la derivada de una función real
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LecturaUnidad de Aprendizaje 3
Sitio: Universidad Privada Telesup
Curso: Análisis Matemático - SI/02/132/TOA
Libro: Lectura
Imprimido por: SAENZ LAZO CARLOS ENRIQUE
Fecha: lunes, 14 de octubre de 2013, 23:24
Tabla de contenidos
Introducción
Tema 01
Tema 02
Tema 03
Tema 04
INTRODUCCIÓN
a) Presentación y contextualización
Los temas que se tratan en la presente unidad temática, tienen por finalidad que elestudiante comprenda la Derivada, así como formular apreciaciones críticas sobre losdiversos conceptos desarrollados.
b) Competencia
Reconoce, relaciona, evalúa, analiza y aplica la derivada de una función, utilizandoadecuadamente las propiedades de la derivación.
c) Capacidades
Deduce y contrasta la derivada de una función real.Determina adecuadamente las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.Identifica las derivadas trigonométricas y sus inversas.Reconoce, analiza y determina la derivación implícita.
d) Actitudes
Muestra interés y persevera en buscar conexiones entre las derivadas, las situaciones dela vida cotidiana y los conocimientos matemáticos.
e) Ideas básicas y contenidos esenciales de la Unidad:
La UNIDAD DE APRENDIZAJE 3: “LA DERIVADA” comprende el desarrollo de lossiguientes temas:
La Derivada de una Función Real.Derivadas de Funciones Exponenciales y LogarítmicasDerivadas Trigonométricas y sus Inversas.Derivada de una función implícita.
Tema 1: La Derivada de una Función Real
Tema 2: Derivadas de Funciones Exponenciales y Algorítmicas
DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES
La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades desu derivada. En particular,
Es decir, ex es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de lafunción exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:
La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.
La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.
La función es solución de la ecuación diferencial y' = y.
Si la base de la exponencial no es el número e, sino otro número real arbitrario a mayor que 0,entonces la derivada de ésta es:
Donde la función la denota el logaritmo natural.6
DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARITMO
Aunque la derivada de una función algebraica es siempre algebraica, la derivada de una funcióntranscendental no tiene por que ser transcendental.
REGLAS PARA LA DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMO NATURAL
Tema 3: Derivadas Trigonométricas y sus Inversas
La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar elritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir,la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funcionessin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sin(x), se está calculando la función f'(x)tal que da el ritmo de cambio del sin(x) en cada punto x.
DERIVADA DE LA FUNCIÓN SENO
Tema 4: Derivada de una Función Implícita
EL MÉTODO DE REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES IMPLÍCITAS
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo,cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
FUNCIONES EXPLÍCITAS Y FUNCIONES IMPLÍCITAS
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita,
Si queremoshallar la derivadapara esta últimaecuación, lohacemosdespejando y,así, y = 1 / x = x-1, obteniendo suderivadafácilmente:
como en la ecuación
dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario,
están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra
despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resultamuy difícil despejar y como función explícita de x?
