limites de funciones de variable real

Moisés Villena Muñoz CapCapCapCap. 1. 1. 1. 1 Límites de FuncionesLímites de FuncionesLímites de FuncionesLímites de Funciones

1

1

1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE EN UN PUNTO

1.2 TEOREMAS SOBRE LÍMITES 1.3 CÁLCULO DE LÍMITES 1.4 LÍMITES AL INFINITO 1.5 LÍMITES INFINITOS 1.6 CONTINUIDAD EN UN PUNTO

OBJETIVOS:OBJETIVOS:OBJETIVOS:OBJETIVOS:

SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Defina Límites. • Describa gráficamente los límites. • Calcule límites.


2

20.510.2

10.505.2

02.501.2

98.499.1

90.495.1

80.490.1

12 += xyx

1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE EN UN PUNTO

Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto singular en la cercanía de un punto. Precisar características de este comportamiento puede ser necesario y además en algunas circunstancias puede requerir de estudios rigurosos, lo cual no lo vamos a tratar aquí.

Analicemos ejemplos sencillos; en los que podamos por simple inspección determinar características obvias.

Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1

Veamos como se comporta la función f de variable real con regla de

correspondencia 12)( += xxf , en la vecindad de 2=x . Evaluando la función para ciertos valores de x , cada vez más próximos a 2, tenemos: Se puede notar que esta función se aproxima a tomar el valor de 5. Este comportamiento lo escribiremos de la siguiente forma: ( ) 512lím

2=+

→x

x.

Lo anterior se puede ilustrar desde la gráfica:


3


Ahora veamos el comportamiento de otra función f de variable real con regla de

correspondencia 1

65)(

2

−

−+=

x

xxxf , en la cercanía de 1=x .

Evaluando la función para ciertos valores de x , cada vez más próximos a 1, tenemos:

Se puede notar que esta función se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la variable

independiente x se aproxima a tomar el valor de 1, es decir 71

65lím

2

1=

−

−+

→ x

xx

x.

Note que no es necesario que la función esté definida en el punto de aproximación.

Por otro lado, la regla de correspondencia 1

65)(

2

−

−+=

x

xxxf es equivalente a

1;6)( ≠+= xxxf (¿PORQUÉ?).

Desde su gráfica podemos ilustrar este comportamiento:

De lo expuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso, podemos emitir la siguiente definición:

Una función f tiene límite L en un punto 0x , si f se

aproxima a tomar el valor L cada vez que su variable

independiente x se aproxima a tomar el valor 0x . Lo que

simbólicamente se denota como:

Lxflímxx

=→

)(0

10.710.1

05.705.1

01.701.1

99.699.0

95.695.0

90.690.01

652

−

−+=

x

xxyx


4

Ejercicios Propuestos 1.1Ejercicios Propuestos 1.1Ejercicios Propuestos 1.1Ejercicios Propuestos 1.1 Emplee una calculadora para estimar los siguientes límites:

1. 1

1

1 −

−

→ x

xlímx

2. 4

2lím

22 −

−

→ x

x

x

3. 0

límx

Senx

x→ 4. ( )

1

0lím 1 x

xx

→+

1.1.1 TEOREMA DE UNICIDAD DE LÍMITE

Sea f una función de una variable real. Si f tiene límite en

0xx = , entonces este es único.

1.2 TEOREMAS SOBRE LÍMITES

1.2.1 TEOREMA PRINCIPAL SOBRE LÍMITE

Sean f y g funciones con límite en 0x ; es decir, suponga

que Lxfxx

=→

)(lím0

y Mxgxx

=→

)(lím0

. Entonces:

1. kkxx

=→ 0

lím , Rk ∈∀

2. 0

0

lím xxxx

=→

3. kLxfkxkfxxxx

==→→

)(lím)(lím00

, Rk ∈∀

4. [ ] MLxgxfxgxfxxxxxx

+=+=+→→→

)(lím)(lím)()(lím000

5. [ ] MLxgxfxgxfxxxxxx

−=−=−→→→


6. [ ] LMxgxfxgxfxxxxxx

==→→→


7. M

L

xg

xf

xg

xf

xx

xx

xx==

→

→

→ )(lím

)(lím

)(

)(lím

0

0

0

;siempre que 0)(lím0

≠→

xgxx

8. [ ] [ ] nn

xx

n

xxLxfxf ==

→→)(lím)(lím

00

, Nn∈∀

9. nn

xx

n

xxLxfxf ==

→→)(lím)(lím

00

siempre que 0)(lím0

≥→

xfxx

cuando n es par.


5

El teorema permite establecer límites de funciones.

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo

Calcular ( )23lim 2

2−+

→xx

x

SOLUCIÖN:

Aplicando el teorema principal de límites, tenemos:

( )

8

2)2(32

)13,8(2lim3lim

)54(2lim3limlim23lim

2

2

2

2

22

2

2

2

2

=

−+=

−+

=

−+=−+

→→

→→→→

yincisoxx

yincisoxxxx

xx

xxxx

Lo último del ejemplo anterior permite concluir que con una sustitución basta.

1.2.2 TEOREMA DE SUSTITUCIÓN

Sea f una función polinomial o una función racional, entonces

)()(lím0

0

xfxfxx

=→

, siempre que )(0xf esté definida y

que el denominador no sea 0 para el caso de una función racional.

1.3 CALCULO DE LÍMITES

En el cálculo de límites, la aplicación del teorema de sustitución puede bastar; pero se requerirá un trabajo adicional si se presentan resultados de la forma:

0

00

1

.0

0

0

∞

∞

∞−∞

∞

∞

∞


6

Los resultados de la forma mencionada son llamados indeterminaciones debido a que corresponden a cualquier valor. Por

ejemplo, tomemos 0

0, suponga que sea igual a c , es decir

0

0c=

entonces 0 0c= sería verdadera para todo c . Analice el resto de indeterminaciones.


Calcular 1

652

1 −

−+

→ x

xxlímx

SOLUCIÓN:

Empleando el teorema de sustitución tenemos ( )

0

0

11

6151

1

6522

1=

−

−+=

−

−+

→ x

xxlímx

una

indeterminación, que para destruirla se debe simplificar la expresión, es decir factorizando lo lograremos:

( )( )( )6

1

16

1

65

11

2

1+=

−

−+=

−

−+

→→→xlím

x

xxlím

x

xxlím

xxx

Y finalmente aplicando el teorema de sustitución:

( ) 76161

=+=+→xlím

x


Calcular 1

1

1 −

−

→ x

xlímx

SOLUCIÓN:

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 0

0

11

11=

−

−

Racionalizando el numerador y simplificando:

( )( ) ( ) 2

1

1

1

11

1

1

1

1

1

111=

+=

+−

−=

+

+•

−

−

→→→ xlím

xx

xlím

x

x

x

xlím

xxx

EjeEjeEjeEjemplo 4mplo 4mplo 4mplo 4

Calcular 1

1

31 −

−

→ x

xlímx

SOLUCIÓN:


0

11

11

3=

−

−

Para encontrar el valor de esta indeterminación, podemos aplicar uno de los siguientes métodos: PRIMER METODO: Racionalizando el numerador para diferencia de cuadrados y el denominador para diferencias de cubos:


7

( )( )

++

++•

+

+•

−

−

→1

1

1

1

1

1

32

3

32

3

31xx

xx

x

x

x

xlímx

( ) ( )

( )( )

( )

( ) 2

3

11

111

11

11

lím

323323

1=

+

++

=+−

++−

→ xx

xxx

x

SEGUNDO METODO:

cambio de Variable: 6ux = . Entonces Si 11 →⇒→ ux

Reemplazando tenemos: 1

1

1

1

2

3

13 6

6

1 −

−=

−

−

→→ u

ulím

u

ulím

uu

Y factorizando: ( )( )

( )( )( )

( )( )

( ) 2

3

11

111

1

1

11

11 22

1

2

1=

+

++=

+

++=

+−

++−

→→ u

uulím

uu

uuulím

uu

Ejercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios Propuestos 1.21.21.21.2 Calcular:

1. 3

9lím

2

3 −

−

→ x

x

x

2. 2

1

4 3lím

1x

x x

x→

− +

−

3. ( )

2

21

2 1lim

1x

x x

x→

− + −

4. 4

2lím

22 −

−

→ x

x

x

5. 2

8lím

3

2 −

−

→ x

x

x

6. 4

2lím4 −

−

→ x

x

x

7. 8

2lím

3

8 −

−

→ x

x

x

8. 2

8lím

38 −

−

→ x

x

x

9. 2

1lím

2

3

1 −+

−

→ xx

x

x

10. 31

2 3lím

1 1x x x→

−

− −

(Sugerencia: 6x u= )

1.3.1 Otros Límites. (OPCIONAL)

Ciertos límites se calculan empleando la expresión 1lím0

=→ x

Senx

x que

en forma generalizada sería: )(;1lím0

xuudondeu

uSen

u==

→

EEEEjejejejemplomplomplomplo 1111

Calcular ( )x

kxSenlímx 0→


8

SOLUCIÓN:

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: ( )( )

0

0

0

0=

kSen

Para encontrar el valor de esta indeterminación, multiplicamos y dividimos por k , y aplicando el

teorema principal sobre límites resulta: ( )

0 0

1

(1)x x

Sen kxSenkxlímk k lím k k

kx kx→ →= = =

14243

EjeEjeEjeEjemplomplomplomplo 2222

Calcular xSen

xSen

x 5

3lím0→

SOLUCIÓN:

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: ( )( )( )( ) 0

0

05

03=

Sen

Sen

Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación multiplicamos y dividimos el numerador por 3 x y el denominador por 5 x , y luego aplicando el teorema principal sobre límites resulta:

5

3

5

55

3

33

5

55

3

33

5

3

1

0

1

0

00===

→

→

→→

43421

48476

x

xSenlím

x

xSenlím

x

xSenx

x

xSenx

límxSen

xSenlím

x

x

xx

EjeEjeEjeEjemplomplomplomplo 3333

Calcular 20

1 coslímx

x

x→

−

SOLUCIÓN:


0

0

0cos12

=−

Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo siguiente:

( )xx

xlím

x

x

x

xlím

xsen

xx cos1

cos1

cos1

cos1cos12

2

020

2

+

−=

+

+•

−

→→

48476

2

1

2

1

cos1

1

)cos1(

2

0

02

2

02

2

0

=

=

+=

+=

→

→→→

x

senxlím

xlím

x

xsenlím

xx

xsenlím

x

xxx

EjemEjemEjemEjemplo 4plo 4plo 4plo 4

Calcular x

xlímx

cos1

0

−

→

SOLUCIÓN:


0

0

0cos1=

−

Multiplicando por el conjugado y aplicando propiedades:


9

( )xx

xlím

x

x

x

xlím

xx cos1

cos1

cos1

cos1cos1 2

00 +

−=

+

+•

−

→→

02

0

cos1)cos1(

0

00

2

0

=

=

+=

+=

→

→→→

x

senxlím

x

senxlím

x

senxlím

xx

xsenlím

x

xxx

1.4 LÍMITES AL INFINITO.

En ciertas ocasiones puede ser necesario estudiar el comportamiento de una función cuando la x toma valores muy grandes, es decir cuando x tiende al infinito.

Suponga que f se aproxima a tomar un valor L cuando la

variable x toma valores muy grandes, este comportamiento lo

escribiremos de la siguiente manera Lxfx

=∞→

)(lím

EEEEjemplo 1 jemplo 1 jemplo 1 jemplo 1



10

Suponga ahora que f se aproxima a tomar un valor L cuando la

x toma valores muy grandes, pero NEGATIVOS, este comportamiento lo escribiremos de la siguiente manera Lxf

x=

−∞→)(lím .

EEEEjemplo 1jemplo 1jemplo 1jemplo 1

EjeEjeEjeEjemplo 2mplo 2mplo 2mplo 2

Observe que para los casos anteriores significa que la gráfica de f tiene una asíntota horizontal Ly = .

Para calcular límite al infinito, usualmente se divide para x de

mayor exponente si se trata de funciones racionales.


11

EjeEjeEjeEjemplomplomplomplo

Calcular 15

132lím

2

2

−+

−+

−∞→ xx

xx

x

SOLUCIÓN:

Aquí se presenta la indeterminación: ∞

∞

Dividiendo numerador y denominador para 2x , tenemos:

5

2

115

132

lím15

132

lím

2

2

222

2

222

2

=

−+

−+

=

−+

−+

−∞→−∞→

xx

xx

xx

x

x

x

xx

x

x

x

xx

Ejercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestosEjercicios propuestos 1.3 1.3 1.3 1.3 1. Calcular:

1. 2

2

3 2 1lím

5x

x x

x→∞

+ +

+

2. 3 2

3

5 3 4 3lím

3 1x

x x x

x x→∞

− + −

+ +

3. ( ) ( )

5

2332lím

5

23

+

−+

∞→ x

xx

x

4. ( )

3

32lím

xx

x

x +

+

∞→

5. ( )( )( )

13

6453323

−+

−+−

∞→ xx

xxxlímx

1.5 LÍMITES INFINITOS

Suponga que cuando x toma valores próximos a un punto 0x ,

tanto por izquierda como por derecha, f toma valores muy grandes

positivo; es decir ∞=→

)(lím0

xfxx

. Diremos, en este caso, que f crece sin

límite o que f no tiene límite en 0x .

EjemploEjemploEjemploEjemplo


12

Puede ocurrir también que cuando la x toma valores próximos a

un punto 0x , tanto por izquierda como por derecha, f toma valores

muy grandes negativos; es decir −∞=→

)(lím0

xfxx

. Diremos, en este caso,

que f decrece sin límite o que f no tiene límite en 0x .


1.6 CONTINUIDAD EN UN PUNTO

El término continuo aplicado a una función de variable real sugiere que su gráfica no debe presentar saltos; es decir, que si al trazar su gráfica no se requiere alzar la mano. Sin embargo se hace necesario formalizar matemáticamente esta definición.

Sea f una función definida en un intervalo abierto

),( ba y sea ),(0

bax ∈ , Entonces f es continuacontinuacontinuacontinua en

"0x " si )()(

00

xfxflímxx

=→

.


Una función continua en un punto 0x

limites de funciones de variable real

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