UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR SEDE DEL LITORAL

Ciclo de Iniciación Universitaria (C.I.U)

Matemática III

Abril-Julio 2011

Presentación

La guía práctica de matemáticas III del CIU (Ciclo de Iniciación Universitaria),

aspira a contribuir a la enseñanza- aprendizaje de esta asignatura, con un enfoque

didáctico.

“La matemática es el lenguaje en el que Dios ha escrito el universo.” Galileo

Autores: José Viloria

Andrés Hernández

Contenido

1 Funciones

1.1 La existencia de funciones..………………………………1

1.2 Definición de Función ……………………………………. 2

1.3 Evaluación de Función…………………………………… 3

1.4 Obtención del dominio de una función ………………….4

1.5 El rango o recorrido de una función…………………….. 6

1.6 La gráfica o curva de una función….………………….. ..7

1.7 Definición de la gráfica de una función real …………… 7

1.8 Criterio geométrico para la gráfica de una función real .9

1.9 Problemas que inducen una función …………………..10

2 Ángulos

2.1 Definición…………………………………...................... 13

2.2 Medida de un ángulo.………………………………….. 14

2.3 Clasificación de los ángulos …………………………….16

2.4 Relaciones entre ángulos ……………………………….18

2.5 Ángulos alternos internos, ángulos alternos externos y ángulos

correspondientes……………………………………….. 19

2.6 Ejemplos de aplicación……………………................... 20

3 Vectores en R3

3.1 Definición………………………………………………… 24

3.2 Vectores equipolentes..……………………................ 26

3.3 Operaciones con vectores..…………………………..... 27

3.4 Combinación lineal……………………………………… 33

3.5 Vectores linealmente independientes y linealmente dependiente

……………..…………………………………………… 34

3.6 Base………………….………………………................. 35

4 Triángulos

4.1 Definición……………………………………................ 36

4.2 Suma de los ángulos internos de un triángulo……… 36

4.3 Clasificación de los triángulos según sus lados.…….. 37

4.4 Clasificación de los triángulos según sus ángulos internos

……………………………………………………………..38

4.5 Aplicación del Teorema de Pitágoras ………………….42

4.6 Ejercicios ………………………………………………….44

4.7 Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo… 45

4.8 Mediatrices, bisectrices, medianas y alturas de un

triángulo………………………………………………… 46

4.9 Congruencia entre triángulos………………………… 47

4.10 Criterios de congruencia de triángulos……………… 49

4.11 Ejercicios……………………………………………….. 50

5 Trigonometría

5.1 Definición…………………………………….. …………. 52

5.2 Razones trigonométricas de un ángulo agudo ………..52

5.3 Razones trigonométricas inversas ……………………..54

5.4 Razones trigonométricas para ángulos notables ……. 55

5.5 Identidades trigonométricas …………………………… 58

5.6 Fórmulas de razones trigonométricas ………………… 62

5.7 Razones trigonométricas para ángulos negativos …...68

5.8 Ejercicios …………………………………………………72

5.9 Ley de los cósenos...…………………………………….. 72

5.10 Teorema del Seno ……………………………………….. 74

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR

CICLO DE INICIACIÓN UNIVERSITARIA

SEDE DEL LITORAL

MATEMÁTICA III

1. DATOS GENERALES

Asignatura:

Matemáticas III

Código

FC-3001

Departamento:

Formación General y Ciencias Básicas

Unidades crédito: 3

Horas semanales: 4 Trimestre: Abril-Julio 2011

Autores: Andrés Hernández y José Viloria

2. INTRODUCCIÓN Y JUSTIFICACIÓN

El propósito del CIU, es ofrecer un programa de formación para el ingreso a

las carreras universitarias que se dictan en la Universidad Simón Bolívar, con el fin

de facilitar, enriquecer y consolidar los conocimientos y la formación integral de los

aspirantes a estas carreras.

El plan de estudio presenta una secuencia de contenidos orientados al

desarrollo y consolidación de estrategias para resolver problemas geométricos y

sobre trigonometría. En tal sentido, el curso de Matemáticas III cierra este ciclo de

formación.

Se trata de una asignatura teórico-práctica, orientada a consolidar los

contenidos programáticos, no estudiados o no consolidados en el bachillerato. En

esta etapa se espera afianzar esos contenidos para que el estudiante desarrolle

un pensamiento lógico formal en la resolución de problemas de estos tópicos.

3. PROPÓSITO

Consolidar en los estudiantes conocimientos básicos, destrezas y

habilidades matemáticas para el éxito en las carreras universitarias seleccionadas

y desarrollar en ellos una actitud positiva hacia el estudio y hacia su persona que

contribuya al fortalecimiento de un profesional integral con un alto compromiso

con el desarrollo del país.

4. OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Desarrollar el razonamiento abstracto y concreto de los estudiantes

garantizando la comprensión de los problemas referente a geometría y a

trigonometría, así como el planteamiento de sus soluciones.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

1. Definir conceptos necesarios para resolver los diferentes tipos de ejercicios.

2. Definición de funciones, dominio y rango.

3. Identificar los puntos de corte de una función.

4. Identificar los tipos de funciones.

5. Identificar y resolver problemas aplicando la definición de ángulos.

6. Realizar operaciones con vectores en el plano y en el espacio.

7. Resolver problemas en los cuales se utilicen relaciones entre los elementos

de un triángulo.

8. Reconocer y calcular diferentes formas de ecuaciones utilizadas en la

trigonometría.

9. Propiciar la participación en clases de los estudiantes para la resolución de

problemas.

5. CONTENIDO PROGRAMÁTICO

Capítulo 1

Existencia de función

Definición de función

Evaluación de función.

Obtención de dominio de una función.

El rango o recorrido de una función.

La gráfica o curva de una función.

Definición de la gráfica de una función.

Criterio geométrico para la gráfica de una función real.

Problemas que inducen a una función

Capítulo 2

Definición de ángulo.

Medida de un ángulo.

Clasificación de los ángulos.

Relaciones entre ángulos.

Ángulos alternos internos, ángulos alternos externos y ángulos

correspondientes

Capítulo 3

Definición de vectores.

Vectores equipolentes.

Operaciones con vectores.

Combinación lineal.

Vectores linealmente independiente y linealmente dependiente.

Base.

Capítulo 4

Definición de triángulo.

Suma de los ángulos de un triangulo.

Clasificación de los triángulos según sus lados.

Clasificación de los triángulos según sus ángulos internos

Aplicación del Teorema de Pitágoras.

Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo.

Mediatrices, bisectrices, medianas y alturas de un triángulo

Congruencias entre triángulos.

Criterios de congruencias

Capítulo 5

Definición de trigonométria.

Razones trigonométricas

Identidades trigonométricas.

Fórmulas para las razones trigonométricas.

Ley del coseno.

Teorema del Seno.

6. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE

Por parte del profesor:

Iniciar el desarrollo de la clase dando definiciones, y posteriormente

ejemplos que van desde lo más simple hasta lo más complejo.

Por medio de lluvias de ideas los estudiantes realizaran un resumen de la

clase anterior.

Consignarles a los estudiantes distintos tipos de ejercicios para resolver en

sus casas y después corregir esos ejercicios en el pizarrón, en la siguiente

clase.

Por parte de los alumnos:

Poner atención a la exposición dada por el docente sobre los contenidos

programáticos.

Participar activamente en clase a fin de aclarar cualquier duda que se le

presente.

Resolver ejercicios variados, aplicando la teoría vista en el aula de clases.

Prepararse para los exámenes parciales, resolviendo diversos ejercicios

dados por el profesor.

7. ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

El plan de Evaluación se organizara en la escala de 1 a 100 puntos. Se realizaran

tres evaluaciones departamentales durante el trimestre, en las semanas 4,8 y 11

con una ponderación de 30, 30 y 25 puntos, respectivamente y 15 puntos para

intervenciones y asistencia

Actividades Puntuación

1ª evaluación 30

2ª evaluación 30

3ª evaluación 30

Examen final 10

Total actividades 100

8. BIBLIOGRAFIA BÁSICA

Buron Orejas, Javier (1993). Enseñar a aprender: Introducción a la metacognición.

Bilbao: Ediciones mensajero

Hoffmann, Jorge G. (1998). Matemática. Caracas: Editorial Sphinx

Mendiola, Esteban. (1998). Matemática 7º. Caracas: Editorial Biosfera

Suárez Bracho, Estrella. (2002). Matemática 7º. Caracas: Editorial Santillana

Capítulo 1

Funciones

1.1 La existencia de funciones.

En nuestro entorno existen innumerables situaciones en las que un hecho depende de otro o de otros; esto conduce a un estado de “dependencia de”. También se interpreta como que un hecho está dado en función de otro(s). En aquellas situaciones en que una cantidad dependa de otra se les llama función. Así como ejemplo de situaciones que representan una función tenemos:

El costo de un pasaje en función de los kilómetros recorridos.

El recorrido de un vehiculo en función del tiempo.

El nivel de peligrosidad de una enfermedad en función del número de pacientes.

El cubo de un número real.

En vista de lo arraigado que está la noción de función a nuestra vida cotidiana tiene gran importancia su estudio, para así comprender las diferentes situaciones en las que esta se presenta. Comencemos por establecer la asignación de una letra que represente la regla que describe la función, por lo general se usan:

etchgf ,,, . Así por ejemplo diremos que la función f es la regla que asigna a

cada número real x el cubo de éste y lo expresaremos como:

3)( xxf

Esta expresión algebraica se le conoce como la generalización de la regla y se lee; “efe de equis es igual al cubo de equis”. De manera que, por ejemplo, para los

números reales: 21,3 y 5 se tiene que.

273.3.3)3()3( 3f .

8

1

2

1)()(

3

33

21

21f

1255.5.5)5()5( 3f

Y se interpreta que f relaciona a:

-3 con 27)3(f

21 con

8

1)( 2

1f

5 con 125)5(f

1.2 Definición de función. Una función f es toda regla que asigna a cada elemento Ax exactamente un

único elemento Bxf )( . Los conjuntos A y B son llamados partida y llegada,

respectivamente. Cada elemento x en el conjunto de partida A de una función f se le llama

preimagen (es considerado un valor independiente) y su correspondiente elemento

)(xf en el conjunto de llegada B será la imagen y es considerado un valor

dependiente y se escribe )(xfy . El dominio de la función f , representado

como )( fDom , será el conjunto formado por todas las preimagenes (un

subconjunto de A ) y el rango de la función f , que representamos como )( fRgo ,

será el conjunto formado por todas las imágenes (un subconjunto de B ).

Ejemplo

Se tiene la relación entre los conjuntos; el de unas personas (partida) y el de las edades (llegada)

Basándonos en ella nos preguntamos ¿Es ésta una función?. Argumente su respuesta. La relación dada en esta gráfica asigna a cada persona su edad, y se sabe que no existe persona alguna que tenga dos edades. Lo que nos dice que cada elemento en el conjunto de partida le corresponde uno y sólo un elemento en el conjunto de llegada y por tanto dicha relación si representa una función.

Estamos interesados en el estudio de funciones donde los conjuntos de partida y llegada son los números reales, las cuales llamamos funciones reales. Cuando decimos que f es una función real lo expresamos.

RRf : ó RR f

1.3 Evaluación de función. Al presentarse la necesidad de conocer, para una función real f, el valor de la correspondiente imagen de una preimagen dada a, se procede a sustituir el valor de la variable independiente x por ese valor a. y luego de efectuar las diferentes

operaciones obtenemos el valor de la imagen buscada )(af .

Ejemplo 1. Para 2)( xxf entonces para esta función se tiene que:

i) El dominio es:

RxDomfDom )()( 2

ii) Al evaluar )4(f , )53(f y )(23f

164)4(2

f

455.95.353)53(222

f 2

492

232

232

23

23 3..2)(f

iii) La preimagen de 3 (en esta parte argumente lo que sucede).

Este ejercicio plantea el problema de encontrar la preimagen x para que la correspondiente imagen sea 3, es decir que:

333)( 2 xxxf

Ya que 32x es una ecuación de segundo grado y por tanto tiene dos resultados. En el caso en que la preimagen sea un valor no numérico (alguna letra) o alfa numérico se procede a sustituir de igual manera como se plantea en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2. Para la función 325)( xxg evalúe o determine: )(mg , )( mg y

)( hmg .

Evaluando tenemos que:

333 25.25).(25)( mmmmg .

333 25.25).(25)( mmmmg . Ya que; 33 )).().(()( mmmmm 3).(25)( hmhmg .

En consecuencia de todo esto nos preguntamos ¿usando la evaluación podremos determinar el dominio de una función real? La respuesta es no ya que el dominio es un subconjunto de los números reales y por lo general éste contiene infinitas preimagenes. Para ello, como vemos a continuación, se estudia la regla dada por

)(xf .

1.4 Obtención del dominio de una función. Como una preimagen de una función real f se ha definido cada valor real

)( fDomx tal que esté relacionada con un solo valor real )(xf llamado imagen

de x. Esto quiere decir que el dominio de una función f está conformado por todo número real tal que Rxf )( . Caso contrario que )(mf no sea un número real

decimos que el número real m no es preimagen y por tanto no pertenece al dominio de f.

Ejemplo. Determine el dominio de las funciones: 2)( xxf , xxh )( y

23

2)(

xx

xxg .

i) La función cuadrática es la que asigna a cada número real el cuadrado

de éste y su regla es 2)( xxf , ella tiene dominio;

RxDomfDom )()( 2, ya que todo número real se puede elevar al

cuadrado.

ii) La función raíz cuadrada viene dada por la regla xxh )( . Esto nos

dice que la imagen de cada preimagen a será el número real no

negativo a , pero esto será posible siempre que a no sea un número

real negativo es decir que el dominio de esta función está formado por todos los números reales positivos y por el cero.

0)()( RxDomfDom

iii) Para la función 23

2)(

xx

xxg se tiene que, por estar definido como un

cociente, )(xg será un valor real siempre que su denominador no se

haga cero, es decir;

3,003/3

2)( 2

2RxxRx

xx

xDomgDom

Ya que 03.03 2 xxxx siempre que x no sea 3 ni 0.

Por lo general una función viene dada mediante una regla muy complicada y es por ello que para obtener el dominio de una función se requiere de un conocimiento mas profundo sobre funciones reales que en cursos mas avanzados veremos.

Ejercicios.

1-. Para la función x

xxxf

2

)( . Determine )(23f , )1( mf y )3(f .

2-. Sabiendo que 32)( xxh , encuentre en cada caso el valor de a tal que:

i) 1)(ah ; ii) 25)(ah ; iii) 0)1( ah

iv) 0)(ah ; v) 2)(2

32ah ; vi) 1)1( ah

3-. En cada gráfica indique si la relación f representa una función, de no serlo justifique por qué y de serlo determine para cada preimagen su correspondiente imagen. i) ii)

iii) iv)

4-. Plantee una situación de su vida cotidiana que represente una función y otra que no. 5-. Determine el dominio de las funciones definidas por las fórmulas siguientes:

a) 12)( xxf e) 9)( 2xxh i) 3

)(y

yyT

b) 2

1)(

2uug f) 3)( xxf j)

9)(

2x

xxL

c) 1

)(4x

xxT g)

ttg

5

1)( k) 22

1

1)( x

xxh

d) xxf 3)( h) cbx

axxU )(

1.5 El rango o recorrido de una función

Como hemos visto, al evaluar un valor en una función real no sólo determinamos si éste es preimagen sino que en el caso que lo sea, el valor real que se obtiene es su correspondiente imagen. Definición. Lamamos rango (o recorrido) de una función real f al subconjunto de R formado por todas las imágenes. Este conjunto está representado como Rgo(f). El rango de una función real no es tan fácil de obtener. Más aún, no a cualquier función real se le puede determinar su rango.

1.6 La gráfica ó curva de una función. Una función puede visualizarse mediante la gráfica que ésta tiene. La gráfica de una función f siempre será la representación geométrica (lugar geométrico) de todos los puntos en el Plano Cartesiano dado por cada par ordenado yxP , donde

x es cada preimagen y el valor )(xfy es la correspondiente única imagen.

Cuando el dominio de la función f es un conjunto que puede numerarse (pueda que tenga infinitos elementos) la gráfica será un conjunto de puntos separados y si

f es una función real (su dominio no puede numerarse) la gráfica asociada es una curva. ▪ f ▪ ▪ f ▪ ▪ a1 a2 a3 a4 a5 a6 a b ▪ Con todo esto decimos que todo punto P que pertenezca a la curva de una función f es el par ordenado dado por:

imagen ,preimagen P

1.7 Definición de la gráfica de una función real. Para una función RRf : su gráfica o curva es el lugar geométrico en el plano

formado por todos los puntos )(, xfx , es decir la representación geométrica del

conjunto.

)(/, 2 xfyRyx

Si en particular )(xf es un polinomio de primer grado, es decir que

bxmxf .)( entonces la gráfica de f es una recta ya que su curva es

bxmy . y se le llama función lineal. Y la gráfica será una parábola si la

función está dada por un polinomio de segundo grado.

Gráfica de función f con dominio

numerable 654321 a,a,a,a,a,a

Gráfica de función f con dominio no

numerable dado por el intervalo ba,

Ejemplo 1. Para la función 12)( xxf su gráfica es la recta formada por todos

los puntos yx, donde 12xy . Y en vista de que para representar una recta

sólo necesitamos dos puntos de ella, entonces para:

12xy

3

1P

-2 -1 1 -3

2P

Ejemplo 2. La gráfica de la función 23)( xxxg es la parábola formada por

todos los puntos yx, donde 23 xxy . Para representarla necesitamos mas de

dos puntos de ella (se suelen representar almenos 5 puntos de ésta) entonces para:

2 23 xxy

-4

x 23)( xxxgy (x,y)

-1 413)1()1(3 2y

4,1

0 000)0()0(3 2y 0,0

3 099)3()3(3 2y 0,3

1 213)1()1(3 2y 2,1

2 246)2()2(3 2y 2,2

Si 1x

Evaluando.

3121)1.(2)1(fy

Y el punto es 3,11P

Si 2x

Evaluando.

3141)2.(2)2(fy

Y el punto es 3,22P

1 2 3

-1

Otras funciones cuya gráfica tiene curva predeterminada son entre otras: k

Cúbica 3xy Constante ky Raíz Cuadrada xy

Es importante establecer la importancia de conocer la gráfica de una función ya que visualmente podemos analizar el comportamiento de la situación que ésta describe. Por otra parte es responsabilidad de los autores informar que existen funciones reales mucho más “complejas” y por ende su gráfica no es fácil de determinar, es por ello que se requieren nociones y técnicas más avanzadas que se verán en cursos posteriores.

1.8 Criterio geométrico para la gráfica de una función real. Observe que la curva de una función real f JAMÁS podría ser cortada (intersectada) en mas de un punto por recta vertical alguna. Es por ello que afirmamos que

A B Usando el anterior criterio geométrico la de la izquierda no es la curva de una función pero la ubicada en la derecha si es la curva de una función. En efecto, en la curva de la izquierda el 0 le corresponderían dos valores; tanto A como B y esto no ocurre en ninguna función ya que por definición una función es aquella que siempre hace corresponder una preimagen con una sóla imagen.

En virtud de este criterio visual aseguramos por ejemplo que una circunferencia no es la curva de una función. Tampoco una elipse.

1.9 Problemas que inducen una función. En todas las actividades del hombre se presentan situaciones en que se registran valores y éstas modelan una función. Llamamos esto problemas relativos a funciones y le aplicamos los diferentes términos y estudio que acá hemos dado; como lo es: el domino, el rango, la gráfica y las evaluaciones. En esta parte se pretende plantear algunos de estos problemas. Problema 1. En un laboratorio se cultivan bacterias y se cuenta el número de ellas que diariamente se genera. Se quiere analizar los registros de una semana tomada al azar donde se obtuvo:

Día Nº de Bacterias(mil)

Lunes 103

Martes 206

Miércoles 812

Jueves 824

Viernes 348

Sábado 996

Domingo 592

Esta actividad representa una función (representémosla como f) ya que no existen dos o más registros para un mismo día. Llamando los conjuntos de partida y llegada por D y NB respectivamente, entonces tenemos.

NBDf :

Es claro que el dominio es el mismo conjunto de partida y el de llegada es

996 824, 812, 592, 348, 206, 103,NB

La gráfica de esta función es: 996 ▪ 824 ▪ 812 ▪ 592 ▪ 348 ▪ 206 ▪ 103 ▪ Lun Mar Mier Jue Vie Sáb Dom La altura mayor es 996 y se alcanza en la preimagen “Sábado” es decir que;

996Sábadof

Lo que nos dice visualmente que la mayor producción de bacterias se obtuvo el sábado y el lunes la menor (103).

Ejercicios de problemas.

1. En una competencia atlética se lanza un disco cuya altura alcanzada está

determinada en metros por la función: 232 245 tttf . Calcule la altura que

alcanza el disco a los 3 segundos de ser lanzado.

2. En una empresa de publicidad se estima que el numero h de personas

informadas, después de t semanas de haber lanzado un comercial por televisión,

esta dado por t

th

2

5

23

25)(

a. ¿Cuántas personas se habrán informado después de 3 semanas? b. Si se informó a 520.000 personas, ¿Cuántas semanas transcurrieron

después del lanzamiento del comercial?

3. Una sola bacteria del cólera se divide cada media hora para producir dos

bacterias íntegras del cólera. Si empezamos con una colonia de 5000 bacterias,

al cabo de t horas tendremos ttC 22.5000 bacterias. ¿Cuánto tiempo se

necesitará para que C sea 1.000.000?

4. Suponga que el costo total de fabricar n unidades de un mismo producto está

dado por 325 2 nnnC . Determine:

i) El costo de fabricar 12 productos.

ii) El costo de fabricar el décimo producto.

Capítulo 2

ÁNGULOS

2.1 Definición

Un ángulo es la porción del plano encontrada entre dos segmentos de rectas (ó

semi-rectas) que se cortan en un punto llamado vértice del ángulo.

Donde una semi-recta es la parte de una recta formada por el conjunto de todos

los puntos de la recta que se ubican hacia un lado de un punto fijo perteneciente a

la misma recta (que denominaremos origen).

Una semi-recta.

A

Sentido de un ángulo.

Si la rotación es en el sentido contrario a las manecillas del reloj, se considera

positivo al ángulo, y si la rotación es en el sentido de las manecillas, se considera

que el ángulo es negativo.

ángulo

vértice

2.2 Medida de un ángulo.

Los ángulos se miden en:

Grados sexagesimales.

Al dividir una circunferencia en 360 partes iguales llamamos un grado sexagesimal

a cada una de estas partes. En consecuencia decimos que recorrer una

circunferencia equivale a girar 360º sexagesimales.

Radianes.

Al considerar la fórmula de longitud de cualquier una circunferencia, ésta es:

rLc ..2 Donde r es el radio.

Como el ángulo es el mismo, independientemente del radio, podemos considerar

la circunferencia de radio 1 y por tanto se tiene que ésta tiene longitud .2Lc .

Luego se tiene que al girar en sentido positivo toda una circunferencia se ha

recorrido una longitud de .2 y equivalentemente se ha girado 360º

sexagesimales, lo que nos plantea una relación entre estas dos medidas.

º180

º360.2

La medida del ángulo a lo largo de su arco la llamamos radianes.

Sentido negativo Sentido positivo

Es por ello que afirmamos que; “ rad 1 equivale (a menudo se dice que es igual) a

180º ”.

Ejemplos. a) Los ángulos: 30º y 125º medidos en radianes equivalen a:

Para 30º.

º30

º180

x 65.3.3.2.2

.5.3.2

180

.30

º180

º.30x

Para 125º.

º125

º180

x 36

25

5.3.3.2.2

.5.5.5

º180

º.125x

b) Los ángulos: 3

y 4

5 medidos en grados sexagesimal equivalen a:

Para 3

3

180

x 60.60

180.3x

Para 4

5

4

5

180

x 225.225

180.4

5

x

Gdos Sexag Radianes

2.3 Clasificación de los ángulos.

Según la medida de un ángulo éste puede clasificarse en:

Un ángulo llano es el que mide la mitad de un giro completo; es decir, 180º ó

radianes.( Ver figura)

Figura. Representación gráfica de un ángulo llano.

La mitad de un ángulo llano es un ángulo recto y mide 90º ó 2 radianes. (Ver

figura)

Figura. Representación gráfica de un ángulo recto.

Un ángulo de medida menor que la del ángulo recto (90º), se llama ángulo agudo;

es decir, si es el ángulo, entonces 900 .(Ver figura)

Figura. Representación gráfica de un ángulo agudo.

Un ángulo cuya medida está comprendida entre 90º y 180º

se llama ángulo

obtuso; es decir, si es un ángulo obtuso entonces 18090 .(Ver figura).

Figura. Representación gráfica de un ángulo obtuso.

2.4 Relaciones entre ángulos

Dos ángulos son adyacentes si el lado final de uno es el lado inicial del otro.

Los ángulos ba0̂ y cb0̂ son adyacentes. El lado final de ba0̂ es la semi-recta Ob y

coincide con el lado inicial de cb0̂ .

Dos ángulos adyacentes cuya suma es 180º ó radianes, se les llama ángulos

suplementarios.

Dos ángulos adyacentes cuya suma es 90º ó

2 radianes se les llaman ángulos

complementarios.

Dos ángulos se llaman opuestos por el vértice si los lados de uno son

prolongación de los lados del otro.

ba0̂ y `0̀̂ba son opuestos por el

vértice.

ab 0̀̂ y ba 0̀̂ también son ángulos

opuestos por el vértice.

Como ba0̂ + `0̂ab = 180º y `0̂ab + `0̀̂ba = 180º tenemos que:

ba0̂ + `0̂ab = `0̂ab + `0̀̂ba .

Por lo tanto: ba0̂ = `0̀̂ba , entonces los ángulos opuestos por el vértice tienen

iguale medida. Para decir que dos ángulos y son opuestos por el vértice se

usa la expresión OPV .

2.5 Ángulos alternos internos, ángulos alternos externos y ángulos

correspondientes.

Dadas dos rectas paralelas, l1 y l2, cortadas por una recta secante “d", se forman

ocho ángulos indicados en la siguiente figura:

2.6 Ejemplos de aplicación

Ejercicios

1. Dadas las siguientes medidas de ángulos en grados sexagesimal, hallar

sus equivalentes en radianes:

a) 30º e) 120º

b) 60º f ) 180º

c) 45º g) 270º

d) 90º h) 390º

2. Dadas las siguientes medidas en radianes, halle sus equivalentes en grados

sexagesimales:

a)

b) 1 radián d) /12 radianes

c) 3 /2 radianes e) 2 radianes

d) /6 radianes f) ½ radianes

3. Encuentre, en cada caso, el ángulo complementario al ángulo dado:

a) 27º b) /3 c) 80º d) /4

4. Encuentre, en cada caso, el ángulo suplementario al ángulo dado:

a) 32º b) /6 c) 120º d) 3/4

5. Dada la figura, encuentre los valores de los ángulos:

6. Dada la figura:

Encuentre los valores de los ángulos.

7. En la figura:

AB = AC, x =?

8. Dada la figura:

Donde = 60º ¿Cuánto mide cada ángulo? (Justifique su respuesta)

9. En la siguiente figura las rectas m y n son paralelas (m||n) y el ángulo 1 = 65º.

¿Cuánto miden los ángulos 8,7,6,5,4,3,2,1 ?

Considerando esta misma figura, ¿Podríamos afirmar que los pares de ángulos 3

y 72,8 y son suplementarios? Argumente su respuesta.

Capítulo 3

Vectores

3.1 Definición.

Un vector nv

es n -upla n números reales, es decir el vector se puede escribir

de la siguiente manera: naaaav ,...,,, 321

, donde cada ia con ni ,...,3,2,1

Cada ia con ni ,...,3,2,1 , se llaman componente del vector.

Para este curso se va a trabajar con los espacios 2 (Bidimensional) y 3 (Tridimensional), es decir; cuando 2n ó 3n

Para 2n

Un vector 2v

,es un par ordenado aa yx , , con aa yx , , donde ax representa

la componente x e ay representa la componente y del vector. (Ver figura 1)

Eje y

ay

v

Eje x

ax

Figura 1.Representación gráfica de un vector en 2

Para 3n

Un vector 3v

, es una terna aaa zyx ,, , con aaa zyx ,, , donde ax representa

la componente x , ay representa la componente y y az representa la componente

z del vector (Ver figura 2).

Figura 2. Representación gráfica de un vector en 3

Vector fijo.

Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al

punto B (extremo), en el que hay que distinguir tres características:

dirección: la de la recta que lo contiene sentido: el que va de su origen a su extremo, marcado por una punta de

flecha módulo: la longitud del segmento

Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas AB , que

indica su origen y extremo respectivamente se hallan de la siguiente manera:

Para 2n sean los puntos aa yxA , y bb yxB , , entonces las componentes de

bbab yyxxAB ,2

Para 3n sean los puntos aaa zyxA ,, y bbb zyxB ,, , entonces las componentes

de

ababab zzyyxxAB ,,

Ejemplos. Hallar las componentes de los vectores fijos en los siguientes puntos

a) 3,2P y 1,4A

4,631,2431),2(4PA

b) 2

1,3,1Q y 3,1,4R

2

7,4,5

2

13,31,14

2

13,31),1(4QR

Vector libre se caracteriza porque su punto origen es el 0,0 (para n=2) ó 0,0,0

(para n=3) y el extremo tiene como coordenadas las mismas componentes de éste. Un vector libre no se altera al trasladarlo paralelamente a sí mismo, o de otra manera, puede representarse por cualquier vector equipolente. Denotamos

cualquier vector libre mediante una letra minúscula, como: v

, u , w , etc.

3.2 Vectores equipolentes. Dos o más vectores son equipolentes si siendo paralelos, tienen el mismo sentido y la misma longitud o módulo. Todos los vectores que son equipolentes tienen las mismas componentes, o de otra manera, dadas las componentes de un vector, dichas componentes son las componentes de todos los vectores paralelos del mismo sentido y longitud que el vector dado.

Geométricamente si dos vectores a

y b

equipolentes se expresa ba

.

1L

A BA 2L

F EF B

E D CD

w

C

Figura 3. Vectores Equipolentes.

Son equipolentes los vectores fijos: CDBA, y EF y el vector libre w

.

Un vector es nulo cuando el punto de origen A , coinciden con el punto de extremo B , es decir, que las componentes del vector fijo son nulas (0).

Para 2n

El vector nulo es: 0,00

Para 3n

El vector nulo es: 0,0,00

3.3) Operaciones con vectores

1) Adición: Dados dos vectores nba

, , cuyas componentes son

naaaaa ,...,,, 321

y nbbbbb ,...,,, 321

, se define la adición a

con b

y se

anota ba

al vector cuyas componentes son las sumas de las

componentes de dichos vectores

nn

nnnn

bababababa

bababababbbbaaaaba

,...,,,

,...,,,,...,,,,...,,,

332211

332211321321

Para 2n

Dados los vectores aa yxa ,

y bb yxb ,

, entonces:

bababababbaa yyxxbayyxxyxyxba ,,,,

Para 3n

Dados los vectores aaa zyxa ,,

y bbb zyxb ,,

, entonces:

bababababababbbaaa zzyyxxbazzyyxxzyxzyxba ,,,,,,,,

Ejemplos. Dados los vectores 3,2a

, 1,5b

, 2,1,4c

y 5,1,3d

i) 2,313,521,53,2ba

ii) 3,0,752,11,345,1,32,1,4dc

iii) 5,1,33,2da

(No se puede resolver ya que para que se

cumpla la adición los vectores deben pertenecer al mismo espacio)

Propiedades de la adición de vectores

a) Conmutativa. Si nba

, entonces abba

b) Asociativa. Si ncba

,, entonces cbacba

c) Elemento Neutro. Si na 0,

entonces aaa

00

d) Elemento opuesto. Si naaaaa ,...,,, 321

y naaaaa ,...,,, 321

entonces 0

aaaa , al vector a

se denomina vector opuesto

de a

.

Figura 4. Representación geométrica de la adición de dos vectores

Ahora la diferencia entre dos vectores se puede ver como la adición de a

con

el opuesto de b

(teniendo en cuenta que las componentes de un vector opuesto tiene sus mismas componentes pero con signo contrario), entonces:

baba

(Ver figura 5 )

a

b

b

a

ba

Figura 5. Representación gráfica de ba

Ejemplos. Dados los vectores 3,2a

, 1,5b

, 2,1,4c

y 5,1,3d

i) 4,8

4,831,353,21,5

ab

abab

ii) 7,2,1

7,2,152,11,345,1,32,1,4

dc

dc

2) Producto de un número real por un vector. Dado un vector na

y un

número real k denominamos producto de dicho número por el vector a

a otro

vector cuyas componentes se obtienen multiplicando las componentes del

vector dado por el número real.

nn akakakakaaaakak .,...,.,.,.,...,,,.. 321321

Ejemplos.

Dados los vectores 3,2a

, 2,3,7b

y 1,2,0,4c

i) 6,432,2.23,22.2 a

ii) 6,9,212.3,3.3,7.32,3,7.3.3 b

iii) 2

3,3,0,61.

2

3,2.

2

3,0.

2

3,4.

2

31,2,0,4

2

3.

2

3d

Geométricamente el vector ak

. es un vector paralelo al vector a

; de mayor

tamaño que éste si 1k ó 1k y en el caso en que 1,1k el vector ak

.

tiene menor tamaño que a

.

Para 1k .

Figura 6. Representación gráfica del producto de un número real por un

vector.

Propiedades del Producto de un número por un vector.

Para todo pk, y nba

, se cumple.

a) bkakbak

...

b) Los vectores a

y ak

. son paralelos si 0a

y 0k .

c) akapakp

...

d) akpakp

....

3) Magnitud o Norma de un vector

Sea nv

, y naaaav ,...,,, 321

se define la magnitud o norma de un vector ( v

),

como un número real no negativo que se obtiene calculando la raíz cuadrada de la suma de las componentes al cuadrado, es decir;

22

3

2

2

2

1 ... naaaav

Para 2n

Sea aa yxa ,

, entonces 22

aa yxa

Para 3n

Sea aaa zyxa ,,

, entonces 222

aaa zyxa

Ejemplos. Hallar las normas de los siguientes vectores

a) 3,2a

1313943222

aa

b) 2,4,1h

21214161241222

hh

Propiedades

a) La norma de un vector siempre es un número no negativo. Cuando el vector

es nulo su norma es cero.

Si na

, entonces 0a

y cuando 00 aa

b) La norma de un vector que está multiplicado por un número real es igual al

valor absoluto del número real por la norma de éste.

Si na

y k , entonces akak

..

c) La norma de una suma de vectores es menor ó igual que la suma de las

normas de cada sumando.

Si nba

, , entonces baba

Un vector se llama unitario cuando su norma es igual a 1; es decir, sea nv

, tal

que; 1...22

3

2

2

2

1 naaaav

, entonces v

es unitario.

En 2 existen infinitos vectores unitarios y entre ellos están los llamados vectores

canónicos; 0,1ˆ i y 1,0ˆ j .

Análogamente para 3 se tiene que:

0,0,1ˆ i ; 0,1,0ˆ j y 1,0,0ˆ k

Ejemplos. Para cada vector diga si es unitario.

Sea 2

1,

2

1a

, 3,1b

, 2,4,1j

, 0,1,0m

112

2

2

1

2

1

2

1

2

122

a

, entonces a

es unitario

10913122

b

, entonces b

no es unitario

214161241222

j

, entonces j

no es unitario

11010010222

m

, entonces m

es unitario.

4) Producto escalar de dos vectores ( ba

. ). Dados los vectores nba

, , se

define el producto escalar de estos vectores como el número real que se

obtiene de la siguiente manera

Para 2n

Sean aa yxa ,

y bb yxb ,

, entonces baba yyxxba ...

nnnn bababababbbbaaaaba .......,...,,,.,...,,,. 332211321321

Para 3n

Sean aaa zyxa ,,

y bbb zyxb ,,

, entonces bababa zzyyxxba ....

Ejemplos. Calcular el producto escalar de cada uno de los siguientes pares de vectores:

a) 3,2a

y 32,1b

022.31.2,1.3,2.32

32ba

0.ba

b) 3,1,2d

y 3

1,2,4h

91283

1.32.14.2

3

1,2,4.3,1,2.hd

9.hd

Propiedades del producto escalar

a) Si nba

, , entonces abba

..

b) Si ncba

,, ,entonces cabacba

...

c) Si p y nba

, , entonces bpabapbap

......

d) Si na

, entonces 0.2

aaa

También, si se conoce el ángulo entre los vectores a

y b

el producto escalar se puede definir como:

cos... baba

Cuando los vectores a

y b

son perpendiculares (ortogonales) se tiene que

902

, entonces 0)º90cos()cos( , lo que trae como consecuencia que

0.ba

, es decir, que nba

, son ortogonales si y solo si su producto escalar

( 0.ba

) es nulo.

0.ba

ba

, son ortogonales ( ba

)

En el ejemplo anterior (a) son ortogonales los vectores 3,2a

y 32,1b

.

3.4 Combinación lineal

Definición: Un vector n se dice combinación lineal de r vectores

n

rvvvv ,...,,, 321 , si existen r escalares rkkkk ,...,,, 321 tales que:

rr vkvkvkvk ....... 332211

v

w

u

Ejemplos. Sean los vectores 1,2,0,1,2,1 ba

y 2,0,1c

. Calcular las

componentes de los siguientes vectores:

a) cbad

2

221,042,1012,0,12,4,01,2,12,0,11,2,021,2,1d

5,2,2d

b) 24

3 cbae

114

3,2

2

3,

2

10

4

3

1,0,2

11,2,0

4

3,

2

3,

4

32,0,1

2

11,2,01,2,1

4

3

o

e

4

11,

2

1,

4

5e

En estos dos ejemplos se evidencia que los vectores d

y e

están expresados

como combinación lineal de los vectores a

, b

y c

Ejemplos. ¿El vector 1,2z

, puede expresarse como combinación lineal de los

vectores 2,3w

y 4,1y

?

Esto es cierto en la medida que existan escalares a y b tales que: ybwaz ..

.

En efecto;

Figura 7. Representación gráfica del vector w

,

donde uvw

23

baba

bbaa

ba

42,31,2

4,2,31,2

4,12,31,2

Entonces de aquí se plantea el siguiente sistema: ba

ba

421

32, que tiene

solución única; 2

1a y

2

1b .

3.5) Vectores linealmente independientes.

En n un conjunto de nr vectores (distintos del nulo) se dicen que son

linealmente independientes si al expresar el vector nulo como combinación lineal de éstos, la única solución de los escalares es la trivial. Es decir que para;

0....... 332211

rr vkvkvkvk , tenemos que sólo; 0...21 rkkk

Ejemplo: Los siguientes vectores son linealmente independientes; 2,3w

y

4,1y

.

En efecto;

Para, 0..

yw se tiene que:

014 0

1260

260

420

30

3

2

420

30

Y como;

03030

Luego 2,3w

y 4,1y

son dos vectores linealmente independientes.

En caso que no todos éstos escalares sean cero decimos que los r vectores son linealmente dependientes. Una propiedad para vectores del plano es que dos vectores son linealmente

dependientes si y sólo si sus componentes son proporcionales; es decir para 0a

y k con 0k , si akb

. entonces tenemos que

akakaakaba

..........0

Y se cumple que; kk .0.

3.6) Base

Definición: En n una base es un conjunto de n vectores linealmente independientes.

En n existen muchas bases. Así por ejemplo se tiene para 2 que dos bases 1B

y 2B son:

1,3 ; 1, 221

11 vvB y 1,0ˆ ; 0,1ˆ 2 jiB

Capítulo 4

TRIÁNGULOS

4.1 Definición

Tres puntos no alineados de un plano, A;B y C determinan el triángulo ABC .

Todo triángulo tiene:

* 3 vértices, los puntos A, B y C.

* 3 lados, los segmentos ____

AB , ____

BC

y ____

AC .

* 3 ángulos interiores ó internos:

4.2 Suma de los ángulos internos de un triángulo

Un resultado importante sobre los tres ángulos internos de un triángulo cualquiera es el siguiente.

Demostración: Prolongamos el segmento BC y trazamos por C una paralela al

segmento BA

4.3 Clasificación de los triángulos según sus lados

Según la medida de sus lados:

x

x

x

y

Un triángulo es isósceles si tiene

dos lados iguales, AB = AC. Los

ángulos y opuestos a los

lados iguales, son iguales

Un triángulo es equilátero si

tiene sus tres lados iguales. En

este caso sus tres ángulos son

iguales.

Proposición: La suma de los

ángulos interiores de un

triángulo es un ángulo llano, 180º.

A

C

B

Entonces se tiene que el ángulo:

º180ˆ xyACB

Y como miden igual los ángulos x y CBA

por ser correspondientes.

También miden igual los ángulos y y CAB

por ser alternos internos. Lo que nos dice

que:

CBACABACBxyACB

ˆˆº180

4.4 Clasificación de los triángulos según sus

ángulos internos.

Según la medida de sus ángulos internos:

Un triángulo es acutángulo si sus tres ángulos son agudos, es decir que cada uno

mide menos de 2

º90 .

Un triángulo es obtusángulo si uno de sus tres ángulos es obtuso, es decir que

tiene un ángulo interno que mide más de 2

º90 .

El triángulo ABC es obtusángulo ya que º180CBA

.

A

B

C

Un triángulo es escaleno si

tiene sus tres lados distintos.

Un triángulo es rectángulo si uno de

sus ángulos internos es recto, es

decir que mide igual a 2

º90 .

Pitágoras, sabio griego que vivió 500 años antes de Cristo, observó que si tres

cuadrados de lado a, b y c se pueden colocar de forma que estos lados formen un

triángulo rectángulo entonces hay uno de ellos cuya área resulta la suma de las

áreas de los otros dos.

Además se tiene que dado el triángulo rectángulo ABC .

El lado mayor se conoce como hipotenusa ( c ) y los otros dos lados como

catetos ( a y b ). Y se tiene el siguiente resultado conocido como el teorema de

Pitágoras.

“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual

a la suma de los cuadrados de la longitud de los catetos".

Y en el anterior triángulo se cumple que:

222 bac

Nota: Observe que esta expresión cambia en la medida que llamemos distinto los

lados del triángulo rectángulo.

De la anterior igualdad se desprende que:

Así por ejemplo se tienen los cuadrados de lados 3, 4 y 5 unidades de longitud:

Ejemplo 1. En el siguiente triangulo rectángulo halle el valor de a .

Ejemplo 2. En el siguiente triangulo rectángulo halle el valor de m .

4 m5

1

a 34

5

Donde la hipotenusa es 5b (el

lado más largo) y los catetos son

3c y 4a .

Entonces se cumple que:

222 acb

En efecto

222 435

16925

Acá se tiene que:

La hipotenusa es 34 y los catetos

son a y 5.

Entonces

222

534 a

22

534a

2548253.16a

23a

Acá se tiene que: La hipotenusa es 05 m y los

catetos son 4 y 1. Entonces

222145 m

116.5.2522

mm

171025 2mm

08102 mm

En vista de que se ha llegado a una ecuación de 2do grado se tiene aplicando

resolvente que:

a

cabbm

.2

..422

donde

8

10

1

c

b

a

Luego

1,452

685

2

6810

2

3210010

1.2

8.1.410102

m

Luego de estos dos resultados sólo 9,01,452

685m . Ya que éste valor

cumple que 05 m .

Ejemplo 3. Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo en base a los

siguientes datos:

Los catetos miden a = 20cm y b = 15cm.

La hipotenusa del triángulo mide 25cm.

Ejemplo 4. Calcula los catetos (a ò b) en los siguientes triángulos rectángulos:

i) c = 15cm; a = 12cm; b =?

ii)c = 169cm; b = 65cm; a = ?

Solución:

9811442251215)2222 acbi

b= 9cm

1562433665169)2222 bcii

a= 156cm

4.5 Aplicación del Teorema de Pitágoras

Aplicamos el teorema de Pitágoras para obtener la medida del lado de un triángulo

rectángulo o calcular el perímetro del cuadrado inscrito en una circunferencia.

Ejemplo 1: Calculemos el valor de x aplicando el teorema de Pitágoras:

Tomamos el valor positivo x = 3 para determinar las medidas de los lados.

a = x + 2 a = 3 + 2 = 5 a = 5

b = x +1 b = 3 + 1 = 4 b = 4

c = x c = 3

Ejemplo 2: Calcular el perímetro del cuadrado inscrito en una circunferencia de

radio cmr 25

(x + 2)2 = x

2 + (x + 1)

2

x2 + 4x + 4 = x

2 + x

2 + 2x + 1

X2 – 2x – 3 = 0

(x – 3)(x +1) = 0

a) x – 3 = 0 x = 3

b) x + 1 = 0 x = - 1

Como el radio r es la medida de

los catetos, formamos el triángulo

AOB. La hipotenusa del triángulo

AOB coincide con la longitud del

lado AB del cuadrado.

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

cmAB

cmAB

cmAB

ABrAB

rrAB

10

100

100

2522

2

22

222

2

222

Luego, el perímetro es el siguiente:

P = 4 AB = 4(10cm)

P = 40cm

4.6 Ejercicios

1. Calcula la diagonal de un cuadrado de lado 7 cm.

2. Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado 8 cm.

3. Una persona camina 10 Km hacia el Norte, luego 2 Km hacia el Oeste y

después 2 Km hacia el Sur, ¿a qué distancia está el punto de partida?

4. En un triángulo rectángulo, un cateto es igual a 3/4 del otro cateto y la suma de

ambos es 14 cm. Calcula la longitud de cada uno de los catetos y de la

hipotenusa.

5. En un triángulo isósceles la base mide 24 cm y el perímetro 50 cm. Calcula el

área del triángulo.

6. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado que tiene la misma área que un

rectángulo de lados 9 cm y 4 cm?

7. Un poste de 2 m da una sombra de 3 m. ¿Cuál será la altura de otro poste que

en el mismo instante da una sombra de 4,5 m ?

8. Halla la medida de la hipotenusa AB en el siguiente triángulo rectángulo:

4.7 Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo

Dado un segmento ____

XY , llamamos

Mediatriz a la recta m perpendicular al

segmento en su punto medio M.

Se prueba que para todo punto P perteneciente a m, se cumple PX = PY. Además

si un punto Z del plano es tal que ZX = ZY, entonces Z debe estar sobre la

mediatriz del segmento XY.

4.8 Mediatrices, bisectrices, medianas y alturas de un

Triángulo

Llamamos mediatriz de un triángulo a

la mediatriz de un lado. Un triángulo

tiene tres mediatrices. Se prueba que las

tres mediatrices son concurrentes en

un punto 0, que puede ser interior,

exterior o estar sobre un lado del

triángulo.

Llamamos bisectrices de un triángulo

a las 3 bisectrices de cada uno de sus

ángulos. Las tres bisectrices son

Concurrentes en un punto I, que

siempre es interior al triángulo.

Si el triángulo ABC es rectángulo en A el ortocentro coincide con A.

Llamamos mediana de un triángulo al

Segmento que une un vértice al punto

medio del lado opuesto. Se demuestra

que las tres medianas de un triángulo

concurren en un punto interior al

triángulo, G, llamado baricentro.

El segmento perpendicular trazado

desde un vértice al lado opuesto se

llama altura del triángulo. Si el

triángulo es acutángulo, como el de

la figura, las tres alturas se cortan en

un punto interior al triángulo, H,

llamado ortocentro.

Si el triángulo ABC tiene un ángulo

obtuso

, H es exterior al triángulo.

4.9 Congruencia entre triángulos Triángulos congruentes:

Puede ocurrir que dos triángulos tengan igual “tamaño” o área, pero no

necesariamente la misma forma, como lo muestra la siguiente figura:

También puede ocurrir que los triángulos tengan la misma forma pero no el

mismo tamaño. Por ejemplo:

Estos triángulos son rectángulos isósceles pero tienen tamaño o área diferente.

Los triángulos de la siguiente figura tienen el mismo tamaño y la misma forma:

Si se calca uno de estos triángulos y se superpone sobre el otro, coincidirían

exactamente. Se dice que los triángulos ABC y A´ B´C´ son congruentes. Puede

ocurrir también que

4.10 Criterios de congruencia de triángulos

a) Primer criterio de congruencia: Dos triángulos son congruentes si sus tres

lados homólogos son congruentes.

Ejemplo: En el cuadrilátero que veremos a continuación, los triángulos ∆abc y

∆adc son congruentes porque sus lados homólogos también lo son:

En este caso, el lado ac es común para ambos triángulos.

A

B C

A´

B´ C´

b) Segundo criterio de congruencia: Dos triángulos son congruentes si tienen

dos de sus lados homólogos congruentes y el ángulo comprendido entre los

mismos.

c) Tercer criterio de congruencia: Dos triángulos son congruentes si tienen uno

de sus lados homólogos congruente y los dos ángulos adyacentes a dicho lado.

4.11 Ejercicios

1. ¿Consideras que todo triángulo isósceles es también un triángulo equilátero?

Justifica tu respuesta.

2. ¿Cuántas losas se necesitan para pavimentar una sala de 36m2 de área, con

losas triangulares de 20 cm de base y 12 cm de altura?

3. Sabiendo que el perímetro de un triángulo no es más que la suma de sus lados,

¿cuál sería el perímetro de un triángulo isósceles si uno de sus lados iguales mide

6cm y el otro lado mide 8cm?

4. Si el perímetro de un triángulo equilátero es de 21m, ¿cuánto miden los lados

del triángulo?

5. Calcula las coordenadas del vértice A, sabiendo que ∆ABC es isósceles de área 12cm2.

6. ¿Cuántos triángulos hay en la figura? 7. Demostrar, usando los criterios de congruencia de triángulos, que ∆abd y ∆bcd

son congruentes.

8. Según cuál de los criterios de congruencia de triángulos afirmarías que los

triángulos ∆abc y ∆cda, de la siguiente figura son congruentes:

Capítulo 5

TRIGONOMETRÍA

5.1 Definición

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición ó estudio de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida. Este estudio está basado en las relaciones que existen entre los ángulos internos y los lados de un triángulo, y aplica dichas relaciones al cálculo de valores o medidas encontrados en éste.

5.2 Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

En un triángulo rectángulo, si es uno de sus ángulos agudos diferenciamos sus

catetos como adyacente si éste es uno de los lados de y opuesto si no. En

función de esto definimos para cualquiera de los dos ángulos agudos de un

triángulo rectángulo las siguientes tres razones trigonométricas:

El seno del ángulo:

Hipotenusa

OpuestoCatsen

.)(

El coseno del ángulo:

Hipotenusa

AdyacenteCat.)cos(

La tangente del ángulo:

AdyacenteCat

OpuestoCattg

.

.)(

Es importante destacar el hecho que las razones )(sen y )cos( son dos valores

reales positivos menores que 1 ya que la hipotenusa siempre es mayor que

cualquiera de los catetos.

Así tenemos que para el siguiente triángulo rectángulo que:

Proposición 1: La tangente puede expresarse como el cociente; )cos(

)(sen.

Demostración: como para cualquier ángulo interno agudo de un triángulo

rectángulo se define

AdyCat

OpCattg

.

.)(

Entonces al dividir, tanto el numerador como el denominador, entre el valor de la

hipotenusa se tiene que

)cos(

)(

.

.

)(sen

Hipotenusa

AdyCat

Hipotenusa

OpCat

tg

Que era lo que quería demostrar.

Proposición 2: El valor de las razones trigonométricas son números reales que

sólo dependen del ángulo interno agudo y no de las longitudes a; b; c de los

lados del triángulo.

Las razones trigonométricas son:

b

a

AdyacenteCat

OpuestoCattg

c

b

Hipotenusa

AdyacenteCat

c

a

Hipotenusa

OpuestoCatsen

.

.)(

.)cos(

.)(

Demostración: Si tenemos dos triángulos rectángulos donde es comúnmente

uno de sus ángulos internos agudo, es decir:

Entonces:

c

a

c

asen )( ;

c

b

c

b)cos( y

b

a

b

atg )(

5.3 Razones trigonométricas inversas.

Para cada una de las tres razones trigonométricas se define su razón

trigonométrica inversa.

La cosecante: es la inversa del seno y se define como.

OpCat

Hipotenusa

senec

.)(

1)(cos

La secante: es la inversa del seno y se define como.

AdyCat

Hipotenusa

.)cos(

1)sec(

La cotangente: es la inversa del seno y se define como.

OpCat

AdyCat

sentgctg

.

.

)(

)cos(

)(

1)(

Por lo antes dicho podemos asegurar que al conocer, para un ángulo agudo, el

valor del seno y coseno entonces se pueden deducir el valor de las otras cuatro

razones trigonométricas.

5.4) Razones trigonométricas para ángulos notables.

Llamamos ángulos notables a aquellos que el valor de las razones

trigonométricas seno y coseno están predeterminadas. Estos ángulos son:

2

90 ; 3

60 ; 4

54 ; 6

30 ; 00

Donde se tiene que el valor de las razones seno y coseno estan dados en la

siguiente tabla.

01cos

10

906045300

21

2

2

2

3

2

3

2

2

21

eno

seno

Ejemplo 1: calcule; )30sec( , )(4

ctg y )90sec( .

i) 3

32

3.3

3.2

3

2

)30cos(

1)30sec(

ii) 1)(

)cos()(

4

44

senctg (Ya que para 45

4 el seno y coseno son iguales)

iii) existe" No" )90cos(

1)90sec( (Ya que 0)90cos( )

Ejemplo 2: para el siguiente triángulo rectángulo halle el valor de las 6 razones

trigonométricas.

5

4

b

a

Como se trata de un triangulo rectángulo y conocemos dos de sus lados usamos

el teorema de Pitágoras para hallar el otro (la hipotenusa).

41

54222

222

c

c

bac

Ahora calculemos el valor del seno y coseno.

41

415

41

415

41.41

41.5

41

5.)cos(

41

414

41

414

41.41

41.4

41

4.)(

2

2

c

b

Hipotenusa

AdyacenteCat

c

a

Hipotenusa

OpuestoCatsen

Luego

5

4

41

415

41

414

)cos(

)()(

sentg 4

41

41

4

1

)(

1)(cos

senec

5

41

41

5

1

)cos(

1)sec(

4

5

5

4

1

)(

1)(

tgctg

Ejemplo 3: para el siguiente triángulo rectángulo halle el valor de los elementos

que le faltan.

30

23c

Como se trata de un triangulo rectángulo y conocemos sólo uno de sus lados (la

hipotenusa) y uno de sus ángulos internos agudo usamos el seno ó el coseno para

hallar el cateto opuesto ó adyacente, respectivamente.

2

23

2

1.23

23)30()( bb

bsen

c

bsen

Ahora usamos el coseno para hallar el cateto adyacente.

2

63

2

3.23

23)30cos()cos( aa

a

c

a

Para hallar el ángulo que falta usamos el hecho que la suma de los tres ángulos

internos de un triangulo es 180°. Entonces.

60309018018090

5.5 Identidades trigonométricas.

Definición Se entiende por identidad trigonométrica una igualdad algebraica entre razones

de un mismo ángulo, la cual se cumple para todo valor que se atribuya a dicho

ángulo. Así por ejemplo, las siguientes son dos identidades trigonométricas:

i) 1)(cos).( ecsen Ya que se sabe que )(

1)sec(

senc

ii) 0)()().cos( sentg Ya que se sabe que )cos(

)()(

sentg

Existe un gran número de identidades trigonométricas. Daremos y estudiaremos

algunas de éstas. Para ello construyamos el siguiente círculo unitario

Círculo Trigonométrico.

El círculo trigonométrico, es la circunferencia con centro en el origen y cuyo radio es la unidad.

Observe que en este círculo, para los ángulos: 360y 702 ,180 ,90 ,0 se tiene

que:

0)0(sen y 1)0cos(

1)90(sen y 0)90cos(

0)180(sen y 1)180cos(

1)270(sen y 0)270cos(

Y para 360 se cumple lo mismo que para 0 ya que son ángulos equivalentes, es

decir que al girar 360 se llega a la misma posición de 0 .

Para el punto yxP , que está en círculo trigonométrico se tiene el triangulo

rectángulo de vértices: 0,0 , 0,x y yx, se sabe que: es uno de sus ángulos

agudos internos, la hipotenusa es 1, el cateto opuesto es y y el adyacente es x,

Luego se tiene que:

0

r = 1 P (x,y)

(1,0) y

(1,0) 180°

y

(0,1)

90°

270°

(0,- 1)

0° x

α

x

xx

Hip

AdyCat

yy

Hip

OpCatsen

1

.)cos(

1

.)(

Y como esto se cumple para cualquiera sea ese punto P entonces se tiene, por el

teorema de Pitágoras que:

1)(cos)( 22sen (I)

Esta identidad se conoce como la identidad trigonométrica fundamental. A

partir de esta identidad y de la definición de las razones trigonométricas se

obtienen otras identidades trigonométricas de gran utilidad.

Al dividir la anterior identidad entre )(cos2 obtenemos:

22

2

2

2

cos

1

cos

cos

cos

sen

222

)cos(

1

)cos(

)cos(

)cos(

)(sen

Obteniéndose

1)()(sec)(sec1)( 2222 tgtg

De manera análoga, pero al dividir (I) entre )(2sen , encontramos que:

1)()(sec)(sec1)( 2222 ctgccctg

Signos de las razones trigonométricas.

Los ángulos positivos son medidos a partir del semi-eje positivo “ x ” y según su

medida se dicen que pertenecen ó encuentran en uno de los 4 cuadrantes del

plano (I, II, III ó IV). De acuerdo a la ubicación del ángulo (en qué cuadrante se

encuentra), el signo de cada razón trigonométrica variará. Así se tiene que para:

i) 90CuadI (agudo) y se tiene que.

Las 6 razones trigonométricas son positivas ya que lo son el seno y coseno.

ii) 18090Cuad-II (obtuso) y se tiene que.

De las 6 razones trigonométricas sólo son positivas el seno y su inversa.

iii) 270180Cuad-III y se tiene que.

De las 6 razones trigonométricas sólo la tangente y su inversa son positivas.

iv) 360270Cuad-IV y se tiene que.

De las 6 razones trigonométricas sólo el coseno y su inversa son positivas.

Cuando el ángulo es mayor de 360 (más de una vuelta) éste vuelve a caer en

alguno de los cuadrantes. Si el ángulo 360 se determina el cuadrante

donde cae el ángulo considerando el residuo (resto) al dividir 360 ya que

éste es un ángulo que equivale a , siendo el cociente el número de vueltas que

dá.

Ejemplo: Determine el cuadrante donde se encuentran los siguientes ángulos:

840 , 4

9 y 2130 .

Para 840 .

840 360

2 120

Por lo que se tiene 840° equivalen a 2 vueltas y 120°. Por tanto

Cuad-II120840

Para 4054

9.

Para 2130 .

5.6 Fórmulas de razones trigonométricas.

Unas herramientas de gran importancia en el cálculo del valor de una razón trigonométrica la representan las siguientes fórmulas trigonométricas.

Razones trigonométrica de la suma de dos ángulos.

Para las razones trigonométricas seno y coseno.

a) sensensen .coscos.

b) sensen .cos.coscos

Ejemplo 1. Calcule 150cos y 75sen

i) Como º60º90º150 entonces 6090cos150cos , luego:

2

3

2

30

2

3.1

2

1.060.9060cos.90cos150cos sensen

ii) Como º45º30º75 entonces 304575 sensen , luego:

4

26

4

2

4

6

2

1.

2

2

2

3.

2

230.45cos30cos.4575 sensensen

405 360

1 45

Por lo que se tiene 4

9 equivalen a 1 vuelta y 45°.

Por tanto

Cuad-I454054

9

2130 360

5 330

Por lo que se tiene 2130° equivalen a 5 vueltas y 330°. Por tanto

Cuad-IV3302130

Razones trigonométrica de la diferencia de dos ángulos.

Para las razones trigonométricas seno y coseno.

c) sensen .cos.coscos

d) sensensen .coscos.

Ejemplo 2. Calcule 15sen y 15cos

i) Como º45º60º15 entonces 456015 sensen , luego:

4

26

4

2

4

6

2

2.

2

1

2

2.

2

345.60cos45cos.6015 sensensen

ii) Como º30º45º15 entonces 3045cos15cos , luego:

4

26

4

2

4

6

2

1.

2

2

2

3.

2

230.4530cos.45cos15cos sensen

Para la razón trigonométrica tangente para la suma y diferencia de dos ángulos.

tgtg

tgtgtg

.1

tgtg

tgtgtg

.1

Ejemplo 3. Hallar 75tg y 15tg

Tenemos que 304575 tgtg , entonces:

326

326

6

3612

6

3369

39

3375

33

33.

33

33

33

33

3

33

3

33

3

31

3

31

3

3.11

3

31

30.451

304575

2

tg

tgtg

tgtgtg

Tenemos que 304515 tgtg , entonces:

326

326

6

3612

6

3369

39

3315

33

33.

33

33

33

33

3

33

3

33

3

31

3

31

3

3.11

3

31

30.451

3045304515

2

tg

tgtg

tgtgtgtg

Razones trigonométricas del ángulo doble. Cuando el ángulo es el doble de otro se tiene.

a) 22cos2cos sen

Ejemplo 4. Hallar 120cos

2

1

4

2

4

3

4

1

2

3

2

16060cos60.2cos120cos

22

22 sen

b) sensen .cos22

Ejemplo 5. Hallar 120sen

2

3

4

32

2

3.

2

1.260.60cos260.2120 sensensen

c) 21

22

tg

tgtg

Ejemplo 6. Hallar 120tg

32

32

31

32

31

3.2

601

60.260.2120

22tg

tgtgtg

Razones trigonométricas de mitad de ángulo

a) 2

cos1

2cos

b) 2

cos1

2sen

c) cos1

cos1

2tg

Reducción de ángulos al primer cuadrante Dado un ángulo situado en alguno de los cuadrantes II, III ó IV queremos ver si

existe una relación entre éste y algún ángulo encontrado en el primer cuadrante. -. Para Cuad-II . Se tiene que:

Donde el ángulo º90180 . Luego se tiene la siguiente relación entre los

ángulos y :

)º180()()( sensensen Ya que el seno en el II-Cuad es positivo.

)º180cos()cos()cos( Ya que el coseno en el II-Cuad es negativo.

y

x

α

180º-α

-. Para Cuad-III . Se tiene que:

Donde el ángulo º90180 . Luego se tiene la siguiente relación entre los

ángulos y :

)º180()()( sensensen Ya que el seno en el III-Cuad es negativo.

)º180cos()cos()cos( Ya que el coseno en el III-Cuad es negativo.

-. Para Cuad-IV . Se tiene que:

Donde el ángulo º90º360 . Luego se tiene la siguiente relación entre los

ángulos y :

)º360()()( sensensen Ya que el seno en el IV-Cuad es negativo.

y

x α

α-180º

y

x α

360º-α

)º360cos()cos()cos( Ya que el coseno en el IV-Cuad es positivo.

En general, si se quiere calcular el valor de una razón trigonométrica para un

ángulo en los cuadrantes II, III ó IV se procede a preguntar:

i) ¿En qué cuadrante se encuentra éste ángulo?

ii) ¿Cuál es el signo de esa razón en ese cuadrante?

Ejemplo 1. Hallar 150cos .

Como Cuad-IIº150 y el coseno en este cuadrante es negativo entonces:

2

3150cos

2

3)º30cos(150º180cosº150cos

Ejemplo 2. Hallar 225sen .

Como Cuad-IIIº225 y el seno en este cuadrante es negativo entonces:

2

2225

2

2)º45(º180º225º225 sensensensen

Ejemplo 3. Hallar 300sec .

Como Cuad-IV300 y la secante en ese cuadrante es positiva entonces

2

2

1

1

)º60cos(

1)º60sec(300º360secº300sec

Ejemplo 4. Calcular el valor de la siguiente expresión:

330cos45cos

225cos120cos2

2

x

Como se tiene que:

2

160cos120180cos120cos

2

245cos180225cos225cos

2

330cos330360cos330cos

Entonces,

322

221

4

322

4

221

4

3

2

2

2

2

4

1

2

3

2

2

2

2

2

1

330cos45cos

225cos120cos2

2

2

2

x

Y al racionalizar este resultado

2451

524

98

268322

322

322.

322

221xx

. 5.7 Razones trigonométricas para ángulos negativos.

Se sabe que un ángulo es negativo si es medido (desde el semi-eje positivo “ x ”)

en sentido contrario a como giran las agujas del reloj. En esta parte queremos

expresar razones trigonométricas de ángulo negativo en función de la misma

razón trigonométrica pero para ese mismo ángulo positivo.

Como se sabe que las razones: secante, cosecante, tangente y cotangente

pueden expresarse en función del seno y/o coseno, es por ello que estudiamos el

seno y coseno de un ángulo negativo. Consideremos dos puntos P y P el círculo

trigonométrico de manera que ellos determinen dos ángulos opuestos y ,

respectivamente.

)(),cos( senP

)(),cos( senP

y

x

α -α

De la gráfica deducimos que:

)cos()cos(

)()( sensen

A partir de estos dos resultados se cumple que:

)sec()sec(

)csc()csc(

)()( tgtg

)()( ctgctg

Ejemplo: Calcule: )60csc( y 4

sec .

Como se trata de razones trigonométricas de ángulos negativos aplicamos la

correspondiente fórmula dada anteriormente.

3

32

3.3

3.2

3

21

)60(

1)60csc()60csc(

2

3sen

22

22

2.2

2.2

2

21

)45cos(

1)45sec()45sec()sec(

2

24

Ejercicios. Efectúe.

a) 210cos135cos

300cos150cos22

2

b) 45cos

360sec150cos.240sec 2

c) 150sec300sec

270cos225sec 2

d) 3302240

18013522

32

sensen

sensen

e) 60330

15022523

2

tgtg

tgtg

f) 210120

45300.33

2

tgtg

tgtg

g) 150240cos

300cot120 2

tg

sen

h) 135sec45

1230.30cos2

2

tg

sen

i) 60cot1

3018701

2

2 sensen

j) 225.30cos1

840sec45

ctg

sen

k) 60

1740

sen

tg

5.8 Ejercicios

1. Teniendo como referencia el siguiente triángulo rectángulo:

Sabiendo que;

a) b = 14; c = 18. Halle el valor de las 6 razones trigonométricas.

b) c = 90; β = 60º. Halle el valor de los elementos que faltan.

c) b = 22; = 45º. Halle el valor de las 6 razones trigonométricas.

d) 30 y 45 . Halle el valor de las 6 razones trigonométricas.

e) 45 y 2c . Halle el valor de los elementos que faltan.

f) 5c y 2a . Halle el valor de las 6 razones trigonométricas.

2. Calcule.

a) )210(tg b) )960sec( c) )105cos(

d) )(3

2ctg e) )csc(6

11 f) )15(sen

g) )75cos( h) )390(sec2 i) )100()(cos 2

952 sen

3. Dado la razón y el cuadrante donde se encuentra el ángulo calcule el valor de las otras 5 razones trigonométricas.

a) Cuad-IIIy 3)(tg .

b) Cuad-IIy 5

2)(sen .

c) Cuad-IVy 32)sec( .

d) Cuad-IIIy 2

3)cos( .

e) Cuad-IIy 7)(ctg .

f) Cuad-Iy 3

5)csc( .

5.9 Ley de los cosenos. Es una generalización del Teorema de Pitágoras para los triángulos no rectángulos que se utilizan, normalmente en trigonometría. La ley dice lo siguiente: “En todo triangulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman”. Dado un triangulo ABC , siendo ,, los ángulos internos y cba ,, los lados

respectivamente opuestos a estos ángulos (ver figura), entonces:

cos.2222 abbac

cos.2222 bccba

cos.2222 accab

Ejemplo 1. Dos lados de un triangulo ABC miden 6cm y 10cm, y el ángulo entre

ellos es 120 . Hallar el tercer lado.

Por la Ley de Cosenos tenemos que:

Cabbac cos2222

1419619660136

2

1106210036

120cos1062106

2

2

222

ccc

c

c

Ejemplo 2. Un triangulo ABC tiene lados cmcm 2y 1,cm 3 respectivamente.

Determine las medidas de sus ángulos.

Sean cmcmac 2by 1,cm 3 los lados del triangulo. Entonces aplicando la

Ley de Cosenos obtenemos:

602

1coscos4413

cos.212213

cos2

222

222

CCC

C

Cabbac

Por otra parte tenemos:

302

3

3.2

33

3

3.

32

3

34

6coscos34341

cos.322321

cos2

222

222

AAA

A

Abccba

Ahora utilizando la propiedad de que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180° entonces:

90

6030180

180

B

B

CBA

Luego, el triángulo tiene ángulos de 30°, 60° y 90°.

5.10 Teorema del seno

En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.

Teorema: Si en un triángulo ABC , las medidas de los lados opuestos a los ángulos CBA y ,

son respectivamente cba y , , (ver figura).

Entonces se cumple.

Csen

c

Bsen

b

Asen

a

Con este teorema; conocidos dos lados de un triangulo y el ángulo entre ellos se pueden obtener los otros elementos del triangulo. También si conocemos dos ángulos internos y un lado.

Ejemplo 1. Sea triángulo ABC definido por: 52,34 BA y el lado cmc 12 .

Hallar el ángulo y los lados restantes. Como la suma de los ángulos internos de cualquier triangulo es 180°, tenemos que:

94

3452180

180

C

C

CBA

Aplicando el teorema del seno obtenemos: Observe que los ángulos que acá aparecen no son notables, es por ello que necesariamente se requiere del uso de la calculadora.

94

12

5234 sen

cm

sen

b

sen

a

Entonces:

cmasen

sencma

sen

cm

sen

a72,6

94

34.12

94

12

34

cmbsen

sencmb

sen

cm

sen

b47,9

94

52.12

94

12

52

Ejercicios sobre Teorema del coseno.

1) En los siguientes ejercicios cba ,, son las medidas de los lados de un

triángulo, mientras que ,, son las medidas de los ángulos opuestos a

esos lados respectivamente. Resuelve el triángulo en cada caso:

a) 35 12 10 cmbcma

b) mcmbma 4 6 7

c) 70 40 10cmc

d) 43 16 12 cmbcma

e) cmc 5,30 75 53

f) mmc 2,47 68 48

Ejercicios sobre Teorema del seno.

1) En los siguientes ejercicios cba ,, son las medidas de los lados de un

triángulo, mientras que CBA ,, son las medidas de los ángulos de los

vértices del triángulo. Resuelve el triángulo en cada caso:

a) 40 110 20 CBcma

b) 40 60 15 ABma

c) 62 51 24 CBcmb

d) 60 110 9 CAmc

e) cmbBcma 18 30 10

f) cmcAcma 5 64 12