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Apuntes de Análisis Curso 2018/2019 Esther Madera Lastra

1

1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Una función real f de variable real es una relación que asocia a cada número real, x , un único número real

)(xfy = . A la variable x se le denomina variable independiente, y a la variable y , variable dependiente.

Una función se puede expresar de esta forma:

:f IR → IR

)( xfyx =→

Una función puede cortar varias veces al eje X , pero sólo puede cortar una vez como máximo al eje Y .

A cada valor de x para el que existe la gráfica, le corresponde un único valor de y . Esta gráfica corresponde a una función.

En estas gráficas de la derecha, existen valores de la variable x a los cuales les corresponden más de un valor de y . Estas gráficas no corresponden a funciones.

2. FUNCIONES ELEMENTALES

Funciones polinómicas: rectas

Funciones polinómicas: parábolas

Funciones racionales: hipérbolas


2

Funciones irracionales: ramas de parábolas

Funciones exponenciales

Funciones logarítmicas

Funciones trigonométricas

Funciones valor absoluto


3

3. LÍMITES. “El límite de una función puede ser un número, ∞+ , ∞− o no existir”

Un límite determinado es un número real, o bien ∞− , o ∞+ .

En otro caso es indeterminado (no se puede saber a priori su resultado): 0

0;

∞∞

; ∞−∞ ; ∞⋅0 ;

∞1 ; 0∞ ; 00 . Las indeterminaciones aparecen generalmente en el cálculo de límites en un punto que no sea del dominio, en los extremos finitos del dominio o en los límites infinitos.

3.1. Límite de una función en un punto. Al aproximarnos a un punto podemos hacerlo por la izquierda (con valores menores que él) o por la derecha (con valores mayores).

)(xflímax −→

“Límite de )(xf cuando x tiende hacia a por la izquierda”

El límite lateral de la función )(xf en ax = por

la izquierda es el valor al que se aproxima la función )(xf cuando la variable independiente x se aproxima al valor a por la izquierda, es decir, por valores menores que a .

)(xflímax +→

“Límite de )(xf cuando x tiende hacia a por la derecha”

El límite lateral de la función )(xf en ax = por

la derecha es el valor al que se aproxima la función )(xf cuando la variable independiente x se aproxima al valor a por la derecha, es decir, por valores mayores que a .

Para que exista el límite de una función en ax = , tienen que existir los límites laterales y deben ser iguales.

En las funciones definidas por una sola fórmula se tiene que: )()( afxflímax

=→

siempre que

)( fDoma∈

Utiliza las gráficas para calcular los límites laterales de las funciones: a) En 1=x

Para calcular el límite lateral de una función en un punto sustituimos en la función la variable x por el punto; si no obtenemos indeterminación, ése es el límite. Por la izquierda: 1112)12()(

11=−⋅=−=

−− →→xlímxflím

xx

Por la derecha: 011)1()( 22

11=+−=+−=

++ →→xlímxflím

xx

b) En 2=x

Cuando x toma valores muy próximos a 2 y menores que 2 , los valores de )(xf tienden a ∞− : −∞=

−→)(

2xflím

x

Cuando x toma valores muy próximos a 2 y mayores que 2 , los valores de )(xf tienden a ∞+ : +∞=

+→)(

2xflím

x


4

Ejercicio 1: Calcula los siguientes límites: a) )12( 2

2+−

→xxlím

x b)

3

12

3 −+

→ x

xlímx

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

1. )()]([ xflímkxkflímaxax →→

⋅=

2. )()()]()([ xglímxflímxgxflímaxaxax →→→

±=±

3. )()()]()([ xglímxflímxgxflímaxaxax →→→

⋅=⋅

4. 0)( ;)(

)(

)(

)( ≠=

→→

→

→xglím

xglím

xflím

xg

xflím

axax

ax

ax

5. ))(()]([ xflímgxfglímaxax →→

= , si existe ))(( xflímgax→

6. )()( )]([)]([

xglím

ax

xg

ax

axxflímxflím →

→→= , si

)()]([

xglím

ax

axxflím →

→es determinado

Indeterminación de tipo 0

0 Suele aparecer al calcular límites del cociente

)(

)(

xg

xf, en un punto a en el que 0)( =af y 0)( =ag .

Para resolver estas indeterminaciones transformamos el numerador y el denominador para simplificar la fracción. Serán más sencillos con la regla de L’Hopital, por lo que ahora no lo veremos. 3.2. Límite de una función en el infinito.

Lxflímx

=+∞→

)( Si para valores muy grandes de x , los valores de la función se aproximan al número L.

Lxflímx

=−∞→

)( Si para valores muy pequeños de x , los valores de la función se aproximan al número L.

+∞=+∞→

)(xflímx

Si para valores muy grandes de x , los valores correspondientes de )(xf son mayores que cualquier número prefijado.

−∞=+∞→

)(xflímx

Si para valores muy grandes de x , los valores correspondientes de )(xf son menores que cualquier número prefijado.

+∞=−∞→

)(xflímx

Si para valores muy pequeños de x , los valores correspondientes de )(xf son mayores que cualquier número prefijado.

−∞=−∞→

)(xflímx

Si para valores muy pequeños de x , los valores correspondientes de )(xf son menores que cualquier número prefijado.

Ejercicio 1: Sea la función 1

2)(

2 +=

x

xxf , calcula )(xflím

x +∞→ y )(xflím

x −∞→

Importante: el )(xflím

x −∞→ cuando existen raíces, puede dar lugar a problemas. Lo mejor es

sustituir ∞− por ∞+ y “x” por “-x”.


5

3. 3 Propiedades de los límites. Son las mismas que las de límites de funciones en un punto teniendo en cuenta que, será necesario operar con expresiones donde aparece infinito. A veces los resultados determinan directamente la existencia del límite y su valor y, en otros casos, no es posible (indeterminaciones que tendremos que salvar). Las tres últimas indeterminaciones (potencia) que aparecen en este cuadro no las vamos a estudiar.

Suma y resta Producto Cociente Potencia +∞=∞+∞+ −∞=∞−∞−

“ ∞−∞+ ” indeterminado

( ) +∞=∞+⋅∞+

( ) −∞=∞−⋅∞+

( ) −∞=∞+⋅∞−

( ) +∞=∞−⋅∞−

“ 0⋅∞± ” indeterminado

0 ;00 ≠= kk

0 ;0

≠±∞= kk

“0

0” “

∞∞

”

indeterminados

0=∞±k

( )

>∞+<=∞+

0 0 0

kkk

“ 0∞ ” indeterminado

>∞+<≤=∞+

1 10 0

kk

k

><≤∞+=∞−

1 010

kk

k

“ 00 ” “ ∞1 ” indeterminados

Indeterminación de

tipo ∞∞

Suelen aparecer al calcular límites de cocientes de polinomios o cocientes donde pueden aparecer radicales. Se resuelven dividiendo entre la mayor potencia de x , o más sencillamente, con la regla de los grados. Serán más sencillos con la regla de L’Hopital.

Ejercicio 3: Calcula los límites: a) 12

232 −−

+∞→ x

xlímx

b) 12

23 2

−−−+

−∞→ x

xxlímx

c) 12

232

2

−−+

+∞→ x

xxlímx

d) 3 5

2

25

9122

−++−

+∞→ xx

xxlímx

Indeterminación de tipo ∞−∞

Suelen aparecer al calcular límites de funciones con diferencia de radicales (se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado) o diferencia de cocientes de polinomios (se resuelve realizando la diferencia de los cocientes).

Ejercicio 4: Calcula los límites:

a)

+−

−−

+∞→ 15

32

32

x

x

x

xlímx

b)

+−+∞→

2412 xxlímx

4. ASÍNTOTAS. Las asíntotas son rectas a las que se aproximan algunas ramas de una función. En el cálculo de las asíntotas es importante hallar su ecuación y, si nos lo preguntan, estudiar la posición de la gráfica respecto de la asíntota.

Asíntota Definición Posición de la gráfica respecto de la asíntota

Vertical Recta ax = tal que ±∞=→

)( xflímax

Se estudia: )( xflímax −→

y )( xflímax +→

En la práctica, para determinar el signo de los límites laterales podemos dar valores muy muy próximos al punto.

Una función puede tener infinitas asíntotas verticales. Ejemplo: xtgxf )( =

(La gráfica de una función no puede cruzar la asíntota vertical, ya que si ax = es una A. V., la función es

discontinua en este valor)


6

Horizontal Recta ky = tal que kxfx

=±∞→

)( lim

En la práctica para determinar la situación de las ramas asíntóticas, damos valores muy muy grandes y muy muy pequeños a x .

Una recta puede ser asíntota horizontal cuando +∞→x y, sin embargo, no serlo cuando −∞→x , o viceversa. Una función a lo sumo puede tener dos asíntotas horizontales, una cuando +∞→x y otra cuando −∞→x

(La gráfica de una función puede cortar a la asíntota horizontal) Ejemplo:

1

323)(

2

2

+++=

x

xxxf

Oblicua

Recta nmxy += tal que 0≠m y

x

xflímmx

)(

±∞→= ; [ ]mxxflímn

x−=

±∞→)(

En la práctica para determinar la situación de las ramas asíntóticas, damos valores muy muy grandes y muy muy pequeños a x .

Una recta puede ser asíntota oblicua cuando +∞→x y, sin embargo, no serlo cuando −∞→x , o viceversa. Una función a lo sumo puede tener dos asíntotas oblicuas, una cuando +∞→x y otra cuando −∞→x

(La gráfica de una función puede cortar a la asíntota oblicua)

Ejercicio 5: Estudia si la función 1

)(2 −

=x

xxf tiene asíntotas.

Ejercicio 6: Estudia si la función ( ) 41)( 2 −+= xxf tiene asíntotas.

Ejercicio 7: Estudia si la función xx

xxf

2

1)(

2

3

++= tiene asíntotas.

Ejercicio 8: Halla las asíntotas de x

xxf

−=

1)(

5. CONTINUIDAD. 5.1 Continuidad de una función en un punto.

Una función )(xf es continua en un punto ax = si se cumple que:

1º. Existe )(af

2º. Existe )( xflímax→

3º. )( )( xflímafax→

=

Si una función no es continua en un punto, decimos que la función presenta una discontinuidad en ese punto.

Ejercicio 9: Comprueba si la función 1

5)(

−+=

x

xxf es continua en 0=x y 1=x .

5.2.-Tipos de discontinuidad.

Se produce cuando existe )( xflímax→

,

pero ocurre una de estas condiciones:

� No coincide con )(af � La función no está definida en el punto.

Dis

cont

inui

dad

evita

ble

Esta discontinuidad se llama evitable porque la función se convierte en continua asignando al valor de la función el valor del límite: )( )( xflímaf

ax→=


7

Se produce cuando no existe )( xflím

ax→, porque los límites laterales

no coinciden.

)()( xflímxflímaxax +− →→

≠

Dis

cont

inui

dad

de

salto

fini

to

La discontinuidad de salto finito es frecuente en las funciones definidas a trozos, en los puntos en los que la función cambia su expresión algebraica.

Dis

cont

inui

dad

de s

alto

infin

ito

Uno o los dos límites laterales son infinito.

∞=

−→)(xflím

ax o ∞=

+→)(xflím

ax

5.3. Propiedades de la continuidad. Si las funciones )(xf y )(xg son continuas en ax = , entonces las siguientes funciones son continuas en ax = :

a) )()( xgxf ± b) )(xfk ⋅ siendo ∈k IR c) )()( xgxf ⋅ d) )(

)(

xg

xf

siempre que 0)( ≠ag

Además, si )(xg es continua en )(af : e) ( ) ))(()( xfgxfg =o es continua en ax = . Las funciones elementales son continuas en sus dominios de definición:

1. Las funciones polinómicas son continuas en todo IR . 2. Las funciones racionales no son continuas en los puntos que anulan el denominador. 3. Las funciones con radicales con índice de la raíz par no existen en los valores que

hacen el radicando negativo. Si el índice es impar, son continuas en todo IR . 4. Las funciones exponenciales son continuas en todo IR . 5. Las funciones logarítmicas no son continuas en los puntos en los que la expresión de la

que queremos hallar el logaritmo se convierte en cero o en un número negativo. 6. De las funciones trigonométricas, la única función que no es continua es xtgxf )( = , que

no existe en ππkx +=

2.

En la práctica, para estudiar la continuidad de funciones definidas a trozos, debemos estudiar si los límites laterales coinciden o no.

Ejercicio 10: Estudia la continuidad de a)

>+−≤−=

2 52 1)(

2

xxxxxf

b)

>+−=<−

=2 54

2 32 1

)(2 xxx

xxx

xf c)2

1)(

−−=

x

xxf

Ejercicio 11: Justifica si las siguientes funciones son continuas: a) xxxf cos)( 2=

b) xexf1

)( = c) xxf ln4)( =


8

Ejercicio 12: Dada la función

>

≤−=

12

13)(

2

xsiax

xsiaxxf ¿Para que valores de a es continua?

Ejercicio 13: Determina el valor del parámetro a para que se verifique

( ) 212 =−+++∞→

xaxxlímx

Ejercicio 14: Determina los valores de a y b para que la función siguiente resulte continua en todos los puntos:

≤+

<≤−<+

=

xb

ax

xbax

xf

1 si x

a

1x0 si

0 si

)(

2

Ejercicio 15: De la función xa

baxxf

−+=

2

)( con ∈ ,ba IR , sabemos que pasa por el punto

( )2 ,1 y que tiene una asíntota oblicua cuya pendiente es 6− .

a) Determina los valores a y b de la función. b) Determina, si existen, las asíntotas verticales de dicha función. 6. LA DERIVADA 6.1. Tasa de variación media

La tasa de variación media de una función )(xf en un

intervalo [ ]ba , es el cociente: [ ]( )ab

afbfbaMVT

−−= )()(

,...

La T.V.M. de la función )(xf en el intervalo [ ]ba , es la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por los puntos ( ))( , afa y ( ))( , bfb . Con frecuencia, en la T.V.M. se considera el intervalo [ ]haa + , , donde h indica su longitud.

x

xf

h

afhaf

deVariación

)( deVariación )()(=

−+

6.2. Derivada de una función en un punto. La derivada de la función )(xf en un punto de abscisa a es el valor del límite, si existe y es finito:

ax

afxflímaf

ax −−=′

→

)()()(

Si en esta definición hacemos hax += , la fórmula es equivalente a

h

afhaflímafh

)()()(

0

−+=′→

Ejercicio 16: Calcula la derivada de la función 54)( 2 +−= xxxf en 3=x . Comprueba que las dos fórmulas anteriores son equivalentes.


9

7. CÁLCULO DE DERIVADAS Para hallar la derivada de funciones simples no es necesario utilizar la definición, pues

existen reglas que facilitan su cálculo. Y para hallar la derivada de funciones compuestas se utiliza

la regla de la cadena [ ( ) )()()()( xfxfgxfg ′⋅′=′o ]

REGLAS DE DERIVACIÓN


10

Ejercicio 17: Deriva las siguientes funciones:

1)37)( xxf = 2)

43)( xxf −= 3)6

3

2)( xxf = 4)

410)( −= xxf

5) 836)( 2 +−= xxxf 6) 10687)( 35 −+−= xxxxf 7) xxxf 38)( 6 −= 8) 6)( =xf

9) xxf 7)( = 10) 923

8)( 3 +−= xxxf 11) )ln()( 4xxf = 12) xxxf ln)( 3=

13) )82ln()( −⋅= xxxf 14) )8ln()( senxxxf += 15) )2

cos()(x

xxf

+= 16)2

3)(

+−=

x

xxf

17)3

1)(

xxf = 18)

3

1)(

2

2

−++=

x

xxxf 19)

42 )2()( xxxf −= 20)34 )2()( −−= xxxf

21)xexf 8)( = 22)

xxxf 33

4)( += 23)xxxxf 5)32()( 2 ⋅−+= 24) )25()( −= xsenxf

25) )23(cos)( 4 −= xxf 26) )84()( += xtgxf 27)

+=x

xtgxf

3

12)( 28) )15()( −= xarcsenxf

29) )(ln)( xarctgxf = 30)5

)32()(

x

xsenxf

+= 31) )86()( 3 −⋅= xtgxxf 32)3

)(+

=x

senxxf

33)1

1)(

−+=

x

x

e

exf 34) )()( tgxsenxf = 35)

xxxxf 2cos)( 2 ⋅⋅= 36) )()( 53 xtgxf =

37) )25()( −= xarcsenxf 38)xx

senxxf

2

)ln()(

3 −= 39) 4)( 5 +⋅−= senxxxxf 40)

3cos

)(

=x

xxf

8. RECTA TANGENTE Y NORMAL

Geométricamente, la derivada )(af ′ de una función en ax = coincide con la pendiente de la

recta tangente a la gráfica de la función en el punto ( ))( , afaP

Recta tangente a la gráfica de la función en el punto ( ))( , afaP :

Recta normal a la gráfica de la función en el punto ( ))( , afaP :

( )axafafy −′=− )()(

( )axaf

afy −′

−=− )(

1)(

Ejercicio 18: Determina las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función

2)( 2 += xxf en 0=x y en 1=x .

Ejercicio 19: Determina los puntos de la gráfica de 33)( 23 ++= xxxf donde la recta tangente es horizontal. Calcula la ecuación de la recta tangente y normal en esos puntos.


11

9. CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

)(xf es derivable en ax = ⇒ )(xf es continua en ax =

En la práctica se utiliza su contrarrecíproco: “Una función que no es continua en un punto, no puede ser derivable en él”.

Función Estudio Gráfica

>++−≤−=

2 si 422 si 3

)( 2

2

xxxxx

xf

No es continua en 2=x , por tanto, no es derivable en dicho punto.

≥+<=1 31

)( 2

2

xxxx

xf

No es continua en 1=x , por tanto, no es derivable en dicho punto.

Es fundamental estudiar la continuidad

antes que la derivabilidad.

Lo primero que tenemos que hacer para comprobar que una función es derivable en un punto es asegurarnos de que es continua en ese punto. Si la función no es continua en un punto, tampoco es derivable.

>++−≤=

2 si 422 si

)( 2

2

xxxxx

xf

Es continua en 2=x y no es derivable en ese valor. (Observamos que para

2=x se dibujan dos rectas tangentes distintas)

Una función puede ser continua en un punto y,

sin embargo, no ser derivable en él.

EN GENERAL , la característica de las gráficas que son derivables son curvas continuas que no tienen picos. Esto es cierto siempre y cuando exista el límite que define la derivada y éste sea finito. Ejemplo de función no derivable:

Estudia la derivabilidad de la función 3)( xxf = en 0=x . La gráfica de la función 3)( xxf = en 0=x no tiene un pico; sin embargo, no es derivable en 0=x . La

pendiente de la recta tangente es ∞+ , es decir, la tangente es la recta vertical 0=x . En la práctica, para saber si una función es o no derivable, en primer lugar estudiaremos si es continua. Si lo es, estudiaremos los límites laterales de la derivada. Si coinciden, será derivable.

Ejercicio 20: ¿Es derivable la función

≥+<=

2 si 42 si 4

)( 2 xxxx

xf

en 2=x ?


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Ejercicio 21:¿Es derivable la función

≥<−==

0 si 0 si

)(xxxx

xxf en

0=x ?

Las funciones algebraicas y trascendentes, definidas por una sola fórmula, son derivables en los puntos de su dominio, excepto en aquellos valores donde la tangente es vertical. La mayoría de las funciones que no son derivables en algún valor son construidas artificialmente a trozos. Los valores conflictivos se encuentran en los puntos de empalme de los trozos que definen la función. Ejercicio 22: Calcula el valor de los parámetros a y b para que la función

>−≤−+=

1 si 221 si 1)(

2

xbxxbxaxxf sea derivable en 1=x .

10. REGLA DE L´HÔPITAL.

La regla de L´Hôpital se utiliza para resolver las indeterminaciones del tipo 0

0

Sean dos funciones )(xf y )(xg derivables en un entorno de a .

Si 0)( =→

xflímax

, 0)( =→

xglímax

y existe )(

)(

xg

xflím

ax ′′

→, entonces existe

)(

)(

xg

xflím

ax→ y su valor es

)(

)(

xg

xflím

ax→=

)(

)(

xg

xflím

ax ′′

→

La regla de L´Hôpital es válida si a es un número real, ∞+ o ∞− .

Ejercicio 23: Calcula xx

xlímx −→ 31

ln

La regla de L´Hôpital también se puede aplicar si ∞∞=

→ )(

)(

xg

xflím

ax

Ejercicio 24: Calcula a)xx

xlímx 2

ln3 −+∞→ xsen

xlímx ln

ln0+→

Aplicación de la regla de L´Hôpital en la indeterminación ∞⋅0 : Se escribe el límite de

forma que aparezca una indeterminación 0

0 o

∞∞

.

Ejercicio 25: Calcula a) ( ) ( )[ ]2 ln22

−−→

xxlímx

b) xsenxlímx

ln 0+→

Aplicación de la regla de L´Hôpital en la indeterminación ∞−∞

Ejercicio 26: Calcula a)

−→ xsenx

límx

110

b)

−−→ xx

xlímx ln

1

11

En la práctica, es muy normal encontrar ejercicios de L’Hopital con parámetros.


13

11. MONOTONÍA, MÁXIMOS Y MÍNIMOS. 11.1 Monotonía. Una función f es creciente en un intervalo

( )ba , si para cualquier par de números 1x ,

2x del intervalo ( )ba , tal que 21 xx <

implica que )()( 21 xfxf <

Una función f es decreciente en un intervalo

( )ba , si para cualquier par de números 1x ,

2x del intervalo ( )ba , tal que 21 xx <

implica que )()( 21 xfxf >

Ejemplo Criterio para funciones crecientes o decrecientes

Es creciente en ( )0 ,∞− y en ( )7 ,2 .

Es decreciente en ( )2 ,0 y en ( )∞+ ,7 .

0)( 0 >′ xf ⇒ )(xf creciente en 0xx =

Recta tangente en 0x a la gráfica tiene

pendiente positiva

0)( 0 <′ xf ⇒ )(xf decreciente en 0xx =

Recta tangente en 0x a la gráfica tiene

pendiente negativa 11.2 Máximos y mínimos relativos. f presenta un máximo relativo en 0x si, en ese punto, la función pasa de ser creciente a

decreciente, y un mínimo relativo si pasa de ser decreciente a creciente. [ f presenta un máximo absoluto en 0x si es el mayor de los máximos relativos, y un mínimo absoluto si es el

menor de los mínimos relativos ]

Si el punto ( ))( , 00 xfx es un punto

máximo o mínimo relativo de la gráfica de )(xf , entonces 0)( 0 =′ xf , o bien

)(xf no es derivable en 0xx = .

Procedimiento Ejemplo: xxxxf 3632)( 23 −+= =)( fD IR 1º. Hallamos discontinuidades No hay 2º. Hallamos )(xf ′ 3666)( 2 −+=′ xxxf 3º. Estudiamos el signo en los intervalos que proporcionan las discontinuidades y los puntos críticos de la función (puntos donde la derivada se anula) [ 0)( =′ xf → 2=x , 3−=x ]

4º. Escribimos los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

La gráfica de )(xf es creciente en ( )3 ,−∞− y ( )∞+ ,2 .

La gráfica de )(xf es decreciente en ( )2 ,3− .

5º. Estudiamos máximos y/o mínimos relativos.

Crec. a la izqda. de 3−=x y decrec. a la drch. → 3−=x máx. Decrec. a la izqda. de 2=x y crec. a la drch.→ 2=x mín.

6º. Calculamos las coordenadas de los máximos y mínimos.

( )81 ,381)3( −→=− Pf máx. de la gráfica

( )44 ,244)2( −→−= Qf mín. de la gráfica


14

12. PUNTOS DE INFLEXIÓN Y CURVATURA. 12.1 Curvatura.

Concavidad Convexidad Punto de inflexión

La gráfica de )(xf es cóncava

en( )ba , ,

porque está por debajo de las tangentes en ( )ba ,

0)( 0 <′′ xf ⇒ )(xf cóncava

en 0xx =

La gráfica de )(xf es convexa en

( )ba , ,

porque está por encima de las tangentes en( )ba ,

0)( 0 >′′ xf ⇒ )(xf convexa

en 0xx =

La gráfica de )(xf pasa en

0xx = de convexa a

cóncava y la tangente atraviesa la

gráfica.

12.2 Puntos de inflexión. Una función f presenta un punto de inflexión en 0x si, en ese punto, dicha función pasa de ser

convexa a cóncava, o viceversa.

Si el punto ( ))( , 00 xfx es un punto de inflexión de la gráfica de

)(xf ,entonces 0)( 0 =′′ xf , o bien )(xf no es derivable en 0xx = .

Procedimiento Ejemplo: xxxxf 3632)( 23 −+= =)( fD IR

1º. Hallamos discontinuidades. No hay 2º. Hallamos )(xf ′′ . 3666)( 2 −+=′ xxxf 612)( +=′′ xxf

3º. Estudiamos el signo en los intervalos que proporcionan las discontinuidades y los ceros de su segunda derivada.

[ 0)( =′′ xf →2

1−=x ]

4º. Escribimos los intervalos de concavidad y convexidad.

La gráfica de )(xf es cóncava ( )∩ en

−∞−2

1 , .

La gráfica de )(xf es convexa ( )∪ en

∞+− ,2

1.

5º. Estudiamos puntos de inflexión.

)(xf cóncava a la izqda. de 2/1−=x y convexa a la drch.→

2/1−=x punto de inflexión.

6º. Calculamos las coordenadas de los puntos de inflexión. 2

37)

2

1( =−f →

−2

37 ,

2

1A es un punto de inflexión.


15

13. ¿PUNTO DE INFLEXIÓN, MÁXIMO O MÍNIMO? Cuando se anulan las dos primeras derivadas en un punto 0x , para decidir si en 0x hay un punto

de inflexión, un máximo o un mínimo tenemos que analizar la primera derivada NO NULA en dicho punto.

0)( 0) <xf n →en 0x se alcanza un máximo.

� Si esta derivada es de orden par: 0)( 0

) >xf n →en 0x se alcanza un mínimo.

� Si es de orden impar: 0)( 0) ≠xf n → en 0x hay un punto de inflexión.

Ejemplos: 4)( xxf =

34)( xxf =′

212)( xxf =′′

xxf 24)( =′′′

24)( =xf IV

2)( 5 += xxf

45)( xxf =′

320)( xxf =′′

260)( xxf =′′′

xxf IV 120)( =

120)( =xf V

→=→=′ 00)( xxf Posible máximo o mínimo.

→=→=′′ 00)0( xf Posible punto de inflexión.

0)0( =′′′f

0)0( >IVf →en 0=x se alcanza un mínimo.

→=→=′ 00)( xxf Posible máximo o mínimo.

→=→=′′ 00)0( xf Posible punto de inflexión.

0)0( =′′′f

0)0( =IVf

0)0( ≠Vf →en 0=x hay un punto de inflexión.

Ejercicio 27: Calcula los máximos, mínimos y puntos de inflexión de 23 3)( xxxf += 13. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Optimizar un proceso es conseguir que una magnitud sea lo mayor o lo menor posible sujeta a unas condiciones. Para ello, es preciso encontrar el máximo o mínimo de una función. Hay muchos ejemplos de estos tipos de problemas en la ciencia, la tecnología, la economía, las finanzas, la población y la medicina: encontrar el máximo beneficio, minimizar el coste, hallar la máxima distancia, determinar el máximo voltaje, hallar la máxima resistencia,… Procedimiento:

a) Se escriben los datos, las incógnitas y se hace un dibujo si es posible. b) Se escribe la función que se desea maximizar o minimizar y las condiciones del

problema, que serán ecuaciones que relacionan las variables y los datos. c) Se escribe la función con una sola variable, mediante las ecuaciones utilizadas. d) Se calculan los máximos y los mínimos de esta función. e) Se interpretan los resultados y se rechazan aquellos que no sean posibles por las

condiciones o la naturaleza del problema. Ejercicio 28: El consumo de un barco que navega a una velocidad de x nudos viene dado por

x

xxC

450

60)(

2

+= . Calcula la velocidad que es más económica y su consumo.

Ejercicio 29: De todos los triángulos rectángulos de 5 m de hipotenusa, halla el que tiene área máxima.


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14.-ANÁLISIS DE FUNCIONES Y REPRESENTACIÓN DE CURVAS.

� Dada la fórmula de una función, analizarla estudiando todas sus características.

Finalidades: � Dada la fórmula de una función, saber representarla gráficamente.

[Para representar una función no es necesario analizarla totalmente estudiando todas sus características; a veces, con hallar las asíntotas, la posición de la gráfica respecto de ellas y los máximos y mínimos relativos se puede hacer un

esbozo bastante completo de la misma ] Propiedades de f obtenidas directamente Caracterización Dominio de la función. Valores que puede tomar x Recorrido o imagen de la función. Valores que puede tomar y

Puntos de discontinuidad )()( afxflímax

≠→

o )()( xflímxflímaxax +− →→

≠

Simetrías. a) Función par. b) Función impar.

Función par: Simétrica respecto del eje Y

Función impar: Simétrica respecto del origen de coordenadas

Periodicidad (sólo existe en funciones trigonométricas)

)()( xfTxf =+

T período mínimo

Puntos de corte con los ejes: a) Corte con el eje X Ninguno, uno o más puntos b) Corte con el eje Y

Ninguno o un punto

Son los puntos de la forma( )0 ,x [hay que resolver la ecuación 0)( =xf ]

Es el punto de la forma ( ))0( ,0 f [si )(xf está definida en 0=x ]

Asíntotas: a) Asíntotas verticales: cx = b) Asíntotas horizontales: ky = c) Asíntotas oblicuas: nmxy +=

±∞=→

)(xflímcx

[ −+= aaac , , ]

kxflímx

=±∞→

)(

m= 0)( ≠

±∞→ x

xflímx

; n= ])([ mxxflímx

−±∞→

Propiedades de f obtenidas por las derivadas sucesivas Caracterización

Monotonía: a) Intervalos de crecimiento

b) Intervalos de decrecimiento c) Mínimos y/o Máximos

0>′f

0<′f

0)( 0 =′ xf y 0)( 0 >′′ xf →En 0xx = se alcanza un mínimo

0)( 0 =′ xf y 0)( 0 <′′ xf →En 0xx = se alcanza un máximo

Curvatura: a) Intervalos de concavidad ( )∩ .

b) Intervalos de convexidad ( )∪ .

c) Puntos de inflexión.

0<′′f

0>′′f

0)( 0 =′′ xf y 0)( 0 ≠′′′ xf →En 0xx = hay un punto de inflexión


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15. EJEMPLOS DE ANÁLISIS GRÁFICOS DE FUNCIONES. � Considera una función cuya representación gráfica en el intervalo

( )3 ,3− es la que aparece a la derecha. Haz un esbozo de la gráfica de la derivada de esta función.

Características gráficas

Expresión de los resultados en términos de la derivada

)(xf es creciente en ( )2 ,3 −− y en ( )2 ,0 0)( >′ xf en ( )2 ,3 −− y en ( )2 ,0

)(xf es decreciente en ( )0 ,2− y en ( )3 ,2 0)( <′ xf en ( )0 ,2− y en ( )3 ,2

)(xf alcanza los máximos en los puntos de abscisa 2−=x y

2=x )(xf alcanza un mínimo en 0=x

)(xf ′ tiene puntos de corte con los ejes en los

puntos de abscisa 2−=x ; 0=x y 2=x

)(xf es cóncava en ( )1 ,3 x− y en ( )3 ,2x

)(xf es convexa en ( )21 , xx

)(xf tiene dos puntos de inflexión en los puntos de abscisa 1xx =

y 2xx =

)(xf ′ tiene un mínimo en 1xx =

)(xf ′ tiene un máximo en 2xx =

CONCLUSIÓN:

� Dada la gráfica de )(xh′ , deduce la monotonía y extremos relativos de

)(xh , así como la curvatura y sus puntos de inflexión, explicando cómo lo haces.

Características gráficas

Expresión de los resultados en términos de la función

)(xh es creciente en ( ) ( ) ( )∞+− ,77 ,62 ,3 UU

)(xh es decreciente en ( ) ( )6 ,23 , U−∞−

Puntos donde )(xh cambia su monotonía. )(xh alcanza un máximo en 2=x

)(xh alcanza dos mínimos, en 3−=x y 6=x

0)( >′′ xh 0)( <′′ xh 0)( >′′ xh 0)( <′′ xh

)(xh es cóncava ( )∩ en ( ) ( )∞+ ,74 ,0 U

)(xh es convexa ( )∪ en ( ) ( )7 ,40 , U∞−

Puntos donde )(xh cambia su curvatura.

)(xh tiene dos puntos de inflexión, en 0=x y

4=x [Como )7(h′ no existe, )(xh no tiene un punto de

inflexión en 7=x , aunque cambia su curvatura]


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SELECTIVIDAD 2016 Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicio 9


19

Ejercicio 10

Ejercicio 11

Ejercicio 12


Ejercicio 14

Ejercicio 15

Ejercicio 16

Ejercicio 17


20

Ejercicio 18

Ejercicio 19

Ejercicio 20

Ejercicio 21

Ejercicio 22

Ejercicio 23

Ejercicio 24



21

Ejercicio 26

Ejercicio 27

Ejercicio 28

Ejercicio 29

Ejercicio 30

Ejercicio 31

Ejercicio 32

Ejercicio 33


22

Ejercicio 34

Ejercicio 35

Ejercicio 36


Ejercicio 38

Ejercicio 39

Ejercicio 40

Ejercicio 41

Ejercicio 42


23

Ejercicio 43

Ejercicio 44

Ejercicio 45

Ejercicio 46

Ejercicio 47

Ejercicio 48



24

Ejercicio 50

Ejercicio 51

Ejercicio 52

Ejercicio 53

Ejercicio 54

Ejercicio 55

Ejercicio 56


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Ejercicio 57

Ejercicio 58

Ejercicio 59

Ejercicio 60


Ejercicio 62

Ejercicio 63


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Ejercicio 64

Ejercicio 65

Ejercicio 66

Ejercicio 67

Ejercicio 68

Ejercicio 69

Ejercicio 70

Ejercicio 71

Ejercicio 72

1. funciÓn real de variable real una una función se puede expresar de … · 2018-11-03 ·...

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