logaritmos
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Conceptos generales sobre logaritmos y propieadesTRANSCRIPT
LOGARITMOSPROFESOR:
Héctor Espinoza Hernández
2
Logaritmación
• Es una operación inversa de la potenciación, consiste en calcular el exponente cuando se conocen la base b y la potencia N.
𝑏𝑥=𝑁
54=𝑁 𝑏3=64 3𝑥=243
Para calcular la potencia N se
emplea la potenciación
Para calcular la base b se emplea la radicación
Para calcular el exponente x se
emplea la logaritmación
3
Definición de logaritmo
• Logaritmo de un número positivo N en una base b, positiva y diferente de 1, es el exponente x al cual debe elevarse la base b para obtener el número N.
4
Algunas precisiones sobre logaritmos
• Los logaritmos son exponentes y pueden se cualquier número real.
• Sólo tienen logaritmo los números reales positivos.
• La base de los logaritmos es un número real positivo y diferente de 1.
0
10
0𝑥<0𝑥=0𝑥>0
𝑏>0𝑏≠0
N
5
Expresión de los logaritmos• Los logaritmos se expresan en dos formas equivalentes:
«forma exponencial» y «forma logarítmica».
Forma exponencial
Forma logarítmica
6
Identidad fundamental de los logaritmos
• Si el logaritmo de un número N en una base b es exponente de su propia base, es igual número N.
Ejemplos.
4
2008
log 6
log 1500
1) 4 6
2) 1500
2008
7
PROPIEDADESPropiedades generales de los logaritmos
8
Logaritmo de 1• El logaritmo de 1, en cualquier base, es igual a cero.
• Ejemplos:
5
7
1) log 1 0
2) log 1 0
9
Logaritmo de la base• El logaritmo de la base es igual a la unidad.
• Ejemplos:
6
2
1) log 6 1
2) log 2 1
10
Logaritmo de un producto• El logaritmo de un producto es igual a la suma de los
logaritmos de los factores.
• Ejemplos:
2 2 2
5 5 5
1) log 7 5 log 7 log 5
2) log 25 4 log 25 log 4
11
Logaritmo de un cociente• El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia del
logaritmo del dividendo (numerador) menos el logaritmo del divisor (denominador).
• Ejemplos:
2 2 2
5 5 5
11) log log 1 log 6
6
102) log log 10 log 5
5
12
Logaritmo de una potencia• El logaritmo de una potencia es igual al producto del
exponente por el logaritmo de la base.
• Ejemplos:
32 2
45 5
1) log 6 3log 6
2) log 5 4log 5
13
Logaritmo de una raíz• El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del
radicando dividido entre el índice.
• Ejemplos:
33
log 121) log 12
2 4 5
5
log 62) log 6
4
14
Producto de logaritmos recíprocos• El producto de dos logaritmos recíprocos es igual a la
unidad.
• Ejemplos:
2 5
32
1) log 5 . log 2 1
2) log 3 . log 2 1
15
Número y base potencias• Si el número y la base son potencias indicadas con igual
base, el logaritmo es igual al cociente de los exponentes de las potencias.
• Ejemplos:
4
6
2
61) log 2
4 5
2
3
22) log 3
5
16
Invariabilidad del logaritmo• Si al número y a la base de un logaritmo se eleva a una
misma potencia o se extrae radicales del mismo grado, el logaritmo no varía.
• Ejemplos:
4
433
1) log 5 log 5 12122) log 6 log 6
17
MÁS PROPIEDADESPropiedades complementarias de los logaritmos
18
Reducción de potencias
• Si en un logaritmo, número y base son potencias, es igual al producto del cociente de los exponentes por el logaritmo de la base del número en la base de la base.
• Ejemplos.
5
422
41) log 3 log 3
5 2
366
32) log 5 log 5
2
19
Base y número inversos
• Si base y número de un logaritmo son inversos de números enteros, es igual al logaritmo del número inverso, en la base inversa.
• Ejemplos.
1 2
2
11) log log 13
13
1 4
4
12) log log 8
8
20
Cambio de base
• El logaritmo de cualquier número, en cualquier base, es igual al logaritmo del número dividido entre el logaritmo de la base, ambos logaritmos en la nueva base.
• Ejemplos.5
25
log 31) log 3
log 2 3
63
log 212) log 21
log 6
21
Regla de la cadena
• Si en un producto de logaritmos hay un encadenamiento entre base y número, de tal modo que la base de un logaritmo es número en el siguiente factor, es igual al logaritmo del primer número en la última base.
• Ejemplos.
2 4 5 5
6 3 5 8 8
1) log 3.log 2.log 4 log 3
2) log 2.log 6.log 3.log 5 log 2
