la derivada de una funcion real de variable real

7242019 La derivada de una funci on real de variable real

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La derivada de una funcion real de variable real

Por SUacuteAREZ AZPUR Fredy R

Mayo de 2015

1 La derivada

La nocion de la derivada de una funcion esta relacionada con el cambio de los valores de la funcion cuando

cambia su variable independiente por ejemplo en fısica con el cambio de posicion de una partıcula conforme

trascurre el tiempo cuando el cambio sucede en intervalos pequenos de tiempo da como resultado la velocidad

de la partıcula en ese instante En este artıculo presentaremos la derivada y sus aplicaciones que seran claves

para el desarrollo del calculo diferencial

Definicion 11 (La derivada de una funcion en un punto) Sean empty = A sub a isin A a un punto de

acumulaciacute on de A f A minusrarr

una funci on Consideremos la funciacute on F A minus a minusrarr

definida por

F (x) = f (x) minus f (a)

x minus a

La funciacute on ldquo f rdquo es derivable en el punto ldquo ardquo si existe el lımite lımxrarra

F (x) dicho l ımite se denominara la derivada

de f en ldquo ardquo y lo denotaremos por f prime(a) es decir

f prime(a) = lımxrarra

f (x) minus f (a)

x minus a

Definicion 12 (La derivada de una funcion en un conjunto) Sean empty = A sub

empty = M sub ALa funciacute on f A minusrarr

es derivable en el conjunto M si es derivable en todo x isin M

Interpretacion de la derivada La expresion f (x) minus f (a)

x minus a es la pendiente de la recta secante a la grafica de

f que pasa por los puntos(

a f (a)852009

y(

x f (x)852009

a medida que x se aproxima hacia ldquoardquo esta recta secante se

aproxima a la recta tangente a la grafica de f en el punto(

a f (a)852009

por tanto f prime(a) = lımxrarra

f (x) minus f (a)

x minus a es la

pendiente de la recta tangente a la grafica de f en dicho punto

1




Teorema 11 Sean empty = A sub a isin A a un punto de acumulacion de A f A minusrarr

a) Si f es derivable en a entonces la ecuaciacute on de la recta tangente a la gracute afica de la funciacute on f en el punto(a f (a)

852009 es

L T y minus f (a) = f prime(a)(x minus a)

b) Si f es derivable en a y f

prime

(a) = 0 entonces la ecuaciacute on de la recta normal a la gracute afica de la funciacute on f en el punto

(a f (a)

852009 es

L N y minus f (a) = minus1

f prime(a)(x minus a)

c) Si f es derivable en a y f prime(a) = 0 entonces las ecuaciones de la recta tangente y normal a la gracute afica de la

funciacute on f en el punto(

a f (a)852009

son

L T y = f (a) and L N x = a

Observacion Si el punto a es un punto de acumulacion del conjunto A no se puede garantizar que a isin A por

ejemplo a = 0 es un punto de acumulacion del conjunto A =1048699 1

n983087

n isin +983165

pero a isin A mientras que a = 3 es

un punto de acumulacion del conjunto A = [3 5] y a isin A

Si el punto a es un punto de acumulacion del conjunto A y a isin A entonces se denotara por a isin A cap A prime

Teorema 12 Sean empty = A sub

a isin A cap A prime f A minusrarr

g A minusrarr

dos funciones

1 Si f y g son funciones derivables en a entonces f + g f minus g λf (con λ isin ) y f g son derivables en a y

ademacute as

a) (f + g) prime(a) = f prime(a) + g prime(a)

b) (f minus

g) prime(a) = f prime(a)minus

g prime(a)

c) (λf ) prime(a) = λf prime(a)

d) (f g) prime(a) = f prime(a)g(a) + f (a)g prime(a)

2 Si f y g son funciones derivables en a y g(a) = 0 entonces 1g f g son derivables en a y

a)

10486161

g

1048617prime(a) =

minusg prime(a)

[g(a)]2 b)

1048616f

g

1048617prime(a) =

f prime(a)g(a) minus f (a)g prime(a)

[g(a)]2

Observacion Si la funcion f + g es derivable en el punto a de su dominio no podemos garantizar que las

funciones f y g sean derivables en el punto a

Ejemplo 11

1 La funcion f definida por f (x) = C cuyo dominio es es derivable en tondo y f prime(x) = 0 para todo

x isin

UNSCH 2 Designed in LATEX by Suarez Azpur Fredy R




2 Sea la funcion f definida por f (x) = radic

x cuyo dominio es [0 +infin⟩ entonces

f prime(2) = lımxrarr2

radic x minus radic

2

x minus 2 = lım

xrarr2

radic x minus radic

2

x minus 2 middot

radic x +

radic 2radic

x +radic

2= lım

xrarr2

1radic x +

radic 2

= 1

2radic

2


radic x minus radic

5

x minus 5 = lım

xrarr5

radic x minus radic

5

x minus 5 middot

radic x +

radic 5radic

x +radic

5= lım

xrarr5

1radic x +

radic 5

= 1

2radic

5

f prime

(0) no existe pues lımxrarr0+

radic x

minusradic

0

x minus 0 = lımxrarr0+

1radic x = +infin y lımxrarr0minus

radic x

minusradic

0

x minus 0 = lımxrarr0minus

1radic x no tiene sentido

ya que Dom(f ) = [0 +infin⟩

3 Sea la funcion f definida por f (x) = |x| cuyo dominio es R entonces


|x| minus |3|x minus 3

= lımxrarr3

x minus 3

x minus 3 = lım

xrarr31 = 1

f prime(minus4) = lımxrarrminus4

|x| minus | minus 4|x minus (minus4)

= lımxrarrminus4

minusx minus 4

x minus (minus4) = lım

xrarrminus4(minus1) = minus1

f prime(0) no existe pues lımxrarr0+


= lımxrarr0+

(1) = 1 y lımxrarr0minus


= lımxrarr0minus

(minus1) = minus1

En general Si x lt 0 f prime

(x) = minus1 si x gt 0 f prime

(x) = 1 y si x = 0 f prime

(x) no existe

4 Sea la funcion f definida por f (x) = x cuyo dominio es R entonces


x minus 3

x minus 3 = lım

xrarr31 = 1 f prime(minus4) = lım

xrarrminus4

x minus (minus4)


xrarrminus4(1) = 1

es mas para todo x isin tenemos f prime(x) = 1

5 La funcion f

minusrarr

definida por f (x) = x2 es derivable en todo

y f prime(x) = 2x para todo x isin

6 La funcion f

minusrarr


y f prime(x) = 3x2 para todo x isin

7 La funcion f

minusrarr

definida por f (x) = xn con n

isin

es derivable en todo

y f prime(x) = nxnminus1 para

todo x isin

8 La funcion f

minusrarr

definida por f (x) = 3radic

x no es derivable en x = 0 pero si es derivable en

minus 0

ademas f prime(x) = 1

3 3radic

x2para todo x = 0

9 La funcion f

minusrarr


x2 no es derivable en x = 0 pero si es derivable en

minus 0


3 3radic

x para todo x = 0

10 Las funciones exponenciales son derivables en todo su dominio si f (x) = ax entonces f prime(x) = ax ln a para

todo x isin

En particular si f (x) = ex entonces f prime(x) = ex para todo x isin

11 Las funciones logarıtmicas son derivables en todo su dominio si f (x) = loga x entonces f prime(x) = 1x ln a

para todo x gt 0 En particular si f (x) = ln x entonces f prime(x) = 1

x para todo x gt 0

12 Las funciones trigonometricas son derivables en todo su dominio tambien son derivables en su dominio las

funciones trigonometricas inversas

Definicion 13 Sean empty = A sub a isin A cap A prime f A minusrarr

una funciacute on Si f es derivable en el punto ldquo ardquo a

la derivada de f en el punto ldquo ardquo tambien lo denotaremos mediante

df

dx(a) f prime(x)x=a Dxf (a) f (1)(a)

En la definicion 11 al realizar el cambio de variable h = x minusa tenemos el siguiente teorema que nos proporciona

otro metodo para calcular la derivada de una funcion en un punto





Teorema 13 Sean empty = A sub a isin A cap A prime f A minusrarr una funci on Si f es derivable en el punto lsquo ardquo

entonces

f prime(a) = lımhrarr0

f (a + h) minus f (a)

h

Definicion 14 Si f es una funcion la funciacute on derivada de f denotada por f prime estacute a definida por la regla

f prime

(x) = lımhrarr0

f (x + h)

minusf (x)

h

donde x estacute a en el dominio de f para los cuales f prime(x) existe Aquı Dom(f prime) sub Dom (f )

Teorema 14 (Regla de la cadena) Sean las funciones f A minusrarr g B minusrarr

con Ran(f ) sub B

a isin A cap A prime b = f (a) isin B cap B prime Si existen f prime(a) y g prime(b) entonces la funciacute on g f A minusrarr es derivable en el

punto ldquo ardquo y ademacute as su derivada en ese punto es

(g f )prime(a) = g prime(b)f prime(a) = g prime(

f (a)852009

f prime(a)


con Ran(f ) sub B

x isin A cap Aprime

f (x) isin B cap Bprime

Si existen f prime

(x) y gprime(

f (x)852009

entonces la funciacute on g f A minusrarr

es derivable en el punto ldquo xrdquo y ademas la regla de correspondencia de la derivada de la funciacute on g f en todos los puntos de A

donde es derivable es

(g f )prime(x) = g prime(

f (x)852009

f prime(x)

Definicion 15 (Funciones trigonometricas hiperbolicas) El seno hiperbacute olico y el coseno hiperbacute olico y

las cuatro funciones relacionadas se definen por

sinh x = e

x minus e minusx

2 para todo x isin

cosh x = e

x + e minusx

2 para todo x isin

tanh x = sinh xcosh x

= e

x

minus e

minusx

e x + e

minusx para todo x isin

coth x = 1tanh x

= e

x

+ e

minusx

e x minus e


minus 0

sech x = 1

cosh x =

2

e x + e

minusx para todo x isin csch x =

1

sinh x =

2

e x minus e


minus 0

Observacion Las funciones trigonometricas hiperbolicas son derivables en todo su dominio tambien son

derivables en su dominio las funciones trigonometricas hiperbolicas inversas

11 Derivadas laterales

Definicion 16 Sean empty = A sub

f A minusrarr

una funciacute on

1 Para a isin A cap [a +infin⟩ definimos la derivada por la derecha de la funciacute on f en el punto ldquo ardquo como el siguiente

lımite

f prime+(a) = lımxrarra+

f (x) minus f (a)

x minus a

si es que existe En este caso diremos que f es derivable por derecha en a

2 Para a isin Acap⟨minusinfin a] definimos la derivada por la izquierda de la funciacute on f en el punto ldquo ardquo como el siguiente

lımite

f primeminus

(a) = lımxrarraminus

f (x) minus f (a)

x

minusa

si es que existe





Teorema 16 Sean empty = A sub a isin A cap A prime y f A minusrarr La funciacute on f es derivable en el punto ldquo ardquo si y solo

si existen f prime+(a) f primeminus

(a) y son iguales En este caso

f prime(a) = f prime+(a) = f primeminus

(a)

Ejemplo 12

1 Sea la funcion f cuya regla es f (x) =

983163 2x si 0 lt x lt 3

x3 si 3 le x lt 6

⋆ f prime+(3) = lımxrarr3+

f (x) minus f (3)

x minus 3 = lım

xrarr3

x3 minus 33

x minus 3 = lım

xrarr3(x2 + 3x + 9) = 27

⋆ f primeminus

(3) = lımxrarr3minus

f (x) minus f (3)

x minus 3 = lım

xrarr3minus

2x minus 33

x minus 3 = +infin

Los resultados anteriores indican que existe f prime+(3) y es igual a 27 pero f primeminus

(3) no existe y de acuerdo al

teorema 16 f no es derivable en x = 3

2 Sea la funcion f cuya regla es f (x) = 983163 x2 si 0 lt x lt 1

2x minus 1 si 1 le x lt 5


f (x) minus f (1)

x minus 1 = lım

xrarr1+

9830802x minus 1

983081minus983080

2(1) minus 1983081

x minus 1 = lım

xrarr1+

2x minus 2

x minus 1 = 2

⋆ f primeminus


f (x) minus f (1)

x minus 1 = lım

xrarr1minus

x2 minus983080

2(1) minus 1983081

x minus 1 = lım

xrarr1minus

x2 minus 1

x minus 1 = lım

xrarr1minus(x + 1) = 2

Los resultados anteriores indican que existen f prime+(1) y f primeminus

(1) y que ademas son iguales a 2 de acuerdo al

teorema 16 f es derivable en x = 1 y la derivada de f en x = 1 es

f prime(1) = f prime+(1) = f primeminus(1) = 2

Observaciones

1 Si una de las derivadas laterales f prime+(a) f primeminus

(a) no existen entonces f no es derivable en a

2 Si las derivadas laterales f prime+(a) f primeminus

(a) existen pero son diferentes entonces f no es derivable en a

12 Derivacion y continuidad



una funciacute on Si la funciacute on f es derivable en el punto

ldquo ardquo entonces es continua en ldquo ardquo

Observaciones

1 Si una funcion es continua en un punto no se puede garantizar que sea derivable en ese punto

2 Si una funcion no es continua en un punto entonces no es derivable en ese punto

Ejemplo 13

1 Sea la funcion f definida por f (x) =

radic 1 minus x si x lt 1

(1

minusx)2 si x

ge 1

⋆ lımxrarr1minus

f (x) = lımxrarr1minus

radic 1 minus x = 0 lım

xrarr1+f (x) = lım

xrarr1+(1 minus x)2 = 0 y f (1) = 0





⋆ lımxrarr1minus

f (x) minus f (1)

x minus 1 = lım

xrarr1minus

radic 1 minus x minus 0

x minus 1 = minusinfin

⋆ lımxrarr1+

f (x) minus f (1)

x minus 1 = lım

xrarr1+

(1 minus x)2 minus 0

x minus 1 = 0

Con los resultados anteriores vemos que f es continua en x = 1 pero no es derivable en ese punto En este

caso el ser continua en un punto no implica que sea derivable en el mismo punto


1 si x lt 4

2 si x ge 4

⋆ lımxrarr4minus

f (x) = 1 lımxrarr4+

f (x) = 2 y f (4) = 2

⋆ lımxrarr4minus

f (x) minus f (4)

x minus 4 = lım

xrarr4minus

1 minus 2

x minus 4 =

minus1

0minus= +infin

⋆ lımxrarr4+

f (x)

minusf (4)


2

minus2

x minus 4 = lımxrarr4+(0) = 0

Con los resultados anteriores vemos que f es no continua en x = 4 entonces no es derivable en x = 4 no

era necesario calcular f prime+(4) y f primeminus

(4) para demostrar que f no es derivable en x = 4


x2 si x lt minus1

minus1 minus 2x si x ge minus1

⋆ lımxrarrminus1minus

f (x) minus f (minus1)


xrarrminus1

x2 minus 1

x + 1 = lım

xrarrminus1(x minus 1) = minus2

⋆ lımxrarrminus1+

f (x)minus

f (minus

1)

x minus (minus1) = lımxrarrminus1 minus1

minus2x

minus1

x + 1 = lımxrarrminus1 minus2

minus2x

x + 1 = lımxrarrminus1(minus2) = minus2

Los resultados anteriores implican que f es derivable en x = minus1 y por tanto es continua en ese punto

Ejercicio 1 Utilice la definiciacute on de la derivada para calcular la derivada de f en el punto a

1) f (x) = 1radic

x + 1 a = 3

2) f (x) = 3x a = 5

3) f (x) = sin 2x a = π

4) f (x) = x + 3

2x minus 5 a = 2

Ejercicio 2 A continuaciacute on presentamos las reglas de correspondencia de ciertas funciones halle la regla de

correspondencia de su funciacute on derivada Utilice la tabla de derivadas que estacute a en la siguiente pacute agina

1) f (x) = x4 + 3x2 minus 6

2) f (x) = (1 + 4x3)(1 + 2x2)

3) f (x) = x(2x minus 1)(3x + 2)

4) f (x) = tan x

x2

5) f (x) =radic

4 minus xx

6) f (x) =

1

(x + a)n middot 1

(x + b)m

7) f (x) =

radic 2x2 minus 2x + 1

x

8) f (x) =

radic x2 + 1 +

radic x2 minus 1radic

x2 + 1 minus radic x2 minus 1

9) f (x) =991770

x +radic

x +radic

x

10) f (x) = arctan

1048616radic 1 minus cos xradic 1 + cos x

1048617

11) f (x) = 1radic

x middot e

x2 middot arctan x + 1

2 ln x + 1

12) f (x) = ln983080radic

2sin x + 1 +radic

2sin x minus 1983081

13) f (x) = 3

1057306 ln983080

sin(x + 3

4

852009983081UNSCH 6 Designed in LATEX by Suarez Azpur Fredy R




Tabla de derivadas de las funciones mas importantes Sean u = u(x) v = v(x) dos funciones derivables

C una constante real entonces tenemos la siguiente tabla que contiene a dichas funciones y sus derivadas en los

puntos en donde esta existen

Funcion Derivada

y = f (x) dy

dx = f prime(x)

C 0

x 1

Cf (x) Cf prime(x)

un nunminus1 middot du

dx

u plusmn v uprime plusmn vprime

u v uprimev + uvprime

u

v

uprimev minus uvprime

v2

ln u 1

u middot du

dx

loga u 1

u ln a middot du

dx

e u e u middot dudx

au au ln a middot du

dx

Funcion Derivada

y = f (x) dy

dx

= f prime(x)

sin u cos u middot du

dx

cos u minus sin u middot du

dx

tan u sec2 u middot du

dx

cot u minus csc2 u middot du

dx

sec u sec u middot tan u middot du

dx

csc u minus csc u middot cot u middot du

dx

arcsin u 1radic

1 minus u2 middot du

dx

arc cosu minus1radic


dx

arctan u 1

1 + u2 middot du

dx

arc cot u minus11 + u2 middot dudx

arcsec u 1

uradic

u2 minus 1middot du

dx

arccsc u minus1

uradic

u2 minus 1middot du

dx

Funcion Derivada

y = f (x)

dy

dx = f prime

(x)

sinh u cosh u middot du

dx

cosh u sinh u middot du

dx

tanh u sech2u middot du

dx

coth u minuscsch2u middot du

dx

sech u minussech u middot tanh u middot dudx

csch u minuscsch u middot coth u middot du

dx

radic u

1

2radic

u middot du

dx

n

radic u

1

n n

radic (u)nminus1

middot du

dx

|u

| u

|u| middot du

dx

uv uv

1048616v

u middot du

dx +

dv

dx middot ln u

1048617

1

u minus 1

u2 middot du

dx

13 Derivadas de orden superior

131 Notacion de derivadas

En la definicion 14 si f A minusrarr es una funcion su funcion derivada f prime cuya regla de correspondencia es

f prime(x) = lımhrarr0

f (x + h) minus f (x)

h

tiene por dominio a Dom (f prime) = x isin A existe f prime(x) que generalmente esta contenido en A pudiendo ser

A = Dom (f prime) tal es el caso de la funcion f

minusrarr definida por f (x) = sin x donde f prime(x) = cos x para

todo x isin es decir Dom (f prime) = Sin embargo existen casos en el cual A sub Dom (f prime) y A = Dom (f prime) como

por ejemplo si f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =

radic x donde f prime(x) =

1

2radic

x para todo x gt 0 es decir

Dom(f prime) = ⟨0 +infin⟩

A la funcion derivada de f tambien las denotaremos por df dx f (1) entonces con estas notaciones escribimos

f prime(x) = df

dx(x) f prime(x) = f (1)(x) en todo x isin Dom (f ) para los cuales existe f prime(x)





132 El operador d

dx

Cuando trabajamos con funciones derivables el proceso de derivacion es hallar la funcion derivada de cierta

funcion que evidentemente tendra otra regla de correspondencia para ellos empleamos el operador d

dx que

transforma la regla de correspondencia de una funcion f en la regla de correspondencia de su funcion derivada

es decir d

dx(f (x)852009 = f prime(x)

Ejemplo 14 Si f (x) = radic

x entonces d

dx

(f (x)

852009=

d

dx

(radic x852009

= 1

2radic

x para todo x gt 0

Empleando el teorema 12 y la definicion 14 es facil demostrar que d

dx es un operador lineal es decir

d

dx

852059f (x) + g(x)

852061=

d

dx

1048667f (x)

1048669+

d

dx

852059g(x)

852061 y

d

dx

1048667λf (x)

1048669= λ middot d

dx

852059f (x)

852061 donde λ isin

y que ademas

d

dx1048667f (x)g(x)1048669 =

d

dx852059f (x)852061 middot

g(x) + f (x)

middot

d

dx852059g(x)852061 y

d

dx1048667

f (x)

g(x)1048669 =

d

dx 852059f (x)

852061middot g(x) minus f (x) middot d

dx 852059g(x)

852061[g(x)]

2

En forma abreviada dado que d

dx

983080f (x)

983081= f prime(x)

1048667f (x) + g(x)

1048669prime

=852059

f (x)852061prime

+852059

g(x)852061prime

y852059

λf (x)852061prime

= λ852059

f (x)852061prime

donde λ isin

de manera similar1048667f (x)g(x)

1048669prime

=852059

f (x)852061prime

g(x) + f (x)852059

g(x)852061prime

y1048667f (x)

g(x)

1048669prime

=

852059f (x)

852061primeg(x) minus f (x)

852059g(x)

852061prime[g(x)]2

Ejemplo 15 En cada caso halle f prime(x) utilizando el operador d

dx

1 Sea f

minusrarr

definido por f (x) = sin(2x)minus

e3x emplearemos simultaneamente la regla de la cadena y

la tabla de derivadas para hallar f prime(x)

f (x) = sin(2x) minus e3x minusrarr d

dx[f (x)] =

d

dx[sin(2x) minus e3x]

minusrarr d

dx[f (x)] =

d

dx[sin(2x)] minus d

dx[e3x]

minusrarr d

dx[f (x)] = cos(2x)

d

dx[2x] minus e3x

d

dx[3x]

minusrarr d

dx[f (x)] = cos(2x) middot 2 minus e3x middot 3

there4 f prime(x) = 2 cos(2x) minus 3e3x para todo x isin

2 Sea f minusrarr definido por f (x) = x3

sin xe5x

emplearemos simultaneamente la regla de la cadena y la

tabla de derivadas para hallar f prime(x)

f (x) = x3 sin x

e5x minusrarr [f (x)]prime =

983131x3 sin x

e5x

983133prime

minusrarr f prime(x) = [x3 sin x]prime middot e5x minus x3 sin x middot [e5x]prime

[e5x]2

minusrarr f prime(x) =

983080[x3]prime sin x + x3[sin x]prime

983081middot e5x minus x3 sin x middot [e5x]prime

[e5x]2

minusrarr f prime(x) = 9830803x2 middot sin x + x3 middot cos x983081 middot e5x minus x3 sin x middot e5x middot [5x]prime

[e5x]2


9830803x2 middot sin x + x3 middot cos x

983081middot e5x minus x3 sin x middot e5x middot 5

[e5x]2





Reduciendo y agrupando la expresion tenemos

f prime(x) = eminus5x983080

(3x2 minus 5x3)sin x + x3 cos x983081

para todo x isin

3 Sea f

minusrarr

definido por f (x) = (x4 + 2)4cos2x emplearemos simultaneamente la regla de la cadena

y la tabla de derivadas para hallar f prime(x)

f (x) = (x4 + 2)4cos2x minusrarr ln[f (x)] = ln1048667

(x4 + 2)4cos2x1048669

= 4cos 2x middot ln(x4 + 2)

luego derivando respecto a x

minusrarr f prime(x)

f (x) =

10486674cos2x middot ln(x4 + 2)

1048669prime


f (x) =

10486674cos2x

1048669prime

middot ln(x4 + 2) + 4 cos 2x middot1048667

ln(x4 + 2)1048669prime


f (x) = 4

1048667cos2x

1048669prime

middot ln(x4 + 2) + 4 cos 2x middot [x4 + 2]prime

x4 + 2


f (x) = 4(minus sin2x)[2x]prime

middot ln(x4

+ 2) + 4cos 2x middot [x4]prime + [2]prime

x4 + 2


f (x) = 4(minus sin2x)2 middot ln(x4 + 2) + 4cos 2x middot 4x3 + 0

x4 + 2


f (x) = minus8sin2x middot ln(x4 + 2) +

16x3

x4 + 2 middot cos2x

there4 f prime(x) = (x4 + 2)4cos2x983080

minus 8sin2x middot ln(x4 + 2) + 16x3

x4 + 2 middot cos2x

983081 para todo x isin

Observacion El operador d

dx es muy especıfico en el siguiente sentido Si u es una expresion que depende de

x es decir u = u(x) entonces ddx

[u] = ddx

[u(x)] = u prime(x) Sin embargo supongamos que W es una expresion

que no depende de la variable x entonces al hallar d

dx[W ] nos resultara ldquo0rdquo ya que el operador a la expresion

W lo interpreta como una constante

Es necesario especificar cuando utilizamos el operador d

dx que estamos derivando respecto a la variable

ldquoxrdquo solamente y no respecto a otra variable Es ası si utilizamos el operador d

dy estamos derivando respecto a

la variable ldquoyrdquo y si utilizamos el operador d

dt estamos derivando respecto a la variable ldquotrdquo ası sucesivamente

Ejemplo 16

1 Hallemos d

dx[u] si u = 5x + tan x

d

dx[u] =

d

dx[5x + tan x] =

d

dx[5x] +

d

dx[tan x] = 5

d

dx[x] + sec2 x = 5 + sec2 x

2 Hallemos d

dx[W ] si W = 5e5t+1 + tan(3x) donde t no depende de x

d

dx[W ] =

d

dx[5e5t+1 + tan(3x)] =

d

dx[5e5t+1] +

d

dx[tan(3x)] = 0 + sec2(3x)

d

dx[3x] = sec2(3x) middot 3

3 Hallemos d

dx[W ] si W = cos(5x + t) + ln(x2 + z) donde z y t no dependen de x

ddx

[W ] = ddx

1048667cos(5x + t) + ln(x2 + z)

1048669= minussin(5x + t) middot d

dx[5x + t] + 1

x2 + z middot d

dx[x2 + z]

=rArr d

dx[W ] = minussin(5x + t) middot (5 + 0) +

1

x2 + z middot (2x + 0) = minus5 sin(5x + t) +

2x

x2 + z





4 Si U solo depende de x entonces d

dy[U ] = 0

d

dx[U ] = U prime(x)

d

dt[U ] = 0 y

d

dz[U ] = 0

133 La segunda derivada

Definicion 17 Sea f una funciacute on derivable en a la segunda derivada de f en a es

f primeprime

(a) = lımxrarra

f prime(x)

minusf prime(a)

x minus a = lımhrarr0

f prime(a + h)

minusf prime(a)

h

si es que dicho l ımite existe La funciacute on segunda derivada de f denotada por f primeprime es definida por

f primeprime(x) = lımhrarr0

f prime(x + h) minus f prime(x)

h

Observaciones

1 La segunda derivada de f en un punto es la derivada de f prime en dicho punto

2 El dominio de f primeprime esta formado por todos los puntos ldquoxrdquo del dominio de f para los cuales existe f primeprime(x)

3 Los dominios de f f prime y f primeprime no siempre coinciden generalmente se tiene

Dom(f primeprime) sub Dom (f prime) sub Dom (f )

4 Si existe f primeprime(a) diremos que f es dos veces derivable en a

5 Si f no es derivable en a entonces no es dos veces derivable en a

6 Si f es dos veces derivable en a entonces es derivable en a

7 Si f es derivable en a no siempre es dos veces derivable en a

8 Si f es dos veces derivable en a entonces es continua en a

Ejemplo 17

1 Sea f [0 +infin⟩ minusrarr una funcion definida por f (x) =

radic x La funcion derivada de f sera f prime ⟨0 +infin⟩ minusrarr

cuya regla de correspondencia es f prime(x) = 1

2radic

x mientras que la funcion segunda derivada de f sera f primeprime

⟨0 +infin⟩ minusrarr

cuya regla de correspondencia es f primeprime(x) = minus1

4radic

x3

En este caso

Dom(f primeprime) sub Dom (f prime) sub Dom (f ) y Dom (f primeprime) = Dom (f prime) = Dom (f )

2 Sea f

minusrarr

una funcion definida por f (x) = x3 + sin x La funcion derivada de f sera f prime

minusrarr

cuya regla de correspondencia es f prime(x) = 3x2 +cos x y la funcion segunda derivada de f sera f primeprime

minusrarr

cuya regla de correspondencia es f primeprime(x) = 6x minus sin x

En este caso

Dom(f primeprime) = Dom(f prime) = Dom(f )

134 Derivada de ordenes mayores a dos

En forma analoga a la definicion 17 definimos la tercera derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por

f primeprimeprime(a) = lımxrarra

f primeprime(x) minus f primeprime(a)

x

minusa

= lımhrarr0

f primeprime(a + h) minus f primeprime(a)

h

si es que el l ımite existe y la funcion tercera derivada de f por

f primeprimeprime(x) = lımhrarr0

f primeprime(x + h) minus f primeprime(x)

h





La tercera derivada de f en a es la derivada de la segunda derivada de f en a y la funcion tercera derivada de

f es la funcion derivada de la funcion segunda derivada de f es decir f primeprimeprime = (f primeprime)prime

Ası llegarıamos a definir la nminusesima derivada de la funcion f en el punto ldquoardquo por

f (n)(a) = lımxrarr

a

f (nminus1)(x) minus f (nminus1)(a)

x minus a

= lımhrarr

0

f (nminus1)(a + h) minus f (nminus1)(a)

hsi es que el l ımite existe y la funcion nminusesima derivada de f por

f (n)(x) = lımhrarr0

f (nminus1)(x + h) minus f (nminus1)(x)

h

135 Notacion de derivadas de ordenes superiores

Generalizando el operador d

dx para derivadas de ordenes mayores a uno tenemos los siguientes operadores

1 El operador d

dx transforma a f (x) en f prime(x)

2 El operador d2

dx2 transforma a f (x) en f primeprime(x) y d2

dx2 = d

dx

983080 ddx

983081

3 El operador d3

dx3 transforma a f (x) en f primeprimeprime(x) y

d3

dx3 =

d

dx

983080 d2

dx2

983081=

d

dx

1048616 d

dx

983080 d

dx

9830811048617

4 El operador dn

dxn transforma a f (x) en f (n)(x) y

dn

dxn =

d

dx

983080 dnminus1

dxnminus1

983081=

d

dx

1048616 d

dx

983080 dnminus2

dxnminus2

9830811048617

Ejemplo 18 Sea f (x) = x5 + 2x2 entonces

1 d

dx1048667f (x)

1048669=

d

dx[x5 + 2x2] = 5x4 + 4x

2 d2

dx2

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d

dx

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[5x4 + 4x] = 20x3 + 4

3 d3

dx3

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d2

dx2

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[20x3 + 4] = 60x2

4 d4

dx4

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d3

dx3

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[60x2] = 120x

5 d5

dx5

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d4

dx4

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[120x] = 120

6

d6

dx61048667

f (x)1048669

=

d

dx983131 d5

dx51048667

f (x)1048669983133

=

d

dx [120] = 0 y

dn

dxn1048667

f (x)1048669

= 0 foralln ge 6

Ejercicio 3 Halle una facute ormula para expresar f (n)(x) si

1 f (x) = ex

2 f (x) = eax

3 f (x) = akx

4 f (x) = 1

(x minus a)k

5 f (x) = 1 minus x

1 + x

6 f (x) = 5x minus 2

x2 minus 4

7 f (x) = sin ax

8 f (x) = cos ax

9 f (x) = ln(a + bx)

10 f (x) = 1

x2 minus 3x + 2

11 f (x) = 8x minus 5

2x2 + x minus 6

12 f (x) = x ex

13 f (x) = 5x minus 1

x2 + x minus 12

14 f (x) = ex sin x

15 f (x) = sin2 x

16 f (x) = xnradic

x





14 Derivadas implıcitas

Sea F (x y) = C una ecuacion que contiene dos variables si en esta ecuacion no se ha despejado la variable

y diremos que y esta expresado en F (x y) = C de manera implıcita

Sea F U sub

2 minusrarr una funcion y f A sub

minusrarr una funcion cuya regla de correspondencia esta en

la forma implıcita en la ecuacionF (x y) = C donde y = f (x)

Las derivadas implıcitas permiten hallar f prime(x) sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de f es

mas podemos hallar las derivadas de orden superior de f

Ejemplo 19 Si ldquo yrdquo es una expresiacute on que depende de ldquo xrdquo halle dy

dx

1 e5y = sin(x + y)

e5y = sin(x + y) minusrarr d

dx[e5y] =

d

dx[sin(x + y)]

minusrarr e5y ddx

[5y] = cos(x + y) ddx

[x + y]

minusrarr e5y middot 5 middot dy

dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)

minusrarr 5e5y middot dy

dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)

there4dy

dx =

cos(x + y)

5e5y minus cos(x + y)

2 x = ln(x3 + y)

x = ln(x3 + y) minusrarr

d

dx[x] =

d

dx1048667 ln(x3 + y)1048669

minusrarr 1 = 1

x3 + y middot d

dx[x3 + y]

minusrarr 1 = 1

x3 + y middot (3x2 +

dy

dx)

minusrarr dy

dx = x3 minus 3x2 + y

Derivando una vez mas respecto de x tenemos d

dx[

dy

dx] =

d

dx[x3 minus 3x2 + y] = 3x2 minus 6x +

dy

dx

=rArr d2y

dx2 = 3x2 minus 6x +

dy

dx = 3x2 minus 6x + x3 minus 3x2 + y = x3 minus 6x + y

there4dydx

= x3 minus 3x2 + y y d2ydx2

= x3 minus 6x + y

3 Halle dy

dx si exp

1048616860698 x +

radic y

x minus radic y

1048617+ ln

860698 x minus radic

y

x +radic

y = 8

4 Halle dy

dx si sin(xy) + cos(xy) = tan(x + y)

5 Halle dy

dx si x minus y = arcsin x minus arcsin y

6 Halle dy

dx

si 860698 y minus radic x

y + radic x + 860698 y +

radic x

y minus radic x =

5

2

7 Halle dy

dx si x2 minus a

radic xy + y2 = a2 a constante

8 Halle d2y

dx2 si x12 + y12 = 2 a constante

9 Halle d2y

dx2 si b2x2 minus a2y2 = a2b2 a b constantes

10 Halle d2y

dx2 si x23 + y23 = a23 a constante

11 Halle d2y

dx2

si 3x2

minus2xy + y2 = a2 a constante

12 En los ejercicios anteriores halle dx

dy si x = x(y)





141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos

Definicion 18 (Ecuacion diferencial) Una ecuaciacute on diferencial es aquella que contiene una o macute as fun-

ciones de una o macute as variables y algunas de sus derivadas respecto a sus variables independientes

Definicion 19 (Ecuacion diferencial ordinaria) Una ecuaciacute on diferencial ordinaria es aquella que con-

tiene una o macute as funciones de una variable y algunas de sus derivadas respecto a su variable independiente El

orden de esta ecuaciacute on diferencial ordinaria es el de la derivada de mayor orden contenida en ella

Ejemplo 110 La siguientes son ecuaciones diferenciales ordinarias

1 2yprimeprime + xyprime + y = sen x su orden es 2

2 yprimeprimeprime minus 2yprimeprime + 5yprime + y = ln x su orden es 3

3 xyprime + sen x = tan x su orden es 1

4 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + yprimeprime + yprime + y = 0 su orden es 5

5 2yprimeprime + xyprime + y3 = sen x su orden es 2

6 (yprimeprimeprime)2 minus 2(yprimeprime)7 + 5yprime + y = ln x su orden es

7 xyprime + sen x = tan y su orden es 3

8 y(5) + y(4) + yprimeprimeprime + (yprimeprime)4 + yprime + ln y = 0 su orden es 5

9 yy primeprime + x2y = x su orden es 2

Definicion 110 Un lugar geometrico del plano

2 es un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una

o macute as ecuaciones del tipo F (x y) = K

Ejemplo 111 La recta la circunferencia la paracute abola la elipse la hiperbola las graficas de funciones son

ejemplos de lugares geometricos

Definicion 111 La ecuaciacute on diferencial ordinaria de un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K es

aquella que se obtiene al derivar esta ecuaciacute on con respecto a una de sus variables

Teorema 18 Si un lugar geometrico cuya ecuaciacute on es F (x y) = K contiene n constantes independiente

entonces su ecuaciacute on diferencial ordinaria tendracute a orden n

Ejemplo 112 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las circunferencias con centro el origen de

coordenadas

Solucion La ecuacion de esta familia de circunferencias es x2 + y2 = r2 y contiene una sola constante Al

derivar a ambos miembros respecto a x tenemos 2x + 2yyprime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de

estas circunferencias sera

x + yy prime = 0 o yprime = minusy

x

Ejemplo 113 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas horizontales

Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = K y contiene una sola constante Al derivar a ambos

miembros respecto a x tenemos y prime = 0 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera

yprime = 0

Ejemplo 114 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas con pendiente 2





Solucion La ecuacion de esta familia de rectas es y = 2x + K y contiene una sola constante Al derivar a

ambos miembros respecto a x tenemos y prime = 2 Por tanto la ecuacion diferencial ordinaria de estas rectas sera

yprime = 2

Ejemplo 115 Halle la ecuaciacute on diferencial ordinaria de todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas

Solucion Solo consideraremos a las rectas no verticales que pasan por el origen La ecuaci on de esta familia

de rectas es y = Kx y contiene una sola constante entonces su ecuacion diferencial debe ser de orden uno

Al derivar a ambos miembros respecto a x tenemos yprime = K pero K = y

x Por tanto la ecuacion diferencial

ordinaria de estas rectas sera

yprime = y

x si x = 0 yprime = 0 si y = 0

Ejemplo 116 En los siguientes ejemplos dada una funciacute on obtener la ecuaciacute on diferencial de la cual es

soluciacute on

1 y = ceminus2x + x

El orden de la ecuacion diferencia buscada es 1 entonces derivando tenemos

yprime

= minus2ceminus

2x + 1 = minus2ceminus

2x + 1 + 2x minus 2x = minus2(ceminus

2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x

there4dy

dx = 1 minus 2(y minus x) es la ecuacion diferencial buscada

2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x


yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x

yprimeprime = minus16(C 1 sen 4x + C 2 cos 4x) = minus16(y minus x)

there4 yprimeprime + 16y minus 16x = 0 es la ecuacion diferencial buscada

3 y = ax3 + bx2 + cx


yprime = 3ax2 + 2bx + c yprimeprime = 6ax + 2b yprimeprimeprime = 6a Reemplazando en la ecuacion a b y c

y = yprimeprimeprime

6 x3 +

1

2

983080yprimeprime minus yprimeprimeprimex

983081x2 +

983080yprime minus yprimeprime

2 minus yprimeprimeprimex

983081x

there4 11x3yprimeprimeprime minus 3x2yprimeprime + 6xyprime + 6y = 0 es la ecuacion diferencial buscada

4 Hallar la ecuacion diferencial de la familia de circunferencias de radio 1 con centro en la recta bisectriz del

primer y tercer cuadrante

Solucion

x

y

y = x

h

h1





La ecuacion de la familia de circunferencias es (x minus h)2 + (y minus h)2 = 1 en ella solo figura una constante

entonces el orden de la ecuacion diferencia buscada es 1

Derivando respecto a x tenemos 2(x minus h) + 2(y minus h)yprime = 0 =rArr x minus h + yy prime minus hyprime = 0

=rArr h(1 + yprime) = x + yy prime =rArr h = x + yy prime

yprime + 1

Reemplazando en la ecuacion de las circunferencias

1048616x minus

x + yy prime

yprime + 110486172

+1048616

y minus x + yy prime

yprime + 110486172

= 1

=rArr (x(yprime + 1) minus x minus yy prime

8520092+(

yy prime + y minus x minus yy prime8520092

= (yprime + 1)2

=rArr (xyprime minus yy prime

8520092+(

y minus x8520092

= (yprime + 1)2

=rArr (yprime)2(x minus y)2 + (x minus y)2 = (yprime + 1)2

=rArr (x minus y)2(

(yprime)2 + 1852009

= (yprime + 1)2 es la ecuacion diferencial buscada

5 Formular la ecuacion diferencial que representa a todas las tangentes no verticales de la par abola y2 = 2x

Solucion

x

y

a

b

L

y = 2 x 2

La ecuacion de la recta tangente L a la parabola en el punto (a b) es

L y minus b = m(x minus a) Hallando la pendiente m derivando L y prime = m Por otro lado derivando la ecuacion

de la parabola tenemos 2yyprime = 2 =rArr y prime = 1

y cuyo significado es y prime(x) =

1

y(x) para x gt 0

En el punto (a b) de la parabola se tiene yprime(a) = 1

y(a) =

1

b = m Ademas como (a b) es un punto de la

parabola se tiene b2 = 2a =rArr a = b2

2 Luego en la ecuacion de la tangente

y minus b = 1b

1048616x minus b

2

2

1048617 =rArr yb minus b2 = x minus b

2

2

=rArr y = x

b +

b

2 pero b =

1

yprime

=rArr y = xy prime + 1

2yprime

=rArr 2y(yprime)2 minus 2xyprime + 1 = 0 es la ecuacion diferencial buscada

6 y2 = 4ax

Primero tenemos a = y2

4x el cual se utilizara luego Derivando la ecuacion original tenemos 2yyprime = 4a

=rArr 2yyprime

= 41048616 y2

4x1048617

= y2

x =rArr 2xyyprime

= y2 =rArr 2xyprime

= y si y = 0 =rArr 2x dy

dx minus y = 0

Por lo tanto 2x dy

dx minus y = 0 es la ecuacion diferencial buscada





7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x

Solucion

yprime = 4C 1 cos 4x minus 4C 2 sen 4x + 1 yprimeprime = minus16C 1 sen 4x minus 16C 2 cos 4x de la segunda derivada tenemos

minusyprimeprime

16 = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x = y minus x luego minus(16)minus1yprimeprime = y minus x =rArr minusyprimeprime = 16y minus 16x

Por lo tanto yprimeprime = 16(xminus

y) es ecuacion diferencial buscada

8 I = teminust + eminust + 2sen 3t

Solucion En esta parte I es una funcion que depende de t y las derivadas seran respecto a t

I prime = eminust minus teminust minus eminust + 6cos 6t Pero teminust + eminust = I minus 2sen3t

=rArr I prime = eminust minus I + 2sen 3t + 6cos 3t =rArr I primeprime = minuseminust minus I prime minus 6cos3t minus 18sen3t

sumando las dos ultimas ecuaciones I prime + I primeprime = minusI minus I prime minus 16sen3t de donde I primeprime + 2I prime + I = minus16sen3t

9 x2 minus ay2 = 1

Solucion

Derivando 2x minus 2ay dy

dx = 0 =rArr y prime =

dy

dx =

minus2x

minus2ay

=rArr a = x

yy prime reemplazando en la ecuacion original

x2 minus x

yyprimey2 = 1 =rArr x2yyprime minus yyprime minus xy2 = 0

=rArr (x2 minus 1)yprime = xy

=rArr yprime = xy

x2 + 1 es la ecuacion diferencial buscada

10 x2 + y2 minus cx = 0

Derivando 2x + 2yyprime = c

Reemplazando en la ecuacion original x2 + y2 minus (2x + 2yy prime)x = 0

=

rArr yprime =

x2 minus y2

2xy

es la ecuacion diferencial buscada

11 Hallar la ecuacion diferencial de cada uno de las siguientes familias de curvas

a) y = x sen(x + c) Rta (xyprime minus y)2 = x2(x2 minus y2)

b) Todos los cırculos que pasan por (1 0) y (minus1 0) Rta 2xy = (x2 minus y2 minus 1)yprime

c) Todos los cırculos con centro en la recta y = x que son tangentes a ambos ejes

Rta (x minus y)2(1 + yprime)2 = (x + yy prime)2

d) Todas las rectas tangentes a la parabola x2 = 4y

Sugerencia La pendiente de la recta tangente en (2a a2) es a Rta y + yprime = xy prime

e) Todas las rectas tangentes al cırculo unidad x2

+ y2

= 1 Rta (y minus xyprime

)2

= 1 minus (yprime

)2





Definicion 112 Sea la ecuaciacute on diferencial ordinaria lineal de orden n

any(n) + middot middot middot + a2y primeprime + a1y prime + a0 = b

La funciacute on f A minusrarr

es una de sus soluciones si para todo x isin A

anf (n)(x) + middot middot middot + a2f primeprime(x) + a1f prime(x) + a0 = b

Ejercicio 4 Demuestre que la funciacute on f

minusrarr definida por f (x) = sin x es una soluciacute on de la ecuaciacute on

diferencial y primeprime + y = 0

Solucion Lo unico que debemos hacer es derivar a f dos veces y sumar los resultados

f (x) = sin x minusrarr f prime(x) = cos x minusrarr f primeprime(x) = minus sin x sumando f primeprime(x) + f (x) = 0 por lo tanto f

es una solucion de la ecuacion diferencial y primeprime + y = 0


minusrarr

definida por f (x) = 8ex+xex es una soluciacute on de la ecuaciacute on

diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0

Solucion Derivemos a f hasta dos veces y reemplacemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial Siresulta cero tal reemplazo entonces la funcion f es una solucion de tal ecuacion diferencial

f (x) = 8ex + xex =rArr f prime(x) = [8ex] prime + [xex] prime = 8ex + [x]primeex + x[ex] prime = 8ex + ex + xex = 9ex + xex

=rArr f primeprime(x) = [9ex] prime + [xex] prime = 9ex + [x]primeex + x[ex] prime = 9ex + ex + xex = 10ex + xex

Reemplazemos en el primer miembro de la ecuacion diferencial

f primeprime(x) minus 2f prime(x) + f (x) =1048667

10ex + xex1048669minus 2

10486679ex + xex

1048669+1048667

8ex + xex1048669

= 10ex + xex minus 18ex minus 2xex + 8ex + xex

= [10

minus18 + 8]ex + [1

minus2 + 1]xex

= 0

Dado que resulta f primeprime(x)minus2f prime(x)+f (x) = 0 entonces f (x) = 8ex+xex es una solucion de la ecuacion diferencial

ordinaria y primeprime minus 2yprime + y = 0

Ejercicio 6 Demuestre o descarte las siguientes afirmaciones

1 x + y2 = K describe la soluciacute on general de las ecuaciones diferenciales dy

dx = minus 1

2y 2yyprime + 1 = 0

2 y = K ex es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y = 0

3 y = sin x

x

es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = cos x

4 y = 1

cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprime minus y tan x = 0

5 y = 2xradic

1 minus x2 es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yy prime = 4x minus 8x3

6 y = x

cos x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime minus y = x2 tan x sec x

7 y = ex(x + 1) es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime minus 2yprime + y = 0

8 y = ln(x + c) + 2 es la soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial yprimeeyminus2 minus 1 = 0

9 y = sen3 x es una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial yprimeprime + (tan x minus 2cot x)yprime = 0

10 y = arcsin(xy) describe una soluciacute on de la ecuaciacute on diferencial xyprime + y = yradic

1 minus x2y2

11 y = c1eminusx + c2ex + c3eminus2x + c4e2x es soluciacute on general de la ecuaciacute on diferencial y(iv) minus 5yprimeprime + 4y = 0





15 Funciones derivables

151 Funciones derivables en un intervalo

Sin ser redundantes presentamos a los intervalos de

1 [a b] = x isin

a le x le b

2 ⟨a b⟩ = x isin

a lt x lt b

3 ⟨a b] = x isin

a lt x le b

4 [a b⟩ = x isin

a le x lt b

5 ⟨minusinfin b⟩ = x isin 1048623x lt b

6 ⟨minusinfin b] = x isin

1048623x le b

7 ⟨a +infin⟩ = x isin

1048623a lt x

8 [a +infin⟩ = x isin

1048623a le x

9 ⟨minusinfin +infin⟩ =

y

10 [a a] = a

Los cuatro primeros y el ultimo son los intervalos limitados los cinco siguientes son intervalos ilimitados el

ultimo se denomina un intervalo degenerado desde el segundo hasta el cuarto intervalo a lt b

Definicion 113 Sea la funciacute on f I minusrarr donde I es un intervalo de

1 La funciacute on f ⟨a b⟩ minusrarr

es derivable en el intervalo ⟨a b⟩ si lo es en cada punto de ⟨a b⟩

2 La funciacute on f ⟨minusinfin b⟩ minusrarr

es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b⟩ si lo es en cada punto de ⟨minusinfin b⟩

3 La funciacute on f ⟨a +infin⟩ minusrarr

es derivable en el intervalo ⟨a +infin⟩ si lo es en cada punto de ⟨a +infin⟩

4 La funciacute on f [a b⟩ minusrarr

es derivable en el intervalo [a b⟩ si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que

contiene a [a b⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩

5 La funciacute on f ⟨a b] minusrarr

es derivable en el intervalo ⟨a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que

contiene a ⟨a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩

6 La funciacute on f [a +infin⟩ minusrarr

es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si existe un intervalo abierto del tipo⟨ p +infin⟩ que contiene a [a +infin⟩ tal que f sea derivable sobre ⟨ p +infin⟩

7 La funciacute on f ⟨minusinfin b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si existe un intervalo abierto del tipo

⟨minusinfin q ⟩ que contiene a ⟨minusinfin b] tal que f sea derivable sobre ⟨minusinfin q ⟩

8 La funcion f [a b] minusrarr es derivable en el intervalo [a b] si existe un intervalo abierto del tipo ⟨ p q ⟩ que

contiene a [a b] tal que f sea derivable sobre ⟨ p q ⟩

Observaciones

1 La funcion f [a b

⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a b

⟩ si y solo si es derivable en cada punto de

⟨a b

⟩y existe f prime+(a)

2 La funcion f [a +infin⟩ minusrarr es derivable en el intervalo [a +infin⟩ si y solo si es derivable en cada punto de

⟨a +infin⟩ y existe f prime+(a)

3 La funcion f ⟨a b] minusrarr es derivable en el intervalo ⟨a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩

y existe f primeminus

(b)

4 La funcion f ⟨minusinfin b] minusrarr

es derivable en el intervalo ⟨minusinfin b] si y solo si es derivable en cada punto de

⟨minusinfin b⟩ y existe f primeminus

(b)

5 La funcion f [a b] minusrarr

es derivable en el intervalo [a b] si y solo si es derivable en cada punto de ⟨a b⟩y existen f prime+(a) y f prime

minus(b)





6 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr es derivable su funcion derivada f prime I minusrarr tendra el

mismo dominio que f

7 Sea I un intervalo abierto Si la funcion f I minusrarr

es k veces derivable su funcion kndashesima derivada

f (k) I minusrarr

tendra el mismo dominio que f

8 Sea I un intervalo no abierto Si la funcion f I minusrarr

es derivable su funcion derivada f prime J minusrarr

tendra como dominio al interior de I

152 Funciones de clase C k

Sea I un intervalo de

Si la funcion f I minusrarr

es derivable en I entonces es continua en I pero

posiblemente la funcion derivada f prime J minusrarr

no sea continua en I J = int (I )

Definicion 114 Sea I un intervalo de Si la funcion f I minusrarr es continua en I diremos que ldquo f rdquo es una

funciacute on de clase cero C 0 sobre I

⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 0 sobre I lo denotamos por f

isin C 0(I )

Definicion 115 Sea I un intervalo abierto de

Si la funciacute on f I minusrarr

es derivable en I y la funciacute on

f prime I minusrarr es continua en I diremos que f es continuamente derivable en I o simplemente la funciacute on ldquo f rdquo es

de clase C 1 sobre I

⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C 1 sobre I lo denotamos por f isin C 1(I )


La funcion f I minusrarr

es de clase C k sobre el intervalo I

si es k veces derivable sobre I y la funciacute on f (k) I minusrarr

es continua en I

⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C k sobre I lo denotamos por f

isin C k(I )

Definicion 117 Sea I un intervalo abierto de La funciacute on f I minusrarr es de clase C infin sobre el intervalo I

si existe f (n) para todo n isin 0 1 2 middot middot middot

⋆ Si ldquof rdquo es una funcion de clase C infin sobre I lo denotamos por f isin C infin(I )

Ejemplo 117

1 La funcion f

minusrarr

definida por f (x) = ex es de clase C infin sobre

Con la notaciones presentadas

tenemos la pertenencia f isin C infin(

)

2 La funcion f minusrarr

definida por f (x) = p(x) donde p(x) es un polinomio es de clase C infin

sobre

Conla notaciones presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin( )

3 La funcion f [0 +infin⟩ minusrarr definida por f (x) =

radic x es de clase C infin sobre ⟨0 +infin⟩ Con la notaciones

presentadas tenemos la pertenencia f isin C infin983080

[0 +infin⟩983081

153 Funciones no derivables

Sea f una funcion cuyo dominio sea el conjunto A sub

Si f es derivable en el punto a isin A entonces la

grafica de f en su punto (a f (a)) tiene una unica recta tangente La idea de recta tangente en este caso no es

la misma que usted tiene a cerca de una recta tangente a una circunferencia en donde ellos tienen un unico

punto en comun es decir si la recta L es tangente a la circunferencia C entonces L y C tienen un unico punto

en comun llamado punto de tangencia Mientras que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f

es posible que ellos tengan otro punto en comun a parte del punto de tangencia la idea de tangencia que se





expone es local y no global en el sentido de que si L es una recta tangente a la grafica de la funcion f el punto

de tangencia es unico cerca de el especıficamente La recta L es una tangente a la grafica de la funcion f en su

punto (a f (a)) si existe un cırculo de centro (a f (a)) dentro del cual L y la grafica de la funcion f tienen un

unico punto en comun y los puntos de la grafica de f que pertenecen al cırculo estan a un solo lado de L Y si

ademas la funcion f es derivable en a la pendiente de L es f prime(a)

X

Y

L L L

y f x ( )=a

X

Y

L L L

y f x ( )=a

Si una funcion f es continua en un punto a no siempre sera derivable en dicho punto existe la posibilidad de

que lo sea como tambien que no como por ejemplo

La funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr

definida por f (x) =

983163 2x si 0 lt x lt 1

2 si 1 le x lt 2es continua en el punto a = 1 pero

no es derivable en dicho punto pues no existe f prime(1) La existencia de la derivada f prime(1) implica que la grafica

de la funcion f tiene una unica recta tangente en el punto (1 f (1)) la no existencia de f prime(1) implica que la

grafica de la funcion f tiene una varias rectas en ese punto o no en este ejemplo como veremos gr aficamente

la funcion f posee varia rectas tangentes en su punto (1 f (1))

X

Y

y f x ( )=

1 2

X

Y

L L L

y x 2=

y x 3=

1

2

3

Grafico de f (x) =983163 2x si 0 lt x lt 1

2 si 1 le x lt 2 Grafico de f (x) =

x2 si

minus1 lt x lt 1

2x3

3 si 1 le x lt 2

Si una funcion f es derivable en un punto a entonces por el teorema 17 sera continua en dicho punto por

ejemplo la funcion f ⟨0 2⟩ minusrarr

f (x) =

x2 si minus1 lt x lt 1

2x3

3 si 1 le x lt 2

es derivable en a = 1 mas aun es

continua en dicho punto Es mas la grafica de f tiene una unica recta tangente en su punto (1 f (1))

De acuerdo al teorema 16 una funcion es no derivable en el punto ldquoardquo si f primeminus

(a) = f prime+(a) o una de la

derivadas laterales f primeminus

(a) f prime+(a) no existe Y de acuerdo al teorema 17 si f no es continua en el punto ldquoardquo

entonces no es derivable en ese punto

Los siguientes son ejemplos graficos de funciones no derivables en un punto





X X

Y Y

a a b

y f x = ( ) y f x = ( )

f a f a bno es derivable en no es derivable en y

f a

f b

es derivable en por derecha

es derivable en por izquierda

2 Teoremas sobre funciones derivables

21 Extremos relativos de una funcion

Definicion 21 Sean empty = X sub

y m isin

Diremos que ldquo mrdquo es el mınimo del conjunto X si m isin X y m le x

para todo x isin X


y M isin

Diremos que ldquo M rdquo es el macute aximo del conjunto X si M isin X y

M ge x para todo x isin X

Observaciones

1 No todo subconjunto no vacıo de

posee maximo yo mınimo

2 Si un subconjunto no vacıo de

posee maximo yo mınimo este es unico y ademas es uno de los elementos

del conjunto

3 Si ldquomrdquo es el mınimo del conjunto X entonces lo denotamos por m = mın X

4 Si ldquoM rdquo es el maximo del conjunto X entonces lo denotamos por M = max X

5 Si m = mın X y M = max X entonces m le M y ademas m le x le M para todo x isin X

Ejemplo 21

1 El conjunto de los numeros naturales posee mınimo y es 1 es decir 1 = mın pero no posee maximo

2 El conjunto

el de los numeros enteros no posee ni maximo ni mınimo El conjunto

el de los numeros

racionales no posee ni maximo ni mınimo

3 Veamos algunos intervalos

a) Los intervalos ⟨a b⟩ ⟨a b] ⟨a +infin⟩ no poseen mınimo

b) Los intervalos ⟨a b⟩ [a b⟩ ⟨minusinfin b⟩ no poseen maximo

c) a = mın[a b] a = mın[a b⟩ a = mın[a +infin⟩

d) b = max[a b] b = max⟨a b] b = max⟨minusinfin b]





Definicion 23 Sean empty = A sub f A minusrarr una funciacute on y x0 isin A

1 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 si f (x0) le f (x) para todo x isin A

2 La funciacute on ldquo f rdquo tiene un macute aximo absoluto en x0 si f (x) le f (x0) para todo x isin A

3 La funci on ldquo f rdquo tiene un mınimo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x0) le f (x) para todo

x isin A cap ⟨x0 minus δ x0 + δ ⟩

4 La funci on ldquo f rdquo tiene un macute aximo relativo en x0 si existe un δ gt 0 tal que f (x) le f (x0) para todo


Observaciones Sean empty = A sub

f A minusrarr

una funcion y x0 isin A

1 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un mınimo local en x0

2 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 diremos tambien que f tiene un maximo local en x0

3 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo absoluto en x0 si tiene un mınimo o maximo absoluto en dicho punto

4 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo relativo en x0 si tiene un mınimo o maximo relativo en dicho punto

5 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f (x0) es el mınimo del rango de la funcion es

decir

f (x0) = mın Ran (f )

Al numero f (x0) lo denominaremos el valor mınimo de f en su dominio

6 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f (x0) es el maximo del rango de la funcion es

decir

f (x0) = max Ran (f )

Al numero f (x0) lo denominaremos el valor maximo de f en su dominio

7 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un mınimo absoluto en x0

Una funcion puede poseer un mınimo relativo sin tener un mınimo absoluto

8 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo relativo en x0 entonces f no siempre tendra un maximo absoluto en

x0 Una funcion puede poseer un maximo relativo sin tener un maximo absoluto

9 Si la funcion ldquof rdquo tiene un mınimo absoluto en x0 entonces f tiene un mınimo relativo en dicho punto Lo

contrario no siempre es cierto

En la figura la funcion f minusrarr tiene maximo

relativo en x = 0 pero no posee maximo absolutoen su dominio

En la figura la funcion g minusrarr tiene mınimo

relativo en x = 0 pero no posee mınimo absolutoen su dominio





10 Si la funcion ldquof rdquo tiene un maximo absoluto en x0 entonces f tiene un maximo relativo en dicho punto Lo


11 Una funcion puede tener extremos absolutos en mas de un punto vea el siguiente grafico

En la figura la funcion f

minusrarr

tiene mınimo

absoluto en dos puntos diferentes

En la figura la funcion g

minusrarr

tiene maximo


12 La funcion ldquof rdquo tiene un extremo en el punto x0 si tiene un maximo o mınimo absoluto o relativo en dicho

punto

Y Y

X X

figura (a) figura (b)

x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )

En la figura (a) Dom(f ) = [x0 x6] la funcion tiene

un mınimo absoluto en el punto x2 y maximo absolu-

to en el punto x5 mientras que tiene mınimo relativo

en los puntos x0 x2 x4 y x6 y maximo relativo en

los puntos x1 x3 y x5

En la figura (b) Dom (f ) = [x0 x6⟩minusx3 la funcion

no tiene mınimo absoluto ni maximo absoluto mien-

tras que tiene mınimo relativo en los puntos x0 x2 y

x4 y maximo relativo en los puntos x1 y x5

Teorema 21 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) existe entonces f prime(x0) = 0

Observaciones

1 Lo contrario no siempre es cierto es decir si f prime(x0) = 0 entonces f no siempre tendra un extremo en x0

Un ejemplo simple es para f (x) = (x minus 2)3 en x0 = 2

2 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime

(x0) existe entonces la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto

(x0 f (x0)

852009 en horizontal





3 Si la funcion f tiene un extremo en x0 y f prime(x0) no existe entonces o bien no existe recta tangente a la

grafica de la funcion en el punto(

x0 f (x0)852009

o existen infinitas rectas tangente a la grafica de la funcion en

el punto(

x0 f (x0)852009

pudiendo ser una de ellas una recta vertical


minusrarr

tiene un extremo

en x = 0 pero f prime(0) no existe ademas la grafica de

esta funcion posee infinitas rectas tangente en el pun-

to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en

los puntos x0 x1 existen g prime(x0) g prime(x1) y las rectas

tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales

22 El teorema del valor medio

Teorema 22 (Teorema de Rolle) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si f es continua en [a b] es derivable en

⟨a b⟩ y f (a) = f (b) entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c) = 0

Observaciones

1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema de Rolle la existencia del punto c tales que f prime(c) = 0 no

siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera derivada en esos puntos sea

cero

2 La condicion f (a) = f (b) indica que la recta que pasa por los puntos(

a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El

teorema garantiza la existencia de al menos un punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la

funcion f el punto(

c f (c)852009

tambien sea horizontal

X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2





En la figura (a) la funcion f satisface las hipotesis del

teorema de Rolle por tanto en este caso existen pun-

tos c1 c2 y c3 del intervalo ⟨a b⟩ tal que f prime(c1) = 0

f prime(c2) = 0 y f prime(c3) = 0

En la figura (b) la funcion f no satisface las hipotesis

del teorema de Rolle en tanto no se garantiza la exis-

tencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que la primera

derivada de f en esos puntos sea cero

Teorema 23 (El teorema del valor medio de Lagrange) Sea la funciacute on f [a b]

minusrarr

Si f es continua

en [a b] es derivable en ⟨a b⟩ entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que

f prime(c) = f (b) minus f (a)

b minus a

Observaciones

1 Si la funcion f satisface las hipotesis del teorema del valor medio de Lagrange la existencia del punto c tales

que f prime(c) = f (b) minus f (a)

b minus a no siempre es unica pueden existir otros puntos del intervalo ⟨a b⟩ cuya primera

derivada en esos puntos sea igual a f (b) minus f (a)

b minus a

2 Sea L la recta que pasa por los puntos(

a f (a)852009

y(

b f (b)852009

el teorema garantiza la existencia de al menosun punto c isin ⟨a b⟩ tal que la recta tangente a la grafica de la funcion f el punto

(c f (c)

852009 sea paralela a L

Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L


teorema de Lagrange por tanto en este caso existen

puntos c1 y c2 del intervalo ⟨a b⟩ tal que

f prime(c1) = f (b) minus f (a)

b minus a y f prime(c2) =

f (b) minus f (a)

b minus a


del teorema de Lagrange en tanto no se garantiza

la existencia de puntos del intervalo ⟨a b⟩ tal que laprimera derivada en ese punto sea igual a

f (b) minus f (a)

b minus a

Teorema 24 (El teorema generalizado del valor medio de Cauchy) Sean las funciones f [a b] minusrarr

y g [a b] minusrarr

continuas en [a b] y derivables en ⟨a b⟩ con g(b) = g(a) y g prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩

entonces existe un c isin ⟨a b⟩ tal que f prime(c)

g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)





23 Funciones crecientes y decrecientes

Definicion 24 (Funcion creciente) Sean empty = A sub

y la funciacute on f A minusrarr

Diremos que la funciacute on f

es creciente o estrictamente creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) lt f (x2)

Definicion 25 (Funcion decreciente) Sean empty = A sub

y la funci on f A minusrarr

Diremos que la funcion f

es decreciente o estrictamente decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) gt f (x2)

Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2

Graacutefico de una funcioacutenestrictamente creciente

Graacutefico de una funcioacutenestrictamente decreciente

Definicion 26 (Funcion no creciente) Sean empty = A sub y la funci on f A minusrarr

Diremos que la funciacute on

f es no creciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) ge f (x2)

Definicion 27 (Funcion no decreciente) Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr

Diremos que la

funciacute on f es no decreciente sobre A si para todo x1 x2 de A con x1 lt x2 se tiene f (x1) le f (x2)

Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2

Graacutefico de una funcioacuten

no decreciente


no creciente

Definicion 28 (Funcion monotona) Sean empty = A sub



es monacute otona sobre A si es creciente o decreciente o no creciente o no decreciente sobre A

Observaciones

1 Para definir funciones monotonas (crecientes decrecientes no crecientes o no decrecientes) no es necesario

saber la continuidad y la derivabilidad de la funcion en su dominio

2 Existen funciones monotonas que no son derivables yo continuas en su dominio

Teorema 25 Sean empty = A sub y la funciacute on f A minusrarr Si la funciacute on f es estrictamente creciente sobre A

entonces f es una funciacute on inyectiva y su funcion inversa f lowast tambien es estrictamente creciente sobre Ran(f )



Si la funci on f es estrictamente decreciente sobre A

entonces f es una funciacute on inyectiva y su funciacute on inversa f lowast tambien es estrictamente decreciente sobre Ran(f )





Y Y

X X

f

f

f

f

Teorema 27 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr

Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩

con f

prime

(x) gt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente creciente sobre [a b]

Teorema 28 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩

con f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es estrictamente decreciente sobre [a b]

X X

a

a b

b

Observaciones

1 Del teorema 27 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es positiva

entonces la funcion es estrictamente creciente sobre [a b]

2 Del teorema 28 si la pendiente de todas las rectas tangente a la grafica de la funcion sobre ⟨a b⟩ es negativa

entonces la funcion es estrictamente decreciente sobre [a b]


Si la funcion f es continua sobre [a b] y es inyectiva en [a b]

entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente sobre [a b] pero no ambos

X X

a

a b

b

f ab

ab

es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es creciente sobre [ ]

f ab

ab

es continua e inyectiva sobre [ ]en este caso es decreciente sobre [ ]

f f

Teorema 210 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funciacute on f es continua y estrictamente creciente sobre

[a b] entonces Ran(f ) =1048667

f (a) f (b)1048669

y su funciacute on inversa f lowast 1048667

f (a) f (b)1048669 minusrarr

es tambien continua y

estrictamente creciente sobre [a b]





Teorema 211 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funcion f es continua y estrictamente decreciente sobre


f (b) f (a)1048669


f (b) f (a)1048669 minusrarr


estrictamente decreciente sobre [a b]

Teorema 212 Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre [a b] y es derivable sobre

⟨a b⟩ con f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no decreciente sobre [a b]


⟨a b⟩ con f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es no creciente sobre [a b]

Teorema 214 (de la funcion constante) Sea la funciacute on f [a b] minusrarr Si la funci on f es continua sobre

[a b] y es derivable sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = 0 para todo x isin ⟨a b⟩ entonces f es constante sobre [a b] es decir

existe una constante C tal que f (x) = C para todo [a b]

Teorema 215 (de la diferencia constante) Sean las funciones f [a b] minusrarr

y f [a b] minusrarr

Si las

funciones f y g son continuas sobre [a b] y es derivables sobre ⟨a b⟩ con f prime(x) = g prime(x) para todo x isin ⟨a b⟩entonces existe una constante C tal que f (x) = g(x) + C para todo [a b]

Definicion 29 (Punto crıtico) Sean I un intervalo de

x0 un punto de I y la funciacute on f I minusrarr

El

punto x0 es un punto crıtico de la funciacute on f I minusrarr si x0 satisface alguna de las siguientes condiciones

a) f prime(x0) = 0 o b) f prime(x0) = 0 no existe o c) f tiene un extremo en x0

Observaciones

1 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f no podemos concluir con certeza una de las condiciones mencionadas

2 Si x0 es un punto crıtico de la funcion f y f prime(x0) = 0 no podemos concluir con certeza que f tiene un

extremo en dicho punto

Por ejemplo sea la funcion f [1 3] minusrarr definida

por f (x) = (x minus 2)3 cuya funcion derivada es

f prime ⟨1 3⟩ minusrarr

983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2

En x0 = 2 tenemos f prime(x0) = 0 pero f no tiene

maximo ni mınimo en 2 f tiene un mınimo en 1

y un maximo en 3 por tanto 1 2 y 3 son puntos

crıticos de f

Y

X

1

2

Ejercicio 7 Hal le los puntos crıticos de las siguientes funciones

1 f

minusrarr que estacute a definida por

f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr

que estacute a definida por

f (x) = 3

radic (x + 4)2(x minus 5)

3 f

minusrarr


f (x) = 5x23 minus x53

4 f

minusrarr

que estacute a definida por f (x) = x + 1

x2 + 1

5 f

minus 1 minusrarr que estacute a definida por

f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr

que estacute a definida por f (x) = x2 + 3radic

x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr


f (x) = sin2 x minus |x|





231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion

Aquı presentamos un criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion

alcanza su valor maximo o mınimo

Teorema 216 (Criterio de la primera derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr

el intervalo [a b] contenido

en A y x0

isin ⟨a b

⟩ un punto crıtico de f

1 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩

entonces f tiene un macute aximo en el punto x0

2 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) le 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) ge 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩

entonces f tiene un mınimo en el punto x0

3 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) gt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩

entonces f no tiene macute aximo ni mınimo en el punto x0

4 Si la funciacute on f es continua en [a b] f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨a x0⟩ y f prime(x) lt 0 para todo x isin ⟨x0 b⟩


X X

a bx 0a bx 0

f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt gt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt lt

f

f

f tiene un maacuteximo en x 0 f tiene un miacutenimo en x 0

X X a bx 0a bx 0

f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0lt lt f x a x f x x b ( ) 0 en ( ) 0 en 0 0gt gt

f f

f no tiene un extremo en x 0 f no tiene un extremo en x 0

Observaciones

1 Al ser x0 un punto crıtico de f el criterio de la primera derivada no garantiza que exista f prime(x0)

2 El criterio de la primera derivada requiere que f sea derivable en ⟨a x0⟩ cup ⟨x0 b⟩ mas no en x0

3 Un metodo que nos permite hallar puntos crıticos de la funcion f en [a b] es resolver la ecuacion f prime(x) = 0

sujeta a la condicion x isin ⟨a b⟩ pero tal metodo solo nos proporciona todos los puntos crıticos de f que

cumple la primera condicion dada en la definicion 29





4 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f prime(x0) y es igual a cero es mas

en los dos primeros graficos la recta tangente en el punto (x0 f (x0)) es horizontal iquestCual es el aspecto de

la grafica de f si es que no existiera f prime(x0)

5 Sea x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de la funcion f Al utilizar el criterio de la primera derivada para averiguar

si f tiene maximo o mınimo en x0 es necesario resolver las inecuaciones f prime(x) lt 0 y f prime(x) gt 0 sujetas

a la restriccion x isin ⟨a b⟩ tales procesos son sencillos para algunas funciones pero existen funciones paralos cuales tales resoluciones son complicadas y ahı el criterio de la primera derivada no es recomendable

utilizarlo pero tal deficiencia se supera utilizando otro criterio para determinar extremo de una funcion

6 El criterio de la primera derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a

otros tipos de intervalos abiertos si es que estan contenidos en el dominio de la funcion

Por ejemplo para la funcion f

minusrarr

definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 f prime(x) lt 0

para todo x lt 0 y f prime(x) gt 0 para todo x gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es

f (0) = 0

232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion

Aquı presentamos otro criterio que nos ayuda a determinar si un punto crıtico es aquel en donde una funcion

alcanza su valor maximo o mınimo este metodo requiere la existencia de la segunda de la funcion en su punto

crıtico

Teorema 217 (Criterio de la segunda derivada) Sean la funciacute on f A minusrarr


en A y x0 isin ⟨a b⟩ un punto crıtico de f para el cual f primeprime(x0) existe

1 Si la funciacute on f es derivable en ⟨a b⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) lt 0 entonces f tiene un macute aximo en el punto x0

2 Si la funciacute on f es derivable en

⟨a b

⟩ f prime(x0) = 0 y f primeprime(x0) gt 0 entonces f tiene un mınimo en el punto x0

X X

a bx 0a bx 0

f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= lt f a b f f es derivable en ( ) 0 ( ) 0 x x 0 0= gt

f

f


Observaciones

1 Los graficos anteriores presentan al punto crıtico x0 de f en el cual existe f primeprime(x0) y es diferente a cero

2 El criterio de la segunda derivada tambien es aplicable cuando en lugar del intervalo ⟨a b⟩ se considera a



minusrarr

definida por f (x) = x2 su unico punto crıtico es x0 = 0 y

f primeprime(0) = 2 gt 0 por tanto f tiene un mınimo en 0 y su valor mınimo es f (0) = 0





24 Concavidad y puntos de inflexion

25 La regla de Lrsquo Hospital

3 Aplicaciones de la derivada

31 Trazado de grafica de funciones

32 Derivadas parametricas

321 Regla de la cadena

33 Diferencial de una funcion

34 Razon de cambio

Indice

1 La derivada 111 Derivadas laterales 4

12 Derivacion y continuidad 5

13 Derivadas de orden superior 7

131 Notacion de derivadas 7

132 El operador d

dx 8

133 La segunda derivada 10

134 Derivada de ordenes mayores a dos 10

135 Notacion de derivadas de ordenes superiores 11

14 Derivadas implıcitas 12

141 Ecuaciones diferenciales ordinarias de lugares geometricos 13

15 Funciones derivables 18

151 Funciones derivables en un intervalo 18

152 Funciones de clase C k 19

153 Funciones no derivables 19

2 Teoremas sobre funciones derivables 21

21 Extremos relativos de una funcion 21

22 El teorema del valor medio 24

23 Funciones crecientes y decrecientes 26

231 Criterio de la primera derivada para extremos de una funcion 29

232 Criterio de la segunda derivada para extremos de una funcion 30

24 Concavidad y puntos de inflexion 31

25 La regla de Lrsquo Hospital 31

3 Aplicaciones de la derivada 31

31 Trazado de grafica de funciones 31

32 Derivadas parametricas 31

321 Regla de la cadena 31

33 Diferencial de una funcion 31

34 Razon de cambio 31




Teorema 11 Sean empty = A sub a isin A a un punto de acumulacion de A f A minusrarr

a) Si f es derivable en a entonces la ecuaciacute on de la recta tangente a la gracute afica de la funciacute on f en el punto(a f (a)

852009 es

L T y minus f (a) = f prime(a)(x minus a)

b) Si f es derivable en a y f

prime

(a) = 0 entonces la ecuaciacute on de la recta normal a la gracute afica de la funciacute on f en el punto

(a f (a)

852009 es

L N y minus f (a) = minus1

f prime(a)(x minus a)

c) Si f es derivable en a y f prime(a) = 0 entonces las ecuaciones de la recta tangente y normal a la gracute afica de la

funciacute on f en el punto(

a f (a)852009

son

L T y = f (a) and L N x = a

Observacion Si el punto a es un punto de acumulacion del conjunto A no se puede garantizar que a isin A por

ejemplo a = 0 es un punto de acumulacion del conjunto A =1048699 1

n983087

n isin +983165

pero a isin A mientras que a = 3 es

un punto de acumulacion del conjunto A = [3 5] y a isin A

Si el punto a es un punto de acumulacion del conjunto A y a isin A entonces se denotara por a isin A cap A prime



g A minusrarr

dos funciones

1 Si f y g son funciones derivables en a entonces f + g f minus g λf (con λ isin ) y f g son derivables en a y

ademacute as

a) (f + g) prime(a) = f prime(a) + g prime(a)

b) (f minus

g) prime(a) = f prime(a)minus

g prime(a)

c) (λf ) prime(a) = λf prime(a)

d) (f g) prime(a) = f prime(a)g(a) + f (a)g prime(a)

2 Si f y g son funciones derivables en a y g(a) = 0 entonces 1g f g son derivables en a y

a)

10486161

g

1048617prime(a) =

minusg prime(a)

[g(a)]2 b)

1048616f

g

1048617prime(a) =

f prime(a)g(a) minus f (a)g prime(a)

[g(a)]2

Observacion Si la funcion f + g es derivable en el punto a de su dominio no podemos garantizar que las

funciones f y g sean derivables en el punto a

Ejemplo 11

1 La funcion f definida por f (x) = C cuyo dominio es es derivable en tondo y f prime(x) = 0 para todo

x isin








radic x minus radic

2

x minus 2 = lım

xrarr2

radic x minus radic

2

x minus 2 middot

radic x +

radic 2radic

x +radic

2= lım

xrarr2

1radic x +

radic 2

= 1

2radic

2


radic x minus radic

5

x minus 5 = lım

xrarr5

radic x minus radic

5

x minus 5 middot

radic x +

radic 5radic

x +radic

5= lım

xrarr5

1radic x +

radic 5

= 1

2radic

5

f prime


radic x

minusradic

0



radic x

minusradic

0







= lımxrarr3

x minus 3

x minus 3 = lım

xrarr31 = 1



= lımxrarrminus4

minusx minus 4





= lımxrarr0+



= lımxrarr0minus

(minus1) = minus1




(x) no existe



x minus 3

x minus 3 = lım


xrarrminus4

x minus (minus4)


xrarrminus4(1) = 1


5 La funcion f

minusrarr



6 La funcion f

minusrarr



7 La funcion f

minusrarr


isin



todo x isin

8 La funcion f

minusrarr



minus 0


3 3radic

x2para todo x = 0

9 La funcion f

minusrarr



minus 0


3 3radic

x para todo x = 0


todo x isin




x para todo x gt 0






df









entonces



h


f prime

(x) = lımhrarr0

f (x + h)

minusf (x)

h



con Ran(f ) sub B




f (a)852009

f prime(a)


con Ran(f ) sub B

x isin A cap Aprime


Si existen f prime

(x) y gprime(

f (x)852009





f (x)852009

f prime(x)



sinh x = e

x minus e minusx

2 para todo x isin

cosh x = e

x + e minusx

2 para todo x isin


= e

x

minus e

minusx

e x + e


coth x = 1tanh x

= e

x

+ e

minusx

e x minus e


minus 0

sech x = 1

cosh x =

2

e x + e


1

sinh x =

2

e x minus e


minus 0





f A minusrarr

una funciacute on


lımite


f (x) minus f (a)

x minus a



lımite

f primeminus


f (x) minus f (a)

x

minusa

si es que existe









(a)

Ejemplo 12


983163 2x si 0 lt x lt 3

x3 si 3 le x lt 6


f (x) minus f (3)

x minus 3 = lım

xrarr3

x3 minus 33

x minus 3 = lım

xrarr3(x2 + 3x + 9) = 27

⋆ f primeminus


f (x) minus f (3)

x minus 3 = lım

xrarr3minus

2x minus 33

x minus 3 = +infin







f (x) minus f (1)

x minus 1 = lım

xrarr1+

9830802x minus 1

983081minus983080

2(1) minus 1983081

x minus 1 = lım

xrarr1+

2x minus 2

x minus 1 = 2

⋆ f primeminus


f (x) minus f (1)

x minus 1 = lım

xrarr1minus

x2 minus983080

2(1) minus 1983081

x minus 1 = lım

xrarr1minus

x2 minus 1

x minus 1 = lım






Observaciones










Observaciones



Ejemplo 13



(1

minusx)2 si x

ge 1

⋆ lımxrarr1minus



xrarr1+f (x) = lım

xrarr1+(1 minus x)2 = 0 y f (1) = 0





⋆ lımxrarr1minus

f (x) minus f (1)

x minus 1 = lım

xrarr1minus



⋆ lımxrarr1+

f (x) minus f (1)

x minus 1 = lım

xrarr1+


x minus 1 = 0




1 si x lt 4

2 si x ge 4

⋆ lımxrarr4minus


f (x) = 2 y f (4) = 2

⋆ lımxrarr4minus

f (x) minus f (4)

x minus 4 = lım

xrarr4minus

1 minus 2

x minus 4 =

minus1

0minus= +infin

⋆ lımxrarr4+

f (x)

minusf (4)


2

minus2






x2 si x lt minus1





xrarrminus1

x2 minus 1

x + 1 = lım



f (x)minus

f (minus

1)


minus2x

minus1


minus2x




1) f (x) = 1radic

x + 1 a = 3

2) f (x) = 3x a = 5

3) f (x) = sin 2x a = π

4) f (x) = x + 3

2x minus 5 a = 2



1) f (x) = x4 + 3x2 minus 6

2) f (x) = (1 + 4x3)(1 + 2x2)

3) f (x) = x(2x minus 1)(3x + 2)

4) f (x) = tan x

x2

5) f (x) =radic

4 minus xx

6) f (x) =

1

(x + a)n middot 1

(x + b)m

7) f (x) =


x

8) f (x) =

radic x2 + 1 +



9) f (x) =991770

x +radic

x +radic

x

10) f (x) = arctan


1048617

11) f (x) = 1radic

x middot e


2 ln x + 1

12) f (x) = ln983080radic

2sin x + 1 +radic


13) f (x) = 3

1057306 ln983080

sin(x + 3

4








Funcion Derivada

y = f (x) dy

dx = f prime(x)

C 0

x 1

Cf (x) Cf prime(x)


dx



u

v


v2

ln u 1

u middot du

dx

loga u 1

u ln a middot du

dx

e u e u middot dudx


dx

Funcion Derivada

y = f (x) dy

dx

= f prime(x)


dx


dx


dx


dx


dx


dx

arcsin u 1radic


dx



dx

arctan u 1

1 + u2 middot du

dx


arcsec u 1

uradic

u2 minus 1middot du

dx

arccsc u minus1

uradic

u2 minus 1middot du

dx

Funcion Derivada

y = f (x)

dy

dx = f prime

(x)


dx


dx


dx


dx



dx

radic u

1

2radic

u middot du

dx

n

radic u

1

n n

radic (u)nminus1

middot du

dx

|u

| u

|u| middot du

dx

uv uv

1048616v

u middot du

dx +

dv

dx middot ln u

1048617

1

u minus 1

u2 middot du

dx






h







1

2radic




f prime(x) = df






132 El operador d

dx



dx que


es decir d



x entonces d

dx

(f (x)

852009=

d

dx

(radic x852009

= 1

2radic

x para todo x gt 0



d

dx

852059f (x) + g(x)

852061=

d

dx

1048667f (x)

1048669+

d

dx

852059g(x)

852061 y

d

dx

1048667λf (x)


dx

852059f (x)


y que ademas

d

dx1048667f (x)g(x)1048669 =

d

dx852059f (x)852061 middot

g(x) + f (x)

middot

d

dx852059g(x)852061 y

d

dx1048667

f (x)

g(x)1048669 =

d

dx 852059f (x)


dx 852059g(x)

852061[g(x)]

2


dx

983080f (x)

983081= f prime(x)

1048667f (x) + g(x)

1048669prime

=852059

f (x)852061prime

+852059

g(x)852061prime

y852059

λf (x)852061prime

= λ852059

f (x)852061prime

donde λ isin


1048669prime

=852059

f (x)852061prime

g(x) + f (x)852059

g(x)852061prime

y1048667f (x)

g(x)

1048669prime

=

852059f (x)


852059g(x)

852061prime[g(x)]2


dx

1 Sea f

minusrarr





dx[f (x)] =

d


minusrarr d

dx[f (x)] =

d

dx[sin(2x)] minus d

dx[e3x]

minusrarr d

dx[f (x)] = cos(2x)

d

dx[2x] minus e3x

d

dx[3x]

minusrarr d




sin xe5x



f (x) = x3 sin x


983131x3 sin x

e5x

983133prime


[e5x]2




[e5x]2


[e5x]2




[e5x]2








para todo x isin

3 Sea f

minusrarr




(x4 + 2)4cos2x1048669




f (x) =


1048669prime


f (x) =

10486674cos2x

1048669prime


ln(x4 + 2)1048669prime


f (x) = 4

1048667cos2x

1048669prime


x4 + 2



middot ln(x4


x4 + 2



x4 + 2



16x3

x4 + 2 middot cos2x



x4 + 2 middot cos2x





[u] = ddx











Ejemplo 16

1 Hallemos d


d

dx[u] =

d

dx[5x + tan x] =

d

dx[5x] +

d

dx[tan x] = 5

d


2 Hallemos d


d

dx[W ] =

d

dx[5e5t+1 + tan(3x)] =

d

dx[5e5t+1] +

d

dx[tan(3x)] = 0 + sec2(3x)

d


3 Hallemos d


ddx

[W ] = ddx

1048667cos(5x + t) + ln(x2 + z)


dx[5x + t] + 1

x2 + z middot d

dx[x2 + z]

=rArr d


1


2x

x2 + z






dy[U ] = 0

d

dx[U ] = U prime(x)

d

dt[U ] = 0 y

d

dz[U ] = 0



f primeprime

(a) = lımxrarra

f prime(x)

minusf prime(a)


f prime(a + h)

minusf prime(a)

h




h

Observaciones










Ejemplo 17




2radic




4radic

x3

En este caso


2 Sea f

minusrarr


minusrarr


minusrarr


En este caso






x

minusa

= lımhrarr0


h




h









a


x minus a

= lımhrarr

0





h




1 El operador d


2 El operador d2


dx2 = d

dx

983080 ddx

983081

3 El operador d3


d3

dx3 =

d

dx

983080 d2

dx2

983081=

d

dx

1048616 d

dx

983080 d

dx

9830811048617

4 El operador dn


dn

dxn =

d

dx

983080 dnminus1

dxnminus1

983081=

d

dx

1048616 d

dx

983080 dnminus2

dxnminus2

9830811048617


1 d

dx1048667f (x)

1048669=

d

dx[x5 + 2x2] = 5x4 + 4x

2 d2

dx2

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d

dx

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[5x4 + 4x] = 20x3 + 4

3 d3

dx3

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d2

dx2

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[20x3 + 4] = 60x2

4 d4

dx4

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d3

dx3

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[60x2] = 120x

5 d5

dx5

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d4

dx4

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[120x] = 120

6

d6

dx61048667

f (x)1048669

=

d

dx983131 d5

dx51048667

f (x)1048669983133

=

d

dx [120] = 0 y

dn

dxn1048667

f (x)1048669

= 0 foralln ge 6


1 f (x) = ex

2 f (x) = eax

3 f (x) = akx

4 f (x) = 1

(x minus a)k

5 f (x) = 1 minus x

1 + x


x2 minus 4

7 f (x) = sin ax

8 f (x) = cos ax

9 f (x) = ln(a + bx)

10 f (x) = 1

x2 minus 3x + 2

11 f (x) = 8x minus 5

2x2 + x minus 6

12 f (x) = x ex

13 f (x) = 5x minus 1

x2 + x minus 12

14 f (x) = ex sin x

15 f (x) = sin2 x

16 f (x) = xnradic

x








Sea F U sub







dx

1 e5y = sin(x + y)


dx[e5y] =

d

dx[sin(x + y)]

minusrarr e5y ddx


[x + y]


dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)


dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)

there4dy

dx =

cos(x + y)


2 x = ln(x3 + y)


d

dx[x] =

d

dx1048667 ln(x3 + y)1048669

minusrarr 1 = 1

x3 + y middot d

dx[x3 + y]

minusrarr 1 = 1


dy

dx)

minusrarr dy



dx[

dy

dx] =

d


dy

dx

=rArr d2y


dy


there4dydx


= x3 minus 6x + y

3 Halle dy

dx si exp

1048616860698 x +

radic y

x minus radic y

1048617+ ln


y

x +radic

y = 8

4 Halle dy


5 Halle dy


6 Halle dy

dx


y + radic x + 860698 y +

radic x

y minus radic x =

5

2

7 Halle dy

dx si x2 minus a


8 Halle d2y


9 Halle d2y


10 Halle d2y


11 Halle d2y

dx2

si 3x2



dy si x = x(y)































coordenadas





x




yprime = 0








yprime = 2







yprime = y



soluciacute on

1 y = ceminus2x + x


yprime

= minus2ceminus



2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x

there4dy


2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x





3 y = ax3 + bx2 + cx




6 x3 +

1

2


983081x2 +



983081x




Solucion

x

y

y = x

h

h1









yprime + 1


1048616x minus

x + yy prime

yprime + 110486172

+1048616


yprime + 110486172

= 1


8520092+(


= (yprime + 1)2


8520092+(

y minus x8520092

= (yprime + 1)2


=rArr (x minus y)2(

(yprime)2 + 1852009



Solucion

x

y

a

b

L

y = 2 x 2





1

y(x) para x gt 0


y(a) =

1




y minus b = 1b

1048616x minus b

2

2


2

2

=rArr y = x

b +

b

2 pero b =

1

yprime


2yprime


6 y2 = 4ax



=rArr 2yyprime

= 41048616 y2

4x1048617

= y2

x =rArr 2xyyprime

= y2 =rArr 2xyprime


dx minus y = 0

Por lo tanto 2x dy






7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x

Solucion


minusyprimeprime









9 x2 minus ay2 = 1

Solucion



dy

dx =

minus2x

minus2ay

=rArr a = x


x2 minus x



=rArr yprime = xy


10 x2 + y2 minus cx = 0



=

rArr yprime =

x2 minus y2

2xy










+ y2


)2

= 1 minus (yprime

)2

















minusrarr









10486679ex + xex

1048669+1048667

8ex + xex1048669


= [10

minus18 + 8]ex + [1

minus2 + 1]xex

= 0





dx = minus 1

2y 2yyprime + 1 = 0


3 y = sin x

x


4 y = 1


5 y = 2xradic


6 y = x






1 minus x2y2









1 [a b] = x isin

a le x le b


a lt x lt b

3 ⟨a b] = x isin

a lt x le b

4 [a b⟩ = x isin

a le x lt b



1048623x le b


1048623a lt x


1048623a le x


y

10 [a a] = a






















Observaciones

1 La funcion f [a b



⟨a b






(b)




(b)



minus(b)






mismo dominio que f



f (k) I minusrarr














isin C 0(I )











es continua en I


isin C k(I )




Ejemplo 117

1 La funcion f

minusrarr




)



sobre





[0 +infin⟩983081


















X

Y

L L L

y f x ( )=a

X

Y

L L L

y f x ( )=a





983163 2x si 0 lt x lt 1






X

Y

y f x ( )=

1 2

X

Y

L L L

y x 2=

y x 3=

1

2

3



x2 si

minus1 lt x lt 1

2x3

3 si 1 le x lt 2



f (x) =


2x3

3 si 1 le x lt 2













X X

Y Y

a a b

y f x = ( ) y f x = ( )


f a

f b






y m isin


para todo x isin X


y M isin



Observaciones





del conjunto




Ejemplo 21


2 El conjunto


el de los numeros



















f A minusrarr







decir




decir





















minusrarr

tiene mınimo



minusrarr

tiene maximo



punto

Y Y

X X


x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )











Observaciones





(x0 f (x0)








x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8






























radic x minus radic

2

x minus 2 = lım

xrarr2

radic x minus radic

2

x minus 2 middot

radic x +

radic 2radic

x +radic

2= lım

xrarr2

1radic x +

radic 2

= 1

2radic

2


radic x minus radic

5

x minus 5 = lım

xrarr5

radic x minus radic

5

x minus 5 middot

radic x +

radic 5radic

x +radic

5= lım

xrarr5

1radic x +

radic 5

= 1

2radic

5

f prime


radic x

minusradic

0



radic x

minusradic

0







= lımxrarr3

x minus 3

x minus 3 = lım

xrarr31 = 1



= lımxrarrminus4

minusx minus 4





= lımxrarr0+



= lımxrarr0minus

(minus1) = minus1




(x) no existe



x minus 3

x minus 3 = lım


xrarrminus4

x minus (minus4)


xrarrminus4(1) = 1


5 La funcion f

minusrarr



6 La funcion f

minusrarr



7 La funcion f

minusrarr


isin



todo x isin

8 La funcion f

minusrarr



minus 0


3 3radic

x2para todo x = 0

9 La funcion f

minusrarr



minus 0


3 3radic

x para todo x = 0


todo x isin




x para todo x gt 0






df









entonces



h


f prime

(x) = lımhrarr0

f (x + h)

minusf (x)

h



con Ran(f ) sub B




f (a)852009

f prime(a)


con Ran(f ) sub B

x isin A cap Aprime


Si existen f prime

(x) y gprime(

f (x)852009





f (x)852009

f prime(x)



sinh x = e

x minus e minusx

2 para todo x isin

cosh x = e

x + e minusx

2 para todo x isin


= e

x

minus e

minusx

e x + e


coth x = 1tanh x

= e

x

+ e

minusx

e x minus e


minus 0

sech x = 1

cosh x =

2

e x + e


1

sinh x =

2

e x minus e


minus 0





f A minusrarr

una funciacute on


lımite


f (x) minus f (a)

x minus a



lımite

f primeminus


f (x) minus f (a)

x

minusa

si es que existe









(a)

Ejemplo 12


983163 2x si 0 lt x lt 3

x3 si 3 le x lt 6


f (x) minus f (3)

x minus 3 = lım

xrarr3

x3 minus 33

x minus 3 = lım

xrarr3(x2 + 3x + 9) = 27

⋆ f primeminus


f (x) minus f (3)

x minus 3 = lım

xrarr3minus

2x minus 33

x minus 3 = +infin







f (x) minus f (1)

x minus 1 = lım

xrarr1+

9830802x minus 1

983081minus983080

2(1) minus 1983081

x minus 1 = lım

xrarr1+

2x minus 2

x minus 1 = 2

⋆ f primeminus


f (x) minus f (1)

x minus 1 = lım

xrarr1minus

x2 minus983080

2(1) minus 1983081

x minus 1 = lım

xrarr1minus

x2 minus 1

x minus 1 = lım






Observaciones










Observaciones



Ejemplo 13



(1

minusx)2 si x

ge 1

⋆ lımxrarr1minus



xrarr1+f (x) = lım

xrarr1+(1 minus x)2 = 0 y f (1) = 0





⋆ lımxrarr1minus

f (x) minus f (1)

x minus 1 = lım

xrarr1minus



⋆ lımxrarr1+

f (x) minus f (1)

x minus 1 = lım

xrarr1+


x minus 1 = 0




1 si x lt 4

2 si x ge 4

⋆ lımxrarr4minus


f (x) = 2 y f (4) = 2

⋆ lımxrarr4minus

f (x) minus f (4)

x minus 4 = lım

xrarr4minus

1 minus 2

x minus 4 =

minus1

0minus= +infin

⋆ lımxrarr4+

f (x)

minusf (4)


2

minus2






x2 si x lt minus1





xrarrminus1

x2 minus 1

x + 1 = lım



f (x)minus

f (minus

1)


minus2x

minus1


minus2x




1) f (x) = 1radic

x + 1 a = 3

2) f (x) = 3x a = 5

3) f (x) = sin 2x a = π

4) f (x) = x + 3

2x minus 5 a = 2



1) f (x) = x4 + 3x2 minus 6

2) f (x) = (1 + 4x3)(1 + 2x2)

3) f (x) = x(2x minus 1)(3x + 2)

4) f (x) = tan x

x2

5) f (x) =radic

4 minus xx

6) f (x) =

1

(x + a)n middot 1

(x + b)m

7) f (x) =


x

8) f (x) =

radic x2 + 1 +



9) f (x) =991770

x +radic

x +radic

x

10) f (x) = arctan


1048617

11) f (x) = 1radic

x middot e


2 ln x + 1

12) f (x) = ln983080radic

2sin x + 1 +radic


13) f (x) = 3

1057306 ln983080

sin(x + 3

4








Funcion Derivada

y = f (x) dy

dx = f prime(x)

C 0

x 1

Cf (x) Cf prime(x)


dx



u

v


v2

ln u 1

u middot du

dx

loga u 1

u ln a middot du

dx

e u e u middot dudx


dx

Funcion Derivada

y = f (x) dy

dx

= f prime(x)


dx


dx


dx


dx


dx


dx

arcsin u 1radic


dx



dx

arctan u 1

1 + u2 middot du

dx


arcsec u 1

uradic

u2 minus 1middot du

dx

arccsc u minus1

uradic

u2 minus 1middot du

dx

Funcion Derivada

y = f (x)

dy

dx = f prime

(x)


dx


dx


dx


dx



dx

radic u

1

2radic

u middot du

dx

n

radic u

1

n n

radic (u)nminus1

middot du

dx

|u

| u

|u| middot du

dx

uv uv

1048616v

u middot du

dx +

dv

dx middot ln u

1048617

1

u minus 1

u2 middot du

dx






h







1

2radic




f prime(x) = df






132 El operador d

dx



dx que


es decir d



x entonces d

dx

(f (x)

852009=

d

dx

(radic x852009

= 1

2radic

x para todo x gt 0



d

dx

852059f (x) + g(x)

852061=

d

dx

1048667f (x)

1048669+

d

dx

852059g(x)

852061 y

d

dx

1048667λf (x)


dx

852059f (x)


y que ademas

d

dx1048667f (x)g(x)1048669 =

d

dx852059f (x)852061 middot

g(x) + f (x)

middot

d

dx852059g(x)852061 y

d

dx1048667

f (x)

g(x)1048669 =

d

dx 852059f (x)


dx 852059g(x)

852061[g(x)]

2


dx

983080f (x)

983081= f prime(x)

1048667f (x) + g(x)

1048669prime

=852059

f (x)852061prime

+852059

g(x)852061prime

y852059

λf (x)852061prime

= λ852059

f (x)852061prime

donde λ isin


1048669prime

=852059

f (x)852061prime

g(x) + f (x)852059

g(x)852061prime

y1048667f (x)

g(x)

1048669prime

=

852059f (x)


852059g(x)

852061prime[g(x)]2


dx

1 Sea f

minusrarr





dx[f (x)] =

d


minusrarr d

dx[f (x)] =

d

dx[sin(2x)] minus d

dx[e3x]

minusrarr d

dx[f (x)] = cos(2x)

d

dx[2x] minus e3x

d

dx[3x]

minusrarr d




sin xe5x



f (x) = x3 sin x


983131x3 sin x

e5x

983133prime


[e5x]2




[e5x]2


[e5x]2




[e5x]2








para todo x isin

3 Sea f

minusrarr




(x4 + 2)4cos2x1048669




f (x) =


1048669prime


f (x) =

10486674cos2x

1048669prime


ln(x4 + 2)1048669prime


f (x) = 4

1048667cos2x

1048669prime


x4 + 2



middot ln(x4


x4 + 2



x4 + 2



16x3

x4 + 2 middot cos2x



x4 + 2 middot cos2x





[u] = ddx











Ejemplo 16

1 Hallemos d


d

dx[u] =

d

dx[5x + tan x] =

d

dx[5x] +

d

dx[tan x] = 5

d


2 Hallemos d


d

dx[W ] =

d

dx[5e5t+1 + tan(3x)] =

d

dx[5e5t+1] +

d

dx[tan(3x)] = 0 + sec2(3x)

d


3 Hallemos d


ddx

[W ] = ddx

1048667cos(5x + t) + ln(x2 + z)


dx[5x + t] + 1

x2 + z middot d

dx[x2 + z]

=rArr d


1


2x

x2 + z






dy[U ] = 0

d

dx[U ] = U prime(x)

d

dt[U ] = 0 y

d

dz[U ] = 0



f primeprime

(a) = lımxrarra

f prime(x)

minusf prime(a)


f prime(a + h)

minusf prime(a)

h




h

Observaciones










Ejemplo 17




2radic




4radic

x3

En este caso


2 Sea f

minusrarr


minusrarr


minusrarr


En este caso






x

minusa

= lımhrarr0


h




h









a


x minus a

= lımhrarr

0





h




1 El operador d


2 El operador d2


dx2 = d

dx

983080 ddx

983081

3 El operador d3


d3

dx3 =

d

dx

983080 d2

dx2

983081=

d

dx

1048616 d

dx

983080 d

dx

9830811048617

4 El operador dn


dn

dxn =

d

dx

983080 dnminus1

dxnminus1

983081=

d

dx

1048616 d

dx

983080 dnminus2

dxnminus2

9830811048617


1 d

dx1048667f (x)

1048669=

d

dx[x5 + 2x2] = 5x4 + 4x

2 d2

dx2

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d

dx

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[5x4 + 4x] = 20x3 + 4

3 d3

dx3

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d2

dx2

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[20x3 + 4] = 60x2

4 d4

dx4

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d3

dx3

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[60x2] = 120x

5 d5

dx5

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d4

dx4

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[120x] = 120

6

d6

dx61048667

f (x)1048669

=

d

dx983131 d5

dx51048667

f (x)1048669983133

=

d

dx [120] = 0 y

dn

dxn1048667

f (x)1048669

= 0 foralln ge 6


1 f (x) = ex

2 f (x) = eax

3 f (x) = akx

4 f (x) = 1

(x minus a)k

5 f (x) = 1 minus x

1 + x


x2 minus 4

7 f (x) = sin ax

8 f (x) = cos ax

9 f (x) = ln(a + bx)

10 f (x) = 1

x2 minus 3x + 2

11 f (x) = 8x minus 5

2x2 + x minus 6

12 f (x) = x ex

13 f (x) = 5x minus 1

x2 + x minus 12

14 f (x) = ex sin x

15 f (x) = sin2 x

16 f (x) = xnradic

x








Sea F U sub







dx

1 e5y = sin(x + y)


dx[e5y] =

d

dx[sin(x + y)]

minusrarr e5y ddx


[x + y]


dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)


dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)

there4dy

dx =

cos(x + y)


2 x = ln(x3 + y)


d

dx[x] =

d

dx1048667 ln(x3 + y)1048669

minusrarr 1 = 1

x3 + y middot d

dx[x3 + y]

minusrarr 1 = 1


dy

dx)

minusrarr dy



dx[

dy

dx] =

d


dy

dx

=rArr d2y


dy


there4dydx


= x3 minus 6x + y

3 Halle dy

dx si exp

1048616860698 x +

radic y

x minus radic y

1048617+ ln


y

x +radic

y = 8

4 Halle dy


5 Halle dy


6 Halle dy

dx


y + radic x + 860698 y +

radic x

y minus radic x =

5

2

7 Halle dy

dx si x2 minus a


8 Halle d2y


9 Halle d2y


10 Halle d2y


11 Halle d2y

dx2

si 3x2



dy si x = x(y)































coordenadas





x




yprime = 0








yprime = 2







yprime = y



soluciacute on

1 y = ceminus2x + x


yprime

= minus2ceminus



2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x

there4dy


2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x





3 y = ax3 + bx2 + cx




6 x3 +

1

2


983081x2 +



983081x




Solucion

x

y

y = x

h

h1









yprime + 1


1048616x minus

x + yy prime

yprime + 110486172

+1048616


yprime + 110486172

= 1


8520092+(


= (yprime + 1)2


8520092+(

y minus x8520092

= (yprime + 1)2


=rArr (x minus y)2(

(yprime)2 + 1852009



Solucion

x

y

a

b

L

y = 2 x 2





1

y(x) para x gt 0


y(a) =

1




y minus b = 1b

1048616x minus b

2

2


2

2

=rArr y = x

b +

b

2 pero b =

1

yprime


2yprime


6 y2 = 4ax



=rArr 2yyprime

= 41048616 y2

4x1048617

= y2

x =rArr 2xyyprime

= y2 =rArr 2xyprime


dx minus y = 0

Por lo tanto 2x dy






7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x

Solucion


minusyprimeprime









9 x2 minus ay2 = 1

Solucion



dy

dx =

minus2x

minus2ay

=rArr a = x


x2 minus x



=rArr yprime = xy


10 x2 + y2 minus cx = 0



=

rArr yprime =

x2 minus y2

2xy










+ y2


)2

= 1 minus (yprime

)2

















minusrarr









10486679ex + xex

1048669+1048667

8ex + xex1048669


= [10

minus18 + 8]ex + [1

minus2 + 1]xex

= 0





dx = minus 1

2y 2yyprime + 1 = 0


3 y = sin x

x


4 y = 1


5 y = 2xradic


6 y = x






1 minus x2y2









1 [a b] = x isin

a le x le b


a lt x lt b

3 ⟨a b] = x isin

a lt x le b

4 [a b⟩ = x isin

a le x lt b



1048623x le b


1048623a lt x


1048623a le x


y

10 [a a] = a






















Observaciones

1 La funcion f [a b



⟨a b






(b)




(b)



minus(b)






mismo dominio que f



f (k) I minusrarr














isin C 0(I )











es continua en I


isin C k(I )




Ejemplo 117

1 La funcion f

minusrarr




)



sobre





[0 +infin⟩983081


















X

Y

L L L

y f x ( )=a

X

Y

L L L

y f x ( )=a





983163 2x si 0 lt x lt 1






X

Y

y f x ( )=

1 2

X

Y

L L L

y x 2=

y x 3=

1

2

3



x2 si

minus1 lt x lt 1

2x3

3 si 1 le x lt 2



f (x) =


2x3

3 si 1 le x lt 2













X X

Y Y

a a b

y f x = ( ) y f x = ( )


f a

f b






y m isin


para todo x isin X


y M isin



Observaciones





del conjunto




Ejemplo 21


2 El conjunto


el de los numeros



















f A minusrarr







decir




decir





















minusrarr

tiene mınimo



minusrarr

tiene maximo



punto

Y Y

X X


x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )











Observaciones





(x0 f (x0)








x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8




























entonces



h


f prime

(x) = lımhrarr0

f (x + h)

minusf (x)

h



con Ran(f ) sub B




f (a)852009

f prime(a)


con Ran(f ) sub B

x isin A cap Aprime


Si existen f prime

(x) y gprime(

f (x)852009





f (x)852009

f prime(x)



sinh x = e

x minus e minusx

2 para todo x isin

cosh x = e

x + e minusx

2 para todo x isin


= e

x

minus e

minusx

e x + e


coth x = 1tanh x

= e

x

+ e

minusx

e x minus e


minus 0

sech x = 1

cosh x =

2

e x + e


1

sinh x =

2

e x minus e


minus 0





f A minusrarr

una funciacute on


lımite


f (x) minus f (a)

x minus a



lımite

f primeminus


f (x) minus f (a)

x

minusa

si es que existe









(a)

Ejemplo 12


983163 2x si 0 lt x lt 3

x3 si 3 le x lt 6


f (x) minus f (3)

x minus 3 = lım

xrarr3

x3 minus 33

x minus 3 = lım

xrarr3(x2 + 3x + 9) = 27

⋆ f primeminus


f (x) minus f (3)

x minus 3 = lım

xrarr3minus

2x minus 33

x minus 3 = +infin







f (x) minus f (1)

x minus 1 = lım

xrarr1+

9830802x minus 1

983081minus983080

2(1) minus 1983081

x minus 1 = lım

xrarr1+

2x minus 2

x minus 1 = 2

⋆ f primeminus


f (x) minus f (1)

x minus 1 = lım

xrarr1minus

x2 minus983080

2(1) minus 1983081

x minus 1 = lım

xrarr1minus

x2 minus 1

x minus 1 = lım






Observaciones










Observaciones



Ejemplo 13



(1

minusx)2 si x

ge 1

⋆ lımxrarr1minus



xrarr1+f (x) = lım

xrarr1+(1 minus x)2 = 0 y f (1) = 0





⋆ lımxrarr1minus

f (x) minus f (1)

x minus 1 = lım

xrarr1minus



⋆ lımxrarr1+

f (x) minus f (1)

x minus 1 = lım

xrarr1+


x minus 1 = 0




1 si x lt 4

2 si x ge 4

⋆ lımxrarr4minus


f (x) = 2 y f (4) = 2

⋆ lımxrarr4minus

f (x) minus f (4)

x minus 4 = lım

xrarr4minus

1 minus 2

x minus 4 =

minus1

0minus= +infin

⋆ lımxrarr4+

f (x)

minusf (4)


2

minus2






x2 si x lt minus1





xrarrminus1

x2 minus 1

x + 1 = lım



f (x)minus

f (minus

1)


minus2x

minus1


minus2x




1) f (x) = 1radic

x + 1 a = 3

2) f (x) = 3x a = 5

3) f (x) = sin 2x a = π

4) f (x) = x + 3

2x minus 5 a = 2



1) f (x) = x4 + 3x2 minus 6

2) f (x) = (1 + 4x3)(1 + 2x2)

3) f (x) = x(2x minus 1)(3x + 2)

4) f (x) = tan x

x2

5) f (x) =radic

4 minus xx

6) f (x) =

1

(x + a)n middot 1

(x + b)m

7) f (x) =


x

8) f (x) =

radic x2 + 1 +



9) f (x) =991770

x +radic

x +radic

x

10) f (x) = arctan


1048617

11) f (x) = 1radic

x middot e


2 ln x + 1

12) f (x) = ln983080radic

2sin x + 1 +radic


13) f (x) = 3

1057306 ln983080

sin(x + 3

4








Funcion Derivada

y = f (x) dy

dx = f prime(x)

C 0

x 1

Cf (x) Cf prime(x)


dx



u

v


v2

ln u 1

u middot du

dx

loga u 1

u ln a middot du

dx

e u e u middot dudx


dx

Funcion Derivada

y = f (x) dy

dx

= f prime(x)


dx


dx


dx


dx


dx


dx

arcsin u 1radic


dx



dx

arctan u 1

1 + u2 middot du

dx


arcsec u 1

uradic

u2 minus 1middot du

dx

arccsc u minus1

uradic

u2 minus 1middot du

dx

Funcion Derivada

y = f (x)

dy

dx = f prime

(x)


dx


dx


dx


dx



dx

radic u

1

2radic

u middot du

dx

n

radic u

1

n n

radic (u)nminus1

middot du

dx

|u

| u

|u| middot du

dx

uv uv

1048616v

u middot du

dx +

dv

dx middot ln u

1048617

1

u minus 1

u2 middot du

dx






h







1

2radic




f prime(x) = df






132 El operador d

dx



dx que


es decir d



x entonces d

dx

(f (x)

852009=

d

dx

(radic x852009

= 1

2radic

x para todo x gt 0



d

dx

852059f (x) + g(x)

852061=

d

dx

1048667f (x)

1048669+

d

dx

852059g(x)

852061 y

d

dx

1048667λf (x)


dx

852059f (x)


y que ademas

d

dx1048667f (x)g(x)1048669 =

d

dx852059f (x)852061 middot

g(x) + f (x)

middot

d

dx852059g(x)852061 y

d

dx1048667

f (x)

g(x)1048669 =

d

dx 852059f (x)


dx 852059g(x)

852061[g(x)]

2


dx

983080f (x)

983081= f prime(x)

1048667f (x) + g(x)

1048669prime

=852059

f (x)852061prime

+852059

g(x)852061prime

y852059

λf (x)852061prime

= λ852059

f (x)852061prime

donde λ isin


1048669prime

=852059

f (x)852061prime

g(x) + f (x)852059

g(x)852061prime

y1048667f (x)

g(x)

1048669prime

=

852059f (x)


852059g(x)

852061prime[g(x)]2


dx

1 Sea f

minusrarr





dx[f (x)] =

d


minusrarr d

dx[f (x)] =

d

dx[sin(2x)] minus d

dx[e3x]

minusrarr d

dx[f (x)] = cos(2x)

d

dx[2x] minus e3x

d

dx[3x]

minusrarr d




sin xe5x



f (x) = x3 sin x


983131x3 sin x

e5x

983133prime


[e5x]2




[e5x]2


[e5x]2




[e5x]2








para todo x isin

3 Sea f

minusrarr




(x4 + 2)4cos2x1048669




f (x) =


1048669prime


f (x) =

10486674cos2x

1048669prime


ln(x4 + 2)1048669prime


f (x) = 4

1048667cos2x

1048669prime


x4 + 2



middot ln(x4


x4 + 2



x4 + 2



16x3

x4 + 2 middot cos2x



x4 + 2 middot cos2x





[u] = ddx











Ejemplo 16

1 Hallemos d


d

dx[u] =

d

dx[5x + tan x] =

d

dx[5x] +

d

dx[tan x] = 5

d


2 Hallemos d


d

dx[W ] =

d

dx[5e5t+1 + tan(3x)] =

d

dx[5e5t+1] +

d

dx[tan(3x)] = 0 + sec2(3x)

d


3 Hallemos d


ddx

[W ] = ddx

1048667cos(5x + t) + ln(x2 + z)


dx[5x + t] + 1

x2 + z middot d

dx[x2 + z]

=rArr d


1


2x

x2 + z






dy[U ] = 0

d

dx[U ] = U prime(x)

d

dt[U ] = 0 y

d

dz[U ] = 0



f primeprime

(a) = lımxrarra

f prime(x)

minusf prime(a)


f prime(a + h)

minusf prime(a)

h




h

Observaciones










Ejemplo 17




2radic




4radic

x3

En este caso


2 Sea f

minusrarr


minusrarr


minusrarr


En este caso






x

minusa

= lımhrarr0


h




h









a


x minus a

= lımhrarr

0





h




1 El operador d


2 El operador d2


dx2 = d

dx

983080 ddx

983081

3 El operador d3


d3

dx3 =

d

dx

983080 d2

dx2

983081=

d

dx

1048616 d

dx

983080 d

dx

9830811048617

4 El operador dn


dn

dxn =

d

dx

983080 dnminus1

dxnminus1

983081=

d

dx

1048616 d

dx

983080 dnminus2

dxnminus2

9830811048617


1 d

dx1048667f (x)

1048669=

d

dx[x5 + 2x2] = 5x4 + 4x

2 d2

dx2

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d

dx

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[5x4 + 4x] = 20x3 + 4

3 d3

dx3

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d2

dx2

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[20x3 + 4] = 60x2

4 d4

dx4

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d3

dx3

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[60x2] = 120x

5 d5

dx5

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d4

dx4

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[120x] = 120

6

d6

dx61048667

f (x)1048669

=

d

dx983131 d5

dx51048667

f (x)1048669983133

=

d

dx [120] = 0 y

dn

dxn1048667

f (x)1048669

= 0 foralln ge 6


1 f (x) = ex

2 f (x) = eax

3 f (x) = akx

4 f (x) = 1

(x minus a)k

5 f (x) = 1 minus x

1 + x


x2 minus 4

7 f (x) = sin ax

8 f (x) = cos ax

9 f (x) = ln(a + bx)

10 f (x) = 1

x2 minus 3x + 2

11 f (x) = 8x minus 5

2x2 + x minus 6

12 f (x) = x ex

13 f (x) = 5x minus 1

x2 + x minus 12

14 f (x) = ex sin x

15 f (x) = sin2 x

16 f (x) = xnradic

x








Sea F U sub







dx

1 e5y = sin(x + y)


dx[e5y] =

d

dx[sin(x + y)]

minusrarr e5y ddx


[x + y]


dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)


dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)

there4dy

dx =

cos(x + y)


2 x = ln(x3 + y)


d

dx[x] =

d

dx1048667 ln(x3 + y)1048669

minusrarr 1 = 1

x3 + y middot d

dx[x3 + y]

minusrarr 1 = 1


dy

dx)

minusrarr dy



dx[

dy

dx] =

d


dy

dx

=rArr d2y


dy


there4dydx


= x3 minus 6x + y

3 Halle dy

dx si exp

1048616860698 x +

radic y

x minus radic y

1048617+ ln


y

x +radic

y = 8

4 Halle dy


5 Halle dy


6 Halle dy

dx


y + radic x + 860698 y +

radic x

y minus radic x =

5

2

7 Halle dy

dx si x2 minus a


8 Halle d2y


9 Halle d2y


10 Halle d2y


11 Halle d2y

dx2

si 3x2



dy si x = x(y)































coordenadas





x




yprime = 0








yprime = 2







yprime = y



soluciacute on

1 y = ceminus2x + x


yprime

= minus2ceminus



2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x

there4dy


2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x





3 y = ax3 + bx2 + cx




6 x3 +

1

2


983081x2 +



983081x




Solucion

x

y

y = x

h

h1









yprime + 1


1048616x minus

x + yy prime

yprime + 110486172

+1048616


yprime + 110486172

= 1


8520092+(


= (yprime + 1)2


8520092+(

y minus x8520092

= (yprime + 1)2


=rArr (x minus y)2(

(yprime)2 + 1852009



Solucion

x

y

a

b

L

y = 2 x 2





1

y(x) para x gt 0


y(a) =

1




y minus b = 1b

1048616x minus b

2

2


2

2

=rArr y = x

b +

b

2 pero b =

1

yprime


2yprime


6 y2 = 4ax



=rArr 2yyprime

= 41048616 y2

4x1048617

= y2

x =rArr 2xyyprime

= y2 =rArr 2xyprime


dx minus y = 0

Por lo tanto 2x dy






7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x

Solucion


minusyprimeprime









9 x2 minus ay2 = 1

Solucion



dy

dx =

minus2x

minus2ay

=rArr a = x


x2 minus x



=rArr yprime = xy


10 x2 + y2 minus cx = 0



=

rArr yprime =

x2 minus y2

2xy










+ y2


)2

= 1 minus (yprime

)2

















minusrarr









10486679ex + xex

1048669+1048667

8ex + xex1048669


= [10

minus18 + 8]ex + [1

minus2 + 1]xex

= 0





dx = minus 1

2y 2yyprime + 1 = 0


3 y = sin x

x


4 y = 1


5 y = 2xradic


6 y = x






1 minus x2y2









1 [a b] = x isin

a le x le b


a lt x lt b

3 ⟨a b] = x isin

a lt x le b

4 [a b⟩ = x isin

a le x lt b



1048623x le b


1048623a lt x


1048623a le x


y

10 [a a] = a






















Observaciones

1 La funcion f [a b



⟨a b






(b)




(b)



minus(b)






mismo dominio que f



f (k) I minusrarr














isin C 0(I )











es continua en I


isin C k(I )




Ejemplo 117

1 La funcion f

minusrarr




)



sobre





[0 +infin⟩983081


















X

Y

L L L

y f x ( )=a

X

Y

L L L

y f x ( )=a





983163 2x si 0 lt x lt 1






X

Y

y f x ( )=

1 2

X

Y

L L L

y x 2=

y x 3=

1

2

3



x2 si

minus1 lt x lt 1

2x3

3 si 1 le x lt 2



f (x) =


2x3

3 si 1 le x lt 2













X X

Y Y

a a b

y f x = ( ) y f x = ( )


f a

f b






y m isin


para todo x isin X


y M isin



Observaciones





del conjunto




Ejemplo 21


2 El conjunto


el de los numeros



















f A minusrarr







decir




decir





















minusrarr

tiene mınimo



minusrarr

tiene maximo



punto

Y Y

X X


x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )











Observaciones





(x0 f (x0)








x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8































(a)

Ejemplo 12


983163 2x si 0 lt x lt 3

x3 si 3 le x lt 6


f (x) minus f (3)

x minus 3 = lım

xrarr3

x3 minus 33

x minus 3 = lım

xrarr3(x2 + 3x + 9) = 27

⋆ f primeminus


f (x) minus f (3)

x minus 3 = lım

xrarr3minus

2x minus 33

x minus 3 = +infin







f (x) minus f (1)

x minus 1 = lım

xrarr1+

9830802x minus 1

983081minus983080

2(1) minus 1983081

x minus 1 = lım

xrarr1+

2x minus 2

x minus 1 = 2

⋆ f primeminus


f (x) minus f (1)

x minus 1 = lım

xrarr1minus

x2 minus983080

2(1) minus 1983081

x minus 1 = lım

xrarr1minus

x2 minus 1

x minus 1 = lım






Observaciones










Observaciones



Ejemplo 13



(1

minusx)2 si x

ge 1

⋆ lımxrarr1minus



xrarr1+f (x) = lım

xrarr1+(1 minus x)2 = 0 y f (1) = 0





⋆ lımxrarr1minus

f (x) minus f (1)

x minus 1 = lım

xrarr1minus



⋆ lımxrarr1+

f (x) minus f (1)

x minus 1 = lım

xrarr1+


x minus 1 = 0




1 si x lt 4

2 si x ge 4

⋆ lımxrarr4minus


f (x) = 2 y f (4) = 2

⋆ lımxrarr4minus

f (x) minus f (4)

x minus 4 = lım

xrarr4minus

1 minus 2

x minus 4 =

minus1

0minus= +infin

⋆ lımxrarr4+

f (x)

minusf (4)


2

minus2






x2 si x lt minus1





xrarrminus1

x2 minus 1

x + 1 = lım



f (x)minus

f (minus

1)


minus2x

minus1


minus2x




1) f (x) = 1radic

x + 1 a = 3

2) f (x) = 3x a = 5

3) f (x) = sin 2x a = π

4) f (x) = x + 3

2x minus 5 a = 2



1) f (x) = x4 + 3x2 minus 6

2) f (x) = (1 + 4x3)(1 + 2x2)

3) f (x) = x(2x minus 1)(3x + 2)

4) f (x) = tan x

x2

5) f (x) =radic

4 minus xx

6) f (x) =

1

(x + a)n middot 1

(x + b)m

7) f (x) =


x

8) f (x) =

radic x2 + 1 +



9) f (x) =991770

x +radic

x +radic

x

10) f (x) = arctan


1048617

11) f (x) = 1radic

x middot e


2 ln x + 1

12) f (x) = ln983080radic

2sin x + 1 +radic


13) f (x) = 3

1057306 ln983080

sin(x + 3

4








Funcion Derivada

y = f (x) dy

dx = f prime(x)

C 0

x 1

Cf (x) Cf prime(x)


dx



u

v


v2

ln u 1

u middot du

dx

loga u 1

u ln a middot du

dx

e u e u middot dudx


dx

Funcion Derivada

y = f (x) dy

dx

= f prime(x)


dx


dx


dx


dx


dx


dx

arcsin u 1radic


dx



dx

arctan u 1

1 + u2 middot du

dx


arcsec u 1

uradic

u2 minus 1middot du

dx

arccsc u minus1

uradic

u2 minus 1middot du

dx

Funcion Derivada

y = f (x)

dy

dx = f prime

(x)


dx


dx


dx


dx



dx

radic u

1

2radic

u middot du

dx

n

radic u

1

n n

radic (u)nminus1

middot du

dx

|u

| u

|u| middot du

dx

uv uv

1048616v

u middot du

dx +

dv

dx middot ln u

1048617

1

u minus 1

u2 middot du

dx






h







1

2radic




f prime(x) = df






132 El operador d

dx



dx que


es decir d



x entonces d

dx

(f (x)

852009=

d

dx

(radic x852009

= 1

2radic

x para todo x gt 0



d

dx

852059f (x) + g(x)

852061=

d

dx

1048667f (x)

1048669+

d

dx

852059g(x)

852061 y

d

dx

1048667λf (x)


dx

852059f (x)


y que ademas

d

dx1048667f (x)g(x)1048669 =

d

dx852059f (x)852061 middot

g(x) + f (x)

middot

d

dx852059g(x)852061 y

d

dx1048667

f (x)

g(x)1048669 =

d

dx 852059f (x)


dx 852059g(x)

852061[g(x)]

2


dx

983080f (x)

983081= f prime(x)

1048667f (x) + g(x)

1048669prime

=852059

f (x)852061prime

+852059

g(x)852061prime

y852059

λf (x)852061prime

= λ852059

f (x)852061prime

donde λ isin


1048669prime

=852059

f (x)852061prime

g(x) + f (x)852059

g(x)852061prime

y1048667f (x)

g(x)

1048669prime

=

852059f (x)


852059g(x)

852061prime[g(x)]2


dx

1 Sea f

minusrarr





dx[f (x)] =

d


minusrarr d

dx[f (x)] =

d

dx[sin(2x)] minus d

dx[e3x]

minusrarr d

dx[f (x)] = cos(2x)

d

dx[2x] minus e3x

d

dx[3x]

minusrarr d




sin xe5x



f (x) = x3 sin x


983131x3 sin x

e5x

983133prime


[e5x]2




[e5x]2


[e5x]2




[e5x]2








para todo x isin

3 Sea f

minusrarr




(x4 + 2)4cos2x1048669




f (x) =


1048669prime


f (x) =

10486674cos2x

1048669prime


ln(x4 + 2)1048669prime


f (x) = 4

1048667cos2x

1048669prime


x4 + 2



middot ln(x4


x4 + 2



x4 + 2



16x3

x4 + 2 middot cos2x



x4 + 2 middot cos2x





[u] = ddx











Ejemplo 16

1 Hallemos d


d

dx[u] =

d

dx[5x + tan x] =

d

dx[5x] +

d

dx[tan x] = 5

d


2 Hallemos d


d

dx[W ] =

d

dx[5e5t+1 + tan(3x)] =

d

dx[5e5t+1] +

d

dx[tan(3x)] = 0 + sec2(3x)

d


3 Hallemos d


ddx

[W ] = ddx

1048667cos(5x + t) + ln(x2 + z)


dx[5x + t] + 1

x2 + z middot d

dx[x2 + z]

=rArr d


1


2x

x2 + z






dy[U ] = 0

d

dx[U ] = U prime(x)

d

dt[U ] = 0 y

d

dz[U ] = 0



f primeprime

(a) = lımxrarra

f prime(x)

minusf prime(a)


f prime(a + h)

minusf prime(a)

h




h

Observaciones










Ejemplo 17




2radic




4radic

x3

En este caso


2 Sea f

minusrarr


minusrarr


minusrarr


En este caso






x

minusa

= lımhrarr0


h




h









a


x minus a

= lımhrarr

0





h




1 El operador d


2 El operador d2


dx2 = d

dx

983080 ddx

983081

3 El operador d3


d3

dx3 =

d

dx

983080 d2

dx2

983081=

d

dx

1048616 d

dx

983080 d

dx

9830811048617

4 El operador dn


dn

dxn =

d

dx

983080 dnminus1

dxnminus1

983081=

d

dx

1048616 d

dx

983080 dnminus2

dxnminus2

9830811048617


1 d

dx1048667f (x)

1048669=

d

dx[x5 + 2x2] = 5x4 + 4x

2 d2

dx2

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d

dx

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[5x4 + 4x] = 20x3 + 4

3 d3

dx3

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d2

dx2

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[20x3 + 4] = 60x2

4 d4

dx4

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d3

dx3

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[60x2] = 120x

5 d5

dx5

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d4

dx4

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[120x] = 120

6

d6

dx61048667

f (x)1048669

=

d

dx983131 d5

dx51048667

f (x)1048669983133

=

d

dx [120] = 0 y

dn

dxn1048667

f (x)1048669

= 0 foralln ge 6


1 f (x) = ex

2 f (x) = eax

3 f (x) = akx

4 f (x) = 1

(x minus a)k

5 f (x) = 1 minus x

1 + x


x2 minus 4

7 f (x) = sin ax

8 f (x) = cos ax

9 f (x) = ln(a + bx)

10 f (x) = 1

x2 minus 3x + 2

11 f (x) = 8x minus 5

2x2 + x minus 6

12 f (x) = x ex

13 f (x) = 5x minus 1

x2 + x minus 12

14 f (x) = ex sin x

15 f (x) = sin2 x

16 f (x) = xnradic

x








Sea F U sub







dx

1 e5y = sin(x + y)


dx[e5y] =

d

dx[sin(x + y)]

minusrarr e5y ddx


[x + y]


dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)


dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)

there4dy

dx =

cos(x + y)


2 x = ln(x3 + y)


d

dx[x] =

d

dx1048667 ln(x3 + y)1048669

minusrarr 1 = 1

x3 + y middot d

dx[x3 + y]

minusrarr 1 = 1


dy

dx)

minusrarr dy



dx[

dy

dx] =

d


dy

dx

=rArr d2y


dy


there4dydx


= x3 minus 6x + y

3 Halle dy

dx si exp

1048616860698 x +

radic y

x minus radic y

1048617+ ln


y

x +radic

y = 8

4 Halle dy


5 Halle dy


6 Halle dy

dx


y + radic x + 860698 y +

radic x

y minus radic x =

5

2

7 Halle dy

dx si x2 minus a


8 Halle d2y


9 Halle d2y


10 Halle d2y


11 Halle d2y

dx2

si 3x2



dy si x = x(y)































coordenadas





x




yprime = 0








yprime = 2







yprime = y



soluciacute on

1 y = ceminus2x + x


yprime

= minus2ceminus



2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x

there4dy


2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x





3 y = ax3 + bx2 + cx




6 x3 +

1

2


983081x2 +



983081x




Solucion

x

y

y = x

h

h1









yprime + 1


1048616x minus

x + yy prime

yprime + 110486172

+1048616


yprime + 110486172

= 1


8520092+(


= (yprime + 1)2


8520092+(

y minus x8520092

= (yprime + 1)2


=rArr (x minus y)2(

(yprime)2 + 1852009



Solucion

x

y

a

b

L

y = 2 x 2





1

y(x) para x gt 0


y(a) =

1




y minus b = 1b

1048616x minus b

2

2


2

2

=rArr y = x

b +

b

2 pero b =

1

yprime


2yprime


6 y2 = 4ax



=rArr 2yyprime

= 41048616 y2

4x1048617

= y2

x =rArr 2xyyprime

= y2 =rArr 2xyprime


dx minus y = 0

Por lo tanto 2x dy






7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x

Solucion


minusyprimeprime









9 x2 minus ay2 = 1

Solucion



dy

dx =

minus2x

minus2ay

=rArr a = x


x2 minus x



=rArr yprime = xy


10 x2 + y2 minus cx = 0



=

rArr yprime =

x2 minus y2

2xy










+ y2


)2

= 1 minus (yprime

)2

















minusrarr









10486679ex + xex

1048669+1048667

8ex + xex1048669


= [10

minus18 + 8]ex + [1

minus2 + 1]xex

= 0





dx = minus 1

2y 2yyprime + 1 = 0


3 y = sin x

x


4 y = 1


5 y = 2xradic


6 y = x






1 minus x2y2









1 [a b] = x isin

a le x le b


a lt x lt b

3 ⟨a b] = x isin

a lt x le b

4 [a b⟩ = x isin

a le x lt b



1048623x le b


1048623a lt x


1048623a le x


y

10 [a a] = a






















Observaciones

1 La funcion f [a b



⟨a b






(b)




(b)



minus(b)






mismo dominio que f



f (k) I minusrarr














isin C 0(I )











es continua en I


isin C k(I )




Ejemplo 117

1 La funcion f

minusrarr




)



sobre





[0 +infin⟩983081


















X

Y

L L L

y f x ( )=a

X

Y

L L L

y f x ( )=a





983163 2x si 0 lt x lt 1






X

Y

y f x ( )=

1 2

X

Y

L L L

y x 2=

y x 3=

1

2

3



x2 si

minus1 lt x lt 1

2x3

3 si 1 le x lt 2



f (x) =


2x3

3 si 1 le x lt 2













X X

Y Y

a a b

y f x = ( ) y f x = ( )


f a

f b






y m isin


para todo x isin X


y M isin



Observaciones





del conjunto




Ejemplo 21


2 El conjunto


el de los numeros



















f A minusrarr







decir




decir





















minusrarr

tiene mınimo



minusrarr

tiene maximo



punto

Y Y

X X


x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )











Observaciones





(x0 f (x0)








x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8



























⋆ lımxrarr1minus

f (x) minus f (1)

x minus 1 = lım

xrarr1minus



⋆ lımxrarr1+

f (x) minus f (1)

x minus 1 = lım

xrarr1+


x minus 1 = 0




1 si x lt 4

2 si x ge 4

⋆ lımxrarr4minus


f (x) = 2 y f (4) = 2

⋆ lımxrarr4minus

f (x) minus f (4)

x minus 4 = lım

xrarr4minus

1 minus 2

x minus 4 =

minus1

0minus= +infin

⋆ lımxrarr4+

f (x)

minusf (4)


2

minus2






x2 si x lt minus1





xrarrminus1

x2 minus 1

x + 1 = lım



f (x)minus

f (minus

1)


minus2x

minus1


minus2x




1) f (x) = 1radic

x + 1 a = 3

2) f (x) = 3x a = 5

3) f (x) = sin 2x a = π

4) f (x) = x + 3

2x minus 5 a = 2



1) f (x) = x4 + 3x2 minus 6

2) f (x) = (1 + 4x3)(1 + 2x2)

3) f (x) = x(2x minus 1)(3x + 2)

4) f (x) = tan x

x2

5) f (x) =radic

4 minus xx

6) f (x) =

1

(x + a)n middot 1

(x + b)m

7) f (x) =


x

8) f (x) =

radic x2 + 1 +



9) f (x) =991770

x +radic

x +radic

x

10) f (x) = arctan


1048617

11) f (x) = 1radic

x middot e


2 ln x + 1

12) f (x) = ln983080radic

2sin x + 1 +radic


13) f (x) = 3

1057306 ln983080

sin(x + 3

4








Funcion Derivada

y = f (x) dy

dx = f prime(x)

C 0

x 1

Cf (x) Cf prime(x)


dx



u

v


v2

ln u 1

u middot du

dx

loga u 1

u ln a middot du

dx

e u e u middot dudx


dx

Funcion Derivada

y = f (x) dy

dx

= f prime(x)


dx


dx


dx


dx


dx


dx

arcsin u 1radic


dx



dx

arctan u 1

1 + u2 middot du

dx


arcsec u 1

uradic

u2 minus 1middot du

dx

arccsc u minus1

uradic

u2 minus 1middot du

dx

Funcion Derivada

y = f (x)

dy

dx = f prime

(x)


dx


dx


dx


dx



dx

radic u

1

2radic

u middot du

dx

n

radic u

1

n n

radic (u)nminus1

middot du

dx

|u

| u

|u| middot du

dx

uv uv

1048616v

u middot du

dx +

dv

dx middot ln u

1048617

1

u minus 1

u2 middot du

dx






h







1

2radic




f prime(x) = df






132 El operador d

dx



dx que


es decir d



x entonces d

dx

(f (x)

852009=

d

dx

(radic x852009

= 1

2radic

x para todo x gt 0



d

dx

852059f (x) + g(x)

852061=

d

dx

1048667f (x)

1048669+

d

dx

852059g(x)

852061 y

d

dx

1048667λf (x)


dx

852059f (x)


y que ademas

d

dx1048667f (x)g(x)1048669 =

d

dx852059f (x)852061 middot

g(x) + f (x)

middot

d

dx852059g(x)852061 y

d

dx1048667

f (x)

g(x)1048669 =

d

dx 852059f (x)


dx 852059g(x)

852061[g(x)]

2


dx

983080f (x)

983081= f prime(x)

1048667f (x) + g(x)

1048669prime

=852059

f (x)852061prime

+852059

g(x)852061prime

y852059

λf (x)852061prime

= λ852059

f (x)852061prime

donde λ isin


1048669prime

=852059

f (x)852061prime

g(x) + f (x)852059

g(x)852061prime

y1048667f (x)

g(x)

1048669prime

=

852059f (x)


852059g(x)

852061prime[g(x)]2


dx

1 Sea f

minusrarr





dx[f (x)] =

d


minusrarr d

dx[f (x)] =

d

dx[sin(2x)] minus d

dx[e3x]

minusrarr d

dx[f (x)] = cos(2x)

d

dx[2x] minus e3x

d

dx[3x]

minusrarr d




sin xe5x



f (x) = x3 sin x


983131x3 sin x

e5x

983133prime


[e5x]2




[e5x]2


[e5x]2




[e5x]2








para todo x isin

3 Sea f

minusrarr




(x4 + 2)4cos2x1048669




f (x) =


1048669prime


f (x) =

10486674cos2x

1048669prime


ln(x4 + 2)1048669prime


f (x) = 4

1048667cos2x

1048669prime


x4 + 2



middot ln(x4


x4 + 2



x4 + 2



16x3

x4 + 2 middot cos2x



x4 + 2 middot cos2x





[u] = ddx











Ejemplo 16

1 Hallemos d


d

dx[u] =

d

dx[5x + tan x] =

d

dx[5x] +

d

dx[tan x] = 5

d


2 Hallemos d


d

dx[W ] =

d

dx[5e5t+1 + tan(3x)] =

d

dx[5e5t+1] +

d

dx[tan(3x)] = 0 + sec2(3x)

d


3 Hallemos d


ddx

[W ] = ddx

1048667cos(5x + t) + ln(x2 + z)


dx[5x + t] + 1

x2 + z middot d

dx[x2 + z]

=rArr d


1


2x

x2 + z






dy[U ] = 0

d

dx[U ] = U prime(x)

d

dt[U ] = 0 y

d

dz[U ] = 0



f primeprime

(a) = lımxrarra

f prime(x)

minusf prime(a)


f prime(a + h)

minusf prime(a)

h




h

Observaciones










Ejemplo 17




2radic




4radic

x3

En este caso


2 Sea f

minusrarr


minusrarr


minusrarr


En este caso






x

minusa

= lımhrarr0


h




h









a


x minus a

= lımhrarr

0





h




1 El operador d


2 El operador d2


dx2 = d

dx

983080 ddx

983081

3 El operador d3


d3

dx3 =

d

dx

983080 d2

dx2

983081=

d

dx

1048616 d

dx

983080 d

dx

9830811048617

4 El operador dn


dn

dxn =

d

dx

983080 dnminus1

dxnminus1

983081=

d

dx

1048616 d

dx

983080 dnminus2

dxnminus2

9830811048617


1 d

dx1048667f (x)

1048669=

d

dx[x5 + 2x2] = 5x4 + 4x

2 d2

dx2

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d

dx

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[5x4 + 4x] = 20x3 + 4

3 d3

dx3

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d2

dx2

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[20x3 + 4] = 60x2

4 d4

dx4

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d3

dx3

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[60x2] = 120x

5 d5

dx5

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d4

dx4

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[120x] = 120

6

d6

dx61048667

f (x)1048669

=

d

dx983131 d5

dx51048667

f (x)1048669983133

=

d

dx [120] = 0 y

dn

dxn1048667

f (x)1048669

= 0 foralln ge 6


1 f (x) = ex

2 f (x) = eax

3 f (x) = akx

4 f (x) = 1

(x minus a)k

5 f (x) = 1 minus x

1 + x


x2 minus 4

7 f (x) = sin ax

8 f (x) = cos ax

9 f (x) = ln(a + bx)

10 f (x) = 1

x2 minus 3x + 2

11 f (x) = 8x minus 5

2x2 + x minus 6

12 f (x) = x ex

13 f (x) = 5x minus 1

x2 + x minus 12

14 f (x) = ex sin x

15 f (x) = sin2 x

16 f (x) = xnradic

x








Sea F U sub







dx

1 e5y = sin(x + y)


dx[e5y] =

d

dx[sin(x + y)]

minusrarr e5y ddx


[x + y]


dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)


dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)

there4dy

dx =

cos(x + y)


2 x = ln(x3 + y)


d

dx[x] =

d

dx1048667 ln(x3 + y)1048669

minusrarr 1 = 1

x3 + y middot d

dx[x3 + y]

minusrarr 1 = 1


dy

dx)

minusrarr dy



dx[

dy

dx] =

d


dy

dx

=rArr d2y


dy


there4dydx


= x3 minus 6x + y

3 Halle dy

dx si exp

1048616860698 x +

radic y

x minus radic y

1048617+ ln


y

x +radic

y = 8

4 Halle dy


5 Halle dy


6 Halle dy

dx


y + radic x + 860698 y +

radic x

y minus radic x =

5

2

7 Halle dy

dx si x2 minus a


8 Halle d2y


9 Halle d2y


10 Halle d2y


11 Halle d2y

dx2

si 3x2



dy si x = x(y)































coordenadas





x




yprime = 0








yprime = 2







yprime = y



soluciacute on

1 y = ceminus2x + x


yprime

= minus2ceminus



2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x

there4dy


2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x





3 y = ax3 + bx2 + cx




6 x3 +

1

2


983081x2 +



983081x




Solucion

x

y

y = x

h

h1









yprime + 1


1048616x minus

x + yy prime

yprime + 110486172

+1048616


yprime + 110486172

= 1


8520092+(


= (yprime + 1)2


8520092+(

y minus x8520092

= (yprime + 1)2


=rArr (x minus y)2(

(yprime)2 + 1852009



Solucion

x

y

a

b

L

y = 2 x 2





1

y(x) para x gt 0


y(a) =

1




y minus b = 1b

1048616x minus b

2

2


2

2

=rArr y = x

b +

b

2 pero b =

1

yprime


2yprime


6 y2 = 4ax



=rArr 2yyprime

= 41048616 y2

4x1048617

= y2

x =rArr 2xyyprime

= y2 =rArr 2xyprime


dx minus y = 0

Por lo tanto 2x dy






7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x

Solucion


minusyprimeprime









9 x2 minus ay2 = 1

Solucion



dy

dx =

minus2x

minus2ay

=rArr a = x


x2 minus x



=rArr yprime = xy


10 x2 + y2 minus cx = 0



=

rArr yprime =

x2 minus y2

2xy










+ y2


)2

= 1 minus (yprime

)2

















minusrarr









10486679ex + xex

1048669+1048667

8ex + xex1048669


= [10

minus18 + 8]ex + [1

minus2 + 1]xex

= 0





dx = minus 1

2y 2yyprime + 1 = 0


3 y = sin x

x


4 y = 1


5 y = 2xradic


6 y = x






1 minus x2y2









1 [a b] = x isin

a le x le b


a lt x lt b

3 ⟨a b] = x isin

a lt x le b

4 [a b⟩ = x isin

a le x lt b



1048623x le b


1048623a lt x


1048623a le x


y

10 [a a] = a






















Observaciones

1 La funcion f [a b



⟨a b






(b)




(b)



minus(b)






mismo dominio que f



f (k) I minusrarr














isin C 0(I )











es continua en I


isin C k(I )




Ejemplo 117

1 La funcion f

minusrarr




)



sobre





[0 +infin⟩983081


















X

Y

L L L

y f x ( )=a

X

Y

L L L

y f x ( )=a





983163 2x si 0 lt x lt 1






X

Y

y f x ( )=

1 2

X

Y

L L L

y x 2=

y x 3=

1

2

3



x2 si

minus1 lt x lt 1

2x3

3 si 1 le x lt 2



f (x) =


2x3

3 si 1 le x lt 2













X X

Y Y

a a b

y f x = ( ) y f x = ( )


f a

f b






y m isin


para todo x isin X


y M isin



Observaciones





del conjunto




Ejemplo 21


2 El conjunto


el de los numeros



















f A minusrarr







decir




decir





















minusrarr

tiene mınimo



minusrarr

tiene maximo



punto

Y Y

X X


x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )











Observaciones





(x0 f (x0)








x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8






























Funcion Derivada

y = f (x) dy

dx = f prime(x)

C 0

x 1

Cf (x) Cf prime(x)


dx



u

v


v2

ln u 1

u middot du

dx

loga u 1

u ln a middot du

dx

e u e u middot dudx


dx

Funcion Derivada

y = f (x) dy

dx

= f prime(x)


dx


dx


dx


dx


dx


dx

arcsin u 1radic


dx



dx

arctan u 1

1 + u2 middot du

dx


arcsec u 1

uradic

u2 minus 1middot du

dx

arccsc u minus1

uradic

u2 minus 1middot du

dx

Funcion Derivada

y = f (x)

dy

dx = f prime

(x)


dx


dx


dx


dx



dx

radic u

1

2radic

u middot du

dx

n

radic u

1

n n

radic (u)nminus1

middot du

dx

|u

| u

|u| middot du

dx

uv uv

1048616v

u middot du

dx +

dv

dx middot ln u

1048617

1

u minus 1

u2 middot du

dx






h







1

2radic




f prime(x) = df






132 El operador d

dx



dx que


es decir d



x entonces d

dx

(f (x)

852009=

d

dx

(radic x852009

= 1

2radic

x para todo x gt 0



d

dx

852059f (x) + g(x)

852061=

d

dx

1048667f (x)

1048669+

d

dx

852059g(x)

852061 y

d

dx

1048667λf (x)


dx

852059f (x)


y que ademas

d

dx1048667f (x)g(x)1048669 =

d

dx852059f (x)852061 middot

g(x) + f (x)

middot

d

dx852059g(x)852061 y

d

dx1048667

f (x)

g(x)1048669 =

d

dx 852059f (x)


dx 852059g(x)

852061[g(x)]

2


dx

983080f (x)

983081= f prime(x)

1048667f (x) + g(x)

1048669prime

=852059

f (x)852061prime

+852059

g(x)852061prime

y852059

λf (x)852061prime

= λ852059

f (x)852061prime

donde λ isin


1048669prime

=852059

f (x)852061prime

g(x) + f (x)852059

g(x)852061prime

y1048667f (x)

g(x)

1048669prime

=

852059f (x)


852059g(x)

852061prime[g(x)]2


dx

1 Sea f

minusrarr





dx[f (x)] =

d


minusrarr d

dx[f (x)] =

d

dx[sin(2x)] minus d

dx[e3x]

minusrarr d

dx[f (x)] = cos(2x)

d

dx[2x] minus e3x

d

dx[3x]

minusrarr d




sin xe5x



f (x) = x3 sin x


983131x3 sin x

e5x

983133prime


[e5x]2




[e5x]2


[e5x]2




[e5x]2








para todo x isin

3 Sea f

minusrarr




(x4 + 2)4cos2x1048669




f (x) =


1048669prime


f (x) =

10486674cos2x

1048669prime


ln(x4 + 2)1048669prime


f (x) = 4

1048667cos2x

1048669prime


x4 + 2



middot ln(x4


x4 + 2



x4 + 2



16x3

x4 + 2 middot cos2x



x4 + 2 middot cos2x





[u] = ddx











Ejemplo 16

1 Hallemos d


d

dx[u] =

d

dx[5x + tan x] =

d

dx[5x] +

d

dx[tan x] = 5

d


2 Hallemos d


d

dx[W ] =

d

dx[5e5t+1 + tan(3x)] =

d

dx[5e5t+1] +

d

dx[tan(3x)] = 0 + sec2(3x)

d


3 Hallemos d


ddx

[W ] = ddx

1048667cos(5x + t) + ln(x2 + z)


dx[5x + t] + 1

x2 + z middot d

dx[x2 + z]

=rArr d


1


2x

x2 + z






dy[U ] = 0

d

dx[U ] = U prime(x)

d

dt[U ] = 0 y

d

dz[U ] = 0



f primeprime

(a) = lımxrarra

f prime(x)

minusf prime(a)


f prime(a + h)

minusf prime(a)

h




h

Observaciones










Ejemplo 17




2radic




4radic

x3

En este caso


2 Sea f

minusrarr


minusrarr


minusrarr


En este caso






x

minusa

= lımhrarr0


h




h









a


x minus a

= lımhrarr

0





h




1 El operador d


2 El operador d2


dx2 = d

dx

983080 ddx

983081

3 El operador d3


d3

dx3 =

d

dx

983080 d2

dx2

983081=

d

dx

1048616 d

dx

983080 d

dx

9830811048617

4 El operador dn


dn

dxn =

d

dx

983080 dnminus1

dxnminus1

983081=

d

dx

1048616 d

dx

983080 dnminus2

dxnminus2

9830811048617


1 d

dx1048667f (x)

1048669=

d

dx[x5 + 2x2] = 5x4 + 4x

2 d2

dx2

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d

dx

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[5x4 + 4x] = 20x3 + 4

3 d3

dx3

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d2

dx2

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[20x3 + 4] = 60x2

4 d4

dx4

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d3

dx3

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[60x2] = 120x

5 d5

dx5

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d4

dx4

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[120x] = 120

6

d6

dx61048667

f (x)1048669

=

d

dx983131 d5

dx51048667

f (x)1048669983133

=

d

dx [120] = 0 y

dn

dxn1048667

f (x)1048669

= 0 foralln ge 6


1 f (x) = ex

2 f (x) = eax

3 f (x) = akx

4 f (x) = 1

(x minus a)k

5 f (x) = 1 minus x

1 + x


x2 minus 4

7 f (x) = sin ax

8 f (x) = cos ax

9 f (x) = ln(a + bx)

10 f (x) = 1

x2 minus 3x + 2

11 f (x) = 8x minus 5

2x2 + x minus 6

12 f (x) = x ex

13 f (x) = 5x minus 1

x2 + x minus 12

14 f (x) = ex sin x

15 f (x) = sin2 x

16 f (x) = xnradic

x








Sea F U sub







dx

1 e5y = sin(x + y)


dx[e5y] =

d

dx[sin(x + y)]

minusrarr e5y ddx


[x + y]


dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)


dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)

there4dy

dx =

cos(x + y)


2 x = ln(x3 + y)


d

dx[x] =

d

dx1048667 ln(x3 + y)1048669

minusrarr 1 = 1

x3 + y middot d

dx[x3 + y]

minusrarr 1 = 1


dy

dx)

minusrarr dy



dx[

dy

dx] =

d


dy

dx

=rArr d2y


dy


there4dydx


= x3 minus 6x + y

3 Halle dy

dx si exp

1048616860698 x +

radic y

x minus radic y

1048617+ ln


y

x +radic

y = 8

4 Halle dy


5 Halle dy


6 Halle dy

dx


y + radic x + 860698 y +

radic x

y minus radic x =

5

2

7 Halle dy

dx si x2 minus a


8 Halle d2y


9 Halle d2y


10 Halle d2y


11 Halle d2y

dx2

si 3x2



dy si x = x(y)































coordenadas





x




yprime = 0








yprime = 2







yprime = y



soluciacute on

1 y = ceminus2x + x


yprime

= minus2ceminus



2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x

there4dy


2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x





3 y = ax3 + bx2 + cx




6 x3 +

1

2


983081x2 +



983081x




Solucion

x

y

y = x

h

h1









yprime + 1


1048616x minus

x + yy prime

yprime + 110486172

+1048616


yprime + 110486172

= 1


8520092+(


= (yprime + 1)2


8520092+(

y minus x8520092

= (yprime + 1)2


=rArr (x minus y)2(

(yprime)2 + 1852009



Solucion

x

y

a

b

L

y = 2 x 2





1

y(x) para x gt 0


y(a) =

1




y minus b = 1b

1048616x minus b

2

2


2

2

=rArr y = x

b +

b

2 pero b =

1

yprime


2yprime


6 y2 = 4ax



=rArr 2yyprime

= 41048616 y2

4x1048617

= y2

x =rArr 2xyyprime

= y2 =rArr 2xyprime


dx minus y = 0

Por lo tanto 2x dy






7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x

Solucion


minusyprimeprime









9 x2 minus ay2 = 1

Solucion



dy

dx =

minus2x

minus2ay

=rArr a = x


x2 minus x



=rArr yprime = xy


10 x2 + y2 minus cx = 0



=

rArr yprime =

x2 minus y2

2xy










+ y2


)2

= 1 minus (yprime

)2

















minusrarr









10486679ex + xex

1048669+1048667

8ex + xex1048669


= [10

minus18 + 8]ex + [1

minus2 + 1]xex

= 0





dx = minus 1

2y 2yyprime + 1 = 0


3 y = sin x

x


4 y = 1


5 y = 2xradic


6 y = x






1 minus x2y2









1 [a b] = x isin

a le x le b


a lt x lt b

3 ⟨a b] = x isin

a lt x le b

4 [a b⟩ = x isin

a le x lt b



1048623x le b


1048623a lt x


1048623a le x


y

10 [a a] = a






















Observaciones

1 La funcion f [a b



⟨a b






(b)




(b)



minus(b)






mismo dominio que f



f (k) I minusrarr














isin C 0(I )











es continua en I


isin C k(I )




Ejemplo 117

1 La funcion f

minusrarr




)



sobre





[0 +infin⟩983081


















X

Y

L L L

y f x ( )=a

X

Y

L L L

y f x ( )=a





983163 2x si 0 lt x lt 1






X

Y

y f x ( )=

1 2

X

Y

L L L

y x 2=

y x 3=

1

2

3



x2 si

minus1 lt x lt 1

2x3

3 si 1 le x lt 2



f (x) =


2x3

3 si 1 le x lt 2













X X

Y Y

a a b

y f x = ( ) y f x = ( )


f a

f b






y m isin


para todo x isin X


y M isin



Observaciones





del conjunto




Ejemplo 21


2 El conjunto


el de los numeros



















f A minusrarr







decir




decir





















minusrarr

tiene mınimo



minusrarr

tiene maximo



punto

Y Y

X X


x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )











Observaciones





(x0 f (x0)








x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8



























132 El operador d

dx



dx que


es decir d



x entonces d

dx

(f (x)

852009=

d

dx

(radic x852009

= 1

2radic

x para todo x gt 0



d

dx

852059f (x) + g(x)

852061=

d

dx

1048667f (x)

1048669+

d

dx

852059g(x)

852061 y

d

dx

1048667λf (x)


dx

852059f (x)


y que ademas

d

dx1048667f (x)g(x)1048669 =

d

dx852059f (x)852061 middot

g(x) + f (x)

middot

d

dx852059g(x)852061 y

d

dx1048667

f (x)

g(x)1048669 =

d

dx 852059f (x)


dx 852059g(x)

852061[g(x)]

2


dx

983080f (x)

983081= f prime(x)

1048667f (x) + g(x)

1048669prime

=852059

f (x)852061prime

+852059

g(x)852061prime

y852059

λf (x)852061prime

= λ852059

f (x)852061prime

donde λ isin


1048669prime

=852059

f (x)852061prime

g(x) + f (x)852059

g(x)852061prime

y1048667f (x)

g(x)

1048669prime

=

852059f (x)


852059g(x)

852061prime[g(x)]2


dx

1 Sea f

minusrarr





dx[f (x)] =

d


minusrarr d

dx[f (x)] =

d

dx[sin(2x)] minus d

dx[e3x]

minusrarr d

dx[f (x)] = cos(2x)

d

dx[2x] minus e3x

d

dx[3x]

minusrarr d




sin xe5x



f (x) = x3 sin x


983131x3 sin x

e5x

983133prime


[e5x]2




[e5x]2


[e5x]2




[e5x]2








para todo x isin

3 Sea f

minusrarr




(x4 + 2)4cos2x1048669




f (x) =


1048669prime


f (x) =

10486674cos2x

1048669prime


ln(x4 + 2)1048669prime


f (x) = 4

1048667cos2x

1048669prime


x4 + 2



middot ln(x4


x4 + 2



x4 + 2



16x3

x4 + 2 middot cos2x



x4 + 2 middot cos2x





[u] = ddx











Ejemplo 16

1 Hallemos d


d

dx[u] =

d

dx[5x + tan x] =

d

dx[5x] +

d

dx[tan x] = 5

d


2 Hallemos d


d

dx[W ] =

d

dx[5e5t+1 + tan(3x)] =

d

dx[5e5t+1] +

d

dx[tan(3x)] = 0 + sec2(3x)

d


3 Hallemos d


ddx

[W ] = ddx

1048667cos(5x + t) + ln(x2 + z)


dx[5x + t] + 1

x2 + z middot d

dx[x2 + z]

=rArr d


1


2x

x2 + z






dy[U ] = 0

d

dx[U ] = U prime(x)

d

dt[U ] = 0 y

d

dz[U ] = 0



f primeprime

(a) = lımxrarra

f prime(x)

minusf prime(a)


f prime(a + h)

minusf prime(a)

h




h

Observaciones










Ejemplo 17




2radic




4radic

x3

En este caso


2 Sea f

minusrarr


minusrarr


minusrarr


En este caso






x

minusa

= lımhrarr0


h




h









a


x minus a

= lımhrarr

0





h




1 El operador d


2 El operador d2


dx2 = d

dx

983080 ddx

983081

3 El operador d3


d3

dx3 =

d

dx

983080 d2

dx2

983081=

d

dx

1048616 d

dx

983080 d

dx

9830811048617

4 El operador dn


dn

dxn =

d

dx

983080 dnminus1

dxnminus1

983081=

d

dx

1048616 d

dx

983080 dnminus2

dxnminus2

9830811048617


1 d

dx1048667f (x)

1048669=

d

dx[x5 + 2x2] = 5x4 + 4x

2 d2

dx2

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d

dx

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[5x4 + 4x] = 20x3 + 4

3 d3

dx3

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d2

dx2

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[20x3 + 4] = 60x2

4 d4

dx4

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d3

dx3

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[60x2] = 120x

5 d5

dx5

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d4

dx4

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[120x] = 120

6

d6

dx61048667

f (x)1048669

=

d

dx983131 d5

dx51048667

f (x)1048669983133

=

d

dx [120] = 0 y

dn

dxn1048667

f (x)1048669

= 0 foralln ge 6


1 f (x) = ex

2 f (x) = eax

3 f (x) = akx

4 f (x) = 1

(x minus a)k

5 f (x) = 1 minus x

1 + x


x2 minus 4

7 f (x) = sin ax

8 f (x) = cos ax

9 f (x) = ln(a + bx)

10 f (x) = 1

x2 minus 3x + 2

11 f (x) = 8x minus 5

2x2 + x minus 6

12 f (x) = x ex

13 f (x) = 5x minus 1

x2 + x minus 12

14 f (x) = ex sin x

15 f (x) = sin2 x

16 f (x) = xnradic

x








Sea F U sub







dx

1 e5y = sin(x + y)


dx[e5y] =

d

dx[sin(x + y)]

minusrarr e5y ddx


[x + y]


dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)


dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)

there4dy

dx =

cos(x + y)


2 x = ln(x3 + y)


d

dx[x] =

d

dx1048667 ln(x3 + y)1048669

minusrarr 1 = 1

x3 + y middot d

dx[x3 + y]

minusrarr 1 = 1


dy

dx)

minusrarr dy



dx[

dy

dx] =

d


dy

dx

=rArr d2y


dy


there4dydx


= x3 minus 6x + y

3 Halle dy

dx si exp

1048616860698 x +

radic y

x minus radic y

1048617+ ln


y

x +radic

y = 8

4 Halle dy


5 Halle dy


6 Halle dy

dx


y + radic x + 860698 y +

radic x

y minus radic x =

5

2

7 Halle dy

dx si x2 minus a


8 Halle d2y


9 Halle d2y


10 Halle d2y


11 Halle d2y

dx2

si 3x2



dy si x = x(y)































coordenadas





x




yprime = 0








yprime = 2







yprime = y



soluciacute on

1 y = ceminus2x + x


yprime

= minus2ceminus



2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x

there4dy


2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x





3 y = ax3 + bx2 + cx




6 x3 +

1

2


983081x2 +



983081x




Solucion

x

y

y = x

h

h1









yprime + 1


1048616x minus

x + yy prime

yprime + 110486172

+1048616


yprime + 110486172

= 1


8520092+(


= (yprime + 1)2


8520092+(

y minus x8520092

= (yprime + 1)2


=rArr (x minus y)2(

(yprime)2 + 1852009



Solucion

x

y

a

b

L

y = 2 x 2





1

y(x) para x gt 0


y(a) =

1




y minus b = 1b

1048616x minus b

2

2


2

2

=rArr y = x

b +

b

2 pero b =

1

yprime


2yprime


6 y2 = 4ax



=rArr 2yyprime

= 41048616 y2

4x1048617

= y2

x =rArr 2xyyprime

= y2 =rArr 2xyprime


dx minus y = 0

Por lo tanto 2x dy






7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x

Solucion


minusyprimeprime









9 x2 minus ay2 = 1

Solucion



dy

dx =

minus2x

minus2ay

=rArr a = x


x2 minus x



=rArr yprime = xy


10 x2 + y2 minus cx = 0



=

rArr yprime =

x2 minus y2

2xy










+ y2


)2

= 1 minus (yprime

)2

















minusrarr









10486679ex + xex

1048669+1048667

8ex + xex1048669


= [10

minus18 + 8]ex + [1

minus2 + 1]xex

= 0





dx = minus 1

2y 2yyprime + 1 = 0


3 y = sin x

x


4 y = 1


5 y = 2xradic


6 y = x






1 minus x2y2









1 [a b] = x isin

a le x le b


a lt x lt b

3 ⟨a b] = x isin

a lt x le b

4 [a b⟩ = x isin

a le x lt b



1048623x le b


1048623a lt x


1048623a le x


y

10 [a a] = a






















Observaciones

1 La funcion f [a b



⟨a b






(b)




(b)



minus(b)






mismo dominio que f



f (k) I minusrarr














isin C 0(I )











es continua en I


isin C k(I )




Ejemplo 117

1 La funcion f

minusrarr




)



sobre





[0 +infin⟩983081


















X

Y

L L L

y f x ( )=a

X

Y

L L L

y f x ( )=a





983163 2x si 0 lt x lt 1






X

Y

y f x ( )=

1 2

X

Y

L L L

y x 2=

y x 3=

1

2

3



x2 si

minus1 lt x lt 1

2x3

3 si 1 le x lt 2



f (x) =


2x3

3 si 1 le x lt 2













X X

Y Y

a a b

y f x = ( ) y f x = ( )


f a

f b






y m isin


para todo x isin X


y M isin



Observaciones





del conjunto




Ejemplo 21


2 El conjunto


el de los numeros



















f A minusrarr







decir




decir





















minusrarr

tiene mınimo



minusrarr

tiene maximo



punto

Y Y

X X


x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )











Observaciones





(x0 f (x0)








x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8






























para todo x isin

3 Sea f

minusrarr




(x4 + 2)4cos2x1048669




f (x) =


1048669prime


f (x) =

10486674cos2x

1048669prime


ln(x4 + 2)1048669prime


f (x) = 4

1048667cos2x

1048669prime


x4 + 2



middot ln(x4


x4 + 2



x4 + 2



16x3

x4 + 2 middot cos2x



x4 + 2 middot cos2x





[u] = ddx











Ejemplo 16

1 Hallemos d


d

dx[u] =

d

dx[5x + tan x] =

d

dx[5x] +

d

dx[tan x] = 5

d


2 Hallemos d


d

dx[W ] =

d

dx[5e5t+1 + tan(3x)] =

d

dx[5e5t+1] +

d

dx[tan(3x)] = 0 + sec2(3x)

d


3 Hallemos d


ddx

[W ] = ddx

1048667cos(5x + t) + ln(x2 + z)


dx[5x + t] + 1

x2 + z middot d

dx[x2 + z]

=rArr d


1


2x

x2 + z






dy[U ] = 0

d

dx[U ] = U prime(x)

d

dt[U ] = 0 y

d

dz[U ] = 0



f primeprime

(a) = lımxrarra

f prime(x)

minusf prime(a)


f prime(a + h)

minusf prime(a)

h




h

Observaciones










Ejemplo 17




2radic




4radic

x3

En este caso


2 Sea f

minusrarr


minusrarr


minusrarr


En este caso






x

minusa

= lımhrarr0


h




h









a


x minus a

= lımhrarr

0





h




1 El operador d


2 El operador d2


dx2 = d

dx

983080 ddx

983081

3 El operador d3


d3

dx3 =

d

dx

983080 d2

dx2

983081=

d

dx

1048616 d

dx

983080 d

dx

9830811048617

4 El operador dn


dn

dxn =

d

dx

983080 dnminus1

dxnminus1

983081=

d

dx

1048616 d

dx

983080 dnminus2

dxnminus2

9830811048617


1 d

dx1048667f (x)

1048669=

d

dx[x5 + 2x2] = 5x4 + 4x

2 d2

dx2

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d

dx

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[5x4 + 4x] = 20x3 + 4

3 d3

dx3

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d2

dx2

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[20x3 + 4] = 60x2

4 d4

dx4

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d3

dx3

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[60x2] = 120x

5 d5

dx5

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d4

dx4

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[120x] = 120

6

d6

dx61048667

f (x)1048669

=

d

dx983131 d5

dx51048667

f (x)1048669983133

=

d

dx [120] = 0 y

dn

dxn1048667

f (x)1048669

= 0 foralln ge 6


1 f (x) = ex

2 f (x) = eax

3 f (x) = akx

4 f (x) = 1

(x minus a)k

5 f (x) = 1 minus x

1 + x


x2 minus 4

7 f (x) = sin ax

8 f (x) = cos ax

9 f (x) = ln(a + bx)

10 f (x) = 1

x2 minus 3x + 2

11 f (x) = 8x minus 5

2x2 + x minus 6

12 f (x) = x ex

13 f (x) = 5x minus 1

x2 + x minus 12

14 f (x) = ex sin x

15 f (x) = sin2 x

16 f (x) = xnradic

x








Sea F U sub







dx

1 e5y = sin(x + y)


dx[e5y] =

d

dx[sin(x + y)]

minusrarr e5y ddx


[x + y]


dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)


dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)

there4dy

dx =

cos(x + y)


2 x = ln(x3 + y)


d

dx[x] =

d

dx1048667 ln(x3 + y)1048669

minusrarr 1 = 1

x3 + y middot d

dx[x3 + y]

minusrarr 1 = 1


dy

dx)

minusrarr dy



dx[

dy

dx] =

d


dy

dx

=rArr d2y


dy


there4dydx


= x3 minus 6x + y

3 Halle dy

dx si exp

1048616860698 x +

radic y

x minus radic y

1048617+ ln


y

x +radic

y = 8

4 Halle dy


5 Halle dy


6 Halle dy

dx


y + radic x + 860698 y +

radic x

y minus radic x =

5

2

7 Halle dy

dx si x2 minus a


8 Halle d2y


9 Halle d2y


10 Halle d2y


11 Halle d2y

dx2

si 3x2



dy si x = x(y)































coordenadas





x




yprime = 0








yprime = 2







yprime = y



soluciacute on

1 y = ceminus2x + x


yprime

= minus2ceminus



2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x

there4dy


2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x





3 y = ax3 + bx2 + cx




6 x3 +

1

2


983081x2 +



983081x




Solucion

x

y

y = x

h

h1









yprime + 1


1048616x minus

x + yy prime

yprime + 110486172

+1048616


yprime + 110486172

= 1


8520092+(


= (yprime + 1)2


8520092+(

y minus x8520092

= (yprime + 1)2


=rArr (x minus y)2(

(yprime)2 + 1852009



Solucion

x

y

a

b

L

y = 2 x 2





1

y(x) para x gt 0


y(a) =

1




y minus b = 1b

1048616x minus b

2

2


2

2

=rArr y = x

b +

b

2 pero b =

1

yprime


2yprime


6 y2 = 4ax



=rArr 2yyprime

= 41048616 y2

4x1048617

= y2

x =rArr 2xyyprime

= y2 =rArr 2xyprime


dx minus y = 0

Por lo tanto 2x dy






7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x

Solucion


minusyprimeprime









9 x2 minus ay2 = 1

Solucion



dy

dx =

minus2x

minus2ay

=rArr a = x


x2 minus x



=rArr yprime = xy


10 x2 + y2 minus cx = 0



=

rArr yprime =

x2 minus y2

2xy










+ y2


)2

= 1 minus (yprime

)2

















minusrarr









10486679ex + xex

1048669+1048667

8ex + xex1048669


= [10

minus18 + 8]ex + [1

minus2 + 1]xex

= 0





dx = minus 1

2y 2yyprime + 1 = 0


3 y = sin x

x


4 y = 1


5 y = 2xradic


6 y = x






1 minus x2y2









1 [a b] = x isin

a le x le b


a lt x lt b

3 ⟨a b] = x isin

a lt x le b

4 [a b⟩ = x isin

a le x lt b



1048623x le b


1048623a lt x


1048623a le x


y

10 [a a] = a






















Observaciones

1 La funcion f [a b



⟨a b






(b)




(b)



minus(b)






mismo dominio que f



f (k) I minusrarr














isin C 0(I )











es continua en I


isin C k(I )




Ejemplo 117

1 La funcion f

minusrarr




)



sobre





[0 +infin⟩983081


















X

Y

L L L

y f x ( )=a

X

Y

L L L

y f x ( )=a





983163 2x si 0 lt x lt 1






X

Y

y f x ( )=

1 2

X

Y

L L L

y x 2=

y x 3=

1

2

3



x2 si

minus1 lt x lt 1

2x3

3 si 1 le x lt 2



f (x) =


2x3

3 si 1 le x lt 2













X X

Y Y

a a b

y f x = ( ) y f x = ( )


f a

f b






y m isin


para todo x isin X


y M isin



Observaciones





del conjunto




Ejemplo 21


2 El conjunto


el de los numeros



















f A minusrarr







decir




decir





















minusrarr

tiene mınimo



minusrarr

tiene maximo



punto

Y Y

X X


x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )











Observaciones





(x0 f (x0)








x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8




























dy[U ] = 0

d

dx[U ] = U prime(x)

d

dt[U ] = 0 y

d

dz[U ] = 0



f primeprime

(a) = lımxrarra

f prime(x)

minusf prime(a)


f prime(a + h)

minusf prime(a)

h




h

Observaciones










Ejemplo 17




2radic




4radic

x3

En este caso


2 Sea f

minusrarr


minusrarr


minusrarr


En este caso






x

minusa

= lımhrarr0


h




h









a


x minus a

= lımhrarr

0





h




1 El operador d


2 El operador d2


dx2 = d

dx

983080 ddx

983081

3 El operador d3


d3

dx3 =

d

dx

983080 d2

dx2

983081=

d

dx

1048616 d

dx

983080 d

dx

9830811048617

4 El operador dn


dn

dxn =

d

dx

983080 dnminus1

dxnminus1

983081=

d

dx

1048616 d

dx

983080 dnminus2

dxnminus2

9830811048617


1 d

dx1048667f (x)

1048669=

d

dx[x5 + 2x2] = 5x4 + 4x

2 d2

dx2

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d

dx

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[5x4 + 4x] = 20x3 + 4

3 d3

dx3

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d2

dx2

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[20x3 + 4] = 60x2

4 d4

dx4

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d3

dx3

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[60x2] = 120x

5 d5

dx5

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d4

dx4

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[120x] = 120

6

d6

dx61048667

f (x)1048669

=

d

dx983131 d5

dx51048667

f (x)1048669983133

=

d

dx [120] = 0 y

dn

dxn1048667

f (x)1048669

= 0 foralln ge 6


1 f (x) = ex

2 f (x) = eax

3 f (x) = akx

4 f (x) = 1

(x minus a)k

5 f (x) = 1 minus x

1 + x


x2 minus 4

7 f (x) = sin ax

8 f (x) = cos ax

9 f (x) = ln(a + bx)

10 f (x) = 1

x2 minus 3x + 2

11 f (x) = 8x minus 5

2x2 + x minus 6

12 f (x) = x ex

13 f (x) = 5x minus 1

x2 + x minus 12

14 f (x) = ex sin x

15 f (x) = sin2 x

16 f (x) = xnradic

x








Sea F U sub







dx

1 e5y = sin(x + y)


dx[e5y] =

d

dx[sin(x + y)]

minusrarr e5y ddx


[x + y]


dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)


dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)

there4dy

dx =

cos(x + y)


2 x = ln(x3 + y)


d

dx[x] =

d

dx1048667 ln(x3 + y)1048669

minusrarr 1 = 1

x3 + y middot d

dx[x3 + y]

minusrarr 1 = 1


dy

dx)

minusrarr dy



dx[

dy

dx] =

d


dy

dx

=rArr d2y


dy


there4dydx


= x3 minus 6x + y

3 Halle dy

dx si exp

1048616860698 x +

radic y

x minus radic y

1048617+ ln


y

x +radic

y = 8

4 Halle dy


5 Halle dy


6 Halle dy

dx


y + radic x + 860698 y +

radic x

y minus radic x =

5

2

7 Halle dy

dx si x2 minus a


8 Halle d2y


9 Halle d2y


10 Halle d2y


11 Halle d2y

dx2

si 3x2



dy si x = x(y)































coordenadas





x




yprime = 0








yprime = 2







yprime = y



soluciacute on

1 y = ceminus2x + x


yprime

= minus2ceminus



2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x

there4dy


2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x





3 y = ax3 + bx2 + cx




6 x3 +

1

2


983081x2 +



983081x




Solucion

x

y

y = x

h

h1









yprime + 1


1048616x minus

x + yy prime

yprime + 110486172

+1048616


yprime + 110486172

= 1


8520092+(


= (yprime + 1)2


8520092+(

y minus x8520092

= (yprime + 1)2


=rArr (x minus y)2(

(yprime)2 + 1852009



Solucion

x

y

a

b

L

y = 2 x 2





1

y(x) para x gt 0


y(a) =

1




y minus b = 1b

1048616x minus b

2

2


2

2

=rArr y = x

b +

b

2 pero b =

1

yprime


2yprime


6 y2 = 4ax



=rArr 2yyprime

= 41048616 y2

4x1048617

= y2

x =rArr 2xyyprime

= y2 =rArr 2xyprime


dx minus y = 0

Por lo tanto 2x dy






7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x

Solucion


minusyprimeprime









9 x2 minus ay2 = 1

Solucion



dy

dx =

minus2x

minus2ay

=rArr a = x


x2 minus x



=rArr yprime = xy


10 x2 + y2 minus cx = 0



=

rArr yprime =

x2 minus y2

2xy










+ y2


)2

= 1 minus (yprime

)2

















minusrarr









10486679ex + xex

1048669+1048667

8ex + xex1048669


= [10

minus18 + 8]ex + [1

minus2 + 1]xex

= 0





dx = minus 1

2y 2yyprime + 1 = 0


3 y = sin x

x


4 y = 1


5 y = 2xradic


6 y = x






1 minus x2y2









1 [a b] = x isin

a le x le b


a lt x lt b

3 ⟨a b] = x isin

a lt x le b

4 [a b⟩ = x isin

a le x lt b



1048623x le b


1048623a lt x


1048623a le x


y

10 [a a] = a






















Observaciones

1 La funcion f [a b



⟨a b






(b)




(b)



minus(b)






mismo dominio que f



f (k) I minusrarr














isin C 0(I )











es continua en I


isin C k(I )




Ejemplo 117

1 La funcion f

minusrarr




)



sobre





[0 +infin⟩983081


















X

Y

L L L

y f x ( )=a

X

Y

L L L

y f x ( )=a





983163 2x si 0 lt x lt 1






X

Y

y f x ( )=

1 2

X

Y

L L L

y x 2=

y x 3=

1

2

3



x2 si

minus1 lt x lt 1

2x3

3 si 1 le x lt 2



f (x) =


2x3

3 si 1 le x lt 2













X X

Y Y

a a b

y f x = ( ) y f x = ( )


f a

f b






y m isin


para todo x isin X


y M isin



Observaciones





del conjunto




Ejemplo 21


2 El conjunto


el de los numeros



















f A minusrarr







decir




decir





















minusrarr

tiene mınimo



minusrarr

tiene maximo



punto

Y Y

X X


x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )











Observaciones





(x0 f (x0)








x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8































a


x minus a

= lımhrarr

0





h




1 El operador d


2 El operador d2


dx2 = d

dx

983080 ddx

983081

3 El operador d3


d3

dx3 =

d

dx

983080 d2

dx2

983081=

d

dx

1048616 d

dx

983080 d

dx

9830811048617

4 El operador dn


dn

dxn =

d

dx

983080 dnminus1

dxnminus1

983081=

d

dx

1048616 d

dx

983080 dnminus2

dxnminus2

9830811048617


1 d

dx1048667f (x)

1048669=

d

dx[x5 + 2x2] = 5x4 + 4x

2 d2

dx2

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d

dx

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[5x4 + 4x] = 20x3 + 4

3 d3

dx3

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d2

dx2

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[20x3 + 4] = 60x2

4 d4

dx4

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d3

dx3

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[60x2] = 120x

5 d5

dx5

1048667f (x)

1048669=

d

dx

983131 d4

dx4

1048667f (x)

1048669983133=

d

dx[120x] = 120

6

d6

dx61048667

f (x)1048669

=

d

dx983131 d5

dx51048667

f (x)1048669983133

=

d

dx [120] = 0 y

dn

dxn1048667

f (x)1048669

= 0 foralln ge 6


1 f (x) = ex

2 f (x) = eax

3 f (x) = akx

4 f (x) = 1

(x minus a)k

5 f (x) = 1 minus x

1 + x


x2 minus 4

7 f (x) = sin ax

8 f (x) = cos ax

9 f (x) = ln(a + bx)

10 f (x) = 1

x2 minus 3x + 2

11 f (x) = 8x minus 5

2x2 + x minus 6

12 f (x) = x ex

13 f (x) = 5x minus 1

x2 + x minus 12

14 f (x) = ex sin x

15 f (x) = sin2 x

16 f (x) = xnradic

x








Sea F U sub







dx

1 e5y = sin(x + y)


dx[e5y] =

d

dx[sin(x + y)]

minusrarr e5y ddx


[x + y]


dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)


dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)

there4dy

dx =

cos(x + y)


2 x = ln(x3 + y)


d

dx[x] =

d

dx1048667 ln(x3 + y)1048669

minusrarr 1 = 1

x3 + y middot d

dx[x3 + y]

minusrarr 1 = 1


dy

dx)

minusrarr dy



dx[

dy

dx] =

d


dy

dx

=rArr d2y


dy


there4dydx


= x3 minus 6x + y

3 Halle dy

dx si exp

1048616860698 x +

radic y

x minus radic y

1048617+ ln


y

x +radic

y = 8

4 Halle dy


5 Halle dy


6 Halle dy

dx


y + radic x + 860698 y +

radic x

y minus radic x =

5

2

7 Halle dy

dx si x2 minus a


8 Halle d2y


9 Halle d2y


10 Halle d2y


11 Halle d2y

dx2

si 3x2



dy si x = x(y)































coordenadas





x




yprime = 0








yprime = 2







yprime = y



soluciacute on

1 y = ceminus2x + x


yprime

= minus2ceminus



2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x

there4dy


2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x





3 y = ax3 + bx2 + cx




6 x3 +

1

2


983081x2 +



983081x




Solucion

x

y

y = x

h

h1









yprime + 1


1048616x minus

x + yy prime

yprime + 110486172

+1048616


yprime + 110486172

= 1


8520092+(


= (yprime + 1)2


8520092+(

y minus x8520092

= (yprime + 1)2


=rArr (x minus y)2(

(yprime)2 + 1852009



Solucion

x

y

a

b

L

y = 2 x 2





1

y(x) para x gt 0


y(a) =

1




y minus b = 1b

1048616x minus b

2

2


2

2

=rArr y = x

b +

b

2 pero b =

1

yprime


2yprime


6 y2 = 4ax



=rArr 2yyprime

= 41048616 y2

4x1048617

= y2

x =rArr 2xyyprime

= y2 =rArr 2xyprime


dx minus y = 0

Por lo tanto 2x dy






7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x

Solucion


minusyprimeprime









9 x2 minus ay2 = 1

Solucion



dy

dx =

minus2x

minus2ay

=rArr a = x


x2 minus x



=rArr yprime = xy


10 x2 + y2 minus cx = 0



=

rArr yprime =

x2 minus y2

2xy










+ y2


)2

= 1 minus (yprime

)2

















minusrarr









10486679ex + xex

1048669+1048667

8ex + xex1048669


= [10

minus18 + 8]ex + [1

minus2 + 1]xex

= 0





dx = minus 1

2y 2yyprime + 1 = 0


3 y = sin x

x


4 y = 1


5 y = 2xradic


6 y = x






1 minus x2y2









1 [a b] = x isin

a le x le b


a lt x lt b

3 ⟨a b] = x isin

a lt x le b

4 [a b⟩ = x isin

a le x lt b



1048623x le b


1048623a lt x


1048623a le x


y

10 [a a] = a






















Observaciones

1 La funcion f [a b



⟨a b






(b)




(b)



minus(b)






mismo dominio que f



f (k) I minusrarr














isin C 0(I )











es continua en I


isin C k(I )




Ejemplo 117

1 La funcion f

minusrarr




)



sobre





[0 +infin⟩983081


















X

Y

L L L

y f x ( )=a

X

Y

L L L

y f x ( )=a





983163 2x si 0 lt x lt 1






X

Y

y f x ( )=

1 2

X

Y

L L L

y x 2=

y x 3=

1

2

3



x2 si

minus1 lt x lt 1

2x3

3 si 1 le x lt 2



f (x) =


2x3

3 si 1 le x lt 2













X X

Y Y

a a b

y f x = ( ) y f x = ( )


f a

f b






y m isin


para todo x isin X


y M isin



Observaciones





del conjunto




Ejemplo 21


2 El conjunto


el de los numeros



















f A minusrarr







decir




decir





















minusrarr

tiene mınimo



minusrarr

tiene maximo



punto

Y Y

X X


x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )











Observaciones





(x0 f (x0)








x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8






























Sea F U sub







dx

1 e5y = sin(x + y)


dx[e5y] =

d

dx[sin(x + y)]

minusrarr e5y ddx


[x + y]


dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)


dx = cos(x + y)(1 +

dy

dx)

there4dy

dx =

cos(x + y)


2 x = ln(x3 + y)


d

dx[x] =

d

dx1048667 ln(x3 + y)1048669

minusrarr 1 = 1

x3 + y middot d

dx[x3 + y]

minusrarr 1 = 1


dy

dx)

minusrarr dy



dx[

dy

dx] =

d


dy

dx

=rArr d2y


dy


there4dydx


= x3 minus 6x + y

3 Halle dy

dx si exp

1048616860698 x +

radic y

x minus radic y

1048617+ ln


y

x +radic

y = 8

4 Halle dy


5 Halle dy


6 Halle dy

dx


y + radic x + 860698 y +

radic x

y minus radic x =

5

2

7 Halle dy

dx si x2 minus a


8 Halle d2y


9 Halle d2y


10 Halle d2y


11 Halle d2y

dx2

si 3x2



dy si x = x(y)































coordenadas





x




yprime = 0








yprime = 2







yprime = y



soluciacute on

1 y = ceminus2x + x


yprime

= minus2ceminus



2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x

there4dy


2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x





3 y = ax3 + bx2 + cx




6 x3 +

1

2


983081x2 +



983081x




Solucion

x

y

y = x

h

h1









yprime + 1


1048616x minus

x + yy prime

yprime + 110486172

+1048616


yprime + 110486172

= 1


8520092+(


= (yprime + 1)2


8520092+(

y minus x8520092

= (yprime + 1)2


=rArr (x minus y)2(

(yprime)2 + 1852009



Solucion

x

y

a

b

L

y = 2 x 2





1

y(x) para x gt 0


y(a) =

1




y minus b = 1b

1048616x minus b

2

2


2

2

=rArr y = x

b +

b

2 pero b =

1

yprime


2yprime


6 y2 = 4ax



=rArr 2yyprime

= 41048616 y2

4x1048617

= y2

x =rArr 2xyyprime

= y2 =rArr 2xyprime


dx minus y = 0

Por lo tanto 2x dy






7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x

Solucion


minusyprimeprime









9 x2 minus ay2 = 1

Solucion



dy

dx =

minus2x

minus2ay

=rArr a = x


x2 minus x



=rArr yprime = xy


10 x2 + y2 minus cx = 0



=

rArr yprime =

x2 minus y2

2xy










+ y2


)2

= 1 minus (yprime

)2

















minusrarr









10486679ex + xex

1048669+1048667

8ex + xex1048669


= [10

minus18 + 8]ex + [1

minus2 + 1]xex

= 0





dx = minus 1

2y 2yyprime + 1 = 0


3 y = sin x

x


4 y = 1


5 y = 2xradic


6 y = x






1 minus x2y2









1 [a b] = x isin

a le x le b


a lt x lt b

3 ⟨a b] = x isin

a lt x le b

4 [a b⟩ = x isin

a le x lt b



1048623x le b


1048623a lt x


1048623a le x


y

10 [a a] = a






















Observaciones

1 La funcion f [a b



⟨a b






(b)




(b)



minus(b)






mismo dominio que f



f (k) I minusrarr














isin C 0(I )











es continua en I


isin C k(I )




Ejemplo 117

1 La funcion f

minusrarr




)



sobre





[0 +infin⟩983081


















X

Y

L L L

y f x ( )=a

X

Y

L L L

y f x ( )=a





983163 2x si 0 lt x lt 1






X

Y

y f x ( )=

1 2

X

Y

L L L

y x 2=

y x 3=

1

2

3



x2 si

minus1 lt x lt 1

2x3

3 si 1 le x lt 2



f (x) =


2x3

3 si 1 le x lt 2













X X

Y Y

a a b

y f x = ( ) y f x = ( )


f a

f b






y m isin


para todo x isin X


y M isin



Observaciones





del conjunto




Ejemplo 21


2 El conjunto


el de los numeros



















f A minusrarr







decir




decir





















minusrarr

tiene mınimo



minusrarr

tiene maximo



punto

Y Y

X X


x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )











Observaciones





(x0 f (x0)








x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8





















































coordenadas





x




yprime = 0








yprime = 2







yprime = y



soluciacute on

1 y = ceminus2x + x


yprime

= minus2ceminus



2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x

there4dy


2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x





3 y = ax3 + bx2 + cx




6 x3 +

1

2


983081x2 +



983081x




Solucion

x

y

y = x

h

h1









yprime + 1


1048616x minus

x + yy prime

yprime + 110486172

+1048616


yprime + 110486172

= 1


8520092+(


= (yprime + 1)2


8520092+(

y minus x8520092

= (yprime + 1)2


=rArr (x minus y)2(

(yprime)2 + 1852009



Solucion

x

y

a

b

L

y = 2 x 2





1

y(x) para x gt 0


y(a) =

1




y minus b = 1b

1048616x minus b

2

2


2

2

=rArr y = x

b +

b

2 pero b =

1

yprime


2yprime


6 y2 = 4ax



=rArr 2yyprime

= 41048616 y2

4x1048617

= y2

x =rArr 2xyyprime

= y2 =rArr 2xyprime


dx minus y = 0

Por lo tanto 2x dy






7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x

Solucion


minusyprimeprime









9 x2 minus ay2 = 1

Solucion



dy

dx =

minus2x

minus2ay

=rArr a = x


x2 minus x



=rArr yprime = xy


10 x2 + y2 minus cx = 0



=

rArr yprime =

x2 minus y2

2xy










+ y2


)2

= 1 minus (yprime

)2

















minusrarr









10486679ex + xex

1048669+1048667

8ex + xex1048669


= [10

minus18 + 8]ex + [1

minus2 + 1]xex

= 0





dx = minus 1

2y 2yyprime + 1 = 0


3 y = sin x

x


4 y = 1


5 y = 2xradic


6 y = x






1 minus x2y2









1 [a b] = x isin

a le x le b


a lt x lt b

3 ⟨a b] = x isin

a lt x le b

4 [a b⟩ = x isin

a le x lt b



1048623x le b


1048623a lt x


1048623a le x


y

10 [a a] = a






















Observaciones

1 La funcion f [a b



⟨a b






(b)




(b)



minus(b)






mismo dominio que f



f (k) I minusrarr














isin C 0(I )











es continua en I


isin C k(I )




Ejemplo 117

1 La funcion f

minusrarr




)



sobre





[0 +infin⟩983081


















X

Y

L L L

y f x ( )=a

X

Y

L L L

y f x ( )=a





983163 2x si 0 lt x lt 1






X

Y

y f x ( )=

1 2

X

Y

L L L

y x 2=

y x 3=

1

2

3



x2 si

minus1 lt x lt 1

2x3

3 si 1 le x lt 2



f (x) =


2x3

3 si 1 le x lt 2













X X

Y Y

a a b

y f x = ( ) y f x = ( )


f a

f b






y m isin


para todo x isin X


y M isin



Observaciones





del conjunto




Ejemplo 21


2 El conjunto


el de los numeros



















f A minusrarr







decir




decir





















minusrarr

tiene mınimo



minusrarr

tiene maximo



punto

Y Y

X X


x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )











Observaciones





(x0 f (x0)








x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8





























yprime = 2







yprime = y



soluciacute on

1 y = ceminus2x + x


yprime

= minus2ceminus



2x + x) + 1 + 2x = minus2y + 1 + 2x

there4dy


2 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x





3 y = ax3 + bx2 + cx




6 x3 +

1

2


983081x2 +



983081x




Solucion

x

y

y = x

h

h1









yprime + 1


1048616x minus

x + yy prime

yprime + 110486172

+1048616


yprime + 110486172

= 1


8520092+(


= (yprime + 1)2


8520092+(

y minus x8520092

= (yprime + 1)2


=rArr (x minus y)2(

(yprime)2 + 1852009



Solucion

x

y

a

b

L

y = 2 x 2





1

y(x) para x gt 0


y(a) =

1




y minus b = 1b

1048616x minus b

2

2


2

2

=rArr y = x

b +

b

2 pero b =

1

yprime


2yprime


6 y2 = 4ax



=rArr 2yyprime

= 41048616 y2

4x1048617

= y2

x =rArr 2xyyprime

= y2 =rArr 2xyprime


dx minus y = 0

Por lo tanto 2x dy






7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x

Solucion


minusyprimeprime









9 x2 minus ay2 = 1

Solucion



dy

dx =

minus2x

minus2ay

=rArr a = x


x2 minus x



=rArr yprime = xy


10 x2 + y2 minus cx = 0



=

rArr yprime =

x2 minus y2

2xy










+ y2


)2

= 1 minus (yprime

)2

















minusrarr









10486679ex + xex

1048669+1048667

8ex + xex1048669


= [10

minus18 + 8]ex + [1

minus2 + 1]xex

= 0





dx = minus 1

2y 2yyprime + 1 = 0


3 y = sin x

x


4 y = 1


5 y = 2xradic


6 y = x






1 minus x2y2









1 [a b] = x isin

a le x le b


a lt x lt b

3 ⟨a b] = x isin

a lt x le b

4 [a b⟩ = x isin

a le x lt b



1048623x le b


1048623a lt x


1048623a le x


y

10 [a a] = a






















Observaciones

1 La funcion f [a b



⟨a b






(b)




(b)



minus(b)






mismo dominio que f



f (k) I minusrarr














isin C 0(I )











es continua en I


isin C k(I )




Ejemplo 117

1 La funcion f

minusrarr




)



sobre





[0 +infin⟩983081


















X

Y

L L L

y f x ( )=a

X

Y

L L L

y f x ( )=a





983163 2x si 0 lt x lt 1






X

Y

y f x ( )=

1 2

X

Y

L L L

y x 2=

y x 3=

1

2

3



x2 si

minus1 lt x lt 1

2x3

3 si 1 le x lt 2



f (x) =


2x3

3 si 1 le x lt 2













X X

Y Y

a a b

y f x = ( ) y f x = ( )


f a

f b






y m isin


para todo x isin X


y M isin



Observaciones





del conjunto




Ejemplo 21


2 El conjunto


el de los numeros



















f A minusrarr







decir




decir





















minusrarr

tiene mınimo



minusrarr

tiene maximo



punto

Y Y

X X


x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )











Observaciones





(x0 f (x0)








x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8































yprime + 1


1048616x minus

x + yy prime

yprime + 110486172

+1048616


yprime + 110486172

= 1


8520092+(


= (yprime + 1)2


8520092+(

y minus x8520092

= (yprime + 1)2


=rArr (x minus y)2(

(yprime)2 + 1852009



Solucion

x

y

a

b

L

y = 2 x 2





1

y(x) para x gt 0


y(a) =

1




y minus b = 1b

1048616x minus b

2

2


2

2

=rArr y = x

b +

b

2 pero b =

1

yprime


2yprime


6 y2 = 4ax



=rArr 2yyprime

= 41048616 y2

4x1048617

= y2

x =rArr 2xyyprime

= y2 =rArr 2xyprime


dx minus y = 0

Por lo tanto 2x dy






7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x

Solucion


minusyprimeprime









9 x2 minus ay2 = 1

Solucion



dy

dx =

minus2x

minus2ay

=rArr a = x


x2 minus x



=rArr yprime = xy


10 x2 + y2 minus cx = 0



=

rArr yprime =

x2 minus y2

2xy










+ y2


)2

= 1 minus (yprime

)2

















minusrarr









10486679ex + xex

1048669+1048667

8ex + xex1048669


= [10

minus18 + 8]ex + [1

minus2 + 1]xex

= 0





dx = minus 1

2y 2yyprime + 1 = 0


3 y = sin x

x


4 y = 1


5 y = 2xradic


6 y = x






1 minus x2y2









1 [a b] = x isin

a le x le b


a lt x lt b

3 ⟨a b] = x isin

a lt x le b

4 [a b⟩ = x isin

a le x lt b



1048623x le b


1048623a lt x


1048623a le x


y

10 [a a] = a






















Observaciones

1 La funcion f [a b



⟨a b






(b)




(b)



minus(b)






mismo dominio que f



f (k) I minusrarr














isin C 0(I )











es continua en I


isin C k(I )




Ejemplo 117

1 La funcion f

minusrarr




)



sobre





[0 +infin⟩983081


















X

Y

L L L

y f x ( )=a

X

Y

L L L

y f x ( )=a





983163 2x si 0 lt x lt 1






X

Y

y f x ( )=

1 2

X

Y

L L L

y x 2=

y x 3=

1

2

3



x2 si

minus1 lt x lt 1

2x3

3 si 1 le x lt 2



f (x) =


2x3

3 si 1 le x lt 2













X X

Y Y

a a b

y f x = ( ) y f x = ( )


f a

f b






y m isin


para todo x isin X


y M isin



Observaciones





del conjunto




Ejemplo 21


2 El conjunto


el de los numeros



















f A minusrarr







decir




decir





















minusrarr

tiene mınimo



minusrarr

tiene maximo



punto

Y Y

X X


x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )











Observaciones





(x0 f (x0)








x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8



























7 y = C 1 sen 4x + C 2 cos 4x + x

Solucion


minusyprimeprime









9 x2 minus ay2 = 1

Solucion



dy

dx =

minus2x

minus2ay

=rArr a = x


x2 minus x



=rArr yprime = xy


10 x2 + y2 minus cx = 0



=

rArr yprime =

x2 minus y2

2xy










+ y2


)2

= 1 minus (yprime

)2

















minusrarr









10486679ex + xex

1048669+1048667

8ex + xex1048669


= [10

minus18 + 8]ex + [1

minus2 + 1]xex

= 0





dx = minus 1

2y 2yyprime + 1 = 0


3 y = sin x

x


4 y = 1


5 y = 2xradic


6 y = x






1 minus x2y2









1 [a b] = x isin

a le x le b


a lt x lt b

3 ⟨a b] = x isin

a lt x le b

4 [a b⟩ = x isin

a le x lt b



1048623x le b


1048623a lt x


1048623a le x


y

10 [a a] = a






















Observaciones

1 La funcion f [a b



⟨a b






(b)




(b)



minus(b)






mismo dominio que f



f (k) I minusrarr














isin C 0(I )











es continua en I


isin C k(I )




Ejemplo 117

1 La funcion f

minusrarr




)



sobre





[0 +infin⟩983081


















X

Y

L L L

y f x ( )=a

X

Y

L L L

y f x ( )=a





983163 2x si 0 lt x lt 1






X

Y

y f x ( )=

1 2

X

Y

L L L

y x 2=

y x 3=

1

2

3



x2 si

minus1 lt x lt 1

2x3

3 si 1 le x lt 2



f (x) =


2x3

3 si 1 le x lt 2













X X

Y Y

a a b

y f x = ( ) y f x = ( )


f a

f b






y m isin


para todo x isin X


y M isin



Observaciones





del conjunto




Ejemplo 21


2 El conjunto


el de los numeros



















f A minusrarr







decir




decir





















minusrarr

tiene mınimo



minusrarr

tiene maximo



punto

Y Y

X X


x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )











Observaciones





(x0 f (x0)








x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8







































minusrarr









10486679ex + xex

1048669+1048667

8ex + xex1048669


= [10

minus18 + 8]ex + [1

minus2 + 1]xex

= 0





dx = minus 1

2y 2yyprime + 1 = 0


3 y = sin x

x


4 y = 1


5 y = 2xradic


6 y = x






1 minus x2y2









1 [a b] = x isin

a le x le b


a lt x lt b

3 ⟨a b] = x isin

a lt x le b

4 [a b⟩ = x isin

a le x lt b



1048623x le b


1048623a lt x


1048623a le x


y

10 [a a] = a






















Observaciones

1 La funcion f [a b



⟨a b






(b)




(b)



minus(b)






mismo dominio que f



f (k) I minusrarr














isin C 0(I )











es continua en I


isin C k(I )




Ejemplo 117

1 La funcion f

minusrarr




)



sobre





[0 +infin⟩983081


















X

Y

L L L

y f x ( )=a

X

Y

L L L

y f x ( )=a





983163 2x si 0 lt x lt 1






X

Y

y f x ( )=

1 2

X

Y

L L L

y x 2=

y x 3=

1

2

3



x2 si

minus1 lt x lt 1

2x3

3 si 1 le x lt 2



f (x) =


2x3

3 si 1 le x lt 2













X X

Y Y

a a b

y f x = ( ) y f x = ( )


f a

f b






y m isin


para todo x isin X


y M isin



Observaciones





del conjunto




Ejemplo 21


2 El conjunto


el de los numeros



















f A minusrarr







decir




decir





















minusrarr

tiene mınimo



minusrarr

tiene maximo



punto

Y Y

X X


x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )











Observaciones





(x0 f (x0)








x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8






























1 [a b] = x isin

a le x le b


a lt x lt b

3 ⟨a b] = x isin

a lt x le b

4 [a b⟩ = x isin

a le x lt b



1048623x le b


1048623a lt x


1048623a le x


y

10 [a a] = a






















Observaciones

1 La funcion f [a b



⟨a b






(b)




(b)



minus(b)






mismo dominio que f



f (k) I minusrarr














isin C 0(I )











es continua en I


isin C k(I )




Ejemplo 117

1 La funcion f

minusrarr




)



sobre





[0 +infin⟩983081


















X

Y

L L L

y f x ( )=a

X

Y

L L L

y f x ( )=a





983163 2x si 0 lt x lt 1






X

Y

y f x ( )=

1 2

X

Y

L L L

y x 2=

y x 3=

1

2

3



x2 si

minus1 lt x lt 1

2x3

3 si 1 le x lt 2



f (x) =


2x3

3 si 1 le x lt 2













X X

Y Y

a a b

y f x = ( ) y f x = ( )


f a

f b






y m isin


para todo x isin X


y M isin



Observaciones





del conjunto




Ejemplo 21


2 El conjunto


el de los numeros



















f A minusrarr







decir




decir





















minusrarr

tiene mınimo



minusrarr

tiene maximo



punto

Y Y

X X


x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )











Observaciones





(x0 f (x0)








x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8




























mismo dominio que f



f (k) I minusrarr














isin C 0(I )











es continua en I


isin C k(I )




Ejemplo 117

1 La funcion f

minusrarr




)



sobre





[0 +infin⟩983081


















X

Y

L L L

y f x ( )=a

X

Y

L L L

y f x ( )=a





983163 2x si 0 lt x lt 1






X

Y

y f x ( )=

1 2

X

Y

L L L

y x 2=

y x 3=

1

2

3



x2 si

minus1 lt x lt 1

2x3

3 si 1 le x lt 2



f (x) =


2x3

3 si 1 le x lt 2













X X

Y Y

a a b

y f x = ( ) y f x = ( )


f a

f b






y m isin


para todo x isin X


y M isin



Observaciones





del conjunto




Ejemplo 21


2 El conjunto


el de los numeros



















f A minusrarr







decir




decir





















minusrarr

tiene mınimo



minusrarr

tiene maximo



punto

Y Y

X X


x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )











Observaciones





(x0 f (x0)








x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8
































X

Y

L L L

y f x ( )=a

X

Y

L L L

y f x ( )=a





983163 2x si 0 lt x lt 1






X

Y

y f x ( )=

1 2

X

Y

L L L

y x 2=

y x 3=

1

2

3



x2 si

minus1 lt x lt 1

2x3

3 si 1 le x lt 2



f (x) =


2x3

3 si 1 le x lt 2













X X

Y Y

a a b

y f x = ( ) y f x = ( )


f a

f b






y m isin


para todo x isin X


y M isin



Observaciones





del conjunto




Ejemplo 21


2 El conjunto


el de los numeros



















f A minusrarr







decir




decir





















minusrarr

tiene mınimo



minusrarr

tiene maximo



punto

Y Y

X X


x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )











Observaciones





(x0 f (x0)








x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8



























X X

Y Y

a a b

y f x = ( ) y f x = ( )


f a

f b






y m isin


para todo x isin X


y M isin



Observaciones





del conjunto




Ejemplo 21


2 El conjunto


el de los numeros



















f A minusrarr







decir




decir





















minusrarr

tiene mınimo



minusrarr

tiene maximo



punto

Y Y

X X


x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )











Observaciones





(x0 f (x0)








x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8



































f A minusrarr







decir




decir





















minusrarr

tiene mınimo



minusrarr

tiene maximo



punto

Y Y

X X


x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )











Observaciones





(x0 f (x0)








x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8































minusrarr

tiene mınimo



minusrarr

tiene maximo



punto

Y Y

X X


x x x x 0 1 2 3 4 5 6x x x x x x x x x x 0 1 2 3 4 5 6

y f x = ( )

y f x = ( )











Observaciones





(x0 f (x0)








x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8





























x0 f (x0)852009


el punto(

x0 f (x0)852009



minusrarr

tiene un extremo



to(

0 f (0)852009


minusrarr

tiene extremo en


tangente en(

x0 g(x0)852009

y(

x1 g(x1)852009

son horizontales




Observaciones



cero


a f (a)852009

y(

b f (b)852009

es horizontal El


funcion f el punto(

c f (c)852009


X X

Y Y

y=f x( )

y=f x( )


a c c b1 3 a b

c2














minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8




































minusrarr

Si f es continua



b minus a

Observaciones





b minus a


a f (a)852009

y(

b f (b)852009


(c f (c)


Y Y

X X

y = f x ( ) y = f x ( )

f a ( )

f a ( )

f b( )

f b( )


a c b1 b

c 2 a

L L L

L L L






f (b) minus f (a)

b minus a




f (b) minus f (a)

b minus a


y g [a b] minusrarr



g prime(c) =

f (b) minus f (a)

g(b) minus g(a)














Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8




































Y Y

X X

f x ( )1

f x ( )1

x 1

x 1x 2

x 2

f x ( )2

f x ( )2







Diremos que la


Y Y

X X

x 1 x 2 x 1 x 2


no decreciente


no creciente





Observaciones














Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8



























Y Y

X X

f

f

f

f



con f

prime




X X

a

a b

b

Observaciones








X X

a

a b

b

f ab

ab


f ab

ab


f f



f (a) f (b)1048669











f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8





























f (b) f (a)1048669













y f [a b] minusrarr

Si las




El



Observaciones







983087 f prime(x) = 3(x minus 2)2




crıticos de f

Y

X

1

2


1 f


f (x) = 1

4(x4 minus 6x2 + 8x) + 5

2 f

minusrarr


f (x) = 3


3 f

minusrarr



4 f

minusrarr


x2 + 1

5 f


f (x) = x3 minus 2

(x minus 1)2

6 f

minusrarr


x2 + 1

7 f [minusπ2

π2

] minusrarr












en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8
































en A y x0

isin ⟨a b










X X

a bx 0a bx 0


f

f


X X a bx 0a bx 0


f f


Observaciones




















minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8





































minusrarr



f (0) = 0




crıtico






⟨a b


X X

a bx 0a bx 0


f

f


Observaciones





minusrarr














34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8


































34 Razon de cambio

Indice





132 El operador d

dx 8
























la derivada de una funcion real de variable real

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