una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los...
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Sean y dos conjuntos arbitrarios.
Una función de en es una asociación entre elementos
de y donde a todos y cada uno de los elementos de
se les asocia un único elemento de .
El conjunto
A B
A B
A B A
B
A se llama de la función.
Al conjunto
dominio
codominio se le cdenomina ontradom io .nioB
Es el conjunto de todos los valores posibles que puede
tomar la función.
También se le llama imagen del dominio bajo la función.
Dada la función : el rango de , es el conjunto
Rango de : para
f A B f
f x B x f a
Evidentemente el rango de es un subconunto del
contradominio:
El rango de Rango de Cont
alguna
radomini de
o
a
f f
A
f
Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.Su rango es también un subconjunto de los reales.
1 1 2 2
s 1 2 1 2
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
y
Se llama función suma de ambas, a la función:
Análogamente podemos definir la funci
y f (x) y f (x).
y y y f (x) f (x).
d 1 2 1 2
El dominio de definición de la función suma, y también el de la
función diferencia será la intersecci
ón diferencia c
ón de los dominios de am
omo
bas
funciones.
y y y f (x) f (x)
1 1 2 2
p 1 2 1 2
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
( ) ( ).
Se llama función producto de ambas, a la función:
( ) ( )
Análogamente a lo que o
y f x y y f x
y y y f x f x
curre con las funciones suma y diferencia,
el dominio de definición de esta función vuelve aser la intersección
de los dominios.
1 1 2
11C
2 2
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
( ) y ( ).
Se llama función cociente de ambas, a la función:
= =
El dominio de defi
nic
y f x y f x
f xyy
y f x
2
ión de esta función es la intersección de los
dominios, menos todos los puntos que anulen a ( ), puesto que
serán puntos que anulen el denominador de dicha función.
f x
Dadas dos funciones ( ), ( ),
se llama función compuesta
a la función
Para que exista la función compuesta es necesario
que el recorrido de la función quede totalmente
incluido en el
y f x z g y
g f
g f x g f x
f
dominio de la función .
Dominio Dom tales que Dom
g
g f x f f x g
2
Sea : .
Se llama gráfica de la
función al conjunto
, ( , ( ))
f
G x y x f x
D R R.
R
El concepto de “límite” describe
el comportamiento de una
función cuando su argumento se
“acerca” a algún punto o se
vuelve extremadamente grande
Sea una función y un número real.
La expresión
lim
significa que se puede hacer tan cercano a como se
quiera haciendo suficientemente cercano a .
Se dice "el límite de en , cuand
x c
y f(x) c
f x L
f x L
x c
f x
o se aproxima a , es ".
Lo anterior es cierto aún si
Más aún, puede no estar definida en .
x c L
f x L
f x c
Sea : una función y un número real.
La expresión
lim
significa que dado >0, existe >0 tal
que si
0
entonces
.
x c
f c
f x L
x c
f x L
D R R
2
2
2
Nota 1.- El dominio
: 5 7
¿Cuál es e
de la función
l límite de esta función c
son todos los números
reales
Nota 2.- El contradominio de la función
uando tiende
o se acerca a 2?
¿lim 5 7 ?
son tod
x
g R R g x x
x
x
os los
números reales
Nota 3.- El rango de la función es el intervalo [ 7, ) R
2: 5 7g R R g x x
2
2¿lim 5 7 ?
xx
2: 5 7g R R g x x
2
2¿lim 5 7 ?
xx
2: 5 7g R R g x x
13
2
2¿lim 5 7 ?
xx
2
2
2
: 5 7
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca a 2?
lim 5 7 13x
g R R g x x
x
x
2
2
2
: 5 7
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca a 2?
lim 5 7 1
E
3
n este caso, lim
x
x c
g R R g x x
x
x
f x f c
1
Nota 1.- El dominio de la función son todos los números
reales positivos menos e
1: (0, ) 1
1¿Cuál es el límite de esta función
l 1
Nota 2.-
cuando tiende
o se acerca a 1?
1¿lim ?
E
1
l
x
xQ R Q x
xx
x
x
contradominio de la función son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función es el intervalo 1, R
1: (0, ) 1
1
xQ R Q x
x
1
1¿lim ?
1x
x
x
1
1: (0, ) 1
1
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca a 1?
De la gráfica es claro que
1lim 2
1x
xQ R Q x
x
x
x
x
1
1: (0, ) 1
1¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca a 1?
1lim 2
1
Sin embargo, la función ni siquiera está definida en
1
x
xQ R Q x
xx
x
x
x
2
5
Nota 1.- El dominio de la función son todos los números
reales
Nota 2.- El contradominio de
3 4 5:
5
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerc
la fu
a a 1?
¿li
nción
m
?x
x xa R R a x
x x
x
a x
son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función son todos los números reales
menos el intervalo (11,25]
2
3 4 5:
5
x xa R R a x
x x
5
¿lim ?x
a x
2
5
3 4 5:
5
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca a 5
Si nos acercamos por la izquierda
No exi
tiende a 11
Si nos acercamos por la derecha tiende a 25
?
l steimx
x xa R R a x
x x
x
a x
0
Nota 1.- El dominio de la
1: 0
¿Cuál es el lím
función son todos
ite de esta función cuando tiende
o
los números
reales menos el cero
Nota
se acerca a 0?
1¿
2.- El contradom
l
i
im ?
nio de la funci
x
E R R E xxx
x
ón son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función son todos los números reales
1: 0E R R E x
x
0
1¿lim ?
x x
0No existe
Si
1: 0
¿
nos
Cuál es
acercamo
el límite de est
s por la izquier
a función cuando tiende
o se ac
da tiende a
Si nos acercamo
e
s
rca a
por la derecha tiende a
1
+
0?
limx
E R R E xx
x
x
1: 0E R R E x
x
1: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
E R R E xx
x
1: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
E R R E xxx
1: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
l 0imx
E R R E xx
x
E x
Sea una función y un número real.
La expresión
lim
significa que se puede hacer tan cercano a como se
quiera haciendo suficientemente cercano a por la izquierda.
Se dice "el límit
x c
y f(x) c
f x L
f x L
x c
e de en , cuando se aproxima a por
la izquierda, es ".
Lo anterior es cierto aún si
Más aún, puede no estar definida en .
f x x c
L
f x L
f x c
Sea una función y un número real.
La expresión
lim
significa que se puede hacer tan cercano a como se
quiera haciendo suficientemente cercano a por la derecha.
Se dice "el límite
x c
y f(x) c
f x L
f x L
x c
de en , cuando se aproxima a por
la derecha, es ".
Lo anterior es cierto aún si
Más aún, puede no estar definida en .
f x x c
L
f x L
f x c
0
Nota 1.- El dominio de la función son todos los números
reales menos el cero
Nota 2.- El contrad
sin: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca
ominio
a 0?
si
d
n¿li
e
m ?x
xf R R y f x
x
x
x
x
la función son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función es el intervalo -1,1 R
sin: 0
xf R R y f x
x
0
sin¿lim ?
x
x
x
sin: 0
xf R R y f x
x
0
Si 0,
sin
y
sinlim 1x
x
xf x
x
x
x
0
Si 0,
sin
y
sinlim 1x
x
xf x
x
x
x
sin: 0
xf R R y f x
x
El límite por la izquierda es 1
El límite por la derecha es +1
0 0
sin sinDado que lim lim , el límite no existe
x x
x x
x x
2: 5 7g R R g x x
En todo el dominio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales
1: (0, ) 1
1
xQ R Q x
x
En todo el dominio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales
2
3 4 5:
5
x xa R R a x
x x
En todo el dominio, excepto en 5, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales.En 5 son 25 y 11 respectivamente
1: 0E R R E x
x
En todo el dominio, excepto en 0, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales.En 0 son +∞ y -∞ respectivamente
Sean : y :
Supongamos que existen los límites
lim y lim
i).- lim lim + lim
x x
x x x
f D R R g C R R
f x g x
af x bg x a f x b g x
Sean : y :
Supongamos que existen los límites
lim y lim
ii).- lim lim lim
x x
x x x
f D R R g C R R
f x g x
f x g x f x g x
Sean : y :
Supongamos que existen los límites
lim y lim
limiii).- lim / si lim 0
lim
x x
x
x x
x
f D R R g C R R
f x g x
f xf x g x g x
g x
De manera intuitiva podemos decir que una función es continua cuando pequeños cambios en la variable independiente generan pequeños cambios en la variable dependiente.
De manera imprecisa podemos decir que son aquellas funciones que se “dibujan sin separar el lápiz del papel”
Una función es continua en el punto de su dominio si:
a) está definida, es decir, está en el
Si una función es continua en todos los
dominio
puntos de su
dominio se le denom
de
)
i
limx c
f x c
f c c f
b f x f c
na continua
Si una función no es continua entonces es discontinua
sin : sinR R y x
Esta función es continua
3 2
:5 2
x xh R R y h x
x
•Es discontinua en x=-2•Es continua en todos los otros puntos del dominio
Si y son continuas en el punto de su dominio
y , son números reales arbitrarios, entonces:
i).- es continua en
ii).- es continua en
iii).- es continua en , siempre y cua
f x g x c
a b
af x bg x c
f x g x c
f xc
g x
ndo
0g c
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
•La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cancer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo
•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos ultracomplejos?
Las funciones “describen” la
evolución de las variables
dinámicas de los sistemas
23 20y f x x x
x f(x)0 20
1 24
-1 22
2 34
-2 30
3 50
-3 44
23 20y f x x x
23 20y f x x x
¿Cómo cambia la función?
•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)
•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8 (decrece)
23 20y f x x x
¿Cómo cambia la función entre y ?x x
f f x f x
23 20y f x x x
¿Cómo cambia la función?
•Cuando va de 0 a 2 crece en 14
•Cuando va de -2 a 0 crece en -10 (decrece)
23 20y f x x x
´¿Cómo cambia la función entre y ?x x
f x f xf
x x
23 20f x f x
y f x x x fx x
x x
f x f x
x x
f x f x
x x
tan
f x f x
x x
La recta azul es la secante a la curva
La recta azul es la tangente a la curva
La recta azul es la tangente a la curva
•La pendiente de la tangente nos dice
•La rapidez con que la función está
•cambiando en ese punto
lim
lim
x x
x x
f x f xm
x x
f x f xdfx
dx x x
La recta azul es la tangente a la curva
tandf
m xdx
0
00
0
0
limx x
f x
x
f x f xdfx
dx x x
Dada una función
se define su derivada en el punto como
:f R R
x
y f x
x
y f x
x x h
secante tan
f x h f xm
h
h
f x h f x
x
y f x
x
tangente 0
tan limh
f x h f x df xm
h dx
:f D R R
0
00
0
limx x
f x f xdfx x
dx x x
0x
f x
x
0 tandf
x xdx
:v R R v x a
a
v a
donde es un número real arbitrario, pero fijo.
Es decir, es una función constante igual a .
0
0
0
0
0
0
0
:
0
0
lim
0
0x x
dax
d
v R R v x a
v x v x a a
v x v x
x x
v x v x
x x
x
Esto es válido para todos los puntos del dominio
:v R R v x a
a
v a
donde es un número real arbitrario, pero fijo.
Es decir, es una función constante igual a .
La derivada es cero,La función “no cambia”
0: v xR Rx
v adv
d
:l R R l x mx b
m b
l x mx b
m
donde y son números reales.
Esta es la función lineal más general,
es decir, engloba todas
las rectas posibles.
El real es la pendiente de la recta, es decir,
la tangente del án X
b
Y
gulo que hace con el eje
El real es la ordenda al origen, es decir,
el punto en el cual la recta corta al eje
:l R R l x mx b
b
tanm
0 0
0 0 0
0 0
0 0
0
0
0
0 0
:
lim limx x x x
l R R l x mx b
l x l x mx b mx b m x x
l x l x m x xm
x x x x
l
d mx
x l xm m
x x
bdlx x m
dx dxx
para todo en el dominio
:l R R l x mx b
0
Es lógico, la tangente
a la recta es ella misma.
El cambio está dado por
la inclinación de la recta
dlx m
dx
: l x mx bd
dl R mR
l
x
2:f R R f x ax
Una parábola
0
2
2 2 2 2
0
2
:
lim lim
lim lim 2
2
x x x x
x x x x
f R R f x ax
f x f x ax ax a x x a x x x x
f x f x a x x x xa x x
x x x xf x f x
a x xx x
a x x a x x a x x ax
d axdfx ax
dx dx
2: 2f x axdf
axd
f Rx
R
0
0
lim
lim
lim
x x
h
x
f x f xdfx
dx x x
f x h f xdfx
dx h
f x x f xdfx
dx x
1
ln 1
nn
xx
dxnx
dx
dee
dxd x
dx x
2
sincos
cossin
tansec
d xx
dxd x
xdx
d xx
dx
dfx
dxdf x
dxDf
f x
Lo opuesto de una derivada es una
La integral indefinida de una función
se denota co
ant
mo
iderivada
y está definida por la propied
o integral indef
d
d
a
ini a
f x
f x
df x dx f x
d
d
x
x
Si una función es diferenciable, su derivada es única
Una función tiene un número infinito de integrales,
que difieren por una constante aditiva
df x dx f x
dx
La integral indefinida de una función cuya derivada
es identicamente cero es una constante,
es decir,
0
donde es una constante arbitraria.
La integral indefinida de una función identicamente
cero es
dx c
c
una constante.
Función constante:
: donde a es una constante
La integral indefinida de la función constante es
donde es una constante arbitraria
f R R f x a
adx ax c
c
2
Función identidad
: :
La integral indefinida de la función identidad es
2donde es una constante arbitraria
I I R R I x x
xxdx c
c
1
: entero, 1
La integral indefinida de la función es
1donde es una constante arbitraria
n
n
nn
f R R f x x n n
x
xx dx c
nc
1 : 0
Dado que
1ln
se tiene que
ln
donde es una constante arbitraria
f R R f xx
dx
dx x
dxx c
xc
sincos
cossin
d xx
dx
d xx
dx
De:
sin cos
cos sin
xdx x
xdx x
es claro que:
exp exp
exp exp
dx x
dx
x dx x c
c
Tenemos que
así que
donde es una constante arbitraria
Para cada una de las identidades de la derivada
corresponde una identidad para las integrales
- La integral indefinida de una combina
indefini
ción li
das:
neal
af x bg x dx a f x dx b g x dx
1
1
Para cada una de las identidades de la derivada
corresponde una identidad para las integrales
indefinid
- De la regla de la cadena t
a
enemos
así que
c
s:
1
a a
aa
df x a f x f x
dx
f xf x f x dx c
a
on 1a
Para cada una de las identidades de la derivada
corresponde una identidad para las integrales
indef
- De la derivada del logar
1ln para 0
ini
itmo
ln
tenemos
ln
das:
f xdf x
d
dx f x
f xdx f x c
f x
x xdx x
De la regla de la cadena se tiene
donde
f d f g x g x dx
g x
RRf :
x
f x
x
f x
b
a
f x dx
x
f x
b
a
f x dx
a
x
f x
b
a
f x dx
a b
x
f x
b
a
f x dx
a b
Esta área
x
f x
b
a
f x dx
a b
Esta área
La integral de a a b de la función f, es el área bajo la curva de la gráfica de la función entre a y b
2 32 3f x x x x
2 32 3f x x x x
2 3
2:5 2:5 2:5 2:5 2:52 3 2 3
1.0 1.0 1.0 1.0 1.0
2.5 2.5 2.52.5 2 3 4
1.01.0 1.0 1.0
2 2 3 3 4 4
2 3
2 3 2 3
1 1 12 3
2 3 4
1 12 2.5 1.0 2.5 1.0 2.5 1.0 2.5 1.0
2 41
2 1.5 6.25 12
f x x x x
x x x dx dx xdx x dx x dx
x x x x
1.0 15.625 1.0 39.063 1.0
41 1
3.0 5.25 14.625 38.0632 4
3.0 2.625 14.625 9.5158 5.4842
2 32 3f x x x x
Valor aproximado 6.1172
Valor exacto 5.4844
1n
5.4844 exactoValor
5.6426aproximadoValor
2n
Valor aproximado 5.5239
Valor exacto 5.4844
4n
Valor aproximado 5.4907
Valor exacto 5.4844
10n
Valor aproximado 5.4846
Valor exacto 5.4844
50n
Valor aproximado 5.4844
Valor exacto 5.4844
100n
if x
i if x x
0
N
i ii
f x x
0
0
limi
N
i ix
i
f x x
0
0
limi
bN
i ix
i a
f x x f x dx
Linearidad
b b b
a a a
rf x sg x dx r f x dx s g x dx
División del rango de integración
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
Antisimetría
b a
a b
f x dx f x dx
0a
a
f x dx
4 4 4
4
22 2 2
: 2
2 2 2 2 4 2 2 2 4
f R R f x
f x dx dx dx x
2 2 4
0 0 0 0
3 3 3 3
0 22 20
33
: 3 2
3 2 3 2
303 2 3 2 0 3
2 2 2
9 27 153 2 3 6
2 2 2
g R R g x x
g x dx x dx xdx dx
xx
623
3 9 27
2 2
27 156
2 2
2
2 2 2 22 2
2 2 2 2
2 2 3 23 2 3 2
2 2
: 8 3
8 3 8 3
2 22 28 3 8 3
3 2 3 3 2 2
8 8 4 4 16 1288 3 8
3 3 2 2 3 3
h R R h x x x
h x dx x x dx x dx xdx
x x
Definimos la función
donde es una constante
y
es la variable independiente
x
a
F x f d
a
x
x
a
F x f d f x
a
x
Se tiene
x
a
F x f d
dF x f x
dx
b
a
f x dx F b F a