1

1. PRELIMINARES

1.1. FUNCIONES ELEMENTALES

2 1 PRELIMINARES

1.2 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS 3

1.2. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

4 1 PRELIMINARES

1.3. LÍMITES Y CONTINUIDAD

Definición 1.1. Función real de variable real. Sea A ⊂ R. Una fun-ción real de variable real es una aplicación f : A ⊂ R → R.

Dominio. Se llama dominio de f al conjunto

D(f) = {x ∈ R : ∃ f(x) ∈ R}

Imagen. Se llama imagen de f al conjunto

Im(f) = {y = f(x) : x ∈ D(f)} = f(D(f))

Gráfica. La gráfica de f es

Gf = {(x, y) ∈ R2 : y = f(x)}

Función recíproca o inversa. Dada f inyectiva, la inversa de f , f−1, esla función tal que (f−1 ◦ f)(x) = (f ◦ f−1)(x) = x.

Función periódica. La función f es periódica si existe T > 0 tal quef(x) = f(x+T ) para todo x ∈ D(f). El menor de tales T > 0 se llamaperíodo de la función.

Función par e impar. Si f(−x) = f(x) para todo x ∈ D(f), se diceque f es par. Si f(−x) = −f(x) para todo x ∈ D(f), se dice que f esimpar.

Función creciente y decreciente. Una función f : A → R es creciente(decreciente) si para todo x1 < x2 es f(x1) ≤ f(x2) (f(x1) ≥ f(x2)).Si la desigualdad es estricta, decimos que f es estrictamente creciente(estrictamente decreciente).

Función acotada. Una función f es acotada inferiormente si existek ∈ R tal que f(x) ≥ k para todo x ∈ D(f). Se dice que f es acotadasuperiormente si existe k ∈ R tal que f(x) ≤ k para todo x ∈ D(f).Decimos que f es acotada si lo es superior e inferiormente.

Operaciones con funciones.

Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x)Producto: (fg)(x) = f(x)g(x)Producto por escalar: (kf)(x) = kf(x)Composición: (g ◦ f)(x) = g(f(x))

1.3 LÍMITES Y CONTINUIDAD 5

Definición 1.2. Límite.Sea I = (c, d) un intervalo abierto con a ∈ I y sea f una función definida

en I (salvo quizá en a). Dado l ∈ R, se dice que lımx→a f(x) = l si y sólo sipara todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x−a| < δ, entonces |f(x)− l| < ε.

Una definición equivalente, mediante el empleo de sucesiones, es la si-guiente:

lımx→a

f(x) = l ⇔ (∀ {xn} → a con xn 6= a para todo n ⇒ {f(xn)} → l)

Definición 1.3. Límites laterales.Dado l+ ∈ R, se dice que lımx→a+ f(x) = l+ si y sólo si para todo ε > 0

existe δ > 0 tal que si 0 < x− a < δ, entonces |f(x)− l+| < ε.Si, en vez de aproximar la x a la a por la derecha, lo hacemos por la

izquierda, obtenemos el límite por la izquierda, lımx→a− f(x) = l−.Los límites laterales también se pueden definir empleando sucesiones que

se aproximen por cada uno de los lados de a.

Teorema 1.1. Existe lımx→a

f(x) si y sólo si existen los límites laterales ycoinciden, esto es, lım

x→a+f(x) = lım

x→a−f(x) = l ∈ R

Definición 1.4. Límites infinitos. Decimos que limx→af(x) = +∞(−∞) si para todo M ∈ R existe un δ > 0 tal que f(x) > M (f(x) <M) para todo x tal que 0 < |x− a| < δ.

Los límites laterales infinitos limx→a+f(x) = ±∞ y limx→a−f(x) =±∞ se definen de modo análogo, pero aproximándose por el lado ade-cuado de a.

Límite finito en el infinito. Si (a,+∞) ⊂ D(f), se dice que f tiende al cuando x → +∞, esto es, lımx→∞ f(x) = l si para todo ε > 0 existeM ∈ R tal que si x > M entonces |f(x)− l| < ε.

Límite infinito en el infinito. Si (a,+∞) ⊂ D(f), decimos que lımx→+∞ f(x) =+∞ si para todo M ∈ R, ∃N ∈ R tal que si x > N entonces f(x) > M .

De modo análogo se definen los límites lımx→+∞ f(x) = −∞, lımx→−∞ f(x) =+∞ y lımx→−∞ f(x) = −∞.

Teorema 1.2. El límite, si existe, es único.

Propiedades de los límites.Sean f, g tales que lımx→a f(x) = l1 y lımx→a g(x) = l2. Entonces:

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1. lımx→a α = α, α ∈ R2. lımx→a αf(x) = αl1, α ∈ R3. lımx→a(f(x)± g(x)) = l1 ± l24. lımx→a(f(x)g(x)) = l1l2

5. lımx→af(x)g(x) = l1

l2(l2 6= 0)

6. lımx→a(f(x))n = ln17. lımx→a

n√

f(x) = n√

l1 (si n impar ó n par y l1 ≥ 0)8. lımx→a bf(x) = bl1 , b ∈ R9. lımx→a f(x)g(x) = ll21 (l1 > 0)

Los casos

00,∞∞

, 0∞, ∞−∞, 1∞, 00, ∞0

son indeterminaciones.

Teorema 1.3. Regla del Sandwich.Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) en un entorno de a (salvo, quizá, en el propio a) y

lımx→a

f(x) = lımx→a

h(x) = l, entonces lımx→a

g(x) = l. Aquí a y l pueden ser tantofinitos como infinitos.

Definición 1.5. Continuidad.Una función f es continua en a si se satisfacen las condiciones siguientes:1. f(a) está definida.2. lımx→a f(x) = f(a) (el límite existe y es igual a f(a)).Otra caracterización de continuidad es con sucesiones: f es continua en

a ∈ D(f) si para toda sucesión {xn} → a se verifica que {f(xn)} → f(a).Decimos que f es continua en un intervalo abierto (c, d) si lo es en cada

punto del intervalo.

Definición 1.6. Si f no es continua en a, se dice que f tiene en a unadiscontinuidad. La discontinuidad es:

Evitable si existe lımx→a f(x) ∈ R.

Inevitable en caso contrario.

Definición 1.7. Continuidad lateral.La función f es continua por la izquierda (derecha) de a ∈ D(f) si

lımx→a− f(x) = f(a) (lımx→a+ f(x) = f(a)).

Teorema 1.4. La función f es continua en a si y sólo si es continua por laderecha y por la izquierda de a.

Teorema 1.5. Propiedades de la continuidad.Sean f, g continuas en a ∈ R. Entonces

1. kf es continua en a para cualquier k ∈ R.

1.3 LÍMITES Y CONTINUIDAD 7

2. (f ± g) es continua en a.3. (fg) es continua en a.4. Si g(a) 6= 0, entonces f

g es continua en a.5. Si h es continua en g(a), entonces (h ◦ g)(x) = h(g(x)) es continua en a.

Teorema 1.6. Las funciones elementales (polinomios, funciones racionales,raíces, funciones trigonométricas, trigonométricas inversas, funciones expo-nenciales, logarítmicas) son todas ellas continuas en sus dominios.

Teorema 1.7. Teorema del valor intermedio.Si f es continua en I = [a, b] y k es un número real entre f(a) y f(b),

existe al menos un c ∈ I tal que f(c) = k.

Teorema 1.8. Teorema de Weierstrass.Si f : [a, b] → R es continua, entonces f alcanza un máximo y un mínimo

en el intervalo [a, b], esto es, existen x1, x2 ∈ [a, b] tales que

f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) ∀x ∈ [a, b]