, .

, .

INDICE GENERAL

Prólogo, . . .

Instrucciones para el alumnoNotación.

UNIDAD ICONJUNTOS

IntroducciónObletlvos generalesDiagrama temático estructuralGlosario

M6dulo 1Obletlvos especfflcos .

Esquema resumen. .Contenido: Conjuntos. Notación. Oraciones abiertas, va-

r~ables, conjuntos de reemplazamiento, conjuntos de .verdad '

Problemas para autoevaluaclón

M6dulo 2

. Objetivos especfflcos .

~ Esquema resumenContenido: Cardlnalldad. Conjuntos finitos e infinitos.

. Conjunto universal. Conlunt~ vacfo. Conjuntos equi-valentes. Conjuntos Iguales .

Problemas para autoevaluaclón

M6dulo 3

Objetivos especfficosEsquemaresumen ,Contenido: SubconJuntos. Algunos subconiuntos Impor-

tantes de NProblemas para autoevaluaclón

Módulo 4

"()bietivosespecfficosEsquema resumenContenido: Operaciones con conjuntos. Complemento.

Gráfica de un conjunto V de las operaciones con con-Juntos. Uniónde conjuntos. Intersección de coniuntos.Conjunto'Complemento'

11. 13

15

192021

.22

.24 .24

25.28

2929

30 .32 I

3434.

3538

3939

40

t'"

I

Problemas para autoevaluaciónPaneles de verificación

UNIDAD 11 .

ELEMENTOS DE LOGICA MATEMATICA

IntroducciónObjetivos generalesDiagrama temático estructuralGlosario

M6dulo 5

Módulo 6

Módulo 7

M6dulo 8

Objetivos especificas i

Esquema resumenContenido: Induccl6n y deducci6n. Proposiciones simples

y abiertas. Gráfica de proposicionesProblémas para autoevaluaci6n .

Objetivos especiflcosEsquema resumen. .Contenido: Proposiciones compuestas. Conjuncl6n. Dis-

yunci6n' .Problemas para autoevaluaci6n

Ob~etivosespecíficosEsquema resumenContenido: Negacl6n. Negación de proposiclon~s com-

puestas. CuantlficadoresProblemas para.autoevaluaci6n

Objetivos especificosEsquema resumenContenido: Implicaci6n. Equivalencia lógica. Variantes de

lalmpllcac16n. SlIogismos. DemostracionesProblemas para autoevaluaci6nPaneles de' verificaci6n

UNIDAD 111LOS NUMEROS REALES

Introducci6nObjetivos GeneralesDiagrama temático estructuralGlosario

4446

55565758

5959

6063

'6464

6569

7070

7178

7979

81.91

. 94

107108109'110

Módulo 9

. Obletlvosespecfficos . 112. Esquemaresumen 112

Contenido: Sl~tema matemático V operaciones binarlas.El conlunto de los números reales. Propiedades de laiguaIdad . .

Problemas para autoevaluaclón'113

" 117

Módulo 10/'

Objetivos especfflcosEsqu~maresumen .

Contenido: Postulados de campo. Algunos teoremas im-portantes

Problemas para autoevaluaclón

118118

119. 129

, M6dulo 11ObjetivosespecificosEsquema resumenContenido: Algunos teoremas Importantes sobre los in-

versos. La resta. Problemas para autoevaluacl~n

133133

134.137

. Módulo 12 . .Objetivos especfflcosEsquema resumen.Contenido: La división.Teorema sobre fraccionesProblemas para autoevaluaci6n .

Paneles de veriflcacl<?n

, .139139

- 140143145

UNIDAD IV .APLlCACION ES

IntroducciónObletivos generalesDlagra.matemático estructuralGlosc2rlo

M6dulo 13

161162163164

. Objetivos especfficosEsquema, resumen . .Contenido: Terminologfa. Suma IV resta de expresiones

algebraicas . . 166Problemas.para autoevaluacl6n 179

165165

Módulo14 .

. ObjetivosespecfficosEsquema resumen

171171

~.- ---

Contenido: M41tipllcaci6nde expresiones algebralcas..Expqnentes. Divisiónde expresiones algebralcas. Poli-nomios

Problemas para autoevaluaci~n172180

,,6dulo 15

Obletlvos especlflcosEsquema resumenContenido: Productos notables. Factorlzaclón

. Pr~lemas para autoevaluaclón. M6clulo1.

1821.183189

Obletlv08 especfflcosEsquema resumen .

Contenido: Simplificación de fracciones. Suma de frac.clones. Multlpllcacl6n y división de fracciones. Slmpll.flcaclón de fracciones complelas

. Problemas para autoevaluaci6nPaneles de verificación

180190

191 .199

-203

, .

Instrucciones para e' alumno

, ~

El presente texto ha sido elaborado tc;>mandoen cuenta los diferentes-aspectos que car.acterlzan a los alumnos de Sistemas Abiertos de ,Ense-~m~ - ~

Eltexto ~a sido estructurado de tal forma que le facilite al máximosuestudio. Cuenta con varias unidades,-cada una de las cUQlescontiene:

1) Obl~lvos generales:,que le informanacerca dé to que se pretendelograr con er estudio de dicha unidad.. .

2) Una Introducción:independientemente de la que aparece dedicadaal texto. . '

.3) Un glosario: que le indica el significado de los términos técnicos, .empleados en el desarrollo de la unidad.4) Notación: en los textos referentes a las ciencias naturales y for-

males, tales como la Matemática, se encontrarán explicacionesrelacionadas con la simbología empleada (f6rmulas, tablas, sím-bolos, ete.).' .

Para el estudio del curso la unidad se ha divididoen partesUamadas'módulos. Cada texto consta siempre de 16 m6dulos. 'De esta manera,estimamos que es posible aprobar las asignaturas del plan de estudiosde un semestre, en las 18 semanas. El m6dulode cada asignatura estáprogramado para que lo estudie en un tiempo promedio de 3 a 4.30 horaspor semana. Sin embargo, se le recomiendo que dedique a cada m6-dulo, el tiempo que usted considere necesario, de acuerdo con sus posi!"

. bllldades~

El m6dulo cuenta con:

1.)Obletlvos especHlcos: que desglosan el obietivo general de launidad.

2) Esquema-resumen: donde se le presenta el contenido de cadam6dulo,en formasinóptico. .

3) Contenido: se refiere al desarrollo del tema o de los temas.'4) Actividades complementarias: le servirán de refuerzo en el apten-

dizajede una unidado un m6dulo~específico. .

5) Problemas para autoev'aluaclón:al.finalde cada m6dulo se le da"nuna serie de preguntas 'de autocomprobaci6n,' para que puedaverificar por sf mismo, en qué grado ha logrado los obietivos(propuestos al principiodel m6dulo).Las respuestas correctas lasencontrará al final de cada unidad o. en otros casos, al final dellibro. '

13

En la parte final' del libra, podrá~encontrar, cuando se estime nece-sario, apéndices que le ayudarán o lo ampliación y profundizaclón dealgún temo. ,". .

, Además, se 'le da en las unidades o al final del texto. una bibliografia,con la que puede' complementar sus estudios o ampliar su horizonte cul-tural, de acuerdo con sus inquietudes.

ADVERTENCIA: ,

Le recomendamos la lectura cuidadosa y lo' comprensi6n de'los obje-tivos específicos oí empezar coda módulo, para que tenga, presente loque se espera de usted, con el trabajo que relice con cada uno de ~lIos.

,.

14

. Noble.6n

. Un factor importantepara la comprensi6nde cualquier texto de ma-tem6tica es la correcta interpretacipn de los srmbolos. pues en textos deautores diferentes es posible que a un mismo sfmbolose le den significa-dos distintos: por tal raz6n se ofrece esta lista de los sfmbolos empleadosen este curso y su interpretacl6n. Ellos son presentados en el orden de

. aparlcl6nen el libro.

SIMBOLO SIGNIFICADO

.:pe

.g;e><

'S~Un,

e:

f}-I+n(a) .

es un elemento de . . .. No es un elemento de ...ConluntoEs Igual aTal que . .Sfmbolo de la operacl6n sumaCardlnalldad del conlunto A.Vasf sucesivamenteConjunto universalConiunto vacfo ' I

Coniunto de los números naturalesSfmbolo de la operacl6n .multipllcacl6,nNo es Igual a .

Subconlunto de . . .No es subconlunto de. ~.Subconiunto propio deEs mayor que

. ,Es menor queEs m~nor.o Igual queEs mayor"o Igual queUnl6n conIntersecci6n conComplemento de .

No es subconiunto .proplo deSfmbolode .Implicación .

Sfmbólpde la operacl6n diferencia o. restaNo es mayor que' .No es menor que . ,

. Sfmbolopara e.xpresar la operación divlsi6n: (también se usa- á'

el sfmbolo ~ comoen -). b.

Doble implicaci6no equivalenciaNo. es falso que"triánguloAngulo

Q:=>»<t::+..

15

REDD'7t

V%

16

Conjunto de los .números reales.Conjunto de los números enterosConjunto de los racionalesConjunto de los ¡rraclonales3.14159. ..Símbolo de la operación rafz cuadradaTanto,por ciento'

. UNIDAD II

CONJUNTOS .'

, .

Introducci6n

I

\

"Medir y contar fueron las primeras actividades matemáticas del hom-bre primitivo y ambas nos conducen a los números", Haciendo marcasen los troncos de los árboles lograban los primeros pueblos la medición-del tiempo y el conteo de los bienes que poseían; así surgió la aritmética., - .Después de muchos siglos el hombre alcanzó un concepto r1'1ásabstracto.de los números y de los relaciones entre ellos, y fue hacia fines del sigloXIX cuando Georg Cantor creó la Teoría de Conjuntos, pero no fue sinohasta casi los años. veinte del presente siglo cuando se desarrolló comofundamento para el enfoque moderno de la matemótica, por Gottob Freg,e,siendo Bertrand Russell quien completó, desarrolló y dio amplio publicidada las aplicaciones de esta teoría. .

Lo idea de conjunto o como también se le llama "clase" o "agre-godo", es en sí., intuitivq y muy antiguo. En esta unidad conoceremos losprincipios generales de lo teoría de conj'untos y es muy importante sucomprensión pues nos sirve como base pata unificar y dar cohesión 01estudio de las unidades posteriores, proporcionando un medio intuitivoy gráfico par9 la introducción de conceptos abstractos y un "lenguaje"paro el ,estudio de la Unidad 11.No se espera la memorización de losideas principales de lo teoría sino mós bien la comprensión y aprecio desu importancia a medida que las vayan aplicando. .

19

ObJetl~os lenera~es

Al'término de esta unidad el alumno:

1.' Aplicará el lenguaje simbólico que se requiere en el trabajo y estudiode conjunt9s.. '.

.2. '~epresentar.á gráfica,menteconjuntos, mediante' diagramas de Venn.

3. Efectuará operaciones'con los conjuntos usando las representacionesenumerativay descriptiva. '

4. Graficará, mediafite diagramos de Venn, operaciones combinada.s deconjuntos. '

20

Diagrama temático estructural..

Números naturales4 operaciones aritméticas.

Conjuntos.

Variable.

Notación para construir conjuntos.

Coniunto de verdad.

Cardinalidad.

Conjuntos finitos e infinitos. .

Igualdad y equivalencia de conjuntos.I

Subconjuntos.

Números primos. Múltiplos de un número.Divisibilidad.

Operaciones con conjuntos. Conjuntoscomplementos. .

Diagramas de conjuntos.

biagramas de las operacionescon éonjuntos.

21

Glosario

, .. Coniunto. Col'ección o ,agregado de ideas u 'Qbjetos de cualquier especie

. siempre y cuando estos ,ideas u objetos estén tan cl~Hosy definidos.como para decidir si pertenecen o ,no al' conjunto.-

Elemento. Las ideas u objetos que forrllan un conjunto se denominanelementos del conjunto.

Oración abierta. Es toda oración en la que intervi~ne alguna variable.I

Coniunto de reemplazamiento. Conjunto que nos proporqiona los elemen-tos para r~emplazar a la variable en una ora'ción abierta, . '

Coniunto de verdad. Los elementos del conjunto de reemplazamiento quehacen que la oración sea verdadera forman un conjunto que llamamosconi,unto de verdad. .

Variable. Una variable es una letra usada para representar a cualquierelemento de un conjunto. .

Cardinalidad. El núm'ero de elementos contenidos en un conjunto deter-mina la cardinalidad del conjunto.

Coniunto finito. Es ,aquel en que es posible determinar el' número de ele-mentos que a él pertenecen, no obstante la dificultad que puedapresentarse., .

Coniunto infin'lIo. Es aquel, en que no es posible terminar de enumerar 'asus elementoS. . . ' .' '

Naturales. Conjunto de los números enteros que nos sirven para contar(N = 1, 2,3. . .) ,

Coniunto universal. Conjunto formado por la totalidad de los elementosconsiderados para una determinado operación. Es equivalente 01con-junto de reemplazamiento'. ,.,.

Coniunto vacío. Conjunto que no tiene elementos, también se le llama'conj'unto nulo. '

.Coniuntos equivalentes. ,Son aquellos que poseen la misma cardinalidad,aunque sus elementos sean diferentes.

Conluntos iguales. Dos conjuntos son iguales, si son equivalentes y, ade-mós, 19s 'elementos de uno son también los elementos del otro.

22

Subconiunto. Dados dos coniuntos A y B en que todos los elementos de Apertenecen al coniunto B. entonces.decimos qUé el coniunto A es.subcon;untode B.

. Subconlunto propio. Dados dos coniuntos A y B.'decimos que A es sub.conjunto.pr-opiode B, si A es subconjunto de B y existe a lo menos'un elemento de B que no pertenece al conlunto A.

. .

Número primo. Todo número natural que admite s610 dos divisores (la. unidad y él mismo), se denomina natural primo.

Múltiple;»de un número. SI K e: N entonces, el contunto de los múltlplosde K será: M = {K, 2K. 3K, 4K, 5K, . . . } Cada elemento del conluntoM es un múltlplo de K. ..

Número compuesto. Es aquel natural que admite por lo menos dQsdivi-sores primos. Puede ser uno solo repetido: (EJ: 4 = 2.2).

Correspondencia blunivoea entre dos conluntos. SI los elementos de dosconjuntos equivalentes pueden aparearse tal que a cada elemento'decad.aconjunto se le haga corresponder uno y s610un elemento del

- otro conjunto,entonc.esdiremosqueexiste unacorrespondenciabiu-nívoco (o uno a uno) entre .Ioselementos de esos.contuntos.

.Unlón'entre conluntos. Sean A y B dos conjuntos, entonces:

A U B = {x Ix e: A 6 x e: B}.

Intersección. Sean A I Y B dos conjuntos, entonces:

A () 8 = {x Ix e: A V x e: B}

Conlunto complemento. Sea U el conlunto universal y S un sub.conluntocualquiera'de U. El conjunto de los elementosque faltan a S para com-pletar U, es el "complemento de S", ($').. .

Diagrama de Venn. Son figuras cerradas en el plano que nos sirven paraesquematizar o'peraclones entre - conluntos. Se considera que cadafigura encierra a los elementos del conlunto al cU.alrépresenta.

. Conluntos dlsluntos. A dos'conjuntos A y B se les denomino "dlsluntos" sino tienen element~ en c()mún, es decir: .

A n B = ~.

23

M6dulo 1

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Al terminar el estudio de este módulo Ud:

1. Explicará con sus propias palabras, la idea de conluntos.2. Determinaró si un elemento pertenece o no a un conlunto dado.3. Discriminará entre una lista de "conluntos" dados a aquellos que est~n

bien determinadoso definidos. .-4. Construiró conluntos usando la tormo enumerativa o clescrlptlva en su

notación.

ESQUEMA RESUMEN

Conjunto

- Noción Intultlva....;...Definición. .- Oraciones abiertas.- Conjunto de reemplazamiento.- Conluntodeverdad.. .

Notación.

24

Conlunto8

Desde sus origenes la sociedad humana ha tenido la idea de agrupacIo-nes o conjuntos: la familia, los clanes, las tribus fueron los primeros con-iuntos humanos, y sus bienes, sus armas, fueron conjuntos de satisfactoresde sus necesidades. . \ ,

Todos estamos acostumbrados a tratar con conjuntos: así, escribimos.usando un conlunto de .letras llamado abecedario, efectuamos operacio-nes de conteo y medición usando un conlunto de números, participamossocialmente en conluntos llamados clubes, ete., sin embargo, el significadodel término conlunto no es fácil de explicar o entender pues generalmenteen el Intento usamos términos que a su vez han de ser definidos. El cuentode nunca acabar.

Para nuestros fines podemos considerar un conjunto como lacolección o agregado de ideas u objetos de cualquier especie,siempre y cuando estas ideas u objetos estén tan claros y defi-nidos como para' decidir si pertenecen o no al conjunto.

.Los ideas u obietos que forman un conjunto se denominan elementos

del coniunto. '

Elemplos de Conluntos:

o) Los Estados de la República Mexlca'na.,b) Los dios de la semana.

c) Los alumnos de la preparatoria abierta.d) Los artfculos de la Constitución Mexicana.e) Losautoresde este libro. .f) . Lasvocalesdel alfabeto.

. Notación

Generalmente usamos las letras mayúsculas para denotar conjuntos y las'. minúsculaspara sus elementos.Enel ejemplo b) podemosllamar A al con.

lunto dfas de la semana y x 01dfa lunes. ,Para 'simbolizar que un objeto es elemento de un conjunto escribimos

x e: A que se lee "x es elemento del conjunto A" o por el contrario m g Aque se lee "m no es elemento del conjunto A".' '

Otra forma utilizada para denotar un conjunto es la de escribir losnombres de los elementos que lo forman entre un par de llaves o corche-.tes, por eiemplo el mismo inciso b).

{lunes, martes, miércoles, jueves. viernes', sábado. domingo}forma conocida con el nombre de enumeratlva, .0' de extensión, aunqueeste último nombre no parece muy significativo.

25

También se usa en algunas ocasiones otro formo, que para algunosconiuntos es la única posible, se llama por descripción o también por com-prensión: en esta forma se encierro entre los llaves o ~orchetes lo con-dición para pertenecer al conjunto o la descripción de los elementos quelo forman, en el primer caso un ejemplo es: {pers'onas mayores de 18 años}el ejemplo b) quedaria, {dios de la semana}. ' - ,

Observe que las 'llaves y corchetes simbolizan un conjunto y lo qu~encerramos con ellas son sus elementos o uno descripción de ell~s,

Oraciones abiertas, variables, conluntos de reemplazamiento' y conluntosde verdad. ," " ,

" .

Otra notación para los conjuntos es uno variación de la formo llamado,I por descrlpcl6n,y que llamaremosla notacl6n para construir conluntos, ésta.

-nos permitirá más adelante abreviar lo representación de los conjuntos oenumerar los elementos que los forman (rozón del nombre que le hemosdado),' ' . .Ejemplo: ' . ,-

El conjunto de las estaclone$ del año.Lo podemos representar-por lo letra mayúscula E, pero esto sirve de

muy poco cuando se trate dé Identificar los elementos de E por lo queusamosla siguientenotación:' \

E = {x Ix sea Una.de las e'staclonesdel año}

Lo anterior se lee "E ~s Igual 01conjunto formado por elementos x,. tal que x 'sea una de las esta.clonesdel año'''. 'La Ifneavertical se lee "tal

.que", " .La letra x se ha utilizado para determinar cua,quler elemento que

satisfaga la condlcl6n dada, es decir, representa a cualquiera de los:nombresprimavera, verano, otoño; Invierno,por consiguiente podrá variaren este caso cuatro veces. Por---to anterior' a la letra x empleada en esteejemplose le llama variable. ' - ,

, Lacondlcl6n"x seaunad,elasestaclone$del áño", enque intervienela variable la llamamos una oraci6n abierta en virtud de que es una.oración que tanto puede ser falsa-como verdadera, dependiendodel nom-bre con q~e se reemplace a la variable x.

Una oracl6n abierta es, pues, toda oraci6n en'la que intervienealguno variable y al conjunto que nos proporciona los elementospara reemplazar a lo variable lo, llamamos el conluntode reem-plazamiento.

Eiemplo:

Sea E-= {x I x..es una de las estacionesdel año} y el conjuntoder~emplazamiento para 'x el conjunto M:, "

M = {Prtmavera, verano, otoño, invierno, lunes, abrií~ frio} .

~

"

--- ----

entonces sólo elementos de M se pueden usar para reemplazar a la va..riable x de la oración abierta. .

x es uno de las estaciones del añoPri~avera es una de las estaciones dél añoVerano es una de las estaciones del añoOtoñoes }lna de las estaciones del añoInviernoes unQde las estaciones del añoLunes es una de las estaciones del añoAbril es una de las estaciones del añoFrío es una de las estaciones del año

Observamos que algunos elementos de M al reemplazar a la variable. x forman una oración verdadera y otros una oración falsa.

Los elementos d~1coni~nto de reemplazamientoque hacen quela oracióh sea verdadera, forman un conjunto.que llamamos elconiunto de verdad.

Notación para construir conjuntos: E = {A ~ M Ix es una estación del año}Conjunto de reemplazamiento M =' {primavera, verano, otoño" Invierno,

lunes, abril, frío} - ,

Conjunto de verdad E = {primavera, verdno, otoño, invierno}Es conveniente observar que al considerar una oración abierta de-

bemos cOQocer previamente. el conjunto de reemplazamiento para poderdeterminar el coniunto d~ verdad. - .

Ejemplo: . .

P = {x.eA I~ sea un.númerq}.. .

para determinar el conjunto de verdad P es necesario conocer los .elemen-tos que forman el conlunto de reemptazomiento A, así, si A = {botón, 3,papel, -2} entQnces P = {3, 2} - - .

27

--- - ----

\ '

PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACION 1-1

1. ,Completar los espacios $iguientes con la palabra adecuada.. 'a) A un conjunto de jugadores de beisbol se le llamaE e f: 1-'.b) A un conjunto formado por tres guitarristas se le lIama:.z:........c) A un conjunto de monedas antiguos se.le llama (nI p'e r I .~'T'.

d) ~rngr~;>1'd~~a~u~~osl'~~~ termina Una carrera profesional se ,deno-e) Una sala que reúne una gran variedad de libros forma un~f) La reunión de soldados de un país forma,n un ~ . \.

2. Marque en la casilla correspondiente su respuesta' .F = {Clavel. rosa, perfume. violeta. gardenia}

. Sí Noa) ¿Es "margarita" un elemento de F? . Ll !SIb) ¿Pertenece "clavel" al conjunto F? GJ O

. c) ¿Es "perfume" un ~Iemento de F? tEI c.;. d) ¿Es "hermosa" un elemento de F? D.E!J

e) ¿Está bien definido el conjunto F? O BJ3. Expliquepor qué considera que el conjunto F está bien definido.4. Sea J = {x Ix sea únaflor.}

Sí No I

a) ¿Es a e: J? , O ~b) ¿Es "aroma" elemento de J? D Dc) ¿Es "gardenia" elemento de J? .121' Dd) ¿Es "margarita" EJ? . ~ O De) ,¿Está bien definido el conjunto? . t:J D

5. Sea R el conjunto de los meses del año que tienen la letra "r" en sunombre. Marque la casilla que indique la 'respuesta correctQ.

. I Si Noa) Mayo e: R o I:Jb) Abril E R D Dc) Diciembre E R . D Dd) Agosto e: R D EZJe)' Febrero e:. R. lE) D

6. Sea M = {1. 2,3. 4. 5. 6} el conjunto de reemplazamiento. Determineel conjunto de verdad que corresponda a cada conjunto que se daen la notación para construir 'conjuntos o descripción. Use .10formoenumerativa. ra) S = {xe: M Ix es. menor que 5} ~ - , 1:b) L = ;{xe: M Ix + 1 -es igual a 5} 1",

c) T = {x§='.M Ix +'es mayorque 4} \ .; .d) U =.{xE Mrx es diferente de 2}"" ,.. '1.,. ~

7. En los siguientes problemas se dan conjuntos usando 10 formo enU-merativa, cámbielos a la forma descriptiva usando sus palabras parala condición. .

a) A ={Tamaulipas.Vera9ru~.Tabasco. Campeche, Yucatán, Quin-tana Roo} ( .~ - "Í J t .' --

b) E = {1. 2. 3, 4. 5, 6} \'"\,..'

28

,M6dulo 2

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Al concluir el estudio de este módulo,el alumno:, .

1 . Encontrará .Ia cardin'alidadde ,un coniunto finito.2. Reconoceró coniuntos finitos e infinitos de una lista dé conjunto,s '

dados. ' ,

3. Dará"eiemplos que muestren al coniunto universo.4. Dará eiemplos que muestren fJlconiunto vacío.,5. Dados dos coniuntos, mediante el uso de locorrespondenciCfbiunívoca

establecerá la relación>, = o < para -las cardinafidades de esosconiuntos. '

6. Expresará simbólicamente la iguQldadde coniuntos.7. Distinguiráentre ,igualdady equivalencia entre coniuntos.

ESQUEMA RESUMEN

, ,Cordincílidad

Correspondencia biunívopaConiuntos equivalentes,Coniuntos igualesConiuntos finitos

, Coniuntos infinitos

Conlunto u'niversaIConjunto vacfo

29

Cardinalidad

El,número de elementos contenidos en un conjunto determina la cardina-lidad del, coníuntQ.

En el coso del conjunto

V = {a, e, i, o, u}

.su cardinalidad seró 5 y la expresamos n(V) = 5 que se lee cardinalidadde V igual a 5. '

En el conjunto P: P = '{1,2, 3; 4, 5, 6l,la cardinalidad será 6 y la expresamos co'mo n(P) = 6.

Conluntos finitos e infinitos

En los ejemplos anteriores hemos podido determinar con precisión el nú.mero de los elementos que los integran, pero en otros casós no será fácilesto; sin embargo, cuando, no obstante la dificultad que se presente, seaposible determinar el número de elementos de un conjunto, diremos quese trata de un conjunto finito.Por ejemplo: r ,

Los conjuntos formados por los astros que forman el sistema solar;el número de ediciones que se han hecho de "El Quijote de la Mancha",son conjuntos que.. como los primeros que hemos menciQnado, son finitos,-ya que están formados por Un número preciso de elementos, aun cuandono sea fócil determinar su número.~Si no cumple con esta condición decj-,mos que el conjunto es infinito. \

Por ejemplo:l:.o~ números naturales que son aquellos números ente- ,

ros que nos sirven para contar, y formar un conjunto, el número de ele.,mentos de este conjunto es infinito, ya que, no es posible terminar de .

enumerarlos, ,puesto que siempre podremos añadir uno más al que consi-deramos como último elemento. . . .

Otros conjuntos como el de los puntos contenidos en una recta, elde los fracciones en que puede dividirse la unidad, tienen un número deelementos que tampoco es posible terminar de enumerar, por eso se deno-minan conjuntos Infinitos.

Estos conjuntos generalmente se mencionan usando las oracionesabiertas, y para presentarlos en forma enumerativa escribimos únicamentealgunos de sus primeros elementos y a continuación tres puntos suspen-sivos que debemos entender como la sucesión de elementos que cumplenel modelode los pri.~eros. Así, si tenemos A '= {1, 3, 5, .7,, . .}se nos está expresando el conjunto de números naturales impares, quees un conjunto infinito: {Números naturales impares}

Si se da: B = {5, 10, 15, ...}se ha querido expresar una serie ordenada de números que van aumen--

I 30

1" '" ~

, Ji.) l' .

tando de cinco en cinco a partir del cinco,.y la cual es también un conjunto Infinito.Convenimos, pues, que los puntos suspenslvos después dealgunos elementos en un conjunto, representan lo continuacl6n con unm~smopatrón hasta el Inflnlt,o.

Conlunto universal.

La tQtdndad-de los elementos considerados para"'determinada operacl6nse denomina conlunto universal.

Asi, el conjunto de los números enteros formaró el conlunto universal.para. las operaciones que tengan lugar con ellos: el conlunto'de los librosde una biblioteca será el conjunto universal poro las agrupaciones que sehagan de los mismos; la población mundial será el conlunto universalpara cualquier relación humana que s~ produzca. Por su deflnlcl6n.enton-oes, el conlunto universal equivale. al conlunto d.' reemplazamiento, es.decir, significanlo mismo.Su sfmboloes U.. I

~

.

Conlunto8vacfo8 -

De gran utilidad en las operaciones con conluntos es ei'concepto del con-. junto que no tiene elementos.Los conjuntos para los cuales ningún elemento satisface la condlcl6n

dada. se conocen.camo'c9nluntosnuloso vacfo8y se representan por 4-. o bien po~{}.Porelemplo,el conluntode mexicanosque han Idoa la .Lu-

no, el de las-ciudades mexicanos con una población superior' a lOs-diezmillonesde habitantes, el de los meses del año cuyo nombre comienza cone, son. conluntos vac(08.'La éardlnalldad d. ... O.pc)rconsiguiente n(+)= O.Es Importante hacer '.notarque los términos conlunto vaclo y nCamerocero son dos cosas totalmente diferentes y que se considera que el con-lunto vacfo es finito.

Conluntos equivalentes

SI dos conluntos poseen 'la misma card~nalldad,se dice que son conluntosequivalentes. ya que tienen 'el mismo número de elementos, y puede .esta-blecerse entre ambos una correspondencia d. uno a uno. o blunlvoca. Sonconjuntos equivalentes el conlunto de sillas de una clase y el del nCamerode alu_mnos~si todas las sillas están ocupadas y no hay alumnos de pie.Asflos conluntasC = {verde,blanco, rolo}y

.' F = {5,4, 3,} .

.

son equivalentes, ya que se puede establecer la correspondencia blunfvoca

"'\ {verde, bla,nco,rolo}.. t t i

{5, 4, 3 }

Conluntos Iguales

Se dice que los conjuntos ~ y e son Iguales cuando cada elemento d, Aes a la vez elemento de B y cada elemento de B es también elemento de

31

A. En'otras palabras A y B son dos representaciones distintos del mismoconjunto. Se simboliza A = B que se lee "A es Igua,lo BU.

Ejemplo:

A represento 01conjunto formado por los letras o, ,o, e, u, i. .B represento al conjunto de vocales del alfabeto

A = {o, e, i:o, u} o también {o, o, e, u, i} .BesdecirA = B 6 {o, o, e, u, i} = {o, e, i, o, u} .

Observe que el orden en que se enumeran o enllstan los elementosno tiene importQn.cio poro comparar los conjuntos.

Es muy importante que se entiendo lo. diferencio entre conluntosiguales y coniuntos equivalentes; dos conjuntos son equivalentes'cuando tienen lo mismo cordinolidad aunque sus elementos $e(.1ndiferentes, mientras que dos conjuntos iguales siempre son tam-bién equivalentes, pues teniendo los mismos elementos tendránlo mismo cordinolidad. ' ,

PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACION 1-2 ,

1 . Si lIam,amQs N' 01 conjunto. de números ~aturales

.

a) ¿Es N un conjunto infinito? ¿Por qué? .~'e,tb) Si P= (x E: N Ix es menor 'qué 9}¿E~P un conjunto finito? ¿Por qué?c) La cordinolidad de P será n{P) = ')

2. Poro codo conjunto que se nombro marque el cuadro correspondientesegún seo finito o infinito. .

o) Los puntos de una recto,b) Los islas de todo el mundoc) Los pelos de un gatod) El conjunto de los números enteros impares

mayores de 5'e) El conjunto de los números enteros

Finito InfinitoD GJ

.~ DEJ ~

DD

,3W

3. Seo R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Exprese en formo enumeratlvalos elementos.de los conjuntos que se proponen ,o continuación.

~,

a) Seo M ={x e: R Ix menor que 1} = ~" ~\,

b) S = {x E: R Ix, x = 64} =)( c) T = {x E: R Ix + 7 = 25} = '.

d) V . fx E: R Ix + 3 = 7} = ,'~'

32

4. Señale en la casilla correspondiente si el conJuntopropuesto es o novacío.

Vacío No Vacíoa) El coniunto de los- números impa~es que

terminan en 2 -b) El conjunto de los.,números parésc) {xe:NI7,x='12}d) {a,e,i,o,u} -

- e) El coniunto de números pares comprendidosen {1, 2, 3,5, 7}

f) {O}g) El conjunto .p

lE

CiJ.ls:J

o

oD-

oD.Ud'

G3l¡:¡;l'o

5. Mencione la cardlnalidad de los siguientes conj',mtos completando losespacios

a) Á ={2, 3, 6, 5} nCA)- - j-

b) , B = {11, 12}' n(8) .=c) C = {O} - n(C) = .d)D = {.p} n(D) = +e) E = { } n(E) = ~

- 6. ConsiderandoqueA-= {1,2,3l. 8 = {2,3, S}YC = {3, 1,2}Complete la oración llenando el espacio en blanco con el símbolo co-rrecto, escogiendo entre -:-' =1=(igual, diferente).a) A ~ 8 b) B I Cd) B t. {5, 2, 3} e) c::-- A

J, '- .1'

'c) {2,5.3}j' A

----

¡;;,

M6clulo 3

OBJETIVOS ESPECIFIC~S'

Al concluir este módulo, el alumno:{

1~ Aplicará la simbologia. de ¡hclusión o contención a conjuntos.2. Construirásubconjun,tospropiosde unconjuntodado. .3.' Identificará al conjunto de los números naturales!

. 4. Defini'rá número primo; .'5. Definirá múltiplo .de un número.6., ' Reconoceráa los números,primos de un conjunto dado.7.' 'Construirá el conjunto de los múltiplos de un natural arbitrario k.8., Desc,ompondráun número compuesto en sos 'factores primos;' es

. decir, realizará una factorización completa. .

.

ESQUEMA RESUMEN

Subconjuntos importantes de N

.

múltiplo de un númerodivisibllidad entre un número

, ,conjunto de lo~ múltiplos de K; con ke: N, número natural primo" 'conjunto de ,los números primo$

... ..

,34

Subconiuntos

Al conjunto R que estó forma.do por elementos que también per-tenecen al conjunto P se le llama un subconlunto de P.

Considerem9s el conjunto P como un patio de estacionamiento deautomóviles en el que se encuentran coches de diversos modelos, marcasy colores, y como conjunto R todos los coches rojos estacionados en esepatio. Podremos decir qÜe R es un subconiunto de P.

El símbolo e se lee "es subconjunto de. . ." y ~ "no es subconjuntode...".Entonces R e P.. Otros subconjuntos de. P pOdrían ser W,.si W,es el conjunto de Volks-

wagen estacionados en el patio; o S, si S es el conjunto de coches modelosetenta estacionados. ahí mismo.

Así podremos escribir W e P y S e P.Cuando décimos que un conjunto es subconjunto de otro, estamos

da~do la idea de pertenencia o también la de partición, por ejemplo:A ~. B significa A es subconjunto deB o también A pertenece a B; A estóincluido en B.

Esta idea es muy útil pues nos conduce a la conclusión de que si unelemento pertenece al conjunto A debe, por esa razón, pertenecer tam-bién al coni.unto B.' Pue~e también considerarse que toGo conjunto es unsubconjunto de sí mismo, e igualmente el conjunto vacío seró un subcon-junto de cualquier otro conjunto A e A, f/J e A.

Ejemplifiquemos con algunos conjuntos que nos son familiQres. SeaV = {vocales del alfabeto} y A, = {todas las letras del alfabeto}podemos decir que: V e A .

es decir, cualquiera vocal es elemento del alfabeto, pero: A ~ V porqueen .el alfabeto hay letras que no son vocales y por tanto no son elementosd~ V. . . .

Con lo anterior podemos precisar lina idea mós adecuada de pertenen-cia o partición. .

Sien.do V e A péro A tiene además elementos que no pertenecena V; se dice .que V es un subconlunto propio de A. :No s610 Vestó incluido en A síno que es-sólo unq parte d~ él, nunca tienela misma caréiinalidaCl. .

Ejemplo:. Sea M' = {a, ~, c,. dJ{b, c, d, a} e M"pero no es subconjunt~ propio

35

.

{a} ~ M pero como M.tiene además otros elementos, entonces {a} essubc,onlunto propio de M, esto lo representamos asf c. {a}c: M.

Escribe .todos los subconluntos propios que tenga M (deben ser 15):La idea de subconlunto propio nos sirve también para establecer entre.

los oonjuntos Ips .Ideasde ~'mayorque" y '~menorque" pues si el conjuntoVes subconjunto-prop'lo.deA (Ve A).entonces Vestá contenldosn A,y Atiene por lo menos un elemento más y podemos decir con seguridad que..elconjunto A es mayor que el conjunto V.lo.cual slmbollzamosA> V o tam-bién que el c.onjuntoV es menor que el conjunto A (V< A)., - .

. Dijimostambién que .10cardinalidad nunca e~ la misma entre dos con-juntos relacionados por la idea de subc;onjuntopropio~con lo que podemostambién acaptar que n(A)> n(V)6 n(V)< n(A).Siendo las cardlna'l1dadesnú~eros naturales estamos estableciendo el sentido de la' desigualdadentre los números naturales, ejemplo:

Sean M = {a, b, c, d} y L = {a, b, c} dos conjuntos; 4 y.3 respectlva-me,nteserran sus cardinalidades L e M por lo tanto n(l) < n(M) es decir

,3 < 4

/

¿C6mo podrfamos comparar dos conjuntos con elementos totalmentediferentes? No podemos decir que~uno sea un subconjunto del otro.

Sean K = {r, s, t} y.M = {a.,b, c,d} los dos conjuntos.,En estos casos podemos emplear la correspondencia blunfvoca entre

\ los conjuntos '. .

..

n(M)= 4M = {a, b,-c, d.}

. ;;;;K ={r~,s, t},

n(K) =3

de este modo nos damos cuenta de que aunque K Q:M existe un elemen,tode M que no encuentra 'su correspondiente en' K, n(K) <. n(M-),en otraspalabras. cuando al establecer la correspondencia blunfvocáexiste 0'1me~nos un elemento .de un conjunto que no tiene correspondiente entré los

, elementos de un segundo conjunto, el primer conjunto es más grande queel segundo, .10cardlnalldad del primero es mayor que la del segundo. .

.' . . t

Algunos subconluntos Importantes de N

Hemos definido ya el conjunto de números naturales N como el conluntode números enteros que nos sirven paroconfar. A partir de 'aqufusaremos

. .Ialetra N, excluslvament~ para designar a ,esté conlunto.

. N ={1, 2,,3; 4¡'5, '},

Observemos ahora algunos subconjuntos Impor.tantes .de N, éean: a). El conjunto de mÚltlplos de kJ siendo k e: N. b) El conjw,to de .núméros

primos y c) El conjunto de números compuestos. . .

38 . ,

a) Conlunto de mCaltlplosde k.SI k e: N entonces, M,= {k,2k, 3k, 4k, 5k" . .}seráel con~untode los

mCaltlplosde ~" , ' , " ..' '. . .

Elemplo:El conlunto de múltlplos.de 7-será: {7,14,21', 28,35,. . ..}. .. Se dice que un' número es divisibleent.reotro cuando su cociente es .

un nCameroentero y el residuo es' O.Siempre que un número.es múltiplode otro, es divisible'entre éste;asf, .15que e~ múltlplode 3 y de 5,.por lotanto es dlvls.rbleentre 3 y entre .5. '.

b) El coolunto de nCamerosprimos.

'.

P ={2, 3,5, 7, 11, 13, 17,.., .}. .

Estos elementos pueden defln,lrsecomo aquellos números que no tie-nen mós divisores que ellos mismos y la unidad.

Debemos observar que el número 1 'no se define como número primo,para evitar tener que hacer excepciones en estudios matemótlcos de másalto nlv,el. .

c) Elconlunto de númerds compuestos;

e :::¡:(4, 6, 8J), to, 12,14, 15, 16, 18,. . .}

Este conlunto está formado por números que no son primos. Se excep-tCaael 1. ,

'. '. JLos números compuestos son múltiplosdei 3" aquellos que son sus factores; asr, 12es un

. i': : .J ",últ~plo de 2..de ~, de 4 y de 6, ya que es-, 4::(

tos ntlmeros'están contenidos exactamel"-, I 6 I I I \ te 'en 12, como podemos observar en la'

figura.

También podemos decl.r que 2,-S, 4 ,y 6' SOl')factores de '1~.Se d,ce que se factorlza un número, cuando se expresa como producto

de SLlSfactores. Una factorlz~cl6n se considera comple~a cuando s610 te-nemosfactoresprimos,en su factorlzac,16n. .' \' '

En cambio 5,7,8,9 no son ~ '11 ~ . .factores de 12 Vaque nlngu. . -. .. LLLI" I I rno de ellos estO contenido ,un I I I l. [!]:::[]:I::::::-_:::::.:~J.nCamero exac to de veces en ----..-----------,

. I I I I I ItI I I I I12 como se Ve en la figura . J

,. . . I I I D:.I:I:iIaJ I I I l. .

I .

37

--~ -

PROBLEMAS P~RA AUTOEV!'LUACIQN 1-3

. .1. Considerando el conjunto M = {a. b. c dJ forme un conjunto con todos

los subconluntos de M que tengan:

a) Cardinalidad 4' y lIámelo T.b) Cardinalidad 3 y lIámelo U.c) Cardinalidad O y lIómelo S..d) Cardinalidad 1'.y lIámelo W.

2. Si A = {O. 2. 5. 7} .decimos que 5 e: A. o que {5} e A; pero no sepuede decir que 5. e A porque 5 es un elemento. Aclarado lo anterior.diga cuáles de las siguientes oraciones son verdaderas y cuáles falsas:

a) 4>e:A' e) 7 ~ Ab) Oe: A f) 7 e A

'.c) {O.5} e A g) Oe:.4>d).2e:A

3. Considere como A = {1. 2. 3}, B = {1. 3. 5. 6} Y C .' {1. 2. 3. 4, 5. 6}..Complete la 0~aci6n llenando el espacio en blanco con el símbolocorrecto. escogiendo entre e 6 ct:a) B . C . e) A Bb) {2. 3. 1} ~A. f) B ..Bc)' A ,C g) {3. 2. 1} Ad)" 4>" B

4. d) ¿Cuál es la cardinalidad del conjunto W del .problema17 1b) ¿y la del conjunto S7c) Compare la cardinalidad .de W con la de S.Use símbolo adecuado

(>. <) en caso de desigualdad.d) Compare n(T) éon o(S).. '

e) Compare n(W) con n(U).

5. Establezca la correspondencia biunfvoca entre dos conjuntos de modoque demuestre que la cardinalldad del conjunto días de la semana D.es mayor que la del conjunto de estaciones del año E. .

6. Escriba si los números siguientes son primos o compuestos y si son. compuestos escriba de qué número son, múltiplos.

a) 37 1" b) 21 ~ . c) -19!1' d) 72 'ie) 27 ~ f) 15~"~ g) 51 f

7.. Realice la factorizaci6n completa, es decir, descomponga en sus fac-tores primos los siguientes números:a) 18 'b) 21 c) 34e) 36 f) 64 g) 75

d) '100

~ ,..,~ ;.:-' '1-1 JII.

J.-¡ .

i ~,'t I~' i j > 1 1

~-

M6dulo 4

. OBJETIVOS ESPECIFICaS

- . Al concluir el estudio de este módulo, el Qlumno:I

1. Definirácon palabras y simbólicamente la unión entre dos conluntos.2. Encontrará el-conjunto que resulta de la unión de dos conluntos.3. Representarágráficamente'un conjuntoconsideradoal conjuntouni. -. verso. .'. , '

4. Representará gráficamente (mediante diagramas de. Venn) la uniónentre conjuntos. . , . .

5. 'Definirá con palabras y simbólicamente la Intersección de dos con-juntos. . . '

6. Encontraróel.conjunto que resulta de la intersecci6n de dos coniuntos.. 7. Representarógróficamente-mediante diagramasde Venn~ -lainter-

sección de dos conjuntos cualesquler.a.8. Expresará-con palabras y en lenguajesimbólico- complementode ~

un conjunto arbitrario, dado su conjunto universo. .9. Encontrará el complemento de. un conjunto arbitrario dado su con-

lunto universal. , .,' ,

10. Representará gráficamente el complemento de un conjunto dado.1,.. Rep~esentará gráficamente la relación e inclusión y operaciones com-

binadasentre conjuntos. '

ESQUEMA...RESUMEN

Operaciones con conluntos:' .Unión de conjuntos. '

Intersecci6n de coniuntos.Conluntos dlsluntos! ". . " ,

Representación gráfica de un conjun10y d.e las op~raclonescon conjuntos. I .

Conlunto complemento'de un conlunto dado.

39

,/

Operaciones con conluntos

Si reunimos los elementos de un conjunto A con los elementosde otro conjunto B obtendremos un tercer conjunto y la opera-ción efectuada la llamaremos unión; los elementos de estetercer conjunto pertenecerán al conjunto A, al conjunto B o bien,a ambos.

Elemplo a):

. Si A es un conjunto de canicas azules y B ,es un conjunto de canicas'blancas y efectuamos la unión de A con B reuniendoestas canicas, habre-mos producido un tercer conjunto de canicas que serán azules o .blancas.(Recuerda que no hay canicas que sean azules y blancas, es decir,ude co-lores m'ezclados, de modo que los elementos del' conjunto formado con la

. unión serán canicas, o azules o blancas).. La unión de dos conjuntos se señala con el símbolo" U" de manera. que podremosdefinir: A U B =. {x E A 6 x E B} que leeremos: "x sea ele-mento de A o sea elemento de B". .

Elemplq b):

p = {1, 2,3, 4, }Q = {3, 4, 5, 6, 7}P U Q = {1, 2,3,4,5,6, 7}

I .Como ve.mos, cualquiera de los elementos de la unión podría ser ele-mento de P, elemento de Q ó bien elemento de ambos, .como el 3 y el 4.

Si en lugar de reunir los conjuntos A y B de nuestro primer ejemplo,b.uscamos ahora los elementos comunes a ambos, estaremos. efectuandola Intersección de. los conjuntos.

Una intersección se señala con el símbolo" ntI, y se'-define co-'mo la operación entre dos conjuntos para obtener un tercero,cuyos elementos son los que simultáneamente pertenecen a 10$dos conjuntos dados.

En el caso de nuestras canicas azules y blancas, diremos que nues-tra intersección es el conjunto vacfo porque nuestros conjuntos no tienenelementos comunes. Cuando dos conjuntos no tienen elementos co-munes se denominan conjuntos dlsluntos. Su intersecci6n es un conjuntovacío (~). .

40

" En el casq del ejemplo b, la intersección fa formará el conjunto {'3, 4},formado por element9s que pertenecen tanto a P como a a. .

Podemos entonces definir esa int~rsección como sigue:

p n a ~ {x E: P Y x E: a} = {3, 4}

Elemplo c):

sea V = {a. e. i. o. u}sea M.= {a, b, C,d. e, f}V n M = {a, e} I

~omplemento

,Hemos dicho antes (pág. 31) que en las operaciones con conjuntos latotalidad de los elementos que participan forma un coniunto llamadoconlunto Ur:-iversalo de reemplazamiento (U) del cual todos' los demásson subconjuntos. o I ' ' ,

Un conjunto muy útU en las operaciones con conjuntos es el comple-mento 'de un ~ubconjunto S cualquiera. ,

, Si consideramos S e U el conjunto formado por los elerrrentosque aS le faltan para completar-U es el complemento de,$ y lo señalaremoscomó' S', que se lee "S prima" o "complemento de S".

'Otra manera de definir a S' sería decir que es el' conjunto formadopor los elementos de U que no: están en S,' '

, Ejemplo:,SeaU = {todasI,asletrasdel alfabetof y V = {vocalesdel alfa-beto}, V e U.

.' V',= {consonantes del Qlfabeto}, '

po~que son 'las letras del alfabeto que no están en V o también las letrasque a V le faltan para completar el universo U. ~

, Nptese que por definición cualquier conjunto y su complementoson disluntos, (Vo,n V' = cp)y t!:Iue la unión da por resultado el universo(VU V' = U). ' I I

.Gráfica de,un conlunto y de las operaciones con' coniuntos'

Es muy útil ilustrar las relaciones entre conjuntos mediante diagramas ofiguras cerradas q.ue indican que los elementos comprendidos dentro deesas áreas pertenecen al conjunto. "

A estos diagramas se les conoce como Diagramas de Venn, en honordel matemático inglés John Venn (1834-1883).: Nosotros los emplearemos'y también usaremos algunas variantés, aunque'los llamaremos en generalDlagrCimas de Venn. o ,

Elemplo: El rectángulo nos indica el conjunto universal o de reem-plazamiento, los círculos A y S muestran coniuntos disiunt~s ya que notienen elementos'comunes. Los elementos 1. 2, 3 son elementos de A:4, 5, 6, 7 ,son elementos de S y 8, 9, 10 no son de A ni de S, pero sí sondel universo. '

41

8

Unión de conlunto8. .

Los conjuntos V\y M Que se presentan en la siguiente figura están for-

mados por: V - {l.~JN. A. E} .\. . M - {A. e: B. evG. C. F} .

: luego,V U.M :;:: ll. O. W. A/E'. a. D. G. c.. F} y en el.'diagrama,se.presenta.V U M. somt;>reando el área. corre~pondiente.' .' .

VUM:'

.

1

Intersección de conluntos \

Con íos mismos conjuntos V y M present<;Jmosel siguiente diagrama querepresenta la intersección; de .los conjunlo$ V n .M.

Su intersección será la zona superpuesta que encierra a los..elemen-tos que pertenecen a ambos simultáneamente y que aparece sombreado.V n M =. {A. E}. . .' . , '.

u

~ Conlunto complemento

El conjunto S está indicado por el círculo. S' seró su complemento que,como hemos definido antes, será el conjunto de todos los elementos. d~1

42

¡I.~universoque no están comprendidos en S. La parte sombreado nos re-o presenta a S'. Los diagramas de Venn presentan upa gran.ventaia para

representar los conjuntos de' verdad, porque a través, de ellos podemos"ver" los conjuntos de verdad, es por esta razón qu~ los empleamos como"Lenguaje" ,pues como se aprecia en Iq figura sigui~nte no es necesarioenumerar los elementos.

Ejemplos:

u .

'OO....

A

u

I

I . J,'"I I

a) La figura en ,la izquierda nos habla de dosconjunto~ A V B que claramente se ve q~eson disjuntos sin necesidad de saber quéelementos los forman.

b) Ahora tenemos. ,~resconjuntos A, B V C. Laint~rsección entre A y B 'forma un conjunto

, que se representa sombreado V la unión deI ese conjunto resultanfe con e se representa

, por el área ence~~a~a con la 'línea gruesa.

Cuando se combinan más de dos conlunt6s como en el' eiemplo an-terior. .se hace necesario señalar el orden en que se efectuaron las ope-raciones V para ello se .usan los .símbolos llamados paréntesis,así delejemplo b tendrfamos .

(A n B) U e

primero obtuvimos la intersección A con B V ese conjunto se unió con C.,. '., t

-43

A ,-, B e)~IAU J3j.n (8 n C).10. S$form6 el conlunto delb unlon'de A con '8 y en la gráfica se 80m- .bre6 horizontalmente; 20. se form6 el conluntode la Intetseccl6n de 8 con C, Vse sombre6verticalmente y 30. se busca la Interseccl6nen-tre dichos conjuntos resultando ser el área'cuadriculada. .

,

PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACION 1-4

1. Tome el conjunto U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} como el conluntouniversal y si "

A = {1,'2,3.,4, 5,6} C = {4,5, 6,7} .

8, =. {2, 3, 4, 5} .D = {7,8, 9,10}determine los conjuntos que se indican y represente .10operación grá-ficamentesombreando el resultado,

a) A U O' e) A U 8' i) '(OUD)'b)D U B f) B U ~ DO'U (A n D)e) B n O g) c' n D -~) (B n D) U (B -n C)d) A n D h) (A n B)' 1)(O U D) n (A U 8)

\ '- .2. Utilice una figura' como la que se muestra en seguida'y sombree. úni-

camente el área que represente al conjunt9 que se da. En caso deque sea conjunto vacío no sombree y escriba por un lado su sfmbolo.

a) A U Bb) B n O

c)(A n '8) U 'Od) A' n, B' .

"

. I . ,.

.3. 'Escriba con palabras la 'descripción del conjunto que se da y repre-séntelo con un diagrama de Venn: considere que ,U = {x es un estu-diante}. A = {x E: U.I x estudia matemáticas} y B = {x e: U Ix estudiaffsica}. Además Qceptamos que A n B '* 4>(es decir que no sondisjuntos): . . '. ~ ".

a) A n 8 b)' (AU B)'

4. Explique.cuóles son las condiciones necesarias que deben~cerlos conjuntos D y E para que se cumpla la igualdad que se propone'"en cada inciso de los siguientes: '

44

a) D n e = Db) D U E = U

c) D n E = 4>d) D U E = D

5. Dlbule un diagrama s;leVenn de manera de que se cumplan las condi-ciones dadas.en cada Inciso.a) A e B, e e B, A n O = 4-.b) A S; e, A :p e, B n e = 4> .c) A e (B n C)..C e B, C -:1=B, A -:1=C

6. SeanlosconluntosU = {1, 2, 3, 4, 5, 6~7, 8,9, 10}: A = {x e: U Ixmúltlplo de 3}; B = {x e: U I x es número par}: C = {x "e:.U I'x < 7}Escriba una operacl6n en que participen cualquiera de los conjun-

tos A B C o sus complementosde maneraque el conjunto solución o res'ul-tante sea el que se da, unas veces en la forma enumeratlva y otras condiagrama. de Vehn.Slmpllflque al máximo su respuesta, el diagrama pa-tr6n es el que se da en seguida.

~{6} c)

e) " A B

{2, 3,4, 6, 8. 9, 10}f) {2, 3, 4, 6} ,

e

RESUMEN

Esta unidad en la que se exponen ios elementos fundamentale.s de .10Teorfa de Conluntos nos sirve para unificar y darle cohesión a todas lasunidades posteriores apoyándonos en las Ideas y conceptos de dichateorfa, de los cuales no se espera que los memoricen,s'lno más bien que'los vayan comprendiendoy apreciando su importancia a medida que losvan utilizando.

De todos los términos empleados es verdaderamente importante loc~mprensi6n de: "

ConjuntoElementoVariable'Conjunto de verdadConjuntos igualesConjuntos equivalentes.

, Conjunto vacfoCorrespondenciablunivocaSubconjunto propio

Oración abiertaConjunto de reemplazamientoConjunto universal

" Número primo. ,

Múltiplo de un númeroUnión de conjuntosIntersección de conjuntosConjunto complemento

. Diagrama de Venn

45

-,-

a) {3, S"} , b)d) I A B.

e

Paneles de verlflcacl6n

CONJUNTO DE' PROBLEMAS 1-1

1. a) A un conjunto de j'ugadores de beisbol se le llama Novena.b) A un conjunto formado por tres guitarristas se le llama Trío.

, c) A un conjunto de monedas antiguas se le llama Colección.d) A un grupo de alumnos que termina una carrera, profesional se le

denomina Generación. .

e) Una sala que reúne una gran variedad de libros forma una Biblio-teca.. .

f) La reunión de soldados de un país forma un Eiército.

Sí No2. a) O [8] .

. b) IR! D. c) I&J D, d) D !El

e) I&J D

3. Porque lo~ elementos que lo forman están enumeradQs.,Sí NoO 1&]O ~IBJ D~ D~ D

Sí No5. a) D ' ¡g]

b) ., ~ Dc) ~ Dd) D I&Ja) [&J O

6. a)S={'.2.3.4} 'c) T={2,3.4.5.6}b) L = {4} . d) U = {1.3.4.5.E$}

7. a) A = {Estados de la República Mexicana 'en la' costa del Golfo deMéxico}

b) E'= {Números nat,urales menorés que 7}

4. a)b)e)d)e)

CONJUNTO DE PROBLEMAS 1-2

1 . a) Es inf'inito porque no importo qué ton grande sea el número hastael que contemos, siempre le seguirá otro. .

46

b) Es un eoniulito finito, porque podemos contar los ele~ñtos quelo forman.

e) n(P) :;:: 8.

2. ,a)b)e)d)e)

3. a)M'=,p={}

FinitoOIKI'l5iIOO

b) S ={8}

InfinitoliiJCJD-6iI

'IR)

.'

'e) T = ,p d) V = {4}

Vacío No Vacío4. a) 1m O

b) o' ria, 'e) , [8JDd)' O ~,'

5. a) ,n(A).=, 4'

e)f). g):

Vacío NoVacío.0 1m

O 6iJtia O

b) n(B) = 2 " e) n(C) =1d) n(D) = 1 e).n(E) =O '.

En el inciso e) el eoniuntó tiene' un solo elemento que..es el O.En elinciso d) el conjunto tiene,un solo elemento,que es él eoniunto vacío.

6. a) A :¡é:B b)'B :¡é:ed) B = '{5,2, 3} (eJ orden no .se considera)

e) {2, 5,' 3} :¡é:Ae) C .-:A

CONJUN,TODE PROSLEMAS 1-3, ,,-

1. a) T =Ha, b, e, d}1 ' ..

b) U = _{{a,b, e}, {a, b, d}, lb, e"d}, (e, d, o}JCada eoniunto de eordi-, 1'; -' nolidod 3 es un elemento

, " del, eonlunto Ue) S = {4>} ,

, d) W = {{aL lb}, {e},',{d}}

2. a) Falsab) Verdaderae) Verdaderad) Ver~adero '

e) Falsaf) Falsag) Fol~a

3. a) B cCb) {2, 3; 1} Q: Ae) A e ed) ,pe B

4. a) n(W)= 4d) n(T) = n(5)

- e) A ct:B ,

. f) B Q: B(E1 símbolo' e significasubeoniunto propio)

g) {~, 2, 1} Q: A

b) n(5) = 1, e} n(W) > n(5)'e) n(U) = n(W)

47

5. D = {lunes, martes, miércoles, jueves,' viernes, sábado, dor:ningo}~ ~ ~ ~ ,+ J. +

E = {primavera, verano, otoño, invierno}n(D) > n(E)

T 6. 0),37 es número prilT)o,sólo es divisible entre sí mismo o ,lo unidad.b) 21 es número compues~o, sus factores primos son 3; 1'.c) 19 es número primo. 'd)'72 compuesto; factores primos son 3. 2. Existen mós factores paro

formar 72, pero son números compuestos como 9, 36, 4, 6, etc.", e) 27 'compuesto; factores primos 3.

f) 15 compuesto; factores pri.mos 3, 5.g) 51 compuesto; factores primos, 3, 17.

, ,

1, o) 18 = 2 .3 .3 = 2 . 32'b) 21 = 3 . 7c) 34 = 2 .'17 'd) 100 = 2 . 5 . 2 . 5 = 22. 52e) 36 = 2 . 2 . 3 . 3 = 22. 32f) 64 = 2 " 2 ~2 . ~ . 2 . 2 = 26g) 75'= 3 . 5 . 5 :;::: 3 . 52

CONJUNTO DE PROBLEMAS 1-4

. '

1. o) 'A U e = {1, 2, 3, 4~5, 6, 7},VV\I~ ~')

U'

. 4

2 S~..

7

3 6A ' 'C

AUC

, b) D U B = 1{2,3, 4, 5, 7, 8,'9, 10}}.JiH'O'"' 8

B

DUB

D

c) ,B n e = {4,5}'In\ "r"''O(úor"

U

([)

.. 6S '

3 7B. C

48

~ -

d) A n D = { }

u~', t~

El> A U 8' = {1,2,3,4,5',e, 7,8,9, 10}=u .

f) ,8 U</>= B

g} c' n D = {S,9, 10}

h) (A n 8)' == {1, e, 7, 8, 9, 10}

1) (C U D)' = {1, 2, 3}'

., U

01 2 3 (8'7 8 94 5 10

6 ,

A "D

u

8B

j) 9 U (A n D}= C U</>= e

u

D

AnD

A U B',

~

BU</>

c' n D

(An B)',

A ,.

~ ,

."\'49

, ,

~) (B n D) U'(B n C) = q,'U {4,5} = {4~5}BnD=q", ,B n C =={4,5} '~

'u

n (C U D) n (A U B), C U D '= {4, 5, 6, 7, 8, 9" 10}

AUB=A{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} n A == {A,5,,6}

~

2. a),

A

~B e

c)AUB'

~e

BnCd)

An B=~ ..

C=~'

@jA'= ~

~B'~ ~Todo lo I

,~ que tenga,A~ n B' = '~ cuadrfcula.

(A n B) U e lodo lo sombrea~o .

3. ,a) A n -B =' {x..~ U'¡,x estudia matemáticás}' () , {x-e: Ú Ix estudia, "ffsicaf - ,".. , '

'- {x. e:. l:J I x. estudia matemáticas V física}

~

u

B

~

b) (A U B)' en este caso conviene primero dibujar el diagrama.

{x E: U Ix no estudia matemáticas ni física}.También {x E: U I es falso que x éstudia .

matemáticas o física}

c) A' U B' = Todo lo sombreado con cualquier rayado.

B

{x E: U Ies falso que x estudie ambas,matemáticas y física} "

A

. .

4. a) Para que la intersección nos dé ese resultado esnecesario que: De E es decir que Desté conte-nido en E

I U

8" .

.

D I bl Para que la unión de dos C~':Iiuntos.cualquiera

E produzca el Universo es suficiente que un c.on-.junto sea complemento del otro . .D=~6E=~ .

. I

e) En este caso los conj~ntos deben ser disjuntos.

d) Como en el inciso a) s610que ahora es E el subconjuntopropio de D . .

el CuandoE= U 65.

5. a)

51

b) . De 1asdos primeras condlc.lonesse saQa'en conclusl6n que. la In';'formacl6n completa seria A c;:: e

. .

6.c,) .

a) A n e v b) A n B

d) ~

ArJ5::)B .Aai:)B.. 'V (AUB)nc V .e - e .

. c) A U B

~n~nc

f) (AU Sr n e

52

-

-