funcion actuarial

8/10/2019 Funcion actuarial

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FUNCIONES ACTUARIALES COMO

VARIABLES ALEATORIAS SOBRE UNA SOLA VIDA

Por

Oscar Aranda MartnezNadia Araceli Castillo Garca

Abril 2010

En este primer documento se presenta el nuevo enfoque del clculo actuarial, en donde lasexpresiones tradicionales definidas a partir del siglo XVIII para anualidades, primas de seguros yreserva matemtica; basadas en valores determinsticos de tablas de probabilidad y tasa de inters,pueden ser vistas a partir del siglo XX, como expresiones que representan el valor esperado de unavariable aleatoria asociada al tiempo, la cual depende de una funcin de probabilidad relativa alfallecimiento sobre un individuo y de un monto en riesgo como valor de indemnizacin. Por lo queal expresar las funciones en forma clsica, se pierde aspectos importantes relativos a la varianza dela variable aleatoria asociada a la funcin de probabilidad de fallecimiento.

Los modelos clsicos de las funciones actuariales del seguro de vida se han realizadoconsiderando estimaciones en la que se involucra la tabla determinstica de decremento (a)yla tasa de inters fija en el tiempo, tales casos han sido expuestos durante los siglos XVIII,XIX y parte del s. XX, un ejemplo de stas son las siguientes.

Esperanza de vida abreviada para una persona deedadx.

Esperanza de vida completa para una persona deedadx.

1x k x

k

e p

=

=

0

o

x t xe p dt

=

Seguro de vida entera, la cual otorga unaindemnizacin en caso de fallecimiento de unaunidad monetaria al final del ao de aniversario.

Seguro de vida entera, la cual otorga unaindemnizacin en caso de fallecimiento de unaunidad monetaria al instante del fallecimiento.

1

0

kx xkk

A v q

+

=

=

0

tx t x x t A v p dt

+=

Anualidad que provee un pago de una unidadmonetaria anual al final de cada aniversario,

durante los prximos n- aos.

Anualidad que provee un pago anual de una unidadmonetaria fraccionada m-veces en el ao y pagadaa cada m-simo de tiempo, cuando m ,durante los prximos n- aos.

:1

n

k

k xx nk

a v p=

=

:

0

n

tx n t x

a v p dt =

(a)En el caso ms simple corresponde a la tasa de mortalidad y en su forma ms elaborada, al decremento total que mide la probabilidadde sobrevivencia dentro de un grupo en estudio expuesto tambin a la incidencia de invalidez, pudindose integrar el efecto de la tasade rotacin de personal para el caso de sistemas de pensiones.


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2

De hecho, estas expresiones realmente representan el valor esperado de una variablealeatoria, la cual depende de una funcin de probabilidad relativa al fallecimiento,asociada a un individuo de edad (x), por lo que al expresar las funciones en forma clsica,

se pierde aspectos importantes relativos a la varianza de la variable aleatoria asociada a lafuncin de probabilidad; este aspecto ya se haban apreciado en los trabajos de Menge(1937), Pollard y Pollard (1969), Follard (1976), Fibiger y Kellison(1971), Boyle (1974) yTaylor (1976), pero un acercamiento ms detallado se puede citar a Hickman (1964) quiendiscute este aspecto.

Por lo tanto, estafuncin de probabilidadtiene que ver con la variable aleatoria deltiempotranscurrido hasta el fallecimiento, si consideramos ( )x para denotar a una vida de x aos. El tiempo futuro de vidade ( )x , ser X x , la que denotaremos como ( )T x , lacual corresponde a una variable aleatoria de tipo continuo, es decir, toma valores talescomo 0t .

En forma semejante se puede definir una variable aleatoria discreta asociada con el tiempode vida futuro, en la que denote el nmero de aos futuros completados por ( )x antes de

su fallecimiento o el tiempo de vida futuro truncado de (x), es decir, ( )( )K x T x= ,donde ktoma valores 0,1,2,3,....

Estos aspectos, rompen con el patrn establecido, durante los siglos XVIII, XIX y parte dels. XX, donde el clculo de las funciones actuariales estuvo basado nicamente en elenfoque del valor presente determinstico, es decir, dada una funcin de mortalidad o dedecrementos, se supone que la poblacin a la cual se aplica seguir dicho patrn y, en

funcin de las cifras de siniestros que se van obteniendo al seguir dicho comportamiento, sevan calculando los valores presentes de las obligaciones por cubrir.

El enfoque probabilstico del clculo actuarial se fundamenta en la hiptesis de que, msque seguir una ley determinstica, la mortalidad sigue un patrn aleatorio. El punto departida en esta direccin es el considerar eltiempo restante de vida de una persona comouna variable aleatoria.

Como se indic al inicio, uno de los primeros trabajos bajo esta perspectiva, fue formuladapor el actuario estadounidense Walter O. Menge, quien en su documento A statisticaltreatment of actuarial functions, considera el tiempo restante de vida de una persona deedad (x) como una variable aleatoria de tipo continuo, simbolizada en la notacin actuarial

internacional, como T(x).

Las funciones biomtricas tales como las probabilidades de fallecimiento, sobrevivencia ola tasa instantnea de mortalidad se obtienen ahora como caractersticas numricas de estavariable aleatoria. Por ejemplo, la funcin de distribucin acumulativa {1}de T(x), FT(x), es

[ ]( ) ( ) ( )T x t xF t P T x t q= = , 0t


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3

De esta manera,( )( )1t x T xp F t= y ( )( ) ( )( ) t x x t T x T xf t F t p += = , de donde se obtiene

(b)

( )( )

( )( )1

T x

x tT x

f t

F t + =

En forma semejante para la variable aleatoria discreta ( )( ) ( )( ) x k x x kK x K x k g k G k q p q += = = ,

0,1,2,...k=

En esta virtud, la expresin relativa a la esperanza de vida completa se puede formularcomo el Valor Esperadode la variable aleatoria ( )T x .

( )( )0[ ( )]o

x T xe E T x t f t dt

= = o bien.

0[ ( )]

o

x t x x t e E T x t p dt

+= =

que al integrar por partes, considerando que {2}:( )( ) t xT xf t dt d p= , se tiene

0[ ( )]

o

x t xe E T x p dt

= =

y su varianza de ( )T x , como

2 2[ ( )] [ ( ) ] [ ( )]Var T x E T x E T x=

2

02

o

xt xt p dt e

= donde

2 2

0[ ( ) ] t x x t E T x t p dt

+=

02 t xt p dt

=

De forma semejante, la esperanza de vida abreviada,se formula como el valor esperadode la variable aleatoria ( )K x , es decir.

(b) Este enfoque puede extenderse a una teora ms general de la sobrevivencia, donde el concepto se aplica, ya no nicamente a sereshumanos, sino a una entidad abstracta, que lo mismo puede ser un organismo como una empresa o bien un componente de undispositivo electrnico, dando origen, en este ltimo caso, a la teora de la confiabilidad.

[ ] ( )( )0

x K xk

e E K k g k

== =

0 0

10

+= =

+=

= =

=

x k x x kkk k

k x

k

k q k p q

p


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4

Siguiendo el mismo proceso utilizado en el modelo continuo, tenemos

[ ] [ ]22

Var K E K E K =

21

0

(2 1)k x xk

k p e

+=

= +

donde

Para completar el anlisis en relacin a la esperanza de vida (completa o abreviada) para unperiodo de naos, consideremos el smbolo

xL , que representa el nmero esperado total de

aos de vida entre las edades x y 1+x , de los sobrevivientes del grupo inicial de recinnacidos.

donde la integral contabiliza los aos vividos por aquellos que murieron entre las edades( )x y ( )1x+ y el trmino 1xl + contabiliza los aos vividos entre las edades ( )x y

( )1x+ de los que sobrevivieron a la edad 1+x . Integrando por partes se tiene

En forma ms general, los aos vividos por aquellos que murieron entre las edades ( )x y

( )+x n y el trmino x nn l + contabiliza los aos vividos entre las edades ( )x y ( )+x n

de los que sobrevivieron a la edad ( )+x n . Integrando por partes se tiene

0 0

n n

n x x t x t x n x t L t l dt n l l dt+ + + += + = (1)

En esta virtud.

Esperanza de vida completa a n-aos

( )( ): 0[ ( )]o n

x n n xT xe E T x t f t dt n p= = +

0

0

+= +

=

n

t x x t n x

n

t x

t p dt n p

p dt

(2)

2 2

0k x x k

k

E K k p q

+=

=

10

(2 1) k xk

k p

+=

= +

1

10x x t x t xL t l dt l+ + += +

110

+ += +x x t xL t d l l 11

10 0 x t x t xt l l dt l+ + += + + 1

0 x tl dt+=


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5

Para el caso discreto laEsperanza de vida abreviada a n-aos

Los procesos anteriores, slo corresponden a la expectativa de contabilizacin del tiempo,ahora bien, si bajo estos conceptos pensamos el modelar la existencia de un pago oconjunto de pagos asociados a la funcin de probabilidad, entonces en el primer casoestaremos conceptualizando el seguro de vida y en el seguro el concepto de anualidad.

Los seguros de vidaestn diseados para reducir el efecto financiero del evento aleatoriode muerte; debido a la naturaleza del riesgo a largo plazo, el monto de las ganancias por la

inversin del recurso para este fin, proporciona un elemento significativo de incertidumbre.

En los seguros de vida, el tamao y la fecha del pago dependern slo de la fecha de lamuerte del asegurado. En otras palabras, nuestro modelo se construir en trminos defunciones de la variable aleatoria de tipo continuo ( )T x , donde la suma asegurada sepagar al instante del fallecimiento ( 1tb = ) o bien dada la naturaleza discreta de las

probabilidades definidas en una tabla de mortalidadpara cada edad, la xq que representa la

probabilidad constante por intervalo anual, de que una persona de edad (x) fallezca dentrodel intervalo del ao siguiente, es decir, que el fallecimiento se de entre las edades (x) y(x+1), por lo que bajo este supuesto el pago de la indemnizacin ser al final del ao

( 1 1, 0,1,,2,...kb k+ = = ); a este concepto de contabilizar el tiempo, corresponde a lavariable aleatoria de tipo discreto ( )K x .

En esta virtud, un seguro de vida a plazo de n aos, proporciona un pago slo si elasegurado muere dentro del plazo de n aos de un seguro que comienza en su expedicin.

Si una unidad se pagar en el momento de la muerte de ( )x ,entonces

1 ;

0 ;

; 0

;

0 ;

=

>

=

=

>

t

t

t

T

T

t n

b t n

v v t

v T nZ

T n

[ ] ( )

( )1

: 0

n

n xK xx n k

e E K k g k n p

=

= = +

1 1

0 0 0

+= = =

= + = + = n n n

x n x k x x k n x k xkk k k

k q n p k p q n p p (3)


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6

La siguiente grfica muestra cada una de las variables involucradas en una lnea que

simboliza el tiempo asociado a (x).

0 t n

x x+t x+n

Cuando , n

( )T x

[ ]TE z1

:x nA =

[ ]TE zxA =

T

T TZ b v=

se tiene

El Valor Presente Actuarial o Prima Neta nica para el seguro a plazo de n aos con una

unidad pagadera al momento de la muerte de ( )x es [ ]TE Z , denotada por1:x nA , puede

calcularse al reconocer a TZ como una funcin de ( )T x , donde la funcin de probabilidad(f.p) es t x x t p + .

as[ ] ( )

[ ]1( )

0

:

0

T x

n

T t

nt

x n T t x x t

E Z z f t dt

A E Z v p dt +

=

= =

.

(4)

(5)

El momento j -simo de la distribucin deT

Z puede determinarse mediante

( )( )

0( ) = T x

nj j

T tE Z z f t dt

Al sustituir = tt

z v y la funcin de probabilidad asociada, se tiene.

( )0 + =

n jj t

T t x x t E Z v p dt

Donde el momento j -simo de Zes igual a la prima neta nica de un seguro a plazo de n

aos para un monto de una unidad pagadera al momento de la muerte de ( )x , o bien es

igual a j veces la fuerza de inters determinada por j , es decir.

( )

0 + =

n j tj

T t x x t E Z e p dt


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7

Esta propiedad de los momentos de orden superior es vlida, generalmente, para segurosque pagan una unidad cuando la fuerza de inters es determinstica, constante o no.Estableceremos suficientes condiciones para esto en el siguiente teorema.

Teorema:

Para un seguro sobre ( )x , sea t la fuerza de inters en el tiempo t; y sean, tb y tv , las

funciones de beneficio y descuento, respectivamente. Si 0, =jt t

t b b , entoncesj

TE Z determinada con la fuerza de inters t , es igual [ ]TE Z considerando la fuerza de

inters tj para 0 >j .

Demostracin

( )

jj

T T T

j j

T T

j

T T

E Z E b v

E b v

E b v

=

=

=

En general,

( )0exp t

t sv ds=

(6)

en donde tes el tiempo transcurrido desde la expedicin de la pliza hasta la muerte delasegurado. Elevando ambos lados de la expresin (6) a la potencia j , tenemos

( )0expt

j

t sv j ds= ,es decir, tv , a la fuerza de inters tj .

Del Teorema resulta que

[ ] ( )1 122

: :x n x nTVar Z A A= (7)

donde 12

:x nA es la prima neta nica para un seguro a n aos para una unidad calculada a lafuerza de inters 2 .

Como se demostr, el Teorema es para un seguro que paga la suma asegurada al momentode la muerte t. Puede extenderse a seguros en los que la suma es pagada en un tiempo, quees una funcin del momento de la muerte. Esto se logra al sustituir tpor el lmite superiorde la integral de la expresin (6) con la funcin del momento de la muerte.


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8

En el caso delseguro de vida entera,prev un pago despus de la muerte del asegurado encualquier tiempo en el futuro. Si el pago previsto debe ser el monto de una unidad al

momento de la muerte de ( )x , entonces

1 ; 0

; 0

; 0

=

=

=

t

t

t

T

b t

v v t

Z v T

La prima neta nica es

[ ] ( )( )

0 0

+= = =

T x

t

x T t t x x t A E Z z f t dt v p dt

(8)

Como se podr observar, el seguro de vida entera, es el caso lmite del seguro temporal a n aos, cuando n ; por lo tanto, la varianza de

TZ , se puede plantear de igual forma

como el caso del seguro temporal; es decir, en forma general el considerar la expresin (4),

[ ] ( )( )

0

T x

n

T tE Z z f t dt= y ( )jj

T T TE Z E b v =

, con las caractersticas especiales del

beneficio tb , se pueden definir por ejemplo seguros de tipo creciente a cada instante

( )x

I A o creciente por ao ( )x

I A , en forma semejante los de tipo decreciente, ya sea

temporales ( )1:

x n

D A o de vida entera ( )x

D A .

Existe elsegurode tipodotal puro, que otorga la suma asegurada al propio contratante encaso de sobrevivencia al final del periodo pactado al momento de la expedicin del seguroo de tipo mixto, llamado simplemente seguro dotal, que involucra la cobertura defallecimiento y de sobrevivencia.

En la prctica de los seguros de vida, se consideran valores tabulares bajo el arreglo edad(x) y probabilidad xq asociada; definidas en unatabla de mortalidady bajo el supuesto de

distribucin uniforme de siniestralidad por ao; se dice entonces que stas, estn asociada ala variable aleatoria ( )K x ya definida anteriormente.


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9

En esta virtud, definamos 1 1 1+ + +=K k kZ b v como la variable aleatoria del valor presente de la

indemnizacin a tasa fija de una unidad monetaria, 1 1+ =kb , 0,1,2,3,... =k , en

especfico, si limitamos a n periodos de cobertura el seguro, definimos entones as unseguro temporal a n aos, donde el monto de indemnizacin de una unidad es pagada alfinal del ao k+1de fallecimiento, si (x) fallece entre las edades (x+k) y (x+k+1), en formaparticular.

1

11

1

1

1 ; 0,1,..., 1

0 ; en otro caso

; 0,1,..., 1

0 ; otro caso

+

++

+

+

= =

=

= =

k

k

k

k

K

k nb

v v

v k nZ

en

Para fines ilustrativos, la siguiente grfica muestra este proceso

0 K+1 n

xx+k x+n

1 1kb + =

11 1

k

k kZ b v +

+ +=

( )K x

k1 2

X+1 X+2 x+k+1

La prima neta nica para este seguro est dada por

[ ]1

1 1 ( )0

( )n

K k K x

k

E Z z kg

+ +=

= (9)

[ ]1 1

1 1 11:

0 0

n n

k k

K x k k x x k kx nk k

A E Z v q v p q

+ ++ + +

= =

= = = (10)

El Teorema, tambin se mantiene para los seguros en donde la indemnizacin es pagada alfinal del ao del fallecimiento; realizando cambios apropiados en la notacin, por ejemplo,para el seguro temporal a n aos,

[ ] ( )22 1 1

: :x n x nVar Z A A= (11)

Donde

( )1

2 12 1

:0

nk

k x x k x nk

A e p q

+

+=

=


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10

Para unseguro de vida enteraexpedido a edad ( )x , el modelo puede obtenerse haciendo

n en el modelo para el seguro a plazo de n aos. Para la prima neta nica tenemos

1

0

k

x k x x k

k

A v p q

++

=

= (12)

multiplicando ambos lados de (12) porxl se genera

1

0

kx x x kk

l A v d

++

=

= (13)

La ecuacin (12) muestra el balance, al tiempo de expedicin de la pliza, entre el fondoagregado de primas netas nicas para xl vidas aseguradas a la edad x y el flujo de fondos

de acuerdo a sus muertes esperadas. Es una ecuacin de inters compuesto del valorestablecido sobre la base del valor esperado.

La expresin (c),

1 k x kk r

v d

++

= ,

(14)

es la parte del fondo a la expedicin que, junto con el inters a la tasa asumida, proveerlos pagos para las muertes esperadas despus del r simo ao del seguro.

La acumulacin de (14) a la tasa de inters asumida para raos produce

1k r x kk r

v d

+

+= ,

(15)

la cantidad esperada en el fondo despus de r aos del seguro. La comparacin entre laexpresin (15) con (13) demuestra que es x r x rl A+ + . La diferencia entre esta cantidad y el

fondo real se debe a desviaciones de los fallecimientos reales de los esperados de acuerdo ala tabla de mortalidad adoptada y a las desviaciones entre el ingreso real de inters y la tasahipottica asumida en el modelo.

En forma muy general el considerar la expresin (9) y el Teorema, con caractersticasespeciales del beneficio 1kb + a otorgar, se pueden definir seguros creciente por ao, en

forma semejante los de tipo decreciente, ya sea temporales o de vida entera, por ejemplo,( )

xI A , ( )

1

:x nDA , etc.

(c) El desarrollo de la expresin (14), puede simplificarse considerando el proceso formulado por el matemtico dans NikolausTetens para el clculo de primas, (1785) en su obraIntroduction to the calculation of life annuities, donde se introduce el uso desmbolos que simplifican el proceso laborioso de sumas a un valor denominado conmutacin, as por ejemplo

1 1 ; 0

+ + ++ + + +

= = =

= =

= k x kx k x k x k x k

k r kx

r r

xx

k

vv

vM v d v d c


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En las expresiones anteriores, el pago es dependiente del fallecimiento y este beneficio tb o

1kb + , se otorga a un beneficiario, lo que proporciona diversas formas de los seguros de vida.

Casos especiales del Seguro

1.- Donde slo se cubre la sobrevivencia, en este tipo de seguro, la suma asegurada seotorga al propio asegurado, denominadoseguro dotal puro a n aos, el cual prev unpago al final de n aos si y slo si el asegurado sobrevive al menos n aos desde laexpedicin de la pliza. Si el monto pagadero es una unidad, entonces

0 ;

1 ;

; 0

0 ;

;

=

>

=

=

>

t

n

t

n

t nb

t n

v v t

T nZ

v t n

(16)

El nico elemento de incertidumbre en este tipo de seguro es si ocurrir o no lareclamacin. El tamao y el tiempo del pago, si ocurre una reclamacin, estnpredeterminados. La prima neta nica se denota como 1

:x nA . En la expresin nZ v= ,

es el indicador del evento de la sobrevivencia a la edad ( )+x n . Esta tiene el

valor 1 si el asegurado sobrevive a la edad ( )+x n y 0 en otro caso. La prima neta nica

es

[ ] [ ]1:n n

n xx nA E Z v E v p= = =

y[ ] [ ]2 2= =n n n x n xVar Z v Var v p q (17)

2.- El seguro que combina la sobrevivencia y el fallecimiento, denominadoseguro dotal an aos, como ya se indic, prev una cantidad pagadera ya sea despus de la muertedel asegurado o a la sobrevivencia del mismo al final del plazo de n aos; lo que ocurraprimero. Para fines de estudio, se desarrollar cuando el seguro es por el monto de unaunidad y el beneficio por fallecimiento es pagadero en el momento de la muerte, (un

razonamiento semejante se puede aplicar cuando la suma asegurada se paga al final delaniversario anual de la pliza), entonces

1 ; 0

;

;

;

; .

=

=

>

=

>

t

t

t n

T

n

b t

v t nv

v t n

v T nZ

v T n

(18)


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12

La prima neta nica del seguro dotal a n aos se denota por :x nA para el caso de lavariable aleatoria ( )T x y : .x nA para la variable aleatoria ( )K x .

Este seguro puede ser visto como la combinacin de un seguro a plazo de n aos y deun dotal puro a n aos, cada una por el monto de una unidad; en esta virtud, definamosentonces como 1Z la variable aleatorias del seguro a plazo de n y 2Z como la variable

aleatoria de un dotal puro a n aos.

Es decir,

1

2

;

0 ;

0 ;

;

=

>

=

>

T

n

v T nZ

T n

T nZ

v T n

(19)

se sigue que

3 1 2Z Z Z= +

donde

3

;

;

=

>

T

n

v T nZ

v T n

(20)

y tomando esperanzas en ambos lados

11: : :x n x n x nA A A= + (21)

Considerando que3 1 2

Z Z Z= + , podemos determinar la varianza como

[ ] [ ] [ ] [ ]3 1 2 1 22 , .Var Z Var Z Var Z Cov Z Z = + + (22)

Mediante el uso de la relacin

[ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2 1 2, = Cov Z Z E Z Z E Z E Z (23)

y observando que la relacin entre 1 2 0Z Z = ; T, ya que uno de ellos es siempre 0 yel otro es positivo, tenemos

[ ] [ ] [ ]11

: :1 2 1 2, x n x nCov Z Z E Z E Z A A= = . (24)

Sustituyendo (7), (17) y (24) en (22), se obtiene la expresin para la [ ]3Var Z entrminos de primas netas nicas para un seguro de plazo a n aos y un dotal puro.

Finalmente, el coeficiente de correlacin de 1Z y 2Z no es -1 porque no son funcioneslineales una de la otra.


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1. En caso terico y no prctico - al menos hasta el momento, ya que la operacin delseguro de vida se centra en cubrir el fallecimiento a partir de la fecha de

expedicin de la pliza-, se tiene el llamadoseguro diferido m aos, el cual prev

una indemnizacin despus de la muerte del asegurado si y slo, si el aseguradomuere al menos m aos despus de la expedicin de la pliza. La indemnizacinque se paga y el plazo del seguro puede ser cualquiera de los consideradosanteriormente. Por ejemplo, sea un seguro de vida entera diferido a m aos, con unmonto unitario que se paga al momento del fallecimiento, por lo anterior, se tienelas siguientes variables.

1

0

0

0

t

t

t

T

t mb

t m

v v t

v T m

Z T m

>=

= >

>

=

La prima neta nica se denota por |m xA y equivale a

[ ]

|

( ) tm x T t x x t m m

A E Z z f t dt v p dt

+= = = (25)

O bien, como un seguro que inicia a edad (x+t) y con fecha de inicio de operacin aedad (x), por lo tanto depende el seguro de la sobrevivencia de (x) a edad (x+t), en estavirtud, sea = +t m s y realizando las adecuaciones necesarias en la expresin (25), se

tiene

|

++ + +=

m sm x m x s x m x m s

mA v p p ds (26)

Expresin que depende ahora del tiempo sobre s; realizando las adecuacionesnecesarias se tiene

|0

++ + += =m s

m x x mm x s x m x m s m xA v p v p ds E A (27)

Muy semejante el proceso, si fuera temporal a n-aos.1 1

| | : :0

++ + += = =n

m sm n x m x n x m nm x s x m x m s m x

A A v p v p ds E A (28)

El mismo proceso se tendra para el caso de seguros diferidos de tipo discreto.

Para fines didcticos, se muestra un resumen de los seguros ms comunes.


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14

Seguros que se pagan en forma inmediataal fallecimiento.

TABLA 1

*1 El momento j -simo es igual a la prima neta nica a j veces la fuerza de inters dada y denotada por jA para 1j> . Entonces lavarianza es 2 2A A , simblicamente.

*2. Determinada directamente a partir de la definicin, j

E Z

En forma semejante se muestra un resumen de los seguros ms comunes para segurosque se pagan al final del ao de fallecimiento.

Funcin deTipo

de SeguroBeneficios

tb

Descuento

tv

Valor Presente

tz

PrimaNetanica

MomentoSuperior

Vida Entera 1 tv t

v xA *1

Temporal a naos

1

0

t n

t n>

tv

tv ; t n

0 ; t n>

1:x nA *1

Dotal puro a n

aos

0

1

t n

t n>

nv

0 ; t n

nv ; t n>

1

:x nA *1

Dotal a naos 1t

v t n n

v t n>

tv ; t n

nv ; t n>

:x nA *1

Temporal a naos, diferidomaos

1

0

m t n m< +

,t m t n m > +

tv

tv m t n m< +

0 ,t m t n m > +

1| :m x nA

o bien

|m n xA

*1

Creciente anual

Temporal naos [ ]1

t+0

t n

t n> tv [ ]1

tt v+ ; t n

0 ; t n> ( )1:x nI A *2

Decrecienteanual Temporaln aos

[ ]n t0

t n

t n> t

v [ ]( ) tn t v ; t n

0 ; t n> ( )1

:x nD A *2

Vida EnteraCrecienteMensual

[ ]1t mm

+ tv [ ]1tv t m

m

+ ( )( )mx

I A

*2

TABLA 1

Las variables ,t tb v y tz estn definidas nicamente para 0t


15/35

15

Seguros que se pagan al finalal fallecimiento.

TABLA 2

1 1 1

, ,k k k

b v z+ + + Definidos para valores no negativos enteros de k

*1 El teorema se mantiene, por lo tanto [ ] 2 2Var Z A A= , simblicamente.*2 El teorema no se mantiene.

Funcin deTipo

de SeguroBeneficios

1+kb Descuento

1+kv Valor Presente

1+kz

PrimaNetanica

MomentoSuperior

Vida Entera 1 1kv + 1kv + xA *1

Temporal a naos

1

0

0,1,..., 1k n=

, 1,...k n n= +

1kv +

1kv + ; 0,1,..., 1k n=

0 ; , 1,...k n n= + 1:x n

A *1

Dotal a naos1

1kv + ;0,1,..., 1k n=

nv ;, 1, ...k n n= +

1kv + ; 0,1,..., 1k n= nv ; , 1, ...k n n= +

:x nA *1

Temporal a naos, diferidomaos

1

0

, 1,..., 1k m m m n= + +

0,..., 1

,...

= =

= +

k m

k m n

1kv +

1kv +

; , 1,..., 1k m m m n= + +

0,..., 10

,...

= =

= +

k m

k m n

1|:

mx n

A

o bien

|m n xA

*1

Creciente anualTemporal naos

1k+

0

0,1,..., 1k n=

, 1,...k n n= + 1kv

+ ( )

1

1 k

k v

+

+ ; 0,1,..., 1k n= 0 ; , 1,...k n n= + ( )1:x nIA

*2

Decrecienteanual Temporaln aos

n k 0

0,1,..., 1k n=

, 1,...k n n= + 1kv +

( ) 1kn k v + ; 0,1,..., 1k n=

0 ; , 1,...k n n= + ( )1:x n

DA

*2

Vida EnteraCreciente

1k+ 0,1,...k= 1kv + ( )11 kk v ++ ; 0,1,...k= ( )

xI A

*2


16/35

16

En la prctica, las tablas de mortalidad que se publican contienen usualmente tabulaciones,por edades individuales de las funciones bsicas ,, ,x x xq l d principalmente ycorresponden a edades enteras, para el caso del seguro de tipo discreto, no necesariamente

en la prctica se pagar al final del ao pliza, ya que por disposiciones normativas estepagos debe ser casi inmediato, una vez dadas las pruebas necesarias que originen su pago oindemnizacin, en esta virtud, resulta interesante determinar la aproximacin del casodiscreto al caso continuo, por la razn antes comentada.

Para tal efecto empezaremos el estudio de estas relaciones con un anlisis de la prima netanica para el seguro de vida entera que paga una unidad de beneficio al momento delfallecimiento. De la expresin (8) tenemos

0

1

0

1

00

11 1

00

.

t

x t x x t

kt

t x x t k

k

k s

k s x x k s

k

k s

k x s x k x k s

k

A v p dt

v p dt

v p ds

v p v p ds

+

+

+=

+

+ + +=

+

+ + +=

=

=

=

=

(29)

La integral de la expresin (29) puede expresarse con funciones discretas de tablas demortalidad, adoptando el supuesto acerca de la forma de la funcin de mortalidad entre las

edades (x) y (x+1), xq permanece constante dentro del intervalo de un ao, es decir, bajo elsupuesto de una distribucin uniforme de los fallecimientos sobre el ao de edad (x), setiene:

0 1s x k x k s x k p q s+ + + +=

que aplicado en la expresin (29) se obtiene

11 1

00

11

0

(1 )

k s

x k x x k

k

k

k x x k xk

A v p q i ds

iv p q s A

+

+=

+

+=

= +

= =

(30)

Por lo anterior, basta multiplicar el factor

ial seguro de tipo discreto, para aproximarlo

al caso continuo, este mismo racionamiento aplica para los seguros de tipo variable consuma asegura constante por periodo anual y de tipo continuo.


17/35


18/35

18

Observemos su analoga con la frmula de inters compuesto de la anualidad cierta de tipocontinuo.

0

nt

na v dt = (33)

Ahora bien, si estos pagos se realizan de por vida, entonces supondremos que n , loanterior, da origen a una anualidad vitalicia, donde el conjunto de pagos estarcondicionado siempre a la sobrevivencia del individuo de edad (x) en el tiempo, para estecaso se tendr:

De la expresin (31)

:

0

0

+

+

+

= =

= +

x x n t n

t

n

t x x t t xn n

t x x t x

a lm a lm a p dt a p

a p dt a p 0

(34)

De la expresin (32) y del desarrollo de la expresin (34), se tiene

: 0= x n

nt

t xa v p dt

0

x

nt

t xa v p dt =

En donde la expresin (34) tambin se puede obtener de la expresin (32), cuando n .

Pueden obtenerse las relaciones entre xa y xA expresando

1 1TT

v Za

= = =

(35)

en donde TZ v= es la variable aleatoria del valor presente para un seguro de vida enteracon 0T , obtenemos

[ ]1 1

= = =

xx

Z Aa E E (36)

Un desarrollo muy semejante se puede realizar para :x na y1

:x nA , considerando en laexpresin (35)

;

;


19/35

19

Continuando con el modelo de la anualidad vitalicia continua, estaremos interesados en

determinar la TVar a . As

2

2 2

2

1

1

1

T

T

T

x x

vVar a Var

Var v

A A

=

=

=

(37)

en donde, el segundo momento2

xA se calcula con base en la fuerza de inters 2 ,desarrollada en el caso de la expresin (7), cuando n .

Se puede observar, conforme a la equivalencia definida en la teora del inters compuesto

si,1TTa v + = (38)

Prevalece la equivalencia, al considerar la esperanza en la expresin (38) y adems estaequivalencia ya fue obtenida en la expresin (36).

1T xT xE a v a A + = + = (39)

En la tabla 3, se presenta un resumen de las principales anualidades continuas, con base ala condicin de la variable aleatoria :

TABLA 3

Nombre de la Anualidad Variable aleatoria delValor Presente

Valor presente actuarial igual a[ ]E

Anualidad vitalicia ; 0Ta T 0

tx t xa v p dt

=

Anualidad temporal a n aos

; 0

;


20/35

20

Con objeto de entender la esencia de los pagos realizados en el tiempo, asociados a laprobabilidad de sobrevivencia, consideremos el caso discreto, donde el conjunto de pagos

1ka

+&& est asociado a que sobreviva a k aos y de que fallezca dentro del ao siguiente; esta

probabilidad corresponde a la funcin de probabilidad ( )( ) x k x x kK x kg k q p q += = , as el valoresperado del conjunto de pagos a n-aos de tipo contingentes, es llamada anualidadanticipada temporal a n-aos.

[ ] ( )( )1

: 10

n

n xK xx n k nk

a E a k a pg

+=

= = +&& && && (40)

Donde

1; 0,1, 2,..., 1

; , 1,...+

= =

= +

&&

&&

K

n

a K n

a K n n (41)

El pago agregado n xna p&& , tiene su esencia del razonamiento de la expresin (2), en donde

en este caso se cubre la ltima probabilidad de sobrevivencia a n-aos y los pagosrespectivos; se puede apreciar su comportamiento en la grfica siguiente.

0 k+1

x x+k x+n

( )K x

k1 2

x+1 x+2 x+k+1

1 1 1

3

1

n-1

1 xkka q

+ &&

01 xa q&&

12 xa q&&

1 1

23 xa q&&

1 xnn

a q&&

n xna p&&

1

Grfica 1

Un razonamiento semejante, se puede desarrollar para el caso de anualidad vencida

temporal a n-aos ( ):x na .Ahora bien, si estos pagos se realizan de por vida, entonces supondremos que k , loanterior da origen a una anualidad vitalicia, donde el conjunto de pagos estarcondicionado siempre a la sobrevivencia del individuo de edad (x) en el tiempo, para estecaso se tendr:

De la expresin (40).

1

| |1 10 0

+ + = =

= + = +

&& && && && &&n

x k x n x k x xk n kkk k

a lm a q a p a q a p0

(42)


21/35

21

Del desarrollo de las expresiones (40) y (42), considerando 1 21

1 ...+

= + + + +&& kk

a v v v y

| 1+= k x k x k xq p p , se tiene

1

:0

nk

k xx nk

a v p

=

= && (43)

0

k

x k x

k

a v p

=

= && (44)

En donde la expresin (44) tambin se puede obtener de la expresin (43), cuando k .

La expresin (40), [ ]:x na E= && , se puede reformular, considerando la teora del interscompuesto, como:

1

1

1; 0,1, 2,..., 1

1 ; , 1,...

+

+

= =

= = = +

&&

&&

K

K

n

n

va K n

dv

a K n nd

(45)

A su vez.1 ; 0 0,1,2,..., 1

; , 1,...

+ = =

= +

K

n

v K nZ

v K n n (46)

es la variable aleatoria del valor presente para una unidad de seguro dotal, pagadera al finaldel ao del fallecimiento, o a la conclusin del periodo por sobrevivencia, tenemos

[ ]( ) ( ): :1 11 1x n x na E Z Ad d= = && (47)

reordenando, se obtiene

: :1+ =&&

x n x nd a A (48)

Relacin semejante al caso continuo; para calcular la varianza, podemos utilizar laexpresin (45), para obtener.

[ ] [ ] 2 22 2 : :1 1

x n x nVar Var Z A A

d d = = (49)

Donde el 2

:x nA y

:x nA son expresiones desarrollado en los puntos (18) a la (22).

Tanto en el caso de anualidades continuas como discretas, se pueden llegar a expresionesdonde se involucre algn comportamiento en la forma de otorgar la renta por periodos

definidos, por ejemplo: ( ) ( ) ( ):, , ,...mx n xxI a I a I a&& &&


22/35

22

A continuacin, se presenta en la tabla 4 un resumen de las principales anualidadesdiscretas, con base a la condicin de la variable aleatoria :

TABLA 4

Nombre de laAnualidad

Valor presente de la variable Valor presente

Actuarial [ ]E igual a

Anualidad vida entera (vitalicia)

Anticipada 1Ka +&& 0,1,2,...=K 0

k

x k x

k

a v p

=

= &&

Vencida Ka 0,1,2,...=K 1k

x k x

k

a v p

=

=

Anualidad temporal naos

Anticipada1K

a+

&&

n

a&& 0,1, 2,..., 1

, 1,...

=

= +

K n

K n n

1

:0

nk

k xx nk

a v p

=

= &&

VencidaK

n

a

a

0,1, 2,..., 1

, 1,...

=

= +

K n

K n n : 1

nk

k xx nk

a v p=

=

Anualidad vida entera (vitalicia) diferida naos

Anticipada

1

0

K na a

+ && &&

0,1, 2,..., 1

, 1,...

=

= +

K n

K n n|

k

n x k x

k n

a v p

=

= &&

Vencida 0

K na a

0,1, 2,..., 1

, 1,...

=

= +

K n

K n n|

1

k

n x k x

k n

a v p

= +

=

Las relaciones adicionales son

1+ =&&x x

d a A : : : 1x n x n x n

A v a a

= &&

x x xA v a a= && | :n x x x na a a= && && &&

: : 1+ =&&x n x nd a A ::x n

x n

n x

aSE

= &&&&

: : 11

x n x na a

= +&&

( )1

0

1 .n

n k x k

k x n

li

l

+

= +

= + 1

: : :x n x n x nA v a a= &&


23/35

23

En la prctica, las anualidades contingentes a menudo son pagadas en una base mensual,trimestral o semestral. Al igual que para la notacin anual, el valor actuarial presente deuna anualidad contingente de una unidad monetaria por ao, que es fracciona en ( )1m de

la unidad monetaria y es pagada a plazos de ( )1m de tiempo (base anual) al principio de

cada ( )1m periodo mientras ( )x sobreviva, se denota como ( )mxa&& .

Para tal efecto, debemos analizar la distribucin de , valor presente de la anualidad

anticipada, con pagos de1

m

de unidad monetaria, efectuados a cada m -simo de tiempo

es decir,1

m de ao, pero expresando la variable aleatoria en trminos de la tasa de

inters y las variables aleatorias K y ( )J T K m=

, donde representa la parteentera del desarrollo mostrado.

Para una anualidad anticipada de pagos de1

m de unidad monetaria realizados a cada

m -simo de tiempo, es decir a cada1

mde ao, se tiene:

( )

( 1) /

( 1) /

( )0

1 1

m

K J m

K J mmK J jm

mj

vv a

m d+ +

+ ++

=

= = = && (50)

el valor esperado de la variable aleatoria cuando K , es

[ ]( )

( )( )

1 mm xx m

AE a

d

= =&& (51)

Por el procedimiento de pago corriente, el valor presente de este conjunto de pagos es:

( )

0

1m h mx h m x

h

a v pm

=

= && (52)

De igual forma podramos obtener la varianza de , por lo que

( ) ( )( )

( )( )

2

( 1) / 2 ( ) ( )

2 2( ) ( )

K J m m mx x

m m

Var v A AVar

d d

+ +

= = (53)

Partiendo de la expresin (52), podemos obtener varias relaciones entre el valor presenteactuarial para m-simos de pagos anuales con pagos anuales.

( ) ( ) ( )1 m m mx x x xd a A d a A= + = +&& && (54)

Esto se sigue del hecho de que una inversin de una unidad monetaria produce inters apartir del inicio de cada periodo y pagos de la unidad al final de cada periodo, en el cual laocurre muerte.


24/35

24

La expresin (52), ( )mxa&& , puede ser simplificada aplicando la frmula de sumatoria de

Woolhouse{3}

, al trmino 0

1 h mh m x

hv pm

= , es decir suponiendo que la funcin( )/

( / )k j m

k j m xv p+

+ es lineal en j , para 0,1,2, ..., 1j m= , es este caso,

( )( )

( )

( )

1 1/ 1

1/0 0

11

1 20

11

1 11

1

2

m mk j m k k

x k x k xk j mj j

mk k k

k x k x k x

j

k k k

k x k x k x

j jv p v p v p

m m m m

jv p v p v p

m

mv p v p v p

m

+ +

++= =

+

+=

++

= +

=

=

(55)

As( )

( )

( )

1/( )

/0 0

11

0 0

1

1

2

1

2

mk j mm

x xk j mk j

k k k

k x k x k x

k k

x

a v pm

mv p v p v p

m

ma

m

+

+= =

+

+= =

=

=

=

&&

&&

(56)

Un desarrollo semejante se puede aplicar para anualidades de tipo fraccionado como:( ) ( )

:, ,&& &&m mxl nx na a etctera.

Una vez determinadas las primas nicas para segurosy anualidades podemos pasar a laconstruccin deprimas niveladas. Para este fin, utilizaremos el principio de equivalencia,de tal manera que la prima nivelada quedar definida por la condicin, de que la obligacinque asume la compaa es equivalente a la obligacin que asume el asegurado.

Hasta el momento se han construido modelos (e)en donde la tasa de inters involucrada esconstante en el tiempo y slo es considerado el efecto de la mortalidad en el tiempo enforma determinstica.

(e) Tales modelos se han desarrollan en los textos de clculo actuarial, tales como King (1902), Spurgeon (1932), Hooker y Longley-Cook (1957), Jordan (1967), Gerber (1986), Clarke (1994) y Bowers (1997), en estos tres ltimos, bajo el enfoque probabilstico dela mortalidad.


25/35

25

En forma general, elprincipio clsico, involucra en la determinacin de la prima niveladala existencia del individuo objeto de estudio, el cual se asocia al pago de la prima respectivay por otra parte debe existir la equivalencia en relacin a la obligacin que asume el ente

asegurador en caso de fallecimiento, es decir, uno compromete su pago de primas mientrasse encuentra con vida y el otro asume el riesgo por esas primas recibidas en el tiempo.

Con objeto de mostrar la esencia de esta equivalencia consideremos el caso de la prima netaanual uniforme totalmente continua para una unidad monetaria de seguro de vida entera quese paga al instante de la muerte de (x) y consideremos el siguiente principio.

Obligacin Obligacin

de la Compaa del Asegurado

a edad ( ) a edad ( )x x

=

(57)

Ahora denotemos como P a la prima pagada continuamente, la cual corresponde a laobligacin del asegurado en el tiempo, estos pagos dependern de la existencia de (x), los

cuales vistos a fecha actual, la obligacin del asegurado es ( ) x xP A a , observemos que P se le agrega entre parntesis el trmino del tipo de seguro, esto es con objeto de hacer laprecisin respectiva y por otra parte la obligacin que asume la aseguradora por estos pagosa la fecha de valuacin xA , por el principio de equivalencia a edad (x), para l expresin(57), se tiene.

( )x xxP A a A = (58)

donde la prima nivelada es

x

xx

a

AAP =)( (59)

de la expresin (58), se tiene

( ) 0 =x x xA P A a (60)Por otro lado, usando el principio de equivalencia y construyendo la variable aleatoriaasociada a estas obligaciones; y siguiendo el caso anterior, donde la prima nivelada estotalmente continua para una unidad monetaria de seguro de vida entera que se pagainmediatamente a la muerte de (x). Para cualquier P (prima pagada continuamente),

definimos( ) t

tl t v P a= (61)

Como el valor presente de la prdida del asegurador, si la muerte ocurre en el tiempo t, ypropongamos ahora la variable aleatoria de prdida,

( ) TT

L l T v P a= = (62)

correspondiente a la funcin de prdida ( )l t .


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26

Si el asegurador determina su prima mediante el principio de equivalencia, la prima se

representa por ( )xP A y es tal que

[ ] 0E L = (63)

De las expresiones (8) y (34) se sigue que

( ) 0 =x x xA P A a (64)

o

x

xx

a

AAP =)( (65)

Equivalente a la expresin (59), vista en forma clsica.

La varianza deLpuede utilizarse como una medida de la variabilidad de las prdidas en unseguro, debido a la naturaleza aleatoria del tiempo transcurrido hasta que se sobreviene lamuerte y como [ ] 0E L = , entonces

[ ] 2Var L E L = (66)Para la prdida de L , expresin (62), tenemos

( )1 TT T

T

P vVar v Pa Var v

=

+=

PPvVar T 1

+=

PvVar T 1

(67)

2

1T P

Var v

= +

( )

2

2 2

1xxP

A A

= +

.

Para la prima determinada mediante el principio de equivalencia, podemos utilizar laexpresin (66) y la equivalencia 1 + =x xa A , para rescribir la expresin (67) como

[ ]22

2( )x x

x

A AVar L

a

= (68)


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27

Cuando el pago de primas es limitado o menor al periodo de cobertura del seguro de vida,se indicar tal situacin con un subndice en lado izquierdo inferior de la prima nivelada, ennotacin general.

hP , en la tabla 5, se muestra un resumen de las principales primas

niveladas, indicndose en cada caso la componente de la prdida y la primacorrespondiente.

TABLA 5

Primas niveladas totalmente continuas

Componentes de la prdida Frmula de la prima

Tipo de plan T Tb v P Donde es[ ]

[ ]T TE b vP

E=

Seguro de vida entera 1

tv Ta ( )

xx

xAP Aa=

Seguro a plazo denaos 1 tv

0Ta , T n

na , T n> ( )

1

1 ::

:

x nx n

x n

AP A

a=

Seguro dotal anaos 1 tv 1 nv

Ta , T n

na , T n> ( ) ::

:

x nx n

x n

AP A

a=

Seguro* de vida entera ahpagos

1 tv 1 tv

Ta , T h

ha , T h> ( )

:

xh x

x h

AP A

a=

Seguro* dotal anaos conhpagos h n

1 tv

1 tv 1 nv

Ta , T h

ha , h T n< ha , T n>

( ) :::

x nh x n

x h

AP A

a=

Seguro dotal puro anaos0

1 nv Ta , T n

na , T n> ( )

1

1 ::

:

x nx n

x n

AP A

a=

Anualidad vitalicia diferida a n aos 0

T n

na v

Ta , T n

na , T n> ( )

1

:

:

x n x nn x

x n

A aP a

a

+=

Continuando con este estudio, consideraremos seguros de primas anuales, es decir, la sumaasegurada es pagadera al final del ao de la pliza en el que ocurre el fallecimiento y la

primera prima se paga a partir de la expedicin del seguro.

Las primas subsiguientes, son pagaderas mientras sobreviva el asegurado en losaniversarios de la expedicin de la pliza, durante el periodo de pago contractual de laprima.


28/35

28

A efecto de dar continuidad sobre el anlisis del seguro de tipo entero o de por vida,consideremos primas que se pagan en forma anual y que la indemnizacin en caso defallecimiento dentro del ao pliza, se efecta al final del ao de aniversario de la prima

pagada.

Este modelo no se adapta a la prctica, ya que la suma asegurada se paga una vez dadasla(s) prueba(s) del siniestro reclamado y por consiguiente se puede pensar que es de tipocontinuo, pero es de importancia histrica en el desarrollo de la teora actuarial.

Bajo estas circunstancias, la prima neta anual uniforme nivelada para una unidad monetariade un seguro de vida entero, denotado por xP , en donde la ausencia de )( xA significa que el

seguro es pagadero al final del ao de la pliza en que sucede el fallecimiento. La prdidapara este seguro es

11

kx k

L v P a+ += && ,...2,1,0=k (69)El principio de equivalencia exige que [ ] 0=E L

1

10k x kE v P E a

+

+ = &&

obtenindose

x

xx

aAP

&&= (70)

ste es el anlogo discreto de la expresin (65).

Usando la equivalencia 1+ =&&x x

d a A , con pasos semejantes a los dados para obtener la

expresin (67), se llega a

[ ]2 2

2( )

=

&&

x x

x

A AVar L

d a

(71)

Cuando el pago de primas es limitado o menor al periodo de cobertura del seguro de vida,se indicar tal situacin con un subndice en lado izquierdo inferior de la prima nivelada

h P , en la tabla 6, se presenta un resumen de las principales primas niveladas, mostrando en

cada caso la componente de la prdida y la prima correspondiente.


29/35

29

TABLA 6

Primas anuales netas totalmente discretas

Componentes de la Prdida Frmula de laprima

Tipo de plan 1 1K Kb v+ + P Donde es 1 1[ ]

[ ]K KE b vP

E

+ +=

Seguro de vida entera11 +Kv

1Ka

+&& , 0,1,2,...K= x

x

x

AP

a=

&&

Seguro a plazo denaos (Temporaln-aos)11 +Kv

01K

a+

&& , 0,1,..., 1K n=

na&& , , 1,...K n n= +

1

1:

::

x n

x nx n

AP

a=

&&

Seguro dotal anaos11 +Kv

1 nv 1K

a+

&& , 0,1,..., 1K n=

na&& , , 1,...K n n= +

:

::

x n

x nx n

A

P a=

&&

Seguro de vida entera ahpagos

11 +Kv 11 +Kv

1Ka

+&& , 0,1,..., 1K h=

ha&& , , 1,...K h h= + :

xh x

x h

AP

a=

&&

Seguro dotal anaos conhpagos h n

11 +Kv 11 +Kv

1 nv

1Ka

+&& , 0,1,..., 1K h=

ha&& , , ..., 1K h n=

ha&& , , 1,...K n n= +

::

:

x nh x n

x h

AP

a=

&&

Seguro dotal puro anaos 0

1n

v

1Ka

+&& , 0,1,..., 1K n=

na&& , , 1,...K n n= +

1

1

:

::

x n

x nx n

A

P a=

&&

Anualidad vitalicia diferida a n aos

0

1+ &&

n

K na v

1Ka

+&& , 0,1,..., 1K n=

na&& , , 1,...K n n= + ( )

1

:

:

x nx n

n x

x n

A a

P aa

+

=&&

&&

&&

Se pueden presentar casos especiales, ya que en la prctica, los seguros de vida son pagadosinmediatamente despus del fallecimiento en lugar de al final del ao en que ocurre ste,por lo tanto es necesario el pago anual deprimas netas semicontinuas.

Dichas primas, siguiendo el mismo orden utilizado en los cuadros anteriores, se denotarncomo )( xAP , 1:

( )x n

P A ,:

( )x n

P A )( xh AP y :( )h x nP A , incluso primas pagadas en forma

fraccionada en el ao y en forma limitada al periodo del seguro. Un ejemplo de lo anterior,sera el caso de un seguro dotal a n-aos, con pago de primas fraccionadas y limitadas ah-aos, h < n, donde la prima nivelada anual sera:

( )( )

::

:

m

m x nx nh

x h

AP

a=

&& (72)


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30

En el concepto de prima neta nivelada, se introdujo el principio de equivalencia, larelacin de equivalencia se establece en el momento en que se inicia un contrato entre dospartes que acceden a intercambiar un conjunto de pagos, por ejemplo.

1. En un prstamo amortizable el prestatario puede pagar una serie de pagos mensualesiguales equivalentes a un pago nico al prestamista a la fecha del prstamo.

2. Un asegurado puede pagar una serie de primas netas a un asegurador equivalente, enla fecha de la expedicin de la pliza, a la suma asegurada sobre la muerte delasegurado, o a la sobrevivencia del mismo a la fecha de vencimiento.

3. Un individuo puede adquirir una anualidad vitalicia diferida por medio de primasiguales pagaderas a una organizacin equivalente, en la fecha del contrato de

consentimiento, a pagos mensuales de la organizacin al individuo cuando esapersona sobrevive ms all de una fecha especificada.

La equivalencia en el ejemplo del prstamo est en trminos de valor presente mientrasque en los del seguro y la anualidad es una equivalencia entre dos valores presentesactuariales.

Sin embargo, despus de un periodo ya no habr equivalencia entre las dos obligacionesfinancieras futuras de las partes. El que pide prestado puede tener que seguir haciendopagos mientras que el prestamista ya cumpli con sus responsabilidades. En otros casos,ambas partes pueden todava tener obligaciones. Al asegurado puede requerrsele quepague primas netas adicionales mientras que el asegurador tiene el deber de pagar lacantidad nominal al vencimiento o muerte del asegurado. En el ejemplo sobre la anualidaddiferida, el individuo puede haber completado sus pagos mientras que la organizacintodava tiene que hacer remuneraciones mensuales.

Bajo estas ideas, el aplicar el principio de equivalencia a pagos de periodos ms all de lafecha de iniciacin, requiere un elemento de balance, ste ser una obligacin o deuda parauna de las partes y un activo para la otra.

En el caso del prstamo, el elemento de balance es la deuda principal, un activo para elprestamista y una obligacin para el prestatario.

En los otros dos ejemplos, el elemento de balance se denomina reservas de primas netas.Esta es una obligacin que deber reconocerse en cualquier estado financiero de unasegurador u organizacin de anualidades, cualquiera que sea el caso. Tambin es un activopara el asegurado o individuo que adquiera una anualidad.


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Una forma sencilla de entender este desequilibrio tcnico formado entre la prima pagada yla obligacin en el tiempo, se tiene con el siguiente ejemplo.

Si consideramos un seguro de vida entera emitido a edad (x), denotado como xA ; y el pago

de las primas como xP que denota pagos anuales y de por vida, su valor presente a la edad

(x) de esta obligacin es x xP a && ; dondex

x

x

AP

a=

&&, bajo el principio de equivalencia:

x x xA P a= && ; en el ao de expedicin de la pliza edad (x), al ao siguiente el individuo

habr envejecido un ao, es decir, ha alcanzado la edad (x+1) y vista la obligacin de pagarla prima xP a la edad (x+1) a valor presente, bajo el principio de equivalencia, se produce

la siguiente desigualdad en la ecuacin de equivalencia?

1 1x x xA P a+ + &&

Considerando la funcin definida en la expresin (61); ( ) tt

l t v P a= , del caso continuo,

que es el valor presente de la prdida del asegurador si la muerte ocurre en el tiempo t, vistabajo el principio de equivalencia a edad (x) y su variable prdida aleatoria a esa edad,tiempo 0t= , ( ) T

TL l T v Pa= = (expresin 62), modificndose para cualquier 0t> , es

decir, para el tiempo restante ( )T x t , se tiene

( )

( )

T x t

T x t

tL v P a =

(73)

Grficamente, se muestra este proceso.

0 t

x x+t

( )T x

( ) TT

L l T v Pa= =

( )T x t

( )

( ) T x t

T x t

tL v P a =

Lareserva, es la esperanza condicional, determinada sobre la distribucin del tiempo futuro

para tpara una vida de edad selectiva (x), es decir, [ ]( ) [ ]/ ( )xt tV A E L T X t = > .


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Si esta la nica informacin que se tiene entonces ( )T x t es igual a ( )T x t+ , su expresinfinal es:

( ) ( )x x t xt x tV A A P A a+ +=

El mismo efecto se tiene si introducimos la variable aleatoria U, que denota el tiempotranscurrido hasta que se sobreviene la muerte de (x+t), con la funcin de probabilidad(f.p.) dada por

0u x t x t uP u+ + +

Ahora expresemos laprdida prospectivaen el tiempo tcomo

( ) UU xtL v P A a= (74)

y la reserva de la prima neta, como la esperanza de la prdida prospectiva. Por lo tantotenemos

( ) [ ] ( )

( )U

x t

Ux xt t

x t x

V A E L E v P A E a

A P A a+

+

= =

= (75)

Esta expresin, establece que la reserva es igual al:

Valor presente actuarial para el seguro de vida entera desde la edad (x + t) menosel valor presente actuarial de las primas netas futuras por pagar a partir de la edad (x + t), a

una tasa anual de ( )xAP .

Las expresiones ( )xP A y ( )t xV A estn relacionadas. Cuando t= 0, por lo tanto al aplicarlo

en la expresin (75), se obtiene ( )0 0xV A = . Esto es una consecuencia del principio deequivalencia para el tiempo en el que se determinan las primas netas.

Mediante pasos similares a los utilizados para obtener la expresin (67), determinamos

( ) ( )1

x xU

t

P A P AL v

= +

(76)

por lo tanto

[ ] ( )

2

1 x

U

t

P AVar L Var v

= +

( )( )

2

2 21 x

x t x t

P AA A

+ +

= +

(77)


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Mediante un proceso semejante, se pueden obtener diversos casos de reservas con primastotalmente continuas a edad (x) como inicio de la expedicin del seguro, con duracin tysuma asegurada de una unidad; y de igual forma su varianza bajo el proceso mostrado en la

expresin (77).En la siguiente tabla, se muestra un resumen para diferentes tipos de seguro.

TABLA 7

Plan Notacin Frmula prospectivaSeguro de vida entera

( )xtV A ( )x t x x tA P A a+ +

Seguro temporal a n aos

( )1:x ntV A ( )1 1

: ::

0

x t n t x nx t n t

A P A a t n

t n

+ +


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Esta expresin k xV es el valor presente actuarial del seguro de vida entera desde la edad

( )x t+ menos el valor presente actuarial de las primas netas futuras xP .

En forma anloga a la expresin (77), tenemos

[ ] 1 1J xkP

Var L Var vd

+ = +

211 Jx

PVar v

d

+ = + 0, 1, 2, ...j =

(80)

Mediante un proceso semejante, se pueden obtener diversos casos de reservas totalmentediscretas, como se muestra en la tabla 8, con primas niveladas anuales a edad de expedicin

(x); temporalidad t-aos y suma asegurada de una unidad; y de igual forma su varianzabajo procesos similares a los antes vistos en el caso continuo.

TABLA 8

PlanNotacin Actuarial

InternacionalFrmula Prospectiva

Seguro de vidaentera

k xV x k x x kA P a+ + &&

Seguro temporal an aos

1 :k x n

V 1 1 : : :

0x k n k x n x k n k

A P a k n

k n+ +

funcion actuarial

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