banco de preguntas mat ii 2015-i

BANCO DE PREGUNTAS 2015-I

LA RECTA

1. De los puntos dados: A=(-4;-5), B=(3;10), C=(6;12). a) Grafique el triángulo en el plano coordenado. b) Calcule la distancia entre el vértice C y el lado AB. c) Calcule el área del triángulo ABC.

2. Un techo sube 5 metros por cada cambio horizontal de 8 metros. Determine la inclinación del techo; también determine la elevación total del techo si tiene una longitud inclinada de 25 m.

3. Encuentre la pendiente y la intersección “y” (si es posible) de la ecuación de la recta. Trace la recta. x +2y -8 = 0

4. Halla la ecuación de la recta perpendicular a la recta 4x+3y-12 = 0 y que dista 5 unidades de la longitud del origen de coordenadas.

5. Se dan las rectas 2x – 3y – 6 = 0; 2y – x + 4 = 0. Halla los puntos en la primera recta que disten 4 5 unidades, de la segunda recta.

6. Los puntos representan los vértices de un triángulo A(-4,-5), B(3,9) y C(8,6) determina la ecuación y la longitud de la altura del vértice B al lado AC.

7. Determine el ángulo que forman los siguientes pares de rectas:

a. r: x – y – 3 = 0, s: x – 3y – 5 = 0 b) )1(213: xyr , s: y = x + 2

8. En el triángulo de vértices A(2, -3), B(-1, 4) y C(0, 5). Calcule: a. La altura correspondiente al vértice C, b. La ecuación de la mediatriz del lado AB, c. Su área.

9. Los puntos representan los vértices del triángulo ABC; A(-6; -2), B(3; 10) y C(6; 12). Determina:

A) El área de la región triangular. B) Ecuación de la recta que pasa por los vértices A y B. C) La altura trazada desde el vértice B al lado AC.

10. Un triángulo rectángulo en A tiene dos vértices en los puntos A(2;5) y C(3;-2). Halle las coordenadas del vértice B sabiendo que está situado en la recta 2x + y + 3 = 0.

11. Dada los siguientes puntos A(-0.5;0.5), B(2;3) y C(5;-2). a) Dibuje el triángulo ABC en el plano coordenado. b) Encuentre la altura del vértice B del triángulo al lado AC. c) Encuentre el área del triángulo.

12. Pendiente de un camino. Un camino recto sube con una inclinación de 0.10 radianes a partir de la horizontal (vea la figura). Determine la pendiente del camino y el cambio en elevación en un tramo de tres kilómetros del camino.

MATEMÁTICA II

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MATEMÁTICA II

13. Inclinación de un techo. Un techo sube 3 metros por cada cambio horizontal de 5 metros (vea la figura). Determine la inclinación del techo.

14. Dado el punto P ; y la recta 3x + 4y = 7, determine la ecuación de la recta paralela y

recta perpendicular a dicha recta que paso pasa por el punto P.

15. Dado el punto P ; y la recta 5x + 3y = 0, determine la ecuación de la recta paralela y

recta perpendicular a dicha recta que paso pasa por el punto P. 16. Dado el punto P(−1; 0) y la recta y = -3, determine la ecuación de la recta paralela y recta

perpendicular a dicha recta que paso pasa por el punto P. 17. Calcular los ángulos interiores al triangulo de vértices P(8,2), Q(3,8) y R((2,-2). 18. La recta determinada por los puntos A(3,2) y B(-4,-6) es perpendicular a la recta definida

por los puntos P(-7,1) y Q(x,6). Calcular el valor numérico de “x”. 19. Determina la ecuación algebraica que expresa el hecho de que el punto P (x, y) equidista

de los dos puntos A (2, 2) y B (9, 9). 20. Dos vértices de un triángulo son A(3,1), B(6,4) y el tercero está sobre la recta de ecuación

푟: 3푥 − 푦 = 0. El área del triángulo es 9. Hallar el tercer vértice. 21. Un vértice de un cuadrado es el punto P(3,11) y una de sus diagonales se halla sobre la

recta de ecuación 푟:푥 − 2푦 + 4 = 0. Calcular las coordenadas de los otros vértices. 22. Un triángulo ABC tiene sus lados sobre las rectas de ecuaciones: 3푥 − 2푦+ 2 = 0; 푥 +

2푦 − 10 = 0; 3푥 − 푦 + 5 = 0. Calcular el perímetro y el área. 23. Determinar la ecuación de la recta perpendicular a la recta 4x + 3y – 12 =0 y que dista 5

unidades de longitud del origen de coordenadas. 24. Un triángulo rectángulo en A tiene dos vértices en los puntos A(1,3) y C(3,0). Halla las

coordenadas del vértice B sabiendo que está situado en la recta 2x + y + 2 = 0. 25. Determinar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (1;-6) y cuyo producto de

coordenadas en el origen es 1. 26. Determinar la ecuación de la recta de abscisa en el origen -3/7 y que es perpendicular a la

recta 3x + 4y – 10 = 0. 27. Determinar la ecuación de la perpendicular a la recta 2x + 7y – 3 = 0, en su punto de

intersección con 3x – 2y + 8 = 0.


MATEMÁTICA II

LA CIRCUNFERENCIA 28. De la gráfica mostrada escriba la ecuación general de la circunferencia.

29. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(-4; -3), B(5;10) y cuyo centro está sobre la recta 3x + y – 5 = 0

30. Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(2; 5) y Q(3; 12),

sabiendo que la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda PQ es igual a 52

31. Dada la ecuación, determine que representa:(un punto, una circunferencia o un conjunto vacío) a) 095108243636 22 yxyx

b) 058121622 22 yxyx

c) 06082844 22 yxyx

d) 0178641616 22 yxyx 32. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: M(0, 4), N(6, 0) y P(3, 8). 33. Hallar la ecuación de la circunferencia que pase por el punto (0,0), tenga de radio igual a

13 y la abscisa de su centro es -12. 34. Hallar la ecuación de la circunferencia, de manera que uno de sus diámetros sea el

segmento que une los puntos (5, -1) y (-3, 7). 35. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro el punto (-4, 2) y que sea tangente a la

recta 3x + 4y – 16 = 0. 36. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto C(-1; 4) y es

tangente a la recta que pasa por los puntos A(3; -2) y B(-9; 3). 37. Diseño Industrial. Al diseñar matrices para punzonar una lámina metálica se utiliza la

configuración que se muestra en la figura. Escriba la ecuación de la circunferencia pequeña con centro en B tomando como origen el punto marcado con A. Utilice los siguientes valores: r = 3 pulgadas, a = 3.25 pulgadas, b = 1 pulgada y c = 0.25 pulgadas.


MATEMÁTICA II

38. Diseño industrial. Un volante de 26 cm de diámetro va a montarse de modo que su eje esté a 5cm por arriba del nivel del piso, como se muestra en la figura. a) Escriba la ecuación de la trayectoria seguida por un punto en el borde. Utilice la superficie del piso como el eje horizontal y la recta perpendicular que pasa por el centro como el eje vertical. b) Encuentre el ancho de la apertura en el piso, permitiendo un juego de 2cm a ambos lados del volante.

39. Dadas las circunferencias:

018y16x12y2x2

0y8x6yx22

22

se pide: a) Comprobar que son concéntricas. b) Calcular el área de la corona circular que determinan.

40. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: M(0;4), N(6;0) y P(3;8).

41. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0;0) y B(8;6) y tiene el centro en la recta: y = x – 1.

42. Determinar la ecuación de la circunferencia de centro (1;-4) y tangente a la recta: y = -x +2. 43. Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-1;3), B(7;4), obtén la

ecuación en su forma ordinaria y general. 44. Obtener la ecuación de la recta tangente a la circunferencia de ecuación: x2 + y2 + 2x – 2y –

39 = 0. En el punto (4;5). 45. Determinar la ecuación de la circunferencia que tiene por diámetro el segmento de recta:

3x + 4y + 12 = 0. Comprendiendo entre los ejes coordenados. 46. Determinar la ecuación de la circunferencia cuyo centro esta sobre el eje “x” y pasa por los

puntos A(2;2) y B(6;-4). 47. Determinar la ecuación de la circunferencia de radio 5 que sea tangente a la recta 3x + 4y –

16 = 0 en el punto A(4,1). 48. Determinar la ecuación del diámetro de la circunferencia x2 + y2 + 4x –6y – 17 = 0 que es

perpendicular a la recta 5x + 2y –13 = 0. 49. Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos de coordenadas P(1,2),

Q(1,4) y R(2,0).

LA PARÁBOLA

50. Se lanza una pelota desde la cima de una torre de 33 m de altura con una velocidad de 19,6 m/s. Determine la ecuación de la trayectoria parabólica; ¿Cuál es la distancia que

recorre la pelota horizontalmente antes de golpear el suelo? Utilice: 푥 = − (푥 −푎); 푔 = 9,8푚/푠 .


MATEMÁTICA II

51. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje x pasa por (-2; 4). Halle la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto.

52. La entrada de una iglesia tiene la forma de parábola de 9m de alto y 12m de base. Toda la parte superior es una ventana de vidrio cuya base es paralela al piso y mide 8m. ¿Cuál es la altura máxima de la ventana?

53. Un arco parabólico tiene una altura de 20m y 20m de ancho. ¿Cuál es la altura del arco a 5m del centro?

54. Un cable suspendido por soportes a la misma altura (70 m), que distan 240 m. entre sí, cuelga en el centro 30 m. Si el cable tiene forma de parábola:

a) Grafique el puente, colocando el origen de coordenadas en el centro del puente, e identificando las coordenadas conocidas.

b) Modele la ecuación que genera el cable. c) Calcule la longitud de un cable de suspensión a una distancia horizontal de 20 m del

centro del puente. 55. La trayectoria de un proyectil disparada desde el piso está modelada por:

−180(푦 − 80) = (푥 − 120) Donde las coordenadas “x” y “y” están medidas en metros y el eje “x” coincide con el suelo. Determine la altura máxima de su trayectoria y su alcance horizontal máximo.

56. Ingreso. El ingreso, R (en dólares), generado por la venta de “x” unidades de un juego de

muebles de patio se da por: (푥 − 106) = − (푅 − 14,045), Grafique y aproxime el

número de ventas que hagan máximo el ingreso. 57. Diseño de un camino. Con frecuencia los caminos se diseñan con superficies parabólicas

para permitir que escurra la lluvia. Un camino con 10 metros de ancho está 0.12 metros más alto en el centro, que en uno de los lados. a) Encuentre la ecuación de una parábola que modele la superficie del camino (suponga que el origen está en el centro del camino), b) ¿Qué tan lejos del centro del camino está la superficie 0.03 metros más baja que en el centro?

58. Hallar la ecuación de la recta de pendiente -3 que pasa por el foco de la parábola con vértice en (-2;2) y directriz la recta: 2y – 1 = 0.

59. Determinar los puntos de intersección de la recta: 6x – y – 2 = 0 y la parábola x2 + 4x – y – 5 = 0.

60. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje x, pasa por (-2,4). Halle la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto.

61. Una cuerda de la parábola y2 – 4x = 0 es un segmento de la recta x – 2y +3 = 0. Halle su longitud.

62. Dadas las parábolas siguientes: y2 – 4y +6x – 8 = 0

3x2 – 9x – 5y – 2 = 0 y2 – 4y –6x + 13 = 0


MATEMÁTICA II

Determinar: a) Las coordenadas del vértice b) Las coordenadas del foco c) La longitud del lado recto d) La ecuación de la directriz.

63. El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 60 metros y están separados una distancia de 500 metros, quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10 metros y sobre la calzada del puente. Tomando como eje “x” la horizontal que define el puente y como eje “y” el de simetría de la parábola, determinar la ecuación de ésta. Calcular la altura de un punto situado a 80 metros del centro del puente.

64. Un arco parabólico tiene una altura de 25 metros y una luz de 40 metros. Determinar la altura de los puntos del arco situados 8 metros a ambos lados de su centro.

LA ELIPSE 65. La parte inferior del puente “GIRALDEZ EN HUANCAYO” es un arco semielíptico, el cual

está en su parte más alta con referencia a la pista que pasa por debajo del puente a 320 cm. Además el nivel de esa pista coincide con el eje mayor de la elipse que es aproximadamente 2600 cm. En una situación caótica, un camión decide pasar por debajo del puente; ¿Logrará pasar por dicho espacio, si el camión es de 260 cm de ancho y 315 cm de alto? (√11 = 3,31)

66. Identifique la cónica como una circunferencia o una elipse. Después encuentre el centro, los radios, los vértices, los focos y la excentricidad de la cónica y trace su gráfica.

2 24 6 20 2 0x y x y 67. Un satélite se mueve alrededor de la tierra describiendo una órbita elíptica, donde la tierra

es un foco y la excentricidad es 1/3. La distancia más corta a la que se acerca el satélite a la tierra es 450km. Determina la distancia más grande a la que se aleja el satélite de la tierra.

68. Dada la ecuación 12x + 20y − 12x + 40y − 37 = 0 determine: a) La ecuación estándar de dicha cónica. b) Su excentricidad. c) La ecuación de sus directrices.

69. El arco de un paso subterráneo es una semielipse de 90 m. de ancho y 30 m. de altura. a) Halle el ancho situado a 10m de altura b) Obtenga la altura de un punto situado a 20m. de la orilla.

70. Identifique la cónica como una circunferencia o una elipse. Después encuentre el centro, los radios, los vértices. Los focos y la excentricidad de la cónica (si es aplicable) y trace su gráfica. 9푥 + 4푦 + 36푥 − 24푦 + 36 = 0 9푥 + 4푦 − 54푥 + 40푦 + 37 = 0 16푥 + 25푦 − 32푥 + 50푦+ 16 = 0 9푥 + 25푦 − 36푥 − 50푦 + 60 = 0

71. Determine la forma estándar de ecuación de la elipse con las características dadas: a)


MATEMÁTICA II

b) Focos: (0;0) y (4;0); eje mayor con longitud 8. c) Centro: (3;2); a = 3c; focos: (1;2) y (5;2) d) Vértices: (0;2) y (4;2), puntos extremos del eje menor (2;3) y (2;1)

72. Arquitectura. Un arco semieliptico sobre un túnel, para un camino en un sentido a través de una montaña, tiene un eje mayor de 50 pies y una altura en el centro de 10 pies. a) Dibuje un sistema coordenado rectangular sobre el bosquejo del túnel con el centro del camino entrando al túnel en el origen. Identifique las coordenadas de los puntos conocidos. b) Encuentre una ecuación del arco semieliptico sobre el túnel. c) Usted conduce un camión que tiene un ancho de 8 pies y una altura de 9 pies. ¿Pasará el camión por la abertura del arco?

73. Arquitectura. Se construye un arco de chimenea en forma de semielipse. La abertura tiene una altura de 2 pies en el centro y un ancho de 6 pies a lo largo de la base (vea la figura). El contratista hace un bosquejo de la elipse empleando tachuelas, como se describió al inicio de esta sección. Proporcione las posiciones requeridas de las tachuelas y la longitud de la cuerda.

74. Un carpintero construirá la cubierta de una mesa elíptica a partir de una hoja de madera contrachapada (triplay), de 4 por 8 pies. Trazará la elipse con el método de “tachuelas e hilo" que se ve en las figuras 2 y 3 . ¿Qué longitud de cordón usará, y a que distancia clavará las tachuelas si la elipse debe tener el tamaño máximo que admita la hoja de madera contrachapada?

75. Un frontón de una puerta se construye con la forma de la mitad superior de una elipse,

como se ve en la siguiente figura. El frontón tiene 20 pulgadas de alto en su punto de máxima altura, y 80 pulgadas de ancho en su base. Calcule la altura del frontón a 25 pulgadas del centro de la base.


MATEMÁTICA II

76. Dada la elipse de ecuación 2 29x 16y 36x 96y 36 0 , hallar:

a) Las coordenadas del centro b) El semieje mayor. c) El semieje menor. d) Las coordenadas del foco. e) Longitud del lado recto.

77. Hallar la ecuación de la elipse (forma general) de centro (4; -1), uno de los focos en (1; -1) y

que pase por el punto (8; 0).

78. Hallar la ecuación de la elipse en forma general, coordenada del foco (-1; -1), ecuación de

la directriz x = 0, y excentricidad 2e .2

LA HIPÉRBOLA 79. Los focos de la gráfica de la ecuación 2 214 8 28 64 30 0x y x y son los vértices de

una hipérbola y a su vez los focos de esta última coincide con los vértices de la primera gráfica. Determina la ecuación de la hipérbola

80. De la gráfica mostrada determine su ecuación general si tiene como focos ±2√10; 2 .

81. Encuentre los centros, los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas de la

hipérbola y trace su gráfica empleando las asíntotas como una ayuda. 2 29 36 6 18 0x y x y

82. Halle la ecuación de la hipérbola si te dan los siguientes datos. a) V(3, 4), V’(3, 0) F(3,5), F’(3, -1). b) V(2, 4),V’(6, 4), excentricidad = 3/2 c) V(3, 3), V’(3, -3), LR = 8/3

83. Se tienen los vértices (0;2); (6;2) y las asíntotas 푦 = 푥; 푦 = 4− 푥; identifique la

cónica y luego determine la ecuación general de la misma.


MATEMÁTICA II

84. Determine los centros, vértices, focos y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola y trace su gráfica empleando las asíntotas como ayuda. a) 2 29x y 36x 6y 18 0

b) 2 2x 9y 36y 72 0

c) 2 29y x 2x 54y 62 0

d) 2 29x y 54x 10y 55 0

85. Determine la forma estándar de la ecuación de la hipérbola con las características dadas: a) Vértices (-2; 1) y (2; 1); pasa por el punto (5;4) b) Vértices (3; 0) y ( 3; 6); asíntotas y = 6 - x; y =x.

c) Vértices (0; 2) y (6; 2); asíntotas: 2y x3

; 2y 4 x3

.

d) Vértices (3; 0) y (3; 4); asíntotas: 2y x3

; 2y 4 x3

.

86. Arte: Una escultura tiene una sección transversal hiperbólica (ver la figura)

a) Determine la ecuación que modele los lados de la curva. b) Cada unidad en el sistema coordenado representa 1 pie. Determine el ancho de la

escultura a una altura de 5 pies.

87. De 2 29x 16y 36x 32y 124 0 , determine: a) La coordenada del centro. b) Las coordenadas de los focos. c) Las coordenadas de los vértices. d) Ecuaciones de las asíntotas.

88. Hallar la ecuación de la hipérbola de centro (0; 0), un vértice (3; 0) y ecuación de una

asíntota 2x – 3y = 0.

ROTACIÓN DE EJES COORDENADOS 89. Determine la gráfica de la siguiente ecuación, después de haber eliminado el término

“xy”: 푥푦 − 2푦 − 4푥 = 0 a) Ángulo de giro. b) Ecuación “ x’y’ ”.


MATEMÁTICA II

c) Grafique la cónica. 90. Gire los ejes para eliminar el término xy en la ecuación. Después escriba la ecuación en

forma estándar. Trace la gráfica de la ecuación resultante, mostrando ambos conjuntos de ejes.

2 22 1 0x xy y 91. En los siguientes ejercicios gire los ejes para eliminar el término xy en la ecuación. Después

escriba la ecuación en forma estándar. Trace la gráfica de la ecuación resultante, mostrando ambos conjuntos de ejes. a) xy 1 0 .

b) 2 2x 2xy y 1 0 . c) xy x 2y 3 0

92. Dada la cónica 2 216 24 9 85 30 175 0x xy y x y , resuelva según sea el caso: a. Identifique la cónica. b. El ángulo de rotación que elimine el término xy c. La ecuación reducida, luego de eliminar el término xy

93. Transforme las siguientes ecuaciones mediante una rotación para que desaparezca el término Bxy.

a) 083 22 yxyx

b) 02245 22 yxyx

ECUACIONES PARAMÉTRICAS 94. Trace la curva representada por la ecuación paramétrica (indique la orientación de la curva)

y elimine el parámetro. Escribe la ecuación rectangular correspondiente. Ajuste el dominio de la ecuación rectangular resultante si es necesario.

1x ty t

95. El balón se mueve con MRU, y trayectoria rectilínea (vea el gráfico). Determine la ecuación rectangular de la trayectoria del balón, si se tiene como datos las velocidades horizontal y vertical del mismo.

COORDENADAS POLARES 96. Trace los siguientes puntos en coordenadas polares y encuentre tres representaciones

polares adicionales de los puntos, empleando: . Además determine la distancia entre dichos puntos.

a)

2 2

52; 1;2 4

X

Y

vx = 6 m/s

vy = 8 m/s


MATEMÁTICA II

b) 4; 푦 −3;

c) −2;− 푦 5;−

97. Convierta la ecuación rectangular a polar. a) 3푥+ 5푦 − 2 = 0 b) 2푥푦 = 1 c) (푥 + 푦 ) = 9(푥 − 푦 ) d) 푥 + 푦 − 2푎푥 = 0; 푎 > 0

98. Dada la ecuación rectangular: y2 – 8x – 16 = 0. Al convertir a su forma polar, una de las ecuaciones es:

99. Transforme las ecuaciones rectangulares a polares. a) 05462 xyy b) 2xy

100. Transforme las ecuaciones polares a rectangulares e indica de que curva se trata.

a) cos324

r

b) sen232

r

c) sen4r

101. Convierta la ecuación polar a rectangular. a) 푟 = 4퐶푠푐휃 b) 푟 = 푆푒푛2휃 c) 푟 = 2푆푒푛3휃

d) 푟 =

e) 푟 =

102. Determine la ecuación polar de las siguiente cónica:

103. Convierte la ecuación rectangular a su forma polar:

104. Demuestre la ecuación polar de la distancia entre dos puntos.

GRÁFICA EN COORDENAS POLARES 105. Encuentre los valores máximos de las siguientes ecuaciones:

r = 3sen휃 y r = 4 + 3sen휃

106. De la siguiente ecuación polar: 푟 = 3(1− 2푐표푠휃) a) Las Coordenadas de intersección en el eje /2 b) Las Coordenadas de intersección en el eje polar. c) Las Coordenadas de intersección en el polo. d) Trace la gráfica.

107. Realizar la discusión de la ecuación polar empleando ceros, simetría, valores máximos de r y otros puntos adicionales:

9r3 2cos

4 2 2y x (4 y )


MATEMÁTICA II

a) r=3+9sen(2) b) r=2+cos(2)

108. Trace la gráfica especial de la ecuación polar. a) 푟 = 3푆푒푛휃 b) 푟 = 4(1− 푆푒푛휃) c) 푟 = 3 + 6푆푒푛휃 d) 푟 = 4 − 3푆푒푛휃 e) 푟 = 3 − 4퐶표푠휃 f) 푟 = 4 + 3퐶표푠휃 g) 푟 = 9퐶표푠2휃 h) 푟 = 4푆푒푛휃

109. Determina la ecuación polar de la siguiente ecuación rectangular 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( )x y ax x y a y e identifica a qué grafica polar especial corresponde

110. Grafique las ecuaciones polares especiales: 2 9cos2r y 2 cosr en un mismo plano polar.

ECUACIÓN POLAR DE LAS CÓNICAS 111. Determine una ecuación polar de la cónica, si el polo coincide con el foco:

a) Parábola; e=1; directriz: x=-2. b) Elipse; Vértices: (20; ); (4; ).

112. Dada la cónica de ecuación polar 3

2 4cosr

determina:

a) Determina el tipo de cónica al que pertenece la ecuación b) Traza la gráfica correspondiente a dicha cónica c) Determina las coordenadas polares de los vértices y del centro d) Determina la ecuación polar de la directriz más próxima al polo. e) Determina las longitudes de los semiejes

113. Determina la ecuación polar de: a) Cónica: Elipse Vértices: (20; 0) (4; π) b) Cónica: Hipérbola Vértices (4; π/2), (1; π/2)

114. Identifique la cónica, determine la ecuación de las directrices en su forma polar y rectangular; asíntotas (según sea el caso) y trace la gráfica.

a) 푟 =

b) 푟 =

c) 푟 =

d) 푟 =

115. Determine la ecuación polar de la cónica con su foco en el polo. a) Parábola 푉é푟푡푖푐푒: (1; )

b) Parábola 푉é푟푡푖푐푒: (5;휋) c) Parábola 푉é푟푡푖푐푒: (10; )

d) Elipse 푉é푟푡푖푐푒: 2; ; (4; )

e) Elipse 푉é푟푡푖푐푒: (20; 0); (4;휋) f) Hipérbola 푉é푟푡푖푐푒: (2; 0);(8; 0)


MATEMÁTICA II

g) Hipérbola 푉é푟푡푖푐푒: 1; ; 9;

h) Hipérbola 푉é푟푡푖푐푒: 4; ; 1;

116. Determine los puntos de intersección de las gráficas del par de ecuaciones polares:

MATRICES 117. Un agricultor cultiva manzanas y duraznos. Cada cosecha envía a tres mercados distintos.

El Mercado de Granjeros; El Puesto de Frutas y la Granja de Fruta. Los números de cajas de manzanas enviados a los tres mercados son 125; 100 y 75, respectivamente. El número de cajas con duraznos enviados a los tres mercados son 100; 175 y 125, respectivamente. La ganancia por caja de manzanas es de 3,5 dólares y la ganancia por caja de durazno es de 6,00 dólares.

a) Escriba una matriz A; que represente el número de cajas de cada cultivo, “i”, que se envían a cada mercado “j”. Indique lo que represente cada entrada, 푎 , de la matriz.

b) Escriba una matriz B; que represente la ganancia por caja de cada fruta. Indique lo que representa cada entrada, 푏 , de la matriz.

c) Determine el producto BA e indique lo que representa cada entrada de la matriz.

118. Un fabricante de artículos electrónicos produce tres modelos de reproductores portátiles de CD, que se envían a dos bodegas. El número de unidades del modelo “i” enviado a la bodega “j”, esta representado por 푎 en la matriz.

퐴 =5000 40006000 100008000 5000

Los precios por unidad están representados por la matriz. 퐵 = [39,50 44,50 56,50]

Calcule BA e interprete el resultado.

119. Una compañía vende cinco modelos de computadoras por medio de tres mercados al menudeo. Los inventarios están representados por S.

Los precios al mayoreo y al menudeo están representados por T. Calcule ST e interprete el resultado.

r 3 3cos r 3cos

푨푩푪푫푬푴풐풅풆풍풐

ퟏퟐퟑ

푴풆풓풄풂풅풐 푆 =3 2 20 2 34 2 1

3 04 33 2

푴풂풚풐풓풆풐 푴풆풏풖풅풆풐푴풐풅풆풍풐

푨푩푪푫푬⎭⎪⎬

⎪⎫

푴풐풅풆풍풐 푇 =

⎣⎢⎢⎢⎡

840 11001200 13501450 16502650 30003050 3200⎦

⎥⎥⎥⎤


MATEMÁTICA II

120. En una tienda local de productos lácteos los números de galones de leche descremada, de o leche con 2% de grasa y de leche natural, vendidos el fin de semana, están representados por A. Los precios de venta (en dólares por galón) y las ganancias (en dólares por galón) para los tres tipos de leche vendidos en la tienda de productos lácteos están representados por B.

a) Calcule AB e interprete el resultado. b) Encuentre la ganancia total de la tienda de productos lácteos por las ventas de

leche durante el fin de semana.

121. Los números de calorías consumidas por individuos de distintos pesos corporales, realizando diferentes tipos de ejercicios aeróbicos, para un período de 20 minutos, se encuentran en la matriz A.

a) Una persona que pesa 54 Kg y una persona que pesa 68 Kg practicaron ciclismo durante 40 minutos, trotaron durante 10 minutos y caminaron durante 60 minutos. Organice el tiempo empleado ejercitándose en una matriz B.

b) Calcule BA e interprete el resultado.

INVERSA DE UNA MATRIZ

122. Determina la matriz inversa de A: A=

1 3 03 12 22 10 2

123. Determina la inversa de la matriz

1 3 1 12 5 2 21 3 8 91 3 2 2

A

퐿푒푐ℎ푒퐷푒푠푐푟푒 −푚푎푑푎

퐿푒푐ℎ푒2%푑푒푔푟푎푠푎

퐿푒푐ℎ푒푒푛푡푒푟푎

푉푖푒푟푛푒푠푆á푏푎푑표퐷표푚푖푛푔표

퐴 =40 64 5260 82 7676 96 84

푃푟푒푐푖표푑푒푣푒푛푡푎 퐺푎푛푎푛푐푖푎

퐿푒푐ℎ푒푑푒푐푟푒푚푎푑푎퐿푒푐ℎ푒푐표푛2%푑푒푔푟푎푠푎

퐿푒푐ℎ푒푖푛푡푒푔푟푎푙 퐵 =

2,65 0,652,85 0,703,05 0,85

푃푒푟푠표푛푎푞푢푒푝푒푠푎

54퐾푔

푃푒푟푠표푛푎푞푢푒푝푒푠푎

68퐾푔

푴풐풅풆풍풐

퐶푖푐푙푖푠푚표푇푟표푡푒

퐶푎푚푖푛푎푡푎 퐴 =

109 136127 15964 79


MATEMÁTICA II

124. Halle la inversa de

1 5 0 4 3 1- 0 1 2

A

125. Encuentre la inversa de la matriz si existe por el método que crea conveniente.

퐴 = 3 2 22 2 2−4 4 3

126. Determine la inversa (si existe). Por el método esquemático y por gauss.

a) −1 1−2 1

b) 2 44 8

c) 1 2 23 7 9−1 −1 −7

d) 1 0 03 4 02 5 5

e) 1 0 03 0 02 5 5

f) −8 00 1

0 00 0

0 00 0

4 00 −5

127. Determine la inversa (si existe). Por el método esquemático o gauss.

a) 10 5 −7−5 1 43 2 −2

b) 3 2 22 2 2−4 4 3

c) −5/6 1/3 11/6

0 2/3 21 −1/2 −5/2

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

128. Encuentre el determinante de: A =

1 − 230−110202033402

129. Calcule el determinante de:

0 1- 1 1 1 0 1- 2 0 1 0 1 1 1 0 1


MATEMÁTICA II

130. Desarrolle la determinante por cofactores o gauss.

a) 2 4 60 3 10 0 −5

b) 2 62 7

6 23 6

1 53 7

0 10 7

c) 3 6−2 0

−5 46 0

1 10 3

2 2−1 −1

d) 5 34 6

0 64 12

0 20 1

−3 4−2 2

e)

⎣⎢⎢⎢⎡3 2 4 −1 5−2 0 1 3 21 0 0 4 06 0 2 −1 03 0 5 1 0⎦

⎥⎥⎥⎤

f) 1 −12 6

8 40 −4

2 00 2

2 68 0

g) 0 −38 1

8 2−1 6

−4 6−7 0

0 90 14

h)

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 131. Resuelve el siguiente sistema por Gauss Jordan:

3푥 + 2푦 + 푧 = 15푥 + 3푦+ 4푧 = 2푥 + 푦 − 푧 = 1

132. Sea A una matriz de 3 x 3, tal que 푨 = 풂푰 + 풃푫 donde D es una matriz en la cual todos

los elementos de su diagonal principal son ceros y los demás unos. Halla 푎 푦 푏 de manera que 푨ퟐ = 푰. (푰:풎풂풕풓풊풛풊풅풆풏풕풊풅풂풅)

⎣⎢⎢⎢⎡ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚

⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⎦

⎥⎥⎥⎤

3−1541

−20−172

420−83

31300

10202


MATEMÁTICA II

133. Calcule el determinante de la siguiente matriz

4 4 0 41 1 0 13 0 3 16 14 3 6

A

134. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones usando eliminación gausiana con sustitución hacia atrás o eliminación de Gauss – Jordan

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 4 327 2 9 143 11

4 2 4

x x x xx x x xx x x x

x x x x

135. Utilizando la regla de Cramer, resuelva para “y” sin resolver para x; z y w

2 5 83 6 92 2 54 7 6 0

x y z wx y w

y z wx y z w

136. Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert. Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos.

137. Expresa y resuelve el siguiente sistema de forma matricial:

138. Expresa y resuelve el siguiente sistema por Gauss-Jordan.

139. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres.

a) Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión.

b) Resolver el problema.

42

1

022

yx

zyx

zyx

42

1

022

yx

zyx

zyx


MATEMÁTICA II

140. Resuelve, por el método de Gauss, los sistemas:

141. Una persona invierte bonos clasificados A; bonos B y bonos C. Los rendimientos promedio son 6,5% en bonos A, 7% en bonos B y 9% en bonos C. La persona invierte el doble en bonos C que en bonos B. Sean “x”, “y” y “z” las cantidades invertidas en bonos A, B y C respectivamente.

푥 +푦 +푧0,065푥 +0,07푦 +0,09푧

2푦 −푧

= 10000= 760

= 0

Determine el valor de “x”, “y” y “z”, que satisface el sistema de ecuaciones. (Utilice inversa de una matriz ó reducción de gauss ó sustitución hacia atrás).

142. Resolver el sistema por el método de Cramer:

−4푥 − 7푦 = 47−푥 + 6푦 = −27

143. Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de: Gauss, inversa o Cramer.

a) 푥 −3푧 = −2

3푥 +푦 −2푧 = 52푥 +2푦 +푧 = 4

b) −푥 +푦 −푧 = −142푥 −푦 +푧 = 213푥 +2푦 +푧 = 19

c) 2푥 +2푦 −푧 = 2푥 −3푦 +푧 = −28−푥 +푦 = 14

d) 3푥 −2푦 +푧 = 15−푥 +푦 +2푧 = 10푥 −푦 −4푧 = 14

144. Red Eléctrica. Las corrientes es una red eléctrica, están dadas por la solución del sistema.

3퐼 −퐼 +퐼 = 0퐼 +4퐼 = 18 퐼 +3퐼 = 6

145. Fracciones Parciales. Use un sistema de ecuaciones para escribir la descomposición en fracciones parciales de la expresión racional. Resuelva el sistema empleando matrices.

4푥(푥 + 1) (푥 − 1)

=퐴

푥 − 1+

퐵푥 + 1

+퐶

(푥 + 1)

146. Finanzas. Una corporación pequeña de zapateros solicitó un préstamo por 1 500 000

dólares para ampliar su línea de zapatos. Parte del dinero se recibió al 7%, parte al 8% y

1827

12

32b)

03

625

43a)

tzyx

tyx

tzyx

zyx

zyx

zyx


MATEMÁTICA II

parte al 10%. Utilice un sistema de ecuaciones para determinar cuánto se pagó a cada tasa, si el interés anual fue 130 000 dólares y la cantidad prestada al 10% fue 4 veces mayor que la cantidad prestada al 7%. Resuelva el sistema empleando matrices.

147. Parábola. Use un sistema de ecuaciones para encontrar la ecuación especificada que pasa por los puntos de la gráfica.

푦 = 푎푥 + 푏푥 + 푐

148. Resuelva (si es posible); el sistema de ecuaciones lineales.

a) 4푥 +푦 −푧 +푤 = 3푥 +푦 +푤 = 5

3푥 −푧 = −2

b) 2푥 −푦 +푧 = 2 푥 +2푦 −푧 = 3

3푥 +푦 +2푧 = −1

banco de preguntas mat ii 2015-i

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