tema 8. derivadas - matestierra.weebly.comºbach_tema... · se llama función derivada de f (o...

I.E.S. Tierra de Ciudad Rodrigo Departamento de Matemáticas

TEMA 8. DERIVADAS Definición de derivada de una función en un punto. Consideremos una función f(x), y sea “a” un punto de su dominio. Se llama derivada de la función f en el punto “a” ( y se designa por f´(a) ) al siguiente límite cuando h tiende a 0:

h

afhafaf

h

)()(lim)('

0

Derivadas laterales:

Derivada por la derecha: h

afhafaf

h

)()(lim)('

0

Derivada por la izquierda: h

afhafaf

h

)()(lim)('

0

Función derivada. Se llama función derivada de f (o simplemente derivada de f) a la función f´ que asocia a cada abscisa, x, la derivada de f en ese punto, f´(x). Es decir:

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

Interpretación gráfica de la derivada de una función en un punto. Dada una curva y = f(x). La ecuación de la recta tangente a dicha curva en el punto P(a,f(a)) es

)·()( axmafy , donde m es la pendiente de la recta. Además, la definición de

pendiente nos dice que )(tgm , donde es el ángulo que forma la recta tangente

con el eje de abscisas.

Se demuestra que )(')( aftg donde h

afhafaf

h

)()(lim)('

0

, ya que si h→ 0,

entonces a+h →a, y el punto Q→P, es decir: 𝛼 → 𝛽 y la secante “s” tiende a la recta tangente a la curva f(x) en el punto P(a, f(a))


Como se ven en las dos gráficas siguientes si h→ 0, la recta secante tiende a la recta tangente en el punto P(a, f(a))

Por tanto, se puede definir la derivada de una función en un punto como “la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto”, y la ecuación de la esa recta tangente es:

))·((')( axafafy

Propiedades de las derivadas. · Derivada de una función constante es cero. 0)(')( xfkxf

· Derivada del producto de una constante por una función )('·')(· xfkyxfky

· Derivada de la suma (o diferencia) de dos funciones )(')('')()( xgxfyxgxfy

· Derivada del producto de dos funciones )(')()()·('')()·( xgxfxgxfyxgxfy

· Derivada del cociente de dos funciones.

2)(

)(')()()·(''

)(

)(

xg

xgxfxgxfy

xg

xfy

Regla de la cadena (derivada de la composición de funciones).

)('))·((''))(( xgxgfyxgfy


Derivadas inmediatas.

ky 0'y

nxy 1· nxny

)(log xy a )(log1

' ex

y a

)ln( xy x

y1

'

xay )·ln(' aay x

xey xey '

)(xseny )cos(' xy

)cos(xy )(' xseny

)(xtgy )(cos

1'

2 xy

)(xsenarcy 21

1'

xy

)cos(xarcy 21

1'

xy

)(xtgarcy 21

1'

xy

Derivación implícita. Una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y, sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación con dos incógnitas. Por ejemplo 𝑥𝑦² + 𝑥²𝑦 = 1 es una función en forma implícita. Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que x'=1, pero en general y'≠1. Por lo que omitiremos x' y aplicando la regla de la cadena siempre añadiremos y'. Ej. 𝑥𝑦² + 𝑥²𝑦 = 1

Derivando: 1 · 𝑦² + 𝑥 · 2𝑦𝑦′ + 2𝑥𝑦 + 𝑥2𝑦′ = 0

Y despejando y’ se tiene que: 𝑦′ =−𝑦²−2𝑥𝑦

2𝑥𝑦+𝑥²


Derivación logarítmica.

Se utiliza cuando tenemos funciones del tipo 𝑦 = (𝑓(𝑥))𝑔(𝑥) . Para derivar se cogen logaritmos en ambos miembros de la igualdad y se deriva teniendo en cuenta que la derivada de y es y’.

Veámoslo con un ejemplo: 𝑦 = (𝑠𝑒𝑛(𝑥))𝑡𝑔(𝑥)

Cogiendo logaritmos: ln(𝑦) = 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛(𝑥))𝑡𝑔(𝑥)

O lo que es igual: ln(𝑦) = 𝑡𝑔(𝑥) · 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛(𝑥))

Derivando: 1

𝑦· 𝑦′ =

1

𝑐𝑜𝑠²(𝑥)· ln(𝑠𝑒𝑛(𝑥)) + 𝑡𝑔(𝑥) ·

cos (𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥)=

ln (𝑠𝑒𝑛(𝑥))

𝑐𝑜𝑠²(𝑥)+ 1

Despejando y’ queda: 𝑦′ = 𝑦 · [ln (𝑠𝑒𝑛(𝑥))

𝑐𝑜𝑠²(𝑥)+ 1]

Es decir: 𝑦′ = (𝑠𝑒𝑛(𝑥))𝑡𝑔(𝑥) · [ln (𝑠𝑒𝑛(𝑥))

𝑐𝑜𝑠²(𝑥)+ 1]

Derivabilidad y continuidad. Teorema de continuidad de las funciones derivables. Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto. Por tanto: si una función no es continua en un punto tampoco será derivable en eso punto. El recíproco no es cierto: una función puede ser continua en un punto pero no derivable en dicho punto. Esto último ocurre por ejemplo en las funciones “valor absoluto”

Esta función es continua en x=2, pero no derivable en dicho punto.


1. Halla las siguientes derivadas implícitas y logarítmicas:

𝑥𝑦² + 𝑥²𝑦 = 1 𝑥 = cos (𝑥 · 𝑦)

2𝑥2𝑦 − 𝑥3 + 1 = 0 𝑥³ + 𝑦³ = 3𝑥𝑦

𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔(𝑥 + 𝑦) = 𝑥 𝑥² · 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛(𝑦) + 𝑦² = 0

𝑒𝑦 = 𝑥 + 𝑦 ln(𝑦) +𝑥

𝑦= 33

4𝑥² + 9𝑦² = 33 𝑥² + 𝑦² = 𝑥² · 𝑦²

𝑥² − 3𝑥𝑦 − 3𝑦² = 9 𝑥³ + 6𝑥𝑦 + 𝑦³ = 0

𝑦 = (𝑠𝑒𝑛(𝑥))𝑡𝑔(𝑥) 𝑦 = (cos (𝑥))𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑥𝑦 − 𝑦𝑥 = 0 𝑥𝑥 = 𝑦

(𝑠𝑒𝑛(𝑥))𝑦 = 𝑦𝑥 𝑦 = (𝑥 +1

𝑥)

𝑥

𝑦 = 𝑥√𝑥 𝑦 = √2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑦 = 𝑥cos (𝑥) 𝑦 = (𝑥 + 1)𝑥²

𝑦 = (2

𝑥)

𝑥

𝑦 = (ln (𝑥))𝑥

2. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones:

𝑓(𝑥) = {|𝑥|

2𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0

0 𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑓(𝑥) = {

𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 1ln (𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

𝑓(𝑥) = {𝑥² 𝑠𝑖 𝑥 > 00 𝑠𝑖 𝑥 = 0𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝑓(𝑥) = {𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 > 0

0 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑓(𝑥) = {−𝑥² + 2 𝑠𝑖 𝑥 < 0𝑥² + 2 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 13𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

𝑓(𝑥) = {2 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝑥 − 2 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 4𝑥² − 4 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 4

3. Halla m y n para que la siguiente función sea derivable:

𝑓(𝑥) = {𝑥² + 3𝑥 + 𝑚 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1x² − nx 𝑠𝑖 𝑥 > −1


4. Halla a y b para que la siguiente función sea derivable:

𝑓(𝑥) = {−𝑎𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < −1

𝑎𝑥 − 𝑏 𝑠𝑖 −1 ≤ 𝑥 < 12𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

5. Dada la función 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| + |𝑥 − 1|

a) Defínela a trozos

b) Estudia su derivabilidad en x=-2 y x=1

6. Dada la función 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1) · |𝑥|

a) Defínela a trozos

b) Estudia su derivabilidad en x=-1.

c) Estudia su derivabilidad en x=0.


Deriva y simplifica las siguientes funciones:

y = x7 𝑦 = 𝑥³ − 4𝑥 + 4 𝑦 = 𝑒4𝑥

𝑦 = √𝑥 𝑦 = 4𝑥³ − 5𝑥² 𝑦 = 22𝑥²+3

𝑦 = √𝑥4

𝑦 = ln (𝑥) 𝑦 = 63𝑥−1

𝑦 = 𝑥−3 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔3(𝑥) 𝑦 = 2𝑥²+3𝑥−1

𝑦 =1

√𝑥 𝑦 = 4𝑥 xxy 2·3

𝑦 = √𝑥34 xey 33 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥2)

xxy 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) )(2 xxseny

xxy 3 𝑦 = 5𝑥4 − ln (2𝑥) 𝑦 = cos (4𝑥 − 2𝑥3)

𝑦 =√𝑥3

𝑥 𝑦 =

𝑥²+1

𝑥³ )14(4 xseny

𝑦 =1

2𝑥³−2𝑥 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑒2𝑥) )1(4 xseny

𝑦 = 𝑐𝑡𝑔(𝑥) 𝑦 = cos (52𝑥) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑜𝑔2(𝑥))

𝑦 = (𝑥³ − 4𝑥)3 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑔(𝑥)) 𝑦 = 𝑡𝑔(𝑥3)

𝑦 = (4𝑥³ + 3𝑥 + 3)4 𝑦 = ln (𝑡𝑔(𝑥)) 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔(4𝑥 + 2)

𝑦 = (4𝑥² + 2𝑥 + 5)−3 𝑦 = 𝑡𝑔(ln(𝑥)) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 cos(2𝑥)

𝑦 = √3𝑥³ + 2𝑥 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 2) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛(cos(𝑥))

𝑦 = ln (2𝑥) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔(ln(𝑥3))

𝑦 = ln (𝑠𝑒𝑛(𝑥)) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛²(𝑥) 𝑦 =2𝑥

√𝑥

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(ln(𝑥)) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(√𝑥) 𝑦 =𝑠𝑒𝑛(𝑥)

3𝑥+

cos (𝑥)

2𝑥

𝑦 = 𝑙𝑜𝑔4(4𝑥 − 2) 𝑦 = √𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦 = sec (𝑥)


𝑦 = ln (𝑥2 + 1) 𝑦 = cos (𝑥3) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑥)

𝑦 = 𝑙𝑛(√𝑥) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠³(3𝑥) 𝑦 = √3𝑥−1

2𝑥+2

𝑦 = √ln (𝑥) )cos(3 xxy 𝑦 =6

𝑥4−4

𝑦 = √𝑡𝑔(𝑥) 𝑦 = √1 + 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 𝑦 = √3𝑥²3

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛(𝑥³ − 1)) 𝑦 = 𝑡𝑔²(𝑥) 𝑦 = (5𝑥²+3𝑥

4𝑥+1)

3

𝑦 = (cos (ln(𝑥)))² 𝑦 = 𝑡𝑔(𝑥2) 𝑦 = √5𝑥²+3𝑥

4𝑥+1

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛((3𝑥 − 1)3) 𝑦 =

1−𝑥

√1+𝑥² 𝑦 = 𝑒ln (3𝑥)

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛²(3𝑥 − 1) 𝑦 =𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔(𝑥−2)

𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔(𝑥+1) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔3 (

𝑥

𝑥+1)

)(3 3xseny )2log( xy x )()ln( xsenexy

𝑦 = 𝑙𝑛 (𝑐𝑜𝑠(√2𝑥)) )·ln( )(xsenexy 𝑦 =1+𝑠𝑒𝑛(𝑥)=

1−𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(√ln (𝑥)) ))(·ln( xesenxy xxy 24 10·

𝑦 = 𝑙𝑛(√cos (𝑥)) 𝑦 = 𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 𝑦 = 𝑒𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛(4𝑥2)

𝑦 = √𝑐𝑜𝑠(ln (𝑥)) 𝑦 = (𝑒𝑥)𝑥 𝑦 =2

𝑥²+ 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (

𝑘

𝑥)

𝑦 = √𝑙𝑛(cos (𝑥)) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔(𝑒−3𝑥) )6ln( 3 xxy

𝑦 =1+√𝑥

√𝑥−1 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛(𝑥)) 𝑦 = 𝑙𝑛(ln (𝑥))

𝑦 = 𝑙𝑛 (√𝑥

2𝑥+1) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛(ln(𝑥)) 𝑦 =

ln (𝑥)

𝑥

)()1( 2 xaarctgxy 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (𝑥−1

𝑥+1) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔(√𝑥 − 2)

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(ln (𝑥2)) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛²(𝑥)) 𝑦 =𝑠𝑒𝑛(𝑥)+cos (𝑥)

cos(𝑥)−𝑠𝑒𝑛(𝑥)


Regla de L’Hôpital Sean f y g dos funciones derivables en un entorno del punto de abscisa x=a, tales que

xfax

lim

xgax

lim 0.

Si existe )('

)('lim

xg

xf

ax, entonces también existe

)(

)(lim

xg

xf

ax, y además

)(

)(lim

xg

xf

ax=

)('

)('lim

xg

xf

ax

Esta regla nos permite resolver indeterminaciones de los tipos 0

0 𝑒

∞

∞, otros tipos de

indeterminaciones (0 · ∞, ∞ − ∞, 1∞ 𝑦 ∞0) las trasformaremos en un cociente para aplicar la regla de L’Hôpital

Ej.

0

01lim

0 x

e x

x( L´Hôpital )= 1

1lim 0

0

e

e x

x

Ej.

·0·21lim

1

xx

x

0

0

1

21lim

1

x

x

x(L´Hôpital)=

2

2

1

1

1)·2·ln(2

lim

x

x

x

x

)2ln(2)·2ln()2·ln(2lim 0

1

x

x

1. Halla el valor de los siguientes límites:

a) 32

122

2

1

xx

xxlímx

j) 1

1

1

nx x

xlím r)

)(0 xsen

eelím

xx

x

b)

ax

axxlím

x·ln k)

)1ln(

1120 xx

límx

s) 1

12

22

0

x

xx

x e

xexelím

c) 331

1

x

xxlím l) x

xxlím

12

t)

20

)1)·((

x

exsenlím

x

x

d) 30

)()·cos(

x

xsenxxlímx

m)

30

)(

x

xsenxlímx

u) )()(cos

0xctgxeclím

x

e)

20

)3cos(ln

x

xlímx

n) x

xxlím

1

v) )(

0

xsen

xxlím

f) )2cos(

)(1

4x

xtglímx

ñ) ))·ln((0

xxtglímx

w) xx

xelím 1

0

g) 30

)(

x

xtgxlímx

o)

)1(

)12ln( 2

1

xtg

xlímx

x) )(

)5(

2xtg

xtglímx

h) 1

)ln(

1 x

xlímx

p)

)ln(

1

11 xx

xlímx

y)

x

xlímx

1·ln

0

i) x

xlímx

)ln(

q)

)()(

)cos()3cos(

0

senxsen

xlímx

z) )(·

0xctgxlím

x


2. Comprueba que :

lim𝑥→0𝑒𝑥−𝑒−𝑥−2𝑥

𝑥−𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 2 lim𝑥→0

𝑙𝑛(cos (3𝑥))

𝑙𝑛(cos (2𝑥)) = 9/4

lim𝑥→01−cos(𝑥)+𝑥2

2𝑥2 = ¾ lim𝑥→1 (1

𝑥−1ln (𝑥)) = 1

lim𝑥→0(−𝑥 · ln (𝑥)) = 0 lim𝑥→∞√𝑥+1

𝑒𝑥 = 0

lim𝑥→0(cos (2𝑥))1

𝑠𝑒𝑛2(𝑥)⁄ = 𝑒−2 exelím xx

x

13

0

exxsenlím xx

1

0)cos()(

b

a

x

balím

xx

xln

0

PAEU

1. Sea f la función dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 3|𝑥| + 2, x∈ ℝ.

Estúdiese la derivabilidad de f en x=0 mediante la función derivada. (Septiembre 2004)

2. Estúdiese la derivabilidad de 𝑓(𝑥) = {ln (1 + 𝑥2) 𝑥 > 0

𝑥² 𝑥 ≤ 0 (Septiembre 2005)

3. Dada la función 𝑓(𝑥) = |𝑥² − 𝑥 − 2| Demostrar que no es derivable en x=2. (Junio 2009)

4. Dar un ejemplo de una función que sea continua en un punto y que no sea derivable en él.

(Junio 2010)

5. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1| en el intervalo [-2,2].

Calcular la función derivada en ese intervalo. (Septiembre 2011)

6. Calcular lim𝑥→0√𝑥+2−2

√2𝑥−3−1 (Septiembre 2013)

7. Determinar los valores de a y b para que la función 𝑓(𝑥) = {𝑒𝑎𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

2𝑎 + 𝑏𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0 sea

derivable (Septiembre 2013)

8. Calcular lim𝑥→0 (1

𝑥−

1

ln (1+𝑥)) (Junio 2 015)

9. Calcular lim𝑥→0(cos (𝑥))1

𝑥² (Septiembre 2015)

10. Calcular lim𝑥→0 (1

𝑥−

1

𝑒𝑥−1) (Junio 2 016)

11. Calcular lim𝑥→0+(1 + 𝑥²)1

𝑥 (Junio 2 016)

12. Calcular lim𝑥→0+ 𝑥 (𝑒1

𝑥 − 1) (Septiembre 2016)

13. a) Enunciar el teorema de Bolzano e interpretarlo geométricamente.

b)Encontrar un intervalo en el que 𝑃(𝑥) = 𝑥6 + 𝑥4 − 1 tenga al menos una raíz. (Junio 2 017) 14. Calcular lim𝑥→0+ 𝑥 · ln (𝑥) (Junio 2 017)

15. Dada la función 𝑓(𝑥) = {𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝑥² + 𝑎𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0. Calcular a para que f sea derivable en x = 0.

(Septiembre 2017)

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