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UNIDAD 3UNIDADES DE MEDIDAS Y GEOMETRÍA

LECTURA Nº 9: ALGUNOS SISTEMAS DE MEDIDAS

A lo largo de la historia, se han establecido diversas referencias de medida que hanpermitido estandarizar representaciones de longitud, volumen, tiempo, velocidad, en finmúltiples formas de medir. En la historia se dice que los romanos utilizaban sus pies paramedir distancias; en las mediciones más pequeñas utilizaban el ancho del dedo pulgar elcual ellos llamaban “uncía”.

Las longitudes muy largas las medían con pasos. Un paso comprendía dos etapas, unacon el pie derecho y la otra con el pie izquierdo. En las distancias de mayor prolongaciónutilizaban las “millas”, una milla era equivalente a 1000 pasos, de allí la palabra milla queproviene del latín “mille” que significa “mil”. Las millas, yardas, pies y pulgadas sonmedidas del sistema imperial de medición, es curioso mencionar que el rey Enrique I(1068-1135) creó una medida que sirviera a todos, era la distancia desde su nariz hasta supulgar y lo llamó “yarda”.

En nuestros días, una gran cantidad de países utilizan una medida estándar llamadametro, que es mucho más extenso que una yarda. La unidad metro, tanto en España comoen Venezuela y en otros países del mundo, miden lo mismo. El Sistema Internacional deMedidas (S.I.M.) utiliza el kilómetro para distancias largas, el centímetro y el milímetro paradistancias mucho más pequeñas. A continuación, podemos observar algunas referenciasantiguas y modernas con respecto a las unidades de medidas:

Romano Métrico Imperial1 milla = 1000 pasos 1 kilómetro = 1000 metros 1 milla = 1760 yardas1 paso = 5 pies 1 metro = 100 centímetros 1 yarda = 3 pies1 pie = 12 uncías 1 centímetro = 10 milímetros 1 pie = 12 pulgadas

Tomado con fines instruccionales de:Martínez, M.(1998). Mi primera enciclopedia científicaMatemática. México. Editorial del Valle de México, S.A. (p.40).

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LECTURA Nº 10: EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

En 1790, la Academia Francesa de Ciencias fue la que se encargó, de acuerdo alineamientos de la Asamblea Nacional Francesa y la proposición de los políticosTalleyrand y Prieur, de establecer un sistema unificado de medidas de aplicación sencilla,que culminó el 19 de marzo de 1791, con la definición del Sistema Métrico Decimal a partirde las propuestas de dos comisiones. La unidad de longitud, el metro, se definió igual a ladiezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre. Los franceses, Pelambre yMéchain fueron los encargados de medir el arco del meridiano terrestre que pasa porParis, comprendido entre Dunkerque y el castillo de Monjuich en Barcelona.

A partir de la unidad fundamental, el metro, se definieron todas las otras unidades: las desuperficie, las de volumen, las de peso y las de capacidad. Por ejemplo, el gramo sedefinió, para la época, como el peso de la masa de un centímetro cúbico de aguadestilada, pesada en el vacío, a la temperatura de 4º C.

El Sistema Métrico Decimal es un Sistema, porque comprende un conjunto de medidasrelacionadas entre sí, es métrico porque su unidad fundamental es el metro y es decimal,porque sus medidas aumentan y disminuyen en potencia de 10.

Tanto en las medidas de longitud como en las demás, se utilizan múltiplos y submúltiplos apartir de la unidad. Para los submúltiplos se asignaron prefijos latinos: “deci” para diez;“centi” para cien; “mili” para mil y así sucesivamente. Mientras que para los múltiplos seestableció el uso de prefijos griegos: “deca” para diez; “hecto” para cien; “kilo para mil, etc.

Para transformar medidas de longitud de una magnitud a otra, vamos a utilizar la siguienteestrategia:

Kilómetro (Km.)

Hectómetro (Hm.)

Decámetro (Dm.)

Metro (m.)

Decímetro (dm.)

Centímetro (cm.)

Milímetro (mm.)

Se divide entre 10 porcada escalón que subes

Se multiplica por 10 porcada escalón que bajes

Tomado con fines instruccionales de:Santamaría, J (2007) El Sistema Métrico Decimal. Artículono publicado. (pp. 5). Tinaquillo, Estado Cojedes.

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Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1:

Transformar: 35,328 Km a m

Si verificamos la escalera anterior, para pasar de kilómetros a metros, tenemos que bajartres escalones. Entonces, según el procedimiento debemos multiplicar por 10, por 10 y por10. Es decir:

( ) ( )( )3103283510101032835 .,..., =

Por lo tanto, ( ) 0353281032835 3 ,., =

Observa que la cantidad tiene tres decimales y se está multiplicando por 310 , la coma secorrió a la derecha tres espacios, esto hace que la cantidad quede sin decimales:

( ) 3532810.328,35 3 =

\ 328,35 Km. son 35328 metros.

Ejemplo 2:

Transformar: 21307 mm a Dm.

Si verificamos la escalera anterior, para pasar de milímetros a decámetros, tenemos quesubir cuatro escalones. Entonces, según el procedimiento, debemos dividir entre 10, entre10, entre 10 y entre 10. Es decir:

410307.21

10.10.10.1021307

=

Si la cantidad es un número entero, la coma se omite, pero podemos agregarle la comapara indicar que tiene cero (0) decimales, así: 0,21307

Luego: 13070,210

0,213074 =

Observa que la coma se corrió hacia la izquierda cuatro espacios, de acuerdo alexponente de la potencia de base 10.

Por lo tanto: 21307 mm son 1307,2 Decámetros.

Recuerda, cuando se multiplica una cantidad por una potencia debase 10 se corre la coma hacia la derecha tantos espacios como loindique el exponente de la potencia.

Recuerda que cuando se divide una cantidad por una potenciade base 10, se corre la coma hacia la izquierda, tantos espacioscomo lo indique el exponente de la potencia.

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Te proponemos algunos ejercicios para que practiques este procedimiento de conversiónde medidas:

1. 1,3584 dm a Dm 2. 435,1 Km a cm

3. 000153,0 Hm a mm 4. 003,58973 cm a Hm

5. 3 dm a m 6. 1m a Dm

Los múltiplos y submúltiplos en el sistema métrico decimal, se justifican por lo siguiente:Imagínate que un sastre desea cortar cantidades de mangas para camisas, es de suponerque necesitará convertir los centímetros en metros para determinar cuantas mangaspuede cortar de cada metro de tela.

Mientras que es diferente en el caso de un ciclista profesional, sus actividades o recorridosson en grandes distancias, estas cantidades bastaría expresarlas en Kilómetros y no encentímetros; pues no es que no se pueda, pero no sería lo adecuado.

El sistema de medidas de superficie es el mismo que el utilizado en las longitudes, adiferencia de que aquí se expresan en unidades cuadradas. Por ejemplo, para expresar elárea de un terreno se puede hacer en metros cuadrados (m2) o kilómetros cuadrados(Km2). Recuerda que las superficies se representan en dos dimensiones.

Para realizar conversiones de medidas de superficie se puede aplicar el procedimiento dela escalera; pero debes tener cuidado, pues las medidas aumentan o disminuyen enpotencias de 100, es decir 102.

Ocurre lo mismo con las medidas de capacidad, cuyas medidas nos dan a conocer elvolumen de un cuerpo. Se sabe que un cuerpo tiene tres dimensiones, por tal motivo, alhablar del volumen de una caja, de un tanque, entre otros; se puede representar encentímetros cúbicos, metros cúbicos, etc.

Las conversiones que se realizan en medidas de capacidad aumentan o disminuyen enpotencias de 1000, es decir, 103.

Km2

Hm2

Dm2

m2

dm2

cm2

mm2

Multiplicaspor 102 porcada escalónque bajes

Km3

Hm3

Dm3

m3

dm3

cm3

mm3

Divides por 102

por cada escalónque subas

Multiplicas por103 por cadaescalón que bajes

Divides por 103

por cada escalónque subas

Escalera para transformar medidas desuperficie.

Escalera para transformar medidas de capacidad

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Revisemos algunos ejemplos sobre conversiones de medidas en superficie y decapacidad.

Ejemplo 1.

Transformar 12 m2 a cm2

Según la escalera, para pasar de metros a centímetros se tiene que bajar dos escalones,entonces se debe multiplicar la cantidad dada por 100, y por 100, es decir:

( ) ( ) 22 10.10.12100.100.12 =

( ) ( ) 422 10.1210.10.12 =

( ) 12000010.12 4 =

Por lo tanto:

12 m2 a cm2 = 120000 cm2

Ejemplo 2:

Transformar: 3,5 cm3 a m3

De acuerdo a la escalera, para pasar de centímetros a metros hay que subir dosescalones, por lo tanto se debe dividir entre 1000, y entre 1000, esto es;

633 105,3

10.105,3

1000.10005,3

==

Entonces;

0000035,010

5,36 =

En conclusión:

3,5 cm3 a m3 = 0,0000035 m3

Resuelve los siguientes ejercicios para que adquieras un mayor dominio de tushabilidades:

Realiza las siguientes conversiones de unidades y resuelve los problemas planteados:

7. 5,823 Dm3 a cm3 8. 0,0045 m3 a Km3

9. 8 dm2 a mm2

10.51

m2 a Hm2

Según el procedimiento, cuando se divide entre una potenciade base 10 se corre la coma hacia izquierda tantos espacioslo indique el exponente de la potencia.

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11.100

1Km3 a Dm3 12.

10001

Hm2 a cm2

13.83

mm3 a Km3

14. Un maratonista, para su entrenamiento, realiza durante cinco días lossiguientes recorridos: el primer día recorre 950 Dm, el segundo día 122 Hm; enel tercer día 14 Km, en el cuarto 15420 m, y para el último día recorre1.800.000 cm. ¿Cuántos kilómetros recorre en los cinco días?

15. Calcula la diferencia que existe entre un recipiente, cuya capacidad es de 54 m3

y otro de 44.100.000 cm3

Se sabe que la unidad de volumen en el Sistema Internacional de Medidas es el metrocúbico (m3), pero existe otra unidad de medida para representar las capacidades de loscuerpos como lo es el litro (l) que se relaciona con la unidad anterior, ya que 1 decímetrocúbico (1 dm3) es equivalente a 1 litro de agua pura a temperatura de 4º C.

Litro, centilitro, mililitro, son medidas de capacidad que tienen sus equivalentes envolumen, por ejemplo:

1 m3 = 1000 dm3 = 1000 Litros

1 dm3 = 1000 cm3 = 1 Litro

100 cm3 = 100 militros

1cm3 = mililitro

Si nos vamos a situaciones de la vida cotidiana; en varios productos es frecuente expresarsus cantidades en cm3 (abreviado cc) o en mililitros (ml). También es usual en muchosproductos: perfumes, cosméticos, medicinas, entre otros, expresan las cantidades delproducto (capacidades netas de los recipientes que los contienen) en una unidad inglesaexpresada como fl oz (onza de flido). Por ejemplo: 16,9 fl oz (500 ml); 4,2 fl oz (125 ml), talcual como se lee en las etiquetas de esos productos. ¿Cuántos ml equivalen a 1 fl oz?

Realiza las siguientes conversiones:

16. 3240 ml a m3 17. 53 dm3 a ml

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LECTURA N° 11: FIGURAS POLIGONALES

Un polígono es la parte del plano limitada por una línea poligonal cerrada.

Fíjate en el siguiente polígono:

· Los segmentos AB, BC, CD, DE, EF, FG y GA se denominan lados.

· El vértice de un polígono, es el punto de intersección de dos segmentos o lados. Dosvértices son consecutivos si son extremos de un mismo lado. Los vértices se denotanasí: vértice A, vértice B, etc. Este polígono tiene 7 vértices.

· El ángulo interno de un polígono, es la abertura formada por dos lados en un vértice.Los ángulos denotan así: BECÐ , ABCÐ , FEBÐ , FEDÐ , EBCÐ , EBAÐ , etc. Haymuchos ángulos en este polígono.

· La diagonal de un polígono, es el segmento de recta que une dos vértices que nopertenecen a un mismo lado. Tenemos la diagonal BE, y podemos trazar en este mismopolígono, diagonales entre los vértices: A y C, A y D, A y E, A y F, B y D, B y F entreotros.

· El perímetro de un polígono se calcula sumando las medidas de las longitudes de cadalado. El perímetro de este polígono es iguala: GAFGEFDECDBCABP ++++++= .

Se habla de polígonos convexos y polígonos cóncavos. Un polígono es convexo, si cadauno de sus ángulos interiores es menor de 180º. Es cóncavo si uno de sus ángulos esmayor de 180º.

Polígono Cóncavo Polígono Convexo

Plano

Tomado con fines instruccionales de:Suárez, E. y Cepeda, D. (2003). Matemáticas de EducaciónBásica. Caracas Editorial Santillana, S.A. (p.149)

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Clasificación de los polígonos

Los polígonos se clasifican según sus lados en:

Número de lados Nombre del polígono

3 Triángulos

4 Cuadriláteros

5 Pentágonos

6 Hexágonos

7 Heptágonos

8 Octágonos

9 Eneágonos

10 Decágonos

11 Undecágonos

12 Dodecágonos

Un polígono es regular, cuando todos sus lados miden igual y todos sus ángulos tambiénson iguales.

La apotema de un polígono regular, es el segmento de recta que une el centro delpolígono con el punto medio de uno de sus lados.

LECTURA N° 12: LOS TRIÁNGULOS, LOSCUADRILÁTEROS Y SUS RELACIONES MÉTRICAS

LOS TRIÁNGULOS

El triángulo tiene una característica especial, es estable; por ello es vital en la industria, enefecto, si a una estructura en forma de triángulo se le aplica una fuerza en uno de susvértices, la forma del triángulo permanece. Observa las estructuras de una torre utilizadaen la extracción de petróleo, o las torres que sostienen algunas antenas parabólicas, ytambién en muchos edificios.

Tomado con fines instruccionales de:

Fundación Polar. Matemática para todos. [Consulta enlínea]. Disponible: http://www.fpolar.org.ve/matemática.(Consulta: 2007, enero 12)

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El triángulo es un polígono de tres lados. El triángulo ABC serefiere al triángulo determinado por los puntos A, B y C. En estecaso sus lados son los segmentos AB, BC y AC. Los ángulosdel triángulo son los ángulos de vértices A, B y C, es decir,

CAB, ABC y BCA.

El símbolo D representa la palabra triángulo. AsíD ABCsignifica el triángulo ABC.

Clasificación de los triángulos

Según sus ángulos:

Según sus lados:

Otros elementos de los triángulos

Alturas: Segmentodesde cada vérticeperpendicular al ladoopuesto

Bisectrices: Semirrectaque divide cada ánguloen dos ángulos iguales

Medianas: Segmentodesde cada vértice alpunto medio del ladoopuesto

Mediatrices: Rectaperpendicular a cadalado en su punto medio

Ortocentro: Punto deintersección de lasalturas

Incentro: Punto deintersección de lasbisectrices y centro delcírculo inscrito en eltriángulo

Baricentro o Centro degravedad: Punto deintersección de lasmedianas

Circuncentro: Punto deintersección de lasmediatrices y centro delcírculo circunscrito altriángulo

ÐÐ Ð

Obtusángulo: Tiene unángulo obtuso (midenmás de 90º)

Acutángulo: Tiene tresángulos agudos(miden menos de 90º)

Rectángulo: Tiene unángulo recto (mide 90º)

Equilátero: Tiene treslados miden igual

Isósceles: Tiene doslados que miden igual

Escaleno: Todos suslados miden distinto.

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LOS CUADRILÁTEROS:

Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados, se caracterizan por tener cuatro lados,cuatro vértices, cuatro ángulos interiores, cuatro ángulos exteriores y dos diagonales.Observa las figuras:

En el cuadrilátero convexo se muestra que:

- Los lados son los segmentos: AB, BC, CD, DA.

- Los vértices, son cada punto de encuentro de los lados: A, B, C y D.

- Los ángulos internos, son cada abertura entre dos lados consecutivos, son: *ÐDAB,ÐABC, ÐBCD, ÐCDA. (Observa las tres letras, la que está en el medio es de dondesurge el ángulo)

- Las diagonales, son cada segmento que une dos vértices opuestos, son: AC, BD.

- La letra griega “a ” se lee Alfa y denota un ángulo exterior.

A un cuadrilátero se le puede calcular el perímetro y su área.

- El perímetro es la suma de las longitudes de sus cuatro lados:

Perímetro del cuadrilátero ABCD = AB + BC + CD + DA.

Sabemos que un triángulo tiene tres ángulos y la suma de las medidas de esos ánguloses de 180º. Un cuadrilátero se puede dividir en dos triángulos trazando una de susdiagonales, por tal motivo los cuatro ángulos del cuadrilátero al sumarse se obtiene 360º.

La suma de los cuatro ángulos del cuadrilátero:ABCD: º360=Ð+Ð+Ð+Ð CDABCDABCDAB

O también:

º360=+++ sdba

A B

DC

VérticeLado

Diagonales

Ánguloexterior

Ángulointerior

A

B D

C

Cuadrilátero

CuadriláteroCóncavo

a

Letras griegas:a se lee Alfab se lee Betad se lee Deltas se lee Sigma

* El signo “Ð ” se lee ángulo

A B

D Cd

a

s

b

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Clasificación de los Cuadriláteros:

CUADRILÁTEROS FIGURA Y DIAGONALES

Rectángulos

CuadradoParalelogramos

Rombo

Romboide

Trapecio Rectangular

Trapecios Trapecio Isósceles

Trapecio Escaleno

Trapezoides

Ejercicios propuestos: calcula el perímetro en cada figura.

1. Cuadrado de lado 2/3m. 2. Un rectángulo formado con lasunión de dos cuadrados de lado 8m.

3. 4. Un rombo formado por la uniónde dos triángulos equiláteros delado x/2

A B

D C

A B

A B

D C

DC

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C

AB

DC

10 m

22 m

6 m

7 mTriángulo isosceles

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LECTURA N° 13: LA CIRCUNFERENCIA Y SUSELEMENTOS

La circunferencia, es el conjunto infinito de puntos que están a una misma distancia de unpunto fijo llamado centro. La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia sele llama radio.

Elementos de una circunferencia:

La distancia del centro al punto R o segmento OR esun radio de la circunferencia.

La distancia del punto P al punto Q o segmento PQes un diámetro de la circunferencia. Un diámetroequivale a dos veces el radio.

La distancia del punto A al punto B o segmento ABes una cuerda de la circunferencia.

La recta “s” que toca dos puntos, el punto M y elpunto N, de la circunferencia es una recta secante ala circunferencia.

La recta “t” que toca un solo punto, el punto P, de la circunferencia es una recta tangentea la circunferencia.

El conjunto de puntos que pertenecen a la circunferencia y están entre dos puntos de ella,entre el punto A y el punto B, por ejemplo, se le llama arco de la circunferencia. El arcode extremos A y B se denota arco. (Fig. 2)

Los puntos A, O y B describen un ángulo central a la circunferencia, y se denota AOBÐ .

El conjunto infinito de puntos que forman la circunferencia y los interiores aella conforman una superficie llamada círculo.

La región comprendida entre los puntos A, B y O, o mejor dicho, todos lospuntos interiores al ángulo AOBÐ representa un sector circular de dicho

círculo.

A una circunferencia es imposible calcularle el área, pues sólo representa

una línea cerrada que limita al círculo, a la circunferencia se le puede

calcular la longitud y al círculo se le calcula el área. La fórmula para hallar

Tomado con fines instruccionales de:Santamaría, J (2007). La Circunferencia y sus Elementos.[Artículo no publicado]. UNEFA, Tinaquillo, Estado Cojedes.

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

95

la longitud de una circunferencia es: rL 2×= p , siendo 14,3»p y r = radio de la

circunferencia y para determinar la longitud un ángulo central se utiliza:º180

ºnrL ××=p

.

Mientras que la fórmula para hallar el área de un círculo es: 2rA ×= p .

Y para calcular el área de un sector circular se usa:º360

º2 nrA ××=p

, donde “ 0n ”

representa la amplitud del ángulo.

El ángulo central de una circunferencia es aquel que está formado por dos de sus radios.

Cada ángulo central determina una cuerda y un arco, y a la vez cada cuerda determina un

arco y un ángulo central, y un arco determina un ángulo y una cuerda. Observen la Fig. 3,

allí se describe en el ángulo central DOEÐ , el arco y la cuerda DE. La medida de

amplitud de un arco de una circunferencia se representa en grados (º), y la de un ángulo

central de la misma manera, ya habíamos dicho que un ángulo central determina un arco y

viceversa, esto indica que las medidas en grados para ambos son iguales. Es decir, si un

arco mide 60º, su ángulo central mide 60º.

Ejercicios :

1. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia que tiene de radio 5 Km?

2. ¿Qué longitud tiene un arco cuya amplitud del ángulo central es de 30º?

3. Determina el área de un sector circular, si su ángulo central es de 22º.

4. Calcula el área de un círculo cuyo diámetro es de 25 metros.

5. En una semicircunferencia el radio es de 3/2 cm ¿cuál es su longitud?

6. La longitud del arco de una circunferencia es de p31

, calcula la medida de su

ángulo central.

7. Hallar el diámetro de un círculo, sabiendo que su área es igual a 100π.

96

Figura 7

LECTURA N° 14: CUERPOS GEOMÉTRICOS Y SUSELEMENTOS

En la geometría plana, se estudian aquellas figuras y formas geométricas que tienen una odos dimensiones; y sólo se pueden representar en una superficie plana, como lacircunferencia, el círculo, el triángulo, los cuadriláteros y demás polígonos.

La geometría del espacio se encarga de estudiar aquellas formas, cuerpos y objetos quetienen tres dimensiones. Estas formas se encuentran en el mundo real, sea de maneraartificial, construidas por el hombre, como por ejemplo: edificaciones, herramientas,envases, entre otros y la que pertenecen a la naturaleza, como: árboles, montañas, roca,planetas, animales, seres humanos.

CARACTERÍSTICAS DE ALGUNOS CUERPOS GEOMÉTRICOSLa esfera: es un cuerpo cuya superficie es curva, carece de vértices y su volumen se

calcula mediante la fórmula: 3.34 rV p=

Si hacemos un corte a una esfera hueca con un plano obtenemos una circunferencia.Observa la siguiente figura:

Si la esfera es sólida como una bola, al realizar el corte obtendríamos el círculo.

Circunferenciamáxima

La distancia de C a P es elRadio

P

CircunferenciaPlano

C r

Tomado con fines instruccionales de:

Santamaría, J (2007). Los Cuerpos Geométricos y susElementos. Artículo no publicado. UNEFA, Tranquillo, EstadoCojedes.

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El Cilindro: es un cuerpo mixto; es decir, tiene superficie plana y superficie curva. Elcilindro consta de dos caras circulares, donde cualquiera de ellas pueden servir de base,y de una determinada altura. Su volumen se halla mediante la fórmula.

V = Área de la base x Altura.

El Cono: es un cuerpo de base plana y de superficie lateral curva. A diferencia del cilindro,el cono sólo tiene una base y tiene un vértice. El volumen de un cono se calcula mediantela fórmula:

3).(. 2 AlturarV p

=

Poliedros: Muchas edificaciones construidas por los humanos y algunos cuerpos de lanaturaleza tienen forma de poliedros. Los poliedros son cuerpos limitados por un númerofinito de superficies planas. Estas superficies planas son polígonos que reciben el nombrede caras del poliedro. La intersección de dos caras forman una arista y el punto deintersección de tres o más caras es un vértice.

Entre los poliedros se encuentran: Las pirámides y los prismas.

Las pirámides: Son poliedros cuyas caras laterales tienen forma de triángulo; el número detriángulos o caras laterales de una pirámide, depende del número de lados de la base.

Base

Si hacemos un corte alcilindro con un planoparalelo a la base, seobtiene un círculo. Si elcorte se haceperpendicular a la base, seobtendría un rectángulo.

Si hacemos un corte con un planoparalelo a la base del cono seobtiene un círculo.

Base

Eje

Vértice

BaseEje

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Éstas pueden ser de base triangular, cuadrada, pentagonal, etc. Los triángulos queconforman las caras de la pirámide convergen en un punto, es decir, tienen un punto encomún; este punto recibe el nombre de vértice de la pirámide.

Los prismas: son cuerpos geométricos tridimensionales, la característica mássobresaliente es que dos de sus caras son paralelas (caras opuestas) y congruentes,llamadas bases del prisma. Cada prisma recibe su nombre de acuerdo a la forma de susbases.

Los prismas, cuyas caras laterales son rectángulos, son llamados prismas rectos; de otraforma son llamados prismas oblicuos.

Los prismas rectangulares o “cajas” también son llamados paralelepípedos.

Veamos algunos prismas:

Algunas cosas curiosas de la naturaleza guardan relación con estas formas geométricas,por ejemplo: ¿Has llegado a ver de cerca un panal de abejas? Si lo observasdetalladamente parece un piso cubierto de mosaicos hexagonales. Pero su formatridimensional es la de prismas rectos hexagonales. Si comparamos los perímetros entre eltriangulo equilátero, el cuadrado y hexágono regular, el de este último es menor, para unárea establecida. Esto significa, que para la construcción de los panales de abejas enforma de prisma hexagonal, se usa menos cera.

Base cuadrada

Vértice

Cara

Arista

Pirámide Hexagonal

Vértice

Cara lateral

Base cuadrada

Arista

BasesTriangulares

Prisma Triangular

Pirámide cuadrada

99

LECTURA Nº 15: EL NÚMERO PI (p ) Y EL CÁLCULO DEÁREAS

El número π (Pi), tiene un origen un poco extenso y muy apasionante; en la antiguaGrecia, su aparición se relacionó con el resultado de dividir la longitud de unacircunferencia entre la longitud de su diámetro, por lo que se denota con letra griega π,inicial de la palabra “περιμετρο” que significa perímetro. Leonard Euler (1707-1783),matemático suizo, fue quien hizo famosa la notación de π, a pesar de haberlaimplementado en sus estudios William Jones muchos años antes.

La aproximación al número π se remonta a las civilizaciones más antiguas, ejemplo de ellofueron los babilonios y egipcios, que aún cuando desconocían su nombre y simbología, leatribuyeron el valor “3” obtenido con la aproximación de la longitud de una circunferenciamediante “6r” que es el perímetro del hexágono regular inscrito.

Es decir, de la relación r

6r = 2πr, se obtiene que π = 3 r

Hay un pasaje de la Biblia donde también se puede deducir ese valor “3”:

“…Él, hizo también un vaso de metal fundido, la gran cuba, quetenía diez codos de diámetro y era perfectamente redondo, y teníacinco codos de alto, en tanto que un cordón de treinta codos medíala circunferencia”.

De aquí se cumple que: π = 30 codos/10 codos = 3.

Aún en nuestra era, se hacen cálculos sobre π llegando a representarlo con 109 cifrasdecimales. Éste número es tomado en cuenta en muchas fórmulas matemáticasrelacionadas con medidas: longitud de una circunferencia, área de un círculo, área de unóvalo, volumen de un cilindro, de un cono y de una esfera, área de la superficie de unaesfera, entre otros.

El primer matemático que hizo cálculos de π con muchas cifras, 707 cifras decimales, fueel inglés William Shanks en 1873, cifras que adornan la cúpula del “Palacio del

Lado del hexágono = radiode la circunferencia r = r

Tomado con fines instruccionales de:

Fundación Polar. El número pí (p ) y el cálculo de áreas. Artículoen línea disponible en: http://www.fpolar.org.ve/matemática. [Consultaen línea], de fecha 2007, enero 12.

100

Descubrimiento” en el Museo de Ciencias de Paris. Esta cúpula se encuentra en una salaque tiene 10 metros de diámetro y π decámetros de perímetro.

El matemático e ingeniero venezolano Francisco José Duarte (1883-1972), nacido enMaracaibo, también calculó el número π con muchas cifras. Duarte escribió, en 1956, unamonografía sobre los números irracionales π y ℮

Procedimientos para calcular áreas y volúmenes de figuras y cuerposgeométricos:

En muchas labores de la vida cotidiana se deben hacer cálculos para determinar el áreade una determinada región, ya sea sobre un terreno donde se va a cultivar, algunaedificación que se va a construir, sobre un piso que se va a cubrir con alfombra ocerámica, sobre una pared o un lienzo donde se va realizar una pintura, entre otros.También es importante realizar cálculos de volumen en situaciones donde se necesitesaber cuántos litros de agua requiere una piscina, un tanque, una botella o cualquier otroenvase o la cantidad de cajas que ocupan una habitación o cava, entre otras actividadesde la vida diaria.

El área de una figura plana es la medida de la región encerrada por líneas poligonales, enotras palabras, es la medida de la superficie.

Realicemos algunos cálculos de perímetro y área:

Ejemplo 1:

En el terreno de béisbol, las cuatro bases forman un cuadrilátero, como se muestra en lafigura. Si entre cada base hay una distancia de 90 pies, es decir, 27 metros ¿Cuántosmetros recorre el bateador al dar un jonrón?

Solución:

Sólo tenemos que calcular el perímetrodel cuadrilátero: Recuerda que paracalcular el perímetro de un polígono sesuman las longitudes de sus lados.

Entonces:

P = 27m + 27m + 27m + 27m

Luego Perímetro = 4.(27m) = 108 metros.

Por lo tanto: El bateador recorre 108 metros al dar el jonrón.

¿Calcula el área del terreno que limitan las cuatros bases?

1ra. Base3ra. Base

2da. Base

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101

AlturaAF

BCAD

=

=-

Solución: Para calcular el área del cuadrilátero que es un cuadrado, sólo debemosmultiplicar la medida de un lado dos veces, así.

Área = (Lado)2

Área = (27m)2 = (27m).(27m) = 729 m2

El área del cuadrilátero que está entre las cuatro baseses de 729m2.

Ejemplo 2:

El terreno de una siembra de café tiene forma de un trapecio isósceles, como se muestraen la figura, se necesita saber ¿cuál es el perímetro y el área del terreno?

Donde:

Solución:

Para calcular el perímetro del trapecio, aplicamos la fórmula: DACDBCABP +++=

Entonces: Perímetro = KmKmKmKm25

211

253 +++

Perímetro = KmKmKm227

2213 =+

El perímetro del terreno es de Km2

27

Luego, cálculo del área:

El área de un trapecio se calcula mediante la fórmula:

Área =( ) AlturamenorbasemayorBase

×+2

Donde: base mayor = DC; base menor = AB

Altura = AF.

Sustituyendo, queda:

27m

27m

A B

D CF

Altura

382

11253

=

=

=

=

-

-

-

-

AF

KmDC

KmBC

KmAB

102

Área = ÷øö

çèæ×

÷øö

çèæ +

KmKmKm

38

225

211

Área = ÷øö

çèæ×

÷øö

çèæ

KmKm

38

22

16

Área = ÷øö

çèæ× KmKM38

28

Área = ÷øö

çèæ× KmKm384

Área = 2

332 Km El área del terreno es de 2

332 Km

Ejemplo 3:

Una constructora ha dividido un terreno en cuatro partes iguales para la edificación decuatro casas. Si el terreno tiene forma de rombo y las medidas y divisiones se especificanen la figura dada. Calcular el área de todo el terreno y el área que corresponde a cadacasa.

Donde:

DmEG

DmDF

DmDE

12

16

10

=

=

=

-

-

-

Solución: Para calcular el área de un rombo seaplica la fórmula:

Área =2

menordiagonalmayorDiagonal ×

Donde: diagonal mayor = DF y diagonal menor = EG

Sustituyendo queda:

Área =( ) ( )

2192

21216 2DmDmDm

=×

Área = 296Dm

Luego el área de todo el terreno es igual a 96 Dm2.

Para calcular el área de una de las divisiones, podemos dividir el área total entre 4 otomamos una de las cuatro divisiones; que representan triángulos y le calculamos el área.

Para calcular el área del DEC, se necesita conocer la base“CE” y la altura “CD”.

Recuerda que Área =2

. Alturabase

D

G E

F

D

G E

F

C

103

Como las diagonales de un rombo se cortan en sus puntos medios, entonces: La mitad dela diagonal EG es igual a CE.

Esto es:baseDmCE

DmDmEG

==

==

6

62

122 También: CDDF

=

-

2

Esto es; DmDmDF 82

162

== AlturaDmCD ==-

8

Por lo tanto: Área = ( ) ( ) 22

242

482

86 DmDmDmDm==

×

Ejemplo 4:

Miguel es albañil y quiere construir en el patio de su casa un caney de base pentagonal. Si

del centro de la superficie de la base, al punto medio entre dos columnas la distancia es de

27 metros, y entre cada columna hay una distancia de 3 metros; ¿Cuál es el área del

pentágono?

Solución:

Los vértices A, B, C, D, E son los puntos donde van las columnas.El segmento FH es un apotema.

Como AB = 3m y el pentágono es regular, entonces,

AB = BC = ED = DC = CB y mFH27

=

Luego, para calcular el área de un pentágono regular se aplica la fórmula.

Área = ( )2

ApotemapolígonodelPerímetro ×

Entonces; Perímetro = AB + BC + CD + DE + AE

Pero como todos los lados miden igual

Perímetro= mmAB 15)3.(5).(5 ==

Por lo tanto;

Área =( )

2

2

4105

22

105

22715

mmmm

==÷øö

çèæ×

es el área del pentágono.

A

E B

D C

F

H

104

Cálculos de algunos volúmenes en cuerpos geométricos.

Ejemplo 5:

Una tarde, el joven Julio caminaba con su padre por cierta avenida y observa,detalladamente, las cosas a su alrededor. Julio dice:

- Papá, viste que algunos carros, en la parte trasera, llevan escrito algunos símboloscomo: 1.3L, 1.6L, 2.0L, 4.5L, etc. ¿qué significan esos números?

El padre, como todo un experto, le contesta:

- Hijo, esas expresiones hacen referencia a la cilindrada del automóvil, en otras palabras alvolumen útil de los cilindros; cuanto mayor es la expresión que allí se indica mayor es lacilindrada del vehículo. Por ejemplo, en un carro de cuatro cilindros, si calculamos elvolumen de cada cilindro, mediante la fórmula: hrV ××= 2p , siendo 1416,3»p ;

cmalturah 548,7== y cmradior 1035,4== . Sustituyendo la fórmula, queda:32 29,399)548,7()1035,4()1416,3( cmcmcmV =××= , ésta representa la capacidad para

cada cilindro. Si el carro es de 4 cilindros, entonces la cilindrada es de:33 16,1597)29,399(44 cmcmV == .

Redondeando esta cantidad por exceso nos resulta, que: 31600cmV = , esto esequivalente a decir litrosV 6,1= y se anota de esta manera para simplificar la escritura.

Ejemplo 6:

Una piscina, tiene la forma de un prisma como el que se muestra en la figura. ¿Cuántoslitros de agua se necesitan para llenarla por completo?

Solución:Observa que si la piscina fuese unparalelepípedo el volumen sería:

alturaÁreabaseV ×= )(Esto es, )4()410( mmmV ××=Luego; 3160mV =

Pero a la piscina le hace falta un pedazo, para ser un paralelepípedo,algo como esta forma; un prisma triangular, cuyo volumen es:

alturabaseÁreaV ×=2

)(. Sustituyendo, queda;

( ) ( ) 332

204

804

5162

2544

mmmmmmmV ===

××=

Luego, al volumen del paralelepípedo le restamos el volumen del prisma triangular y nosdará el volumen de la piscina, así: Volumen de la piscina 333 14020160 mmm =-=

Pero nos piden la capacidad de la piscina en litros, por lo que hay que transformar 3140ma litros ; para hacer esto, primero tenemos que trasformar 3140m a 3dm . De acuerdo a

105

la escalera de conversión, se tiene que: 3140m a 3dm = 3000.140 dm , si se sabe quelitrodm 11 3 = , entonces; litrosdm 000.140000.140 3 = .

Por lo tanto, la piscina necesita litros000.140 de agua para llenarse por completo.

Te proponemos algunos ejercicios y problemas, debes ejercitar todo lo relacionado alcálculo de áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos.

Ejercicios:

1. ¿Cuál es el área de un triángulo cuya base mide 35 cm y su altura es 3/5 de la base?

2. ¿Cuánto mide la base menor de un trapecio que tiene como área 204 m2, la basemayor es de 32 m y su altura es de 12 m?

3. ¿Cuál es la medida de uno de los lados de un polígono regular de 16 lados, deapotema igual a 60 cm y área 16000 cm2?

4. ¿Cuál es el área de un círculo cuyo perímetro es de 52 dm?

Según la figura que se te indiqua a continuación, realiza los cálculos respectivos:

5. Si el área de la figura es igual a 68 cm2 ¿cuántovale b?

6. El triángulo ABC es isósceles; si AD = 11 cm.

y CD = 7/2 cm. ¿cuánto vale el área?

7. El trapecio de la figura se ha construidocon tres triángulos rectángulos, dondeuno de ellos es isósceles. Halla el áreadel trapecio de dos maneras: usando lafórmula del área del trapecio y hallandola suma de las áreas de los trestriángulos rectángulos.

Resuelve los siguientes problemas:

8. La habitación de Juana, mide 4 m de ancho, 5 m de largo y 5/2 m de alto. El área de lapuerta y la ventana es de 2 m2. Ella desea colocar papel tapiz a las cuatro paredes; sicada rollo de papel mide 50 cm de ancho por 5 m de largo ¿Cuántos rollos de papelnecesitaría Juana para cubrir las paredes?

9. En Tinaquillo hay una estación de radio que tiene una cobertura igual a un radio de 72Km. ¿Cuántos kilómetros cuadrados cubre la señal de la estación de radio?

b9 cm.

13 cm.

7 cm.

12 cm.

7 cm.

13 cm.12 cm.

A

BC D

106

10. Carlos tiene un terreno de forma cuadrada, cuyo lado mide 18 m. En cada esquina delterreno hay un poste y un caballo atado por una cuerda de 9 m. ¿Qué parte del terrenono puede ser recorrida por el caballo?

11. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos:

12. El volumen de un cilindro es 330п cm3. Calcula el radio de la base si la altura mide 6cm.

13. Determina la altura de un cono que tiene un volumen de 108п m3 y el área de la basees igual a 36п m2.

LECTURA Nº 16: THALES Y LA PIRÁMIDE DE KEOPS

Tomado con fines instruccionales de:

Fundación Polar. Thales y la pirámide de Keops. Artículo enlínea, disponible en : http://www.fpolar.org.ve/ matemática.[Consulta en línea] de fecha 2007, enero 11.

107

En la actualidad, el procedimiento más común para realizar medidas en cuerposgeométricos y figuras planas, es la aplicación de fórmulas matemáticas. Esas medidas quellamamos áreas y volúmenes, no se calculan directamente ya que se deben medirpreviamente ciertas magnitudes. Por ejemplo:

Figura Área

Triángulo2alturabaseA ×

=

Trapecio alturabBA ×+

=2

Paralelogramo alturabaseA ×=

Rectángulo alturabaseA ×=

Rombo2

__ diagonalesdeproductoA =

Cuadrado 2)(ladoA =

Círculo 2rA ×= p

Cuerpo Volumen

Prisma rectoalturabasedeáreaV ×= __

Cubo3)(ladoV =

Pirámide3

__ alturabasedeáreaV ×=

108

Cilindro alturarV ××= 2p

Cono

3

2 alturarV ××=p

Esfera

3

34 rV ×= p