lÍmites y continuidad.- · lÍmites y continuidad.- funciÓn real de variable real.- se llama...

INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido

Análisis MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (2º Bachillerato) HOJA-1

LÍMITES Y CONTINUIDAD.-

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL.- Se llama función real de variable real a toda función definida en un subconjunto D

de los números reales en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y solo un elemento y de R:

y)x(fx

RD:f

Normalmente se simboliza y=f(x), donde x es la variable independiente e y es la variable dependiente. Los valores que puede tomar x forman un conjunto denominado DOMINIO o conjunto inicial (D) de la función, mientras que los

valores que puede tomar y forman el conjunto llamado RECORRIDO o conjunto final (R).

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. LÍMITES LATERALES- Una función f(x) tiene límite L en un punto x=a, cuando podemos hacer

f(x) tan próximo a L como queramos, siempre que x esté suficientemente próximo al valor a, pero distinto de a. Se expresa:

L)x(flimax

Ejemplos:

Veamos que le ocurre a la función 2

)2x()x(f cuando x se acerca (“tiende”) a x=2. (Gráfica A)

x<2 1 1´5 1´9 1´99 1´999 x=2

x>2 3 2´5 2´1 2´01 2´001

f(x) 1 0´25 10-2

10-4

10-5

f(x) 1 0´25 10-2

10-4

10-5

Como vemos, cuando x se aproxima a 2 por la derecha (x2+) los valores de la función tienden a =0. Por otro lado,

cuando x se aproxima a 2 por la izquierda (x2-), los valores de la función tienden también a 0. Se expresa:

0)2x(lim2

2x

0)2x(lim

2

2x

A estos nuevos límites se les llaman límites laterales de la función. Para que exista el límite total deben existir los límites laterales y coincidir, por tanto en nuestro ejemplo, existe el

límite en x=2, y su valor es 0:

0)2x(lim2

2x

(A) (B)

Veamos un segundo ejemplo con la función

0xsi1x

0xsi2x)x(f . (Gráfica B)

¿Qué ocurre cuando nos acercamos a cero? Si hacemos igual que antes, es decir damos valores por la izquierda y la derecha, comprobaremos que sus límites laterales son:

2)x(flim0x

1)x(flim0x

En este caso no existe el límite total, ya que aunque existen los límites laterales, éstos no coinciden.




LÍMITES Y OPERACIONES CON FUNCIONES.-

1) )x(glim)x(flim)x(g)x(flimaxaxax

2) )x(glim)x(flim)x(g)x(flimaxaxax

3) 0)x(glimsiendo)x(glim

)x(flim

)x(g

)x(flim

axax

ax

ax

4) )x(flimk)x(fklim

axax 5) kklim

ax

LÍMITES INFINITOS Y EN EL INFINITO.- Veamos algunos ejemplos:

2x

1)x(f . En x=0:

20x

20x

x

1lim

x

1lim

. Por tanto: 20x x

1lim

x

1)x(f . En x=0:

x

1lim

x

1lim

0x

0x. Por tanto no existe el límite en x=0.

Además, en esta última función tenemos que: 0x

1lim

x

y 0

x

1lim

x

.

EJERCICIO.- Observando la gráfica de la función y=f(x) calcula el valor de los siguientes límites:

a) )x(flim5x

b) )x(flim5x

c) )x(flim1x

d) )x(flim1x

e) )x(flim2x

f) )x(flim2x

g) )x(flim5x

h) )x(flim5x

i) )x(flimx




INDETERMINACIONES.- En el cálculo de límites hay casos en los que no se pueden aplicar directamente las propiedades anteriores, son las llamadas indeterminaciones, veamos los casos principales:

Indeterminación 0

L.- En este caso calculamos los límites laterales. Si son iguales, la función tiene por límites + o -

, y si son distintos, la función no tiene límite.

Ej.: x

1lim

0x

x

1lim

0x . No existe límite en x=0.

Indeterminación 0

0.- Se resuelve factorizando si son funciones racionales (polinomio partido por otro), o multiplicando

arriba y abajo por el conjugado si son funciones con radicales. Posteriormente se simplifica.

Ej.: Función racional 2)1x(lim1x

)1x()1x(lim

0

0

1x

1xlim

1x1x

2

1x

Función con radicales 4

1

2x

1lim

)2x()4x(

)2x()2x(lim

0

0

4x

2xlim

4x4x4x

Indeterminación

.- Se resuelve dividiendo numerador y denominador por x elevada a la máxima potencia que

aparece en la función.

Ej.: 3

1

03

001

x

13

x

1

x

11

lim

x

1

x

x3

x

1

x

x

x

x

lim1x3

1xxlim

2

2

x

22

2

222

2

x2

2

x

Indeterminación .- Se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado.

Ej.:

xxx

xlim

xxx

xxxlim

xxx

)xxx()xxx(lim)xxx(lim

2x2

22

x2

22

x

2

x

Cómo vemos se llega a otra indeterminación que habrá que resolver según sabemos (¡ojo!, la máxima potencia es 1, ya que x

2

va dentro de la raíz cuadrada):

2

1

101

1

1x

11

1lim

x

x

x

x

x

x

x

x

lim

xxx

xlim

x

22

2x2x

EJERCICIO: Pág. 139 el 1, 2-a-c y 4-b-d-f / pág. 140 el 1, 2-a-c / pág. 143 el 3 / pág. 150 el 8-d (libro), CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.-

Idea intuitiva.- Una función es continua en un punto cuando a pequeñas variaciones de la variable independiente (x)

corresponden pequeñas variaciones de la variable dependiente (y). Definición.- Una función y=f(x) es continua en un punto x=a si cumple las siguientes condiciones:

1) Existe )a(f

2) Existe )x(flimax

3) Ambos coinciden )a(f)x(flimax

Cuando alguna de estas condiciones no se cumplen, diremos que la función es discontinua en x=a.




Una función se dice que es continua en un intervalo, cuando es continua en todos los puntos de dicho intervalo.

Cuando el intervalo coincide con el propio dominio se dice que la función es continua.

Ej.: Estudiemos la continuidad de la función,

1xsi2x

1xsi1x2)x(f , en el punto xo=1. (Dibujar gráfica)

1)2x(lim)x(flim

3)1x2(lim)x(flim

1x1x

1x1x

. Luego no existe )x(flim1x

, por tanto no es continua en x=1.

EJERCICIO: Pág. 151 el 12, 13-b, 14-a, 15 y 19 (libro). TIPOS DE DISCONTINUIDAD.- Como decíamos antes, una función se dice que es discontinua cuando no cumple alguna de

las tres condiciones anteriores. Dependiendo de cuál de ellas sea tendremos varios tipos de discontinuidades:

TIPO CONDICIÓN EJEMPLO GRÁFICA

Dis

co

nti

nu

ida

d

evit

ab

le

Existe )x(flimax

, pero:

No existe )a(f

ó

si existe, es )x(flim)a(fax

NOTA.- Ocurre una de las dos cosas

2x

4x)x(f

2

Existe )x(flim2x

, ya que 4)x(flim)x(flim2x2x

.

Pero, no existe f(2). Por tanto en x=2 tiene una discontinuidad evitable.

La función se podría hacer continua:

2xsi4

2xsi2x

4x

)x(f

2

(A)

Dis

co

nti

nu

ida

d

no

evit

ab

le o

esen

cia

l

Pri

mera

esp

ecie

ó

de

salt

o

No existe )x(flimax

, ya que

existen )x(flimy)x(flimaxax

pero )x(flim)x(flimaxax

Salto= )x(flim)x(flimaxax

0xsix

0xsi1)x(h 2

Existen 1)x(flimy0)x(flim0x0x

, pero no coinciden, es

una discontinuidad no evitable de primera especie.

El salto es 110)x(flim)x(flim0x0x

(B)

Seg

un

da

esp

ecie

No existe )x(flimax

,

ya que al menos,

uno de los límites laterales

no existe

x

xln)x(h .

En x=0, existe

)x(flim0x

pero no existe por la izquierda.

Tiene una discontinuidad no evitable de segunda especie.

(C)

EJERCICIOS: pág. 152 el 27, 35 y 36 (libro).

(A) (B) (C)




DERIVADAS DE FUNCIONES.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.-

Definición.- Dada una función y=f(x) y un punto x=a, se define la derivada de la función f(x) en el punto x=a, y se designa

f´(a), como el valor del siguiente límite: ax

)a(f)x(flim)a´(f

ax

.

Por comodidad a la hora de hacer los cálculos se suele definir h=x-a. De esta forma el límite queda:

h

)a(f)ha(flim)a´(f

oh

.

Ej.: Calculemos la derivada de la función, 2

x)x(f , en x=3:

6)6h(limh

)6h(hlim

h

h6hlim

h

9h6h9lim

h

3)h3(lim

h

)3(f)h3(flim)3´(f

0h0h

2

0h

2

0h

22

0h0h

Otros ejemplos: Con la función anterior, calcular )5(f . Para 3x2)x(f2 , calcular )2(fy)1(f .

DERIVADAS LATERALES.- Como hemos visto la derivada se define a través de un límite, por lo tanto, para que exista la

derivada (o el límite) deben existir los límites laterales, a dichos límites se les llama derivadas laterales:

h

)a(f)ha(flim

ax

)a(f)x(flim)a´(f

0hax

Derivada por la derecha de la función f(x) en el punto x=a.

h

)a(f)ha(flim

ax

)a(f)x(flim)a´(f

0hax

Derivada por la izquierda de la función f(x) en el punto x=a.

La función f(x) es derivable en x=a cuando existen sus derivadas laterales en dicho punto, y ambas coinciden.

Ej.: ¿Es derivable la función 1x)x(f en el punto x=1 ?

En primer lugar recordemos que

1xsi1x

1xsi1x

01xsi)1x(

01xsi1x1x)x(f .

Calculamos: 11x

01xlim

1x

)1(f)x(flim)1´(f

1x1x

1

1x

01xlim

1x

)1(f)x(flim)1´(f

1x1x

Por tanto )1´(f)1´(f , es decir f(x) no es derivable en x=1.

Otro ejemplo: Estudiar si

2xsix2x

2xsi8x)x(f

2

3

es derivable en x=2. NOTA.- Derivar directamente, sin límites

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD.- Se puede demostrar que:

Toda función derivable es también continua. Una función continua no siempre es derivable.

NOTA.- Si una función no es continua no es derivable.

EJERCICIO: Pág. 159 el 5 y 7 (libro).




FUNCIÓN DERIVADA.- Definición.- Cuando una función es derivable en su dominio D, podemos definir una nueva función f´(x), que llamamos

función derivada, y que asocia a cada valor x del dominio la derivada en dicho punto.

Ej.: Calculemos la función derivada de 1x)x(f2 :

h

xh2hlim

h

1x1xh2hxlim

h

)1x(1)hx(lim

h

)x(f)hx(flim)x´(f

2

0h

222

0h

22

0h0h

x2)x2h(limh

)x2h(hlim

0h0h

.

Calcular ),x(f),x(f ... etc.

De la misma forma se pueden calcular la función 2ª derivada, f´´(x), 3ª derivada, f´´´(x), etc...

EJERCICIO: pág. 162 el 1® (libro).




PRINCIPALES REGLAS DE DERIVADAS

FUNCIÓN SIMPLE DERIVADA FUNCIÓN COMPUESTA DERIVADA

.cteky 0y

xy 1y

)x(v)x(uy )x(v)x(uy

)x(uky )x(uky

)x(v)x(uy )x(v)x(u)x(v)x(uy

)x(v

)x(uy

)x(v

)x(v)x(u)x(v)x(uy

2

nxy

1nxny

)x(uyn )x(u)x(uny

1n

xey

xey

)x(uey )x(uey

)x(u

xay alnay

x )x(u

ay )x(ualnay)x(u

xlny x

1y )x(ulny

)x(u

)x(u)x(u

)x(u

1y

xlogy a elogx

1y a )x(ulogy a )x(uelog

)x(u

1y a

xseny

xcosy

)x(useny

)x´(u)x(ucosy

xcosy

xseny

)x(ucosy

)x´(u)x(useny

xtgy xcos

1y

2

)x(utgy

)x´(u)x(ucos

1y

2

EJERCICIOS: pág. 163 el 1 (algunos) y 5 (libro).




Repaso.- FORMAS DE EXPRESAR LA ECUACIÓN DE UNA RECTA.-

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.- Algunas veces necesitamos calcular la ecuación de una recta conocidos dos puntos de esta. La expresión viene dada por:

Sean P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2), la ecuación de la recta que pasa por ellos es 12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

Ecuación implícita o general.- 0CByAx

Ecuación explícita o punto pendiente.- nmxy , donde “m” es la pendiente y “n” la ordenada en el origen.

Ecuación punto-pendiente.- )xx(myy 00

*** HACER ALGÚNOS EJERCICIOS SIMPLES DE ECUACIONES DE LA RECTA *** INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.- La derivada de una función f(x) en un punto x=a, coincide con la

pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.

RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO.- Dada la función y=f(x), las ecuaciones de las

rectas tangente y normal a la curva en el punto x=a, son:

Recta tangente )ax()a´(f)a(f)x(f Recta normal )ax()a´(f

1)a(f)x(f

Ej.: Calculemos la recta tangente y la recta normal a la curva 10x8x)x(f2 , en x=-2:

Calculo 301016410)2(8)2()2(f2

12848)2(2)2´(f8x2)x´(f .

Por tanto:

Recta tangente )2x()12(30y Recta norma )2x()12(

130y

.

EJERCICIOS: pág. 175 el 1-a-d (libro).

DERIVACIÓN LOGARÍTMICA.- Veamos un ejemplo con la función: x

xy :

Tomando logaritmos y aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia: xlnxylnxlnylnx .

Derivando y despejando: xx1xlnyy1xlny

x

1xxln1

y

y

EJERCICIOS: pág. 169 el 24-b y 26-d (libro).

f(x)=4-x2




ESTUDIO DE FUNCIONES. OPTIMIZACIÓN.-

Para representar una función es necesario conocer una serie de información referente a ella. Veamos cual: DOMINIO.-

Definición.- Es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente de una función. Se simboliza con D.

Dominios de las principales funciones.- Veamos cual es el dominio de las siguientes funciones:

Funciones polinómicas: D=R= ),(

Funciones racionales )x(Q

)x(P)x(f , P(x) y Q(x) polinomios: D=R- {valores que anulan el denominador}

Funciones con radicales: a) Radicales de índice par: D=R-{valores que hagan negativo el radicando}

b) Radiales de índice impar: D=R

Funciones logarítmicas: D=R-{valores que hagan negativo ó cero lo que acompaña al logaritmo}

PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES.- Dos tipos:

Con el eje X: y=0

Con el eje Y: x=0

REGIONES DEL PLANO DONDE EXISTE LA FUNCIÓN.- Consiste en saber que regiones del plano ocupa nuestra función,

para ello estudiamos el signo en cada uno de los intervalos que forman los puntos de corte en el eje X.

Ej.: Estudiemos las regiones donde existe la función 1x

4xy

2

.

Buscamos las raíces de los polinomios del numerador y del denominador, son arriba 2 y –2, abajo –1.

Factorizamos arriba y abajo: 1x

)2x()2x(

1x

4xy

2

Las raíces anteriores dividen la recta real en cuatro intervalos, estudiemos el signo de cada uno de ellos:

),2(

)2,1(

)1,2(

)2,(

Ejemplo: Calcular los puntos de corte de la función 3x)x(f2 .

En el primero sale negativo, luego no va por arriba del eje. En el segundo da positivo, por tanto no va por debajo. Así sucesivamente vamos descartando las zonas donde no habrá función.




SIMETRÍAS.- Las funciones pueden presentar dos tipos de simetrías:

Simetría respecto al eje OY: f(x)=f(-x) . Se llama función PAR. Ejemplo: 2

x)x(f .

Simetría respecto del origen: f(x)=-f(-x) .Se llama función IMPAR. Ejemplo: 3

x)x(f .

PERIODICIDAD.- La función y=f(x) es periódica cuando cumple: f(x)=f(x+p) , siendo p el periodo.

EJERCICIOS: pág. 195 el 1 –algunos- / pág. 196 el 3 –algunos- (libro).

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO.-

Creciente.- Una función es creciente en un intervalo (a,b) cuando para todo par de puntos

)x(f)x(fxxsi),b,a(x,x 212121

Decreciente.- Una función es decreciente en un intervalo (a,b) cuando para todo par de puntos

)x(f)x(fxxsi),b,a(x,x 212121

Intervalos de monotonía.- Son los intervalos donde una función es creciente y decreciente.

Según la definición de función derivada: ax

)a(f)x(flim)a´(f

ax

, en nuestro caso podemos formar el cociente

12

12

xx

)x(f)x(f

que coincide con el cociente que aparece en la derivada. El signo de dicho cociente es:

Función creciente:

12

12

xx

)x(f)x(f Función decreciente:

12

12

xx

)x(f)x(f

Podemos concluir diciendo:

Dada una función y=f(x), derivable en un intervalo (a,b):

Si )x(f),b,a(,0)x´(f es creciente en dicho intervalo

Si )x(f),b,a(,0)x´(f es decreciente en dicho intervalo

Si )x(f),b,a(,0)x´(f es constante en dicho intervalo

Cuando estudiamos si una función es creciente o decreciente se dice que estudiamos su MONOTONÍA.

EJERCICIO: pág. 176 el 2 (libro).

MÁXIMOS Y MÍNIMOS.- Se puede demostrar que:

Dada una función y=f(x), derivable en x=a y con f¨(a)=0 :

Si 0)a´´(f , la función tiene un máximo relativo en el punto x=a

Si 0)a´´(f , la función tiene un mínimo relativo en el punto x=a

Cuando una función tiene varios máximos relativos, al mayor de todos se le llama máximo absoluto de la función. Cuando una función tiene varios mínimos relativos, al menor de todos se le llama mínimo absoluto de la función.


EJERCICIOS: pág. 188 el 17 y 18 (libro).




CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD.-

Dada una función y=f(x), derivable en un intervalo (a,b):

Si )x(f),b,a(,0)x´´(f es convexa en dicho intervalo

Si )x(f),b,a(,0)x´´(f es cóncava en dicho intervalo

Cuando estudiamos si una función es cóncava o convexa se dice que estudiamos su CURVATURA.

NOTA.- El criterio que seguimos es observando la función desde abajo.

Vistas desde abajo


PUNTO DE INFLEXIÓN.- Es el punto donde la función cambia de cóncava a convexa, o viceversa. En estos casos la

tangente atraviesa la curva.

Dada una función y=f(x) derivable en x=a y con f¨(a)=f´´(a)=0 . Si 0)a´´´(f la función tiene en x=a un punto de

inflexión.

EJERCICIO: pág. 188 el 13-c-d (libro).




GENERALIZACIÓN DE LAS REGLAS ANTERIORES.-

Si en una función 0)a(f....)a(f)a(f)a(f)1n y 0)a(f

)n , dicha función tiene un:

- Máximo o Mínimo si n es par

- Punto de inflexión si n es impar.

ASÍNTOTAS.- Son rectas a las que se acerca la función sin llegar nunca a tocarla. Pueden ser de tres tipos:

Asíntotas horizontales.- La función y=f(x) tiene por asíntota horizontal la recta y=b cuando existe al menos uno

de los límites laterales de la función cuando x tiende a o , siendo el valor del límite b.

b)x(flimx

b)x(flimx

Asíntotas verticales.- La función y=f(x) tiene por asíntota vertical recta x=a cuando existe al menos uno de los

límites laterales de la función en dicho punto, siendo el valor del límite o .

o)x(flimax

o)x(flimax

Asíntotas oblicuas.- La recta nmxy es una asíntota oblicua de la función y=f(x), cuando se pueden calcular

y son nitos los límites siguientes: )0m(x

)x(flimm

x

mx)x(flimn

x

EJERCICIOS: pág. 204 el 1® -solo asíntotas- / pág. 205 el 1-b –solo asíntotas- (libro).

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES.- Se trata de poner en práctica cada uno de los apartados que se han ido

estudiando con objeto de conseguir la mayor información posible para poder dibujar la gráfica de la función.

Ej.: Dibujar la gráfica de la función x

1x)x(f

2

EJERCICIOS: pág. 215 el 11-d (libro).

Estudiar cada uno de los apartados

vistos anteriormente, para obtener la siguiente

gráfica.

NOTA.-

Si tiene asíntotas horizontal

por un lado,

derecha o izquierda, no tiene

asíntotas oblicuas por ese

lado.




OPTIMIZACIÓN.- Existen muchas situaciones en las que es conveniente optimizar una función (maximizarla o minimizarla).

Para ello se suelen seguir los siguientes pasos:

1) Se determina la función que se va a optimizar. 2) Se expresa en función de una sola variable. 3) Se calculan los máximos y mínimos de la función. 4) Se interpretan los datos en el contexto del problema.

EJERCICIOS: pág. 215 el 18-a, 19 y 20-c (libro).

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