Tema 4. PolinomiosOperacións básicas. Factorización.

Polinomios: definicións e operacións básicas

Bloques de Dienes

Monomios. Monomios enteirosChámase monomio enteiro a unha expresión alxébrica formada por produtos de números enteiros e letras elevadas a expoñentes enteiros.

Ao número que aparece nesta expresión chámaselle coeficiente ou parte numérica e á expresión contendo as indeterminadas parte literal.

Parte numérica: coeficiente

Parte literal

Cando a parte literal ten unha única letra diremos que temos un monomio nunha indeterminada, por exemplo: 2x, 5y3, etc…Grao dun monomio

Chámase grao dun monomio á suma dos expoñentes das indeterminadas da parte literal.

2 x · y 2

O expoñente 1, non se escribe, por convenio

O expoñente da y é 2

O grao de 2xy2 é 2+1=3

Polinomios. Polinomios nunha indeterminada

Chámase polinomio enteiro á suma de monomios enteiros.

Un polinomio enteiro nunha indeterminada é un polinomio formado por monomios simples: que só teñen unha indeterminada.

Chámase grao dun polinomio ao grao do monomio de maior grao. Nos polinomios nunha indeterminada coincide co maior expoñente da indeterminada.

Maior grao =1

Grao 1

Maior grao =3

Grao 3

Cando contén termos de todos os graos ata o maior decimos que o polinomio é completo

Completo IncompletoExemplos

Operacións cos polinomiosSuma e resta de polinomios:Para sumar os polinomios so poden sumarse os termos semellantes: os que son do mesmo grao.Para efectuar a suma,

1. Ordenamos e completamos os polinomios segundo a medra do seu grao:

2. Sumamos termos semellantes sumando os coeficientes e tomando común a parte literal.

Sumando:

A resta de polinomios efectúase sumando ao minuendo o oposto do sustraendo polo que non ten sentido falar unha vez máis do procedemento.

Produto de polinomios

O produto de monomios efectúase multiplicando as partes literais dunha banda e os coeficientes por outra:

Propiedades das potencias

Multiplicar un monomio por un polinomio é multiplicar o monomio por cada un dos termos do polinomio:

O produto de dous polinomios require do produto de cada un dos monomios de cada polinomio:

Que tamén pode efectuarse da seguinte forma:x2-x-1

2x+3

2x3- 2x2-2x

+3x2-3x-3

2x3+ x2- 5x-3

Este algoritmo é lixeiramente diferente do da multiplicación numérica, que podería tamén empregarse na multiplicación de polinomios. ¿Saberías explicar a razón de que o resultado sexa indiferente ao método empregado?

Identidades notables

Nicolo Tartaglia

Identidades notablesChámase identidades ou produtos notables ás potencias de expresións alxébricas simples, en particular sumas e restas de binomios.As expresións máis simples son:Cadrado da suma:

Cadrado da diferenza:

Suma por diferenza:

Por veces adoita incluírse entre estas expresións o cubo da suma

E da resta:

A veracidade de todas estas expresións pode comprobarse efectuando simplemente os produtos. O que xa non resulta tan simple é obter unha expresión xeral que permita obter o resultado da potencia: para calquera n,

Triángulo de Tartaglia

O método de Tartaglia baséase na obtención dos coeficientes mediante unha regra simple: binomio Coeficientes dos termos resultantes

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Os termos resultantes obtéñense empezando polo maior expoñente do primeiro sumando, que vai descendendo unha unidade en cada termo, multiplicado polo segundo, que comeza con expoñente cero e vai aumentando unha unidade en cada termo.

+=

Binomio de Newton

Chámase binomio de Newton a todo binomio da forma:

Chámase factorial do número n, ao produto:

Defínense os números combinatorios como o resultado da seguinte serie de operacións:

Propiedades

PropiedadesPor definición:0!=1

Exemplos:

Exemplos:

A factorial e os números combinatorios resumen o procedemento do triángulo de Tartaglia mediante a expresión:

Suma desde k=0 ata n

Exemplo:

NOTA:No exemplo empregáronse os resultados:

BIN

OM

IO D

E N

EW

TO

N

División de Polinomios

Paolo Ruffini

División de polinomios

P(x) Q(x)

R(x) C(x)

Sexan os polinomios:

Efectuando o cociente p(x) entre q(x) teremos un cociente e un resto.

x3 +0x2- 3x + 2 x2 - 2x

x + 2

-x3 +2x2

2x2 – 3x-2x2 +4x

x

Que deberán cumprir a propiedade fundamental: P(x)=Q(x)·C(x)+R(x)

Ordenamos e completamos os polinomios

Buscamos o monomio que ao multiplicar polo maior do cociente sexa idéntico ao de maior grao do dividendo

Multiplicamos e restamos:

Multiplicamos e restamos:

Resulta conveniente analizar o caso:

x3 +0x2- 3x + 2 2 x2 - 2x

½ x + ½

-x3 +x2

x2 – 3x

-x2 + x

-2x

x3 +0x2- 3x + 2 2x2 - 2x

O problema reside en atopar o número que multiplicado por 2 dá 1, que non é outro que o seu inverso

x3 +0x2- 3x + 2 2 x2 - 3x

½ x + 3/4

-x3 +3/2 x2

3/2 x2 – 3 x

-2/3 x2 – 3/2 x

-2x

Neste outro caso

Aplicamos fraccións:

Algoritmo de RuffiniO algoritmo de Ruffini emprégase na división dun polinomio p(x) entre un polinomio da forma x-a

Coeficientes do dividendo

Coeficientes do cociente

Resto

aoa1a2an-2an-1an

RC1Cn-3Cn-2Cn-1 Co

a

012

21

1 ....)( axaxaxaxaxp nn

nn

nn

aCn-1

+

aCn-2

+ + + +

012

21

1 ....)( cxcxcxcxc nn

nn

aC2 aC1 aC0

x - a

P(x) x-a

C(x)R

ExemploDivisión dun polinomio p(x) entre un polinomio da forma x-a

Coeficientes do dividendo

Coeficientes do cociente

Resto

51-723

4819983

2

5723)( 234 xxxxxp

6

+

16

+ + +

19983)( 23 xxxxc

18 43

por

2 xax

Teoremas do resto e do factor. Raíces

Teorema do resto

Teorema do restoO resto da división dun polinomio p(x) entre un polinomio da forma x-a é igual ao valor numérico do polinomio para x=a

Noutras palabras )(xp ax

)(xcR)(aPR

Tomando o polinomio anterior:

5723)( 234 xxxxxp

Tomando como divisor:

2x 5723 234 xxxx 2x

)(xc

)(aPR 43522·72·22·3)2( 234 PR

RPodemos calcular o resto sen efectuar a división:

APLICACIÓN:

Teorema do factorSe o valor numérico P(a) para un deteminado número real “a” do polinomio p(x) é nulo, entón x-a é un factor de p(x)

)(xp ax

)(xc0R)()·()( xcaxxp

Rap )(

Demostración

Polo teorema do resto, e polo tanto, se dividimos:

Factor 1

Factor 2

Exemplo

233 xx 1x)(xc0R

)()·1()( xcxxp Factor 1

Factor 2

Raíces dun polinomio

Raíz de mangle

Raíces dun polinomioChámase raíz dun polinomio p(x) ao número real “r” que anula o polinomio.

VOCABULARIO MATEMÁTICO: Anular o polinomio ou calquera outra expresión significa facer nulo o seu valor numérico

23)( 3 xxxP

1xO valor

É raíz do polinomio:

021·31)1( 3 PXa que:

Proposición

Se “a” é unha raíz de p(x) entón x-a é un factor de p(x)

Demostración

)()·()(0

0)(/:)(0)(/

xcaxxpR

apRaxxpaxpa

Consecuencia

Factorizar un polinomio equivale a buscar as raíces do polinomio.

Raíces enteiras

PROPOSICIÓN:As raíces enteiras dun polinomio son divisores do termo independente.

Para buscar as raíces enteiras dun polinomio comprobamos os valores numéricos do polinomio para os divisores do termo independente: os que o anulen serán raíces, os outros non

TEOREMA FUNDAMENTAL DO ÁLXEBRA.O número máximo de raíces dun polinomio é igual ao seu grao

23)( 3 xxxpDivisores e valores numéricos

162)2·(3)2()2(

222·32)2(

42)1·(3)1()1(

021·31)1(

3

3

3

3

p

p

p

p

A ùnica raíz de p(x) é x =1.Isto non é incompatible co teorema fundamental, xa que este establece unicamente un número máximo de raíces, non o mínimo.

23)( 3 xxxp

523)( 234 xxxxxq

35)( 2 xxxr

58)( 37 xxxs

13)( xxt

3

4

2

7

1

Grado do polinomio = nº máximo de raíces

Factorización de polinomios

Factorización de polinomios

A factorización de polinomios consiste en expresar un polinomio arbitrario p(x) como produto de outros máis simples, de menor grao.

EXEMPLO:Como xa vimos, o polinomio:

23)( 3 xxxp

Pode descompoñerse como produto de dous factores:

2 33

x x 1 x0 R

) ( )· 1 ( ) (x c x x p

Factor 1

Factor 2

)(xc

O polinomio máis simple é o polinomio da forma ax

De maneira que o noso obxectivo será expresar un polinomio xenérico:

012

21

1 ....)( axaxaxaxaxp nn

nn

nn

Como produto de factores: aax /

Esto é, buscamos a igualdade:

nkkkkonde

axaxaxax

axaxaxaxaxp

l

kl

kkk

nn

nn

nn

l

....

)...()()()(

....)(

321

321

012

21

1

321

ai = raices de p(x)ki = multiplicidade de ai

E sendo neste caso os :

Método a seguir na factorización de polinomios

RAÍCES ENTEIRAS:Os factores da forma x-a da descomposición dun polinomio p(x) onde a é un número enteiro deben buscarse entre os divisores do termo independente.

Imos estudar a descomposición dun polinomio nunha indeterminada mediante exemplos.

)4)(2)(1(863)( 23 xxxxxxxp

Divisores do termo independente:

8;4;2;1 x

Valores numéricos de p(x)x p(x)

1 0-1 102 -8

-2 04 0

-4 -808 280

-8 -648

Dos valores numéricos temos tres raíces e polo teorema fundamental do álxebra non pode haber máis

Outro método consiste en dividir sucesivamente:

863)( 23 xxxxpEXEMPLO:

8-6

-31

0-8

-21

1 1 -2 -8

-2

1 0

-4

+8

-2

44

1

FAC

TO

RES

(X-1)

(X+2)

(X-4)

EXEMPLO 2Cando o número de raíces enteiras é menor có grao do polinomio:

FAC

TO

RES

1452)( 23 xxxxq

)12()1(1452)( 223 xxxxxxq

1 4

52

0 1

32

-1 -2 -3 -1

-1

2 0

1

-1-2

(X+1)

(X+1)

(2X+1)

Tamén pode empregarse a veces, para determinar raíces reais non enteiras, a descomposición da ecuación de segundo grao:

23)( 23 xxxq

2 0

-3

1

0 -2

-21

1 1

-2 (X+1) -2

E non volve dar exacto con ningún divisor de 2

)22)(1(23)( 223 xxxxxxq

Usando : ))(( 212 xxxxacbxax

Intentamos a descomposición do polinomio de segundo grao:

312

322

2

122

312

322

2

122

2

)2·(1·4)2(2

2

1

2

x

x

x

))31())(31()(1(23)( 23 xxxxxxq

EXEMPLO 3: