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MAPA DE NAVEGACINLOGARITMOSndiceObjetivosespecficosEjemplos

Objetivo 1Objetivo 2Objetivo 3Objetivo 4

Objetivo 5Objetivo 6Objetivo 7Objetivo 8

Objetivos y TeoraEjerciciosresueltos

Objetivo general.Objetivos EspecficosEjemplosEjercicios Resueltos

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OBJETIVOS ESPECFICOS1.-Reconocers las necesidades que motivaron el descubrimiento de los logaritmos y valorars su importancia y utilidad en el desarrollo de las matemticas aplicadas (Este objetivo no se desarrolla en la Presentacin. Puedes verlo en los Apuntes correspondientes a esta Unidad).2.- Reconocers la definicin de logaritmo.3.- Recordars la diferencia entre los logaritmos naturales y los logaritmos base diez.4.- Recordars las propiedades generales de los logaritmos.

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5.-Recordars las leyes de las operaciones con logaritmos.6.-Recordars el procedimiento para cambiar logaritmos de una base a otra.7.-Resolvers ecuaciones que involucren logaritmos.8.-Aplicars logaritmos en la resolucin de problemas de casos reales.

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Objetivo 2Objetivo 3Objetivo 4Objetivo 5Objetivo 6Objetivo 7

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Objetivo 2Objetivo 3Objetivo 4Objetivo 5Objetivo 6Objetivo 7Objetivo 8*

Al terminar esta Unidad comprenders la importancia histrica de los logaritmos y resolvers ejercicios y problemas en los que apliques los logaritmos y sus leyes.

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OBJETIVO 2 La definicin de logaritmo es la siguiente: Para todos los nmeros positivos a, donde ,

En palabras, el logaritmo del nmero x en la base a es el exponente al que debe elevarse la base a para obtener el nmero x.

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En la expresin la palabra log es una abreviatura de la palabra logaritmo, la letra a representa la base y la letra x representa el nmero cuyo logaritmo se desea obtener. Por ejemplo, escribir significa . Aqu, el logaritmo es 2, la base es 10 y el nmero cuyo logaritmo se desea es 100. En otras palabras, el logaritmo 2 es el exponente al que hay que elevar la base, 10, para obtener el nmero 100.

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la siguiente figura se ilustra la relacin entre la notacin de logaritmos y la notacin exponencial: Logaritmo Nmero Exponente Base Nmero

Base

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OBJETIVO 2 .- EJEMPLOS *

IDENTIDADESComo consecuencias de la definicin de logaritmo, se pueden deducir estas identidades:Si a > 0 y a 1, entonces

1.) 2.)

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EJEMPLOS IDENTIDADES*

OBJETIVO 2.- EJERCICIOS RESUELTOS*

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OBJETIVO 3 Los logaritmos de base 10 se conocen como logaritmos comunes o logaritmos de Briggs, ste es el sistema de logaritmos que se utiliza, principalmente, para realizar operaciones aritmticas.

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En este tipo de logaritmos los nmeros como 10, 100, 1000, 0.1, 0.01, 0.001, etctera, es decir las potencias de diez, tienen como logaritmos a nmeros enteros, y cualquier otro nmero tiene como logaritmo a un nmero entero ms una fraccin. El logaritmo comn de x se denota como .*

OBJETIVO 3.- EJEMPLOS*

A la parte entera de un logaritmo comn se le conoce como caracterstica y a la parte fraccionaria como mantisa.

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Otro sistema de logaritmos, muy importante por su uso, es el de los logaritmos naturales, o logaritmos neperianos, que tiene como base el nmero irracional e = 2.71828.... ; el logaritmo natural de x se representa por ln x. *

EJEMPLOS* Como es de esperarse, en este tipo de logaritmos los nmeros que tienen logaritmos enteros son las potencias de e.

Los logaritmos naturales se generaron para el estudio de cuestiones tericas en el clculo diferencial e integral, y para la descripcin de fenmenos naturales,

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por ejemplo, para determinar la longitud de la trayectoria de un proyectil; la cantidad de trabajo hecho por un gas que se expande; el tiempo que requiere un objeto caliente para enfriarse a una temperatura dada; el tiempo necesario para que una colonia de bacterias crezca a un tamao dado, entre otras muchas.*

OBJETIVO 3.- EJERCICIOS RESUELTOS*

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OBJETIVO 4 Las propiedades generales de cualquier sistema de logaritmos son:La base tiene que ser un nmero positivo diferente de 1.El cero y los nmeros negativos no tienen logaritmo.El logaritmo de la base es 1.

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El logaritmo de 1 es cero.

Los nmeros mayores que 1 tienen logaritmo positivo.

Los nmeros comprendidos entre cero y 1 tienen logaritmo negativo.

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En el clculo avanzado, con la introduccin de los nmeros complejos y las funciones que tienen dominios complejos, algunas de estas restricciones desaparecen, pero se anotan aqu para fines prcticos de nivel bsico.

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OBJETIVO 4.- EJEMPLOS*

OBJETIVO 4. EJERCICIOS RESUELTOS*

Escribe una X si el logaritmo no existe, un 1 o un 0 si se es su valor, y una P si es positivo (diferente de 1) o una N si es negativo.

Escribe una X si el logaritmo no existe, un 1 o un 0 si se es su valor, y una P si es positivo (diferente de 1) o una N si es negativo.

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OBJETIVO 5. RECORDARS LAS LEYES DE LAS OPERACIONES CON LOGARITMOS.

Ley del producto: En cualquier sistema de logaritmos, para los nmeros positivos x, y se cumple que

Ley del cociente:En cualquier sistema de logaritmos, para los nmeros positivos x, y se cumple que

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Ley de la potencia:En cualquier sistema de logaritmos, para el nmero positivo x y para cualquier nmero n, se cumple que

Las demostraciones de estas leyes son sencillas si se recurre a la notacin exponencial. Por ejemplo, para demostrar la regla del cociente basta considerar que si

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Entonces

como:

resulta que:

Las otras dos leyes se demuestran en forma similar y su aplicacin es directa.

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OBJETIVO 5.- EJEMPLOS*

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OBJETIVO 5 EJERCICIOS RESUELTOSa.) Demuestra la ley del producto para los logaritmos.

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b.) Aplica las leyes de los logaritmos para desarrollar las siguientes expresiones:

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c.)Aplica las leyes de los logaritmos para reducir las expresiones:

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d.) Sabiendo que log 2 = 0.301030...; log 3 = 0.477121...; log 5 = 0.698970... y log 7 = 0.845098...; calcula, utilizando slo estos valores, los siguientes logaritmos:

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OBJETIVO 6 RECORDARS EL PROCEDIMIENTO PARA CAMBIAR LOGARITMOS DE UNA BASE A OTRA.

El concepto de cambio de base se deriva de la definicin de logaritmo. Para entender mejor el procedimiento se presenta un ejemplo: Se trata de encontrar el logaritmo de 39 en base 2, a partir de su logaritmo en base 10.

Para ello, se plantea la incgnita a encontrar, x:

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o, por la definicin de logaritmo

al aplicar el logaritmo (base 10) en la expresin anterior y tomando en cuenta la ley de la potencia, se obtiene

y resulta que:

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OBJETIVO 6.- EJEMPLOS1.) Para obtener , sabiendo que , se aplica la frmula indicada:

2.) Para obtener log 0.35, sabiendo que ln 0.35 = 0.049822... y ln 10 = 2.302585..., de acuerdo con la frmula dada se calcula:

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3.) Para obtener ln 5.76, sabiendo que log 5.76 = 0.760422... y log e = 0.434294..., se procede igual que en los casos anteriores:

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OBJETIVO 6.- EJERCICIOS*

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OBJETIVO 7. - RESOLVERS ECUACIONES QUE INVOLUCREN LOGARITMOS.

Para resolver este tipo de ecuaciones, generalmente se deben aplicar las leyes de los logaritmos para que la incgnita aparezca en un nico logaritmo y, luego, recurrir a la definicin de logaritmo para eliminar a ste.

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El resto del procedimiento consiste en resolver la ecuacin resultante en forma usual. Sin embargo, es necesario cuidar que la solucin obtenida respete las propiedades de los logaritmos, particularmente la de que no existen logaritmos de nmeros negativos ni el logaritmo de cero.*

OBJETIVO 7.- EJEMPLOS*1.) Para obtener el valor de x en la ecuacin

se aplican las leyes de logaritmos para dejar:

entonces, al tomar la definicin de logaritmo queda

y, de aqu:

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OBJETIVO 7.- EJERCICIOS RESUELTOS*

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OBJETIVO 8. APLICARS LOGARITMOS EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS DE CASOS

*Ejercicios Resueltos1.) Para determinar la edad de una roca, la ciencia ha desarrollado una tcnica basada en la concentracin de cierto material radiactivo en su interior. Cuanto ms joven es la roca, mayor concentracin de material radiactivo se encuentra en ella. La ecuacin que relaciona la concentracin del material con la edad de la roca es:

donde representa la concentracin del material radiactivo encontrada en la roca, t la edad de la roca (medida en cientos de aos) y k la concentracin del elemento en el momento de formarse la roca.

Suponiendo que k = 4500: a.) Qu edad tendr una roca que tiene una concentracin de 1500 del material radiactivo?b.) Qu edad tendra que tener una roca para que ya no tuviera el material radiactivo?

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