordar cómo construir unaperpendicular usando solo una escuadra.

• Se le recomienda trabajar junto a los alumnos, como un caso especial, las alturas de un triánguloobtusángulo, debido a la complejidad de su construcción, ya que es necesario “proyectar” loslados y ubicar del ortocentro.

TareaEn la siguiente grilla construye todos los triángulos que poseen la misma base y la misma alturadel triángulo dado.1. ¿Qué puedes concluir, respecto del área de esta familia de triángulos?2. ¿Estos triángulos tienen las mismas medidas?3. ¿Cuántos triángulos acutángulos, rectángulos y obtusángulos construiste?

ALTURAS DE UN TRIÁNGULO (Páginas 212 y 213)

Información para el docente• Los alumnos ya han construido bisectrices de ángulos, usando regla y compás. Para trabajar

las bisectrices de un triángulo, se recomienda empezar este tema con una actividad sencillae intuitiva; por ejemplo, pídales dibujar un triangulo equilátero, isósceles y escaleno, luego,los recortan, y en cada vértice realizan dobleces haciendo coincidir los lados que forman el

BISECTRICES DE UN TRIÁNGULO (Páginas 214 y 215)

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y qángulo al cual se está construyendo la bisectriz. Este sencillo ejercicio además de ser otrométodo para construir la bisectriz, permite comprobar que las bisectrices, en un triánguloequilátero coinciden con los ejes de simetría y, en el caso del triángulo isósceles, con aquellaque intersecta a la base.

Actividades complementariasConstruye las alturas y las bisectrices en cada triángulo señalado, determinado sus puntosde intersección. Luego, responde.a. Equilátero. c. Rectángulo.b. Isósceles. d. Obtusángulo.1. ¿Qué puedes concluir respecto a las alturas y las bisectrices trazadas en un triángulo

equilátero?2.¿Qué puedes concluir respecto a las alturas y las bisectrices trazadas en un triángulo isósceles?3. ¿Dónde se ubica el incentro y ortocentro en un triángulo obtusángulo?4. ¿Dónde se ubica el incentro y ortocentro en un triángulo rectángulo?5. ¿Dónde se ubica el incentro y ortocentro en un triángulo equilátero?6. ¿Dónde se ubica el incentro y ortocentro en un triángulo isósceles?

TareaEn el jardín que se muestra a continuación senecesita colocar un aspersor para regarlo demanera que el agua no salga del terreno.Encuentra el punto dónde debe serenterrado el aspersor.

Información para el docente• Antes de comenzar el trabajo con este elemento secundario, recordar a los alumnos(as) la

construcción de la mediatriz de un segmento.• Enfatizar respecto a que el punto de intersección de las simetrales (circuncentro) equidista

de los vértices de un triángulo. Esto puede ser practicado pidiendo que dados tres puntosno colineales determinen un punto que esté a la misma distancia de cada uno de ellos. Lofundamental es que comprendan que esto puede ayudarles a resolver problemas cotidianos.

SIMETRALES DE UN TRIÁNGULO (Páginas 216 y 217)


• Realizar la construcción de las simetrales de un triángulo obtusángulo en conjunto con losalumnos, debido a su complejidad en la construcción y para analizar por qué el circuncentrose ubica al exterior del triángulo.

Errores frecuentes o posibles dificultades• Es común que los alumnos(as) confundan las alturas y las simetrales, debido a que ambas

rectas cortan al lado opuesto en forma perpendicular. Algunos trazan las simetrales desden értice al p nto medio del lado op esto como no q edan en forma perpendic lar al

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un vértice al punto medio del lado opuesto, como no quedan en forma perpendicular, y alver que no resulta un ángulo recto, en vez de “alejar” la recta del vértice, “alejan” la rectadel punto medio. Para evitar este error, trazar las alturas y las simetrales en un mismo triángulo, observando primero las diferencias entre las construcciones en triángulosescalenos. Luego realizarlas en triángulos equiláteros e isósceles para analizar los casos enque sí coinciden, como un caso particular.

Información para el docente• Es muy importante que los alumnos constaten la aplicación de los elementos secundarios de

un triángulo en situaciones cotidianas, ya que muchas veces aprenden su construcción, pero

no su aplicación a otros contextos, por lo que a la hora de resolver problemas se confundeny no logran dar soluciones.Las transversales de gravedad son un ejemplo de lo útil que puede ser encontrar su puntode intersección, debido a que este corresponde al centro de gravedad del triángulo y por ende es el punto de equilibrio de este.Se sugiere, como introducción, pedir a los alumnos(as) que dibujen un triángulo cualquieraen un trozo de cartulina, tracen las transversales de gravedad y encuentren el punto deintersección. Luego solicitar que lo recorten y con un lápiz o la punta de un compás ubicadasobre el baricentro, verifiquen que el triángulo queda perfectamente equilibrado.

Errores frecuentes o posibles dificultades• Es posible que algunos estudiantes piensen que el baricentro es un punto de intersección

distinto del centro de gravedad, por lo cual se les debe explicar, que baricentro es el nombrematemático que se le da a este punto y que tiene la misma sintaxis que los otros puntos deintersección (incentro, ortocentro, circuncentro, etc.); en cambio, centro de gravedad es unaacepción propiamente física para este mismo punto.

TareaDetermina el punto donde hay que atar elhilo, de modo que el volantín quedecompletamente equilibrado.

TRANSVERSALES DE GRAVEDAD DE UN TRIÁNGULO (Páginas 218 y 219)


conRemediales/


Utilizar ladesigualdad triangular.

1 / 1 • Realizar ejercicios donde los alumnos(as) debanconstruir triángulos a partir de la medida de sus treslados y que en los cuales deban verificar, para cada


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Calcular lasmedidas de losángulos interioresy exteriores de

un triángulo.

2

3

B

B

2 / 2 • Realizar ejercicios donde los alumnos debandeterminar el ángulo incógnito interior o exterior apartir de la medida de los otros dos y la sumacorrespondiente.

• Realizar ejercicios donde deban determinar el ánguloque falta, ya sea exterior o interior, dados los datossuficientes para calcularlo, de modo que para resolver deban aplicar algunas de las características del triángulo.


g

1 C

y q , pcaso, la desigualdad triangular.

• Realizar ejercicios donde deban construir triángulos apartir de la medida de sus lados y su clasificación.Comprobar y analizar la desigualdad triangular en triángulos equiláteros, isósceles, escalenos,rectángulos, obtusángulos, acutángulos, buscandoregularidades.

4

8

A

No existen triángulosequiláteros

rectángulos niobtusángulos.

1 / 2 • Realizar ejercicios donde los alumnos debandeterminar el ángulo incógnito interior o exterior apartir de la medida de los otros dos y la sumacorrespondiente.

• Realizar ejercicios donde deban determinar el ánguloque falta, ya sea exterior o interior, dados los datossuficientes para calcularlo, de modo que para resolver deban aplicar algunas de las características del triángulo.

Reconocer

elementos del triángulo.

5

6

7

C

A

A

2 / 3 • Realizar ejercicios donde deban construir los

elementos secundarios de un triángulo cualquiera.• Realizar el mismo ejercicio anterior, pero en

triángulos que tengan características especiales, por ejemplo, isósceles rectángulo, equilátero, isóscelesobtusángulo, etc., concluyendo y analizandocaracterísticas de los elementos en triángulos deese tipo.


Información para el docente• Desde el año 550 a. C. hasta el año 450 a. C. se establece la era pitagórica, cuyo principal

representante fue Pitágoras de Samos, creador de un gran movimiento metafísico, moral,religioso y científico. El saber de los pitagóricos radicaba en la geometría elemental, dondedestaca el teorema de Pitágoras, el cual fue establecido por su escuela. Con respecto a la

it éti l b d l it ó i F l i li l ió

TEOREMA DE PITÁGORAS (Páginas 222 y 223)

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aritmética, el saber de los pitagóricos era enorme. Fueron los primeros en analizar la nociónde número y en determinar la correspondencia entre la aritmética y la geometría. Lospitagóricos aseguraban que todo podía representarse por medio de números, sin embargo,luego tuvieron que aceptar que no era así, al descubrir que la diagonal de un cuadrado cuyo

lado mide 1 cm era inconmensurable (no era posible de medir de manera exacta, ya queen ese tiempo solo se conocía la existencia de los números racionales.• En la primera parte de este contenido, los alumnos podrán verificar numéricamente la

expresión a2 + b2 = c2, pero solo es posible comprobarla mediante el uso de tríospitagóricos, ya que aún no tienen conocimiento de los números irracionales.

Errores frecuentes o posibles dificultades• Es recomendable aclarar a los alumnos que el teorema de Pitágoras se cumple para cualquier

triángulo rectángulo, y no solo para aquellos cuyos lados correspondan a tríos pitagóricos,de esta manera se podrán evitar posibles dificultades posteriores.

Actividades complementariasResuelve lo siguiente.1. La vela de un yate tiene forma similar a un triángulo rectángulo. Si la altura mide 8 m y la

base 6 m, calcula la longitud de la hipotenusa.

Información para el docente• Muchos matemáticos han demostrado el teorema de Pitágoras de distintas formas, se cree

que existen más de mil demostraciones. Algunas han sido realizadas a través deprocedimientos algebraicos, sin embargo, las más interesantes son las realizadas a través dela geometría. Estas demostraciones son las más adecuadas para que los alumnos logrencomprender este teorema, ya que, por lo general, solo deben comprender el concepto

de área.

Actividades complementariasA continuación se presenta otra demostración geométrica del teorema de Pitágoras.Reunidos en grupos de 3 ó 4 integrantes, verifíquenla. Los materiales necesarios son: lápiz,papel, escuadra y tijeras.

TEOREMA DE PITÁGORAS Y GEOMETRÍA (Páginas 224 y 225)

1º En la esquina de la hoja dibujen un triángulo rectángulo cualquiera y cópienlo 4 veces. Luegorecorten.

ac

b

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2º Dispongan de los 4 triángulos en las siguientes posiciones, rotándolos como se muestra.

3º Unan los triángulos, formando un cuadrado, donde los lados correspondan a las hipotenusas

de los triángulos.

4º Trasladen y roten el triángulo 1, formando un rectángulo con el triángulo 3. Luego, repitaneste procedimiento para los triángulos 2 y 4.


Como se puede observar, seforman dos cuadrados, uno de

lado a unidades y otro de ladob unidades, por lo tanto, la sumade sus áreas es equivalente alcuadrado original (porque seconstruyó con los mismos triángulos), comprobándose así el teorema de Pitágoras.

ac

b

a

c b ac

b

a

cb

c

cc

Área del cuadrado:c2

c2 = a2 + b2

12

43

13

4

2a

a b

b

c


Información para el docente• Es importante utilizar una herramienta computacional para facilitar la comprobación de este teorema, debido a que esto nos permite explorar diferentes triángulos rectángulos sin tener

que realizar la construcción para cada uno de ellos.• En la página http://www.educomputacion.cl/content/view/77/135/ se muestra una simulación

de una demostración del teorema de Pitágoras creada por el matemático Henry Perigal.

VERIFICACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS USANDO UNSOFTWARE GEOMÉTRICO(Páginas 226 y 227)

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| 105 |

de una demostración del teorema de Pitágoras creada por el matemático Henry Perigal.

Actividades complementariasResuelve lo siguiente.1. Dos pájaros observan un gusano, como se

muestra en la ilustración. ¿Cuál de elloslogrará atrapar el gusano primero si ambosvuelan a la misma velocidad?

2. Un edificio se está incendiando, la mayoría de los habitantes pudo ser evacuado, pero unapersona quedó atrapada en el piso 5. Los bomberos deben tomar una decisión, subir por las

escaleras de emergencia del edificio, o por la escalera mecano del camión. Lo que más lesconviene es subir por la escalera del camión pero no saben si alcanzarán a llegar con ella al5º piso. La escalera mide 15 m y la altura del camión es 2,4 m. Si la base de la escalera se sitúaa 9 m de la pared del edificio, ¿podrán llegar al 5º piso si cada piso tiene una altura de 2,1 m?

Información para el docente• Es muy importante que los alumnos aprendan y se acostumbren a argumentar los pasos

mediante los cuales resuelven un problema. En el caso de los ejercicios resueltos, pedirlesque enumeren y describan los elementos secundarios, puntos de intersección y propiedadesde los triángulos, que se usaron para resolver. También es importante que los alumnosmanejen la notación convencional de la geometría, en este sentido se recomienda que seamuy riguroso y ordenado en el trabajo que realiza en la pizarra al dibujar triángulos y denotar sus elementos principales y secundarios.

Información para el docente• Es muy importante que los alumnos(as) sean capaces de representar a través de un dibujo

el problema que se les presenta. Para esto es imprescindible que el dibujo sea unaestimación del dibujo real, es decir, por ejemplo, si el triángulo es isósceles, los ladosdibujados deben tener una longitud más o menos similares en el bosquejo que realicen.Además, las medidas del dibujo deben ser proporcionales con las medidas reales.

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS (Páginas 228 y 229)



4 m8 m

6 m3 m

pájaro 1

pájaro 2

gusano

• Por otra parte, muchas veces los alumnos(as) se guían por percepciones erróneas de undibujo mal construido; por lo tanto, enfatice que siempre deben fundamentar susconclusiones a partir de propiedades geométricas y no por simple percepción.



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conRemediales/


Reconocer loselementosprimarios y secundarios deun triángulo:alturas y ortocentro,bisectrices eincentro,simetrales y circuncentro, transversales degravedad y baricentro.

1

2

3

D

B

B

2 / 3 • Realizar ejercicios donde los alumnos(as) debanrelacionar los elementos secundarios de un triángulocon sus puntos de intersección o con los distintos tipos de triángulos que existen.

• Realizar ejercicios donde deban determinar ángulosen triángulos “especiales” (equiláteros, isóscelesrectángulos, etc.) al trazar elementos secundarios.Pedir que obtengan conclusiones a partir de laubicación de los puntos de intersección de loselementos secundarios de este tipo de triángulos.

p• La síntesis planteada ayudará a resumir los contenidos trabajados en la unidad, aclarar dudas

y rectificar errores. Puede solicitar a sus estudiantes que formulen nuevas preguntas de cierrey las comenten en conjunto.

Información para el docente• La prueba internacional PISA tienen como objetivo medir en los alumnos la capacidad de

resolver problemas relacionados con la vida cotidiana, usando herramientas y procedimientos matemáticos. Este es un objetivo que, en la medida de lo posible, debe ser

el enfoque de nuestra didáctica como profesores de la asignatura.




Conocer propiedadesparticulares del triángulorectángulo y aplicar el teorema dePitágoras

4

5

6

7

B

C

A

D

3 / 5 • Realizar ejercicios donde los alumnos(as) verifiquenel teorema de Pitágoras para tríos pitagóricos.Realizar ejercicios donde deban determinar lahipotenusa a partir de los catetos.

• Realizar ejercicios donde deban encontrar cualquiera de los términos de la igualdada2 + b2 = c2 en un triángulo rectángulo,conociendo como datos las propiedades del

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| 107 |

Usar el teoremade Pitágoras enla resolución deproblemasprovenientes tanto de lageometría comode situacionescotidianas.

9

10

11

12

13

a = 4b = 3c = 5

5 cm

3 / 5 • Realizar ejercicios en los cuales apliquen el teoremade Pitágoras para calcular la diagonal de cuadrados y rectángulos, y las alturas de triángulos equiláteros eisósceles.

• Realizar problemas contextualizados, en los cualessea necesario aplicar el teorema de Pitágoras.

Pitágoras.8 C

conociendo como datos las propiedades del triángulo en vez de las medidas de sus lados.

Actividades complementariasResuelve.1. La plaza de un pueblo tiene forma similar a la de un pentágono regular. Se quiere

embaldosar dos caminos en la plaza, como se muestra en la figura. Calcula la longitud de loscaminos señalizados con la línea punteada.

EJERCICIOS PARA PROFUNDIZAR (Páginas 242 y 243)

50 m 50 m

60 m 60 m

80 m

√2 cm

√3 m

√3 a2




1. ¿Cuánto miden los ángulos agudos de un triángulorectángulo isósceles?A 30º

5. El baricentro también se conoce como:A. incentro.B t t

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A. 30ºB. 22,5ºC. 45º

D. 90º

2. ¿Cuáles de las siguientes medidasno corresponden alos lados de un triángulo isósceles?A. 5 cm, 5 cm y 3 cmB. 4 cm, 4 cm y 5 cmC. 4 cm, 4 cm y 8 cm

D. 5 cm, 5 cm y 4 cm

3. El perímetro de un triángulo equilátero de ladoa unidades está dado por la expresión:A. a2

B. 3a

C. 4aD. a3

4. El centro de la circunferencia inscrita en un triángulocorresponde al punto de intersección deA. las bisectrices.B. las alturas.C. las simetrales.D. las transversales de gravedad.

B. ortocentro.C. circuncentro.D. centro de gravedad.

6. ¿En cuál de los siguientes tipos de triángulo loselementos secundarios coinciden?A. Isósceles.B. Escaleno.C. Rectángulo.

D. Equilátero.

7. ¿En cuál de los siguientes tipos de triángulos elortocentro se ubica en la región exterior del triángulo?A. Rectángulo.B. Acutángulo.C. Obtusángulo.D. Escaleno.

8. ¿Cuál de las siguientes definiciones corresponden alas simetrales de un triángulo?A. Rectas que pasan por el punto medio de un lado

del triángulo.B. Recta que corta en forma perpendicular un lado

del triángulo.C. A y B al mismo tiempo.D. Ninguna de las anteriores.

9. Una empresa tiene como guardián un perro bastantebravo, por lo que se debe mantener amarrado.Existen tres accesos a la empresa e, idealmente, lalongitud de la cadena con que está amarrado elperro debe llegar hasta los tres accesos. ¿En quépunto debe clavarse la cadena?A. El incentro.B. El ortocentro.

13. Se quiere cercar el terreno de la figura, ¿cuántosmetros de cable se necesitan?A. 66 mB. 67 mC. 68 mD. 69 m

16 m

15 m

8 m3

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| 109 |

B. El ortocentro.C. El centro de gravedad.D. El circuncentro.

10. ¿Cuánto es el perímetro de un triángulo rectángulosi se sabe que uno de sus catetos mide 8 cm y suhipotenusa 10 cm?A. 6 cmB. 18 cmC. 24 cmD. 34 cm

11. ¿Cuál de las siguientes medidas puedencorresponder a los lados de un triángulorectángulo?A. 9 cm, 12 cm y 15 cm

B. 3 cm, 4 cm y 10 cmC. 6 cm, 8 cm y 12 cmD. 9 cm, 10 cm y 15 cm

12. ¿Cuál es la medida de la altura de la casa?A. 4 m

B. 12 mC. 12,5 mD. 13 m

14. Se quiere construir el armazón de un volantín comoel que se muestra en la figura. ¿Cuántos cm debemedir el palito de madera más largo?A. 8 cmB. 11 cmC. 12 cmD. 20 cm

15. Una carpa tiene la entrada en forma de triánguloisósceles cuyo lado mide 5 m y la base 8 m.¿Cuánto es la altura de la carpa?A. 2,5 m

B. 3 mC. 4 mD. 5,5 m

16. Una escalera está apoyada en la pared de unedificio de altura 12 m, la base de la escalera está

separada de la pared en 5 m. ¿Cuánto mide laescalera?A. 10 mB. 11 mC. 12 mD. 13 m

5 m 5 m

6 m8 m

3 m4 m

5 cm 13 cm10 cm6 cm

s g e o m

é t r i c o s c o n

f o r m a s

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d e o

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U7 PAG 110-125 9/9/09 11:08 Page 110




7 I n

t r o d u c c i ó n

E n e s t a u n

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U7 PAG 110-125 9/9/09 11:08 Page 111



| 111 |


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l v e r p r o

b l e m

a s , l a

c r e a t i v i d a d y


d e a u

t o a p r e n

d i z a j e .

• D e s a r r o

l l a r

l a a u t o n o m


i l i d a d

i n d i v i d u a l

f r e n

t e a

t a r e a s y

t r a b a j o s .

• D e s a r r o


i e n


d i c o y e n e

l s e n

t i d o

d e c r

í t i c a y a u



l a h a b

i l i d a d

d e e x p r e s a r y c o m u n i c a r

l a s o p

i n i o n e s ,

i d e a s ,

s e n t i m i e n


i a s ,

c o n


d o

8 a

9 s e m a n a s .



Prismas rectos Pirámides rectas

PERSPECTIVAS DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

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Información para el docente• El proyecto propuesto permitirá a los(as) alumnos(as) conocer más acerca de la Dirección

Meteorológica de Chile como también del cómo se mide el agua lluvia caída. Esta actividadgrupal permitirá fomentar el trabajo cooperativo y colaborativo entre los integrantes delgrupo, como también ayudará a desarrollar habilidades para comunicar sus ideas y reflexiones.

• Es importante que los alumnos y alumnas analicen el concepto de capacidad y volumen, yaque muchas veces es usado indistintamente. Hacer énfasis en que cuando se hace referencia

a la capacidad se está relacionando con algún “tipo de recipiente” y se hace mención a lacantidad de líquido que este puede contener (el litro es su unidad de medida principal), peroeste recipiente a su vez posee un volumen, es decir, la medida del espacio que ocupa, por ejemplo, si el recipiente es de papel, este volumen es despreciable y podríamos decir quesu volumen equivale a su capacidad, pero si el recipiente es de cemento grueso, el volumendel recipiente es mayor a su capacidad.



Unidades de volumen

Aplicaciones del volumen

Cálculo de volumen

Cálculo de áreas

UNIDAD 7 | Prismas y pirámides

Actividades complementarias• Recordar con los(as) alumnos(as) cuerpos geométricos conocidos y sus elementos. Pedirlesque realicen un dibujo aproximado para que recuerden sus diferencias y semejanzas.

• Comentar con los y las estudiantes las características de diferentes polígonos y recordar elcálculo de su área y perímetro.


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| 113 |

Información para el docente• Es importante recordar la diferencia entre el concepto de superficie y de área. El área es la

medida de la superficie de una figura plana.• Como introducción a esta unidad comentar con los alumnos y alumnas las diferencias que

se dan entre una figura plana y un cuerpo geométrico. Una forma de relacionarlos esidentificando a los polígonos como caras de los cuerpos geométricos.

Tareas• Realizar ejercicios en que los alumnos y alumnas deban calcular área y perímetros de figuras

compuestas por polígonos conocidos.


conRemediales/


Clasificar cuerposgeométricossegún sus

elementos.

1

2

3

4

5

5 – 6 – 9

6 – 8 – 12

6 – 6 – 10

7 – 7 – 12

7 – 10 – 15

3 / 5 • Realizar ejercicios en que los alumnos y alumnasdeban reconocer las caras, vértices y aristas de uncuerpo geométrico.

• Realizar ejercicios en que los alumnos y alumnasdeduzcan un patrón que relacione la cantidad decaras, vértices y aristas que tiene un cuerpo.

Convertir unidades delongitud y superficie.

6

7

8

910

11

12

13

0,4 dm

30 cm

1.200.000 cm

10.500 m0,005 cm2

0,5 hm2

25.000 dom2

363 mm2

4 / 8 • Realizar ejercicios en que los(as) alumnos(as) transformen unidades de longitud y área desdeunidades grandes a pequeñas, haciendo énfasis enque para lograrlo la operación a utilizar es lamultiplicación. Luego, realizar el ejercicio inversohaciendo énfasis también en que en estos casos laoperación a utilizar es la división.

• Realizar ejercicios en que los(as) alumnos(as) debanresolver problemas contextualizados y en los cualespara llegar a la solución deban transformar unidadesde medida.

Calcular área y perímetro depolígonos.

14

15

16

A = 6 cm2

P = 12 cm

A = 30 cm2P = 27,8 cm

A = 18 cm2

P = 22 cm

3 / 5 • Realizar ejercicios en que los(as) alumnos(as) debancalcular áreas y perímetros de figuras simples y conocidas (cuadrados, rectángulos y triángulos) y figuras compuestas por los polígonos anteriores.

• Realizar ejercicios en que los y las estudiantes debancalcular áreas y perímetros de polígonos máscomplejos (paralelogramos, trapecios, polígonos demás de 4 lados) y figuras compuestas por estos.Realizar ejercicios de calcular áreas y perímetros de

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17

18

A = 16 cm2

P = 18 cm

A = 13,6 cm2

P = 16 cm

Realizar ejercicios de calcular áreas y perímetros departes sombreadas o coloreadas de un polígono.

Dibujar polígonosutilizandoinstrumentos deconstrucción.

19

20

21

22

Construcciones

Construcciones

Construcciones

Construcciones

2 / 4 • Realizar ejercicios en que los y las estudiantes debanconstruir polígonos regulares dada la medida deun lado.

• Realizar ejercicios en que los(as) alumnos(as) deban

construir polígonos de cualquier tipo dada lamedida de sus ángulos.


• Se sugiere al docente introducir este concepto analizando con los alumnos y alumnas el usode la perspectiva en el arte de dibujar objetos o paisajes. Realizar una pequeña actividadponiendo un objeto (simple de dibujar, puede ser un objeto con forma de prisma o depirámide) en una mesa al centro de la sala de clases y sentar a los(as) alumnos(as) alrededor de ella, pedirles que dibujen el objeto y que lo midan con su propio lápiz, es decir, con lapunta de este para arriba y el brazo bien estirado, se alinea la punta del lápiz con la partesuperior del objeto y el dedo con la parte inferior. Luego, comentar los distintos dibujosobtenidos, dado que todos los alumnos y alumnas tendrán diferentes perspectivas del

objeto, se propone compartir los dibujos con el resto de la clase.Actividades complementarias• Llevar a los alumnos y alumnas al laboratorio e ingresar a la página http://www.fi.uu.nl/

wisweb/isdde/applets/Blokkendoos.htm en donde podrán manipular cuerpos geométricosformados por cubos, y donde tendrán la opción de ver en perspectiva frontal, lateral y superior las distintas figuras que ellos construyan.

PERSPECTIVAS (Páginas 248 y 249)



• Antes de empezar con este contenido es importante recordar a los(as) alumnos(as) queexisten cuerpos redondos y cuerpos poliedros y, que dentro de los cuerpos poliedros estánlos llamados prismas rectos. Buscar dentro de la sala de clases ejemplos de cuerposredondos y cuerpos poliedros, dejar que los y las estudiantes concluyan las diferencias comoprimer paso para un mejor aprendizaje de la definición de prisma recto.

• Es importante que los alumnos y alumnas encuentren regularidades en el número de

PRISMAS RECTOS (Páginas 250 y 251)

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| 115 |

elementos de un prisma, por ejemplo, que el número total de vértices es el doble delnúmero de vértices de la base. Para esto, el docente debe realizar ejercicios en donde los(as)

alumnos(as) cuenten el nº de caras, vértices y aristas del cuerpo geométrico, y deduzcan lasrelaciones existentes.• Hacer énfasis en que las caras basales de un prisma recto no necesariamente son polígonos

regulares, en el caso de que lo sean se les llama prismas rectos regulares.

Actividades complementarias• Revisar con los alumnos y alumnas la siguiente página web http://www.genmagic.org/mates1/

prisr1c.swf en donde encontrarán diferentes prismas rectos con sus respectivas redes y

tendrán una primera aproximación de lo que es el área de un prisma recto.TareasDibuja en cartulina las siguientes redes correspondientes a prismas rectos, luego clasifícalossegún el polígono que corresponde a la base e indica cuántas caras, aristas y vértices poseecada uno.


• Es importante que los alumnos y alumnas encuentren regularidades en el número deelementos de una pirámide, por ejemplo, el número de caras laterales es igual al número delados de la base. Para esto el docente debe realizar varios ejercicios en donde los alumnos y alumnas cuenten el nº de caras, vértices y aristas del cuerpo y deduzcan las posibles relaciones.

• La apotema introducida aquí hace referencia al segmento perpendicular que une la cúspidede la pirámide con el punto medio de la base del triángulo correspondiente a una de lascaras laterales y que coincide con la altura de dicho triángulo ya que éste es un triángulo

PIRÁMIDES RECTAS (Páginas 252 y 253)

U7 PAG 110-125 9/9/09 11:08 Page 116




caras laterales, y que coincide con la altura de dicho triángulo ya que éste es un triánguloisósceles o equilátero. Para información del docente, la apotema además, es la distanciadesde el centro de un polígono regular hasta el punto medio de cualquiera de sus lados y es siempre perpendicular a este.

• Las pirámides rectas no necesariamente tienen como base un polígono regular, en el casoque así sea, los triángulos que forman las caras laterales son isósceles o equiláteros y congruentes entre sí.

Errores frecuentes o posibles dificultades• Es muy frecuente que los alumnos y alumnas confundan la altura de la pirámide recta con la

apotema. Hacer énfasis en la diferencia de cada elemento para que no incurran en este error.

Actividades complementarias• Averiguar acerca de los “sólidos platónicos”, dibujarlos e indicar a cuáles poliedros

corresponden. Explicar porqué se llaman “sólidos platónicos”. Pueden visitar la páginahttp://www.walter-fendt.de/m11s/platonsolids_s.htm

• Las siguientes actividades se proponen para profundizar con los y las estudiantes el contenidode estás páginas.

Completar la siguiente tabla y comprobar que la fórmula de Euler se cumple para lossiguientes poliedros.

Fórmula de Euler Nº de vértices + Nº de caras = Nº de aristas + 2

Poliedro Nombre Nº Vértices Nº Caras Nº Aristas Fórmula

1.

2.

3.


Poliedro Nombre Nº Vértices Nº Caras Nº Aristas Fórmula

4.

5.

6.

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7. ¿Qué relación hay entre el número de caras laterales de un prisma recto o de unapirámide recta respecto al nº de lados de la base?

8. ¿Qué relación hay entre el nº de vértices de un prisma recto y el nº de vértices de la base?9. ¿Qué relación hay entre el nº de aristas de un prisma recto y el nº de lados de la base?

10. ¿Qué relación hay entre el número de caras (incluyendo las bases) de un prisma rectoy el nº de lados de la base?

11. ¿Qué relación hay entre el número de caras (incluyendo las bases) de una pirámide rectay el nº de lados de la base?

Información para el docente• Si la pirámide tiene como base un polígono regular, se puede calcular su área utilizando la

siguiente fórmula:

n nº de triángulos en caras laterales (equivalente a nº de lados que tiene la base).a longitud de la base de uno de los triángulos de las caras laterales (es la misma medida

en todos).ρ apotema

Errores frecuentes o posibles dificultades• Es probable que los alumnos y alumnas no logren calcular el área de una pirámide recta

cuando no se explícita la medida del apotema, o bien, utilizan la altura de la pirámide. Realizar

ejercicios en que deban obtener la apotema dada la altura de la pirámide para evitar estaposible dificultad.

Actividades complementariasSe tiene dos paquetes con forma de prisma recto los cuales se necesitan envolver para enviarpor encomienda. ¿En cuál de ellos se necesita la menor cantidad de papel para envolverlo?

| 117 |

Área total = + Área de la base

ÁREA DE PRISMAS Y PIRÁMIDES (Páginas 254 y 255)

10 cm

20 cm 5 cm

10 cm

10 cm

10 cm

¿COMO VOY?(Páginas 256 y 257)

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conRemediales/


Reconocer loselementos de unprisma recto.

1

2

3

C

C

B

2 / 3 • Realizar ejercicios en que los(as) alumnos(as) debanrelacionar el nº de caras, nº de vértices y nº de aristasen un prisma recto y en una pirámide recta.

• Realizar tablas en donde los y las estudiantes puedandeducir algún tipo de regularidad con respecto alnº de vértices, nº de aristas y nº de caras de unprisma recto y de una pirámide recta.

Calcular áreas deprismas rectos.

4

5

D

C

1 / 2 • Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) calculenáreas de prismas rectos, componiendola figura.

• Presentar a los alumnos y alumnas situacionesproblemáticas en donde para resolverlas debancalcular áreas de prismas rectos. Un buen ejercicioes que calculen áreas de prismas rectos regulares y que deduzcan una fórmula más directa para realizar el cálculo.

Calcular áreas depirámides rectas. 6

7

8

A

B

D

2 / 3 • Realizar ejercicios en donde los(as) alumnos(as)calculen áreas de pirámides rectas, componiendo lafigura, donde obtengan áreas parciales (lateral y base) y luego el área total, sumando las áreasparciales.

• Presentar a los(as) alumnos(as) situacionesproblemáticas en donde para resolverlas debancalcular áreas de pirámides rectas. También un buenejercicio es que los y las estudiantes calculen áreasde pirámides rectas regulares y que deduzcan unafórmula más directa para realizar el cálculo.


Dibujar y reconocer lasvistas laterales

frontales y superiores de uncuerpo.

9 Construcción

1 / 1 • Realizar ejercicios en donde los y las estudiantesdeban dibujar cuerpos desde distintas perspectivas.Pedirles que en cartulina dibujen la red de un

cuerpo, luego la armen y la dibujen en diferentesposiciones para obtener diferentes perspectivas.

UNIDADES DE MEDICIÓN DE VOLUMEN (Pá i 258 259)

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Información para el docente• Para que los alumnos y alumnas se sientan más familiarizados con el concepto de volumen,se propone al docente introducir el tema recordando la definición de cuerpo geométricoestudiada anteriormente. Si un cuerpo geométrico “es aquello que ocupa un lugar en elespacio”, el volumen de ese cuerpo es la medida de ese espacio. Para cuantificar ese espacio,se utiliza una unidad de medida de volumen representada por un cubo. Hay que tener cuidado en que los alumnos y alumnas no crean que es la única forma de medir el volumeny, por lo tanto, dificultar el cómo medir los cuerpos redondos.

• Se sugiere al docente introducir el concepto de capacidad, por ejemplo, preguntando cuántoscubos de 1 unidad de medida están contenidos en una caja de papel (para que el volumende la caja sea despreciable y se pueda reducir a su capacidad).

Errores frecuentes o posibles dificultades• Un error frecuente que cometen los alumnos y alumnas es que aunque logran identificar si

deben dividir o multiplicar para transformar de una unidad de medida a otra, no lo hacen por la potencia de 10 correcta. El docente debe hacer énfasis en que para la longitud es 101, parael área es 102 y para el volumen es 103.

• Como ya se comentó, los alumnos y alumnas suelen confundir el concepto de volumen conel de capacidad, explicar las diferencias correspondientes.

Actividades complementariasUna caja de cartón tiene un 1 m3 de volumen, si cada cubito tiene las siguientesmedidas cada uno, ¿cuántos cubitos alcanzan en la caja?

1. 20 dm3 5. 200 dm3

2. 1.000 dm3 6. 12.500 cm3

3. 25 dm3 7. 10.000 cm3

4. 500 dm3 8. 20.000 cm3

UNIDADES DE MEDICIÓN DE VOLUMEN (Páginas 258 y 259)


• Para el cálculo del volumen de un prisma recto es necesario obtener el área de la base, por lo que se propone al docente trabajar de forma simultánea con los alumnos y alumnas elcálculo de áreas de polígono cualquiera.

Errores frecuentes o posibles dificultades• Al calcular el volumen de un prisma, los(as) alumnos(as) se confunden con el cálculo del

á P j l l i li 2 l á d l b l l i li l l

VOLUMEN DE PRISMAS RECTOS (Páginas 260 y 261)

U7 PAG 110-125 9/9/09 11:08 Page 120




área. Por ejemplo, multiplican por 2 el área de la base y luego multiplican por la altura, estosuele suceder ya que confunden ambos cálculos. Realizar ejercicios en que los y las

estudiantes deban calcular ambos elementos, para que tomen conciencia de que los cálculosson diferentes, además de la información necesaria para realizarlos.

Actividades complementariasResponde las siguientes preguntas de análisis.1. ¿Cómo varia el volumen de un prisma recto de base cuadrada si se duplica su altura?2. ¿Cómo varia el volumen de un cubo si se duplica su la medida de su arista?3. ¿Cómo varia el volumen de un paralelepípedo si se duplica su altura y la medida del ancho

de la base se reduce a la mitad?

Información para el docente• La fórmula para el cálculo del volumen de una pirámide recta cualquiera se desprende del

teorema que dice que un prisma triangular se puede descomponer en tres pirámides triangulares o tetraedros equivalentes. De aquí se obtiene que una pirámide triangular esequivalente a la tercera parte del prisma de igual base triangular.

Errores frecuentes o posibles dificultades• Es bastante probable que los alumnos y alumnas confundan para el cálculo del volumen de

una pirámide el uso de la apotema por el de la altura. Para evitar a estas posibles confusiones,realizar ejercicios en que los y las estudiantes a partir de la apotema, deban calcular la altura

de la pirámide para luego obtener su volumen.• En el cálculo del volumen, los(as) alumnos(as) tienden a olvidar poner la unidad de medida

elevada al cubo. El docente debe recordar que respondan formalmente a los ejercicios.

VOLUMEN DE PIRÁMIDES RECTAS (Páginas 262 y 263)



• En los ejercicios presentados en estas páginas, se combinan capacidad con volumen dediferentes cuerpos, además se introducen unidades de medida de capacidad como el litro y sus diferentes equivalencias. Se sugiere al docente dejar en claro que cuando se calcula lacapacidad de un recipiente (piscinas, cajas, depósitos, etc.), en algunas situaciones, esequivalente a calcular su volumen. Recordar insistentemente que ambos conceptos no soniguales.

APLICACIONES DEL CÁLCULO DE VOLUMEN (Páginas 264 y 265)

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| 121 |

Información para el docente• Cuando se calculan áreas de cuerpos geométricos complejos que se pueden descomponer

en cuerpos más simples, de los cuales sepan obtener sus áreas.• Hacer énfasis en que para calcular el área de una pirámide recta se necesita el área de los

triángulos que componen sus caras laterales y, por lo tanto, la altura conocida como apotema.

Si la base de la pirámide recta es regular, el área de las caras laterales se puede obtener con

la fórmula donde Pbasecorresponde al perímetro de la base yρ corresponde a la

altura del triángulo o a la apotema.

Información para el docente• En el caso del cálculo de volumen de cuerpos más complejos, una acertada estrategia de

resolución es descomponer la figura en otras más simples. En el caso de que el alumno y alumna utilicen esta estrategia, es imprescindible que sea ordenado en la resolución. Eldocente puede sugerirle que destaque de alguna manera los resultados parciales para luegono tener problemas en calcular el resultado final y evitar posibles errores.

Información para el docente• Es fundamental que los alumnos y alumnas trabajen en estas páginas para integrar los

conceptos revisados en esta unidad y aclarar dudas que aún puedan tener.




Actividades complementariasMarca la alternativa correcta.¿Qué capacidad tiene la piscina de la figura?A. 1.800 litros.B. 2.400 litros.C. 18.000 litros.D. 24.000 litros.


3 m4 m 1 m

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conRemediales/


Calcular elvolumen de unprisma.

5

6

10

12

D

C

8.400 cm3

5.256 cm3

3 / 4 • Realizar ejercicios en donde los alumnos y alumnascalculen el volumen de prismas rectos, condiferentes polígonos de base.

• Realizar ejercicios en donde los(as) alumnos(as)deban calcular volúmenes de prismas a partir devariaciones de otros en los cuales sí se conoce suvolumen.

Calcular el árealateral y total deun prisma.

1

2

9

11

16

C

B

2.720 cm2

2.452 cm2

4,4 cm

3 / 5 • Realizar ejercicios en donde los y las estudiantesdeban calcular áreas laterales y totales de prismasrectos, dando como datos diferentes medidas, por ejemplo, el perímetro de la base o la medida de loslados de la base, etc.

• Realizar ejercicios en donde los(as) alumnos(as)deban resolver problemas contextualizadoscalculando área de prismas. Realizar ejercicios endonde dada el área total o lateral, se pida calcular elárea de la base.

¿QUE APRENDÍ? (Páginas 274 a 276)

2 m


Calcular elvolumen de unapirámide.

7

8

A

C

1 / 2 • Realizar ejercicios en donde los y las estudiantesdeban calcular el volumen de una pirámide dada elárea basal y la altura.

• Realizar ejercicios en donde los alumnos y alumnasdeban calcular volúmenes de cuerpos generados por pirámides y prismas.

Calcular el árealateral y total deuna pirámide.

3 B1 / 2 • Realizar ejercicios en donde los alumnos y las

alumnas deban calcular áreas laterales y totales depirámides, dado el lado de la base y la apotema.

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| 123 |

p

4 C

p , y p• Realizar ejercicios en donde los alumnos y alumnas

deban calcular áreas de cuerpos generados por pirámides.

Perspectivas decuerposgeométricos.

13

14

15

Construcciones

Construcciones

Construcciones

2 / 3 • Realizar ejercicios en donde los alumnos y lasalumnas deban dibujar la vista frontal, superior y lateral de un cuerpo dado.

• Realizar ejercicios en donde los alumnos y alumnasdeban dibujar un cuerpo dada su vista frontal,

superior y lateral de él.




1. ¿Cuál es el área total del siguiente cuerpo formadopor cubos de arista 2u?A. 100 u2

B. 120 u2

C 140 2

5. ¿Cuál es el área total de la plataforma si se ocupandos cubos de madera de 2 m de lado y un prismarectangular con lados 7 m, 2 m y 1 m?A. 76 m2

B 84 m2

2 u

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C. 140 u2

D. 150 u2

2. Determina el volumen de la pirámide recta de basecuadrada.A. 278 cm3

B. 356 cm3

C. 480 cm3

D. 576 cm3

3. ¿Cuál es el área total del siguiente prisma recto?A. 36 m2

B. 38 m2

C. 40 m2

D. 42 m2

4. Para llenar la piscina, se utiliza una manguera quearroja 5 litros por segundo. ¿En cuánto tiempo sellenará la piscina completa?A. 75 segundosB. 750 segundosC. 75.000 segundosD. 750.000 segundos

B. 84 mC. 94 m2

D. 96 m2

6. El volumen de un prisma recto pentagonal regular es392 cm3. Si la altura mide 7 cm y el lado delpentágono regular mide 4 cm, ¿cuánto mide laapotema?A. 5,6 cm

B. 7 cmC. 16 cmD. 56 cm

7. Si el área lateral de una pirámide pentagonal es168 cm2, ¿cuánto mide el perímetro de la base si laapotema lateral mide 8 cm?

A. 40 cmB. 42 cmC. 44 cmD. 50 cm

8. ¿Cuánto mide la arista de la base de una pirámidecuadrada si su volumen es 300 cm3 y su altura 9 cm?A. 5,8 cmB. 7 cmC. 8 cmD. 10 cm

medida de la arista:12 cmAltura: 10 cm

3 m

4 m2 m

25 m5 m

3 m

9. El área total de un prisma recto hexagonal es888 m2. Si el lado del hexágono regular mide 8 my la altura del prisma mide 12 m, ¿cuánto mide la

apotema de la base?A. 6 mB. 7 mC. 8 mD. 9 m

13. Si la vista superior de un cuerpo es: el cuerpocorresponde a:A. un prisma heptagonal.

B. una pirámide pentagonal.C. un prisma pentagonal.D. una pirámide hexagonal.

U7 PAG 110-125 9/9/09 11:08 Page 125



| 125 |

10. ¿Cuál de las siguientes fórmulas se puede utilizar para calcular el área de un cubo de arista a?A. 2 • a2

B. a2

C. 6 • a2

D. a3

11. ¿Cuántos cubos de 2 cm de arista se necesitan paraconstruir un cubo de 10 cm de arista?A. 50 cubosB. 100 cubosC. 125 cubosD. 200 cubos

12. Para calcular el área lateral de una pirámide essuficiente:A. multiplicar el lado de la base por la apotema y

luego dividir por 2.B. multiplicar el perímetro de la base por la altura y

luego dividir por 2.

C. multiplicar el lado de la base por la altura y luego dividir por 2.

D. multiplicar el perímetro de la base por laapotema y luego dividir por 2.

14. ¿A cuántos centímetros cúbicos equivale 1m3?

A. 1000 cm3

B. 10.000 cm3

C. 100.000 cm3

D. 1.000.000 cm3

15. Si se une un prisma rectangular de 4 cm de alto,2 cm de ancho y 2 cm de largo con un cubo dearista 2 cm, formando un prima más alto, ¿cuál es elárea total del cuerpo resultante?A. 40 cm2

B. 56 cm2

C. 64 cm2

D. 80 cm2

16. ¿Cuál de las siguientes proposiciones sonverdaderas?I. En un prisma recto el nº de caras laterales es

equivalente al nº de lados de la base.II. En una pirámide recta el nº de vértices es

equivalente al nº de caras de la base más 1.III. En un prisma recto el nº de vértices es el doble

del nº de caras menos 2.A. Solo IB. Solo IIC. I y IID. Todas.

t o s ,

c o n s t i t u y e

l a r a m a d e

l a m a t e m

á t i c a m

á s

l a v i d a c o

t i d i a n a

d e

l o s

a l u m n o s y a l u m n a s

r a n a l i z a d a s u

t i l i z a n

d o a l g u n o s e l e m e n

t o s

d e

l

e d e p

l a n

t e a r s e

l a r e f l e x i ó n r e s p e c t o a

l a

r c o n c e p

t o s q u e s o n u t i l i z a d o s e n s i t u a c i o n e s

o .

S e e s t a

b l e c e s u r e l a c i

ó n c o n

l a f r e c u e n c i a

e n o c a s i o n e s ,

s o l o e s e s t i m a d a o c l a s i f i c a d a

r o f e n

ó m e n o .

C O N T E N I D O S D E L A U N I D A D

a b l a s

d e

f r e c u e n c i a s a b s o

l u t a s .

a b l a s

d e

f r e c u e n c i a s r e

l a t i v a s .

o n s t r u c c i ó n

d e g r á f i c o s

d e

f r e c u e n c i a s .

n á l i s i s d e

t a b l a s y g r á f i c o s .

e p r e s e n

t a t i v i d a d

d e u n a m u e s t r a .

r e c u e n c i a r e

l a t i v a y p r o

b a b

i l i d a d .

a m e d

i c i ó n

d e

l a p r o b a

b i l i d a d .

U8 PAG 126-141 9/9/09 11:08 Page 126




8 I n

t r o d u c c i ó n

L a e s t a

d í s t i c a ,

y d e m a n e r a e s p e c i a

l , l a r e p r e s e n

t a c i ó n

d e l o s

d a t

l i g a d a a

l a s c i e n c i a s s o c i a

l e s .

L o s m e d

i o s

d e c o m u n

i c a c i ó n ,

y

p r e s e n

t a n s i t u a c i o n e s

f a m

i l i a r e s e

i n t e r e s a n

t e s q u e p u e

d e n

s e r

m a n e

j o d e

l a i n f o r m a c i ó n .

E n e

l c a s o

d e

l o s m e d

i o s ,

p u e

i n t e n c i o n a l i d a d

d e u n

d e

t e r m i n a d o g r á f i c o o p

l a n

t e a m

i e n t o .

P o r o

t r a p a r t e ,

e l e s t u

d i o d e l a p r o

b a b

i l i d a d p e r m

i t e f o r m a

l i z a r

c o

t i d i a n a s ,

y t a m

b i é n l a m e

d i d a

d e

l a p r o

b a b

i l i d a d

d e u n h

e c h o

c o n q u e o c u r r e u n

f e n

ó m e n o

d e

t e r m

i n a d o ,

c u y a p r o

b a b i l

i d a d ,

c o m o

“ m á s ” o

“ m e n o s ” p r o b a

b l e r e s p e c t o

l a o c u r r e n c i a

d e o

t r

O F V

C M O

D

a t o s y a

z a r

• S e l e c c i o n a r e l t i p o

d e

t a b l a s o g r á f i c o s

m á s a p r o p

i a d o s p a r a o r g a n

i z a r ,

a n a l i z a r y

c o m u n

i c a r

i n f o r m a c i ó n ,

a p a r t i r

d e

c r i t e r i o s p r e e s t a

b l e c i d o s .

• E s t i m a r

l a p r o b a

b i l i d a d


d e

u n e v e n

t o ,

a p a r t i r

d e

l o s r e s u

l t a d o s

d e

e x p e r i m e n

t o s a

l e a t o r i o s ,

u s a n

d o

l a

f r e c u e n c i a r e

l a t i v a .

• E m p

l e a r

f o r m a s s i m p

l e s

d e m o

d e

l a m

i e n t o

m a t e m

á t i c o ,

a p l i c a r

h a b

i l i d a d e s

b á s i c a s

d e l

p r o c e s o

d e r e s o

l u c i ó n

d e p r o

b l e m a s e n

c o n

t e x

t o s



o l a e s t u

d i a n

t e u

t i l i z a n

d o

l o s c o n

t e n

i d o s

d e

l n

i v e l , y a n a l i z a r

l a v a l i d e z

d e

l o s

•

T a

•

T a

•

C o

•

A n

•

R e

•

F r

•

L a

C u a

d r o s

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t i c o

• A n

á l i s i s d e e

j e m p

l o s d e u s o

d e

d i f e r e n

t e s

t i p o s

d e

t a b l a s y g r á

f i c o s ,

d e s t a c a n

d o e n

c a d a c a s o s u s v e n

t a j a s y

d e s v e n

t a j a s e n

r e l a c i ó n c o n

l a s v a r i a

b l e s r e p r e s e n

t a d a s ,

l a

d e p e n

d e n c i a

d e u n a

r e s p e c t o

l a o

t r a ,

l a

i n f o r m a c i ó n a c o m u n

i c a r ,

e l t i p o

d e

d a t o s

i n v o

l u c r a d o y

l o s o b

j e t i v o s p r o p u e s t o s .

• E s t a

b l e c i m

i e n

t o y a p

l i c a c i ó n

d e c r i t e r i o s

p a r a

l a s e

l e c c i ó n

d e l t i p

o d e

t a b l a s o

g r á f i c o s a e m p

l e a r p a r a o r g a n

i z a r y

c o m u n

i c a r

i n f o r m a c i

ó n ,

o b t e n

i d a

e m p

í r i c a m e n

t e ,

o a

t r a v é s

d e

d i v e r s a s

f u e n

t e s

d e

i n f o r m a c

i ó n .

• D e t e r m

i n a c i ó n

d e l a

f r e c u e n c i a r e

l a t i v a

i n f o r m a c i ó n r e l e v a n

t e .

a r e c o n o c e r a c i e r t o s y d

e t e c t a r e r r o r e s ,

U8 PAG 126-141 9/9/09 11:08 Page 127



| 127 |

O b j e t i v o s

f u n

d a m e n t a

l e s

t r a n s v e r s a

l e s

• P r o m o v e r e

l i n t e r é s y


d e c o n o c e r



i e n

t o y s e

l e c c i o n a r

l a i

• D e s a r r o

l l a r


d e a n

á l i s i s d e

l a i n f o r m a c i ó n p r e s e n

t a d a e n l o s m e

d i o s

d e c o m u n

i c a c i ó n .

• D e s a r r o

l l a r e

l p e n s a m

i e n

t o r e

f l e x

i v o y m e t

ó d i c o ,

y l a c a p a c i d a d



• R e s p e

t a r y v a l o r a r

l a s


d i s t i n t a s

d e

l a s p r o p

i a s .

• D e s a r r o

l l a r

l a a u

t o n o m


i l i d a d

i n d i v i d u a l

f r e n

t e a

t a r e a s y

t r a b a j o s .

• D e s a r r o

l l a r

l a a p e r t u r a a n

t e m

é t o d o s y r e s p u e s t a s

d i s t i n t a s a

l a s p r o p i a s ,

c o n c a p a c i d a d

d e

j u i c i o p a r a

p r o p

i o s y a j e n o s .


d o

4 a

5 s e m a n a s .

O b s e r v a c

i o n e s

p r o c e

d i m i e n

t o s u

t i l i z a d o s y

d e

l o s

r e s u

l t a d o s o

b t e n i d o s .

c o n q u e s e

d a u n

d e t e r m

i n a d o e v e n

t o e n

u n e x p e r i m e n

t o a l e a

t o r i o ,

c o m o

l a r a z ó n

e n t r e e

l n

ú m e r o

d e v e c e s e n q u e s e

o b t u v o

d i c h o e v e n t o

y e

l n

ú m e r o

d e v e c e

q u e s e r e a l i z

ó e

l e x p e r i m e n

t o .

• U s o

d e

l a f r e c u e n c i a

r e l a t i v a ,

e n s u

f o r m a t o

d e c i m a l , c o m o

f r a c c i ó n y

p o r c e n

t a j e

, p a r a e s t i m a r

l a p r o

b a b

i l i d a d

d e

o c u r r e n c i a

d e u n e v e n

t o .


Muestras representativas

TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN

Análisis de datos

Frecuencias

U8 PAG 126-141 9/9/09 11:08 Page 128




Información para el docente• La selección de un gráfico a partir de los medios de comunicación permite constatar la

importancia de una forma adecuada y cierta de presentar una información. Es esencial quesus estudiantes reflexionen respecto a la manera de presentar la información, estableciendouna intencionalidad y la consideración del grupo objetivo al que se dirige.

Actividades complementarias• Puede sugerir a los(as) alumnos(as) presentar la información obtenida en una tabla, en caso

que los datos obtenidos sean muchos, y comprobar lo poco atractiva que se hace la noticia,en este caso.



Interpretación de información

RelativasAbsolutas

Análisisde tablas

Análisisde gráficos Probabilidad

Decimal Fracción Porcentaje

Estimación

UNIDAD 8 | Datos y azar


conRemediales/


Leer y obtener informaciónpresente engráficoscirculares.

1

2

C

C

3 / 7 • Realizar ejercicios en los cuales los estudiantesrespondan preguntas a partir del análisis de un gráficocircular.

• A partir de información representada en una tablapida que construyan un gráfico circular, y luegointerpreten los resultados obtenidos.


U8 PAG 126-141 9/9/09 11:08 Page 129



| 129 |

3

4

5

F

F

V

Comprender y emplear medidasde tendenciacentral como lamedia, moda y mediana.

6

7

10 páginas

Es posible afirmar que por lo

menos 2 de los

5 datos puedenser 8.

2 / 2 • Pedir a sus alumnos y alumnas que investiguen elsignificado de las palabras: promedio, mediana y moda. Luego, repase los algoritmos utilizados paracalcular cada una de las medidas de tendencia centralnombradas.

• A partir de información dada en una noticia, pida a

los estudiantes que interpreten las medidas de tendencia central que ahí se presenten.

Distinguir, realizar y obtener información deexperimentosaleatorios.

8 a 10

11

Dependerándel

experimentorealizado por

cada uno.

Al aumentar lacantidad de

lanzamientos, larazón se

aproxima a .12

3 / 4 • Repetir el experimento para un número menor delanzamientos de la moneda, aumentandopaulatinamente.

• Realizar un experimento similar al presentado, peropara el lanzamiento de un dado.

Información para el docente• La construcción de tablas de frecuencia absoluta es el primer y más simple paso al elaborar

tablas en estadística. Presenta, sin embargo, la dificultad de definir las variables.

• En el ejemplo planteado, una de las variables es “día de la semana”. Sin embargo, no siempreel estudio de los valores de la variable se realiza de manera directa. La manera más naturalde contar los correos recibidos por día es la que se muestra, es decir, día por día anotar lacantidad de correos recibidos. Esto podría hacernos creer que la variable es “número decorreos recibidos por día”, por lo que se trataría de una variable cuantitativa. Dicho de otramanera, la variable y sus valores es algo que definimos al realizar nuestro estudio, y no

TABLAS DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS (Páginas 284 y 285)

U8 PAG 126-141 9/9/09 11:08 Page 130




y g q y

necesariamente se desprende de manera directa de la “pregunta” que hacemos.

Información para el docente• Es conveniente recalcar a los(as) alumnos(as) que un valor estadístico, generalmente, tiene

sentido al ser considerado como parte de un total.

• Habrá ocasiones en que, por ser el total muy pequeño, no tiene sentido hablar deporcentajes o convertir a frecuencia relativa. En otras ocasiones, precisamente es mejor utilizar los datos absolutos para dimensionar de mejor manera, sobre todo cuando se buscaque la información “impacte”. Así, por ejemplo, cuando ocurre una catástrofe se suele hablar del número de personas damnificadas o muertas y no de su porcentaje del total, de manerade dimensionar mejor la información.

• Antes de trabajar estas páginas, es recomendable repasar algunos aspectos básicos derazones y proporciones.

Actividades complementariasSelecciona una noticia en un diario o revista, en la cual se utilicen frecuencias relativas.Luego, realiza lo siguiente.1. Determina la pertinencia del uso de porcentajes y/o proporciones, dado el total y el

contexto de la noticia.

2. Expresa las frecuencias relativas como razones, porcentajes o decimales, según estimesconveniente. Justifica tu elección.

Errores frecuentes o posibles dificultades• Es posible que los alumnos(as) asuman una errada concepción de la frecuencia relativa,

creyendo que esta es necesariamente determinística, es decir, que se cumple para todos los

TABLAS DE FRECUENCIAS RELATIVAS (Páginas 286 y 287)


casos. Por ejemplo, pueden pensar que si un 30% de una muestra presenta una característicadeterminada, entonces, necesariamente “tres de cada diez personas presentan dichacaracterística”. Este error puede ser corregido al analizar, en un contenido posterior, larelación entre probabilidad y frecuencia relativa.

Información para el docente• El programa Excel permite construir de manera sencilla y amigable, diferentes tipos de

gráficos a partir de ciertos datos. Sin embargo, y profundizando el análisis, es conveniente

CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICOS DE FRECUENCIAS (Páginas 288 y 289)

U8 PAG 126-141 9/9/09 11:08 Page 131



| 131 |

que construyan algunos gráficos “a mano”. Por otra parte, Excel no considera los casos enque, por la naturaleza de los datos, los gráficos se distorsionan.

Actividades complementarias• Presente a los estudiantes casos en que se deba comparar valores extremadamente bajos o

altos. A partir de ello es posible encontrar alternativas para construirlos, como también,analizar el impacto de dichas alternativas. Puede hacerse notar con esto algunas dificultadespara el análisis, por ejemplo, que a simple vista, una columna tenga el doble de altura que

otra, sin que necesariamente su frecuencia sea el doble.

Información para el docente• Las variables se dividen en dos tipos: cualitativasy cuantitativas. Las cualitativas pueden ser

ordinales (inducen un orden o jerarquía) o nominales(solo cumplen la función de

nombrar). Las cuantitativas pueden ser discretas(no admiten valores intermedios entre dosvalores consecutivos) o continuas(sí admiten valores intermedixos).

• Respecto a las variables cualitativas, muchas veces las nominales se codifican utilizandonúmeros, por ejemplo, para el estado civil se asigna un 1 para “soltero”, 2 para “casado”,3 para “separado” y 4 para “viudo”, sin que esta asignación de números transforme estavariable en cuantitativa.

• En cuanto a las variables cuantitativas, la diferencia entre continuas y discretas suele ser arbitraria, pues la existencia o no de valores intermedios depende casi exclusivamente deluso. Este punto se profundizará en las estrategias para resolver problemas (página 306).

ANÁLISIS DE TABLAS Y GRÁFICOS (Páginas 290 y 293)


conRemediales/


Leer einterpretar informaciónpresente en

tablas defrecuencias(absolutas y

1

2

C

C

2 / 2 • Realizar actividades en que los estudiantes analiceninformación presente en medios de comunicación,redactándola en sus cuadernos con sus propiaspalabras.

• Pedir que analicen la información determinando lapertinencia del tipo de tabla y frecuencia utilizada.


U8 PAG 126-141 9/9/09 11:08 Page 132




(absolutas y

relativas).

2 C

Analizar einterpretar informaciónpresente endiversos tipos degráficos.

3

4

5

D

C

C

2 / 3 • Realizar una puesta en común, explicando los pasoshechos para obtener las respuestas, reflexionandoacerca de cómo se construyó este tipo de gráfico.

• Construir un gráfico a partir de la tabla que sepresenta en la actividad 1, luego, revisar lasrespuestas obtenidas en esta actividad a partir delgráfico resultante.

Establecer y aplicar criteriosde selección para

tipos de tablas y gráficos aemplear,destacando sus

principalesventajas y desventajas.

6

7

Respuestaabierta.

Respuestaabierta.

2 / 2 • Realizar una puesta en común, explicando los pasoshechos para obtener las respuestas, reflexionandoacerca de cómo se construyó este tipo de gráfico.

• Construir un gráfico a partir de la tabla que sepresenta en la actividad 1, luego, revisar lasrespuestas obtenidas en esta actividad a partir delgráfico resultante.


• El objetivo de estas páginas es que los alumnos comprendan la necesidad de seleccionar unamuestra para la realización de un estudio, especialmente, cuando la población es muy numerosao de difícil acceso.

• A diferencia de otros estudios estadísticos, en un CENSO la muestra y la población sonequivalentes, es decir, se considera a todos los integrantes. Por lo anterior, la informaciónrecopilada permite generalizar y obtener conclusiones válidas para toda la población, sinembargo, dadas sus características, su realización es de un alto costo.

REPRESENTATIVIDAD DE UNA MUESTRA (Páginas 296 y 297)


Errores frecuentes o posibles dificultades• Los alumnos tienden a pensar que para que una muestra sea representativa basta con que

sea numerosa, para evitar esta confusión es necesario aclararles que además del tamaño sedebe considerar cómo fue escogida y si representa a los diferentes grupos que pueden estar presentes en una población.

Información para el docente• La noción de probabilidad que se estudia en estas páginas se relaciona con la naturaleza de

FRECUENCIA RELATIVA Y PROBABILIDAD (Páginas 298 a 301)

U8 PAG 126-141 9/9/09 11:08 Page 133



| 133 |

los experimentos realizados, en los cuales se pueden determinar los casos favorables a uncierto suceso y los casos totales, y de esta manera calcular las posibilidades de que ocurraun evento considerando que no hay otros factores que puedan afectar la realización delexperimento. Esta noción se relaciona con la ley de los grandes números, que será estudiadaen Octavo año.

Errores frecuentes o posibles dificultades• La no ocurrencia de un experimento como se pensaba, no necesariamente significa que el

experimento tenga alguna anomalía. Por ejemplo, en el lanzamiento de una moneda: noesperamos que en diez lanzamientos se obtengan diez caras, pese a que es perfectamenteposible. Este tipo de resultados puede confundir al alumno(a) por lo que se recomiendareflexionar acerca de casos como el mencionado anteriormente.

Información para el docente• El objetivo de estas páginas es que el alumno(a) comprenda que en ocasiones es necesario

asignar probabilidades, no a partir de la naturaleza matemática del suceso, sino que de lafrecuencia relativa con la que se produce. En la vida cotidiana, muchas veces esta es la únicaforma de determinar la probabilidad de un suceso, por lo que la experimentación y el análisisde los casos cobran vital importancia. Un ejemplo de lo anterior se presenta en algunosaspectos de la ciencia, donde resultados ajustados a la probabilidad esperada permitenconfirmar una teoría, o elaborarla a partir de dichos resultados.

LA MEDICIÓN DE LA PROBABILIDAD (Páginas 302 y 303)

Errores frecuentes o posibles dificultades• Es posible que los(as) alumnos(as) confundan cuándo una probabilidad puede “asignarse”

mediante el uso de sentido común o simple observación, y cuándo se calcula analizando lanaturaleza de un experimento determinado. Debe explicitarse que si los casos favorables y los casos totales son determinables, entonces la probabilidad es exacta, y por ende, no escorrecto realizar una estimación.

TareasA partir de los datos presentados en el gráfico del ejercicio 1 construye una tabla utilizando


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A partir de los datos presentados en el gráfico del ejercicio 1, construye una tabla utilizandode los montos ahorrados por cada niño, luego verifica las respuestas obtenidas.

Información para el docente• La mayor parte de las veces, información como la que se presenta aquí requiere de una

organización en clases, en este caso, rangos de edad. Las clases se han establecido paraedades enteras, de manera que el límite superior de cada intervalo difiere en el límite inferior de la clase siguiente, de modo que una persona que tiene, por ejemplo, 9 años y ochomeses, corresponde a la clase 5 a 9. La construcción de este tipo de tablas, de datosagrupados, no se aborda en esta unidad, pero puede aclararse este punto puesto que los(as)alumnos(as) se verán enfrentados a casos de este tipo.

• Relacionado con este hecho, puede mencionarse que el carácter de continuo o discreto deuna variable es, en ocasiones, arbitrario; en este caso la edad se puede considerar como unavariable discreta.

TareasInvestiga respecto al gasto en dinero que representa el uso de diferentes métodos decalefacción, y su nivel de contaminación. A partir de ello, discutir con tus compañeros ycompañeras respecto de las siguientes puntos:

1. En caso de tener sistemas de calefacción económicos pero contaminantes, versussistemas costosos pero limpios, ¿qué elección sería más conveniente? ¿Puede, en todaspartes del país, usarse un mismo tipo de energía limpia y económica?

2. ¿Qué cuidados pueden tenerse en una casa para aprovechar la calefacción de maneraeficiente?


TRABAJO CON LA INFORMACIÓN (Página 308 y 309)


Información para el docente• El trabajo de esta sección permite la integración de los contenidos, relacionarlos

adecuadamente y resolver las dudas que se presenten.• Al analizar la noticia y el proyecto realizado en los grupos, es imprescindible destacar que la

diversidad de opiniones constituye una gran riqueza, a la que los alumnos(as) están pocoacostumbrados(as) en la asignatura, donde la mayor parte de las veces realizan tareas conuna respuesta única. La selección de gráficos tiene un componente predeterminado peropor sobre todo se basa en la intención que tiene la presentación de la información y elpúblico al que se dirige. La retroalimentación y la justificación de las opiniones dadas debeocupar un espacio preferencial en esta etapa.

SÍNTESIS (Página 308 y 309)

U8 PAG 126-141 9/9/09 11:08 Page 135



| 135 |

p p p p

Actividades complementariasSelecciona en distintos medios de comunicación dos noticias distintas que presenten tablasy/o gráficos. Luego realiza lo siguiente.1. Compara ambas noticias.

2. Determina la intencionalidad y énfasis de cada una, y a partir de ello justifica el tipo de gráficoo tabla utilizada en cada caso.

Analizar una información dada en un medio de comunicación, para esto:3. Determina si el tipo de gráfico es el más adecuado.

4. Al presentar cifras, determina si es pertinente utilizar frecuencias relativas o absolutas. Encaso de una u otra, presenta la información de ambas maneras para comprobar si secomplementan y da una mejor visión de la situación.

5. En caso de que se presente una muestra indica si es representativa o no.

6. Analiza, si la información dada corresponde con los datos presentados o si crees necesario

agrega información adicional. Justifica.

Información para el docente• El estudio de la probabilidad de manera explícita, es parte de los ajustes curriculares

propuestos por el MINEDUC para el año 2010, por dicha razón los ítems de SIMCE que

actualmente se pueden encontrar, generalmente presentan un mayor nivel de complejidadya que se considera como contenido mínimo a partir de segundo medio.


Indicador Nº de

preguntaRespuesta Logrado

con

Remediales/

sugerencias de profundizaciónObtener información y analizar tablas defrecuencias(absolutas y relativas).

1 C

3 / 4 • Realizar ejercicios en que los alumnos(as) debanidentificar e interpretar el uso de frecuenciasabsolutas y relativas en diversos contextos.

• Realizar ejercicios en los cuales a partir de una tabladada construyan preguntas que puedan ser respondidas mediante la información presentada.


U8 PAG 126-141 9/9/09 11:08 Page 136




2

7. a

7. b

D

Construcciónde tablas defrecuencia.

No, pues se trata de datoscualitativos no

ordinales.

Establecer y aplicar criteriosde selección parael tipo de tablasy gráficos aemplear,destacando susprincipalesventajas y desventajas.

5

7. c

7. d

B

Preguntaabierta.

Puede usarsegráfico de

barras, puesmuestra la

información demanera similar.

2 / 3 • Pedir a los alumnos y alumnas que construyandiversos tipos de gráficos para los ejercicios aquí presentados, y que determinen las ventajas y desventajas de cada uno.

• Pedir que construyan una tabla comparativa de losdiferentes tipos de gráficos estudiados en función desus ventajas, desventajas y tipo de información paralo cual son más útiles.



Automática Manual

Correctos 35 55

Defectuosos 15 25

A partir de la información anterior responde lo siguiente.

1. ¿Cuál es, aproximadamente, la probabilidad de que un producto envasado de maneradefectuosa, haya sido envasado por la máquina manual?

U8 PAG 126-141 9/9/09 11:08 Page 138




2. ¿Con qué probabilidad un producto sale defectuosamente envasado, independiente de lamáquina utilizada?

3. Obtén al menos dos conclusiones a partir de la información anterior.

En un juego hay una ruleta que tiene los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Las frecuencias conlas que han salido estos números son las siguientes:

Número Frecuencia absoluta

0 23

1 15

2 18

3 9

4 12

5 11

6 10

7 2

4. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 4?

5. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar?

6. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?

Lanzamientos Veces que salió 4

Dado 1 120 23

Dado 2 180 27

Dado 3 150 40

Dado 4 144 18


Alfredo tiene cuatro dados, y sabe que uno de ellos está cargado, de modo que el númerocuatro sale más que los demás, pero no recuerda cuál es. Para determinarlo, los lanzó variasveces y anotó en cuántas obtuvo un 4, con los siguientes resultados:

U8 PAG 126-141 9/9/09 11:08 Page 139



| 139 |

7. ¿Cuál es el dado cargado? Justifica.

Resuelve.8. En un concurso, se debe sacar una bolita de una caja, y se gana solo si la bolita es roja. Luego

de jugar 100 veces, una persona ganó en 23 de ellas. ¿Cuál de las tres cajas es más probableque haya sido la usada en el juego?

Caja A Caja B Caja C

Nº de computadores Nº de oficinas




Watts F. Absoluta F. Relativa

25 W 6 5%

La siguiente tabla muestra las compras de ampolletasen una tienda, según sus Watts. A partir de ella,responde las preguntas 1, 2 y 3.

Se consultó en las oficinas de un edificio por elnúmero de computadores que había en cada una.Con los resultados se realizó la siguiente tabla, quedebes utilizar para responder las preguntas 4, 5 y 6.

U8 PAG 126-141 9/9/09 11:08 Page 140



4 6

5 6

6 11

7 8


40 W 30 25%

60 W 54 45%

75 W x

100 W 12 10%

1. ¿Cuál es el valor de x?

A. 15B. 18

C. 21

D. 24

2. ¿Qué porcentaje de personas compró ampolletas de75 Watts o menos?

A. 45%

B. 75%

C. 80%

D. 90%

3. ¿Cuántas personas compraron ampolletas de menosde 60 Watts?

A. 30

B. 54

C. 75

D. 36

4. ¿Cuál es el promedio de computadores por oficina?

A. 7,75B. 5,5

C. 8

D. 4

5. ¿Cuál es el tamaño de la muestra?

A. 31 oficinas.B. 66 oficinas.

C. 124 oficinas.

D. 248 oficinas.

6. Al seleccionar una oficina al azar de ese edificio, ¿cuáles la probabilidad de que tenga 6 computadores?

A. C.

B. D.

7. Enrique ha construido cuatro tablas de frecuencias.¿Para cuál de ellas corresponde calcular la frecuenciaacumulada?

A. El deporte preferido por sus compañeros(as).B. La compañía de celular que tienen.

C. La cantidad de personas que fue al cine cada díade la semana.

D. La comuna en que viven sus compañeros(as).

8 P l li ió d di d l d

11. A partir del siguiente gráfico, es incorrecto afirmar que:

A. La frecuencia relativa de la categoría B es 0,3.

B. La frecuencia acumulada hasta C es igual a 18.

C. La variable estudiada es cuantitativa.D. La menor frecuencia relativa corresponde a un 10%.

12 P fi l f i d 300

9876543210

A B C D

U8 PAG 126-141 9/9/09 11:08 Page 141



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8. Para la realización de un estudio acerca del deportefavorito de los jóvenes de una ciudad, la muestramás representativa es:

A. Asistir a un club deportivo y preguntar en quédeporte se inscriben más jóvenes.

B. Llamar telefónicamente a 500 jóvenes de la ciudad.

C. 1.000 jóvenes que pasen por el centro comercial.

D. 10 jóvenes que vivan en diferentes zonas de laciudad.

9. Tras realizar varias veces un experimento, Carolinase dio cuenta de que el resultado que ella esperabasolo ocurrió 45 veces, teniendo una probabilibad deun 30%. ¿Cuántas veces realizó el experimento?

A. 120B. 90

C. 130

D. 150

10. ¿Qué gráfico correspondería utilizar para mostrar los niveles de contaminación de las principalesciudades de Chile?

A. Polígono de frecuencias.

B. Gráfico de barras.

C. Gráfico circular.

D. Pictograma.

12. Para graficar las preferencias de 300 personasrespecto a su equipo favorito, no correspondería usar:

A. Un gráfico de barras.

B. Un pictograma.

C. Un polígono de frecuencias.

D. Un gráfico circular.

13. En una encuesta se consultó a 600 personas respectoa su preferencia sobre cuatro marcas de bebidas,siendo las frecuencias relativas 0,15; 0,25; 0,35 y 0,25.La bebida menos elegida lo fue por:

A. 90 personas.B. 150 personas.

C. 30 personas.

D. 15 personas.

14. En un curso, a 8 alumnos les gusta el fútbol, a 20 es

básquetbol y a 12 el tenis. La probabilidad de elegir alazar a un alumno que le guste el tenis es:

A. 0,12

B. 0,3

C. 0,5

D. 3

SolucionarioUnidad 1: Números enteros

Unidad 2: Variaciones proporcionales

Unidad 3: Construcciones geométricas

1. C2. B3. B

4. D

5. C6. B7. C

8. A

9. D10. A11. D

12. C

13. B14. D15. B

16. C

1. D2. C3. B4. B

5. D6. C7. C8. A

9. D10. A11. C12. B

13. B14. C15. C16. B

1 D 3 D 5 B 7 D

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Unidad 4: Potencias y raíz cuadrada

Unidad 5: Álgebra y ecuaciones

Unidad 6: Triángulos y sus elementos

Unidad 7: Prismas y pirámides

Unidad 8: Datos y azar

1. D2. C

3. D4. A

5. B6. B

7. D8. B

1. D2. D3. C4. D

5. B6. B7. D8. B

9. D10. C11. B12. C

13. C14. B15. D16. B

1. A2. C3. C4. A

5. C6. D7. B8. D

9. C10. B11. D12. C

13. C14. C15. D16. B

1.C2. C

3. B4. B

5.D6. D

7. C8. C

9.D10. C

11. A12. B

13.A14. D

15. B16. D

1. B2. C3. A4. C

5. C6. A7. B8. D

9. B10. C11. C12. D

13. D14. D15. B16. C

1. B2. D3. D4. C

5. A6. C7. C8. D

9. D10. B11. C12. C

13. A14. B

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Simce: www.simce.cl

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guia mat 7 bic

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