Unidad 2 La Derivada: Estudio de la variación y el cambio 2 - 31

Concepto clave

La derivada de una función se define principalmente de dos maneras:

1. Como el límite del cociente de Fermat

( ) ( )

(́ )x a

f x f af a lím

x a

2. Como el límite del cociente de incrementos

0

( ) ( )(́ )

x

f x x f xf x lím

x

Conocida también como la regla de los cuatro pasos.

Tanto una como otra definición permiten obtener la derivada de una función.

A lo largo de esta sección aplicaremos la primera definición para obtener la derivada de funciones polinomiales y en la siguiente sección utilizaremos la segunda definición, con la finalidad de comparar los dos procedimientos.

El procedimiento consiste principalmente en obtener en primer lugar el

cociente ( ) ( )f x f a

x a

y posteriormente calcular el límite cuando x tiende al valor a.

Antes de calcular el límite es conveniente eliminar el factor x-a del denominador

Haremos primeramente un repaso de operaciones algebraicas que serán necesarias para realizar simplificaciones al obtener la derivada de funciones polinomiales.

Algunas factorizaciones importantes son la diferencia de cuadrados o diferencia de cubos, que se muestran enseguida.

Diferencia de cuadrados 2 2 ( )( )x y x y x y

Un caso más general 4 4 2 2 2 2 2 2( )( ) ( )( )( )x y x y x y x y x y x y

Diferencia de cubos 3 3 2 2( )( )x y x y x xy y

En general se puede realizar la factorización de una diferencia de la manera siguiente:

1 2 3 2 2 3 2 1( )( ....... )n n n n n n n nx y x y x x y x y x y xy y

2 - 32 Unidad 2 La Derivada: Estudio de la variación y el cambio

Por ejemplo 5 5 4 3 2 2 3 4( )( )x y x y x x y x y xy y

Como también

1 1

2 22 2

1 1

3 33 3

( ) ( )

( ) ( )

x y x y

x y x y

y aplicar las reglas anteriores, de ser necesario.

Veamos algunos ejemplos

Solución

1. Obtenemos el cociente

( ) ( ) (7 9) (7 9) 7 9 7 9 7( )7

f x f a x a x a x a

x a x a x a x a

2. Calculamos el límite ( ) ( )

(́ ) 7 7x a x a

f x f af a lím lím

x a

Por consiguiente,

(́ ) 7f a y en general f´(x)= 7

Solución

1. Obtenemos el cociente

2 2 2 2( ) ( ) ( 3 9 3) ( 3 9 3) 3 9 3 3 9 3f x f a x x a a x x a a

x a x a x a

Ejemplo 2.8

Calcula la derivada de la función f(x)= 7x –9

Ejemplo 2.9 Calcula la derivada de 2( ) 3 9 3f x x x

Unidad 2 La Derivada: Estudio de la variación y el cambio 2 - 33

Se cancelan los números 3 y podemos agrupar los términos de segundo grado y de primer grado.

2 23( ) 9( ) 3( )( ) 9( )x a x a x a x a x a

x a x a

,

Y simplificamos utilizando la factorización de una diferencia de cuadrados, obteniendo 3( ) 9x a .

2. Aplicamos finalmente el límite

(́ ) lim 3( ) 9 3(2 ) 9 6 9x a

f a x a a a

Por lo tanto, (́ ) 6 9f a a y en general (́ ) 6 9f x x

Solución

1. Obtenemos el cociente

3 32 5 2 510 10

3 2 3 2x x a a

x a

Se cancelan los números 10 y se agrupan por un lado, los términos de tercer grado y por otro los de primer grado.

3 32 5( ) ( )

3 2x a x a

x a

aplicamos la factorización de diferencia de cubos, lo

cual nos permitirá simplificar el factor (x – a), entonces tendremos

2 2

2 2

2 5( )( ) ( )

2 53 2 ( )3 2

x a x xa a x a

x ax ax a

2. Finalmente aplicamos el límite

2 2 2 22 5 2 5 5( ) (3 ) 2

3 2 3 2 2x alím x xa a a a

Ejemplo 2.10 Calcula la derivada de

32 5( ) 10

3 2f x x x

2 - 34 Unidad 2 La Derivada: Estudio de la variación y el cambio

Y , en general 2 5(́ ) 2

2f x x

Solución

1. Obtenemos el cociente

4 3 2 4 3 2(2 4 5) (2 4 5)x x x a a a

x a

Se eliminan los 5 y se agrupan por potencias los términos en x y en a.

4 4 3 3 2 22( ) ( ) 4( ) 7( )x a x a x a x a

x a

Se factorizan las diferencias de cuadrados y cubos para simplificar

2 2 2 22( )( )( ) ( )( ) 4( )( ) 7( )x a x a x a x a x ax a x a x a x a

x a

Dividiendo cada término entre (x - a), obtenemos

2 2 2 22( )( ) ( ) 4( ) 7x a x a x ax a x a

2. Aplicamos el límite 2 2 2 2 2 22( )( ) ( ) 4( ) 7 2(2 )(2 ) 3 4(2 ) 7

x alím x a x a x ax a x a a a a a

= 3 28 3 8 7a a a

Por lo tanto 3 2(́ ) 8 3 8 7f x x x x

Ejemplo 2.11 Obtén la derivada de la

función 4 3 2( ) 2 4 7 5f x x x x x

Unidad 2 La Derivada: Estudio de la variación y el cambio 2 - 35

En este caso el límite de Fermat se puede escribir como

limx a

x a

x a

Hay dos posibilidades para obtener este límite, una es considerando x – a

como una diferencia de cuadrados y aplicando la factorización correspondiente.

Veamos esta posibilidad

1.

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

2 22 2 2 2 2 2 2 2

1

( ) ( ) ( )( ) ( )

x a x a x a

x ax a x a x a x a

Simplificamos términos iguales y aplicamos el límite

2. 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 1 1 1(́ ) lim

2( ) 2

x af a

ax a a a a

Por lo tanto 1

(́ )2

f xx

Otra posibilidad para obtener la derivada es racionalizando el numerador de la fracción

Recordemos que para racionalizar el numerador o denominador de una fracción que contiene una suma o diferencia de radicales, hay que multiplicar tanto numerador y denominador de la fracción por el binomio conjugado.

Por ejemplo, para racionalizar el numerador de la siguiente fraccióna b

b

Se multiplican numerador y denominador por el binomio conjugado del

numerador, que en este caso es la suma de radicales a b

Considerando la fracción a b

b

, si queremos racionalizar el numerador,

multiplicamos numerador y denominador por a b

Ejemplo 2.12 También es posible obtener, utilizando este límite, la derivada de funciones

como ( )f x x

2 - 36 Unidad 2 La Derivada: Estudio de la variación y el cambio

( )

a b a b a b

b a b b a b

Calculemos de esta manera la derivada de ( )f x x

Obtenemos el cociente y racionalizamos el denominador

1. ( )( )

x a x a x a x a

x a x a x a x a x a

Simplificamos x – a y aplicamos el límite cuando x tiende al valor a

2. 1 1 1

( ) 2x alím

x a a a a

Y obviamente obtuvimos el mismo resultado que antes.

1. Obtenemos el cociente

( ) ( ) 2 3 5 2 3 5f x f a x a

x a x a

Racionalizamos el denominador

( ) ( ) 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 4(3 5) 4(3 5)

2 3 5 2 3 5 ( )(2 3 5 2 3 5)

f x f a x a x a x a

x a x a x a x a x a

12 20 12 20 12( ) 12

( )(2 3 5 2 3 5) ( )(2 3 5 2 3 5) (2 3 5 2 3 5)

x a x a

x a x a x a x a x a

2.Aplicamos el límite

Ejemplo 2.13

Obtén la derivada de la función ( ) 2 3 5f x x

Unidad 2 La Derivada: Estudio de la variación y el cambio 2 - 37

12 12 3

(2 3 5 2 3 5) 4 3 5 3 5x alím

x a a a

Por lo tanto ´ 3( )

3 5f x

x

1. ( ) 6 11f x x

2. 2( ) 5 11 1f x x x

3. 21 3 1( )

2 4 3f x x x

4. 4 3( ) 5 7f x x x

5. 4 23( ) 3 13

4f x x x x

6. 2 3( ) 2 3 4 5f x x x x

7. 5 3( ) 2 6f x x x

8. 2 3 4( ) 6 8 2f x x x x

9. ( ) 5 8f x x

10. 6 4 2( ) 3 11 7f x x x x x

Ejercicio 2.3

Obtén la derivada de cada una de las siguientes funciones usando el límite del cociente de Fermat