tema 8: la derivada de una funciÓn · criterio de la primera derivada. sea f una función...
TRANSCRIPT
Alonso Fernández Galián
- 1 -
TEMA 2: LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
El concepto de derivada surge en el siglo XVII para solucionar el problema de la tangente. Pos-
teriormente ha dado lugar a toda una rama de la Matemática: el Cálculo Diferencial.
2.1 LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Y LA FUNCIÓN DERIVADA
Dada una función f y un punto 0xx = , consideremos el límite del cociente incremental cuan-
do el incremento de la variable independiente tiende a 0:
h
xfhxf
h
)()(lim 00
0
−+
→
Si este límite existe y es finito, se dice que la función es de-
rivable en 0xx = . El valor resultante se denomina derivada
de f en 0xx = , y se denota por )( 0xf .
Geométricamente, )( 0xf es igual a la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 0xx = .
Nota: Haciendo hxx += 0 se obtiene una expresión alternativa para la derivada:
0
00
)()(lim)(
0 xx
xfxfxf
xx −
−=
→
Continuidad y derivabilidad. Una función derivable en 0xx = es continua en dicho punto:
f es derivable en 0xx = f es continua en 0xx =
Sin embargo, el recíproco no es necesariamente cierto:
f es continua en 0xx = f es derivable en 0xx =
Por ejemplo, la función valor absoluto es continua pero no derivable en 0=x .
Ejemplo de función conti-
nua pero no derivable.
•Ejemplo: Calcular la derivada de 2)( xxf = el punto 1=x .
=+
=−++
=
=
−+=
−+=
→→→→ h
hh
h
hh
h
h
h
fhff
hhhh
2
0
2
0
22
00
2lim
121lim
0
01)1(lim
)1()1(lim)1(
( )( ) 22lim
2lim
00=+=
+=
→→h
h
hh
hh.
•Ejemplo: Demuestra que la función valor absoluto, xxf =)( ,
no es derivable en 0=x .
La función valor absoluto se puede expresar a trozos:
−=
0 si
0 si)(
xx
xxxf
Calculemos las derivadas en 0=x por uno y otro lado:
[…]
Matemáticas II
- 2 -
La función derivada. Dada una función f , se define la función derivada de f como la función
que a cada punto x le asigna la derivada f en dicho punto. Se denota por f .
D ℝ ⎯→⎯ ℝ
h
xfhxfxfx
h
)()(lim)(
0
−+=→
→
La función derivada de las funciones elementales está recogida en la siguiente tabla:
axxfxxf
xxfxxf
aaxfaxf
exfexf
xnxfxxf
xfxxf
xfcteccxf
derivadafunción
a
xx
xx
nn
ln
1)(log)(
1)(ln)(
ln)()(
)()(
)()(
1)()(
0)()(,)(
1
==
==
==
==
==
==
===
−
2
2
2
2
1
1)(arctan)(
1
1)(arccos)(
1
1)(arcsen)(
cos
1)(tan)(
sen )(cos)(
cos)(sen )(
xxfxxf
xxfxxf
xxfxxf
xxfxxf
xxfxxf
xxfxxf
derivadafunción
+==
−
−==
−==
==
−==
==
Derivadas sucesivas. La función derivada f puede volver a derivarse, obteniéndose entonces
la derivada segunda de f , que se denota por f . Similarmente se obtienen la derivada tercera,
la derivada cuarta,…
derivada primera: f , derivada segunda: f , derivada tercera: f , …
En general, la derivada n-ésima de f se denota por nf ( .
[…]
Derivada por la izquierda:
( ) 1lim0)0(
lim)0()0(
lim0000
−=−
=−+−
=−+
=→→→
−
− h
h
h
h
h
fhff
hhh
Derivada por la derecha:
( ) 1lim0)0(
lim)0()0(
lim0000
==−+
=−+
=→→→
+
+ h
h
h
h
h
fhff
hhh
Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en 0=x :
)0(f
Tema 2: La derivada de una función
- 3 -
2.2 CÁLCULO DE DERIVADAS
Además de la tabla de derivadas, para poder derivar cualquier función debemos conocer cómo
actúa la derivada respecto de las operaciones entre funciones.
Operaciones con funciones. Las reglas para derivar las operaciones entre funciones son:
Junto a ellas, tenemos la siguiente regla para derivar funciones compuestas:
Esta última regla se conoce como regla de la cadena.
(d) ( )xxf cosln)( = .
( ) xx
xxf tgcos
1sen )( −=−=
(e) x
exf
x 15
)(+
= .
2
15155)(
x
exexf
xx ++ −=
(f) ( )xexf 3 arctg)( = .
( )29
3
23
3
1
3
1
3)(
x
x
x
x
e
e
e
exf
+=
+=
•Ejemplo: Calcula la función derivada de
las siguientes funciones:
(a) 145)( 23 −+−= xxxxf .
4103)( 2 +−= xxxf
(b) ( )xxxf 7sen )( 3 += .
( ) ( )xxxxf 7cos73)( 32 ++=
(c) xxxf ln)( 2= .
xxxx
xxxxf +=+= ln21
ln2)( 2
( ) ( ))()()()()( xugxuxfxugxf == (composición de funciones)
)()()()( xucxfxucxf == (producto por una cte)
)()()()()()( xvxuxfxvxuxf +=+= (suma de funciones)
)()()()()()( xvxuxfxvxuxf −=−= (resta de funciones)
)()()()()()()()( xvxuxvxuxfxvxuxf +== (producto de funciones)
)(
)()()()()(
)(
)()(
2 xv
xvxuxvxuxf
xv
xuxf
−== (cociente de funciones)
•Ejemplo: Calcula la derivada de 15)( += xxf en el punto 3=x .
Podemos escribir la función como ( ) 2/115)( += xxf .
-Función derivada: ( )152
515
2
15)(
2/1
+=+= −
xxxf
-Derivada en 3=x : 8
5
1352
5)3( =
+=f .
Matemáticas II
- 4 -
Derivada de una función exponencial-potencial. Para derivar una función en la que la variable
independiente x está tanto en la base como en el exponente, )()()( xuxgxf = , se toman
logaritmos para bajar el exponente y se deriva implícitamente la igualdad resultante.
Cálculo de rectas tangentes. La derivada de f en
0xx = es igual a la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de f en el punto de abscisa 0xx = .
mh
xfhxfxf
h=
−+=
→
)()(lim)( 00
00
Por tanto, la recta tangente tiene ecuación:
)()()( 000 xfxxxfy +−=
•Ejemplo: Escribe la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 3)1()( −= xxf en 2=x .
Punto ),( 00 yxP :
20 =x .
1)12()( 300 =−== xfy
Pendiente:
La derivada de 3)1()( −= xxf es: 2)1(3)( −= xxf
La derivada en el punto 2=x es: 3)12(3)2( 2 =−=f
La recta tangente es, por tanto:
( ) 00 yxxmy +−=
)()()( 000 xfxxxfy +−=
1)2(3 +−= xy
En forma general, 053 =−− yx .
•Ejemplo: Derivar la función ( ) xxxf
3cos)( = .
Tomamos logaritmos y desarrollamos la expresión:
-Tomamos logaritmos: ( ) xxxf
3cosln)(ln =
-Bajamos el exponente: ( )xxxf cosln3)(ln =
Derivamos ambos lados de la igualdad:
( ) ( ) ( ) xxxx
xxxxf
xf tg3cosln3
cos
1sen 3cosln3
)(
)(−=−+=
Despejando )(xf tenemos, finalmente:
( ) ( ) ( ) xxxxxxxfxfx
tg3cosln3cos tg3cosln3)()(3
−=−=
Tema 2: La derivada de una función
- 5 -
2.3 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA A TROZOS
Al derivar una función definida a trozos, debemos comprobar si la función es derivable en los
puntos donde se unen los distintos trozos.
=
0
0
si),(
si),()(
xxxh
xxxgxf
=
=
0
0
0
si),(
si¿?
si),(
)(
xxxh
xx
xxxg
xf
Estudio práctico de la derivabilidad en un punto. Para estudiar si una función f es derivable
en el punto 0xx = , se procede como sigue:
(i) Estudiamos primero si f es continua en 0xx = , pues en caso contrario no será derivable.
(ii) Si la función es continua en 0xx = , estudiamos las derivadas laterales para ver si coinciden.
•Ejemplo: Estudiar si la siguiente función es derivable en 1=x .
−=
1 siln2
1 si1)(
2
xx
xxxf
(i) Continuidad: Veamos si la función es continua:
( )
( ))1(0)(lim
0ln2lim)(lim
01lim)(lim
1
11
2
11
fxf
xxf
xxf
x
xx
xx
==
==
=−=
→
→→
→→
++
−−
La función es continua en 1=x .
(ii) Derivabilidad: Estudiemos las derivadas laterales:
-Derivada por la izquierda: 12 −= xy xy 2= . Así, ( ) 2121 == −f .
-Derivada por la derecha: xy ln2= x
y2
= . Así, ( ) 21
21 == +f .
Como la función es continua en 1=x y las derivadas laterales coinciden, la función es deri-
vable en 1=x , con:
2)1( =f
Gráficamente, la función es “suave” alrededor de 1=x , por lo que admite recta tangente:
La derivada de la función es, por tanto:
=
1 si/2
1 si2)(
xx
xxxf
Matemáticas II
- 6 -
Las funciones con valor absoluto son a menudo no derivables:
•Ejemplo: Estudia dónde es derivable la siguiente función:
xxf 26)( −=
Las funciones con valor absoluto se estudian más cómodamente como funciones definidas a
trozos:
−
=
0)( si),(
0)( si),()(
xuxu
xuxuxu
Para expresar xxf 26)( −= como una función a trozos debemos el signo de xy 26 −= :
3026 − xx
Así, concluimos que la función puede expresarse en la forma:
( )
−
−=
−−
−=
3 si62
3 si26
3 si62
3 si26)(
xx
xx
xx
xxxf
La función es claramente derivable en ℝ }3{− . Estudiemos si también lo es en 3=x .
(i) Continuidad: Comprobemos si la función es continua en 3=x .
( )
( ))3(0)(lim
062lim)(lim
026lim)(lim
3
33
33
fxf
xxf
xxf
x
xx
xx
==
=−=
=−=
→
→→
→→
++
−−
La función es continua en 3=x .
(ii) Derivabilidad: Debemos estudiar si las derivadas laterales en 3=x coinciden:
-Derivada por la izquierda: 226 −=−= yxy . Así, ( ) 23 −= −f .
-Derivada por la derecha: 262 =−= yxy . Así, ( ) 23 −= +f .
Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en 3=x .
Concluimos, por tanto, que la función sólo es derivable en ℝ }3{− .
La función derivada es:
−=
3 si,2
3 si,2)(
x
xxf
Tema 2: La derivada de una función
- 7 -
2.4 EXTREMOS RELATIVOS Y DERIVADA
Se denominan extremos relativos de una función tanto a sus máximos como a sus mínimos
relativos. El principal resultado teórico sobre extremos relativos es el siguiente.
Criterio de la primera derivada. Sea f una función derivable en el punto 0xx = . Si f alcanza
un extremos relativo en 0x , entonces la derivada de la función en dicho punto es nula.
Gráficamente:
Demostración: Vamos a demostrar el resultado en el caso de que la función alcance un máximo
relativo en 0x . La demostración en el caso de un mínimo relativo es análoga.
Si la función tiene un máximo en 0x para valores
pequeños de h se tiene:
( ) ( )00 xfhxf +
De modo que:
( ) ( ) 000 −+ xfhxf
Como la función es derivable en 0x , su derivada puede ser calculada tanto por la izquierda
como por la derecha, y ambos valores deben coincidir. Veamos qué ocurre en cada caso:
-Derivada por la izquierda: Veamos que debe ser mayor o igual que 0:
El numerador del cociente incremental es menor o
igual que 0, y el denominador es negativo. Por tanto:
( ) ( ) ( ) ( )0lim 00
000
−+==
−→
−
h
xfhxfxfxf
h
-Derivada por la derecha: Veamos que debe ser menor o igual que 0:
El numerador del cociente incremental es menor o
igual que 0, y el denominador es positivo. Por tanto:
( ) ( ) ( ) ( )0lim 00
000
−+==
+→
+
h
xfhxfxfxf
h
De modo que la derivada debe ser al menos 0 pero no mayor que 0, luego la única posibilidad es
que, de hecho, sea igual a 0.
En el próximo tema veremos cómo calcular los extremos relativos de una función.
f tiene un extremo relativo en 0xx = ( ) 00 = xf
Matemáticas II
- 8 -
2.5 EL TEOREMA DE ROLLE
Veamos ahora un resultado que, aunque simple, tiene consecuencias importantes.
Teorema de Rolle: Si una función f es continua en el intervalo cerrado ba, , derivable en el
interior del intervalo, ( )ba, , y con el mismo valor en sus extremos, ( ) ( )bfaf = , entonces existe
un punto c comprendido entre a y b en el que la derivada de f es nula, ( ) 0= cf .
Brevemente:
( )
( ) ( )( ) ( ) 0 que tal,
)(
en derivable es )(
en continua es )(
=
=
cfbac
bfafiii
a,bfii
a,bfi
Gráficamente, el teorema de Rolle implica que, bajo las hipótesis del teorema, existe un punto
interior del intervalo en el que la tangente a la gráfica de f es horizontal.
Demostración: Sean M y m los valores máximo y mínimo absolutos de la función en el intervalo
ba, , cuya existencia podemos asegurar por el Teorema de Weierstrass.
-Si m y M se alcanzan ambos en los extremos del intervalo ba, , entonces la función debe ser
constante:
( ) ( )bfafMm === ,
de modo que ( ) 0= xf para todo ( )bax , , y podemos tomar como c cualquier punto del
intervalo.
-Si m o M (o ambos) se alcanzan en el interior del intervalo ba, , entonces en el punto (o
puntos) donde se alcance debe haber un extremo absoluto, y por tanto relativo, de modo que
debe cumplirse:
( ) 0= xf
Así, concluimos que la derivada se anula en dicho punto interior.
•Ejemplo: Utiliza el Teorema de Rolle para demostrar que la derivada de la función
( ) xxxf 23 −=
se anula en el intervalo ( )3,1 .
Comprobemos que se satisfacen las hipótesis del Teorema de Rolle:
-La función es continua en ℝ, y en particular en el intervalo 3,1 .
- La función es derivable en ℝ, y en particular en el intervalo ( )3,1 .
[…]
Tema 2: La derivada de una función
- 9 -
Nota: Del Teorema de Rolle se deduce que si una
función continua y derivable se anula en dos
puntos 1x y 2x , entonces su derivada debe
anularse en al menos un punto interior ( )21 , xxz .
Es decir, entre cada dos puntos para los que se
anula una función existe al menos un punto interior
en el que se anula la derivada.
Como consecuencia, se tiene que si la derivada de una función continua y derivable f no se
anula, entonces f se anula a lo sumo una vez.
•Ejemplo: Demuestra que la ecuación 03 =+ xe x tiene exactamente una solución.
Consideremos la función ( ) 3xexf x += , continua y derivable en ℝ.
I. Veamos primero que la ecuación tiene al menos una solución. Para buscamos un
intervalo en el que podamos aplicar el Teorema de Bolzano:
( ) 01
11
11 1 −
=−=−=− −
e
e
eef
( ) 0100 0 =+= ef
La función es continua en toda la recta real, y en particular en el intervalo 0,1− , de modo
que del Teorema de Bolzano se deduce que existe un ( )0,1−c solución de la ecuación.
II. Veamos ahora que la ecuación no tiene más soluciones. Según hemos dicho, si hubiera
otra solución entre las dos soluciones debería existir un punto en el que la derivada se
anulase. Sin embargo,
( ) 03 2 += xexf x (pues xe es positivo)
De modo que c es la única solución de la ecuación.
[…]
Además,
( ) 1232131 1 =−=−=f
( ) 1892333 3 =−=−=f .
Por tanto, por el Teorema de Rolle existe un punto ( )3,1c tal que ( ) 0= cf .
Matemáticas II
- 10 -
2.6 EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO
El Teorema del Valor Medio de Lagrange constituye una generalización del Teorema de Rolle y
es uno de los resultados más importantes del Cálculo Diferencial.
Teorema del Valor Medio (Lagrange): Si una función f es continua en el intervalo cerrado
ba, y derivable en el intervalo abierto ( )ba, , entonces existe un punto interior ( )bac , tal
que:
( ) ( )( )cf
ab
afbf=
−
−
Observemos que el cociente anterior es la pendiente de la recta que pasa por los puntos de
coordenadas ( )( )afa, y ( )( )bfb, . De este modo, el Teorema del Valor Medio de Lagrange
indica que, bajo las hipótesis del teorema, la pendiente de la recta que pasa por los puntos
( )( )afa, y ( )( )bfb, coincide con la pendiente de la recta tangente en algún punto interior.
Demostración: Consideremos la función:
( ) ( )( ) ( )
( )axab
afbfxfxF −
−
−−=
La función F es continua en ba, y derivable en ( )ba, , por serlo f . Además:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )afafaaab
afbfafaF =−=−
−
−−= 0
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )afafbfbfabab
afbfbfbF =+−=−
−
−−=
De modo que toma el mismo valor en los extremos del intervalo ba, . Así, por el Teorema de
Rolle, existe un punto c del intervalo ( )ba, tal que ( ) 0= cF .
Por otro lado, la derivada de F es:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
ab
afbfxf
ab
afbfxfxF
−
−−=−
−
−−= 01
De manera que para c se cumple:
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
ab
afbfcf
ab
afbfcfcF
−
−==
−
−−= 00
Como queríamos demostrar.
Tema 2: La derivada de una función
- 11 -
2.7 LA REGLA DE L’HÔPITAL
Veamos finalmente un resultado que facilita enormemente el cálculo de límites.
Regla de L’Hôpital: Si el límite cuando 0xx → del cociente de dos funciones derivables
presenta una indeterminación del tipo 0/0 , podemos sustituir las funciones por sus derivadas,
siempre que el límite resultante exista:
( )( )
( )( )xg
xf
xg
xf
xxxx
=
=
→→ 00
lim0
0lim
Este resultado es consecuencia del Teorema del Valor Medio.
La Regla de L’Hôpital es especialmente útil para calcular límites que involucran a funciones
trascendentes (trigonométricas, exponenciales y logarítmicas).
La Regla de L’Hôpital también es válida para indeterminaciones del tipo / , y para límites
cuando →x . En total tenemos los cuatro casos siguientes:
)(
)(lim
0
0
)(
)(lim
00 xg
xf
xg
xf
xxxx
=
=
→→
)(
)(lim
0
0
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
xx
=
=
→→
)(
)(lim
)(
)(lim
00 xg
xf
xg
xf
xxxx
=
=
→→
)(
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
xx
=
=
→→
•Ejemplo: Calcular el siguiente límite de dos formas distintas:
xx
x
x 42
4lim
2
2
2 −
−
→
-Factorizando el numerador y el denominador:
14
4
2
2lim
)2(2
)2)(2(lim
0
0
42
4lim
222
2
2==
+=
−
+−=
=
−
−
→→→ x
x
xx
xx
xx
x
xxx
-Utilizando la Regla de L’Hôpital:
(a) 14
4
44
2lim´
0
0
42
4lim
22
2
2==
−==
=
−
−
→→ x
xHôpL
xx
x
xx
•Ejemplo: Calcular los siguientes límites:
(a) 5
2
5lim´
0
0
5lim
00=
+==
=
− −
→
−
→
xx
x
xx
x
eeHôpL
x
ee
(b) 01
0
1
sen lim´
0
0cos1lim ==
−==
=
−
+
→→
xHôpL
x
x
xx
(c) 2cos
42lim´
0
0
sen
2lim´
0
0
1cos
1lim
2222 2
000−=
−
+==
=
−==
=
−
−
→→→ x
exeHôpL
x
xeHôpL
x
e xx
x
x
x
x
x
Matemáticas II
- 12 -
Para utilizar la Regla de L’Hôpital con indeterminaciones de los tipos 0 y − debemos
manipular adecuadamente la función para convertir la indeterminación en una de los tipos 0/0
ó / .
Uso de la Regla de L’Hopital para indeterminaciones con exponentes. Para calcular límites
con indeterminaciones con exponentes,
0001 ,
podemos tomar logaritmos y utilizar el hecho de que, por ser el la función logarítmica una
función continua, el logaritmo de un límite es igual al límite del logaritmo.
•Ejemplo: Calcular x
xx /1lim
→.
?lim 0
1
==→
x
xx
(i) Llamamos A al límite:
x
xxA
1
lim→
=
(ii) Tomemos logaritmos y desarrollemos la expresión:
x
xx
xxxA
xx
x
x
x
x
lnlimln
1limlnlimlimlnln
11
→→→→===
=
(iii) Calculemos el límite resultante:
01
lim1
/1lim'
lnlim ====
=
→→→ x
xHôpL
x
x
xxx
(iv) De modo que 0ln =A . Por tanto:
1lim 0
1
===→
exA x
x
•Ejemplo: Calcular los límites siguientes haciendo uso de la Regla de L’Hôpital:
(a) ( ) 0limlim/1
/1lim´
/1
lnlim]0[lnlim
0
2
02000=−=
−=
−==
===
+++++ →→→→→x
x
x
x
xHôpL
x
xxx
xxxxx
(b) =+
−==
=
−=−=
−
→→→ xxx
xHôpL
xx
xx
xx xxx cos2sen 2
2coslim´
0
0
sen 2
2sen lim
sen
1
2
1lim
000
=−
=+
−=
0
1
00
21
•Ejemplo: Calcular el siguiente límite:
02
1lim
2
/1lim´
lnlim
22====
=
→→→ xx
xHôpL
x
x
xxx
Tema 2: La derivada de una función
- 13 -
1. Calcula la derivada de las siguientes funciones:
(a) 23
ln)(
xx
xxf
−= (b) ( )xxxf 2sen )( += (c)
=
xxf
cos
1ln)( (d) ( )26cos3)( xxxf =
(e) ( )xexf 3sen)( 2= (f) xxxf arcsen )( = (g) xx
x
ee
exf
−+=
2
)( (h) ( )( )1lncos)( 2 += xxf
2. Calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos de abscisa indicada.
(a) 1)( 22 −= xxxf en 30 =x . (b) 2
)1()(
−
−=
x
xxxg en 10 −=x .
3. Calcula la derivada de las siguientes funciones del tipo exponencial-potencial.
(a) ( ) xxxf
arctg)( = (b) ( ) x
xxg tg
sen )( =
4. Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función xxf =)( en el punto de
abscisa 40 =x .
5. Dada la función x
y−
=2
1,
(a) Calcula y , y , y , )4y .
(b) Encuentra una expresión general para )ny .
6. Determina los valores a, bℝ para que la función ( ) ( )xbxaxf cossen )( += pase por el punto ( )2,6/
y además cumpla que la pendiente de la recta tangente en 2/=x sea 5.
7. Dada la función:
26)( 2 +−= xxxf
(a) ¿En qué punto la tangente a su gráfica es paralela al eje de abscisas?
(b) ¿En qué punto la tangente a su gráfica es paralela a la recta 34 += xy ?
8. Halla el valor de k tal que la recta 94 −= xy sea tangente a la gráfica de la función kxxxf −= 2)( .
9. Halla los puntos en los que la recta tangente a la gráfica de 133
)( 23
+−−= xxx
xf es perpendicular a la
recta 13
: +=x
yr .
Estudio de la derivabilidad de una función
10. Estudia la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función:
−
+−=
342
354)(
2
xsix
xsixxxf
11. Halla razonadamente los puntos en que la función 54)( 2 −−= xxxf no es derivable.
EJERCICIOS DEL TEMA 2
Matemáticas II
- 14 -
12. Determina si la función 32)( xxf += es derivable en el punto 0=x .
13. Estudia la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función:
−−−
−+
=
4 si,5
41 si,52
1 si,12
2
)( 2
x
xxx
x
xf
14. Calcula el valor de las constantes b y c para que la siguiente función sea derivable en toda la recta real:
+
−=
1
1)(
23
xsibax
xsixxxf
15. La función :f →5,0 ℝ dada por:
−+
+=
52 si1
20 si)(
2
xxc
xbxaxxf
es derivable en todo su dominio y verifica )5()0( ff = . Calcula el valor de a, b y c.
El teorema de Rolle
16. Demuestra mediante el teorema de Rolle que la derivada de la función 57)( 23 +−= xxxf se anula en
algún punto del intervalo ( )3,2− . Después, encuentra tal punto.
17. Dada la función 4/1)( xxf = , ¿es aplicable el teorema de Rolle en el intervalo 2,2− ? En caso
afirmativo, encuentra el punto cx = que satisface la tesis del teorema.
18. Considera la función:
12cossen )( +−= xxxf
(a) ¿Es aplicable el teorema de Rolle en el intervalo
6
5,
6
?
(b) En caso afirmativo, encuentra un valor de dicho intervalo para el que se anule la derivada.
19. Dada la función xxf −= 2)( , ¿es aplicable el teorema de Rolle en el intervalo 2,2− ? En caso
afirmativo, encuentra un valor ( )2,2−c en el que se anule la derivada.
El teorema del valor medio de Lagrange
20. Dada la función:
x
xxf
−
+=
1
1)(
(a) ¿Es aplicable el teorema de Lagrange en el intervalo 6,1 ?
(a) ¿Es aplicable el teorema de Lagrange en el intervalo 11,3 ?
(c) En los casos en los que sea aplicable, encontrar el valor cx = correspondiente.
Tema 2: La derivada de una función
- 15 -
21. Estudia si es aplicable el teorema del valor medio (o teorema de Lagrange) a la función xxf ln)( = en el
intervalo 6,2 . En caso afirmativo, encuentra un valor ( )6,2c que satisfaga la tesis del teorema.
22. El espacio recorrido por un móvil con movimiento rectilíneo viene dado por la expresión:
ttts )2()( −=
(a) Calcula la velocidad media entre los instantes 0=t y 1=t .
(b) Justifica mediante el teorema de Lagrange que en algún instante entre 0=t y 1=t se alcanza
exactamente tal velocidad media.
(c) Encuentra dicho instante.
23. Dada la siguiente función:
−+−
−=
2 si2016
2 si4)(
2
3
xxx
xxxf
(a) ¿Cumple las hipótesis del teorema de valor medio (o de Lagrange) en el intervalo 3,0 ?
(b) ¿Hay algún punto de la gráfica en la que la recta tangente sea paralela a la recta que pasa por los puntos
))0(,0( f y ))3(,3( f ?
La regla de L´Hôpital
24. Calcula los siguientes límites haciendo uso de la regla de L´Hôpital.
(a) x
e x
x
1lim
0
−
→ (b)
12
23lim
24
3
1 +−
+−
→ xx
xx
x (c)
2
lnlim
x
x
x →
(d) 30
2sen cos2lim
x
xxx
x
−
→ (e)
155
72lim
2
2
+−
−
+→ xx
xx
x (f)
30
sen lim
x
xx
x
−
→
25. Calcula los siguientes límites mediante la regla de L´Hôpital:
(a) xxx
lnlim0+→
(b)
−
+→ xxx
1
)1(ln
1lim
0 (c)
x
x
x 2
6sen lim
0→
(d)
−
+→ xx
x
1cos1lim 2 (e) ( )xx
xsen lnlim
0+→
(f)
x
x
x
e1
1
21
1lim
−
−
+→
26. Calcula los siguientes límites aplicando la regla de L´Hôpital.
(a) x
xx
0lim→
(b)
42
13
53lim
−
+→
+
−x
x x
x (c) x
xx −
→
1
1
1lim
(d) ( ) xex
x1
lnlim+→
(e) x
xx sen
0lim→
(f) x
xx sen
0 cotglim
→
27. La función :f ℝ →ℝ dada por
+
++
=
0 si)1(ln
0 si
)(
2
xx
x
xcbxx
xf
es derivable en el punto 0=x . Calcula cuánto valen las constantes b y c.
Matemáticas II
- 16 -
________________________________________________________________________________
Selección de Ejercicios de PAEG - EvAU
Reserva I 2009-2010
Junio 2013-2014
Reserva II 2009-2010
Junio 2017-2018
Septiembre 2011-2012
Reserva I 2012-2013 (apartado a)