función derivada
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Facultad de Educación
MÁSTER UNIVERSITARIO EN FORMACIÓN DEL
PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA
Los conceptos matemáticos de función y de derivada en el proceso
de enseñanza-aprendizaje de la asignatura de Economía
The mathematical concepts of function and derivative in the
process of teaching-learning inside Economics
Alumna: Patricia Ruiz Pelayo
Especialidad: Economía, Administración y Gestión y FOL
Directores: Pedro Álvarez Causelo y Mario Fioravanti Villanueva
Curso académico: 2015-2016
Fecha: 24 de junio de 2016
Patricia Ruiz Pelayo Curso 2015 – 2016
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Abstract
The aim of this work is to analyze the difficulties and obstacles that students face
in their process of teaching-learning the concepts of function and derivative inside
Economics.
Regardless of its economic application, most students have learned to work with
these mathematical concepts, though in most cases, they have not internalized
its meaning, as well as the profits they have towards their interpretation and use
in their daily lives
On equal way, the students generally, do not link automatically a process with
the idea of derivative, they are often not able to associate external situations to
what they have seen in the classroom.
Key words: function, derivative, process of teaching-learning, Economics
Resumen
El objetivo de este trabajo es analizar las dificultades y obstáculos a los que se
enfrentan los alumnos de primero de Bachillerato en el proceso de aprendizaje
de los conceptos de función y de derivada, especialmente, en la enseñanza de
la asignatura de Economía.
Con independencia de su aplicación económica, la mayoría de los estudiantes
han aprendido a trabajar con estos conceptos matemáticos, aunque en la
mayoría de los casos, no han interiorizado su significado, así como las utilidades
que éstos poseen de cara a su interpretación y uso en su vida diaria. De igual
manera, los estudiantes generalmente, no vinculan automáticamente un proceso
con la idea de derivada, no suelen ser capaces de asociar situaciones ajenas a
las vistas en el aula.
Palabras clave: función, derivada, proceso de enseñanza-aprendizaje,
economía.
El proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura de Economía a través de los
conceptos matemáticos de función y derivada
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Índice
1. Introducción.................................................................................................... 4
2.Obstáculos y dificultades en el proceso de aprendizaje de los conceptos de
función y de derivada ......................................................................................... 5
2.2 Evolución del modelo de enseñanza de las matemáticas ......................... 5
2.2 Obstáculos en el aprendizaje de los conceptos de matemáticos .............. 6
2.3 Dificultades del aprendizaje del concepto de función ................................ 7
2.4 Dificultades del aprendizaje del concepto de derivada ........................... 13
2.5 Conclusiones del marco teórico .............................................................. 17
3. Los conceptos de función y de derivada en 1º de Bachillerato .................... 19
3.1 Los conocimientos previos con los que acceden los estudiantes a
Bachillerato y el contenido de Matemáticas para las CCSS I en relación con
los conceptos de derivada y de función. ....................................................... 19
3.2 El uso de los conceptos de función y de derivada en la asignatura de
Economía de 1º de Bachillerato. ................................................................... 22
4. Evaluación del grado de comprensión de los conceptos de función y de
derivada por los alumnos de 1º de Bachillerato ............................................... 24
5. Propuesta didáctica: los conceptos de función y derivada en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de los costes y beneficios .......................................... 30
6. Conclusiones y valoración personal ............................................................. 41
7. Bibliografía ................................................................................................... 43
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1. Introducción
Al comienzo de los grados de Administración y Dirección de Empresas y de
Economía, muchos alumnos presentan dificultades en la comprensión de
conceptos microeconómicos cuando se recurre a los conceptos matemáticos de
función y de derivada.
Esta situación, que pudiera considerarse propia de alumnos que han accedido a
cualquiera de los dos grados sin haber cursado en Bachillerato la asignatura de
Economía, es común a su vez en aquellos que sí habían estado matriculados.
Muchos profesores universitarios detectan dificultades en la comprensión de
determinados términos económicos, cuando introducen los conceptos
matemáticos de función y de derivada. Expresiones sencillas, como son los
casos de las funciones de oferta y demanda, o de costes e ingresos de una
empresa, presentan grandes dificultades en su proceso de comprensión a través
de las representaciones matemáticas (tabla, gráfica, función y verbal).
Ante este hecho y dado que mis prácticas las he realizado en el departamento
de Economía de un Instituto de Educación Secundaria, he podido ver de primera
mano que es lo que sucede en el aula, los recursos didácticos y la metodología
que comúnmente se emplea para explicar estos conceptos.
Este documento se estructura en cuatro grandes bloques. El primero se centra
en el análisis de las dificultades y obstáculos a las que se enfrentan los alumnos
en el proceso de aprendizaje de los conceptos de función y derivada.
Posteriormente, se realiza una aproximación a los conocimientos previos con los
que los estudiantes acceden a primero de Bachillerato, así como los
conocimientos matemáticos asociados a los conceptos de función y derivada que
adquieren en la asignatura de Matemáticas para las Ciencias Sociales en dicho
curso. A continuación, con la intención de identificar el grado de comprensión
de ambos conceptos matemáticos, se ha elaborado un cuestionario para
alumnos de dicho nivel educativo. Finalmente, se proponen dos sesiones
vinculadas a los conceptos de costes, ingresos y beneficios, en donde se
trabajan la comprensión de la función y de la derivada.
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conceptos matemáticos de función y derivada
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2.Obstáculos y dificultades en el proceso de aprendizaje de los
conceptos de función y de derivada
Es bien sabido que las ciencias sociales se apoyan en conceptos matemáticos
como los de función o derivada, para construir el conocimiento económico.
A lo largo del proceso de aprendizaje, los alumnos generalmente interiorizan la
operativa que se requiere para trabajar los conceptos matemáticos, frente a la
asimilación del concepto y su posterior interpretación. Esta situación dificulta el
estudio y la posterior interpretación de los conceptos económicos expresados
matemáticamente. Los alumnos generalmente, saben cómo operar las funciones
o las derivadas, pero no han interiorizado las utilidades, o la forma de razonar e
interpretar los resultados obtenidos a partir de sus cálculos.
Diversas investigaciones sobre la comprensión de la derivada y de la función,
ponen de manifiesto que, para lograr su correcta asimilación, los estudiantes
deben aprender a establecer relaciones entre los diferentes elementos
matemáticos que constituyen los conceptos económicos (Sánchez-Matamoros,
García, & Llinares, 2008).
2.2 Evolución del modelo de enseñanza de las matemáticas
En la ESO y el Bachillerato es común presentar la función como una regla en la
que un único valor de la variable dependiente corresponde a cada valor de la
variable independiente. Igualmente, y aunque el profesor no lo dice de forma
literal, sus alumnos entienden que la gráfica es un camino. No es válido entender
el concepto de "función", si no se asimila su significado a través de su uso.
El concepto de función se presenta de una manera descontextualizada,
empleándose los problemas únicamente para la concreción del concepto de
función, en lugar de utilizarlos para la construcción del propio concepto.
Por su parte, la metodología empleada en las aulas no universitarias se centra
en reforzar: el deductivismo exagerado, las definiciones formalizadas, el exceso
de generalización y las matemáticas por las matemáticas. Prevalecen las
enseñanzas teóricas acabadas, carentes de demostraciones deductivas, en
donde prima el nivel de abstracción y generalización.
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Con el paso de los años, ha surgido una nueva perspectiva que contextualiza la
función a través de situaciones cotidianas, que favorecen su asimilación.
El siguiente fragmento extraído del libro de Matemáticas aplicadas a las Ciencias
Sociales de primero de bachillerato, trata de dar sentido al concepto de función:
“El estudio de las propiedades de las funciones está presente en todo tipo
de funciones observables a nuestro alrededor. Así podemos citar,
fenómenos sociales relacionados con crecimientos demográficos,
fenómenos económicos relacionados con inflación y capitalización de
dinero, fenómenos naturales como la reproducción de especies vegetales
y animales.” (González Garcia, Llorente Medrano, & Ruiz Jiménez, 2008)
A lo largo de este apartado, se exponen los principales obstáculos y dificultades
en el proceso de aprendizaje de los conceptos de función y de derivada.
2.2 Obstáculos en el aprendizaje de los conceptos de matemáticos
Este apartado ha sido elaborado a partir de la tesis doctoral: “El proceso de
aprendizaje de los conceptos de función y extremo en estudiantes de economía:
análisis de una innovación didáctica”, elaborada por Abraham Cuesta Borges.
Brousseau afirmaba que el objetivo principal de la didáctica es el de estudiar las
condiciones que deben rellenar las situaciones propuestas a los alumnos. A
continuación, se presentan las conclusiones extraídas por varios autores,
quienes han analizado los obstáculos y dificultades que se producen en el
proceso de aprendizaje de los conceptos matemáticos (Brousseau, 1983).
Artigue vincula las dificultades con las concepciones previas del alumno,
considerando los nuevos conceptos como inadecuados (Artigue, 1990).
Parece adecuado pensar desde el prisma de la matemática que la asistencia de
un obstáculo cognitivo está vinculado a la definición de los objetos matemáticos,
a partir de su representación y las ideas previas del estudiante. Por su parte,
Vinner afirma que el esquema conceptual que posee el estudiante puede no
asociarse a la definición conceptual, y generar así un obstáculo (Vinner, 1991).
Dreyfus, por su parte, hace hincapié en el hecho de que los estudiantes
frecuentemente se limitan a trabajar en una única representación, generalmente
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la algebraica, dejando de lado otras representaciones capaces de enriquecer su
grado de comprensión e interpretación. Por ello, apuesta por el uso de diferentes
representaciones con la intención de que los estudiantes logren el tránsito de la
comprensión desde lo concreto, hacia lo más abstracto del concepto (Dreyfus,
1991).
Una de las dificultades más comunes para los estudiantes surge al pasar de las
funciones entendidas como un proceso, a las que poseen una finalidad
matemática. En el proceso de enseñanza, se espera que los estudiantes
alcancen las capacidades que les permitan utilizar el conocimiento aprendido, en
la resolución de problemas distintos a los del aula. Es necesario favorecer
comprensión e interiorización de los conceptos en situaciones de la vida real.
Para lograr este propósito y favorecer este proceso de aprendizaje, Dreyfus
establece cuatro etapas para su correcto desarrollo (Dreyfus, 1991):
1. Usar una representación
2. Usar varias representaciones en paralelo
3. Realizar nexos entre representaciones
4. Integrar las representaciones y flexibilizar los cambios entre ellas
Éstas serán consideradas posteriormente a través de la propuesta didáctica.
2.3 Dificultades del aprendizaje del concepto de función
Este apartado está inspirado a su vez en la tesis doctoral: “El proceso de
aprendizaje de los conceptos de función y extremo en estudiantes de economía:
análisis de una innovación didáctica”, elaborada por Abraham Cuesta Borges.
Existe una amplia variedad de obstáculos y dificultades en el aprendizaje de los
conceptos asociados a las funciones, desde una etapa inicial de comprensión en
donde el concepto es concebido de manera intuitiva, a otra etapa donde el
concepto se especifica mediante una definición formal a través de la deducción
lógica. Dreyfus y Eisenberg señalan la existencia de tres dificultades en el
aprendizaje del concepto de función motivadas por (Dreyfus & Eisenberg, 1982):
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1. Su relación con otros conceptos matemáticos como: dominio, imagen,
crecimiento, decrecimiento y extremos; todos ellos necesarios para
determinar el concepto la función.
2. La relación que posee el concepto de función con otros campos de la
matemática, como la geometría y el álgebra.
3. La existencia de una amplia gama de lenguajes de representación del
concepto la función: descripción verbal, tabla de valores, gráficas,
expresiones y diagramas.
En el ámbito de las funciones y gráficas, Leinhardt, Zaslavky y Stein, analizan la
naturaleza del aprendizaje en términos de intuiciones y errores conceptuales de
los estudiantes, así como las posibles aproximaciones a la enseñanza a través
de explicaciones y ejemplos. Consideran que las intuiciones están vinculadas a
dos maneras de definir la función (Leinhardt, Zaslavsky, & Stein, 1990). Exponen
así que:
El proceso de aprendizaje está especialmente dirigido a potenciar en los
estudiantes habilidades cuantitativas y abstractas.
Las intuiciones basadas en el conocimiento del estudiante en torno a las
situaciones reales son exitosas cuando son razonadas gráficamente.
Una aproximación más cualitativa, abordar y entender la gráfica como una
expresión de dos variables que interactúan y cambian, puede relacionarse
y aprovechar el sentido común y las intuiciones de los estudiantes.
En lo que respecta a los errores conceptuales, se confirma que:
Los estudiantes poseen una visión restringida sobre las funciones. Con
frecuencia sólo identifican gráficas sencillas como modelos de función y
se fracasa al tener que decidir si una gráfica representa o no una función,
"conociendo" la definición exacta de función.
Existe fuerte tendencia hacia la linealidad y/o sus propiedades, en una
variedad de situaciones.
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A menudo el estudiante necesita que los elementos de los conjuntos estén
relacionados uno a uno, mientras que se observan dificultades con las
correspondencias muchos a uno. En muchos casos se iguala el concepto
de dependencia con el concepto de conexión causal.
Existen dificultades al intentar construir e interpretar gráficas que
representan situaciones concretas. En especial cuando el estudiante
interpreta la gráfica de una situación como una imagen literal de ésta.
Cuando la función es definida como una relación entre variables, en
ocasiones los estudiantes ven una variable como un objeto único y se
distraen en situaciones de símbolos arbitrarios, olvidando la relación
funcional entre las variables.
Existen dificultades en la traducción de una forma de representación a
otra, en especial especialmente al pasar de una gráfica a una ecuación.
La idea de traducción surge de Janvier. A través de sus análisis observa las
diferentes traducciones entre los distintos tipos de representación. Observa que
los errores se producen en la comprensión de la función, se deben a confusiones
entre las diferentes representaciones, siendo las confusiones más significativas:
gráfico-dibujo, verbal-gráfico e intervalo-punto (Janvier, 1987).
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Tabla 1: Traducciones y conversiones entre representaciones f(x). Adaptación
de la tabla C. Janvier
Hacia Situación,
descripción
verbal
Tabla Gráfica Expresión
simbólica Desde
Situación,
descripción
verbal
Distintas
descripciones
Estimación o
cálculo de la
tabla
Boceto Modelo
Tabla
Lectura de las
relaciones
numéricas
Modificación
de la tabla
Trazado de la
gráfica Ajuste numérico
Gráfica Interpretación
de la gráfica
Lectura de la
gráfica
Variaciones de
escalas,
unidades, etc.
Ajuste gráfico
Expresión
simbólica
Interpretación
de la fórmula
Cálculo de la
tabla dando
valores
Representación
gráfica
Transformación
de la fórmula
(Goni, 2011)
La gráfica adjunta recoge las traducciones que presentan mayores dificultades,
y que resultan a su vez las menos trabajadas en el aula.
Gráfico 1: Conversiones y traducciones menos automatizables. Adaptación de la
tabla C. Janvier
Verbal
Gráfica
Tabular Analítica
(Goni, 2011)
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También Leinhardt, Zaslavsky y Stein señalan la necesidad de centrar la
atención en las tareas relacionadas con el lenguaje gráfico, sean éstas: de
interpretación, donde el alumno obtiene un significado; o de construcción, en
donde debe generar una información nueva. Las dificultades en tareas de
interpretación y construcción de gráficos tienen incidencia en el proceso de
aprendizaje del concepto de función, llegando a convertirse en un obstáculo para
el alumno (Leinhardt, Zaslavsky, & Stein, 1990).
Artigue en el caso del concepto de función menciona:
"Algunas de las investigaciones muestran la brecha existente entre las
definiciones dadas por los estudiantes, de un lado, y los criterios utilizados
en las tareas de reconocimiento de objetos funcionales o de clasificación
de funciones y no funciones en registros diferentes" (Artigue, 1995).
Otros autores constatan que muchas de las dificultades de los estudiantes
guardan relación con el currículo, en especial con el uso del concepto de función.
Tall afirma que, si bien los estudiantes comprenden el concepto de función a
través de un procedimiento programado en el ordenador, existe un conjunto de
obstáculos, en el desarrollo cognitivo, que pueden superarse mediante la
explicación del concepto a través de diferentes formas de representación (Tall,
1989).
Existe la tendencia a imaginar determinados prototipos, como la línea recta,
cuando se le menciona el concepto de función, así, el estudiante tiende a
identificar la noción con una de las formas de representación más cercanas a
ellos (en el caso de la función: una fórmula o una gráfica elemental).
Azcárate hace hincapié en el hecho de que los estudiantes asocian a la
"pendiente" la imagen mental del coeficiente "a" en la fórmula del tipo 𝑦 = 𝑎𝑥 +
𝑏; poseen un esquema conceptual carente de imagen gráfica (Azcárate, 1990).
El estudio de Fabra y Deulofeu, sobre las respuestas de los estudiantes a las
preguntas relacionadas con situaciones gráficas descontextualizadas, se pone
de manifiesto que en las percepciones de los estudiantes predominan: gráficas
reducidas al trazado de rectas o segmentos de recta, parábolas o hipérbolas,
que resultan ser las funciones más conocidas (Fabra & Deulofeu , 2000).
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Sobre el concepto de función, Ruhana y Bruekheimer aportan otras dificultades
cognitivas en el proceso de su comprensión (Ruhana & Bruekheimer, 1998):
Muchos estudiantes no entienden la relación entre las variables.
Existen dificultades en el reconocimiento de las diversas formas de
representación de una función, en especial la representación gráfica.
Los resultados de Vall de Pérez y Deulofeu muestran como los alumnos, deben
asimilar primero los modelos de función más sencillos (la dependencia lineal y la
proporcionalidad inversa) para construir el concepto de dependencia (Vall de
Pérez & Deulofeu , 2000).
Steinbring, plantea un estudio sobre las expresiones fundamentales de una
función: dominio, relación entre variables, extremo de la función y su
representación gráfica (Steinbring, 1993). Concluyendo que:
Existe un conflicto entre las ideas del estudiante y la estructura de
conocimiento fijada por el profesor
Uno de los problemas de comprensión de funciones emerge del contexto
de representación
Resulta necesario que exista una mayor experiencia con objetos reales
por parte del estudiante
Otras investigaciones reportan la existencia de dificultades en la comprensión
del concepto de función como derivación de las tareas de enseñanza aprendizaje
que pese a haber sido diseñadas para ejercitación han conducido a errores
didácticos que han provocado que muchos estudiantes sólo puedan asociar al
concepto de función una ecuación algebraica, como consecuencia producto de
las actividades rutinarias (Guershon & Trgalová, 1996).
Para estos autores, en las concepciones de los estudiantes sobre la función
predominan prototipos comunes, tales como: "función es una fórmula".
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2.4 Dificultades del aprendizaje del concepto de derivada
Esta sección ha sido desarrollada a partir del trabajo: “La comprensión de la
derivada como objeto de investigación en didáctica de la matemática”, elaborada
por Gloria Sánchez-Matamoros, Mercedes García y Salvador Llinares.
La dificultad respecto a la derivada se presenta al relacionar la gráfica y la
fórmula, frente a la facilidad que resulta derivar con el uso de algoritmos y
esbozar curvas siguiendo un algoritmo sobre puntos, al identificar las derivadas
positivas y negativas (Cobb, y otros, 1991).
Habre & Abboud, realizan una investigación con estudiantes que procedían de
un curso experimental de cálculo. En ella observaron que los alumnos no tenían
la misma comprensión del concepto de derivada en el modo analítico, que en el
gráfico. Muchos alumnos dominaban la representación gráfica y algebraica de la
función, frente a los usos apropiados de la definición geométrica de derivada.
Ello, es consecuencia de que las definiciones matemáticas que se enseñan son
tradicionalmente analíticas y crean, un obstáculo en las mentes de los
estudiantes, al igual que con la función (Habre & Abboud, 2006).
Las investigaciones que han analizado el papel que desempeñan las
representaciones en la comprensión de la idea de derivada indican que los
significados que construyen los alumnos están vinculados a determinados
modos de representación y sus significados carentes de interconexión, como
sucedía con la función. Esto insiste en la importancia de coordinar las diferentes
representaciones para que los estudiantes puedan comprender la derivada.
El estudio de Aspinwall, Shaw y Presmeg sobre la capacidad del alumno para
discriminar gráficamente una función y su derivada, ilustró el modo en que las
imágenes mentales que algunas veces los estudiantes crean y asocian a
determinadas funciones, pueden condicionar su forma de actuar durante la
resolución de problemas. Los resultados hacen hincapié en el papel que cumple
el tipo de tareas que realizan los estudiantes y el tipo de funciones y
representaciones (más o menos prototípicas) que los profesores usan al exponer
las ideas sobre la derivada (Aspinwall, Shaw, & Presmeg, 1997).
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LA DERIVADA EN UN PUNTO Y LA FUNCIÓN DERIVADA
Otro aspecto importante en la comprensión de la derivada es la relación entre el
aspecto local y global dado en un punto, y la idea de función derivada que permite
pasar de una perspectiva puntual a una global, en intervalos.
El estudio que hizo Badillo dio a conocer la existencia de diferentes significados
de la idea de derivada en un punto y de la función derivada. La comprensión
gráfica de f(x), f' (a) y f '(x), resultó ser difícil (Badillo, 2003).
Los resultados señalaron que comprender la idea de función derivada en un
punto, f(a), no implicaba comprender la idea de función derivada f'(x). Sin
embargo, quienes comprendían la idea de función derivada, f'(x), parecían
entender de manera sencilla la derivada de la función en un punto f' (a).
La complejidad del concepto de derivada llevó a esta investigadora a reparar en
que la comprensión del esquema de la derivada conlleva la tocante a la relación
entre lo local (derivada en un punto) y lo global (función derivada). Sin embargo,
tal vínculo no ha sido ampliamente estudiado hasta estos momentos, por lo cual
se plantean interrogantes acerca de cómo las diferentes aproximaciones que
pueden ser enfatizadas en la enseñanza pueden determinar el entendimiento de
dicha relación, así como el papel que cumplen los diferentes modos de
representación para favorecer la comprensión de la relación entre local y lo
global en el desarrollo de la comprensión del esquema de derivada.
LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN Y LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN
DERIVADA
Un estudio realizado por Ferrini–Mundy y Graham hizo énfasis en el papel clave
que desempeñaba la comprensión de la relación entre la gráfica de una función
y la de la función derivada (Ferrini-Mundy & Graham, 1994).
Asiala, Cottrill, Dubinsky, y Schwingendorf estudiaron la comprensión de los
alumnos sobre la relación entre la gráfica de una función y su derivada. De inicio,
concibieron una trayectoria de aprendizaje hipotética del concepto derivada para
presumir cómo se desarrollaba su comprensión (Asiala, Cottrill, Dubinsky, &
Schwingendorf, 1997). La descomposición que efectuaron fue la siguiente:
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Conocer y comprender la representación gráfica de puntos de una curva
en los ejes de coordenadas.
Conocer y comprender el concepto pendiente de una línea.
Conocer y tener una buena comprensión del concepto de función, así
como una imagen bien desarrollada.
Al construir un esquema para la derivada se deben recorrer dos caminos
que están coordinados: el gráfico y el analítico.
Los investigadores entrevistaron a estudiantes que habían completado cursos
tradicionales y experimentales de cálculo con ocho preguntas divididas en dos
grupos: cuatro sobre comprensión gráfica de una función y cuatro sobre
comprensión gráfica de su derivada.
Estas cuestiones tenían como objetivo proporcionar información sobre la
coordinación que hacían los estudiantes entre los modos gráficos y los analíticos,
lo cual se considera clave para construir un esquema del concepto de derivada.
Los resultados de la investigación indicaron que los estudiantes que habían
seguido el curso experimental (el cual enfatizaba la relación entre lo gráfico y lo
analítico, y cuyo diseño instruccional tomó en cuenta al análisis a priori de la
forma en que se suponía que se construía el conocimiento) tuvieron más éxito
que los que habían seguido los cursos tradicionales. Asimismo, un énfasis en la
enseñanza sobre la coordinación entre los modos de representación gráfico y
analítico, así como sobre la relación explícita entre los significados gráficos de la
función y los correspondientes a la derivada, ayudan a que los estudiantes
lleguen a coordinar los dos modos de representación.
Este tipo de trabajo apoya la hipótesis de que una enseñanza dirigida a la
generación de mecanismos de construcción del conocimiento, como la
coordinación entre los modos de representación, favorece la comprensión de los
procesos que favorecen la construcción del significado por parte de los alumnos
(Gavilán, García, & Llinares, 2007).
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Ahora bien, los resultados también plantearon cómo se debía caracterizar el
proceso de comprensión de la derivada, siendo necesario construir su concepto
más allá de las simples características del concepto.
Los resultados de distintos estudios muestran que, si se combinan en la
enseñanza del concepto de derivada las tres aproximaciones (límite del cociente
incremental, pendiente de la recta tangente y tabla de valores), se facilita la
comprensión del estudiante.
EL DESARROLLO DE LA COMPRENSIÓN DE LA DERIVADA
Sánchez–Matamoros realizó un estudio con el fin de conocer el modo en que
los alumnos de diferentes niveles (primero, segundo de bachillerato y
universitarios) interpretan y resuelven y justifican sus decisiones en torno al
concepto de derivada (Sánchez-Matamoros G. G., 2004).
Los resultados del trabajo apuntan que, pese a que los alumnos universitarios
podían conocer más elementos del esquema de derivada que los de bachillerato,
un número importante de ellos sólo eran capaz de usar los elementos
matemáticos de manera aislada, o de relacionar un número limitado para obtener
la información necesaria para resolver un problema.
2.5 Conclusiones del marco teórico
Los estudiantes no vinculan automáticamente un proceso con la idea de
derivada, no son capaces de asociar situaciones ajenas a las vistas en el aula.
La comprensión completa de la derivada, se espera que surja al reconocer y
reconstruir los significados de razón, límite y función en diferentes contextos.
Asimismo, los modos de representación gráfico y analítico influyen en la
construcción de los significados que hacen los alumnos (Ferrini-Mundy &
Graham, 1994). Las dificultades para relacionar los modos gráfico, numérico y
analítico surgen en contextos gráficos, cuando los estudiantes necesitan la
expresión analítica de la función para resolver determinadas cuestiones (Asiala,
Cottrill, Dubinsky, & Schwingendorf, 1997). Ello quizá sea consecuencia de que
las definiciones matemáticas son tradicionalmente analíticas, generando un
obstáculo en las mentes de los alumnos (Habre & Abboud, 2006).
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Por otra parte, la explicación basada en el empleo de distintos modos de
representación (Font, 2000) potencia la comprensión de la idea de variación y
ayuda a la construcción del significado de la derivada. Cuestión que como se
verá posteriormente en un extracto de la LOMCE, es la propia legislación la que
motiva a centrar el uso de expresiones gráficas y a través de tablas en la
interpretación y el análisis de los conceptos económicos.
Los estudiantes tienden a recordar el concepto imagen frente a la definición de
cualquier concepto matemático, por lo que al resolver las tareas matemáticas los
estudiantes enriquecen el propio concepto y les ayuda a visualizar los conceptos
matemáticos. Sin embargo, los múltiples conceptos de imagen para una misma
noción matemática pueden resultar útiles o conflictivos para éstos.
El análisis de Sánchez–Matamoros reveló que había una construcción
progresiva del esquema de derivada, conforme el alumno a lo largo de su
formación debía utilizar; así como los modos de representación influían para
instaurar relaciones lógicas entre los elementos matemáticos durante la
resolución de problemas (Sánchez-Matamoros G. G., 2004).
Así, se debe afirmar que la adquisición de los conceptos de función y de derivada
toman relevancia en todos los niveles de matemática educativa, donde las ideas
que se trabajan en torno a ellos facilita su interpretación y comprensión.
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3. Los conceptos de función y de derivada en 1º de Bachillerato
Una vez revisados los obstáculos y dificultades de la didáctica de las
matemáticas, es preciso conocer los conocimientos previos con los que los
estudiantes acceden al Bachillerato, en concreto, en relación a los conceptos de
función y tasa de variación media (la derivada se empieza a explicar en 1º de
Bachillerato), y su uso en Matemáticas para las Ciencias Sociales. Además, es
necesario revisar el uso que se hace de los conceptos de función y de derivada
en la asignatura de Economía de 1º de Bachillerato
3.1 Los conocimientos previos con los que acceden los estudiantes a
Bachillerato y el contenido de Matemáticas para las CCSS I en relación con
los conceptos de derivada y de función.
Dado que los alumnos de 4º de la ESO, de acuerdo con la LOE, tienen la
posibilidad de cursar las asignaturas de Matemáticas Opción A, o Matemáticas
Opción B1, se ha realizado una sencilla comparativa entre los contenidos y
criterios de evaluación definidos para en cada una de ellas, con la intención de
conocer los conceptos previos con los que acceden los alumnos a bachillerato.
Posteriormente, se hace una revisión en relación a los conceptos de derivada y
función en la asignatura de Matemáticas para las Ciencias Sociales I.
CONOCIMIENTOS PREVIOS DE ACCESO A BACHILLERATO
Los conceptos de función y tasa de variación media son impartidos a lo largo del
“Bloque 5: funciones y gráficas” en las asignaturas de Matemáticas Opción A y
Matemáticas Opción B, Ambas comparten los siguientes tres epígrafes:
La tasa de variación media como medida de la variación de una función
en un intervalo. Análisis de distintas formas de crecimiento en tablas,
gráficas y enunciados verbales.
1 Se toma como referencia la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación, ya que
los alumnos que se encuentran matriculados de primero de Bachillerato en el curso
2015-2016, cursaron dicha ley el pasado año en 4º de la ESO.
El proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura de Economía a través de los
conceptos matemáticos de función y derivada
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Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla,
gráfica o expresión analítica. Análisis de resultados.
Reconocimiento del crecimiento, los extremos, las discontinuidades, la
periodicidad y la tendencia en gráficas.
De la misma manera, ambas asignaturas no son coincidentes en varios
apartados. Todos estos, aparecen recogidos en la siguiente tabla:
Tabla 2: Diferencias de contenidos en las asignaturas de Matemáticas, 4º ESO
Matemáticas
Opción A.
Estudio, descripción y utilización de otros modelos funcionales
no lineales: exponencial y cuadrática. Uso de tecnologías de la
información para su análisis.
Matemáticas
Opción B.
Funciones definidas a trozos. Búsqueda e interpretación de
situaciones reales.
Definición formal de función. Expresión algebraica de una
función. Variables.
Expresión analítica. Análisis de resultados
Reconocimiento de otros modelos funcionales: función lineal,
cuadrática, de proporcionalidad inversa, exponencial y
logarítmica. Aplicaciones a contextos y situaciones reales. Uso
de las tecnologías de la información en la representación,
simulación y análisis gráfico.
En términos generales, la principal diferencia se centra en la impartición de un
mayor número de modelos funciones en las Matemáticas Opción B, así como en
el reconocimiento, simulación y análisis de los distintos gráficos asociados a
ellas.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
En los criterios de evaluación es donde mayores diferencias se observan, ya que
los grados de profundización son mayores en Matemáticas. Opción B. En el
conjunto de ambas asignaturas, se espera que los alumnos sean capaces de:
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1. Identificar relaciones cuantitativas en una situación y determinar el tipo de
función que puede representarlas.
2. A la vista del comportamiento de una gráfica o de los valores numéricos
de una tabla, se valorará la capacidad de extraer conclusiones sobre el
fenómeno estudiado.
Para ello será preciso la aproximación e interpretación de las tasas de
variación a partir de los datos gráficos o numéricos
A continuación, se enumeran las diferencias en relación a los apartados
anteriores en cada una de las asignaturas.
1. Además de lo indicado en el punto anterior, los alumnos que cursen
Matemáticas Opción B, deberán ser capaces de: aproximar e interpretar
la tasa de variación media a partir de una gráfica, de datos numéricos o
mediante el estudio de los coeficientes de la expresión algebraica.
2. Junto a lo ya indicado será preciso la aproximación e interpretación de la
tasa de variación media a partir de valores concretos alcanzados por la
expresión algebraica.
Adicionalmente, los alumnos de Matemáticas. Opción A. deben de adquirir las
competencias necesarias que les permitan:
1. Resolver problemas de la vida cotidiana en los que se precise el
planteamiento y resolución de ecuaciones de primer y segundo grado o
de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
2. Analizar tablas y gráficas que representen relaciones funcionales
asociadas a situaciones reales para obtener información sobre su
comportamiento.
Consecuentemente, se observa que ambas asignaturas comparten nociones
básicas en lo que a los conceptos de función y tasa de variación se refiere.
Aunque se debe destacar que la asignatura de Matemáticas Opción B genera
unas mejores bases matemáticas de cara a Bachillerato.
El proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura de Economía a través de los
conceptos matemáticos de función y derivada
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Hay que destacar que ninguno de los dos currículos hace referencia a
situaciones cotidianas o de índole económica en el proceso de aprendizaje.
Igualmente, se han extraído los estándares de aprendizaje asociados a los
conceptos de función y de derivada, recogidos en la asignatura Matemáticas
aplicadas a las Ciencias Sociales I, Bloque 3. Análisis, del Real Decreto
1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de la
Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato, por el que se establece el
currículum de la LOMCE, con la intención identificar los resultados de
aprendizaje asociados a ambos términos matemáticos.
1.1. Analiza funciones expresadas en forma algebraica, por medio de
tablas o gráficamente, y las relaciona con fenómenos cotidianos,
económicos, sociales y científicos extrayendo y replicando modelos.
1.2. Selecciona de manera adecuada y razonadamente ejes, unidades y
escalas reconociendo e identificando los errores de interpretación
derivados de una mala elección, para realizar representaciones gráficas
de funciones.
1.3. Estudia e interpreta gráficamente las características de una función
comprobando los resultados con la ayuda de medios tecnológicos en
actividades abstractas y problemas contextualizados.
3.1. Calcula límites finitos e infinitos de una función en un punto o en el
infinito para estimar las tendencias de una función.
3.2. Calcula, representa e interpreta las asíntotas de una función en
problemas de las ciencias sociales.
4.1. Examina, analiza y determina la continuidad de la función en un punto
para extraer conclusiones en situaciones reales.
5.1. Calcula la tasa de variación media en un intervalo y la tasa de
variación instantánea, las interpreta geométricamente y las emplea para
resolver problemas y situaciones extraídas de la vida real.
5.2. Aplica las reglas de derivación para calcular la función derivada de
una función y obtener la recta tangente a una función en un punto dado.
Patricia Ruiz Pelayo Curso 2015 – 2016
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Con esta información, se ha procedido a revisar el modo en que se asocian los
conceptos de función y de derivada a situaciones de la vida real, en la Unidad
11: Introducción a las derivadas y sus aplicaciones, del libro de texto:
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales. 1º Bachillerato. Ed: Editex
(González Garcia, Llorente Medrano, & Ruiz Jiménez, 2008). De la revisión se
ha extraído:
1. Predominan los ejercicios enfocados al cálculo de la derivada, a partir de
una función descontextualizada.
2. Menos del 10% de los ejercicios que aparecen recogidos se refieren a
situaciones económicas, y en el caso de aparecer, se muestra una función
a la cual se debe calcular su máximo.
3. Existe un ejercicio en el que el alumno debe construir la función de
beneficio a través de las funciones de ingresos y gastos.
a. Todas las funciones aparecen expresadas de forma algebraica.
b. No se recoge la posibilidad de expresar las funciones gráficamente.
c. La función de ingresos goza de cierta complejidad para el alumno.
Ejercicio 24 (pág. 255): Una empresa ha estimado que los gastos anuales (en
euros) que genera la fabricación y venta de x unidades de un producto vienen
dados por las funciones:
Ingresos: 𝐼(𝑥) = 2𝑥2 − 500𝑥 − 350.000
Gastos: 𝐺(𝑥) = 3𝑥2 − 2.000𝑥 + 120.000
a) Determina la función que da el beneficio anual de la empresa.
b) ¿Qué número de unidades hay que vender para que el beneficio sea
máximo?
c) ¿A cuánto asciende este beneficio máximo?
En definitiva, cabe destacar la ausencia de actividades, o explicaciones que
inviten al alumno a comprender en toda su esencia los conceptos de función y
El proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura de Economía a través de los
conceptos matemáticos de función y derivada
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de derivada. Prevalece el uso de expresiones algebraicas a la hora de trabajar y
explicar el concepto de derivada, y sus utilidades.
3.2 El uso de los conceptos de función y de derivada en la asignatura de
Economía de 1º de Bachillerato.
Como se ha indicado, el libro de Matemáticas para las Ciencias Sociales I carece
de actividades o explicaciones que favorezcan la comprensión de los conceptos
de derivada y función desde una perspectiva económica o de la vida real.
Ante esta circunstancia, se ha optado por la revisión de dos libros de Economía
de 1º de Bachillerato, con la intención de verificar el uso y asociación de los
conceptos matemáticos de derivada y de función, a los términos económicos que
se imparten en la asignatura, concretamente los asociados a la producción.
Economía. 1º Bachillerato. Ed: Bruño. Unidad 2: La producción y la empresa.
(Foj Candel , Goñi Stroetgen, & Narváez Villena, 2015)
Los ejercicios resueltos y propuestos responden a una misma estructura. Todos
ellos se centran en el uso de expresiones y a través de tabla. Tan sólo aparecen
las fórmulas de Beneficios, Ingresos, Producción Media y Producción Marginal.
No existe ningún ejercicio en el que se indique al alumno cómo calcular las tasas
marginales, si quiera a través del cálculo de diferencias.
Un aspecto positivo es que recoge dos gráficas vinculadas entre sí: (1) Gráfica
de costes fijos, variables y totales, (2) Gráfica del umbral de rentabilidad.
Economía. 1º Bachillerato. Ed: Mc Graw Hill. La Unidad 4: La producción y la
empresa (Mochón, 2002)
A diferencia del libro anterior, no aparecen más que tablas de datos para calcular
los ejercicios, sin recurrir a explicaciones gráficas como en el caso anterior,
capaces de facilitar la comprensión de los conceptos económicos y matemáticos.
Tampoco los ejercicios propuestos incitan a la representación gráfica de los
datos, por lo que no se favorece su comprensión, así como sus efectos.
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4. Evaluación del grado de comprensión de los conceptos de
función y de derivada por los alumnos de 1º de Bachillerato
Tomando como referencia los apartados anteriores, y las razones que sustentan
este trabajo, se ha diseñado un cuestionario, con la intención de identificar el
grado de comprensión de los conceptos de función y de derivada por parte de
los alumnos de 1º de Bachillerato que cursan Economía.
El uso del cuestionario como técnica de investigación cuantitativa, está
justificado por tratarse de una herramienta que permite plantear un conjunto de
preguntas para recoger información estructurada en torno a la comprensión y
aplicación de los conceptos, en este caso de derivada y de función, en contextos
económicos o situaciones propias de la vida real.
La tabla 3 recoge los contenidos, criterios de evaluación y estándares de
aprendizaje evaluables definidos para el bloque 2 de la asignatura de Economía
de primero de Bachillerato según el Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre,
por el que se establece el currículo básico de la Educación Secundaria
Obligatoria y del Bachillerato, por el que se establece el currículum de la LOMCE,
que han servido de inspiración para la construcción del cuestionario.
El proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura de Economía a través de los
conceptos matemáticos de función y derivada
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Tabla 3. Contenidos, criterios de evaluación y estándares de aprendizaje
evaluables del bloque 2. La actividad productiva.
A partir de los citados estándares de aprendizaje evaluables, se han establecido
los indicadores sobre los que se sustenta el cuestionario. De la misma manera,
se han tenido en consideración varios aspectos recogidos en el apartado 2 de
este documento. Además, se ha tenido en consideración la tesis de Marilyn
Carlson, Michael Oehrtman, and Nicole Engelke, titulada “The Precalculus
Concept Assessment: A Tool for Assessing” (Carlson, Oehrtman, & Engelke,
2010), dado su rico contenido en el proceso de definición de los indicadores, así
como de las preguntas que conforman el cuestionario que en ella se recoje. Otro
de los trabajos que ha inspirado el cuestionario, es el trabajo realizado por Daniel
I. “Drlik, Student understanding of function and success in calculus” (Drlik, 2015).
Bloque 2. La actividad productiva
Co
nte
nid
os
Obtención y análisis de los costes de producción y de los beneficios.
Lectura e interpretación de datos y gráficos de contenido
económico.
Cri
teri
os
de
ev
alu
ac
ión
6. Calcular y manejar los costes y beneficios de las empresas, así
como representar e interpretar gráficos relativos a dichos
conceptos.
7. Analizar, representar e interpretar la función de producción de
una empresa a partir de un caso dado.
Es
tán
da
res
de a
pre
nd
iza
je
ev
alu
ab
les
6.1. Comprende y utiliza diferentes tipos de costes, tanto fijos como
variables, totales, medios y marginales, así como representa e
interpreta gráficos de costes.
6.2. Analiza e interpreta los beneficios de una empresa a partir de
supuestos de ingresos y costes de un periodo.
7.1. Representa e interpreta gráficos de producción total, media y
marginal a partir de supuestos dados.
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Tabla 4. Indicadores definidos en el diseño del cuestionario
Indicador Descripción
Dominio de conceptos y procedimientos
Interpretación en las
distintas
representaciones y
conversión de una a
otra
I1 Interpretación de la información en las distintas
representaciones.
I2 Conversión de una representación a otra.
I3 Identificar funciones y familias de funciones.
Realizar operaciones
con funciones e
interpretarlas
correctamente
R1 Álgebra de funciones.
R2 Composición de funciones.
R3 Inversa de una función.
R4 Ecuaciones
Determinar e
interpretar la tasa
media de variación y
la derivada
D1 Tasa media de variación.
D2 Derivada en un punto.
D3 Función derivada.
Capacidad de razonamiento
Capacidad de
razonamiento
C1 Concepto de función como proceso.
C2 Razonamiento covariacional.
C3 Interpretación y aplicación contextualizada de
conceptos y procedimientos
Igualmente, se valora la capacidad del alumno para trabajar en cada una de las
cuatro representaciones de la función (verbal, tabla, gráfica y fórmula).
El proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura de Economía a través de los
conceptos matemáticos de función y derivada
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Considerando los indicadores anteriores, y tomando como referencia los libros
de texto señalados en el apartado 3, se han formulado un total de 10 preguntas
para la composición de este cuestionario. Aparecen recogidas en la figura 1.
El cuestionario se compone de preguntas asociadas a los conceptos de función
y de derivada, aplicadas a situaciones relacionadas con el cálculo y/o
interpretación de los costes de producción y los beneficios de la empresa.
Además, incluye ejercicios de carácter no económico, con la intención de medir
sus conocimientos en relación a los conceptos de función y de derivada.
Figura 1: Cuestionario de evaluación del grado de comprensión de los conceptos
de función y de derivada de los alumnos de 1º Bachillerato (elaboración propia).
1. Representa gráficamente las siguientes funciones, teniendo en
consideración lo indicado en cada uno de los apartados:
𝑦 = (𝑥 + 1)2 𝑦 = 50 + 2𝑥𝑦
a) Representa en el sistema de coordenadas cartesianas y en una tabla al
menos 3 puntos de cada una de las funciones.
b) Representa en el sistema de coordenadas cartesianas esas mismas
funciones en el intervalo (-2,2).
2. Imagine que pone un recipiente con la forma del de la
figura adjunta debajo de un grifo hasta que el agua rebose.
Seleccione cuál de los gráficos recogidos en la parte inferior
de la figura representa la relación que guardaría la altura
que alcanza el agua en el recipiente con la cantidad de agua introducida.
3. Dada la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 1, resuelva la ecuación 𝑓(𝑥) = 5
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4. Una empresa tiene unos costes fijos de 1.000€ y unos costes variables de
200€ por unidad producida. Suponga además que puede vender todo lo
producido a un precio de 300 € cada unidad.
Considere valores de la producción que vayan de 0 a 12 unidades y represente
en un eje de coordenadas la función que relaciona los ingresos totales con el
volumen de producción. Haga lo mismo para el caso de los costes totales. ¿A
partir de qué nivel de producción empezaría la empresa a tener beneficios?
5. Suponga que el valor de un coche se deprecia un 20% con cada año que
transcurre desde el momento de su compra.
a) Proponga una fórmula que exprese el valor que tendrá el vehículo en función
del tiempo que haya transcurrido desde su compra.
b) Represente a través de una tabla y una función la depreciación del vehículo,
si su valor de compra fue de 45.000€
6. La tarifa de móvil de Juan tiene una parte fija de 15 euros al mes que le da
derecho al consumo gratuito de 150 minutos teniendo que pagar 2 céntimos
por cada minuto adicional.
a) Represente en una gráfica el total a pagar por Juan a la compañía de
teléfonos en función del número de minutos que consuma al mes.
b) Exprese a través de una función el total a pagar por Juan en función del
número de minutos que consuma al mes.
7. La figura adjunta recoge la relación
entre el número de piezas procesadas por
una máquina y el número de horas que
está en funcionamiento. Sabiendo que el
coste por hora de uso de la maquina es de
50 euros, proponga una fórmula algebraica
que exprese el coste total de usar dicha
máquina en función del número de piezas que sea necesario procesar.
El proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura de Economía a través de los
conceptos matemáticos de función y derivada
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8. En la figura adjunta está
representada la relación entre los
costes totales que tendría una
empresa y la cantidad producida por
la misma. ¿A qué coste medio le sale
cada unidad si la cantidad producida
es 600? ¿Y cuándo es de 800? ¿Cuál
es el coste medio de producir cada
una de las 200 unidades adicionales si está produciendo en la actualidad 600
unidades, y decide ampliar la producción a 800?
9. Suponga que x representa la cantidad total de un bien producido por una
empresa y que la función C(x) representa el coste total de producir dicha
cantidad.
a) ¿Qué interpretación le daría al cociente 𝑪(𝟒𝟎𝟎)−𝑪(𝟑𝟎𝟎)
𝟏𝟎𝟎 ?
b) Suponga ahora que para una producción 𝑥 = 100 el valor de la derivada en
dicho punto es de cinco (𝐶′(100) = 5), ¿cómo interpreta este valor?
10. En la figura de la izquierda aparece representada la función que relaciona
los costes totales que tendría una empresa en función de su volumen de
producción. A partir de dicha función se define la función de coste marginal
como su derivada. Sabiendo esto, represente en la figura de la derecha la
forma que tendría la función de coste marginal.
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La tabla 5 recoge la relación entre las preguntas, los indicadores y las
representaciones que se plantean en el cuestionario.
Tabla 5. Relación entre las preguntas, los indicadores y las representaciones que
se evalúan a lo largo del cuestionario.
Pregunta Pregunta
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ind
icad
or
Dominio de conceptos y procedimientos
Expresiones
I1
Rep
rese
nta
cio
ne
s
V
I2 G
I3 T
R1 F
R2 Traducción
R3 V-T
R4 V-G
D1 V-F
D2 T-F
D3 G-T
Capacidad de razonamiento G-F
C1
C2
C3
En apartado 2 se destacaba la dificultad que presenta la traducción de tabla a
expresión algebraica, así como la marcada ausencia en los libros de texto de
actividades que promuevan esta conversión; por ello no se han introducido
ejercicios en el cuestionario referidos a estas tareas.
Por cuestiones de tiempo, no ha sido posible realizar el cuestionario en el centro.
El proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura de Economía a través de los
conceptos matemáticos de función y derivada
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5. Propuesta didáctica: los conceptos de función y derivada en
el proceso de enseñanza-aprendizaje de los costes y beneficios
Tomando como referencia los indicadores señalados en el proceso de diseño del
cuestionario, así como en las dificultades y obstáculos que surgen en el proceso
de aprendizaje de los conceptos de derivada y de función señalados, se ha
elaborado una propuesta didáctica en torno a éstos, en el proceso de enseñanza-
aprendizaje de los costes y beneficios. Estas sesiones buscan introducir y
comprender los citados elementos matemáticos en situaciones cotidianas.
Desde una perspectiva económica, es necesario que los estudiantes
comprendan como varían las magnitudes y cuál es la influencia que tienen sobre
cada una las variaciones de otras. Así, por ejemplo, un empresario puede estar
interesado en estimar la variación de sus beneficios que ocasionaría un
incremento en la producción, o un incremento en el gasto publicitario, etc. De
esta manera, se plantean cuatro etapas para la impartición del apartado: “6.
Costes y beneficios”, de la unidad didáctica: 2. La producción y la empresa.
Éstas son: (1) usar una representación, (2) usar varias representaciones en
paralelo, (3) realizar nexos entre representaciones, y (4) integrar las
representaciones y flexibilizar los cambios entre ellas (Dreyfus, 1991).
OBJETIVOS DIDÁCTICOS
Las sesiones que se proponen en este apartado están inspiradas en los objetivos
didácticos que se definen para la Unidad 2: La producción y la empresa, así como
para las necesidades formativas en relación a los conceptos de derivada y
función que se han detectado tras la realización del cuestionario. Se han
establecido los siguientes objetivos de aprendizajes:
1. El alumno comprende y utiliza diferentes tipos de costes, tanto fijos como
variables, totales, medios y marginales, así como representa e interpreta
gráficos de costes.
2. El alumno es capaz de comprender e interpretar las funciones asociadas
a los conceptos de coste, ingreso, beneficio y umbral de rentabilidad.
3. El alumno entiende la información que reporta la derivada.
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4. El alumno analiza e interpreta los beneficios de una empresa a partir de
supuestos de ingresos y costes de un periodo.
5. El alumno representa e interpreta gráficos de producción total, media y
marginal a partir de supuestos dados.
CONTENIDOS DE LAS SESIONES
Los contenidos que configuran las sesiones que a continuación se diseñan son:
Obtención y análisis de las funciones de costes y beneficios.
Lectura e interpretación de datos y gráficos de contenido económico.
Ambas sesiones se plantean desde un proceso de enseñanza-aprendizaje
eminentemente práctico, en donde el alumno debe comprender e interiorizar los
conceptos de función y de derivada, así como su aplicación en Economía.
La tabla 6 desglosa la distribución temporal de las sesiones.
Tabla 6: Distribución temporal de las sesiones:
Sesión 1 Sesión 2
¿Qué se va a tratar? Tiempos ¿Qué se va a tratar? Tiempos
Diferencia entre
coste y pago 5’
Ingreso 1’
Beneficios 4’
Coste de producción 2’ Umbral de rentabilidad,
Geogebra 10’
Costes fijos y variables 13’ Ejercicio. Geogebra 10’
Explicación Geogebra 20’ Ejercicio. Geogebra 5’
Coste marginal 10’ Ejercicio. Geogebra 20’
Con la intención de favorecer la consolidación de los conceptos matemáticos de
función y de derivada, se recurre al programa informático Geogebra. Este
El proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura de Economía a través de los
conceptos matemáticos de función y derivada
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software de matemáticas dinámicas ha sido especialmente diseñado para todos
los niveles educativos. Ofrece la posibilidad tanto a alumnos como profesores de
trabajar con distintas perspectivas: vistas gráficas, algebraicas, estadísticas y de
organización en tablas y planillas, y hojas de datos dinámicamente vinculadas.
Esta herramienta libre y gratuita forma parte del hilo conductor de las sesiones,
así como el medio sobre el que se tratan los términos económicos a estudiar.
ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE A DESARROLLAR
Las tablas 7 y 8 detallan las actividades de enseñanza aprendizaje a realizar.
Tabla 7: Actividades de enseñanza aprendizaje a desarrollar en la sesión 1
Sesión 1
¿Qué se va a tratar? ¿Cómo se va a trabajar?
Diferencia entre coste
y pago
Preguntas de diagnóstico. Conjuntamente se trata de
elaborar las definiciones adecuadas.
Coste de producción Explicación del concepto. Se pregunta a los alumnos
ejemplos de costes de producción.
Costes fijos y
variables
Partiendo de los ejemplos que han puesto los alumnos
en el concepto anterior, se les explica los conceptos,
y se les pide que los clasifiquen según fijos y variables.
Explicación Geogebra
Se representan las funciones de coste variable, coste
fijo y coste total, para que los alumnos comprenderán
su relación, y su fluctuación al modificar alguno.
Coste marginal
La derivada y el costo marginal
(KhanAcademyEspanol, 2016)
Costo marginal, costo total promedio (Economía y
Desarrollo, Youtube: Costo marginal, costo total
promedio | Cap. 16 - Microeconomía, 2016)
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Tabla 8 Actividades de enseñanza aprendizaje a desarrollar en la sesión 2
Sesión 2
¿Qué se va a tratar? ¿Cómo se va a trabajar?
Ingreso Pregunta de diagnóstico, qué es un ingreso.
Beneficios
Pregunta de diagnóstico, qué son los beneficios y
cómo se calculan. De las respuestas obtenidas, se
les indica las fórmulas a considerar para su cálculo
Umbral de
rentabilidad, Geogebra
Se incorpora a la función de costes totales, la función
de ingresos. Se explica el concepto de umbral de
rentabilidad, y su interpretación gráfica.
Además, podrá recurrirse a la reproducción del
vídeo: Función de producción, costos fijos y variables
(Economía y Desarrollo, Youtube: Función de
producción, costos fijos y variables | Cap. 15 -
Microeconomía, 2016)
Ejercicio. Geogebra Se les indica que realicen en parejas un ejercicio, lo
representen e interpreten a través de Geogebra.
Ejercicio. Geogebra A cada pareja se les indica que modifiquen
determinados datos, y rehagan el ejercicio.
Ejercicio. Geogebra Cada pareja dispondrá de dos minutos para explicar
el modo en que ha variado su caso.
PROPUESTA DIDÁCTICA A TRAVÉS DE GEOGEBRA
A través de Geogebra los alumnos comprenden, e interpretan los términos
económicos de ingreso, costes, beneficio y umbral de rentabilidad, desde una
perspectiva matemática en donde refuerzan los conceptos de función y de
El proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura de Economía a través de los
conceptos matemáticos de función y derivada
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derivada, así como las utilidades que ambos términos poseen. Para favorecer la
consolidación de ambos se trabajan sobre un mismo ejercicio.
En la primera sesión, se entrega a los alumnos el siguiente enunciado. A partir
de él, comenzarán a explicarse todos términos económicos aquí programados.
La empresa “Cartones Fabricol” produce cajas de cartón duro que son
vendidas en paquetes de mil cajas. El mercado es altamente competitivo con
paquetes que se venden a 100€. Los costes fijos ascienden a 180€, y los
costes variables vienen definidos por la función 𝐶𝑣(𝑥) = 𝑥3 − 8𝑥2 + 40𝑥 .
A continuación, se indica el proceso de explicación de los conceptos de costes,
ingresos, beneficios y umbral de rentabilidad, a lo largo de ambas sesiones:
Etapa 1:
Se explica a los alumnos cómo introducir las
funciones a través de Geogebra.
En paso, se dibujan las funciones de costes fijos y
costes variables. Previamente, se pide a los
alumnos que formulen la función de costes fijos.
Se interpretan las gráficas obtenidas.
Etapa 2:
Se formula la función de costes totales a partir
de los datos enunciados.
Se introduce la función en Geogebra, y se
interpreta su significado. Se pregunta a los
alumnos el porqué de la cierta similitud entre las
funciones de costes variables y totales y cuál o
cuáles de ellas debería emplearse para conocer
el beneficio.
Patricia Ruiz Pelayo Curso 2015 – 2016
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Etapa 3:
Se formula la función de ingresos y se introduce
en Geogebra. Se pregunta qué función de las
vistas el día anterior permite obtener el
beneficio. Se interpreta y explica el gráfico, así
como las intersecciones que se producen entre
ambas funciones.
Se explica el umbral de rentabilidad, y se realiza
una aproximación al concepto de punto muerto.
Etapa 4:
Se formula la función de beneficios.
Se les pide que calculen el beneficio máximo
que pueden lograr en las condiciones dadas.
Se representa la función de beneficio en
Geogebra, y se interpreta la gráfica resultante.
Se hace especial hincapié en los conceptos de
función, y derivada, así como de la información
que reporta esta última.
Como muestran las etapas 1 y 2, correspondientes a la clase 1, se explica a
partir del enunciado dado, el proceso en que se imparte a los alumnos los
conceptos de coste fijo, coste variable y coste total, así como su interpretación
gráfica. De la misma manera, se hace especial hincapié en que deben entender
el concepto de función como un proceso.
Las etapas siguientes (etapas 3 y 4), referidas a los conceptos de ingreso,
beneficio y umbral de rentabilidad, se parte de la sesión anterior, con la intención
de dar continuidad a los conceptos impartidos, para su interpretación global.
Por ello, partiendo de las curvas de costes que resumen lo visto el día anterior,
se incorpora la recta de ingresos. Llegado este punto, se pregunta a los alumnos
qué curva o curvas de costes debe asociarse al cálculo del beneficio. A
El proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura de Economía a través de los
conceptos matemáticos de función y derivada
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continuación, se les explica el concepto de umbral de rentabilidad, tomando
como punto de partida la representación gráfica.
Para contrastar la asimilación de los conceptos por parte de los alumnos, se
varían los datos de costes de producción, unidades producidas y precio, con la
intención de que los alumnos visualicen individualmente, el efecto que tienen las
variaciones en cada uno de estos conceptos. A través de las gráficas, se les
señala y explica el método de cálculo del beneficio máximo y la tasa media de
variación.
Finalmente, con la intención de asentar las explicaciones, se les propone a los
alumnos el siguiente ejercicio:
Una empresa ha estimado que las siguientes fórmulas de costes e ingresos
anuales (en euros), siendo x las unidades de producto:
Ingresos: I(x) = 500x
Costes variables: Cv(x) = 𝑥3 − 8𝑥2 + 60𝑥
Costes fijos: Cf(x) = 220
a) Determina la función de beneficio de la empresa.
b) ¿Qué número de unidades hay que vender para que el beneficio sea
máximo? ¿A cuánto asciende este beneficio máximo? ¿Cuál es la tasa
media de variación de los beneficios si pasa de producir 10 a 20 unidades?
c) Representa gráficamente las funciones de ingresos y gastos.
d) ¿Cuál es el umbral de rentabilidad? Indícalo gráficamente.
Anteriormente se indicó que este ejercicio sufriría leves modificaciones en cada
una de las parejas en las que se ha divido la clase. Dichas variaciones se
referirán a incrementos o decrementos en los ingresos, costes variables o fijos.
A continuación, cada una de las parejas deberá representar gráficamente y
explicar el efecto que han tenido las modificaciones indicadas por el profesor.
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Como se indicó anteriormente, cada pareja deberá explicar brevemente a sus
compañeros de clase, el efecto que ha tenido la modificación que se les ha
indicado al inicio de la tarea.
EVALUACIÓN DEL PROCESO DE APRENDIZAJE
Es necesario medir la comprensión de los conceptos trabajados a lo largo de
ambas sesiones, así como su didáctica. Para ello, se propone a los alumnos
actividades que permitan medir su capacidad a la hora de resolver las siguientes
tareas:
Calcular y manejar los costes y beneficios de las empresas, así como
representar e interpretar gráficos relativos a dichos conceptos.
Analizar, representar e interpretar la función de producción de una
empresa a partir de un caso dado.
Calcular e interpretar gráficamente la tasa de variación media de las
funciones de costes y beneficios, así como calcular el beneficio máximo
Las conclusiones extraídas de sus respuestas permiten mejorar el proceso de
enseñanza-aprendizaje, así como la capacidad adaptar la necesidades actuales
y futuras del alumno.
El proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura de Economía a través de los
conceptos matemáticos de función y derivada
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6. Conclusiones y valoración personal
De acuerdo con el marco teórico, los estudiantes tienden a recordar el concepto
imagen frente a la definición de cualquier concepto matemático. Por esta razón,
es necesario plantearles las tareas matemáticas de forma que enriquezcan el
propio concepto y les ayude a visualizarlos.
Por su parte, la LOMCE a través de sus estándares de aprendizaje muestra el
compromiso por fomentar la adquisición de la competencia matemática por parte
de los alumnos, así como favorecer la interconexión de los contenidos que se
imparten a los alumnos a lo largo de las diversas asignaturas. En el caso
concreto de este trabajo, a través de los conceptos de ingresos, beneficios, y
costes, se busca la interiorización de los términos: función y derivada.
Por medio de este trabajo, se ha puesto de manifiesto la necesidad de combinar
e interconectar las explicaciones teóricas, con las diversas representaciones
matemáticas, y demás conocimientos que posean los alumnos como base. Todo
ello, con la intención de consolidar sus conocimientos a través de la
interiorización de todo aquello que se les ha enseñado a lo largo del tiempo.
Se debe concluir este trabajo haciendo especial hincapié en tres cuestiones
asociadas al proceso de aprendizaje de los alumnos de los conceptos de índole
matemática y económica:
1. Los libros de texto, las explicaciones de los profesores y los ejercicios que
se les proponen en el aula, deben centrarse en el razonamiento, la
interiorización, la asociación y la aplicación de los conceptos impartidos,
así como ejemplificarse en situaciones propias de la vida diaria.
2. Los alumnos deben dotar de significado los conocimientos que se les
enseñan. Además, deben ser capaces de trasladar situaciones cotidianas,
a los conceptos matemáticos y económicos que se les inculcan.
3. Generalmente las situaciones que se plantean en el aula no representan
con exactitud situaciones propias de la vida real.
Patricia Ruiz Pelayo Curso 2015 – 2016
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Adicionalmente, sería de gran interés poder realizar el cuestionario propuesto en
el apartado 4, con la intención de profundizar en el grado de comprensión de los
conceptos de función y de derivada en los alumnos de 1º de Bachillerato.
Hay que tener en consideración, que las conclusiones extraídas a partir de las
respuestas del cuestionario, además de suministrar información relativa al grado
de interiorización de los conceptos matemáticos y económicos, permitiría:
revisar, mejorar y adaptar las sesiones diseñadas en el apartado 6, de acuerdo
con las necesidades de los estudiantes.
El proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura de Economía a través de los
conceptos matemáticos de función y derivada
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