unidad 2 - funciones de variable real continuidad y

Límite finito

Definición

Intervalo cerrado

Un segmento en el eje numérico con extremos a y b, con a < b, se denomina

intervalo. Si los puntos extremos, a y b, están incluidos en el intervalo, se dice que

el intervalo es cerrado, y se denota por [a,b].

[a,b] = { x perteneciente a R / a <= x <= b }

El intervalo cerrado [a,b] consiste de los puntos x

para los cuales a <= x <= b.

Definición

Intervalo abierto

Si los puntos extremos se excluyen, el intervalo se llama abierto, y se denota por

(a,b).

(a,b) = { x perteneciente a R / a < x < b }

El intervalo abierto (a,b) consiste de aquellos

puntos x para los cuales a < x < b.

Definición

Entorno del punto a de radio δ

Es el intervalo abierto (a - δ,a + δ), esto es, consiste de los valores x para los

cuales a - δ < x < a + δ.

Ea,δ = { x perteneciente a R / |x - a| < δ }

Son los puntos x cuya distancia al punto a es

menor que δ.

Definición

Entorno reducido de a de radio δ

No incluye al punto a.

E*a,δ = { x perteneciente a R / 0 < |x - a| < δ }

Son los puntos x cuya distancia al punto a es

menor que δ pero mayor que 0, es decir, no se

incluye a a.

El concepto de Límite

Consideremos la función f(x)=x2.

Observemos los valores de f(x) para x cercanos a 3.

Cuando x se aproxima a 3, los valores de f(x) se acercan a 9. Se

dice que f(x) tiende a 9 cuando x tiende a 3.

En general, una función f(x) tiende a un límite b cuando x tiende a a, si f(x) difiere

arbitrariamente poco de b para todo x situado suficientemente cerca de a.

En símbolos, limx->af(x)=b.

x f(x)

2,8 7,84

2,9 8,41

2,95 8,7025

2,99 8,9401

2,999 8,994001

3,001 9,006001

3,01 9,0601

3,05 9,3025

3,1 9,61

3,2 10,24

Enseguida se expresa más precisamente la definición de límite.

Definición

Límite finito de una función

limx->a f(x)=b <=> para todo ε>0 existe δ>0 / para todo x, 0 < |x-a| < δ |f(x) - b|

< ε.

Otra notación:

limx->a f(x)=b <=> para todo Eb,ε existe un E*a,δ / para todo x perteneciente al E*

a,δ

f(x) pertenece a Eb,ε.

Se dice que la función f(x) tiene límite b, cuando x tiende a a, si dado ε positivo

arbitrario y tan pequeño como se quiera, existe un δ tal que para todo x

perteneciente al entorno reducido de a de radio δ, la función pertenece al entorno

de b de radio ε.

Dicho de otro modo, para cualquier número positivo ε, por pequeño que sea,

podemos encontrar un δ tal que para todos los x dentro del entorno reducido de a

de radio δ se cumple que f(x) está dentro del entorno de b de radio ε.

limx->af(x)=b significa que por más pequeño que sea el entorno considerado

alrededor de b, va a ser posible encontrar un entorno de a, para cuyos valores x (x

≠ a), la función f da como resultado valores que están dentro del entorno de b

considerado.

En otras palabras, la función f(x) tiene límite b, cuando x tiende a a, si el valor de

la función f(x) se hace arbitrariamente próximo al valor b cuando x se aproxima al

valor a.

Teoremas sobre límites

Teorema

Unicidad del límite de una función

Si una función tiene límite es único.

H) Existe limx->af(x)=b

T) b es único

Demostración

La demostración se hace por reducción al absurdo.

Suponemos que f(x) tiene dos límites distintos b y c, cuando x tiende a a.

Suponemos que b > c.

limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo Eb,ε existe un E*a,δ1 / para todo x

perteneciente al E*a,δ1 f(x) pertenece al Eb,ε.

limx->af(x)=c => (por def. de límite) para todo Ec,ε existe un E*a,δ2 / para todo x

perteneciente al E*a,δ2 f(x) pertenece al Ec,ε.

Consideremos un ε tal que Eb,ε ∩ Ec,ε = Ø.

Queremos que c+ε < b-ε => ε < (b - c)/2

Sea δ = min {δ1,δ2}

Para todo x perteneciente al E*a,δ se cumple

• f(x) pertenece a Eb,ε

• f(x) pertenece a Ec,ε

Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.

Absurdo de suponer b ≠ c.

Por lo tanto b = c.

Definición

Límites laterales

Límite de f(x) en el punto a por la derecha :

limx->a+f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a

+ δ) |f(x) - b| < ε.

Límite de f(x) en el punto a por la izquierda :

limx->a-f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a -

δ,a) |f(x) - b| < ε.

Nota: x->a+ indica que x tiende a a por la derecha, es decir que x pertenece al

entorno (a,a + δ).

x->a- indica que x tiende a a por la izquierda, es decir que x pertenece al entorno

(a - δ,a).

A veces las funciones son discontinuas o no están definidas en un punto a, pero son

continuas a uno y otro lado. En estos casos, el límite por la izquierda puede ser

distinto del límite por la derecha.

Ejemplo

f(x) = x 2 si x <= 2

-2x + 1 si x > 2

limx->2-f(x)=4

limx->2+f(x)=-3

No existe limx->2f(x)

Teorema

Existe el límite finito de una función <=> los límites laterales son iguales.

H) limx->af(x)=b

T) limx->a+f(x) = limx->a-f(x) = b

Demostración:

Directo:

limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x

perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε.

=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) f(x)

pertenece al Eb,ε => (por def. de límites laterales) limx->a-f(x)=b.

y para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x)

pertenece al Eb,ε => (por def. de límites laterales) limx->a+f(x)=b.

Recíproco:

limx->a+f(x)=b => (por def. de límites laterales) para todo ε > 0 existe δ1 > 0 /

para todo x perteneciente a (a,a + δ1) f(x) pertenece al Eb,ε.

limx->a-f(x)=b => (por def. de límites laterales) para todo ε > 0 existe δ2 > 0 / para

todo x perteneciente a (a - δ2,a) f(x) pertenece al Eb,ε.

Sea δ = min {δ1,δ2}

Para todo x perteneciente a E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε.

=> (por def. de límite) limx->af(x) = b.

Ejemplo: en la función del ejemplo anterior, no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x)

≠ limx->2+f(x).

Teorema

Conservación del signo

Para valores de x suficientemente próximos al valor de tendencia, la función tiene

el mismo signo que su límite.

H) limx->af(x)=b > 0

T) Existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) > 0

Demostración:


perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε.

Es decir, b - ε < f(x) 0 f(x) > 0.

Así, basta considerar un ε menor que b, para tener un entorno de a donde f(x) es

mayor que 0.

Nota: El teorema también se cumple para valores negativos.

Si la función tiene distinto signo en la mitad izquierda del entorno de a que en la

mitad derecha, entonces su límite en a vale 0.

Teorema de la función comprendida

Si una función está comprendida entre otras dos que tienen igual límite cuando x

tiende a a, entonces tiene el mismo límite.

H) limx->af(x) = limx->ag(x) = b

Existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) <= h(x) <= g(x)

T) limx->ah(x)=b

Demostración:

limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ2 > 0 / para todo x

perteneciente al E*a,δ2 b - ε < f(x) ag(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ3 > 0 / para todo x

perteneciente al E*a,δ3 b - ε < g(x) (por def. de límite) limx->ah(x) = b.

Teorema de la acotación

Si una función tiene límite finito cuando x tiende a a, entonces está acotada en un

entorno reducido de a.

H) limx->af(x)=b

T) Existe δ > 0 y existen h y k reales / para todo x perteneciente al E*a,δ h < f(x) <

k

Demostración.


perteneciente al E*a,δ

b - ε < f(x) 0 y existen h y k reales positivos / para todo x perteneciente al E*a,δ

h < |f(x)| < k.

Límite infinito

Observemos la función f(x)=1/x2 para valores de x positivos muy grandes.

Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez más cerca de

0. Si x es suficientemente grande podemos conseguir que f(x)

se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende

a 0 cuando x tiende a infinito.

Veamos a continuación las definiciones precisas de cada uno de los límites que

involucran al infinito.

Definición

Límite infinito

Caso 1:

limx->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al

E*a,δ f(x) > A.

El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo

A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para

todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es

mayor que A.

En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un

entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede

hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a.

Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf.

x f(x)

100 1,0x10-4

1.000 1,0x10-6

10.000 1,0x10-8

100.000 1,0x10-10

1.000.000 1,0x10-12

Caso 2:

limx->af(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al

E*a,δ f(x) < -A.

Caso 3:

limx->+inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) > A.

Para cualquier número positivo A (por grande que sea), es posible encontrar un

número positivo B tal que para todos los x mayores que B, f(x) es mayor que A. Es

decir que f(x) puede ser mayor que cualquier número, si x es lo suficientemente

grande.

Caso 4

limx->+inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) < -A.

Caso 5:

limx->-inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) > A.

Caso 6:

limx->-inff(x) = -inf <=> para todo A < 0 existe B < 0 / para todo x < -B f(x) < -A.

Caso 7:

limx->+inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) pertenece

al Eb,ε.

Límites de polinomios

Límite de un polinomio

P(x) = anxn + an-1x

n-1 + ... + a1x + a0

1) limx->b P(x) = P(b)

Ejemplo: limx->1 x2 + 2x - 1 = 2

2) limx->inf P(x) = limx->inf anxn

lim x->inf P(x) = lim x->inf a nxn + a n-1 x n-1 + ... + a 1x + a 0 =

0 0 0 0

--^-- --^-- --^-- --^--

a nxn(1 + a n-1 + a n-2 + ... + a 1 + a 0 ) = lim a nx

n

lim --- --- --- --- x->in f

x->inf a nx a nx2 a nx

n-1 a nxn

Ejemplo: limx->+inf x2 - 2x - 1 = limx->+inf x

2 = +inf

Límite del cociente de polinomios

A(x) = anxn + an-1x

n-1 + ... + a1x + a0

B(x) = bnxn + bn-1x

n-1 + ... + b1x + b0

A(x) | A( α)

lim ---- = | 1) ---- si B( α) distinto de 0

x-> α B(x) | B( α)

| 2) inf si B( α)=0 y A( α) distinto de 0

| 3) INDETERMINADO de la forma 0/0

| si B( α)=0 y A( α)=0

Ejemplo:

2x 2 + x + 1 4

lim ----------- = -- = 2

x->1 x 2 + 2x - 1 2

x 2 + 1

lim ------------ = +inf

x->1 x 2 + x - 2

x 2 - 1

lim ----------- INDETERMINADO de la forma 0/0

x->1 x 2 + x - 2

Cómo resolver la indeterminación 0/0

B(α) = 0 => α es raíz de B(x) => (por teo. de Descartes) (x - α) | B(x)

( (x - α) divide a B(x) ) => existe B1(x) / B(x) = (x - α)B1(x)

A(α) = 0 => α es raíz de A(x) => (por teo. de Descartes) (x - α) | A(x) => existe

A1(x) / A(x) = (x - α)A1(x)

A(x) (x - α)A 1(x) A 1( α)

=> lim ---- = lim ------------ = ------

x-> α B(x) x-> α (x - α)B 1(x) B 1( α)

Ejemplo

x 2 - 1 (x - 1)(x + 1) 2

lim ----------- = lim -------------- = --

x->1 x 2 + x - 2 x->1 (x - 1)(x + 2) 3

Cálculo de límites

Polinomios

Ver página sobre límites de polinomios por detalles.

limx->a P(x) = P(a)

Ejemplo: limx->2 x2 - 3x + 4 = 2

limx->inf P(x) = limx->inf anxn

Ejemplo: limx->+inf -3x3 + x2 - 2x + 1 = limx->+inf -3x3 = -inf

A(x) | A( α)

lim ---- = | 1) ---- si B( α) ≠0

x-> α B(x) | B( α)

| 2) inf si B( α)=0 y A( α) ≠0

| 3) INDETERMINADO de la forma 0/0

| si B( α)=0 y A( α)=0

Ejemplos:

x 2 - 1 3

1) lim ------- = --

x->2 3x - 4 2

x 2 - 1 3

2) lim -------- = -- = +inf

x->2 x - 2 0

-2x 2 + 5x - 2 0

3) lim -------------- = -- INDETERMINADO

x->2 3x 2 - 2x - 8 0

Para resolverlo, expresamos cada polinomio como un producto y simplificamos los

factores comunes. Para ello, bajamos cada polinomio por Ruffini.

-2 5 -2

2 -4 2

-2 1 0

-2x2 + 5x - 2 = (x - 2)(-2x + 1)

3 -2 8

2 6 8

3 4 0

x2 - 2x - 8 = (x - 2)(3x + 4)

-2x 2 + 5x - 2 (x - 2)(-2x + 1) -3

lim -------------- = lim ---------------- = ---

x->2 3x 2 - 2x - 8 x->2 (x - 2)(3x + 4) 10

A(x) a nxn

lim ---- = lim ----

x->inf B(x) x->inf b mxm

Ejemplo:

3x 3 + 2x 2 - 5 3x 3 3

lim -------------- = lim ----- = --

x->+inf 2x 3 - 8x 2 x->+inf 2x 3 2

Raíces de polinomios

Si el límite da indeterminado, aplicar el siguiente truco:

____ ____ P(x) - Q(x)

lim \|P(x) - \|Q(x) = lim ----------------

____ ____

\|P(x) + \|Q(x))

Se llama expresión conjugada de

__ __ __ __

\|a - \|b a \|a + \|b

Multiplicando y dividiendo por la conjugada, obtenemos la diferencia de las

cantidades subradicales.

____ ____

____ ____ ____ ____ (\|P(x) + \|Q(x))

lim \|P(x) - \|Q(x) = lim \|P(x) - \|Q(x) --------- -------- =

____ ____

(\|P(x) + \|Q(x))

P(x) - Q(x)

lim ----------------

____ ____

\|P(x) + \|Q(x))

Ejemplo:

(IND. inf - inf)

___________ __________ |

lim \|x 2 + 2x - 3 - \|x 2 + x - 1 =

x->-inf

__________ __________

___________ __________ (\|x 2 + 2x - 3 + \|x 2 + x - 1)

lim \|x 2 + 2x - 3 - \|x 2 + x - 1 ---------------------------- =

x->-inf __________ __________

(\|x 2 + 2x - 3 + \|x 2 + x - 1)

x 2 + 2x - 3 - (x 2 + x - 1) x - 2

lim ----------------------------- = lim --------- ------------- =

x->-inf __________ __________ __________ __________

\|x 2 + 2x - 3 + \|x 2 + x - 1 \|x 2 + 2x - 3 + \|x 2 + x - 1

x x x -1

lim ----------- = lim ------- = lim --- = --

x->-inf __ __ x->-inf -x - x x->-inf -2x 2

\|x 2 + \|x 2

Raíz cúbica

3 ____ 3 ____

lim \|P(x) - \|Q(x) =

3 ____ 3 ____ 3 ____ ___

3 ____ 3 ____ ( \|P(x) 2 + \|Q(x) 2 + \|P(x)Q(x) )

lim \|P(x) - \|Q(x) ---------------------------- ---- =

3 ____ 3 ____ 3 ____ ___

( \|P(x) 2 + \|Q(x) 2 + \|P(x)Q(x) )

P(x) - Q(x)

lim ------------------------------

3 ____ 3 ____ 3 _______

\|P(x) 2 + \|Q(x) 2 + \|P(x)Q(x)

Ejemplo:

(IND. inf - in f)

3 ____________ 3 ___________ |

lim 2 + \|x 3 - 3x 2 + 1 - \|x 3 - 4x + 1 =

x->-inf

x 3 - 3x 2 + 1 - x 3 + 4x - 1

2 + lim ----------------------------------------- ------------ =

x->-inf 3 __________ 3 _________ 3 _______ ____________

\|(x 3-3x 2+1) 2 + \|(x 3-4x+1) 2 + \|(|x 3-3x 2+1)(x 3-4x+1)

-3x 2

2 + lim ---- = 2 - 1 = 1

x->-inf 3x 2

Indeterminación 0/0

• Si se trata de un cociente de polinomios, aplicar Ruffini como se explicó

antes.

• Aplicar límites tipo.

Ejemplo:

L(1 + 5x) 5x 5

lim --------- = lim -- = --

x->0 2x | x->0 2x 2

|

IND. 0/0

Límite tipo: L(1 + f(x)) equiv. f(x)

f(x)->0

• Aplicar L'Hôpital:

H) limx->a f(x) = limx->a g(x) = 0

Existe limx->af'(x)/g'(x)

T) limx->af(x)/g(x) = limx->af'(x)/g'(x)

Ejemplo:

2x - 2

lim ------ INDETERMINADO 0/0

x->1 Lx

2 2x - 2

Veamos lim ---- = 2 => lim ------ = 2

x->1 1/x x->1 Lx

Indeterminación 1inf

g(x) lim g(x)(f(x) - 1)

lim f(x) = e x->a

x->a

Ejemplo:

(IND. 1 inf )

| x + 5

x + 2 | lim (x + 2)(----- - 1)

lim ((x + 5)/(x - 3)) = e x->+inf x - 3 =

x->+inf

8 8x

lim (x + 2)---- = lim -- = 8

e x->+inf x - 3 e x->+inf x e

Indeterminaciones 00 e inf0

g(x) lim g(x)Lf(x)

lim f(x) = e x->a

x->a

Ejemplo:

(IND 0 0) (IND. 0.inf) (por órdenes de infinitos )

| | Lx |

2x | lim 2xLx | lim ----- | 0

lim x = e x->0+ = e x->0+ 1/2x = e = 1

x->0+

(IND. inf 0)

|

1/x |

lim ((1 + x + 2x 2)/(x - 1)) =

x->+inf (IND. inf/inf)

|

lim (1/x)L((1 + x + 2x 2)/(x - 1)) | 0

e x->+inf = e = 1

|

(por órdenes de infinitos )

Indeterminaciones inf - inf e inf/inf

• Aplicar límites tipo

Ejemplo:

equiv. a 1/x + 1

--^--

1/x (2x - 1)(1 + x) - 2x 2

lim (2x - 1)e - 2x = lim -------------------- =

x->+inf x->+inf x

x - 1 x

lim ----- = lim --- = 1

x->+inf x x->+inf x

• Aplicar órdenes de infinitos. Equivalente al de mayor orden.

orden Lx < orden xn < orden ax < orden xnx (x->+inf)

Ejemplo:

(IND. inf - inf)

|

lim (Lx) 2 - (x - 1) 2/x = -inf

x->0+

pues orden (x - 1) 2/x > orden (Lx) 2

(IND. inf/inf)

e x |

lim ---- = +inf pues orden e x > orden x

x->+inf x

Indeterminación 0.inf

• Pasar la expresión que tiende a 0 al denominador del denominador. Queda

una indeterminación inf/inf. Resolverla aplicando órdenes de infinitos.

Ejemplo:

(IND. 0.inf) (IND. inf/ inf)

| 1/(x - 3) |

1/(x - 3) | e |

lim (3 - x)e = lim -------- = -inf

x->3+ x->3+ 1/(x - 3)

(por órdenes de infinitos )

• Aplicar límites tipo

Límites tipo

Sustituir una expresión por su límite o su equivalente, cuando:

• es un término que multiplica o divide a toda la expresión

• es una cantidad subradical aunque aparezcan suma de radicales

• es una expresión afectada por una función trascendental (e, L, sen, cos, tg,

etc.)

lim (1 + 1/x) x = e

x->inf

lim (1 + x) 1/x = e

x->0

L(1 + x)

lim -------- = 1 => L(1 + x) equiv x

x->0 x x->0

También: Lx equiv x - 1

x->1

e x - 1

lim ------- = 1 => e x - 1 equiv x

x->0 x x->0

a x - 1

lim ------ = La (a perteneciente a R+) => a x - 1 equiv xLa

x->0 x x->0

sen x

lim ----- = 1 => sen x equiv x

x->0 x x->0

tg x

lim ---- = 1 => tg x equiv x

x->0 x x->0

1 - cos x 1

lim ---------- = -- => 1 - cos x equiv x 2/2

x->0 x 2 2 x->0

(1 + x) m - 1

lim ------------- = 1 => (1 + x) m - 1 equiv mx

x->0 mx x->0

n ______ n _____

\|1 + x - 1 1 \|1 + x - 1

lim ------------- = -- => lim ------------ = 1

x->0 x n x->0 x/n

n _____

=> \|1 + x - 1 equiv x/n

Ejercicios de límites

-3x 2 + 2x - 5

lim --------------

x->-inf x 3 - 1

-3x 2 + 2x - 5 -3x 2 -3

lim -------------- = lim ------ = lim --- = 0

x->-inf x 3 - 1 x->-inf x 3 x->-inf x

_____ __

\|2 + x - \|2

lim -------------

x->0 x


_____ __ _____ __ _____ __

\|2 + x - \|2 \|2 + x - \|2 (\|2 + x + \|2 )

lim ------------- = lim -------------------------- ------ =

x->0 x x->0 _____ __

x( \|2 + x + \|2 )

2 + x - 2 1 1

lim ------------------ = lim ------------- = --- --

x->0 _____ __ x->0 _____ __ __

x(\|2 + x + \|2 ) (\|2 + x + \|2 ) 2\| 2

x 3 - 3x + 2

lim -------------

x->1 x 2 + x - 2


x 3 - 3x + 2 (x - 1)(x - 1)(x - 2)

lim ------------- = lim --------------------- = 0

x->1 x 2 + x - 2 x->1 (x - 1)(x + 2)

Ruffini:

1 0 -3 2

1 1 1 -2

1 1 -2 0

1 1 2

1 2 0

-2 -2

1 0

1 1 -2

1 1 2

1 2 0

-2 -2

1 0

x 3 + 4x 2

lim -----------

x->0+ x 4 - 2x 2


x 3 + 4x 2 x 2(x + 4) 4

lim ----------- = lim ------------- = --- = -2

x->0+ x 4 - 2x 2 x->0+ x 2(x 2 - 2) -2

L(x - 1)

lim ---------

x->2 e x-2 - 1

Indeterminado 0/0

equiv. a x - 2

---^---

L(x - 1) x - 2

lim --------- = lim ----- = 1 por límites tipo

x->2 e x-2 - 1 x->2 x - 2 (también se resuelve

---^--- aplicando L'Hôp ital)

equiv. a x - 2

3 1/x - 1

lim -----------

x->+inf 5 1/x - 1


equiv. a (1/x)L3

---^---

3 1/x - 1 (1/x)L3 L3

lim ---------- = lim ------- = ---- = log 53

x->+inf 5 1/x - 1 x->+inf (1/x)L5 L5

---^--- por límites tipo

equiv. a (1/x)L5

3sen4x

lim -------

x->0 2x

Indeterminado 0/0

equiv. a 4x

--^--

3sen4x 3.4x

lim ------- = lim ---- = 6 por límites tipo

x->0 2x x->0 2x

1 - cos3x

lim ---------

x->0 x 2

Indeterminado 0/0

equiv. a (3x) 2/2

----^----

1 - cos3x (3x) 2 9

lim --------- = lim ------- = --- por límites tip o

x->0 x 2 x->0 2x 2 2

sen3x + tg2x

lim ------------

x->0 x

Indeterminado 0/0

equiv. a 3x equiv. a 2x

--^-- --^--

sen3x + tg2x 3x + 2x 5x

lim ------------ = lim ------- = lim ---- = 5 por límites tipo

x->0 x x->0 x x->0 x

lim ((x - 1)/(x + 3)) x+2

x->+inf

Indeterminado 1 inf

lim (x + 2)((x - 1)/(x + 3) - 1)

lim ((x - 1)/(x + 3)) x+2 = e x->+inf =

x->+inf

lim (x + 2)(x - 1 - x - 3)/(x + 3) lim -4(x + 2) /(x + 3)

e x->+inf = e x->+inf =

lim -4x/x -4

e x->+inf = e = 1/e 4

lim xLx

x->0+

Indeterminado 0.inf

Lx

lim xLx = lim ----- = 0- por órdenes de infinitos

x->0+ x->0+ 1/x

e x - e

lim ---------

x->1 x 2 - 1


e x - e e x e

lim --------- = lim ---- = --- por L'Hôpital

x->1 x 2 - 1 x->1 2x 2

También:

equiv. a (x-1)

----^----

e x - e e(e x - 1 - 1) e(x - 1) e

lim --------- = lim -------------- = lim ------- ------- = ---

x->1 x 2 - 1 x->1 x 2 - 1 x->1 (x - 1)(x + 1) 2

por límites tipo

lim (1 + 2/x) x

x->+inf

Indeterminado 1 inf

lim x(2/x) 2

lim (1 + 2/x) x = e x->+inf = e

x->+inf

L(Lx)

lim -------

x->e x - e


L(Lx) 1 1

lim ------- = lim ------ = --- por L'Hôpital

x->e x - e x->e (Lx)x e

También:

equiv. a Lx - 1 equiv. a x/e - 1

--^-- -- ^--

L(Lx) Lx - 1 Lx - Le L( x/e)

lim ------- = lim -------- = lim -------- = lim --- ---- =

x->e x - e x->e x - e x->e x - e | x->e x - e

|

x - e 1 La - Lb = L (a/b)

lim -------- = --- por límites tipo

x->e e(x - e) e

x - 1

lim (Lx)

x->1+

Indeterminación 0 0

(IND. 0.inf)

| L(Lx)

x - 1 lim (x - 1)L(Lx) | lim ---------- 0

lim (Lx) = e x->1+ = e x->1+ 1/(x - 1) = e = 1

x->1+

por órde nes de infinitos

Propiedades útiles de los logaritmos

log(a/b) = log a - log b

log a.b = log a + log b

log(a - b) = log(a/e b)

log a k = klog a

log c a

log b a = ---------

log c b

Funciones Continuas en un punto

f(x)=x2

Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x

implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de

un sólo trozo de curva.

f(x)=sgn x

En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que

consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una

discontinuidad.

La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere

arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.

Expresemos esto en términos del concepto de límite...

Definición

Continuidad

Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).

Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe ser igual a

f(a).

Ejemplos de discontinuidad

f(x)= 1/x2

Discontinua en x=0 (No existe f(0))

f(x) = x2 si x <= 2

2x - 4 si x > 2

Discontinua en x=2.

Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x), pues limx->2-

f(x)=4 y limx->2+f(x)=0

Sin embargo, si miramos la función para x próximos a 2 pero menores, e

ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por la izquierda".

Definición

Continuidad por la izquierda

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y limx->a-

f(x) = f(a).

Definición

Continuidad por la derecha

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y limx->a+f(x)

= f(a).

La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.

Definición

Continuidad en un intervalo cerrado [a,b]

Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si:

f es continua en a por la derecha

f es continua en b por la izquierda

f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a,b)

Clasificación de discontinuidades

Evitable

Caso A:

No existe f(a) pero existe limx->af(x).

Ejemplo:

f(x)= e-1/x2 + 2

No existe f(0) pues anula un denominador.

limx->0-f(x) = limx->0+f(x) = 2 o sea limx->0f(x)=2

Podemos extender la definición de la función, asignándole en el punto a el valor del

límite, con lo cual la función se torna continua. Por ello este tipo de discontinuidad

se denomina evitable.

Caso B:

Existe f(a) y existe limx->af(x)=b pero b≠f(a).

(Existe f(a) pero es distinto al valor del límite).

Ejemplo:

f(x) = x2 si x≠2

8 si x=2

f(2) = 8

limx->2 f(x) = 4

Asignándole a la función el valor 4 en x=2, se elimina la discontinuidad.

No evitable

1ª especie:

limx->a-f(x) ≠ limx->a+f(x).

(Los límites laterales son distintos).

Ejemplo:

f(x) = x/(x - 2)

limx->2-f(x) = -inf

limx->2+f(x) = +inf

2ª especie:

No existe limx->a-f(x) o no existe limx->a+f(x).

(No existe por lo menos uno de los límites laterales).

Ejemplo:

______

f(x) = \|x 2 - 4

En x=-2 y x=2 la función presenta discontinuidades no evitables de 2ª especie. No

existe limx->-2+f(x) y no existe limx->2-f(x).

Operaciones con funciones continuas

Si f y g son funciones continuas en x=a, la suma, multiplicación y cociente de f y g

(con g(a) ≠ 0) son funciones continuas en x=a.

H) f(x) es continua en x=a.

g(x) es continua en x=a.

T) f(x) + g(x) es continua en x=a.

Demostración

Por definición de continuidad,

existe f(a) y existe limx->af(x) = f(a)

existe g(a) y existe limx->ag(x) = g(a)

=> por teo. límite de la suma de funciones, el límite de una suma de funciones es

igual a la suma de los límites de cada función, si éstos son finitos.

limx->a f(x) + g(x) = f(a) + g(a)

=> por def. de continuidad f(x) + g(x) es continua en x=a.

Análogamente se prueba la continuidad del producto y el cociente.

FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO

PROPIEDADES

Teorema de Bolzano

Bernhard Bolzano (1781-1848)

Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y f(a) y f(b) son de

distinto signo, existe por lo menos un punto entre a y b para el cual f(c)=0.

H) f(x) continua en [a,b]

f(a).f(b) < 0

T) Existe c perteneciente a (a,b) / f(c) = 0

Geométricamente, el teorema establece que si dos puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) de la

gráfica de una función continua están situados en diferentes lados del eje x,

entonces la gráfica intersecta al eje en algún punto entre a y b. Por supuesto que

pueden haber varias intersecciones.

Demostración:

Supongamos que f(a)<0 y f(b)>0. (La demostración sería análoga si supusiéramos

f(a)>0 y f(b)<0.)

Consideremos el punto medio de [a,b]: (a+b)/2.

Si f((a+b)/2)=0 queda demostrado el teorema. Sino, f será positiva o negativa en

(a+b)/2.

Tomemos una de las mitades del intervalo [a,b] donde la función sea negativa en

un extremo y positiva en el otro. Llamemos a1 y b1 a los extremos de este

intervalo. Ahora dividamos [a1,b1] a la mitad. Si f no vale cero en el punto medio,

será positiva o negativa. Tomemos la mitad donde f tiene distinto signo en cada

extremo, y llamemos a estos puntos a2 y b2.

Si continuamos de esta manera, obtenemos una sucesión de intervalos [a,b],

[a1,b1], [a2,b2], etc., tales que a <= a1 <= a2 <= ... <= an y b >= b1 >= b2 >= ...

>= bn.

Es decir,

1) Los ai forman una sucesión creciente y los bi forman una sucesión decreciente.

2) Los ai son siempre menores que los bi.

Veamos cuál es el limn->+inf bn - an.

bn - an es la longitud del intervalo [an,bn].

La longitud del intervalo [a1,b1] es (b - a)/2, la mitad de la longitud de [a,b] que es

b - a.

La longitud del intervalo [a2,b2] es (b - a)/22, la mitad de la longitud de [a1,b1] que

es (b - a)/2.

Y siguiendo de esta manera, la longitud del intervalo [an,bn] es (b - a)/2n.

De modo que,

3) limn->+inf bn - an = limn->+inf (b - a)/2n = 0.

1), 2) y 3) son las condiciones de la definición de PSMC:

• an es creciente, bn es decreciente

• Para todo n natural an < bn

• Para todo ε>0 existe h natural / bh - ah < ε (que es lo mismo que limn->+inf bn

- an = 0.)

Todo PSMC tiene la propiedad de definir un número frontera entre ambas

sucesiones.

((an),(bn)) es un PSMC => existe c / para todo n an <= c <= bn, lim an = c- y lim bn

= c+.

lim an = c- significa que para todo δ>0 existe n1 / para todo n>=n1 c - δ < an < c.

lim bn = c+ significa que para todo δ>0 existe n2 / para todo n>=n2 c < bn < c + δ.

O sea que tomando el mayor entre n1 y n2, llamémosle n3, se cumplen ambas

cosas.

Es decir, para todo δ>0 existe n3 / para todo n >= n3 c-δ < [an,bn] < c+δ.

Esto significa que, para cualquier entorno de c que consideremos, existe un

intervalo [an,bn] contenido en dicho entorno.

Por otro lado, f es continua en [a,b] por hipótesis. Por lo tanto es continua en c. Por

definición de continuidad, limx->c f(x)=f(c).

Si f(c)<0, por teo. de conservación del signo existe un entorno de c donde f(x) es

negativa.

Dentro de este entorno, existe un intervalo [an,bn], donde f(an) es de distinto signo

que f(bn). Esto es una contradicción, por lo tanto f(c) no puede ser negativo.

Si f(c)>0, por teo. de conservación del signo existe un entorno de c donde f(x) es

positiva.

Pero, otra vez, dentro de ese entorno existe un intervalo [an,bn] tal que f(an) es de

distinto signo que f(bn).

Por lo tanto, no existe otra posibilidad: f(c)=0.

Propiedad de Darboux

Gaston Darboux (1842-1917)

Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y k es cualquier

número entre f(a) y f(b), entonces existe un valor d entre a y b para el cual f(d)=k.

H) f continua en [a,b]

f(a) < k < f(b)

T) Existe d perteneciente a (a,b) / f(d)=k

Sea g una función auxiliar: g(x) = f(x) - k.

1. g es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas

2. g(a) = f(a) - k < 0

3. g(b) = f(b) - k > 0

=> de 1), 2) y 3) por teorema de Bolzano, existe d perteneciente a (a,b) / g(d) =

f(d) - k = 0

O sea, existe d perteneciente a (a,b) / f(d)=k.

Lema de Weierstrass

Karl Weierstrass (1815-1897)

Una función continua en un intervalo cerrado está acotada.

H) f continua en [a,b]

T) f está acotada en [a,b]

Demostración:

La demostración se realiza por el absurdo. Esto es, se supone falsa la tesis y se

llega a una contradicción.

Suponemos entonces que f(x) no está acotada en [a,b].

Dividamos el intervalo [a,b] a la mitad. Si f está acotada en una de las mitades,

entonces no lo está en la otra. Tomemos esta mitad. Llamemos a1 y b1 a los

extremos de este nuevo intervalo. f no está acotada en [a1,b1].

Dividamos [a1,b1] en dos intervalos iguales. Si f está acotada en uno de ellos,

tomemos el otro, si no, tomemos cualquiera. Llamemos a sus extremos a2 y b2.

Continuando de esta manera, tenemos una sucesión de intervalos [a,b], [a1,b1],

[a2,b2], etc., tales que a <= a1 <= a2 <= ... <= an y b >= b1 >= b2 >= ... >= bn.

Es decir,

1) Los ai forman una sucesión creciente y los bi forman una sucesión decreciente.

2) Los ai son siempre menores que los bi.

Veamos cuál es el limn->+inf bn - an.

bn - an es la longitud del intervalo [an,bn].

La longitud del intervalo [a1,b1] es (b-a)/2, la mitad de la longitud de [a,b] que es

b-a.

La longitud del intervalo [a2,b2] es (b-a)/22, la mitad de la longitud de [a1,b1] que

es (b-a)/2.

Y siguiendo de esta manera, la longitud del intervalo [an,bn] es (b-a)/2n.

De modo que...

3) limn->+inf bn - an = limn->+inf (b - a)/2n = 0.

(1), (2) y (3) son las condiciones de la definición de PSMC.

Es decir que las sucesiones an y bn cumplen con la definición de PSMC:

• an es creciente, bn es decreciente

• Para todo n natural an < bn

• Para todo ε>0 existe n0 natural / bn0 - an0 < ε (que es lo mismo que limn->+inf

bn - an = 0.)

((an),(bn)) es un PSMC y, por lo tanto, tiene frontera:

existe c / para todo n an <= c <= bn, lim an = c- y lim bn = c+.

lim an = c- significa que para todo δ > 0 existe n1 / para todo n >= n1 c - δ < an <

c.

lim bn = c+ significa que para todo δ > 0 existe n2 / para todo n >= n2 c < bn < c +

δ.

O sea que tomando el mayor entre n1y n2, llamémosle n3, se cumplen ambas cosas.

Es decir, para todo δ > 0 existe n3 / para todo n >= n3 c - δ < [an,bn] < c + δ.

Esto significa que, para cualquier entorno de c que consideremos, existe un

intervalo [an,bn] contenido en dicho entorno.

Por otro lado, f es continua en [a,b] por hipótesis. Por lo tanto es continua en c. Por

definición de continuidad, limx->cf(x) = f(c), o sea, para todo ε > 0 existe δ > 0 /

para todo x perteneciente al E*c,δ f(c) - ε < f(x) < f(c) + ε.

Es decir, f está acotada en (c - δ, c + δ).

Pero antes dijimos que f no estaba acotada en ninguno de los intervalos [an,bn].

Tenemos pues aquí una contradicción: decimos que f está acotada en (c - δ, c + δ),

pero no en [an,bn] que está contenido dentro, lo cual es absurdo.

Este absurdo proviene de suponer que f no está acotada en [a,b].

Máximo y mínimo absoluto

Llamamos máximos relativos y mínimos relativos a aquellos puntos donde la

función f tiene un valor máximo o mínimo comparado con los valores de f(x) para x

en algún entorno de esos puntos.

Cuando hablamos de máximo y mínimo absoluto nos referimos al máximo y al

mínimo de f en relación con todos los valores posibles de f(x), para todo x del

dominio.

Para localizar los máximos absolutos (mínimos absolutos) de la función, debemos

comparar los máximos relativos (mínimos relativos) y ver cuál de estos valores es

el mayor (menor).

Teorema de Weierstrass

Una función continua en un intervalo cerrado, tiene máximo y mínimo absoluto en

dicho intervalo.

H) f es continua en [a,b].

T) f tiene máximo y mínimo absoluto en [a,b].

Demostración:

Por hipótesis, f es continua en [a,b] => por el lema de Weierstrass f está acotada

en [a,b], es decir, existen m y n tales que m <= f(x) <= n para todo x

perteneciente a [a,b].

La demostración se realiza por reducción al absurdo.

Primero demostraremos que f tiene máximo absoluto en [a,b].

Queremos probar que existe x1 perteneciente a [a,b] / f(x1) = n.

Supongamos lo contrario de lo que queremos demostrar, o sea que para todo x

perteneciente a [a,b] f(x) ≠ n, f(x) < n.

Sea g una función auxiliar: g(x)=1/(n - f(x)).

g es continua en [a,b] por ser diferencia y cociente de funciones continuas y n -

f(x) ≠ 0. Por el lema de Weierstrass, g está acotada, es decir, para todo x

perteneciente a [a,b]

s <= g(x) <= t

1/(n - f(x)) <= t

1/t <= n - f(x)

f(x) <= n - 1/t

=> n - 1/t es una cota superior de f en [a,b] (1)

Por otro lado g(x) > 0 => t > 0 => 1/t > 0 => n - 1/t < n (2)

De (1) y (2) se deduce que existe una cota superior de f menor que n, el extremo

superior, lo cual es absurdo, pues el extremo superior es la menor de las cotas

superiores.

El absurdo surge de suponer que no existe x tal que f(x)=n, por lo tanto existe x1

perteneciente a [a,b] / f(x1)=n.

Demostraremos ahora que f tiene mínimo absoluto.

Procederemos como en el caso anterior, por el absurdo.

Supondremos que para todo x perteneciente a [a,b] f(x) ≠ m, f(x) > m.

Sea h una función auxiliar: h(x) = 1/(f(x)-m)

h es continua en [a,b] por ser diferencia y cociente de funciones continuas y

f(x)≠m.

Por el lema de Weierstrass, h está acotada, es decir, para todo x perteneciente a

[a,b]

h <= h(x) <= k

1/(f(x)-m) <= k

1/k <= f(x) - m

f(x) >= 1/k + m

=> 1/k + m es una cota inferior de f (1)

Por otro lado h(x)>0 => k>0 => 1/k>0 => 1/k + m > m (2)

De (1) y (2) se deduce que existe una cota inferior de f mayor que el extremo

inferior, lo cual es absurdo.

Este absurdo proviene de suponer que no existe x tal que f(x)=m.

Por lo tanto, sí existe algún x tal que f(x)=m.

FUNCIONES DERIVABLES EN UN INTERVALO

PROPIEDADES

Derivada

Consideremos la tangente a la curva f(x) en el punto P(a,f(a)).

¿Cómo se obtiene el ángulo α entre la tangente y el eje x positivo?

El conocimiento de los valores a y f(a) no basta para determinarlo, puesto que hay

un número infinito de rectas, aparte de la tangente, que pasan por P.

Tampoco es necesario conocer la función f(x) en su comportamiento global; el

conocimiento de la función en una vecindad arbitraria del punto P debe ser

suficiente para determinar α. Esto indica que se debería definir la dirección de la

tangente a una curva f(x) mediante un proceso de límite.

Consideremos un segundo punto P'(x,f(x)) sobre la curva, cercano a P.

Por los dos puntos P y P' se traza una línea recta.

Si el punto P' se mueve a lo largo de la curva hacia el punto P, entonces la recta PP'

se aproxima a la tangente.

Sea α' el ángulo que la recta PP' forma con el eje x positivo.

Entonces limP'->P α' = α

Considerando las coordenadas de los puntos P y P', se tiene:

f(x) - f(a) cateto opuesto

tan α' = ----------- ( ---------------- )

x - a cateto adyacente

Así, nuestro proceso de límite está representado por la ecuación:

f(x) - f(a)

tan α = lim tan α' = lim -----------

x->a x->a x - a

A este límite se lo denomina derivada de la función f(x) en el punto a y se denota

f'(a)

Definición

Derivada en el punto a

Se llama derivada de f(x) en x=a, y se denota f'(a) a:

f(x) - f(a)

f'(a) = lim -----------

x->a x - a

Función derivada

La derivada es una función de x, puesto que un valor de f'(x) corresponde a cada

valor de x.

Teorema

Si una función es derivable, entonces es continua.

H) f es derivable en x=a.

T) f es continua en x=a.

Demostración:

Por hipótesis, existe

f(x) - f(a)

lim ----------

x->a x - a

=> existe f(a) (1)

lim f(x) = lim f(x) - f(a) + f(a) =

x->a x->a

f'(a) por H)

------^------ 0

(f(x) - f(a)) --^--

lim -------------(x - a) + f(a) = f(a) (2)

x->a x - a

De 1) y 2): existe f(a) y limx->af(x)=f(a) => por definición de continuidad, f es

continua en x=a.

El recíproco no es cierto. Una función puede ser continua en un punto pero no

derivable. Cualquier curva con una esquina o vértice en un punto no posee ahí una

tangente. Esos puntos se llaman singulares, y esas funciones, funciones singulares.

3 ___

f(x)= \|x 2

no es derivable en x=0 pero es continua.

Derivada de las funciones elementales

1) f(x) = k

k - k

f'(a) = lim ------- = 0 => f'(x ) = 0

x->a x - a

2) f(x) = bx + c

bx + c - ba - c b(x - a)

f'(a) = lim --------------- = lim -------- = b => f'(x) = b

x->a x - a x->a x - a

x n - a n

3) f(x) = xn => f'(a) = lim --------- =

x->a (x-a)

(x - a)(x n-1 + ax n-2 + a 2x n-3 + ... + a n-1 )

lim ------------------------------------------ = na n-1

x->a (x-a)

=> f'(x) = nx n-1

4) f(x) = Lx equiv. a x/a - 1 ( límites tipo )

--^--

Lx - La L(x/a) x - a 1

f'(a) = lim -------- = lim ------- = lim ----- ---- = --

x->a x - a x->a x - a x->a a(x - a) a

1

=> f'(x) = ---

x

5) f(x) = e x

equiv. a 1 ( límites tipo )

---^---

e x - e a e a(e x-a - 1)

f'(a) = lim --------- = lim ------------ = e a

x->a x - a x->a x - a

=> f'(x) = e x

6) f(x) = sen x

equiv. a (x-a)/2 ( límites tipo )

-----^-----

senx - sena 2sen((x-a)/2)cos ((x+a)/2)

f'(a)=lim ------------ = lim ----------------- -------- =

x->a x - a x->a x - a

2(x - a)cos((x+a)/2)

lim ------------------- = cos a

x->a 2(x - a)

=> f'(x) = cosx

f(x)= nn xx /1)(=

1 x (1-n)/n 1 1

f'(x)=(x 1/n )'= --x 1/n - 1 = ----------- = ------- = --------

n n nx (n-1)/n n ____

n \|x n-1

1

=> f'(x) = ---------

n ____

n \|x n-1

Teorema

Derivada de una constante por una función

H) f es derivable en x=a

T) (kf(a))' = k.f'(a)

Demostración:

f'(a)

------^--- ---

k.f(x) - k.f(a) (f(x) - f( a))

(k.f(a))' = lim ---------------- = lim k ---------- --- = k.f'(a)

x->a x - a x->a x - a

Nota:

• El teorema anterior da el valor de la derivada en el punto a. Como a es un

punto genérico, lo sustituimos por x y tenemos la función derivada:

(kf)'(x) = k.f'(x), si f es derivable en x.

Teorema

Derivada de la suma

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada función.

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a

T) f+g es derivable en x=a

(f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)

Demostración:

(f+g)(x) - (f+g)(a) f(x) + g( x) - f(a) - g(a)

(f+g)'(a) = lim ------------------- = lim --------- ----------------

x->a (x-a) x->a (x-a)

f(x) - f(a) g(x) - g(a)

= lim ----------- + ------------ = f'(a) + g'(a)

x->a (x-a) (x-a)

Notas:

• En general (f+g)'(x) = f'(x) + g'(x), si f y g son derivables en x.

• El teorema se extiende a más de dos funciones.

Ejemplo

(x + Lx)' = x' + (Lx)' = 1 + 1/x

Teorema

Derivada del producto

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a

T) f.g es derivable en x=a

(f.g)'(a) = f'(a).g(a) + f(a).g'(a)

Demostración:

(f.g)(x) - (f.g)(a) f(x).g(x) - f(a).g(a)

(f.g)'(a) = lim ------------------- = lim --------- -----------

x->a (x-a) x->a (x -a)

f(x).g(x) - f(a)g(a) + f(a)g(x) - f(a)g(x)

= lim ------------------------------------------ =

x->a (x-a)

f'(a) g'(a)

(*) g(a) -----^----- -----^-----

-^- (f(x) - f(a)) (g(x) - g(a))

lim g(x)------------- + f(a)------------- = f'(a).g (a) + g'(a).f(a)

x->a (x-a) (x-a)

(*) Pues g es derivable en a => (teorema) g es continua en a

=> (def. de continuidad) existe g(a) y limx->ag(x)=g(a).

Notas:

• (f.g)'(x) = f'(x).g(x) + f(x).g'(x).

• Generalización para tres funciones:

(f(x).g(x).h(x))' = f'(x).g(x).h(x) + f(x).g'(x).h(x) + f(x)g(x).h'(x)

Ejemplo

(x2.sen x)' = 2xsen x + x2cos x

Teorema

Derivada del cociente

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a, g(a) distinto de 0

T) f/g es derivable en x=a

(f/g)'(a) = (f'(a).g(a) - f(a).g'(a))/g2(a)

Demostración:

(f/g)(x) - (f/g)(a) f(x)/g(x) - f(a)/g(a)

(f/g)'(a) = lim ------------------- = lim --------- ------------

x->a x - a x->a x - a

f(x)g(a) - g(x)f(a) + f(a)g(a) - f(a)g(a)

= lim ----------------------------------------- =

x->a (x - a)g(x)g(a)

f'(a) g'(a)

-----^----- -----^-----

(f(x) - f(a)) (g(x) - g(a))

g(a)------------- - f(a)------------- g(a)f '(a) - f(a)g'(a)

lim x - a x - a = ----- ---------------

x->a ------------------------------------ g2(a)

g(x)g(a)

'--> g(a) (*)

(*) Pues g es derivable en a => (teorema) g es continua en a

=> (def. de continuidad) existe g(a) y limx->ag(x)=g(a).

Nota:

• (f/g)'(x) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/g2(x).

Ejemplo

(cos x)x 2 - (sen x)2x xcos x - 2sen x

(sen x/x 2)' = --------------------- = ---------------

x 4 x 3

Teorema

Derivada de la función compuesta

Regla de la cadena

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=f(a)

T) gof es derivable en x=a

(gof)'(a) = g'[f(a)].f'(a)

Demostración:

g[f(x)] - g[f(a)]

(gof)'(a) = [g[f(x)]'(a) = lim ----------------- =

x->a x - a

g'[f(a)] f'(a)

--------^-------- ----^----

g[f(x)] - g[f(a)] f(x) - f(a)

lim ------------------ . ---------- = g'[f(a)].f'(a )

x->a f(x) - f(a) x - a

Nota:

• (gof)'(x) = g'[f(x)].f'(x).

Ejemplo 1

h(x) = ex2 + 2x

h es la composición de g(x) = ex y f(x)=x2 + 2x.

h'(x) = g'[f(x)].f'(x) = ex2+2x.(2x + 2)

Ejemplo 2

h(x) = sen(x2)

h es la composición de g(x)=sen x y f(x)=x2.

h'(x) = g'[f(x)].f'(x) = cos (x2).2x

Teorema

Derivada de la función inversa

H) f es derivable en x=a (f'(a) distinto de 0)

f-1(x) es continua en f(a)

T) f-1 es derivable en x=f(a).

[f-1(f(a))]' = 1/f'(a)

Demostración:

Queremos calcular

f -1 (x) - f -1 (f(a)) f -1 (x) - a

lim ----------------- = lim ------------

x->f(a) x - f(a) x->f(a) x - f(a)

Definamos g(x)=(f(x) - f(a))/(x - a) para todo x distinto de a.

Consideremos (gof-1)(x) / (gof-1)(x) = g[f-1(x)]

1) lim f -1 (x) = a pues f -1 (x) es continua en f(a) por H)

x->f(a)

f(x) - f(a)

2) lim g(x) = lim ----------- = f'(a) pues f es der ivable en a

x->a x->a x - a por H)

=> De 1) y 2) por límite de la función compuesta

lim g[f -1 (x)] = f'(a)

x->f(a)

f[f-1(x)] - f(a) x - f(a)

g[f -1 (x)] = ---------------- = ----------

f -1 (x) - a f -1 (x) - a

f -1 (x) - a 1

=> lim ------------ = -----

x->f(a) x - f(a) f'(a)

Nota:

• (f-1)'(f(x)) = 1/f'(x).

Teoremas de Rolle y de Lagrange

Teorema de Rolle

Michael Rolle (1652-1719)

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], derivable en el intervalo

abierto (a,b) y f(a)=f(b), entonces existe al menos un punto c entre a y b para el

cual f'(c)=0.

H) f es continua en [a,b]

f es derivable en (a,b)

f(a)=f(b)

T) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=0

Interpretado geométricamente, significa que si una curva alcanza el mismo valor en

dos puntos, entonces debe poseer una tangente horizontal en algún punto

intermedio.

Demostración:

f es continua en [a,b] => por teo. de Weierstrass f tiene máximo absoluto M y

mínimo absoluto m en [a,b].

Para todo x perteneciente a [a,b] m <= f(x) <= M.

Existe x1 perteneciente a [a,b] / f(x1)=M.

Existe x2 perteneciente a [a,b] / f(x2)=m.

Si m = M => para todo x perteneciente a [a,b] f(x) = M => f'(x) = 0

Sino, m < M => por lo menos uno de los puntos, x1 o x2, corresponde al interior del

intervalo, a (a,b), por ejemplo x2.

=> (a,b) se comporta como un entorno de x2.

Se cumple que para todo x perteneciente a (a,b) f(x2) <= f(x)

=> Por def. de mínimo relativo f presenta un mínimo relativo en x2. (1)

f es derivable por hipótesis. (2)

De 1) y 2), por Condición necesaria para la existencia de extremos relativos

f'(x2)=0

Teorema de Lagrange o del valor medio

Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813)

Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en todo punto del

intervalo abierto (a,b), entonces existe al menos un punto c donde f'(c) = (f(b) -

f(a))/(b - a).

H) f(x) es continua en [a,b]

f(x) es derivable en (a,b)

T) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=(f(b) - f(a))/(b - a)

Geométricamente, (f(b) - f(a))/(b - a) es la tangente del ángulo que forma la

secante que pasa por los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)) de la curva, con el eje ox.

f'(c) es la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva en el punto c,

con el eje ox.

Entonces, el teorema expresa que existe al menos un punto en el intervalo (a,b)

donde la tangente a la curva es paralela a la recta que pasa por A y B.

Demostración:

Definamos una función auxiliar g(x) = f(x) + hx, h perteneciente a R.

g es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas.

g es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables.

Queremos que g(a) sea igual a g(b) para aplicar el teorema de Rolle

=> f(a) + ha = f(b) + hb => f(a) - f(b) = hb - ha = h(b - a)

f(a) - f(b)

=> h = -----------

b - a

=> por teo. de Rolle, existe c perteneciente a (a,b) / g'(c) = 0

g'(x) = f'(x) + h

f(b) - f(a)

g'(c) = f'(c) + h = 0 => f'(c) = -----------

b - a

Considérese por ejemplo, el caso donde x es el tiempo y f(x) la distancia de un

automóvil desde su punto de partida a lo largo de cierto camino.

Entonces (f(b) - f(a))/(b - a) es la velocidad promedio del automóvil en el período b

- a. (Recordar que velocidad = distancia/tiempo)

Por lo tanto f'(a)=limx->a (f(x) - f(a))/(x - a) es la velocidad del auto en el tiempo a.

Si por ejemplo el auto ha recorrido 200km. en 2 hs., la velocidad promedio fue de

100km. por hora.

Por el teorema de Lagrange podemos decir que, al menos en un momento durante

esas dos horas, el auto tuvo una velocidad de exactamente 100km/h.

Teoremas de Cauchy y L'Hôpital

Teorema de Cauchy

Augustin Cauchy (1789-1857)

H) f(x) y g(x) continuas en [a,b]

f(x) y g(x) derivables en (a,b)

f'2(x) + g'2(x) distinto de 0 para todo x perteneciente a (a,b)

(Las derivadas no se anulan en el mismo punto del intervalo.)

g(a) distinto de g(b)

T) Existe c perteneciente a (a,b) / (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)) = f'(c)/g'(c)

Demostración:

Sea h(x) = f(x) + kg(x)

1. h es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas en [a,b].

2. h es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables en (a,b).

3. Queremos que h(a)=h(b) para aplicar el teorema de Rolle.

=> f(a) + kg(a) = f(b) + kg(b)

k(g(a) - g(b)) = f(b) - f(a)

k = (f(b) - f(a))/(g(a) - g(b))

De 1),2) y 3) por el teorema de Rolle existe c perteneciente a (a,b) / h'(c) = 0.

h'(x) = f'(x) + kg'(x)

h'(c) = f'(c) + kg'(c) = 0

f'(c)/g'(c) = -k

f'(c)/g'(c) = (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a))

Teorema de L'Hôpital

François Antoine de L'Hôpital (1661-1704)

H) limx->a f(x) = limx->a g(x) = 0

Existe limx->a f'(x)/g'(x)

T) limx->a f(x)/g(x) = limx->a f'(x)/g'(x)

Demostración:

Por H) existe f'(x) y g'(x) en un E*a => f y g son derivables en un E*

a => (teorema)

f y g son continuas en E*a

A f(a) y g(a) les adjudicamos el valor 0 en a porque si son discontinuas en a es una

discontinuidad evitable.

f(a) = g(a) = 0

Supongo limx->a f'(x)/g'(x) = b => por definición de límite para todo Eb existe un E*a

/ para todo x perteneciente al E*a f'(x)/g'(x) pertenece al Eb.

Sea x perteneciente a un E*a

f y g son continuas en [x,a] y derivables en (x,a) => por el teorema de Cauchy

existe c perteneciente a (x,a) / (f(a) - f(x))/(g(a) - g(x)) = f'(c)/g'(c)

o sea f(x)/g(x) = f'(c)/g'(c)

c pertenece a un E*a => f'(c)/g'(c) pertenece a un Eb => f(x)/g(x) pertenece al Eb.

=> limx->a f(x)/g(x) = b => limx->a f(x)/g(x) = limx->a f'(x)/g'(x).

Ejemplo

2x - 2

lim ------ es una indeterminación 0/0.

x->1 Lx

Derivemos el numerador y el denominador y veamos el límite:

2 2x - 2

lim ------- = 2 => por L'Hôpital lim ------ = 2

x->1 1/x x->1 Lx

DESARROLLO DE UNA FUNCIÓN EN SERIE

Serie de Taylor y serie de McLaurin

Serie de McLaurin

Sea la fórmula de McLaurin

siendo con 0 < z < x.

Es decir .

Llamaremos serie de MacLaurin asociada a una función f(x) a la expresión

Esta serie describe exactamente a la función f(x) cuando coincida con la fórmula de McLaurin y para ello deberá cumplirse que:

1)Se trabaje en el intervalo de convergencia de la serie y

2) .

Ejemplo: Sea f(x) = ex

Veremos si .

que .

Serie de Taylor

De lo que se obtiene:

Si a = 0 entonces se habla de serie de Mc. Laurin.

Serie de Taylor

En matemáticas, la serie de Taylor de formula función f infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma:

sin(x) y aproximaciones de Taylor, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:

• La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.

• Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.

• Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

Desarrollo en Serie de Taylor

Se ha visto que una serie de potencias representa una función ( su

suma ) analítica en . A continuación se va a establecer un recíproco, fundamental en la teoría de funciones de variable compleja.

unidad 2 - funciones de variable real continuidad y

Documents