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Unidad 2
Límites y continuidad
Objetivos
Al terminar la unidad, el alumno:
Aplicará el álgebra de límites.
2
79
Matemáticas
Introducción
L a noción de estar cada vez más cerca de algo pero sin llegar a tocarlo caracteriza al l ímite, que es el concepto fundamental sobre el cual se construye todo el cálculo.
El concepto de límite describe en forma precisa el comportamiento de la función cuando los valores de x están muy próximos a un valor a, pero sin ser igual a a. Esta situación la tenemos presente en problemas de administración y economía, por ejemplo, en la producción máxima teórica de una máquina o proceso industrial, la que se calcula como un límite en el sentido de que es una producción no alcanzable, pero a la que se puede aproximar; también podemos percibirlo en el rendimiento por litro de gasolina de un auto, el fabricante nos indica que tiene cierto rendimiento, sin embargo es un valor no alcanzable pues este rendimiento se logra bajo ciertas condiciones que difícilmente se llegan a tener en el uso diario del automóvil, posiblemente se logrará acercarse a ese valor, pero nunca se alcanza.
La continuidad de una función es el otro concepto que se estudiará en esta unidad, la cual, además de su importancia teórica, está presente en ciertos procesos productivos en los cuales se considera que existen puntos en el proceso de producción en donde existen discontinuidades, los costos asumen diferente estructura.
2.1. Concepto de límite
Los límites describen lo que le sucede a una función f(x) a medida que su variable independiente x se aproxima a una constante a. Para ilustrar este concepto, supongamos que se quiere conocer qué le sucede a la función:
f x
x xx
( )2 2
1a medida que x va tomando valores cercanos a 1.
Aunque f(x x = 1, el interés no es esta igualdad, ya que lo que se quiere es tomar valores cercanos a 1 y observar el comportamiento de las imágenes. Ahora bien, para acercarnos a 1 lo podemos hacer con valores más pequeños que 1 o con valores mayores a 1.
Haciendo referencia al eje x, se dice que se realiza un acercamiento por la izquierda en el primer caso y por la derecha en el segundo. La tabla 2.1 muestra algunos valores de x en las cercanías de 1 junto con sus respectivas imágenes f(x).
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Unidad 2
0
Al factorizar el numerador y cancelar los factores comunes se obtiene:
, f(x) = x + 2 para todos los valores x 1, lo que
facilita los cálculos.
Tabla 2.1. Algunos valores de la función f(x)= x + 2 en las cercanías de 1.
En esta tabla los valores de la función f xx x
x( )
2 21
se acercan a 3
cuando x se acerca cada vez más a 1 por cualquier lado. Este comportamiento puede describirse diciendo que el límite de f(x) a medida
que x se acerca a 1 es igual a 3 y se escribe simbólicamente de la forma:
lim ( )x
f x1
3
f xx x
x( )
2 21
a través
Figura 2.1. f xx x
x( )
2 21
en un valor a:
x 0.8 0.9 0.95 0.99 0.999 1.0001 1.001 1.01 1.05 1.1
f(x) 2.8 2.9 2.95 2.99 2.999 3.0001 3.001 3.01 3.05 3.1
f xx x
xx( )
( )( )2 11
2
2
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Matemáticas
Agregar otros teoremas de límites que completen las propiedades:
El l ímite, cuando existe, es único. Esto en particular significa que la función f(x) se acerca a L, tanto si x se acerca a a por la izquierda como por la derecha.
El límite de una función en un punto a
L, que es el límite de la función, coincide con f(ala función existe y f(afunción f(a) no existe, sin embargo el límite L sí existe.
Figura 2.4. El límite existe en a x = a.
Si f(x) se aproxima cada vez más a un número L a medida que x se acerca a a por cualquier lado, se dice que L es el límite de f(x), cuando x toma valores
a pero no igual a a, y se escribe:
limx a
f x L( )
f(a)
f(a)
Figura 2.2. El límite L coincide con f(a). Figura 2.3. El límite L es diferente a f(a).
82
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límite en a porque f(x) se aproxima a 2 a medida que x se acerca a a por la izquierda y a su vez se aproxima a 5 cuando x se acerca a a por la derecha. El círculo relleno indica que la imagen de a esta ahí, en tanto que el círculo vacío indica lo contrario.
Figura 2.5. No existe límite en a.
a no existe, ya que los valores de la función f(xque x se acerca a a
Figura 2.6. El límite en el punto a .
2
83
Matemáticas
Ejercicio 1
1.
2.
3.
4.
b (a, b)
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
84
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5.
6.
7.
8.
xa
f (x)f (x)
f (x)
f (x)
b (a, b)
f (x)
a
2
85
Matemáticas
2.2. Teoremas de límites
Para calcular límites en funciones dadas en forma algebraica se requiere de los límites de las funciones constante e idéntica y de un teorema que enseña a calcular límites para funciones obtenidas como resultado de operaciones algebraicas entre funciones.
2.2.1. Límite de la función constante
Si se tiene la función f(x)=2, ¿cuál es el límite de esta función si x tiende al valor 5? Como la función no se mueve del valor 2, es natural pensar que su límite es también 2. En relación con este razonamiento, de manera general al calcular el límite de una constante c se tiene el siguiente resultado general:
limx a
c c
Esto es, “el límite de una constante es la constante misma” .
Ejemplo 1
¿Cuál es el límite de la función f (x)=5 cuando x se acerca al valor 17?
Solución: la función vale 5 para todos los valores de x, luego su límite es 5, es decir:
limx 17
5 5
2.2.2. Límite de la función idéntica
Dada la función idéntica f(x) = x, ¿cuál es el límite cuando el valor x se acerca a a? El límite de esta función es el mismo valor de a, ya que los valores de la función son los mismos de x, es decir, se tiene:
limx a
x a
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Ejemplo 2
¿Cuál es el límite de la función idéntica en 85?
Solución: como las imágenes de la función idéntica son los mismos de
85, es decir:
limx
x85
85
2.2.3. Álgebra de límitesEl siguiente teorema muestra la forma de hallar los límites de las distintas
operaciones con funciones cuando se conocen los límites de las funciones que intervienen.
Teorema 1
Si limx a
f x L( ) y limx a
g x M( ) se tiene que:
1. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a
f x g x f x g x L M
2. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a
f x g x f x g x LM
3. lim( )
( )
lim ( )
lim ( )x a
x a
x a
f x
g x
f x
g x
L
M siempre y cuando M 0
4. limx a
n nx a
5. limx a
n nx a
En otras palabras, lo que el teorema dice es que el límite de una suma, diferencia, producto o cociente de funciones es igual a la suma, diferencia, producto o cociente de los límites. Para el cociente se excluye el valor 0 para el límite M
Así también, el l ímite de una potencia y raíz es la potencia o raíz del límite.
Ejemplo 3
¿Cuál es el l ímite de la función f(x) = 2x2 + 3x –5 cuando x tiende a cualquier valor a?
2
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Matemáticas
Solución: de acuerdo con el teorema tenemos que la función es una suma, entonces basta calcular el límite de cada uno de los sumandos y sumar luego los resultados. Como los sumandos son el producto de funciones constantes e idénticas, es necesario hallar el límite de estas funciones y luego multiplicar los límites, esto es:
lim lim
(lim )(lim ) (lim )x a x a
x a x a x a
x x x
x x
a a
2 2
2
2
2
Por los resultados conocidos para las funciones constante e idéntica, si hacemos lo propio con los demás sumandos se llega a que el límite es igual a 2a2 + 3a –5.
Realizando un análisis como el del ejemplo 1 se obtiene el siguiente resultado, al cual llamamos corolario para indicar que se deduce del teorema 1.
Colorario 1
1. Si f(x) es un polinomio se tiene que limx a
f x f a( ) ( )
2. Si r xg xh x
( )( )( )
es una función racional, se tiene que limx a
r x r a( ) ( )
siempre y cuando h(a)
Lo que el corolario dice es que para calcular el límite de un polinomio en un valor a basta calcular la imagen del polinomio en el valor a. Para las funciones racionales es igual, excepto en los casos en que el denominador se haga 0 porque la división entre 0 no tiene sentido.
Ejemplo 4
Utilizando los resultados anteriores calculamos los límites siguientes:
a) limx 5
7 7
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Unidad 2
b) limx
x6
2 26 36
c) limt
t2
4 42 16( )
d) limx
x x12
22
12
12
34
( )
e) limx 0 2
0x
f ) limx
x27
3 3
Ahora bien, ¿cómo se calcula un límite de una función racional cuando el denominador es cero? La respuesta depende del límite de la función que está en el numerador, en el sentido de que puede ser cero o diferente de cero.
Para el caso en que el l ími te del numerador también sea cero, se
obtiene una expresión de la forma 00
que es una expresión indeterminada
porque, puede ser cualquier número real r ya que se sati sface la igualdad: cociente divisor = dividendo, esto es r 0 = 0.
Para estos casos, aunque se puede dar una respuesta concreta diciendo
que desaparezca la indeterminación producida por la presencia del 0, tanto en el numerador como en el denominador.
Ejemplo 5
¿Cuál es el limx
xx1
2 11
? Solución: cuando x tiende a –1, tanto el numerador como el denominador
se aproximan a cero, conduciéndonos a una expresión indeterminada de la
forma 00
.
Si tanto el polinomio del numerador como el del denominador se hacen 0 en –1 es porque el factor lineal x + 1 los divide, y por lo tanto lo podemos cancelar.
Es decir, factorizando el numerador obtenemos:
2
89
Matemáticas
xx
x xx
x2 1
11 1
11
( ) ( )( )
Observemos que la cancelación del término x + 1 en el denominador se puede realizar si y solamente si x –1, hecho que no afecta nuestro análisis porque precisamente el valor –1 no pertenece al dominio de la función original, por lo tanto:
lim limx x
xx
x1
2
1
11
1 2
Este ejemplo nos recuerda el hecho de que no obstante la función no esté
Figura 2.7. yxx
2 11
Ejemplo 6
¿Cuál es el limx
xx2
3 82
?
Solución: nuevamente tanto el numerador como el denominador se hacen 0 cuando x
de factorizar el numerador:
xx
x x xx
x x3 2
282
2 2 42
2 4( ) ( )
( ) para valores x 2
lim lim ( )x x
x
xx x
2 2
328
22 4 12
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Unidad 2
Figura 2.8. yxx
3 82
Ejemplo 7
¿Cuál es el limx
xx x1
2
2
13 2
?
Solución: por la misma razón de los ejemplos anteriores procedemos primero x = 1
x
x xx xx x
xx
2
2
13 2
1 11 2
12
( ) ( )( ) ( )
para x 1
Gracias a la nueva expresión podemos calcular el límite sin ningún problema sustituyendo el valor de x por 1
lim limx x
xx x
xx1
2
2 1
13 2
12
21
2
Figura 2.9. yx
x x
2
2
13 2
2
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Matemáticas
Ejemplo 8
¿Cuál es el lim ?x
x
x9
9
3
Solución: lim lim
lim
x x
x
x
x
x
x
x
x9 9
9
9
3
9
3
3
3
=(( )( )
( )lim
x xx
xx
9 39
3 69
Figura 2.10. yx
x
9
3
Ejercicio 2
1. x 3lim ( )3 2 22x x 6. lim
x
x xx x0
7 5
3
2. x
xx0
21lim 7. limx
x xx2
3
3
2 48
3. lim( )x
x2
22 8. limx
xx1
3
4
11
4. limx
xx3
6 3 9. limx
xx4
24
5. limx
x x x
x1
2 5 2
1
3 2
3 10. limx
x
x4
2 16
2
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Unidad 2
2.2.4. Límites infinitos En los ejemplos anteriores se trabajó con indeterminaciones del tipo
00
que como
se vio se resuelven factorizando y cancelando el término lineal que las origina. Ahora, ¿qué se hace si es sólo el denominador el que se anula en el valor
en el que se quiere calcular el l ímite? Es decir, qué se hace en situaciones como la del siguiente ejemplo:
Ejemplo 9
¿Cuál es el limx x0 2
1?
Solución: si reemplazamos la x por el valor 0 obtenemos la expresión 10
que
no es número real, ya que no existe ningún número que multiplicado por 0 dé como resultado el valor 1. Como estamos calculando un límite, observemos lo que ocurre con los valores de la función cuando nos acercamos al valor 0. En la tabla 2.2 aparecen algunos valores de x con sus correspondientes imágenes:
Tabla 2.2. Valores de la función 1/x2 en las cercanías de 0.
x 1/x2 x 1/x2
–1 1 1 1 –0.5 4 0.5 4 –0.2 25 0.2 25 –0.1 100 0.1 100 –0.05 400 0.05 400 –0.01 10 000 0.01 10 000 –0.001 1 000 000 0.001 1 000 000
12x
que aparecen en la
los valores de la función se hacen más grandes y tan grandes como se quiera.
Figura 2.11. f xx
( )1
2 .
2
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Matemáticas
Para indicar este tipo de comportamiento usamos la notación:
limx x0 2
1
Donde el símbolo
la función crece ilimitadamente, es decir, podemos hacer 1
2x tan grande como
deseemos, escogiendo una x
simplemente símbolos que indican un crecimiento o decrecimiento de la función.En escritura simbólica se tiene:
limx a
f x( )
para indicar que los valores de f(x) se hacen cada vez más grandes cuando x tiende a a, y lo leemos:
Ejemplo 10
¿Cuál es el limx x0
1?
Solución: igual que en el ejemplo anterior, si reemplazamos la x por el valor
0 obtenemos la expresión 10
que no es número real. Para tener una idea de
lo que ocurre en las cercanías de 0, calculamos la imagen de la función para algunos valores cercanos a 0. En la tabla 2.3 aparecen algunos valores de x con sus correspondientes imágenes.
Tabla 2.3. Algunos valores de la función 1/x en las cercanías de 0.
x 1/x x 1/x –1 –1 1 1 –0.5 –2 0.5 2 –0.1 –10 0.1 10 –0.02 –50 0.02 50 –0.001 –1000 0.001 1 000 –0.00001 –100 000 0.00001 100 000 –0.000001 –1 000 000 0.000001 1 000 000
En la tabla anterior podemos observar los siguientes hechos:
“El límite de f(x) cuando x tiende a a f(xcuando x tiende a a” .
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Unidad 2
1. Cuando x se acerca a 0 con valores más pequeños (negativos) los valores de la función aunque negativos, se hacen muy grandes y cada vez más en valor absoluto.
2. Cuando x se acerca a 0 con valores mayores (positivos) los valores de la función crecen y se hacen cada vez más grandes.
Es decir, en este caso tenemos comportamientos diferentes para la función según el acercamiento a 0 sea por la derecha o por la izquierda. Cuando se acerca por la derecha (los valores positivos en la tabla), de acuerdo con el ejemplo anterior la función tiende a . En cambio, cuando se acerca por la izquierda (son los valores negativos en la tabla) la tendencia es a hacerse grandes pero negativos, razón por la cual decimos que tiende a – . Esta circunstancia de tendencias diferentes, dependiendo del lado por el cual nos acerquemos, las evidenciamos simbólicamente de la siguiente forma:
lim y limx xx x0 0
1 1
En donde los signos – y + que aparecen posicionados como si se tratara de un exponente, indican por cuál lado se está acercando la x a 0:
El signo – indica que el acercamiento es por la izquierda.El signo + indica que el acercamiento es por la derecha.
Figura 2.12. f xx
( )1
.
2
95
Matemáticas
Esta idea de diferentes tendencias en la función dependiendo de la forma de acercarse al punto en el cual se quiere calcular el límite, conduce al concepto de los límites laterales.
2.2.5. Límites lateralesf (x), observemos que
x = 0, sin embargo:
a) Si nos acercamos a cero por la derecha, es decir, tomando valores de x mayores que cero, la función se acerca a 1.
limx
f x1
1( )
b) Si nos acercamos a cero por la izquierda, es decir, tomando valores de x menores que cero, la función se acerca a –1.
limx
f x1
1( )
Figura 2.13. Función con límites laterales distintos, cuando x 0.
Límites como éstos son llamados límites laterales y son muy útiles para saber si el límite de una función existe. El límite existe si y sólo si los límites laterales existen y son iguales. Simbólicamente se escribe de la siguiente forma:
lim lim y limx a x a x a
f x L f x L f x L( ) ( ) ( )
Donde el símbolo si y sólo si en el sentido de que la expresión del lado izquierdo es “equivalente” a la del lado derecho.
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Unidad 2
límites laterales en 0, no tiene límite en 0 porque éstos no son iguales.
Ejemplo 11
¿La función f xx x
x( )
1 2
2 2
si
si tiene límite en x = 2?
Solución: calculemos los límites laterales:
a) Para calcular el límite por la izquierda con valores más pequeños que 2, usamos la expresión x + 1 y obtenemos:
lim limx x
f x x2 2
1 3( )
b) Por la derecha con valores más grandes que 2, obtenemos:
lim limx x
f x2 2
2 2( )
Como los límites laterales son diferentes, concluimos que la función no tiene límite en 2.
Figura 2.14. f xx x
x( )
1 2
2 2
si
si
Ejemplo 12
Analicemos el comportamiento de la función f xx
( )21
en las cercanías
de –1.
2
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Matemáticas
Solución: cuando x tiende a –1 por la derecha (valores de x tales como –0.9, –0.99, y así sucesivamente) x + 1 tiende a 0 pero siempre es positivo. Como el numerador es negativo el cociente es negativo y cada vez más grande en valor absoluto, tenemos:
lim
x x1
21
Cuando x se acerca a –1 por la izquierda (valores como –1.5, –1.1, etc.) x+1 tiende a 0 pero con valores negativos. Como el numerador es negativo, se tiene que el cociente es positivo y por lo tanto obtenemos:
lim
x x1
21
Como los dos límites laterales son diferentes podemos concluir que la función dada no tiene límite en –1.
Figura 2.15. yx
21
Ejemplo 13
El costo de eliminar x% de artículos defectuosos está dado por la siguiente
función C xx
x( )
7 000 000100
para 0 x 100
a) ¿Cuál es el costo de eliminar la mitad de producción defectuosa?b) ¿Qué porcentaje de los productos defectuosos puede eliminarse con
30 000 000?c) Evalúa el costo cuando x tiende a 100.
Solución: a) Para encontrar el costo de el iminar la mi tad de la producción defectuosa calculamos la imagen de la función cuando x es 50, C(50)= 7 000 000
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b) Para hallar el porcentaje correspondiente basta despejar x en la ecuación
30 000 0007 000 000
100 x
x para obtener x = 81.1%
c) Cuando decimos x tiende a 100 debemos asumir que el acercamiento es con valores más pequeños que 100, ya que con valores mayores que 100 no tiene ningún sentido. Es decir, la idea es calcular el límite por la izquierda en 100. Como 100 – x es positivo tenemos que lim
xC x
100( ) .
error en la producción, lo que en términos reales nos podría llevar a conformarnos con aceptar ciertos “ límites razonables” de errores en la producción o a revisar la función dada para el costo de eliminar esa producción.
2.2.6. Límites en el infinito
cuando la variable independiente se acercaba a un valor real a, no obstante, también es útil preguntarse por la tendencia de la función cuando el valor de la
límite, se pretende estudiar límites de las siguientes formas:
lim limx x
f x f x( ) ? ( ) ?
Para responder estas incógnitas, lo mejor es estudiar una situación real donde
Ejemplo 14
Una fábrica de muebles produce muebles para computadora. La fábrica
en saber hasta cuánto puede reducir el costo promedio de la fabricación de cada
Solución: la función de costos tiene la forma C(x) = 1 000 000 + 300x siendo x el número de muebles para computadora.
2
99
Matemáticas
A su vez, el costo promedio de cada escri torio está dado por
C xx x( ) 1 000 000
300
Lo que queremos calcular es el valor hacia el cual tiende el costo promedio
trata de calcular el siguiente límite:
lim lim
x x
C xx x( ) 1 000 000
300
Como es el límite de una suma tenemos que calcular el l ímite de cada uno de los sumandos:
lim
x x1 000 000
(1))
lim x
300 (2)
Para calcular el límite (1) basta observar que a medida que el valor de x crece el cociente se hace más pequeño, lo que nos conduce a concluir que:
lim
x x
1 000 0000
Como el límite (2) es el l ímite de una constante y por lo tanto es la constante misma, tenemos que el costo promedio tiende al valor 300, lo que coincide con la intuición previa que hubiéramos podido tener antes de realizar los cálculos, debido a que los costos fijos deben dividirse entre todos los escritorios fabricados.
Del ejemplo anterior podemos generalizar el limx x
10 diciendo que
limx nx
10 donde n > 0
Ejemplo 15
¿Cuál es el limx
x x( )5 3 72 ?
Solución: cuando x x2 + 3x – 7 lo hace también, por lo tanto, lim
xx x5 3 72
100
Unidad 2
Ejemplo 16
¿Cuál es el limx
x x( )3 2 13
?
Solución: cuando x x3 lo hace también, sin embargo, –x2
la grandeza de los términos que participan. Para quitar la indeterminación procedemos algebraicamente sobre la función dada:
x x xx x
3 2 33
13
11 1
3 para valores x 0. Calculamos ahora el límite
cuando x como 1 13 3x x
y tienden a cero, por lo tanto el límite es
Figura 2.16. y x x3 2 13
Con el mismo procedimiento algebraico de los ejemplos 15 y 16 se puede
deducir la siguiente proposición:
Proposición 1
Dado el polinomio de grado n, p x a x a x ann
nn( ) 1
10 se tiene que:
lim
si
six
n
n
p xa
a( )
0
0
2
101
Matemáticas
Demostración: igual que en el ejemplo 15, la idea es factorizar el polinomio dado:
p x a x a x a x a
ax
axn
nn
n nn
nn
( ) ( )11
01 0
Al calcular ahora el límite obtenemos ± dependiendo del signo de an tal
En palabras, lo que la proposición 1 dice es que en un polinomio el término que predomina es el término principal, es decir, el de la mayor potencia. Si el signo es + el polinomio va para ; si es – el polinomio va hacia – .
Con los ajustes necesarios la proposición 1 permite calcular el límite para un polinomio cuando x o x –
Ejemplo 17
Analicemos los siguiente límites:
a) lim x
x x x x( )5 150 15 678 17 6 . Como el coef iciente de mayor
potencia es 5 el resultado es .
b) limx
x x x x( )2 5 310 . Basta mirar el término de mayor potencia,
x5, entonces el límite buscado es – .
Ejemplo 18
¿Cuál es el limx
x xx
2 3 85 1
3 2
2?
Solución: dado que tanto el numerador como el denominador son polinomios,
con an > 0 obtenemos la indeterminación . Como siempre, para quitar la
indeterminación procedemos algebraicamente: dividimos el numerador y el denominador por la mayor potencia de todos los términos que existen, es decir, dividimos por x3 y obtenemos:
102
Unidad 2
2 3 8
5 1
2 3 8
5 1
23 8
5 1
3 2
2
3
3
2
3 3
2
3 3
3
3
x x
x
x
x
x
x xx
x x
x x
x x
Cuando x , el límite pedido es de la forma 20
, que por nuestra experiencia
con la función 1/x sabemos que es . Así obtenemos:
limx
x xx
2 3 85 1
3 2
2
Figura 2.17. yx x
x2 3 8
5 1
3 2
2
Ejemplo 19
Hallemos los siguientes límites:
a) lim limx x
x xx x
xx xx
x x
2 3 13 5 2
23 1
35 2
2 0 03 0
2
2
2 2
2 20
23
2
103
Matemáticas
b) lim limx x
x x xx x
xx
xx
xx x
4 2
5
4
5
2
5 527 35 212 3 2
27 35 2155
5
5 5 5
3 4 5
4 5
2 3 2
1 27 35 21
23 2
0 0 0 0
xx
xx x
x x x x
x x
xlim
22 0 002
0
c) limx
x x x xx x x
6 3 2
6 5
2 5 2 48 20 7
18
Ejercicio 3
En los ejercicios 1 a 7 halla los límites indicados en el caso de que existan:
1. lim )x
x x2
23 5 2 ( 2. limx
x xx5
2 3 105
3. limx
xx3
2 33
4. limx
xx3
2 33
5. limx
xx3
2 33
6. lim ( )x
x x x 3 5 7 56 1
7. limx
x xx3
2
2
4 51
8. El costo (en pesos) de eliminar x% de la contaminación del agua en cierto río está dado por:
C x
x
xx( )
712500
1000 100para
a) Halla el costo de eliminar la mitad de la contaminación.b) ¿Qué porcentaje de la contaminación puede eliminarse con $190 000?c) Evalúa lim ( )
xC x
100. Realiza comentarios sobre los resultados.
104
Unidad 2
9. El costo en miles de pesos para producir x unidades de un artículo está dado por C(x) = 40x + 545 miles de pesos.
C (x).
C xC x
xxm( )
( )para 0
c) ¿Qué le sucede a C x xm( ) cuando ?
10. El efecto de reducción del dolor de oídos con ayuda de un medicamento puede medirse empleando la función:
d xx
x x( )
. .
100
0 5 0 03
2
2
donde d (x) es el porcentaje de alivio del dolor que se espera cuando se utilicen x unidades de medicamento.
¿Qué le sucede a d(x) cuando x ?
2.3. Continuidad
Como se ha observado al calcular los límites de funciones, no siempre el límite coincide con el valor de la función en el punto hacia el cual se acerca la
un corte en la línea que la representa. Se dice precisamente que la función en este punto es discontinua; cuando este corte no se presenta se dice que la función es continua en ese valor.
Desde el punto de vista económico se puede decir que la continuidad de un proceso hace referencia a la homogeneidad de éste, en el sentido de que no existen momentos de ruptura donde las cosas se deban considerar diferentes a las demás.
una función y se presentan las propiedades de las funciones continuas.
2
105
Matemáticas
Figura 2.18. f (x) Figura 2.19. f (x) continua en x=1. discontinua en x=1.
x = 1.
recta continua sin
discontinuidad en x = 1. Desde otro punto de vista, si se dibujan ambas rectas con un lápiz, se tendría
x = 1, pero no se tendría que
continuas o discontinuas en un punto puede ser expresada por medio de límites.
de la función f(x) = x
g xx x
x( )
si
si
1
2 1
Además, limx
f x f1
1 1( ) ( ) y que limx
g x1
1( ) , que es diferente g(1) = 2.
Es decir, en la “recta continua” existe el límite en 1, y es igual a la imagen de la función en 1, en tanto que en la “discontinua” el límite existe pero es diferente a la imagen de la función en 1.
En forma general se tiene la siguiente definición de función continua en un punto:
106
Unidad 2
a exige que se cumplan tres condiciones:
1. f x = a; esto es, a está en el dominio de f .
2. El limx a
f x( ) existe.
3. limx a
f x f a( ) ( )
Con una sola de estas condiciones que no se dé, la función automáticamente es discontinua.
Ejemplo 20
Demostrar que la función p(x) = 3x3 –x + 5 es continua en x = 1.
Solución: como la función dada es un polinomio, existe su límite. Éste se obtiene de sustituir x=1 en la función.
Ejemplo 21
¿Es continua la función g xxx
( )12
en x = 3?
Solución: como se trata de una función racional tal que su denominador no se anula en x = 3 concluimos que es continua en 3. De hecho es continua en todos los puntos excepto en 2, dado que en x = 2 el denominador se anula.
Ejemplo 22
¿Es la función g xx x
x x( )
2 1 0
2 0
si
si continua en 0?
Solución:las tres condiciones dadas anteriormente:
1. g g(0)= 02 + 1 = 1
2
107
Matemáticas
2. Para saber si el límite existe en 0 calculemos los dos límites laterales: lim lim
x x x xg x x g x x
0 0
2
0 01 1 2 0( ) lim , ( ) lim
Como los dos límites laterales son diferentes, el límite de la función no existe en el valor 0. Luego, al no cumplirse la condición 2 la función no es continua en 0.
Figura 2.20. g xx x
x x( )
2 1 0
2 0
si
si
Ejemplo 23En situaciones de oferta y demanda es habitual que el precio de venta varíe
con la cantidad de artículos que se compran: a mayor cantidad de artículos menor valor. Las funciones que modelan este tipo de comportamiento presentan alguna discontinuidad. Un ejemplo de ello es el siguiente problema: “cinco pesos le cuesta cinco pesos le vale” .
Un vendedor en el metro vende plumas a $5 cada una, pero si se le compran más de 6 plumas rebaja el precio a $4 cada bolígrafo.
a) Si necesitas por lo menos 6 plumas, ¿cuál es el número de plumas más recomendable a comprar?
b) ¿Qué consejo le darías al vendedor que le permita conservar su política de oferta para más de 6 plumas sin que se le presenten contradicciones como las que surgen en su propuesta actual?
c) ¿La función es continua en x = 6?
108
Unidad 2
Solución: a) El precio p(x) de x plumas es la función de precio que está dada por:
p x
x x
x x( )
5 6
4 6
si
si
Figura 2.21.
es de $28. Por lo tanto, lo recomendable es comprar 7 plumas.
b) Para evitar contradicciones, el precio de 7 plumas debe ser superior al de 6. Si llamamos p al precio de cada bolígrafo cuando se compra más de 6, se debe cumplir que 7p > 30, es decir, p 30
7 4 297. . Por lo tanto el vendedor debe asignar un valor superior a 4.29 para cada bolígrafo cuando se le compran más de 6.
x = 6.
Ejercicio 4
Determina en los ejercicios 1 a 3 si la función dada es continua en el x.
1. ( )f xx x
x x
1 0
1 0
si
si; x = 0
2. ( )f x x x x3 22 5; x = 0
3. ( ) ;f xx x
xx
2
2
3025
5
p(x)
2
109
Matemáticas
En los ejercicios de 4 a 6 halla los puntos de discontinuidad de la función
4. ( )g xx
x x6
2 242
5. ( )t xx x
x x
2 3 1
6 2 1
si
si
6. ( )h xx
x x
13
2 82
7. Un almacén vende un artículo por mayoreo con precios diferentes de acuerdo con la siguiente lista en pesos:
$19.50 cada uno, al comprar de 1 a 25 unidades. $18 cada uno, al comprar de 25 a 60 unidades.$17.25 cada uno, al comprar más de 60 unidades.a) ¿Cuál es la función p(x) del precio total de la cantidad x de artículos?
p(x).c) Si necesitas comprar al menos 25 unidades, según la lista de precios,
¿qué cantidad es recomendable comprar? ¿Por qué?d) ¿Es p(x) continua en x = 25?
2.4. Operaciones con funciones continuas
Al recordar que se pueden obtener funciones como resultado de realizar operaciones algebraicas sobre otras funciones, la pregunta obligada es, ¿si las funciones que se operan son continuas, las funciones que resulten de estas operaciones también lo son? La respuesta es af irmativa y la suministra la siguiente proposición.
Proposición 2
Si las funciones f y g son continuas en un punto a, entonces las funciones
1 2 3. . .f g f gf
g también son continuas en el punto a, siempre
y cuando g(a) 0 en el caso del cociente de funciones.
110
Unidad 2
continua.Esta proposición generaliza el resultado: todos los polinomios son continuos
y las funciones racionales también lo son para todos los valores en los cuales .
Adicionalmente, se tiene que tanto la función exponencial como la función
¿Qué se puede decir de la continuidad de la función f(x) = ex2? La función f es el resultado de la composición de dos funciones continuas:
f x e g h x g h xx( ) ( )( ) ( ( ))2
donde g(x) = ex y h(x) = x2
Por lo tanto, para resolver la pregunta de la continuidad de f se requiere saber cómo se relacionan la continuidad de las funciones g y h con la continuidad de la función compuesta (g h).
Proposición 3
Si f es continua en a y g es continua en f (a), entonces la función compuesta (f g) es continua en a.
Con este resultado se concluye que la función f (x) = ex2 es continua siempre y cuando la exponencial y la función h(x) que es un polinomio, sean continuos.
¿Qué se puede decir de la continuidad de las siguientes funciones: f x x g x x( ) , ( ) 3 y, en general, de la función raíz enésima dada por
h x xn( ) , donde n es un número natural y x es tal que las raíces se puedan hallar?Como estas funciones son las inversas de las funciones pol inómicas
f x x g x x( ) , ( )2 3 y, en general, de h(x) = xn que son funciones continuas, y dado que la función inversa de una función continua también es continua, se
las funciones raíces son también continuas.Al aplicar la proposición 3 a las funciones potencias xn y a las funciones
raíz xn , se obtiene el siguiente resul tado: las funciones de la forma
f x x xm
n mn( ) , donde m y n son enteros, son funciones continuas en todos . Este resultado sigue siendo válido si
en lugar de un exponente racional se tiene un exponente que sea cualquier número real, es decir:
2
111
Matemáticas
Ejemplo 24
¿Cuál es el limx
x x1
23 5 ?
Solución: como la función raíz cuadrada es continua y el radicando es un polinomio que también es continuo, el límite es igual a la raíz cuadrada del límite del polinomio:
lim lim ( )x x
x x x x1
2
1
23 5 3 5 9 3
Ejemplo 25
¿Cuál es el lim lnx
x x
x8
3 23
5
212
56?
Solución: como la funciones ln, las raíces y los polinomios son continuas, nos basta reemplazar la x por el valor 8 para obtener que el límite es ln 5 = 1.61
Ejercicios resueltos
1. ¿Cuál es el limx
x x
x x4
1 4
1 4( )?
Solución: ( ) ( )
( ) ( ),
x xx x
xx
x x1 41 4
11
4 1para
Toda función potencia de la forma f x xr( ) donde r es un número real es una función continua.
112
Unidad 2
Luego lim limx x
x xx x
xx4 4
1 41 4
11
53
( )( )( )( )
2. ¿Cuál es el limx
xx5
35
?
Solución: al sustituir en la función el valor de x por 5 se obtiene 80
que
o a – .
Para responder, analizamos el comportamiento de la función al acercarnos a 5 por la izquierda y por la derecha:
a) Por la izquierda, es decir, con valores x tales que x < 5, o sea 5 – x es positivo. Luego:
lim
x
xx5
35
b) Por la derecha, es decir, con valores x tales que x > 5, o sea 5 – x es negativo y por lo tanto:
lim
x
xx5
35
Por a) y b) como los límites laterales son distintos concluimos que el límite no existe.
Figura 2.22. yx
x3
5
2
113
Matemáticas
3. Enumerar todos los valores de x para los que la función dada no es continua:
g x
xx x
( )( )( )5 1
Solución: la función g es una función racional por lo que los únicos puntos de discontinuidad son los que no pertenecen al dominio de la función. En nuestro caso son los valores x para los cuales (x+5) (x–1) = 0, es decir, x = –5 y x = 1
4. ¿Cuál es el limx
xx9
39
?
Solución: cuando x 9, tanto el numerador como el denominador se aproximan a cero, conduciéndonos a una expresión inderterminada de la
forma 00
.
Al tener una raíz en el numerador, se racionalizará para lo cual multiplicaremos tanto el numerador como el denominador por el conjugado y una vez cancelada la raíz se obtiene el límite.
lim
lim lim( )( )
lim
x
x x
x
xx
xx
x
x
x
x x
9
9 9
39
00
39
3
3
9
9 3
9
1
3
16x
Observemos que el valor x = 9 no pertenece al dominio de la función.
114
Unidad 2
Ejercicios propuestos
En los ejercicios 1 a 8 halla el límite indicado, si existe:
1. limx
x x0
5 46 7( )
5. limx
x x x1
3 22 3( )
2. limx
x x3
21 1( ) ( )
6. limx
xx3
293
3. limx
xx2
12
7. lim ( )x
x0
31 5
4. limx
xx1
2 11
8. lim ( )( )x
x x1
2 21 1 2
x.
9. f xx
xx( ) ;
24
4
10. f xxx
x( ) ;21
1
11.
f x
x x
x x( )
2 5 1
6 1
En los ejercicios 12 a 15 enumera todos los valores de x para los que la
12. f xxx
( )12
14. f xx
x x( )
( )2
13. f xxx
( )3 3
1 15. f x
xx
( )3 12 6
En los ejercicios 16 a 23 halla el limx
f x( ) :
16. f xx xx x
( )2
2
2 12
20. f xx x
x( )
3 6 22 9
2
17. f x x x( ) 3 24 4 21. f xx x
x x( )
2
3
51 2
18. f x x x( ) ( )( )1 2 5 22. f x x( ) ( )1 2 3
19. f xx
x x( )
2 13 2 72
23. f x
x x
x( )
2 2
9 2
si
si
2
115
Matemáticas
24. El costo promedio por disco (en pesos) para una compañía que produce discos compactos de audio está dado por la siguiente función:
C x
x( ) 20
23 000
¿Cuál es el costo promedio de cada disco cuando la producción aumenta
25. La concentración en la sangre de un enfermo con cierto medicamento
después de t horas de haberle colocado una inyección está dada por C tt
t( )
.0 012 32
miligramos por centímetro cúbico. ¿Hacia qué valor tiende la concentración a medida que pasa el tiempo?
26. Supongamos que los ingresos logrados por una cierta película se pueden aproximar por la siguiente función:
I t
tt
( )85
10
2
2
donde los ingresos están en millones de dólares y t son los meses que la película ha sido exhibida. Se pretende saber cuál es el tope de los ingresos que se pueden obtener con esta película.
27. Una compañía constructora está pensando en invertir en un área rural donde se ha calculado que la población dentro de t años está dada por la siguiente función:
P t
t tt t
( )20 175 150
3 4 15
2
2
en miles de personas. La compañía ha estimado que, para que la inversión convenga, se requiere que la población sea al menos de 5 000 personas en algún momento. ¿Qué le puedes decir a la compañía constructora respecto a la viabilidad del proyecto?
116
Unidad 2
Autoevaluación
1. ¿Cuál es el limx
x xx x2
2
2
63 2
?
a) –1/3b) 1/3c) –2/3d) 2/3
2. ¿Cuál es el limx
x xx0
2
2
1( )?
a) –1b) ¼c) No existe.d) 2
3. ¿Cuál es el limx
x xx1
2
2
4 51
?
a) 2/3b) 3c) No existe.d) –3
4. ¿Cuál es el limx
xx
6 12 4
?
a) 3 b) –3c) No existe.d) –1/3
5. ¿Cuál es el limx
xx x
113 5 92 ?
a) b) – c) No existe.d) 0
2
117
Matemáticas
6. ¿Cuál es el limx
x xx
2 35 12
3
2?
a) b) 3 c) –d) 0
7. x.
f xxx
x( ) ,2 13 6
2
8. Enumera los valores de x para los que la función dada no es continua.
f xx
x x( )
3 23 6
a) x = –3 y x = 6b) x = 2c) x = 5 y x = 7d) x = 4 y x = –5
9. Enumera los valores de x para los que la función dada no es continua.
f xx xx x
( )2
2
2 32 5 1
a y
b y
c y
)
)
)
x x
x x
x
5 174
5 174
5 172
5 17
5 174
d y
x
x x
5 17
5 174
5 174
)
118
Unidad 2
Respuestas a los ejercicios
Ejercicio 1
1. lim ( )x a
f x b
2. El límite no existe.3. lim ( )
x af x b
4. El límite no existe.5. El límite no existe.6. El límite no existe.7. lim ( )
x af x b
8. lim ( )x a
f x b
Ejercicio 2
1. 192. 03. 04. 05. 1
6. 0
2
119
Matemáticas
7. 1012
8. 34
9. 14
10. 32
Ejercicio 3
1. 42. 73. – 4. + 5. No existe.6. –
7. 2 8. a) $712 500 b) 21.05% c) C(x) se vuelve arbitrariamente grande cuando x crece sin límite. 9. a) b) c) Cm 40
y = Cm(x)
C(x) = 40x + 545
x = 0
120
Unidad 2
10. d(x) 100
Ejercicio 4
1. No.2. Sí.3. No.4. – 6; 4 porque no pertenecen al dominio de la función.
5. En x=1 porque no existe el límite al ser diferentes los límites laterales.
2
121
Matemáticas
6.
7.
a) p x
x x
x x
x
( )
.
.
19 50 1 25
18 25 60
17 25 60
b)
c) Es conveniente comprar 26 unidades ya que su precio es $468 menor que el precio de 25 unidades que es $487.5
p(x) no es continua en x = 25
Respuestas a los ejercicios propuestos
1. 72. 16
3. 34
4. 25. –36. No existe.
1 080
122
Unidad 2
7. 18. 189. No.
10. Sí.11. No.12. 2
13. –1
14. 0; 1
2
123
Matemáticas
15. 3
16. 117. 18. 19. 020. 21. 022. 23. 924. 2025. 026. 85
27. Como el tope de la población es 203
6 personas, se puede invertir
en la zona.
124
Unidad 2
Respuestas a la autoevaluación
1. a) 2. c) 3. b) 4. a) 5. d) 6. c) 7. No.8. a) 9. a)