Lic. Carlos Ribeiro UNIDAD 1 FUNCIONES, LMITES Y CONTINUIDAD CONTENIDO 1.1 Conceptos bsicos de funciones. 1.2 Lmites por definicin. Propiedades y teoremas sobre lmites. Evaluacin de lmites por sustitucin. Lmites laterales. 1.3 Lmites determinados para funciones: polinmicas, racionales y radicales. Lmites determinados: Infinitos y en el infinito 0 1.4 Lmites indeterminados: , , - ,1 . 0 1.5 Lmites determinados e indeterminados de funciones especiales: Trigonomtricas, Exponenciales y Logartmicas. 1.6 Teorema de Encaje. Definicin de continuidad y discontinuidad de funciones en un punto o en un conjunto. Tipos de discontinuidad. 1.7 Teoremas de continuidad. Clculo de asntotas de una curva: horizontales, verticales y oblicuas. Introduccin En qu se diferencian el algebra del clculo?. En el Algebra, se resuelven ecuaciones para un valor particular de una variable. En el Clculo, interesa saber como un cambio de una variable afecta a otra variable. La figura 1 ilustra tres problemas bsicos de clculo.

Podra ser sorprendente saber que los tres problemas estn matemticamente relacionados. Las soluciones de estos problemas y el descubrimiento de su relacin exigieron la creacin de un nuevo tipo de matemticas. Isaac Newton (1642 1727) de Inglaterra y Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 1716) de Alemania desarrollaron simultnea e independientemente la nueva matemtica, llamada Clculo. Hoy usamos el clculo no slo para calcular las rbitas de los satlites y las naves espaciales sino tambin el estudio de la astronoma, fsica nuclear, electricidad, termodinmica, acstica, diseo de mquinas, reacciones qumicas, crecimiento de organismos, predicciones del clima y determinacin de la plizas de seguro de vida, entre otras muchas . Tambin lo aplicamos en asuntos cotidianos como cercar un terreno de modo de encerrar el rea mxima o calcular la velocidad ms econmica de conducir un automvil.

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Lic. Carlos Ribeiro 1.1 Conceptos bsicos de funciones. Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas, sin embargo algunas de las expresiones que ms nos interesan dentro del clculo son las funciones. Una funcin es una regla de asociacin que relaciona dos o mas conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociacin de los conjuntos la funcin se define como una regla de asociacin entre un conjunto llamado dominio, preimagen o contraimagen con uno llamado codominio, imagen o rango. Esta regla de asociacin no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio. Una funcin es una relacin entre dos variables a las que, en general, llamaremos x e y. La funcin asocia a cada valor de x un nico valor de y. Se dice que y es funcin de x, lo que se escribe y = f(x). Una funcin consta entonces de tres elementos: un conjunto de partida o dominio, un conjunto de llegada o codominio y una manera de hacer corresponder un elemento bien definido del segundo conjunto a cada uno de los elementos del primero. Las funciones sirven para describir fenmenos fsicos, econmicos, biolgicos, sociolgicos, qumicos o, simplemente, para expresar relaciones matemticas: La distancia recorrida por un mvil al transcurrir un tiempo. La cantidad de barriles de petrleo producida en un mes. El nmero de vulos fecundados artificialmente durante los ltimos cuatro meses. El impuesto de circulacin que paga un vehculo en una ciudad segn la cilindrada del motor del mismo. El volumen de un lquido al aumentar la temperatura El volumen de una esfera al variar la longitud del radio de la misma. A una funcin se le denota ms comnmente por: f: X Y y se lee la funcin f de X en Y. Para indicar que a un elemento x de X se le hace corresponder un elemento y de Y, se escribe y=f(x) y se lee y es igual a f de x, o que y es la imagen de x mediante f, el elemento x es una preimagen del elemento y.

Notacin de una funcin f:A B = { (x,y) / (x,y) R2 y = f(x) }

Dominio de una funcin o campo de existencia Dados dos conjuntos A y B, y una funcin f definida de A en B, se define dominio al conjunto de valores x A, que tienen imagen en el conjunto B. Simblicamente: Si f : R R Df = { x / (x,y) R2 y = f(x) }

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Lic. Carlos Ribeiro Rango o codominio de la funcin Dados dos conjuntos A y B, y una funcin f definida de A en B, se define rango al conjunto de valores y B que son imgenes de los x A, es decir el conjunto formado por las imgenes del conjunto B. Simblicamente: Si f : R R Rf = { y / (x,y) R2 y = f(x) } Ejemplo Dados los conjuntos A = {a,b,c,d} el conjunto B = {1,2,3,4,5} y la funcin f : A B cuya regla est definida por:

El conjunto de partida es A = a,b,c,d dominio de la funcin es Df = a,b,c,d . El conjunto de llegada es B = 1,2,3,4,5 y el rango o imagen de la funcin es Rf = 3,4,5 La regla de la funcin es f (a)=3; f (b)=3; f (c)=5; f (d)=4 Formas de representar una funcin Tanto en un contexto matemtico, como en la vida cotidiana, nos encontramos a menudo con funciones. Se nos presentan de diferentes maneras: 1. Mediante su representacin grfica.

La cotizacin en bolsa de un determinado producto en los primeros 10 das en que se sac a bolsa es la funcin representada en la imagen anterior. Como mejor podemos apreciar el comportamiento global de una funcin es mediante su representacin grfica, por eso, siempre nos ser de mucha utilidad conseguir representar la funcin si no la dan ya representada. La variable independiente sera el tiempo en das y la variable dependiente el valor de cotizacin del producto en miles de bolvares. 3

Lic. Carlos Ribeiro 2. Mediante una tabla de valores. Observa los siguientes datos que se dan en una tabla: Horas Miles 0 3 1 6 2 12 3 24 4 48 5 96 6 192 7 384 8 768

Corresponden al nmero aproximado de bacterias, en miles, de una colonia a lo largo del tiempo medido en horas. La variable independiente es el tiempo medido en horas y la dependiente el nmero de bacterias en miles. Los datos recogidos en esta tabla podran representarse en un sistema cartesiano y con ello conseguir, al menos de forma aproximada, la grfica de la funcin que mide los miles de bacterias en cada hora. 3. Mediante su expresin analtica o frmula. El rea de un crculo es funcin de su radio y se calcula a travs de la expresin A = .r2. La variable independiente es la medida del radio (aqu se usa la letra r para esta variable) y la dependiente es la medida del correspondiente rea que aqu se representa por la letra A. La expresin analtica es la forma ms precisa y manejable de dar una funcin, pero a partir de ella el estudio posterior y la obtencin de la grfica es una tarea minuciosa si se quiere obtener una grfica lo suficientemente real de la funcin. Siempre es posible dar a la variable independiente valores y conseguir los correspondientes de la variable dependiente con los que construir una tabla y conseguir una grfica aproximada. 4. Mediante un enunciado. "Un padre que estuvo observando desde el balcn a su hijo Alberto como iba al colegio: De casa sali a las 8.30 y fue inmediatamente hasta la casa de su amigo Toms. Lo esper un rato sentado en el banco y luego se fueron juntos, muy despacio, hacia el colegio. Cuando ya estaban llegando, el hijo se dio cuenta de que se haba dejado la cartera en el banco; volvi corriendo, la recogi y lleg a la escuela a las 9 en punto."

Este enunciado representa una funcin que describe la distancia a la que se encuentra Alberto segn el instante entre las 8.30 y las 9.00 de la maana, y su grfica aproximada es la representada en la figura de arriba.

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Lic. Carlos Ribeiro 5. Mediante diagramas de Venn Euler o diagrama sagital.

En este diagrama se puede observar que cada elemento del conjunto de partida A tiene uno y un solo elemento de imagen en el conjunto de llegada B. Donde el conjunto A = { m.n.p,q } y el conjunto B = { 1,2,3,4,5 } y el conjunto imagen es { 1,2,3,4 }. La regla de la funcin es: f(m) = 4, f(q) = 3, f(p) = 1 y f(n) = 2. Formas de determinar cuando una relacin es funcin 1. Cuando la relacin esta definida mediante diagramas de Venn Euler: Una relacin es funcin si cada elemento del conjunto de partida tiene una y solamente una imagen en el conjunto de llegada.

2. Cuando la relacin esta definida por pares ordenados: Una relacin es funcin si cada primera componente del par ordenado tiene una y solamente una relacin con la segunda componente del par ordenado, es decir las primeras componentes no deben repetirse, an cuando se repitan las segundas componentes. Por ejemplo: R = { (4,-1), (3,2), (6,-1), (7,2), (8,5) } es una funcin, ya que la primera componente de cada par ordenado son valores diferentes. M = { (3,2), (-6,4), (3,4), (-6,3), (7,8) } no es funcin, ya que la primera componente -6 se repite en dos pares ordenados, es decir no es nico para un solo par. 3. Cuando la relacin viene dada por la grafica: Se trazan rectas perpendiculares al eje X (abscisas), si una recta corta a la grafica de la relacin en ms de un punto, la relacin dada no es funcin. 5

Lic. Carlos Ribeiro

4. Cuando la relacin viene dada analticamente: Sea R una relacin binaria tal que: los pares ordenados (a,b) R y (a,c) R R es funcin b = c R no es funcin b c. Ejemplo. Dada la siguiente relacin y = 3x+2, determinar si es funcin. Se determina el valor f(a,b) y f(a,c) sustituyendo los valores en la relacin dada f(a,b) : b = 3a + 2 f(a,c) : c = 3a + 2 ______________________ b c = (3a + 2 ) (3a + 2) bc=0 b=c y = 3x + a es una funcin

Valor real de una funcin Es hallar un valor cualquiera en la funcin dada. Se obtiene sustituyendo un valor dado en la variable independiente de la funcin, y realizando las operaciones matemticas pertinentes. Ejemplo Dada la funcin f : R R definida por f(x) = 2x + 3. Hallar: a) f(-2) b) f(3) c) f 7 f(-2) = 12

a) f (-2) = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1 b) f (3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9 7 7 c) f =2 + 3 = 7 + 3 = 10 2 2

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Lic. Carlos Ribeiro Clasificacin de las funciones Una funcin, y = f(x) se llama matemtica cuando los valores de la variable dependiente y correspondientes a los de la variable independiente x se obtienen por clculos matemticos; a tal efecto y dependiendo de la situacin que se esta analizando, las funciones matemticas se clasifican en elementales y superiores.

Lineal o afn: y = mx + b Enteras: Cuadrtica: y = ax2 + bx +c

Algebraicas

Racionales: y = Irracionales: y =

1 xn

Elementales

Valor absoluto o mdulo: y = x Potenciales: y = xn

Exponenciales: y = a Trascendentes

x

Logartmicas: y = Logax Trigonomtricas: y = Sen x Trigonomtricas inversas: y =1 Senx

ACTIVIDADES: 1. Decide razonadamente si las siguientes correspondencias son funciones o no. En las que s lo sean, indica cul representa la variable independiente y cul la dependiente. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) A todo nmero natural se le hace corresponder su nmero natural siguiente. A todo nmero natural se le asocian sus divisores. A cada da del ao se le asocia la cotizacin del bolvar frente al dlar. A todo nmero fraccionario se le asocia su inverso. A todo nmero se le asocia su raz cuadrada. A cada fase de la luna le asociamos la fecha en la que se da dicha fase. A todo nmero se le asocia su doble ms siete. A toda persona se le asocia su nmero de cedula de identidad A cada marca de carro se le asocia un dueo A toda fecha de nacimiento se le asocia una persona A todo estudiante le corresponde un pupitre A cada produccin de barril de petrleo le asocia un da 7

Lic. Carlos Ribeiro 2. Cules de stas grficas no corresponden a una funcin? Por qu?

3. Determinar cuales de las siguientes relaciones son funciones a) b) c) d) e) R = {(-5,2), (7,2), (8,1), (3,6), (-4,-5)} R = {(0,-7), (1,-5), (-1,-9), (2,-3), (3,-5)} R = {(0,-2), (7,2), (0,1), (5,6), (-6,-5)} R = {(1,-1), (-2,2), (3,-3), (2,6), (5,-5)} R = {(2,2), (7,2), (2,1), (3,1), (-4,2)} R definida por f(x) = x2 x +2.

4. Dada la funcin f : R Hallar: a) f(-1) b) f

2 c) f(1) d) f(-4) d) f(b) e) f(3 2 ) f) f(5m) g) f(x2) h) f(x+5) i) f(-x3) j) f(x-3) 3R definida por g(x) = x x2 si x si x

5. Sea A = {-1, 0, , 1, 2} y g : A

1,10, 1 ,2 2

Determinar: a) g(1/2) b) g(-1) c) g(1) d) g(0) e) g(2) 8

Lic. Carlos Ribeiro 6. Determinar cuales de las siguientes relaciones es una funcin

7. Indicar la forma algebraica de las siguientes funciones expresadas en forma tabular

Clasificacin de las funciones segn su naturaleza De acuerdo al conjunto imagen obtenido las funciones se clasifican en: 1. Funcin Inyectiva: Se dice que una funcin es inyectiva cuando elementos distintos del conjunto de partida tienen imgenes distintas, es decir, cada elemento del conjunto de partida tienen imgenes distintas en el conjunto de llegada. Simblicamente: f es inyectiva (x1,x2) Df siendo x1 x2 f(x1) f(x2).

9

Lic. Carlos Ribeiro 2. Funcin sobreyectiva: SE dice que una funcin es sobreyectiva si todos los elementos del conjunto de llegada son imgenes de al menos un elemento del conjunto de partida. Simblicamente: f es sobreyectiva Rf = B. 3. Funcin biyectiva: Se dice que una funcin es biyectiva si y solo si es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Determinar cuales de los siguientes diagramas representan una funcin inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.

Funciones reales Es una funcin f: R R que aplica el conjunto de los nmeros reales en los nmeros reales., es decir el dominio y el rango estn definidos en el campo de los nmeros reales.

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Lic. Carlos Ribeiro Dominio de una funcin real con variables: Se llama dominio de definicin de una funcin f, y se designa por Df, al conjunto de valores de x para los cuales existe la funcin, es decir, para los cuales podemos calcular y = f(x). DETERMINACION DEL DOMINIO DE FUNCIONES REALES FUNCION TIPO RESTRICCION Y APLICACIN DOMINIO OBSERVACION P(x) = mx + b 1 Polinmica y = P(x) x R existe un valor para y Df = R P(x) = ax n +bx + c Q(x) 0 porque la divisibilidad por El numerador P( x) y= 2 Racional cero no esta definida y se resuelve Df = R - {n hallado} esta Q ( x) la ecuacin de primer grado definido x R P ( x) y= 3 Racional x R existe un valor para y Df = R c = parmetro c P(x) 0 y se resuelve la c y= 4 Racional ecuacin de primer grado Df = R - {n hallado} c = parmetro P (x ) El numerador P( x) 2 5 Racional ax + bx + c 0 y se resuelve la Df = R - {races halladas} esta y= ax 2 bx c ecuacin de segundo grado definido x R ax3 + bx2 + x + c 0 y se El numerador P( x) y= 6 Racional resuelve la ecuacin aplicando ruffini Df = R - {races halladas} esta 3 2 ax bx x c definido x R 7 Racional

P( x)y=n

Q(x) > 0 y se resuelve la inecuacin

Df = ( x , + )

n es par

Q( x)

8

Racional

P( x)y= n

Q( x)

Q(x) 0 y se resuelve la ecuacin de primer grado P(x) > 0 y se resuelve la inecuacin de primer grado

Df = R - {n hallado}

n es impar

9

Logartmica

y = Log P(x) y = Ln P(x)

Df = ( x , + )

10

Logartmica

y = Log

P( x) Q ( x)

P( x) > 0 y se resuelve la inecuacin cociente. Q ( x) 1. P(x) > 0 y Q(x) > 0 se obtiene Sa y Sb donde Df1 = Sa Sb 2. P(x) < 0 y Q(x) < 0 se obtiene Sc y Sd donde Df2 = Sc Sd 11

Dft = Df1

Df2

Lic. Carlos Ribeiro 11 Exponencial 12 Exponencial

y=a y=aN

P(x)

xP( x)

R existe un valor para y

Df = R Df = [ x , + ) Df = ( x , + ) Df = R - {n hallado} n es par

13 Exponencial 14 Exponencial

y = aLog P(x)P( x)

P(x) 0 y se resuelve la inecuacin de primer grado P(x) > 0 y se resuelve la inecuacin de primer grado Q(x) 0 y se resuelve la ecuacin

y = a Q( x)

15

Irracional y=

P( x)n n

Q( x) P( x) Q( x)

P( x) 0 n Q( x) luego se hace P(x) 0 y Q(x) > 0. y se resuelven ambas inecuacionesQ(x) 0 y se resuelve la ecuacin

Dft = DfP(x)

DfQ(x)

n es par

16

Irracional y=

n n

Df = R - {n hallado}

n es impar

17

Irracional

y=

n

P( x) Q( x)P( x) Q( x)

Q(x)

0 y se resuelve la ecuacin

Df = R - {n hallado}

n es impar

18

Irracional

y=

n

P( x) 0 Luego se hace Q ( x) 1. P(x) 0 y Q(x) > 0 se obtiene Sa y Sb donde Df1 = Sa Sb2. P(x) 0 y Q(x) < 0 se obtiene Sc y Sd donde Df2 = Sc Sd

Dft = Df1

Df2

n es par

19 20

Irracional Irracional

y= y=

nn

P( x)P( x)

x

R existe un valor para y

Df = R Df = [ x , + )

n es impar n es par

P(x) 0 y se resuelve la inecuacin de primer grado 12

Lic. Carlos Ribeiro 21 Irracional y=n

ax2y= n

bx cc P (x )c P (x )

22

Irracional

ax2 + bx + c 0 y se resuelve la inecuacin bicuadrada c 0 Luego se hace P (x ) P(x) < 0 y se resuelve la inecuacin

Df = ( - , x1 ) )

( x2 , +

n es par

Df = ( - , x )

n es par c =parmetro n es par c = parmetro

23

Irracional

y= n

c 0 Luego se hace P (x ) P(x) > 0 y se resuelve la inecuacinLog

Df = ( x , + )

P( x) 0 Q ( x)10log

Luego se aplica

24

Irracional

y=

n

P( x) log Q( x)

P( x) 0 Q ( x ) 10Dft = Df1 Df2 n es par

P( x) 1 Q ( x) 1. P(x) 1 y Q(x) > 1 se obtiene Sa y Sb donde Df1 = Sa Sb 2. P(x) 1 y Q(x) < 1 se obtiene Sc y Sd donde Df2 = Sc SdP(x) 0 y Q(x) > 0. se resuelven ambas inecuaciones La funcin Sen x esta definida x R La funcin Cos x esta definida x R

25 26 27 Seno Coseno

y=

n

P( x) + Log

Q(x) y = Sen P(x) y = Cos P(x)

Dft = DfP(x)

DfQ(x)

n es par

Df = ( - , + ) Df = ( - , + ) Df = Toda la recta real excepto los puntos cuya +K ) 2 Df = Todo eje de la abscisa excepto los puntos cuya abscisa es K. abscisa es (

28

Tangente

y = Tg P(x)

29

Cotangente

y = Ctg P(x) 13

Lic. Carlos Ribeiro Df = Todo eje de las abscisa excepto los puntos cuya +K ) 2 Df = Todo eje de la abscisa excepto los puntos cuya abscisa es K. La funcin Cos x y Sen x esta definida x entonces P(x) 0 y se resuelve la inecuacin de primer grado y R P(x) 1 luego -1 P(x) 1 y R R Df = [ x , + ) n es par abscisa es (

30

Secante

y = Sec P(x)

31

Cosecante

y = Csc P(x)

32

y = Cos y = Sen

n n

P( x) P( x)

33 34

y = Arc Sen P(x) y = Arc Cos P(x)

Df = El intervalo hallado Df = El intervalo hallado

P(x) 1

luego -1 P(x) 1

35 36 Mdulo

y = Arc Sec P(x) y = P(x) y=n

P(x) 1 y R luego P(x) -1 y se halla una solucin Sa P(x) 1 y se halla una solucin Sbx R existe un valor para y

Df = Sa Df = R

Sb

37 38 39 40

Mdulo Mdulo Mdulo Mdulo

P( x) Q ( x)

Q(x)

0 y se resuelve la ecuacin

Df = R - {n hallado} Df = [ x , + ) Df = R Df = ( x , + ) n es par n es impar

y= y=

P( x) P( x)

P(x) 0 y se resuelve la inecuacin de primer grado x R existe un valor para y

n

y = LogP(x)

P(x) > 0 y se resuelve la inecuacin de primer grado 14

Lic. Carlos Ribeiro Ejercicios resueltos sobre dominio de funciones reales 1. Dada la funcin y = 2x + 1. Determinar el dominio de la funcin. Solucin: Como la funcin dada es polinmica no existe ninguna restriccin al momento de definirla, porque al sustituir cualquier valor real en la variable independiente se obtiene un valor real para la variable dependiente. Entonces el dominio de la funcin es el conjunto de los nmeros reales, ya que todos estos nmeros proyectan imgenes, o sea definen la funcin. Simblicamente: Df = R 2. Dada la funcin y =x x 6 . Determinar el dominio de la funcin. 2

Solucin: El dominio de la funcin es el conjunto de los nmeros reales menos el valor que no define la funcin, o sea, el valor que hace cero el denominador. P( x) Como la funcin es racional y = Q(x) 0 y se resuelve la ecuacin de primer grado. Q ( x) x -2 0 x 2 entonces el Df = R - 2 3. Dada la funcin y =

4x 8 . determinar el dominio de la funcin.

Solucin: Como la funcin es irracional con ndice par la cantidad subradical no puede ser negativa. P(x) 0 y se resuelve la inecuacin de primer grado. 8 4x 8 0 4x 8 x x2 Df = [ 2, + ) 4 Solucin grafica y=n

P( x)

4. Dada la funcin y =

2x 4 . Determinar el dominio de la funcin 3x 9

Solucin: Como la funcin es irracional con ndice par la cantidad subradical no puede ser negativa. Luego y =n

P( x) Q( x)

P( x) Q ( x)

0 para que la expresin sea positiva es necesario que el

numerador y el denominador tengan el mismo signo, entonces se plantean dos alternativas: 1. P(x) 0 y Q(x) > 0 se obtiene Sa y Sb donde Df1 = Sa Sb 2. P(x) 0 y Q(x) < 0 se obtiene Sc y Sd donde Df2 = Sc Sd 15

Lic. Carlos Ribeiro2x 4 0 entonces se plantean las dos alternativas 3x 9 1. 2x - 4 0 y 3x 9 > 0 2. 2x 4 0 y 3x 9 < 0 4 1. 2x 4 0 2x 4 x x 2 Sa 2

Df1 = Sa9 x > 3 Sb 3 Vamos a graficar para Hallar el Df1

Sb

3x 9 > 0

3x > 9

x>

Df1 = [ 2 , + ) 2. 2x 4 0 2x 4 x4 2

x 2 Sc Df2 = Sc Sd

9 x < 3 Sd 3 Vamos a graficar para Hallar el Df2

3x 9 < 0

3x < 9

x0 x>6 P(x) > 0 y se resuelve la inecuacin de primer grado. Df = ( 6 , + )

Graficando la solucin

16

Lic. Carlos Ribeiro 6. Dada la funcin y = Solucin: En estos casos cuando es la suma de dos o ms funciones, se determinan los dominios de cada una por separados aplicando las respectivas restricciones y para hallar el dominio total se realiza la interseccin de las soluciones obtenidas. y1 =

x 1 + log ( x + 8 ). Hallar el dominio de la funcin.

x 1

x10

x 1

Df1 = [ 1, + ) Df2 = ( -8 , + )

y2 = log ( x + 8 )

x+8>0

x > -8

Luego el dominio total es Dft = Df1

Df2 , para lo cual se recomienda realizar la grafica

De la representacin grfica obtenemos que Dft = [ 1 , + ) 7. Dada la funcin y = Arc sen ( x + 3 ). Hallar el dominio de la funcin Solucin Como la funcin es y = Arc sen (P(x)) -1 x + 3 1 -1 3 x 1 3 y R | P(x) | 1 Df = [ -4 , -2 ] -1 P(x) 1 -4 x -2

Ejercicios propuestos del dominio de funciones reales Hallar el dominio de las siguientes funciones reales

1) y = log 3) y = 5) y =

6 x2

3

2) y = 4) y = 6) y =

x2 xx2

1 x 2+ log (x+9)6 ) 3

2

x2x 4 2x 3

6x 8

2x 9

x log ( x2 x3

x

7) y = 9) y =

8

ln( x 2

3x

4)

8) y = 10) y = 12) y =

3x

2

4 x 12

tgx x 32

3 x 43x x 5 4

Sen( 2 x 6 ) + x 6

5x 3

11) y = 3x +2x-5 13) y = Ln(x2 9) 15) y = 2 x+1 17) y = log2x 3x 1

14) y = 3x+2 16) y = 18) y =173

x 2

9 x

1 x log 1 x

Lic. Carlos Ribeiro

19) y = 21) y =

3 log x 2

10

20) y =

2 x 2 x 105x 4 x 3

x7

3 2522) y = 3 24) y =

x2

23) y = Arc cos (-4-x) 25) y = arc sen (10x 2 ) 27) y = log 1 29) y =3x 2 5x 4

x 2 +

2 + log (x+5) 2 x3 ) 2

26) y = Arc cos (5x 28) y = 30) y =x

2x

x21 1 22 4 x2

7 x 10

31) y = 33) y = 35) y =

1 x22x 4 x 2

32) y =

434) y =

x 1 x2 x 6

2 ( x 2) 2

36) y = log 6 x

2

x 4 x 2 x 2 x 10 37) y = 2 + + 3x 6 x 9 log x 539) y = 41) y =5x 2 x 3

6x2 2x 1 38) y = 3 x 6 x 2 11x 640) y =x 6 x 55

6 x 12 x 4

42) y = 44) y =

x2Ln

x 6 7 x 12

43) y =

13

x3

45) y = log Ln

x6 3 2 x 2 5x 6 log x 1

2x 4 x 1

46) y = 48) y =

Ln log 5 xlog 6 ln x x 3

47) y =

log x 1

49) y = log 2x 8 51) y =

50) y =

Ln log 2x 91 log x 2 5 x 10

log . log x 2

x

30

52) y =

18

Lic. Carlos Ribeiro Rango de funciones reales Se llama rango de definicin de una funcin f, y se designa por Rf, al conjunto de valores de las imgenes de f(x) para los cuales existe la funcin, es decir. Clculo del rango de funciones reales El rango de una funcin viene dado por el conjunto de f(x); es decir las imgenes o valores de x en el conjunto B segn la propiedad dada. Para determinarlo se toma la funcin dada y se despeja la variable independiente (x) y se aplica el caso correspondiente al tipo de funcin obtenida. Ejercicios resueltos de rango de funciones 1. Sea f : R Solucin: Se toma la funcin y = 2x + 1 y se despeja la variable x racional del tipo y = x=y 1 , como la funcin es 2

R definida por y = f(x) = 2x +1, hallar el rango de la funcin

P( y) c

y

R existe un valor para x

Rf = R

2. Sea la funcin y = x2 + 1, determinar el rango de la funcin Solucin: y = x2 + 1 x=

y 1 como la funcin es irracional donde el ndice de la raz es parn

entonces se aplica x = y10 y1

P( y)

P(y) 0 y se resuelve la inecuacin de primer grado.

Rf = [ 1 , + ).3x 1 , determinar el rango de la funcin x 2

3. Sea la funcin y = Solucin:

Se toma la funcin dada y se despeja la variable x. 3x 1 y= y (x 2 ) = 3x 1 xy 2y = 3x 1 xy 3x = 2y 1 x 2 Se aplica un factor comn de la variable x y se despeja x ( y 3 ) = 2y 1 x= x= 0

2y 1 . Como la funcin obtenida es racional del tipo y 3y3 0 y 3 Rf = R - { 3 }

P( y ) Q( y )

Q(y)

4. Sea la funcin f : 3,3 R definida por f(x) = x + 2, determinar el rango de la funcin Solucin: y=x+2 y2=x x = y 2 , pero x esta definida en el intervalo 3,3 es decir -3 x 3 -3 y - 2 3 -3 + 2 y 3 + 2 -1 y 5 Rf = [ -1 , 5 ] 19

Lic. Carlos Ribeiro Determinar el rango de las siguientes funciones 1. 2. 3.f ( x) x 1

11.

f ( x)

x

f ( x)f ( x)

2xx 1 x 3

12.

f ( x)

2x 31 ( x 2) x 1

13. f ( x) 4.

f ( x)

x 1 x 3

5.

f ( x)

2x 3 x 21 x x 1

14. f ( x )

4x 1 x2 91 x

15. f ( x) 6.

f ( x)

16. f ( x) 7.f ( x) 4x 1 5x 3

2 (2 x1 x 51 ( x 2) 2

2) 2

17. f ( x )

8.

f ( x)

x ( x 2) 21 x 2 163 2x x 5

3

18. f ( x)

9.

f ( x)

19. f ( x )

x 6 x 3

10. f ( x )

Funcin Inversa Si la funcin f : A B es biyectiva, entonces existe la funcin g : B inversa de f y se denota por f -1 (x). Clculo de la funcin inversa Procedimiento: De no decir que la funcin es biyectiva se supone En la funcin dada se hace un cambio de variables, x por y e y por x Se despeja la variable y Se denota y = f -1 (x) segn lo obtenido 20 A la cual es la funcin

Lic. Carlos Ribeiro Ejercicios resueltos de la funcin inversa 1. Sea la funcin y = 3x+5, hallar la funcin inversa. Solucin: y = 3x + 5 se intercambian las variables se despeja la variable y x = 3y + 5 y=x 5 3 x 5 3

x 5 = 3y

luego la funcin inversa de y = 3x + 5 es f -1 (x) =

2. Sea la funcin y = 10 Solucin1 x

1 x

, determinar la funcin inversa

y = 10

se intercambian las variables

x = 10

1 y

se aplica logaritmo de base 10 en ambos miembros resolviendo log x =

log x = log10

1 y

1 log 10 yy=

log x =

1 y

se despeja la variable y

1 log x 1 log x

luego la funcin inversa es f -1 (x) =

3. Sea la funcin y = Sen x , hallar la funcin inversa Solucin se intercambian las variables se despeja la variable y x = Sen y y = Arc Sen x

luego la funcin inversa es f -1 (x) = Arc sen x 21

Lic. Carlos Ribeiro 4. Sea la funcin y = log x, determinar la funcin inversa Solucin: se intercambian las variables se aplica log b A = x x = log 10 y y = 10 bx x

x = log y =Ax

Luego la funcin inversa es f -1 (x) = 10

5. Sea la funcin y = Solucin:

4x 1 , hallar la funcin inversa 5x 1

se intercambian las variables

x=

4y 1 para despejar la variable y se elevan ambos 5y 1

miembros de la igualdad con el mismo valor del ndice de la raz (x) 2 =4y 1 5y 12

x2 =

4y 1 5y 1

x 2 (5y 1) = 4y + 1

5 x 2y - x 2 = 4y + 1

5 x 2y 4y = x 2 1 y (5 x 2 4 ) = x 2 1

se aplica un factor comn de y

se despeja la variable y

y=

x2 1 x2 1 . Luego la funcin inversa es f -1 (x) = 5x2 4 5x2 4x 1 x 2. Hallar la funcin inversa

6. Sea la funcin y = arc cos Ln Solucin: Se intercambian las variables

x = arc cos Ln

y 1 y 2 y 1 y 2 y 1 y 2

se aplica Cos en ambos miembros

cos x = cos. arc cos Ln

cos x = Ln

se aplica logaritmo neperiano en ambos miembros Ln e

cos x

= Ln

y 1 y 2

e

cos x

=

y 1 y 2

(y + 2) e

cos x

=y1

ye

cos x

+2e

cos x

= y -1

22

Lic. Carlos Ribeiro se agrupan las variables y se aplica un factor comn ye y (ecos x

- y = -1 - 2 e

cos x

cos x

- 1) = -1 - 2 e

cos x

se despeja la variable y

y=

1 2e cos x e cos x 1

f (x) =

-1

1 2e cos x e cos x 1

Hallar la funcin inversa de las siguientes funciones reales

1) y = 6x + 4 3) y = 5) y = 7) y = 9) y =6x 8x 4 2x 3 3x 4

2) y =

x 1 x 2x x 6 ) 3

4) y = log (x+9) 6) y = log (

e

1 ex 8) y = 1 ex10) y = 12) y =3 x 45x 2 x 3

1 1 log x

x11) y = 2x 1 x 7

14) y = Arc sen

13) y = e

1 x x

15) y = x2 + 2 17) y = cos x + 2 19) y = 21) y =20 x 5 2x 3

16) y = Arc cos 2xlog x 1 4 Ln x 3 20) y = Ln x 3 5

18) y =

x 4 5 x

5x22) y =

x2

3

Operaciones con funciones Sean f y g dos funciones reales de variable real. Entonces se pueden definir las siguientes operaciones denominadas algebras de funciones: 1. Suma f g (x) = f(x) + g (x) 2. Resta f g (x) = f(x) - g (x) 3. Producto f g (x) = f(x) g (x) 4. Cocientef f ( x) (x) = g g ( x)

D(f + g )(x) = Df(x) Dg(x) D(f - g )(x) = Df(x) Dg(x) D(f . g )(x) = Df(x) Dg(x) D 23f (x) = Df(x) Dg(x) - {x/g(x) g

0}

Lic. Carlos Ribeiro Ejemplo: Sean las funciones reales f(x) = x+5 y g(x) = x 2 + 3x -10 .Hallar a) b) f g (x) Solucin a) f b) f

f

g (x)

g (x) = (x+5) + (x2 + 3x -10) = x2 +4x 5

g (x) = (x+5) - (x2 + 3x -10) = -x2 -2x + 15

Ejercicios propuestos de algebra de funciones En los siguientes ejercicios se definen las funciones f y g Determine las funciones resultantes

f

g x

,1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

f

g x

,

f .g x

,

f g x

f xf x

x 1x 2

gxgx

x 43x 6

f xf x

x 5x 1 x 1

gxg x

x21 x

1

f xf x

xx 2

gx

x2 1

g xgxg x

2x 2x2 4

4x

f xf ( x)

x 42x 6 x 4

5 2x

Composicin de Funciones Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g, una nueva funcin llamada la "compuesta de f y g". Sean f : A Byg:B C dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la primera. Aunque solo es suficiente que solo sea una parte de l. El propsito es asignar a cada elemento de A un nico elemento de C, y el camino natural consiste en determinar la imagen de cualquier x A mediante f, y luego obtener la imagen de f(x) B mediante g.

24

Lic. Carlos Ribeiro Definicin: Sean f : A Byg:B C dos funciones. La composicin de las funciones f y g, denotada por (g o f) es la funcin: g o f : A C ( gof )(x) = g( f(x) ) Ejemplo: Si f y g son las funciones definidas por: f(x) = Solucin: a) ( gof )(x) = g( f(x) ) =x 3 y g(x) = 2

x hallar: a) ( gof )(x) b) ( fog )(x)

f (x) =g (x ) 3 = 2

x 3 2x 3 2

b)

( fog )(x) = f( g(x) ) =

Dadas las siguientes funciones calcular la funcin compuesta sealada:

Grfica de funciones y/o ecuaciones La grfica de una funcin es el conjunto de puntos en el plano de la forma (x,y) que pertenezcan a R2 en donde x est en el dominio de la funcin y adems y=f(x).

25

Lic. Carlos Ribeiro Tcnica para graficar una funcin La tcnica para graficar una funcin depende en gran medida del tipo de funcin. Es conveniente hacer una tabla de valores donde estn representados los valores dados a la variable x y los correspondientes hallados para la variable y. Se le deben dar por lo mnimo dos valores reales arbitrarios a la variable independiente para obtener los valores de la variable dependiente. Graficar los valores obtenidos en el plano cartesiano. Unir los puntos formados por medio de un segmento o lneas curvas para obtener la grafica. Ejemplos: Graficar las siguientes funciones

26

Lic. Carlos Ribeiro

27

Lic. Carlos Ribeiro GRFICAS DE FUNCIONES Funcin Valor Absoluto

Es continua en R pero no derivable en x = 0 Ejemplo 1 f(x) = | x - 2 |

Continua en R (por ser funcin compuesta de funciones continuas) y no derivable en (2,0) Ejemplo 2 f(x) = | x - 1 | + 3

Continua en R (por ser funcin compuesta de funciones continuas) y no derivable en (1,3) Ejemplo 3 f(x) = | x 2 - 1 |

Continua en R (por ser funcin compuesta de funciones continuas) y no derivable en (1,0) ni en (-1,0)

28

Lic. Carlos Ribeiro Funcin parte entera de x f(x) = [ x ]

Ejemplo 1 f (x) = [ x - 1 ]

Discontinua en x 0 Z

Ejemplo 2 f (x) = [ x 2 ]

Es una funcin par: f(x) = f( -x) (Simtrica respecto del eje de ordenadas). Funcin parte decimal de x D(x) = x - [ x ] (Mantisa de x) Si x Z => D(x) = 0 Si x (0, 1) => [ x ] = 0 => D(x) = x Si x (1, 2) => [ x ] = 1 => D(x) = x - 1 Si x (2, 3) => [ x ] = 2 => D(x) = x - 2 ................ Si x (-1, 0) => [ x ] = -1 => D(x) = x + 1 Si x (-2, -1) => [ x ] = -2 => D(x) = x + 2 Si x (-3, -1) => [ x ] = -3 => D(x) = x + 3

29

Lic. Carlos Ribeiro Funcin signo de x f(x) = sg(x) Ejemplo 1 f(x) = sg(x - 1)

Ejemplo 2

f(x) = sg(x 3 - x)

Funcin f (x) = x 4 - 2x 2 Dominio: R Signo: Negativa en Positiva en Cortes con los ejes: (0,0), Simetras: Par (simtrica respecto OY) Concavidad

Monotona Creciente: (-1, 0) (1, +) Decreciente: (-, -1) (0, 1) Mximo: (0, 0); Convexa: Mnimos: (1 -1), (-1, -1)

Cncava:

Punto de inflexin:

Funcin f(x) = x(x - 3) 2 Dominio: R Signo: Negativa en (- , 0) Positiva en (0, +) Cortes con los ejes: (0, 0), (3, 0) Simetras: No

Monotona Creciente: (-, 1) (3, +) Decreciente: (1, 3) Mximo: (1, 4); Mnimo: (3, 0)

Concavidad Convexa: (2, +) Cncava: (-, 2) Punto de inflexin: (2, 2)

30

Lic. Carlos Ribeiro Funcin f(x) = 2x - 3x Dominio: R Signo: Negativa en (- , 3/2) Positiva en (3/2, +) Cortes con los ejes: (0, 0), (3/2, 0) Simetras: No3 2

Monotona Creciente: (-, 0) (1, +) Decreciente: (0, 1) Mximo: (0, 1); Mnimo: (1, -1)

Concavidad Convexa: (1/2, +) Cncava: (-, 1/2) Punto de inflexin: (1/2, -1/2)

Funcin f(x) = x 3 - 3x 2 - 2 Dominio: R Signo: f(3)0 Cortes con los ejes: en x = 3,195 que pertenece al intervalo (3, 4) Simetras: No

Monotona Creciente: (-, 0) (2, +) Decreciente: (0, 2) Mximo: (0, -2); Mnimo: (2, -6)

Concavidad Convexa: (1, +) Cncava: (-, 1) Punto de inflexin: (1, -4)

Funcin Dominio: R - {- 1/2} Corte con los ejes: (0, -1), (1, 0) Simetras: No

Monotona Creciente siempre Extremos: No

Concavidad Convexa: (-, -1/2) Cncava: (-1/2, +) Punto de inflexin: No

Asntotas Horizontal: y = 1/2 Vertical: x = - 1/2

31

Lic. Carlos Ribeiro Funcin Dominio: R - {0} Corte con los ejes: (-1, 0) Simetras: No

Monotona Siempre decreciente Extremos: No

Concavidad Convexa: (0, +) Cncava: (-, 0) Punto de inflexin: No

Asntotas Horizontal: y = 1 Vertical: x = 0

Funcin Dominio: R - {1} Corte con los ejes: (0,0) Simetras: No

Monotona Creciente en: (-,0) (2,+) Decreciente en: (0,2) Mximo en (0,0) Mnimo: (2,8)

Concavidad Convexa: (1, +) Cncava: (-, 1) Punto de inflexin: No

Asntotas Oblicua: y = 2x + 2 Vertical: x = 1

Funcin Dominio: R - {0} Corte con los ejes: No Simetras: No

Monotona Creciente: Decreciente

Concavidad Convexa: (0, +) Cncava: (-, 0) Punto de inflexin: No

Asntotas Oblicua: y = x - 1 Vertical: x = 0

Mximo: Mnimo: 32

Lic. Carlos Ribeiro

Funcin Dominio: R - {-1,1} Corte con los ejes: (0,0) Simetras: origen f(-x) = - f(x)

Monotona Creciente: Decreciente

Concavidad Convexa: (-1,0) (1, +) Cncava: (-, -1) (0,1) Punto de inflexin: (0,0)

Asntotas Oblicua: y = x Verticales: x = 1

Mximo:

Mnimo:

Funcin Dominio: R - {1} Corte con los ejes: (0,0) Simetras: No

Monotona Creciente: (-,1) (3,+) Decreciente: (1,3) Mnimo: (3, 27/4)

Concavidad Convexa: (0,1) (1, +) Cncava: (-, -0) Punto de inflexin: (0,0); Tangente horizontal.

Asntotas Oblicua: y = x + 2 Verticales: x = 1 Corte asntota oblicua: (2/3, 8/3)

33

Lic. Carlos Ribeiro Funcin Dominio: R - {0} Corte con los ejes: Simetras: Origen

Monotona Creciente en todo su dominio.

Concavidad Convexa: (-,0) Cncava: (0,+)

Asntotas Oblicua: y = x Verticales: x = 0

Funcin Dominio: R - {-1,10} Corte con los ejes: (0, 0) Simetras: Origen

Monotona Decreciente en todo su dominio.

Concavidad Convexa: (-1,0) (1,+) Cncava: (-,-1) (0,1) Punto inflexin: (0,0)

Asntotas Horizontal y = 0 Verticales: x = 1

Funcin Dominio: R Corte con los ejes: (0, -1), (2,0) Simetras: Eje OY (Par) Monotona Creciente en (0,+) Decreciente en (-,0) Mnimo: (0,-1) Concavidad Convexa: Cncava: Asntotas Horizontal y = 1

Punto inflexin:

Funcin Dominio: R Corte con los ejes: (0, 0) 34

Simetras: Origen

Lic. Carlos Ribeiro Monotona Creciente:(-1,1) Decreciente: (-,-1) (1,+) Mximo: (1, 1/2) Mnimo: (-1, -1/2) Concavidad Convexa: Cncava: Punto inflexin: Asntotas Horizontal y = 0

(0,0),

Funcin Dominio: R Corte con los ejes: (0, 1) Simetras: Par Monotona Creciente:(-,0) Decreciente: (0,+) (1,+) Mximo: (0,1) Concavidad Convexa: Asntotas Horizontal y = 0

Cncava:

Punto inflexin: (0,0), Funcin f(x) = (1 - x) e x Dominio: R Corte con los ejes: (0,1), (1,0) Simetras: No

Monotona Creciente:(-,0) Decreciente: (0,+) (1,+) Mximo: (0,1)

Concavidad Asntotas Convexa: (-, -1) Horizontal y = 0 cuando x tiende Cncava: (-1, +) a - Punto inflexin: (-1, 2/e)

Monotona Creciente

Funcin Dominio: R Corte con los ejes: (0,0) Simetras: Origen Concavidad Convexa: (-, 0) Cncava: (0, +) Punto inflexin: (0,0) 35

Asntotas Horizontal y = 1 cuando x tiende a +; y = - 1 cuando x tiende a -

Lic. Carlos Ribeiro Funcin f(x) = x e x Dominio: R Corte con los ejes: (0,0) Simetras: No

Monotona Creciente: (-1, +) Decreciente: (-, -1) Mnimo: (-1, -1/e)

Concavidad Asntotas Convexa: (-2, +) Horizontal y = 0 cuando x tiende Cncava: (-, -2) a - 2 Punto inflexin: (-2, -2/e ) Funcin f(x) = x 2 e-x Dominio: R Corte con los ejes: (0,0) Simetras: No

Monotona Creciente: (0, 2) Decreciente: (-, 0) (2, +) Mximo: (2, 4/e 2) Mnimo: (0, 0)

Concavidad Convexa: Cncava: Punto inflexin:

Asntotas Horizontal y = 0 cuando x tiende a +

36

Lic. Carlos Ribeiro 1.2 Lmites por definicin. Propiedades y teoremas sobre lmites. Evaluacin de lmites por sustitucin. Lmites laterales. Tal vez has estado en un estacionamiento en el que debe aproximarse al carro de enfrente, pero no quiere golpearlo ni tocarlo. Esta nocin de estar cada vez ms cerca de algo, pero sin tocarlo, es muy importante en matemticas y est involucrada en el concepto de lmite, en el que descansa el fundamento del clculo. Bsicamente haremos que una variable se aproxime a un valor particular y examinaremos el efecto que tiene sobre los valores de la funcin. Idea intuitiva del lmite Consideremos la funcin f(x)=x2. Observemos los valores de f(x) para x cercanos a 3. x 2,8 2,9 2,95 2,99 f(x) 7,84 8,41 8,7025 8,9401 Cuando x se aproxima a 3, los valores de f(x) se acercan a 9. Se dice que f(x) tiende a 9 cuando x tiende a 3.

2,999 8,994001 3,001 9,006001 3,01 3,05 3,1 3,2 9,0601 9,3025 9,61 10,24

En general, una funcin real f(x) tiende a un lmite L cuando x tiende a un valor h, si f(x) difiere arbitrariamente poco de L para todo x situado suficientemente cerca de h.

En smbolos, lim x h f(x) = f(h) = L. Definicin formal de lmite psilon - delta: Dada una funcin f(x) y dos nmeros h (un punto lmite de la funcin) y L (un nmero real), el lmite de f(x) = L cuando x tiende a h, si para todo nmero positivo psilon (arbitrariamente pequeo), existe un nmero positivo delta , tal que:

f ( x) L < , siempre que 0 < x h 0,

>0/

f ( x) L <

x h 0, >0/

f ( x) L < x h