propiedades y formas de las funciones reales de variable … · 2014-02-12 · prólogo e l estudio...

Propiedades y formasde las

Funciones Realesde

Variable Real

I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas

Matemáticasde

2º de Bachillerato

Por Javier Carroquino CaZas Catedrático de matemáticas

del I.E.S. Siete Colinas

Ceuta 2004


Funciones Reales de

Variable Real

Javier Carroquino Cañas

Matemáticas de 2º de bachillerato–•–

Ciencias de la Naturaleza y la SaludTecnología

Propiedades y formas de las

Funciones Realesde

Variable RealPor

Javier Carroquino CañasCatedrático de matemáticas

I.E.S. Siete Colinas (Ceuta)Departamento de Matemáticas

Ceuta 2004

© Javier Carroquino CañasI.E.S. Siete Colinas (Departamento de Matemáticas)Propiedades y formas de las Funciones Reales de Variable Real

Depósito Legal : CE&110&2004

ISBN : 84&6888&9056&1

Número de Registro : 04&74741

Ceuta 2004

Prólogo

El estudio de una función real de variable realconlleva la necesidad de buscar y descubrir ciertas

propiedades que esa función puede o no cumplir, tanto enuno o más puntos, en un intervalo, en un conjunto o entodo su dominio.

Esas propiedades se verán reflejadas en la formaque tomará la gráfica de la función y nos permitiráconocer con profundidad la relación existente entre lasvariables independiente (x) y dependiente (y), como porejemplo: “si la variable x crece, ¿la variable y crece odecrece? Otro ejemplo : ¿En qué valor x la funciónalcanza el máximo valor?

En este tema definiremos y describiremos algunaspropiedades y formas que una función puede tener yaprenderemos, en algunos casos, a averiguar si unafunción dada las cumple o no. No obstante hemos dedecir que en algunos casos es más útil aplicar laspropiedades de las derivadas para descubrir si unafunción tiene o no esas propiedades, algo que veremos entemas sucesivos.

Matemáticas de 2º de bachillerato Propiedades y formas de las funcionesI

Índice

Página

1.Función par. Función simétrica respecto al eje de ordenadas... 1Ejemplo 1 ................................................ 2Ejemplo 2 ................................................ 3Ejemplo 3 ................................................ 4Ejemplo 4 ................................................ 5Ejemplo 5 ................................................ 5

2.Función impar. Función simétrica respecto al origen ......... 6Ejemplo 6................................................. 7Ejemplo 7................................................. 8Ejemplo 8 ................................................ 8

3.Función creciente en un punto ............................... 9Ejemplo 9 ................................................ 11Ejemplo 10 ............................................... 12

4.Función creciente en un intervalo ............................ 13Ejemplo 11................................................ 15

5.Función creciente en todo su dominio ........................ 15Ejemplo 12 ............................................... 16

6.Función decreciente en un punto ............................. 17Ejemplo 13 ............................................... 19

7.Función decreciente en un intervalo .......................... 20Ejemplo 14................................................ 22

8.Función decreciente en todo su dominio ....................... 22Ejemplo 15 ............................................... 23

9.Cota superior de una función ................................. 24Ejemplo 16 ................................................ 24

10.Extremo superior o supremo de una función ................... 26Ejemplo 17 ............................................... 26

11.Máximo de una función ....................................... 26Ejemplo 18 ............................................... 27Ejemplo 19 ................................................ 27Ejemplo 20 ................................................ 27

12.Función acotada superiormente ............................... 28Ejemplo 21 ................................................ 28

13.Cota inferior de una función ................................ 29Ejemplo 22 ............................................... 29

14.Extremo inferior o ínfimo de una función .................... 30Ejemplo 23 ................................................ 31

15.Mínimo de una función ....................................... 31Ejemplo 24 ................................................ 31Ejemplo 25 ................................................ 32

16.Función acotada inferiormente ............................... 32Ejemplo 26 ................................................ 32

17.Función acotada ............................................. 33Ejemplo 27 ................................................ 33

18.Concavidad-convexidad de una función ........................ 3418.1.Func. cónc. hacia arriba o conv. hacia abajo en un punto .. 34

Ejemplo 28 .......................................... 35Ejemplo 29 .......................................... 35

18.2.Func. cónc. hacia arriba o conv. hacia abajo en un intervalo 35

Matemáticas de 2º de bachillerato Propiedades y formas de las funcionesII

Página

18.3.Func. cónc. hacia arriba o conv. hacia abajo en su dominio. 36Ejemplo 30 .......................................... 37Ejemplo 31 .......................................... 37Ejemplo 32 .......................................... 37

18.4.Func. cónc. hacia abajo o conv. hacia arriba en un punto .. 38Ejemplo 33 .......................................... 39

18.5.Func. cónc. hacia abajo o conv. hacia arriba en un intervalo 3918.6.Func. cónc. hacia abajo o conv. hacia arriba en su dominio. 40

Ejemplo 34 .......................................... 40Ejemplo 35 .......................................... 41

19.Punto de inflexión de una función ........................... 41Ejemplo 36 ............................................... 42

20.Función periódica ........................................... 42Ejemplo 37 ............................................... 43Ejemplo 38 ............................................... 44Ejemplo 39 ............................................... 44

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 1 Propiedades y formas de las funciones

f x es una funcion par x D esx D

f x f xff( ) &

( )( ) ( ) ( )

⇔ ∀ ∈∗ − ∈∗∗ − =

El estudio de este tema conviene que se realice a continuación de los titulados“Funciones reales de variable real” y “Representación gráfica de las funcionesreales de variable real ”, editados en el mismo formato.

En “Propiedades y formas de las funciones reales de variable real”, se estudian diversaspropiedades y características que pueden tener las funciones y como repercuten estas en surepresentación gráfica, lo que nos enriquecerá en el conocimiento sobre la relación existenteentre las dos variables que intervienen en una función, esto es, la variable independiente y lavariable dependiente.

Seguiremos “hablando” de función y su gráfica, el aspecto y forma de esta en un puntoP(x,y) del plano y en un intervalo de extremos a y b del eje de abcisas. Veremos los conceptosde función par e impar, función creciente y decreciente, cotas superiores e inferiores de unafunción, función periódica, etc. Todo ello con el objetivo aprender a conseguir un estudioexhaustivo de cualquier función, aunque en temas sucesivos utilizaremos los conceptos de“límites de funciones” y “derivadas”, para un estudio más completo.

1.Función par. Función simétrica respecto al eje de ordenadas.-

‘ Sea y = f (x) una función real de variable real.‘ Sea Df dú el dominio de esa función. Vamos a definir el concepto de función par :

Es decir:“Una función es par si ocurre que cuando un número pertenece a su dominio, el opuestode ese número también pertenece al dominio y además la imagen de ambos son iguales.”

Es especialmente interesante la interpretación gráfica de este concepto. Veamos:” Supongamos que y = f (x) es una función par.” Sea Df su dominio.” Si a0Df , también ocurre que &a0Df por ser y = f (x) una función par.

Además, por el mismo motivo, f (&a) = f (a) = b” Según el punto anterior, podemos asegurar que (a , b)0Df y (&a , b)0Df” La interpretación gráfica del punto anterior es que si el punto P(a , b) pertenece a la

gráfica de la función, entonces el punto Q(&a , b) también pertenece a la gráfica de f (x).” El punto anterior nos viene a decir que en la representación gráfica de la función f (x),

el eje de ordenadas actuaría como un “espejo”, es decir, la gráfica es simétrica con


Funciones reales de variable real


f x x es funcion par x D esx D

f x f xff( ) &

( )( ) ( ) ( )

= − ⇔ ∀ ∈∗ − ∈∗∗ − =

3 82

respecto al eje de ordenadas.Veamos:

Ejemplo 1 .-Sea la función y = f (x) = 3x2 &8. Queremos saber si es una función par y dibujar su gráfica.

Veamos:

] El dominio de f (x) = 3x2 & 8 (función polinómica de grado 2) es ú. Es decir, Df = ú.] Veamos si se cumple (() : Como Df = ú, si x0Df , entonces &x0Df

Por tanto, se cumple (().] Veamos si se cumple ((() : f (&x) = 3(&x)2 & 8 = 3x2 &8 = f (x)

Por tanto, se cumple ((().Conclusión: y = f (x) = 3x2 &8 es una función par.

Ahora vamos a dibujar su gráfica (es una parábola) para comprobar si es simétricarespecto de eje de ordenadas.

En la gráfica puede observarse como se trata de unafunción simétrica con respecto al eje de ordenadas.

A la derecha tenemos lo quepodría ser la gráfica de unafunción par.Observa como el eje de ordenadasactúa como un espejo en el que serefleja la gráfica, es decir, si unpunto P(a,b) está en ella,entonces el punto simétricorespecto al eje de ordenadas, esdecir Q(-a,b), también está en lagráfica.

x y =3x2&8 Puntos

0 &8 (0,&8) V

1 &5 (1,&5)

&1 &5 (&1,&5)

2 4 ( 2,4 )

&2 4 (&2,4 )

3 19 ( 3,19 )

&3 19 ( &3,19 )


g xx

es funcion par x D esx D

g x g xgg( ) &

( )( ) ( ) ( )

= ⇔ ∀ ∈∗ − ∈∗∗ − =

1

∀ ∈ − =−

= =x D es g xx x

g xg ( )( )

( )1 12 2

Ejemplo 2 .-Queremos saber si la función es par.y g x

x= =( ) 1

2

Veamos:

Š Hallemos el dominio de la función g (x) :Es evidente que œx0ú con x …0 se verifica que existe.g x

x( ) = 1

2

Por tanto: Dg = ú&{0} = (&4 , 0)c(0 ,+4)Š Veamos si se cumple (() :

Como al dominio de g pertenece todo número real excepto el 0, podemos asegurar que:œx 0Dg se verifica que &x 0Dg

Por tanto se verifica (()Š Veamos si se cumple ((() :

Por tanto: La función es par.y g xx

= =( ) 12

Dibujemos su gráfica:

En la gráfica puede apreciarse su simetría respectodel eje de ordenadas. También apreciamos que eleje de ordenadas es una asíntota vertical (porambos lados) y el de abcisas es una asíntotahorizontal (también por ambos lados).

x yx

= 12 x•0 y

x= 1

2

0 ò 0 ò

1 1 0´5 4

&1 1 &0´5 4

2 0´25 0´1 100

&2 0´25 &0´1 100

4 0´0625 0´01 10000

&4 0´0625 &0´01 10000

100 0´0001 0´001 1000000

&100 0´0001 &0´001 1000000

! ! ! !

+4 0+ 0+ +4

&4 0+ 0& +4


h x es par x D esx D

h x h xx hh( )

( )( ) ( ) ( )

= ⇔ ∀ ∈∗ − ∈∗∗ − =

−2

{ }si x h xsi x h x

D Rh

= → ∉≠ → ∈

⇒ = − = −∞ ∪ + ∞00

0 0 0( )( )

( , ) ( , )RR

h xx x

h x ya que x x( ) ( )− = −−

= − = − =2 2

Ejemplo 3 .-Sea la función . Hagamos lo siguiente por este orden:h x x( ) = −2

a) Dibujar su gráfica.b) A la vista de la gráfica : ¿Es una función par?c) Demostrar si es o no una función par.

Veamos:a) Para hacer la gráfica, construyamos una tabla de valores:

b) En el dibujo podemos apreciar que la gráficade la función es simétrica respecto del eje deordenadas, lo cual nos indica de un modovisual que se trata de una función par(aunque esto no sirve como demostración).

c) Demostremos si es o no función par:

Observamos que :

Lo anterior nos indica que si x0Dh entonces &x0DhPor tanto, se cumple (().Veamos si se cumple ((() :

Conclusión: es una función par.h x x( ) = −2

x y x= −2 Puntos

0 ò No corta a OY

1 &2 (1,&2)

&1 &2 (&1,&2)

2 &1 (2,&1)

&2 &1 (&2,&1)

4 &0´5 (4,&0´5)

&4 &0´5 (4,&0´5)

! ! !

+ 4 0& (+ 4,0&)

& 4 0& (& 4,0&)

x • 0 y x= −2 Puntos

0´1 &20 (0´1,&20)

&0´1 &20 (&0´1,&20)

0´01 &200 (0´01,&200)

&0´01 &200 (&0´01,&200)

! ! !

0+ & 4 (0+,&4)

0& & 4 (0&,&4)


r x x es funcion par x D esx Dr x r xr

r( ) &( )( ) ( ) ( )

= + ⇔ ∀ ∈∗ − ∈∗∗ − =

x tiene imagen r x positivo o cero x∈ ⇔ = + ⇔ ≥R ( ) 0

s x ex

es funcion par x D esx D

s x s x

x

ss( ) &

( )( ) ( ) ( )

= ⇔ ∀ ∈∗ − ∈∗∗ − =

{ }x D x Notese que s e Por to Ds s∉ ⇔ = = = ∉ = − = −∞ ∪ +∞0 00

10

0 00

. & ( ) . tan ( , ) ( , )R R 0

s x ex x x e

s x ex

s x s x

xe

x

x

x( )

( )( ) ( )

− =−

=−

=− ⋅

=

⇒ − ≠

− 1 1

Ejemplo 4 .-Demostremos si la función es o no una función par.y r x x= = +( )

Veamos:

Primero hallemos el dominio de r (x) :

Por tanto : { } [ )D x xr = ∈ ≥ = + ∞R 0 0,Según lo anterior, si x es un número positivo (x>0), su opuesto &x será negativo (&x<0), esdecir, x0Dr y sin embargo &xóDr. Por tanto, no se cumple (()Conclusión: La función no es par.y r x x= = +( )

Ejemplo 5 .-

Sea la función . Queremos saber si es función par.y s x ex

x

= =( )

Veamos:

Veamos si se verifica (():

Observamos que si x0Ds entonces &x0Ds . Por tanto, se verifica (().

Veamos si se verifica ((():

Conclusión: La función y = s (x) no es una función par.

Nótese que si y = f (x) es una función par y ocurre que (x, f (x))0Df entonces (&x, f (x))0Df

Por ejemplo, si sabemos que el par ordenado (5,12) pertenece al grafo, podemos asegurar queel par (&5,12) también pertenece.


f x es una funcion impar x D esx D

f x f xff( ) &

( )( ) ( ) ( )

⇔ ∀ ∈∗ − ∈∗∗ − = −

2.Función impar. Función simétrica respecto al origen.-

‘ Sea y = f (x) una función real de variable real.‘ Sea Df dú el dominio de esa función. Vamos a definir el concepto de función impar :

Es decir:“Una función es impar si ocurre que cuando un número pertenece a su dominio, elopuesto de ese número también pertenece al dominio y además las imágenes de ambosnúmeros son opuestas.”

Es especialmente interesante la interpretación gráfica de este concepto. Veamos:” Supongamos que y = f (x) es una función impar.” Sea Df su dominio.” Si a0Df , también ocurre que &a0Df por ser y = f (x) una función impar.

Además, por el mismo motivo, f (&a) = &f (a) ” Según el punto anterior, podemos asegurar que , si f (a) = b, entonces:

(a , b)0Gf y (&a , &b)0Gf , siendo Gf el grafo de f” La interpretación gráfica de lo último es que si el punto P(a , b) pertenece a la gráfica

de la función, entonces el punto Q(&a , &b) también pertenece a la gráfica.” El punto anterior nos viene a decir que en la representación gráfica de la función f (x),

el origen de coordenadas actuaría como un punto de simetría, es decir, la gráfica essimétrica con respecto al origen de coordenadas.

Veamos:La gráfica nos indica que los puntos P(a,b) y Q(&a,&b), que son simétricos respecto del

origen O, pertenecen a la gráfica de la función, es decir, lospuntos de la gráfica son simétricos respecto del punto origen decoordenadas.

Nótese que la distancia desde O hasta P es igual que ladistancia desde O hasta Q.Nótese también que si una parte de la gráfica de lafunción está en el cuadrante I, “la otra parte” estaría enel cuadrante III y sería el reflejo de la primera.También puede darse el caso en que la gráfica esté enlos cuadrantes II y IV.

Por ejemplo:


Si y f x es funcion impar entoncessi a b G se verifica que a b Gf f

=∈ − − ∈

( ) & , :( , ) , ( , )

f xx

es funcion impar x D se verica quex Df x f xf

f( ) &( )( ) ( ) ( )

= ⇔ ∀ ∈∗ − ∈∗∗ − = −

1

{ }f x no existe x

Dx

f

( ) ., ( , ) ( , )

= ⇔ == − = −∞ ∪ +∞

1 00 0 0Por tanto R

f xx x

f x Es decir se cumple la condicion( ) ( ). , & ( )− =−

= − = − ∗∗1 1

En las gráficas anteriores tenemos dos casos posibles de funciones impares. En la figurade la izquierda (en la que hemos graduado los ejes), la gráfica de la función se sitúa en loscuadrantes I y III, mientras que en la de la derecha la gráfica de la función está en los cuadrantesII y IV. En ambos casos puede apreciarse la simetría respecto del origen de coordenadas, estoes, si un punto P(a,b) está en la gráfica, entonces el punto Q(&a ,&b) también lo está.

Lo anterior nos viene a decir, con respecto al grafo de una función impar que:

Ejemplo 6 .-

Sea la función . Queremos saber si es una función impar y dibujar su gráfica.y f xx

= =( ) 1

Veamos:

M Determinemos el dominio de la función:

M Veamos si se verifica la condición (() :Es evidente que œx0(&4,0)c(0,+4) se verifica que &x0(&4,0)c(0,+4).Por tanto, se verifica la condición (().

M Veamos si se verifica la condición ((() :

Conclusión: La función es impar.y f xx

= =( ) 1

M Dibujemos su gráfica:

x y x= 1 Puntos

1 1 (1,1)

&1 &1 (&1,&1)

2 0´5 (2,0´5)

&2 &0´5 (&2,&0´5)

4 0´25 (4,0´25)

&4 &0´25 (&4,&0´25)

Nótese que f (0+) =+4 ; f (0&) =&4 ; f (+4) = 0+ y f (&4) = 0&


g x x es funcion impar x D esx D

g x g xgg( ) &

( )( ) ( ) ( )

= − ⇔ ∀ ∈∗ − ∈∗∗ − = −

h x x es funcion impar x D se verifica quex D

h x h xhh( ) &

( )( ) ( ) ( )

= ⇔ ∀ ∈∗ − ∈∗∗ − = −

3

Ejemplo 7 .-Queremos demostrar si la función y = g (x) = &x es impar.

Veamos:

a Veamos el dominio: œx0ú , se verifica que g(x) = &x 0úPor tanto: Dg = ú= (&4 , + 4)

a Veamos si se verifica la condición (() : œx0Dg = ú se verifica que &x0Dg = ú.Por tanto, se cumple la condición (().

a Veamos si se verifica la condición ((() : g (&x) = &(&x) = & g (x) Por tanto, se cumple la condición ((().

Conclusión: La función y = g (x) = &x es impar.El grafo de esta función está formado por todos los puntos de la forma (x,&x), es decir:

Gg = { (x , &x)0ú×ú * x 0ú }dú×úPor ejemplo: (&1,1) ; (&2,2) ; (1,&1) ; (2,&2) ; (0´37,&0´37) ; (3´245,&3´245) etc.

son puntos del grafo de esa función.

Ejemplo 8 .-Sea la función y = h (x) = x3. Queremos averiguar si es función impar y dibujar la gráfica.

Veamos:

d Hallemos el dominio de la función: Es evidente que œx0ú , h(x) = x3 0úPor tanto: Dh = ú = (&4 , +4)

d Veamos si se cumple la condición ((): œx0Dh = ú , se verifica que &x0Dh = úPor tanto, se verifica la condición (().

d Veamos si se verifica la condición (((): h(&x) = (&x)3 = &x3 = &h(x)Por tanto, se verifica la condición ((().

Conclusión: y = h (x) = x3 es una función impar.Para dibujar su gráfica, construimos una tabla de valores:

x y = x3 Puntos

0 0 (0,0)

1 1 (1,1)

&1 &1 (&1,&1)

2 8 (2,8)

&2 &8 (&2,&8)

+4 +4 Rama Parabolic

&4 &4 Rama Parabolic En la gráfica la escala en ambos ejes es distinta, esdecir, la unidad en cada eje tiene distinto tamaño.


3.Función creciente en un punto.-

Z Sea y = f (x) una función real de variable real.Z Sea Df su dominio y sea a un número de ese dominio, es decir, a0Df

La interpretación gráfica de esto es que el par (a, f (a)) pertenece al grafo de f y queel punto P(a, f (a)) pertenece a la gráfica de f. Es decir:

Vamos a definir el concepto de función creciente en el punto a :

Vamos a expresar la definición anterior matemáticamente:

Recuérdese que “entorno de centro a y radio g” se define de la siguiente forma:“Entorno de centro a0ú y radio g>0 (número positivo) es el conjunto de todos los númerosreales comprendidos entre a&g y a+g (sin incluir a estos)”.Matemáticamente:

{ }E a x a x a a a Intervaloε ε ε ε ε( ) ( , )= ∈ − < < + = − + ←RExpliquemos la definición de función creciente en un punto, de un modo gráfico:L y = f (x) es creciente en el punto a sí y sólo si:L Existe un entorno de centro a y radio g :

L Tal que

Se dice que la función y = f (x) es creciente en el punto a si existe un entorno de centro a yradio g tal que si x está en la mitad izquierda del ese entorno, su imagen es menor o igualque la de a y si x está en la mitad derecha de ese entorno, su imagen es mayor o igualque la de a.

y f x es creciente en a E a a asi x verifica que a x a entonces f x f asi x verifica que a x a entonces f a f x

= ⇔ ∃ = − +− < < ≤< < + ≤

( ) ( ) ( , )( ) ( )( ) ( )ε ε ε

εε

Si a&g< x < a entonces f (x)#f (a)Si a < x < a+g entonces f (a) #f (x)


La interpretación gráfica de una función y = f (x) que es creciente en el punto x = a esque la gráfica de esa función “atraviesa” la recta vertical “situada” en x = a “pasando” del“lado izquierdo” al “lado derecho” “subiendo”.

Es decir:

Observa la gráfica de la izquierda e intentacomprender la coherencia de esta con ladefinición de que y = f (x) es creciente en elpunto x = a.Nótese que la “franja” delimitada por elentrono Eg = (a&g, a+g) es “atravesada” porla función de izquierda a derecha “subiendo”.Fuera de esa “franja”, es posible que lafunción cambie de tendencia, es decir, “baje”El tamaño del entorno no tiene ningunaimportancia, puede ser grande, pequeño,infinitamente pequeño, etc.

La forma de la gráfica de la función creciente en un punto x = a puede ser muy distinta. Veamos:

En el dibujo de la izquierda tenemos unos “trozos”de las gráfica de cuatro funciones imaginarias.Todas ellas son crecientes en el punto a0ú.Hagamos las siguientes observaciones:( La función y = f (x) atraviesa la recta

vertical en x = a de forma horizontal,es decir, ni sube ni baja. (Obsérveseque cumple la definición).

( La función y = g (x) es una recta (almenos en un entorno de centro a) quetiene pendiente positiva.

( Las otras dos gráficas son curvas.

Otra forma de expresar que una función y = f (x) es creciente en un punto x = a, es la siguiente:

Aunque la expresión anterior no es una definición rigurosa de función creciente en a, si esbastante intuitiva y útil para resolver ejercicios. Nos dice lo siguiente:

y f x es creciente en a Rf a f af a f a

= ∈ ⇔≤

≤

−

+( )

( ) ( )( ) ( )

“La función y = f (x) es creciente en el punto x = a sí y sólo sí para valores de x infinitamentepróximos a a por su izquierda, sus imágenes son menores o iguales que la imagen de a y paravalores de x infinitamente próximos a a por su derecha, las imágenes de esos valores sonmayores o iguales que la de a”.


Hemos definido el concepto de función creciente en un punto. Ahora vamos a modificarligeramente esta definición y tenemos la de “función estrictamente creciente en un punto”.

Matemáticamente sería:

El gráfico de la izquierda nos aclara la diferenciaentre función creciente y estrictamente crecienteen un punto x = a.) Las cuatro funciones representadas

son crecientes en x = a , pero lasfunciones y = g (x), y = h(x) e y = r(x)son, además, estrictamente crecientes.

) Observa que la función y = f (x)cumple la definición de funcióncreciente en x = a, pero no cumple lade función estrictamente creciente.

) Nótese que f (a&) = f (a) = f (a+) g (a&) < g (a) < g (a+)

h (a&) < h (a) < h (a+) r (a&) < r (a) < r (a+)

Un caso de una función creciente en el punto a, pero no estrictamente creciente, podría tener lasiguiente gráfica:

Observa que en este caso no es posible encontrar unentorno Eg (a) = (a&g , a+g) tal que:

Si a&g < x < a entonces f (x) < f (a)Si a < x < a + g entonces f (a) < f (x)

Sin embargo, sí es posible encontrar un entorno de centroEg (a) = (a&g , a+g) tal que:

Si a&g < x < a entonces f (x) # f (a)Si a < x < a + g entonces f (a) # f (x)

Es decir, la función es creciente en a, pero no estrictamente creciente.

Ejemplo 9 .-Dada la función y = f (x) = x5 , demostrar que es estrictamente creciente en x = 0.

Veamos:

Se dice que la función y = f (x) es estrictamente creciente en el punto a si existe unentorno de centro a y radio g tal que si x está en la mitad izquierda del ese entorno, suimagen es menor que la de a y si x está en la mitad derecha de ese entorno, su imagen esmayor que la de a.

y f x es estric crec en a E a a asi x verifica que a x a entonces f x f asi x verifica que a x a entonces f a f x

= ⇔ ∃ = − +− < < << < + <

( ) . . ( ) ( , )( ) ( )( ) ( )ε ε ε

εε


( )( )

x g g

x g g

= → = − + = + = + = > =

= → = − + = + = + = > =

− − − − + +

+ + + + + +

3 3 3 3 1 0 1 0 1 1 1 3

3 3 3 3 1 0 1 0 1 1 1 3

2 2

2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

¯ El dominio de esta función es ú, es decir, Df = ú = (&4 , +4)¯ Para x = 0 es f (0) = 05 = 0. ¯ Podemos imaginar un entorno de centro 0 y radio g, E g = (0&g , 0+g) = (&g , +g) tal que

0& y 0% estén en ese entorno.

Tenemos que ( )( )

f f

f f

( ) ( )

( ) ( )

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

5

5

− − −

+ + +

= = < =

= = > =

Es decir, en ese entorno, los números que están en la mitad izquierda (números menoresque 0) tienen imagen negativa (menor que f (0) = 0 ) y los números que están en la mitadderecha (números mayores que 0) tienen imagen positiva (mayor que f (0) = 0 ).

Conclusión: La función y = f (x) = x5 es estrictamente creciente en x = 0. Por ser estrictamente creciente, también es creciente.


Ejemplo 10 .-Sea la función y = g (x) = (x&3)2 + 1. Demostrar si es o no estrictamente creciente en 3.

Veamos:Observamos que todo número tiene imagen, es decir, Dg = ú = (&4 , +4).Para x = 3 tenemos g (3) = (3&3)2 + 1 = 0 + 1 = 1Veamos que ocurre en las “proximidades laterales” de x = 3 :

Observando la gráfica de laizquierda, destacamos lo siguiente:g La gráfica atraviesa la

recta vertical en x = 0 (ejede ordenadas) de izquierdaa derecha “subiendo”.

g En este caso apreciamosque cualquier entorno decentro 0 es válido paraaplicar la definición.

g El punto anterior se apreciaal ver que si x<0 es f (x)<0y si x>0 es f (x)>0.

Es decir, para los númerosinfinitamente próximos a x = 3(tanto por su izquierda como por suderecha), las imágenes sonmayores que la imagen de 3.Conclusión : La función y = g (x) = (x&3)2 + 1no es estrictamente creciente, nicreciente en 3.


f x creciente en A D a A f x creciente en af( ) , ( )⊂ ⇔ ∀ ∈

f x es creciente en A D

a b A a b entonces f a f b

f( )

, , ( ) ( )

⊂

∀ ∈ < ≤

1 244444 344444

c

6 74444444 84444444

4.Función creciente en un intervalo .-

º Sea y = f (x) una función y sea Df dú su dominio.º Sea A un intervalo de su dominio. Es decir, A dDf .Vamos a definir el concepto “ f (x) creciente en A”) Una forma de definirlo:

Matemáticamente:

) Otra forma de definirlo:

Es decir, y = f (x) es creciente en A si dados dos números de A, el que está a la izquierda(a) tiene una imagen (f (a)) menor o igual que la imagen (f (b)) del que está a la derecha(b).Matemáticamente será:

Š Gráficamente se interpreta del siguiente modo:En la figura de la derecha tenemos: A = [α,β] intervalo cerrado. Cualesquiera que sean los números

a y b del intervalo A , tales que seaa < b, entonces se verifica que f (a) # f (b). En este caso concretoes f (a) < f (b).

Nótese como la gráfica de la funciónatraviesa la franja existente entre larectas x = α y x = β ”subiendo” deizquierda a derecha.

Nótese como en cualquier punto delintervalo A la función y = f (x) escreciente.

En este caso la función es estrictamente creciente en todos los puntos delintervalo A, es decir, es estrictamente creciente en todo el intervalo A.

La definición de función estrictamente creciente en un intervalo A es la siguiente:

“La función y = f (x) es creciente en el intervalo A si lo es en todos los puntos de A”

“La función y = f (x) es creciente en el intervalo A si dados dos númeroscualesquiera a y b de ese intervalo, tales que a < b, entonces f (a)#f (b)”.


f x estr crec en A D a A f x estr crec en af( ) . . , ( ) . .⊂ ⇔ ∀ ∈

f x es estrictamente creciente en A D


f( )

, , ( ) ( )

⊂

∀ ∈ < <

1 244444444 344444444

c

6 74444444 84444444

Matemáticamente:

Otra forma de definirlo:

Es decir, y = f (x) es estrictamente creciente en A si dados dos números de A, el que estáa la izquierda (a) tiene una imagen (f (a)) menor que la imagen (f (b)) del que está a laderecha (b).

Matemáticamente será:

Vamos a distinguir de un modo gráfico la diferencia existente entre función creciente yestrictamente creciente en un intervalo:

“La función y = f (x) es estrictamente creciente en el intervalo A si lo es en todoslos puntos de A”.

“La función y = f (x) es estrictamente creciente en el intervalo A si dados dosnúmeros cualesquiera a y b de ese intervalo, tales que a < b, entonces f (a)<f (b)”.


En la página anterior tenemos cuatro gráficas de funciones trazadas en un intervalo deextremos α y β.

La función y = f (x) es estrictamente creciente en todo el intervalo [α , β].Las funciones y = g (x) , y = h (x) e y = r (x) son crecientes en el intervalo [α , β], pero

no son estrictamente crecientes.La función y = g (x) es constante en todo el intervalo (aunque sea constante, cumple la

definición de ser creciente). Se entiende así que una función constante es creciente, aunque noestrictamente.

Ejemplo 11 .-

Demuestra que que es estrictamente creciente en el intervalo A = (& 4 , 0).y f xx

= =( ) 12

Veamos:Si construimos la gráfica de esa función tendremos:

Por tanto, hemos demostrado que ( )∀ ∈ − ∞ < <α β α β α β, , , ( ) ( )0 tales que es f f(Nótese que hemos llamado α =&a y β = &b ).

Conclusión: La función es estrictamente creciente en el intervalo A = (& 4 , 0)y f xx

= =( ) 12

5.Función creciente en todo su dominio .-

Una función y = f (x) es creciente en todo su dominio si es creciente en cada uno de lospuntos del dominio.

Es decir: f x creciente en D a D es f x creciente en af f( ) , ( )⇔ ∀ ∈

Otra forma de definir este concepto es similar al empleado en el caso de función creciente

Gráfica de la función y f xx

= =( )12

Obsérvese como todo número real, excepto el cero tiene imagen.

Q En la gráfica, a simple vista seaprecia que la función es estrictamentecreciente en todo el intervalo (& 4,0),ya que la curva “viaja” por todo elintervalo de izquierda a derechasubiendo.Q V a m o s a d e m o s t r a r l omatemáticamente:,Sean &a y &b dos números negativos,es decir, &a,&b0 (& 4,0) tales que&a<&b., Es evidente que a y b son positivos.Además a > b., Es evidente que (&a)2= a2 >b2 =(&b)2

, Entonces:

f aa a b b

f b( )( ) ( )

( )− =−

= < =−

= −1 1 1 1

2 2 2 2


f x creciente en D a b D a b entonces f a f bf f( ) , , ( ) ( )⇔ ∀ ∈ < ≤

f x creciente en D a b D a b entonces f a f bf f( ) , , ( ) ( )⇔ ∀ ∈ < <

f a ee e

e f b

Notese que a b positivos

aa b

b( ) ( )

& ( )

= = < = =

− > −

− −1 1

f a ee n mayor que

f b ef a f b

aa

b

( )º

( )( ) ( )

= = = <

= >

⇒ <−

1 11

1

1

en un intervalo. Veamos:

Es decir, si comparamos las imágenes de dos números del dominio, el número menortiene una imagen menor o igual que la del número mayor.

La interpretación gráfica de este concepto es que si visualizamos la gráfica de la funcióny la “seguimos” de “izquierda” a “derecha”, siempre la “veremos” “subiendo”.

Para el caso de función estrictamente creciente será:

Veamos un ejemplo:

Ejemplo 12 .-Consideremos la función exponencial y = f (x) = ex (recuerda que e = 2´71828182....)¿Es creciente en todo su dominio? Vamos a verlo:

– Cualquier número real x tiene imagen, ya que f (x) = ex es un número real para todo x.Por tanto, Df = ú.

– Veamos si es creciente en todo su dominio:Supongamos a,b 0ú tales que a<b. ¿Podemos asegurar que f (a)#f (b) ?

La imagen de x = 0 es : f (0) = e0 = 1Supongamos que a>0 y b>0. Entonces, es evidente que 1< f (a) = ea < eb = f (b).Supongamos que a<0 y b<0. Veamos qué ocurre en este caso:

Supongamos que a<0 y b>0. En este caso :

– Hemos demostrado que la función y = f (x) = ex es estrictamente creciente en todo ú.– Vamos a dibujar su gráfica:

Destaquemos lo que se puede apreciar en lagráfica a simple vista:‹ La función tiene imagen para todo ú‹ De izquierda a derecha la gráfica

“sube” a lo “largo” de todo ú. Esto esuna forma visual de apreciar que lafunción es estrictamente creciente entodo ú.

‹ Hay rama parabólica por la derecha yhacia arriba, es decir, f (+4) = +4.

‹ El eje de abcisas es asíntota horizontal por la izquierda. La gráfica de la función estásiempre por “encima” de la asíntota, es decir, f (&4) = 0+.


6.Función decreciente en un punto.-

Sea y = f (x) una función real de variable real. Sea Df su dominio y sea a un número de ese dominio, es decir, a0Df

La interpretación gráfica de esto es que el par (a, f (a)) pertenece al grafo de f y queel punto P(a, f (a)) pertenece a la gráfica de f. Es decir:

Vamos a definir el concepto de función decreciente en el punto a :

Vamos a expresar la definición anterior matemáticamente:

Expliquemos la definición de función creciente en un punto, de un modo gráfico:L y = f (x) es decreciente en el punto a sí y sólo si:L Existe un entorno de centro a y radio g :

L Tal que

La interpretación gráfica del concepto de función y= f (x) decreciente en un punto x = a es que la gráfica de la función “atraviesa” la recta verticaltrazada en x = a “pasando” de la “parte izquierda” a la “parte derecha” “bajando”.Es decir:

Nótese que la “franja” delimitada por el entrono(a&g, a+g) es “atravesada” por la función deizquierda a derecha “bajando”.Fuera de ese entrono, es posible que la funcióncambie de tendencia, es decir, “suba”.El tamaño del entorno no tiene ningunaimportancia, puede ser grande, pequeño,infinitamente pequeño, etc.

Se dice que la función y = f (x) es decreciente en el punto a si existe un entorno de centro a y radiog tal que si x está en la mitad izquierda del ese entorno, su imagen es mayor o igual que la de a ysi x está en la mitad derecha de ese entorno, su imagen es menor o igual que la de a.

y f x es decreciente en a E a a asi x verifica que a x a entonces f x f asi x verifica que a x a entonces f a f x

= ⇔ ∃ = − +− < < ≥< < + ≥

( ) ( ) ( , )( ) ( )( ) ( )ε ε ε

εε

Si a&g< x < a entonces f (x)$f (a)Si a < x < a+g entonces f (a) $f (x)


La gráfica de una función decreciente en un punto x = a puede ser muy diversa. Veamos:

En el dibujo de la izquierda tenemos unos “trozos”de las gráficas de cuatro funciones imaginarias.Todas ellas son decrecientes en el punto a0ú.Hagamos las siguientes observaciones:( La función y = f (x) atraviesa la recta

vertical en x = a de forma horizontal,es decir, no sube ni baja. (Obsérveseque cumple la definición).

( La función y = g (x) es una recta (almenos en un entorno de centro a) quetiene pendiente negativa.

( Las otras dos gráficas son curvas.

Otra forma de expresar que la función y = f (x) es decreciente en un punto x = a, es la siguiente:

Aunque la expresión anterior no es una definición rigurosa de función decreciente en a, si esbastante intuitiva y útil para resolver ejercicios. Nos dice lo siguiente:

Hemos definido el concepto de función decreciente en un punto. Ahora vamos a modificarligeramente esta definición y tenemos la de “función estrictamente decreciente en un punto”.

Matemáticamente sería:

Nótese que si una función es estrictamente decreciente en un punto a, es decreciente en él, peroel enunciado recíproco no es cierto, es decir, puede ser decreciente en a y no estrictamente.

Se dice que la función y = f (x) es estrictamente decreciente en el punto a si existe unentorno de centro a y radio g tal que si x está en la mitad izquierda del ese entorno, suimagen es mayor que la de a y si x está en la mitad derecha de ese entorno, su imagen esmenor que la de a.

y f x es decreciente en a Rf a f a

f a f a= ∈ ⇔

≥

≥

−

+( )( ) ( )

( ) ( )

y f x es estric decrec en a E a a asi x verifica que a x a entonces f x f asi x verifica que a x a entonces f a f x

= ⇔ ∃ = − +− < < >< < + >

( ) . . ( ) ( , )( ) ( )( ) ( )ε ε ε

εε

“La función y = f (x) es decreciente en el punto x = a sí y sólo sí para valores de xinfinitamente próximos a a por su izquierda, sus imágenes son mayores o iguales que laimagen de a y para valores de x infinitamente próximos a a por su derecha, las imágenes deesos valores son menores o iguales que la de a”.


El gráfico de la izquierda nos aclara la diferenciaentre función decreciente y estrictamentedecreciente en un punto x = a.) Las cuatro funciones representadas

son decrecientes en x = a , pero lasfunciones y = g (x), y = h(x) e y = r(x)lo son estrictamente.

) Observa que la función y = f (x)cumple la definición de funcióndecreciente en x = a, pero no cumplela de función estrictamentedecreciente.

) Nótese que f (a&) = f (a) = f (a+) g (a&) > g (a) > g (a+)

h (a&) > h (a) > h (a+) r (a&) > r (a) > r (a+)

Otro caso de una función decreciente en el punto a, pero no estrictamente decreciente, podríatener la siguiente gráfica: Observa que en este caso no es posible encontrar unentorno Eg (a) = (a&g , a+g) tal que (ambas):

Si a&g < x < a entonces f (x) > f (a)Si a < x < a + g entonces f (a) > f (x)

Sin embargo, sí es posible encontrar un entorno decentro Eg (a) = (a&g , a+g) tal que:

Si a&g < x < a entonces f (x) $ f (a)Si a < x < a + g entonces f (a) $ f (x)

Es decir, la función es creciente en a, pero no estrictamente creciente.

Ejemplo 13 .-Demostrar que la función es estrictamente decreciente en x = 0.y f x x= = ′( ) 0 5Veamos:

Construyamos una tabla de valores para dibujar su gráfica.Calculemos algunos de los valores de la tabla:

( )

( )( )

f f

f f

( ) ( )

( ) ( )

01

2

11

1 1 0

01 1

11 1 0

12

00

0

12

0

12

0

++

−

−−

+

= = = = < =

= = = = > =

++

+

−

+

Obsérvese que:f f f es decir( ) ( ) ( ) , ,0 0 0 1 1 1− + + −> > > >

Por tanto:La función es estrictamente decreciente en elpunto x = 0.

x y = 0´5x x y = 0´5 x

0 1 0+ 1+

1 0´5 0& 1&

&1 2 + 4 0+

2 0´25 & 4 + 4

&2 4

3 0´125


f(x) decrec. en A D a A, f(x) decrec en af⊂ ⇔ ∀ ∈ .

f x es decreciente en A D


f( )

, , ( ) ( )

⊂

∀ ∈ < ≥

1 2444444 3444444

c

6 74444444 84444444

Ya estamos en condiciones de dibujar la gráfica:

7.Función decreciente en un intervalo.-

º Sea y = f (x) una función y sea Df dú su dominio.º Sea A un intervalo de su dominio. Es decir, A dDf .Vamos a definir el concepto “ f (x) decreciente en A”) Una forma de definirlo:

Matemáticamente:

) Otra forma de definirlo:

Es decir, y = f (x) es decreciente en A si dados dos números de A, el que está a laizquierda (a) tiene una imagen (f (a)) mayor o igual que la imagen (f (b)) del que está ala derecha (b).Matemáticamente será:

Š Gráficamente se interpreta del siguiente modo:Dibujamos la gráfica de una función que es decreciente en un intervalo A = [α,β]

Gráfica de la función exponencial y = 0´5 x

“La función y = f (x) es decreciente en el intervalo A si lo es en todos los puntos de A”

De la simple observación de la gráficadestacamos:v La gráfica “baja” de izquierda

a derecha, a lo “largo” de todoú, lo cual nos indica que esestrictamente decreciente entodo ú.

v Hay rama parabólica por laizquierda y hacia arriba, esdecir, f (&4) = +4

v El eje de abcisas es asíntotahorizontal por la derecha, esdecir, f (+4) = 0+.

“La función y = f (x) es decreciente en el intervalo A si dados dos númeroscualesquiera a y b de ese intervalo, tales que a < b, entonces f (a)$f (b)”.


{f x estrictamentedecreciente en A D a A f x estrictamente decreciente en a

f

( ), ( )⊂

⇔ ∀ ∈

f x es estrictamente decreciente en A D


f( )

, , ( ) ( )

⊂

∀ ∈ < >

1 2444444444 3444444444

c

6 74444444 84444444

Observa la gráfica de la derecha. A = [α,β] intervalo cerrado. Cuales quieran que sean los

números reales a y b del intervalo A, tales que a < b, entonces severifica que f (a) $ f (b). En este caso concretoes f (a) > f (b).

Nótese como la gráfica de lafunción atraviesa la franja existenteentre la rectas x = α y x = β”bajando” de izquierda a derecha.

Nótese como en cualquier punto delintervalo A la función y = f (x) esdecreciente.

En este caso la función es estrictamente decreciente en todos los puntos delintervalo A, es decir, es estrictamente decreciente en todo el intervalo A.

La definición de función estrictamente decreciente en un intervalo A es la siguiente:

Matemáticamente:

Otra forma de definirlo:

Es decir, y = f (x) es estrictamente decreciente en A si dados dos números de A, el queestá a la izquierda (a) tiene una imagen (f (a)) mayor que la imagen (f (b)) del que estáa la derecha (b).

Matemáticamente será:

Vamos a distinguir de un modo gráfico la diferencia existente entre función decreciente yestrictamente decreciente en un intervalo:

“La función y = f (x) es estrictamente decreciente en el intervalo A si lo es en todoslos puntos de A”.

“La función y = f (x) es estrictamente decreciente en el intervalo A si dados dosnúmeros cualesquiera a y b de ese intervalo, tales que a < b, entonces f (a)>f (b)”.


[ ]f

x f x x

: ,

( ) cos

0 π →

→ =

R

A la izquierda tenemoscuatro gráficas de otrascuatro funciones.

La función y = f(x) esestrictamente decrecienteen todo el intervalo [α , β]

Las funciones y=g(x),y=h(x) e y = r(x) sondecrecientes, pero no ensentido estricto.

La función y = g (x) esconstante en todo elintervalo [α , β]. Nóteseque es creciente ydecreciente.

Ejemplo 14 .-Consideremos la función coseno definida en el intervalo cerrado de extremos 0 y π :

Veamos que es estrictamente decreciente en todo el intervalo [0 , π].H f (0) = cos 0 = 1 ; f (π) = cos π = &1 H œx0[0 , π] , se verifica que &1 #f (x) #1 H Sabemos que œα,β 0 [0 , π] tales que α<β , se verifica que f (α) = cos α < cos β = f (β)

(Recordar la definición de coseno de un ángulo y su interpretación gráfica en lacircunferencia goniométrica o círculo trigonométrico).

Dibujemos su gráfica:En la gráfica de la izquierda, correspondiente a la función f (x) = cos x , definida en el intervalo

cerrado [0,π], apreciamos que:

[ ]∀ ∈ < >a b a b es f a f b, , , ( ) ( )0 π

La gráfica “recorre” todo el intervalo [0,π], deizquierda a derecha, “bajando”.

Nótese que la gráfica corta al eje de abcisas en elpunto (π/2 , 0)

8.Función decreciente en todo su dominio.-

Una función y = f (x) es decreciente en todo su dominio si es decreciente en cada uno delos puntos del dominio.


f x decreciente en D a b D a b entonces f a f bf f( ) , , ( ) ( )⇔ ∀ ∈ < ≥

f x es decrec en D a D f x es decrec en af f( ) , ( )⇔ ∀ ∈

∀ ∈ = = ∈ ≠ ∀ ∈−x f x ee

ya que e xxx

xR R R, ( )1

0

Como a b se verifica que e e

Como e e se verifica quee e

Por f a ee e

e f b

a b

a ba b

aa b

b

< <

< >

= = > = =− −

,

,

: ( ) ( )

1 1

1 1tanto

Es decir:

Otra forma de definir este concepto es similar al empleado en el caso de funcióndecreciente en un intervalo. Veamos:

Ejemplo 15 .-Demostrar que la función y = f (x) = e&x es estrictamente decreciente en todo su dominio.

Veamos:ý En primer lugar determinemos el dominio de la función:

Es decir, todo número real tiene imagen. Por tanto: Df = ú = (&4 , +4)ý Debemos demostrar que la función y = f (x) = e&x es estrictamente decreciente en ú.

Sean dos números cualesquiera a,b 0ú * a<bEntonces :

Hemos demostrado que œa,b0ú * a<b , se verifica que f (a)>f (b)Es decir, la función verifica la definición de función estrictamente decreciente en todo ú.

ý Construyamos su gráfica:

ý En la gráfica puede apreciarse como la función es estrictamente decreciente en todo ú,como corta al eje de ordenadas el punto (0,1) y como el eje de abcisas es una asíntotahorizontal por la derecha, situándose la gráfica por encima de aquella. Nótese tambiéncomo existe rama parabólica por la izquierda y hacia arriba.

x $0 y = e&x x < 0 y = e&x

0 1 0& 1+

1 0´3678... &1 e

2 0´1353... &2 7´3890...

3 0´0497... &3 20´0855...

4 0´0183... &4 54´5981...

! ! ! !

+ 4 0+ &4 +4Gráfica de la función exponencial f (x) = e&x


9.Cota superior de una función.-

K Sea y = f (x) una función real de variable real de dominio Df.K Sea k un número real, es decir, k0úVamos a definir el concepto cota superior de una función.

Definamos este concepto matemáticamente:

Gráficamente se interpreta como que la “gráfica de la función no atraviesa la recta horizontalde ecuación y = k”, aunque sí puede que la toque en uno o más puntos. Dicho de otra forma: “Por encima de la recta y = k no existe gráfica de la función”Veamos:

A la izquierda tenemos la gráfica de una funcióny = f (x). Observa lo siguiente:9 k es una cota superior de f (x) porque por

encima de la recta y = k no existegráfica de la función, es decir, œx0úocurre que f (x) # k.

9 Cualquier número mayor que k, tambiénes una cota superior de f (x). Es decir, sis > k, entonces œx0ú es f (x) # s.

9 En este caso concreto, vemos que k es lamenor de todas las cotas superiores dela función f (x).

9 En este caso concreto, el conjunto [k,+4)es el conjunto formado por todas lascotas superiores de f (x).

9 En este caso concreto, apreciamos en lagráfica que hay un valor x tal que suimagen es k, es decir, f (x) = k.

9 Puede darse el caso de una función que tenga cota superior, pero ningún x tenga porimagen a una cota superior, es decir, òx0Df tal que f (x)= k (siendo k cota superior de f)

Ejemplo 16 .-

Sea la función . Se pide :f xx

x( ) =

+2

1

2

2

a) Halla una cota superior de f (x).b) Halla el conjunto formado por todas las cotas superiores de f (x).

Veamos:

“Se dice que el número real k es una cota superior de la función f (x), si la imagen decualquier número x del dominio de f es menor o igual que k”.

k R es de f(x) x D f es f(x) k ∈ ⇔ ∀ ∈ ≤cota superior


f x k Buscamos un k

xx

k x k x por ser xxk

x con k

Tomando k tenemos que x x es ciertoPor k es una erior

( )

( ) ( ) ( )

., sup .

≤

+≤ ⇒ ≤ ⋅ + + > ⇒ ≤ + >

= ≤ +=

21

2 1 1 02

1 0

2 12

2

22 2 2

22

2 2

tanto cota

∀ ∈ =+

≤ <x R es f xx

xmas concretamente( ) ( & )

21

2 22

2

f

f

( )( )

( )

( )( )

( )( )

( )

+ ∞ =⋅ + ∞

+ ∞ += <

− ∞ =⋅ − ∞

− ∞ +=

⋅ + ∞+ ∞ +

= <

−

−

21

2 2

21

21

2 2

2

2

2

2

2

2

a) Fácilmente se observa que Df = ú Nos hacemos la siguiente pregunta:

¿ › k0ú * œx0ú , se verifica que f (x)#k ?Veamos:

Conclusión :

A simple vista puede apreciarse que

b) ¿ Hay alguna cota superior de f (x) que sea menor que 2 ?Veamos:

Es decir, la recta y = 2 es una asíntota horizontal por ambos lados, de tal modo quela gráfica está por debajo de la asíntota. El concepto de asíntota horizontal y la posición de

la gráfica con respecto a ella, nos informa suficientemente que “2 es la menor de lascotas superiores”.Conclusión:

Dibujemos la gráfica de la función:Observando la gráfica, destacamos lo siguiente: œx0ú es f (x) < 2 œk0ú * k>2 ,es una cota superior de f(x) 2 es la menor de todas las cotas

superiores de f (x). Cualquier número menor que 2 no es

cota superior de f (x), ya que es superadopor esta.

Decrece en (&4,0] y crece en [0,+4).

k = 2 es una cota superior de f xx

x( ) =

+2

1

2

2

Conjunto de cotas superiores = [2 , +4)


10.Extremo superior o supremo de una función.-

’ Sea y = f (x) una función que está acotada superiormente. Esto significa que tiene algunacota superior k.

’ Si una función tiene alguna cota superior k, entonces tiene infinitas cotas superiores yaque todo número mayor que k también será una cota superior.

Vamos a definir el concepto extremo superior o supremo de una función:

Vamos a definir este concepto matemáticamente:

Para abreviar indicaremos supremo de f (x) = sup ( f )Es evidente que si sup ( f ) = s , entonces [s , +4) será el conjunto de todas las cotas superiores.Si una función está acotada superiormente, entonces tiene supremo.

Ejemplo 17 .-

Considera la función del ejemplo 16, es decir, .f xx

x( ) =

+2

1

2

2

Hemos visto que está acotada superiormente.Hemos visto que 2 y cualquier número mayor que 2 es una cota superior de esa función.Hemos visto que [2 , +4) es el conjunto de las cotas superiores.Hemos visto que los números menores que 2 no son cotas superiores de f (x).

Pues bien:S La menor de las cotas superiores es 2.S Extremo superior o supremo de f (x) = mínimo de [2 , +4) = 2.

11.Máximo de una función.-

˜ Sea y = f (x) una función acotada superiormente. Entonces tendrá supremo s.˜ Como s es el supremo, sabemos que œx 0Df , se verifica que f (x) # s ˜ Pueden ocurrir una de los dos puntos siguientes:

Î Que exista un a 0Df tal f (a) = s, es decir, hay un número cuya imagen es elsupremo de la función.

Ï Que no existe un a 0Df tal f (a) = s, es decir, œx0Df ocurre que f (x) < s˜ Pues bien, cuando ocurre Î, decimos que s es el máximo de la función, es decir, al

supremo se le llama máximo. Llamaremos max ( f ) = sSe dice que f (x) alcanza el máximo en x = a, siendo el valor del máximo f (a) = s.El punto M(a , s) estará en la gráfica de la función y se denomina punto máximo.

˜ Puede ocurrir que una función tenga más de un máximo. En efecto, puede ocurrir que:

Se llama extremo superior o supremo de una funciónacotada superiormente a la menor de sus cotas superiores.

{ }Supremode f x k k f x( ) ( )= ∈minimo R cota superior de


∃ ∈ = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =a a a a D f a f a f a f a sn f n1 2 3 1 2 3, , , ...., ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f f f f f

f f f f

π π π π π

π π π π2

52

92

132

172

32

72

112

152

1

1

= = = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

− = − = − = − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( )

Puede darse el caso de una función que tenga infinitos puntos máximos.

Ejemplo 18 .-

Consideremos la función de los ejemplos 16 y 17, es decir, f xx

x( ) =

+2

1

2

2

Vimos que sup ( f ) = 2 , pero òa0ú=Df * f (a) = 2.Por tanto, no existe máximo de la función f (x) , es decir, la función f (x) no tiene máximo.

Ejemplo 19 .-Sea la función polinómica de grado 2 y f x x x= = − +( ) 2 2Sabemos que se trata de una parábola cuyo vértice el punto más alto, es decir, el punto

máximo.Si hallamos el vértice, tendremos el supremo, el máximo y el valor donde se alcanza este.

Veamos:Por tanto:3 sup( f ) = 1 = max ( f )3 Punto máximo V(1,1)3 El máximo se alcanza en x = 1.3 En este caso hay un único máximo.3 Evidentemente la función está

acotada superiormente.


Ejemplo 20 .-La función y = f (x) = sen x alcanza el máximo en infinitos puntos.

En efecto:

Sabemos que: Es decir: D

sen x xf = = − ∞ + ∞

− ≤ ≤ ∀ ∈

R

R

( , )

1 1∀ ∈ ≤x es f xR ( ) 1

Además, sabemos que:

( )y f x x x V f

fV

ba

ba

ba

= = − + → − −

− = − ==

⇒−

( ) , ( )

( )( , )

22 2

222

2

11 1

1 1

En la gráfica puede apreciarse como elintervalo [1, +4) es el conjunto detodas las cotas superiores, como 1 es elsupremo y el máximo, que se alcanzaen la abcisa x = 1.


Si xk

con k entonces f x sen x=+

∈ = =π π4

21( ) , ( )Z

xba

tenemos el valor

imo f

= − = −−

=

= − + − = −2

14

14

514

18

14

398

,

m&ax ( )

Es decir, el máximo de la función es 1 y se alcanza en infinitos valores, concretamente:

Recordemos la gráfica de la función seno de x :

Obsérvese en el dibujo como “porencima” de la recta (que no hemosdibujado) y = 1, no hay gráfica de lafunción f (x) = sen x. En la gráfica de lafunción hemos señalado tres de losinfinitos puntos máximos (P, Q y M).

12.Función acotada superiormente.-

Una función f ( x) se dice que está acotada superiormente si tiene alguna cota superior.Es decir:

Es evidente que si una función está acotada superiormente, tiene infinitas cotas superiores.Gráficamente se interpreta como que existe una recta horizontal de ecuación y = r(x) = s

tal que ningún punto de la gráfica de la función f (x) está por encima de esa recta.

Ejemplo 21 .-Las funciones del tipo f (x) = ax2 + bx + c , tales que a < 0 , polinómicas de segundo grado

y cuyas gráfica son parábolas con vértice como punto máximo, son funciones acotadassuperiormente.

Es decir: Estas funciones tienen supremo ymáximo, el cual se alcanza en elpunto vértice.

Un caso concreto es la función f (x) = &2x2 + x &5,cuyo máximo se alcanza en el siguiente punto:

f (x) está acotada superiormente ] › k0ú * œx0Df es f (x) # k


13.Cota inferior de una función.-

K Sea y = f (x) una función real de variable real de dominio Df.K Sea m un número real, es decir, m0úVamos a definir el concepto cota inferior de una función.

Definamos este concepto matemáticamente:

Gráficamente se interpreta como que la “gráfica de la función no atraviesa la recta horizontalde ecuación y = m”, aunque sí puede que la toque en uno o más puntos. Dicho de otra forma: “Por encima de la recta y = m no existe gráfica de la función”Veamos:

A la izquierda tenemos la gráfica de una funcióny = f (x). Observa lo siguiente:9 m es una cota inferior de f (x) porque por

debajo de la recta y = m no existe gráficade la función, es decir, œx0ú ocurre que f (x) $ m.

9 Cualquier número menor que m, tambiénes una cota inferior de f (x). Es decir, sit < m, entonces œx0ú es f (x) $ t.

9 En este caso concreto, vemos que m es lamayor de todas las cotas inferiores dela función f (x).

9 En este caso concreto, el conjunto (&4,m]es el conjunto formado por todas lascotas inferiores de f (x).

9 En este caso concreto, apreciamos en lagráfica que hay un valor x tal que suimagen es m, es decir, f (x) = m.

9 Puede darse el caso de una función que tenga cota inferior, pero ningún x tenga porimagen a una cota inferior, es decir, òx0Df tal que f (x) = m (siendo m cota inferior de f)

Ejemplo 22 .-Hallemos alguna cota inferior de la función f x e x( ) = − 2

Veamos:El enunciado nos dice que hallemos una cota inferior de esa función, aunque podría

ocurrir que no tuviese cotas inferiores. Investiguemos esto:

“Se dice que el número real m es una cota inferior de la función f (x), si la imagen decualquier número x del dominio de f es mayor o igual que m”.

m R es de f(x) x D f es f(x) m ∈ ⇔ ∀ ∈ ≥cota inferior


∀ ∈ = = = ∈

= = − ∞ + ∞

−x f x ee numero dist o de

R

Por to D

xx

f

R

R

, ( )& int

tan , ( , )

2

2

1 10

Además, ∀ ∈ = = = =−x f x ee positivo

positivoxx

R , ( )2

2

1 1

Por tanto: ∀ ∈ >x se verifica que f xR ( ) 0Conclusión: Una cota inferior de la función es 0

Cualquier número negativo es una cota inferior de f x e x( ) = − 2

Dibujemos la gráfica de la función:Obsérvese que por debajo del eje

de abcisas no hay gráfica de la función, esdecir, cualquier número negativo es unacota inferior de .f x e x( ) = − 2

Nótese también que la funciónalcanza un máximo en x = 0, siendo elvalor de este máximo f (0) = 1.

El punto M(0,1) es el puntomáximo de la función.

14.Extremo inferior o ínfimo una función.-

’ Sea y = f (x) una función que está acotada inferiormente. Esto significa que tiene algunacota inferior m.

’ Si una función tiene alguna cota inferior m, entonces tiene infinitas cotas inferiores ya quetodo número menor que m también será una cota inferior.

Vamos a definir el concepto extremo inferior o ínfimo de una función:

Vamos a definir este concepto matemáticamente:

Para abreviar indicaremos ínfimo de f (x) = inf ( f )Es evidente que si inf ( f ) = t , entonces (&4 , t ] será el conjunto de todas las cotas inferiores.Si una función está acotada inferiormente, entonces tiene ínfimo.

Se llama extremo inferior o ínfimo de una funciónacotada inferiormente a la mayor de sus cotas inferiores.

{ }& ( ) & ( )Infimode f x m R m f x= ∈maximo cota inferior de


∃ ∈ = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =a a a a D f a f a f a f a mn f n1 2 3 1 2 3, , , ...., ( ) ( ) ( ) ( )

x f e ee

x f e ee

= + ∞ → + ∞ = = = =+ ∞

=

= − ∞ → − ∞ = = = =+ ∞

=

− +∞ −∞+∞

+

− −∞ −∞+∞

+

( )

( )

( )

( )

2

2

1 10

1 10

Ejemplo 23 .-Consideremos la función del ejemplo 22, es decir, .f x e x( ) = − 2

Hemos visto que está acotada inferiormente. Intentemos averiguar quien es su ínfimo.Veamos:

Sabemos que 0 es una cota inferior, por lo que el ínfimo debe se 0 o un número mayor que0 (ya que el ínfimo es la mayor de las cotas inferiores).

Ahora bien:¿Un número positivo puede ser una cota inferior?Es decir, ¿ › m0ú+ * no existe gráfica por debajo de la recta y = m ?

Veamos:

Es decir, cuando x se hace infinitamente grande positiva o negativa, la imágenes seaproximan infinitamente a 0, sin llegar a valer 0. Esta aproximación es tanta como queramos.

De lo anterior se deduce que ningún numero positivo será una cota inferior de la función.Conclusiones:

Cero es la mayor de las cotas inferiores, es decir, inf( f ) = 0El conjunto de las cotas inferiores es (&4 , 0]Ningún número x tiene por imagen al ínfimo, es decir: ò x0ú * f (x) = 0

15.Mínimo de una función.-

Sea y = f (x) una función acotada inferiormente. Entonces tendrá ínfimo t.’ Como t es el ínfimo, sabemos que œx 0Df , se verifica que f (x) $ t ’ Pueden ocurrir una de los dos puntos siguientes:

Î Que exista un a 0Df tal f (a) = t, es decir, hay un número cuya imagen es elínfimo de la función.

Ï Que no existe un a 0Df tal f (a) = t, es decir, œx0Df ocurre que f (x) > t˜ Pues bien, cuando ocurre Î, decimos que t es el mínimo de la función, es decir, al ínfimo

se le llama mínimo. Llamaremos min ( f ) = tSe dice que f (x) alcanza el mínimo en x = a, siendo el valor del mínimo f (a) = t.El punto T(a , t) estará en la gráfica de la función y se denomina punto mínimo.

˜ Puede ocurrir que una función tenga más de un mínimo. En efecto, puede ocurrir que:

Puede darse el caso de una función que tenga infinitos puntos mínimos.

Ejemplo 24 .-Consideremos la función de los ejemplos 22 y 23, es decir, .f x e x( ) = − 2

Hemos visto que está acotada inferiormente y que su ínfimo es 0.


En el ejemplo 22 vimos que ningún a0ú hace que f (a) = 0, es decir, el ínfimo de lafunción no es un mínimo. Por tanto, la función no tiene mínimo.f x e x( ) = − 2

Ejemplo 25 .-Sea la función y = f (x) = * *x* &1 *Averigüemos si tiene mínimo:

H Es evidente que œx0ú , f (x) = * *x* &1 *0ú. Por tanto, Df = ú = (&4, +4).H Es evidente que œx0Df = ú es f (x) = * *x* &1 *$0 (por se un valor absoluto). H Deducimos de lo anterior que cualquier número negativo o 0 es una cota inferior de f (x).H Para x = 1 tenemos que f (1) = * *1* &1 * = * 1&1 * = * 0 * = 0

Para x = &1 tenemos que f (&1) = * *&1* &1 * = * 1&1 * = * 0 * = 0Para x = 1+ tenemos que f (1+) = * *1+* &1 * = * 1+&1 * = * 0+ * = 0+

Para x = 1& tenemos que f (1&) = * *1&* &1 * = * 1&&1 * = * 0& * = 0+

Para x = &1+ tenemos que f (&1+) = * *&1+* &1 * = * 1&&1 * = * 0& * = 0+

Para x = &1& tenemos que f (&1&) = * *&1&* &1 * = * 1+&1 * = * 0+ * = 0+

H Del punto anterior se deduce que:Î El ínfimo de f (x) = * *x* &1 * es 0. Es decir, inf ( f ) = 0Ï El ínfimo se alcanza en x = 1 y en x = &1Ð La función tiene mínimo, el 0. Es decir, max ( f ) = 0

16.Función acotada inferiormente.-

Una función f ( x) se dice que está acotada inferiormente si tiene alguna cota inferior.Es decir:

Es evidente que si una función está acotada inferiormente, tiene infinitas cotas inferiores.Gráficamente se interpreta como que existe una recta horizontal de ecuación y = r(x) = m

tal que ningún punto de la gráfica de la función f (x) está por debajo de esa recta.

Ejemplo 26 .-Las funciones del tipo f (x) = ax2 + bx + c , tales que a > 0 , polinómicas de segundo grado

y cuyas gráficas son parábolas con vértice como punto mínimo, son funciones acotadasinferiormente.

Es decir:

En la gráfica de la derecha hemos representado unasupuesta parábola del tipo f (x) = ax2 + bx + c , tal queel coeficiente de x2 es a > 0.En este caso la función está acotada inferiormente, tienemínimo que se alcanza para x = &b'2a y cuyo valor esf (&b'2a). El punto mínimo es el vértice V.

f (x) está acotada inferiormente ] › m0ú * œx0Df es f (x) $m


17.Función acotada .-

Una función y = f (x) está acotada si lo está superior e inferiormente. Es decir:

Otra forma:

La interpretación gráfica de este concepto es que si consideramos las rectas de ecuacionesy = k e y = m (rectas paralelas al eje de abcisas, estando y = k por encima de y = m) tenemos quela gráfica de la función y = f (x) está íntegramente entre ellas, esto es, no hay gráfica por encimade y = k ni por debajo de y = m.

Es decir:

Ejemplo 27 .-Consideremos la función y = f (x) = cos x y recordemos su gráfica.Recordemos que , es decir, − ≤ ≤1 1cos x − ≤ ≤1 1f x( )Es decir, &1 es una cota inferior y 1 es una cota superior.Además : 1 = cos 0 = cos 2π = cos (&2π) = cos 4π = cos (&4π) = þþ

&1 = cos π = cos (&π) = cos 3π = cos (&3π) = cos 5π = cos (&5π) = þþ De lo anterior se deduce que min ( f ) = &1 y max ( f ) = 1Por tanto, la función y = f (x) = cos x es una función acotada.

En la gráfica puede apreciarse como la curvase mueve entre las rectas y = &1 e y = 1.Nótese que se alcanza el mínimo en infinitospuntos, al igual que el máximo, que se alcanzatambién en infinitos puntos.

f x estak x D es f x k

m x D es f x m

f

f

( ) &( )

( )acotada

R

R⇔

∃ ∈ ∀ ∈ ≤

∃ ∈ ∀ ∈ ≥

f x esta k m x D es m f x kf

( ) & , ( )acotada R⇔ ∃ ∈ ∀ ∈ ≤ ≤


18.Concavidad - convexidad de una función .-

Veremos ahora un concepto relativo a la gráfica de una función. Se trata del concepto deconcavidad o convexidad de la gráfica de una función ( o más abreviadamente, concavidad oconvexidad de una función). Se refiere a la posición y forma que tiene la gráfica en un punto deella (y sus proximidades) con respecto al eje de ordenadas y a la recta tangente a dicha gráfica enese punto.

Veamos:” Sea y = f (x) una función de dominio Df.” Sea a0Df , f (a) su imagen y P(a, f (a)) el punto correspondiente de su gráfica.” Supongamos que la gráfica de f (x) tiene recta tangente en el punto P. Llamaremos r a

dicha recta, cuya ecuación será y = r (x). Recuérdese que esta recta se corresponde conuna función polinómica de grado 1, es decir, y = r (x) = ax + b.

Definimos el siguiente concepto:

18.1.Función cóncava hacia arriba o convexa hacia abajo en un punto.-

Gráficamente :Observa la gráfica y = f (x) de la izquierda y elpunto P(a, f (a)) situado en ella.Observa la recta r tangente a y = f (x) en elpunto P.Observa como los puntos de la gráfica de lafunción y = f (x) que están infinitamentepróximos a P, se encuentran situados porencima de la recta r. Hemos representado dos.Se dice que (alguna de estas expresiones):4 La función y = f (x) (o su gráfica) es

cóncava hacia arriba en el punto P.4 La función y = f (x) (o su gráfica) es

convexa hacia abajo en el punto P.4 La función y = f (x) (o su gráfica) es

cóncava hacia las Y positivas en elpunto P.

4 La función y = f (x) (o su gráfica) esconvexa hacia las Y negativas en elpunto P.

Obsérvese que si tomamos un x que esté infinitamente próximo a a, por su derecha o por suizquierda, las imágenes mediante f (x) son mayores que sus imágenes mediante r (x), es decir:

Si x = a&, entonces f ( a&) $ r (a&) y Si x = a+, entonces f ( a+) $ r (a+)

Se dice que la función y = f (x) es cóncava hacia arriba (o convexa haciaabajo) en el punto P de su gráfica, de abcisa x = a, si todos los puntos de sugráfica situados infinitamente próximos a P están por encima de la recta r quees tangente a la gráfica de f (x) en ese punto P.


Esta última idea nos induce a mejorar la definición anterior, dándole un significado másmatemático. Veamos:

En forma matemática:

La concavidad hacia arriba de una función en un punto puede apreciarse, en general, a simplevista si se visualiza la gráfica de la función. También es posible apreciarla, si no se dispone dela gráfica, aplicando la definición, pero más fácil se puede conseguir utilizando las aplicacionesde las derivadas, algo que veremos en sucesivos capítulos.

Ejemplo 28 .-Sea la función y = f (x) = x2+1 y el punto de su gráfica de abcisa x = 1. Vamos a ver

gráficamente que es cóncava hacia arriba (o convexa hacia abajo) en el punto P(1,2).

Hemos dibujado la gráfica de f (x) = x2+1 que esuna parábola.Hemos dibujado la recta tangente en P(1,2).Recuerda que su ecuación se obtiene de la formay&2 = m(x&1), siendo la pendiente m = f ´(1).Observa como los puntos de la gráfica de laparábola f (x) = x2+1 que están infinitamentepróximos a P se encuentran por encima de r (x) A simple vista puede apreciarse como la funciónf (x) = x2+1 es cóncava hacia arriba en todos suspuntos.

Ejemplo 29 .-Todas las parábolas del tipo y = f (x) = ax2 + bx + c con a >0 son cóncavas hacia arriba

(o convexas hacia abajo) en todos sus puntos. Esto puede apreciarse a simple vista.

18.2.Función cóncava hacia arriba o convexa hacia abajo en un intervalo.-

NOTA: Este concepto es aplicable a un conjunto A, sin necesidad de que sea un intervalo.

f (x) es cóncava hacia arriba en x = a ] › Eε(a) * œx0Eε(a) se verifica que f (x) $r (x)

( siendo r (x) la recta tangente a f (x) en P(a , f (a)) )

Se dice que la función y = f (x) es cóncava hacia arriba (o convexa hacia abajo) en el punto desu gráfica P, de abcisa x = a, si existe un entorno de centro a y radio ε tal que para cualquierx situado en ese entorno, su imagen mediante f (x) es mayor o igual que su imagen mediantela recta r (x) tangente a la gráfica en el punto P.

Se dice que la función y = f (x) es cóncava hacia arriba (o convexa haciaabajo) en un intervalo A si lo es en cada uno de los puntos de ese intervalo.


La idea gráfica de este concepto es la siguiente:: En el dibujo puede observarse como

la función verifica en todos losvalores x0(a,b) que en los puntosP(x, f (x)) la función es cóncava haciaarriba (o convexa hacia abajo).

: Nótese como no se cumple ladefinición para algunos puntos que seencuentran fuera de ese intervalo.

La definición anterior es mejorable del siguiente modo:Ê Considera la gráfica anterior correspondiente a una función cóncava hacia arriba en A.Ê Imagina dos números cualesquiera x1 y x2 del intervalo A, es decir, x1,x20A.Ê Imagina los puntos correspondientes de la gráfica S( x1, f ( x1)) y T(x2,f (x2)).Ê Imagina la cuerda (el segmento) que une los puntos S y T.Ê ¿“Ves” que la gráfica de y = f (x) “queda” por debajo de es segmento de extremos S y T?Pues esa es la idea que nos va a permitir definir el concepto de función cóncava hacia arriba(o convexa hacia abajo) en un intervalo.Es decir:

Expresemos esta definición en forma matemática:

Gráficamente:

Nótese que si tomamos dos puntoscualesquiera del intervalo A, x1 < x2 y unimoslos puntos S( x1, f ( x1)) y T(x2,f (x2)), elsegmento (trozo de la recta r (x) ) que resultaestá por encima de la gráfica de f (x). Es decir:

Si x0[x1 , x2], entonces f (x) < r (x)

18.3.Función cóncava hacia arriba o convexa hacia abajo en todo su dominio.-Una función es cóncava hacia arriba o convexa hacia abajo en su dominio si lo es en cada

uno de los puntos de su dominio. Esto significa que lo será en cualquier intervalo que esté

Se dice que la función f (x) es cóncava hacia arriba (o convexa hacia abajo)en el intervalo A, si dados dos números cualesquiera x1 y x2 de A, elsegmento (trozo de recta) que une los puntos S( x1, f ( x1)) y T(x2,f (x2)) dela gráfica de f (x) está por encima de dicha gráfica.

f x es concava hacia arriba oconvexa hacia abajo en el ervalo A x x A x x es f x r x x x x

( ) &

int , , ( ) ( ) [ , ]

⇔ ∀ ∈ < ≤ ∀ ∈1 2 1 2 1 2

Siendo r (x) la recta que une los puntos S( x1, f ( x1)) y T(x2,f (x2))


contenido en dicho dominio.

E jemplo 30 .-

Sea la función . Dibujemos su gráfica:f xx

( ) =12

Nótese que el dominio de la función f (x) es Df = ú&{0}= (&4,0)c(0,+4)Observando la gráfica puede apreciarse que f (x) es cóncava hacia arriba en el intervalo(&4,0) y en el intervalo (0,+4).Por tanto, es cóncava hacia arriba en todo sudominio.

Ejemplo 31 .-Las funciones polinómicas de grado 2 del tipo y = f (x) = ax2 + bx + c con a > 0 , son

cóncavas hacia arriba (o convexas hacia abajo) en todo ú.Recuérdese que las gráficas de estas funciones son parábolas con el vértice como punto

mínimo.

Ejemplo 32 .-Las funciones exponenciales del tipo y = g(x) = ax con a > 0, son cóncavas hacia arriba

en todo ú.

Por ejemplo, la gráfica de y = g (x) = 0´1 x es :

En la gráfica de la función y = g (x) = 0´1 x

apreciamos como es cóncava hacia arriba entodo ú.Apreciamos también como el eje de absisas esuna asíntota horizontal por la derecha, es decir:

g( )+ ∞ = ′ =+∞ +0 1 0

Nótese como hay rama parabólica por laizquierda y hacia arriba, es decir:

g( )− ∞ = ′ =′

= = + ∞−∞+∞ +0 1

10 1

10

f (x) cóncava hacia arriba en Df ] œAdDf , f (x) es cóncava hacia arriba enA

Siendo: Df = dominio de f (x) y A = intervalo.


18.4.Función cóncava hacia abajo o convexa hacia arriba en un punto.-

Gráficamente:Observa la gráfica y = f (x) de la izquierda y elpunto P(a, f (a)) situado en ella.Observa la recta r tangente a y = f (x) en elpunto P.Observa como los puntos de la gráfica de lafunción y = f (x) que están infinitamentepróximos a P, se encuentran situados pordebajo de la recta r. Hemos representado dos.Se dice que (alguna de estas expresiones):4 La función y = f (x) (o su gráfica) es

cóncava hacia abajo en el punto P.4 La función y = f (x) (o su gráfica) es

convexa hacia arriba en el punto P.4 La función y = f (x) (o su gráfica) es

cóncava hacia las Y negativas en elpunto P.

4 La función y = f (x) (o su gráfica) esconvexa hacia las Y positivas en elpunto P.

Obsérvese que si tomamos un x que esté infinitamente próximo a a, por su derecha o por suizquierda, las imágenes mediante f (x) son menores que sus imágenes mediante r (x), es decir:

Si x = a&, entonces f ( a&) # r (a&) y Si x = a+, entonces f ( a+) # r (a+)Esta última idea nos induce a mejorar la definición anterior, dándole un significado másmatemático. Veamos:

En forma matemática:

La concavidad hacia abajo de una función en un punto puede apreciarse, en general, a simplevista si se visualiza la gráfica de la función. También es posible apreciarla, si no se dispone dela gráfica, aplicando la definición, pero más fácil se puede conseguir utilizando las aplicacionesde las derivadas, algo que veremos en sucesivos capítulos.

Se dice que la función y = f (x) es cóncava hacia abajo (o convexa haciaarriba) en el punto P de su gráfica, de abcisa x = a, si todos los puntos de sugráfica situados infinitamente próximos a P están por debajo de la recta r quees tangente a la gráfica de f (x) en ese punto P.

f (x) es cóncava hacia abajo en x = a ] › Eε(a) * œx0Eε(a) se verifica que f (x) # r (x)

( siendo r (x) la recta tangente a f (x) en P(a , f (a)) )

Se dice que la función y = f (x) es cóncava hacia abajo (o convexa hacia arriba) en el puntode su gráfica P, de abcisa x = a, si existe un entorno de centro a y radio ε tal que para cualquierx situado en ese entorno, su imagen mediante f (x) es menor o igual que su imagen mediantela recta r (x) tangente a la gráfica en el punto P.


Ejemplo 33 .-Sea la función y = f (x) = &x2 +1. Su gráfica es una parábola con vértice como punto

máximo.Dibujemos su gráfica:

En el dibujo de la izquierda puedeapreciarse, a simple vista, que lagráfica de la función es f (x) = &x2 +1es cóncava hacia abajo en todos lospuntos, es decir, si trazamos latangente en un punto cualquiera P, lospuntos de la gráfica que estáninfinitamente próximos a P, seencuentran situados por debajo de larecta tangente en P.

18.5.Función cóncava hacia abajo o convexa hacia arriba en un intervalo.-

NOTA: Este concepto es aplicable a un conjunto A, sin necesidad de que sea un intervalo.

La idea gráfica de este concepto es la siguiente:

: En el dibujo puede observarse comola función verifica en todos losvalores x0(a,b) que en los puntos P(x,f (x)) la función es cóncava haciaabajo (o convexa hacia arriba).

: Nótese como no se cumple ladefinición para algunos puntos que seencuentran fuera de ese intervalo.

La definición anterior es mejorable del siguiente modo:Ê Considera la gráfica anterior correspondiente a una función cóncava hacia abajo en A.Ê Imagina dos números cualesquiera x1 y x2 del intervalo A, es decir, x1,x20A.Ê Imagina los puntos correspondientes de la gráfica S( x1, f ( x1)) y T(x2,f (x2)).Ê Imagina la cuerda (el segmento) que une los puntos S y T.Ê ¿“Ves” que la gráfica de y = f (x) “está” por encima de ese segmento de extremos S y T?Pues esa es la idea que nos va a permitir definir el concepto de función cóncava hacia abajo (oconvexa hacia arriba) en un intervalo.Es decir:

Se dice que la función f (x) es cóncava hacia abajo (o convexa hacia arriba)en el intervalo A, si dados dos números cualesquiera x1 y x2 de A, elsegmento que une los puntos S( x1, f ( x1)) y T(x2,f (x2)) de la gráfica de f (x)está por debajo de dicha gráfica.

Se dice que la función y = f (x) es cóncava hacia abajo (o convexa haciaarriba) en un intervalo A si lo es en cada uno de los puntos de ese intervalo.


Expresemos esta definición en forma matemática:

Gráficamente:Nótese que si tomamos dos puntoscualesquiera del intervalo A, x1 < x2 yunimos los puntos S( x1, f ( x1)) yT(x2,f (x2)), el segmento (trozo de larecta r (x) ) que resulta está por debajode la gráfica de f (x). Es decir:Si x0[x1 , x2], entonces f (x) > r (x)

18.6.Función cóncava hacia abajo o convexa hacia arriba en todo su dominio.-Una función es cóncava hacia abajo o convexa hacia arriba en su dominio si lo es en cada

uno de los puntos de su dominio. Esto significa que lo será en cualquier intervalo que estécontenido en dicho dominio.

Ejemplo 34 .-

Consideremos la función y dibujemos su gráfica:y f xx

= = −( ) 112

Destacamos lo siguiente:Q f (x) no existe ] x = 0. Por tanto, Df = ú&{0}= (&4,0)c(0,+4)

f (x) cóncava hacia arriba en Df ] œAdDf , f (x) es cóncava hacia abajo en A

Siendo: Df = dominio de f (x) y A = intervalo.

f x es concava hacia abajo oconvexa hacia arriba en el ervalo A

x x A x x es f x r x x x x( ) &

int, , ( ) ( ) [ , ]

⇔ ∀ ∈ < ≥ ∀ ∈1 2 1 2 1 2

Siendo r (x) la recta que une los puntos S( x1, f ( x1)) y T(x2,f (x2))


Q

f

fEl eje de ordenadas esuna vertical

( )( )

( )( )

0 11

01

10

1

0 11

01

10

1

2

2

++ +

−− +

= − = − = − ∞ = − ∞

= − = − = − ∞ = − ∞

⇒ asintota

Q( )

( )

f

fLa recta y es una horizontal

( )

( )

+ ∞ = −+ ∞

= −+ ∞

= − =

− ∞ = −− ∞

= −+ ∞

= − =

⇒ =

+ −

+ −

11

11

1 0 1

11

11

1 0 11

2

2

asintota

Q Nótese como la gráfica es cóncava hacia abajo en los intervalos (&4,0) y (0,+4), es decir,es cóncava hacia abajo en todo el dominio Df = ú&{0}= (&4,0)c(0,+4).

Ejemplo 35.-

Considera la función cuya gráfica está dibujada en el ejemplo 6. y f xx

= =( )1

Observando la gráfica destacamos lo siguiente:f (x) es cóncava hacia abajo en el intervalo (&4,0) f (x) es cóncava hacia arriba en el intervalo (0,+4)

19.Punto de inflexión de una función .-

Sea y = f (x) una función. Sea P(a , f (a)) un punto de su gráfica.

Gráficamente:En el dibujo de la izquierda hemos representado a

una función f (x) que tiene dos puntos de inflexión, P y Q.Obsérvese que en los puntos de la gráfica que

están infinitamente próximos a P por su izquierda, laconcavidad es hacia arriba y en los puntos pegados a P porsu derecha es hacia abajo.

En el punto Q ocurre lo contrario, en lasproximidades a Q por su izquierda la concavidad es haciaabajo y en las proximidades a Q por su derecha laconcavidad es hacia arriba.

Una función puede tener desde ninguno hastainfinitos puntos de inflexión.

Se dice que P es un punto de inflexión de la gráfica de f (x) (o simplemente de la funciónf (x) ) si en los puntos de dicha gráfica situados infinitamente próximos a P por suizquierda, la concavidad es hacia un sentido y en los puntos situados infinitamentepróximos a P por su derecha, la concavidad es en sentido contrario. Dicho de otra forma,en el punto P se produce un cambio en la concavidad.


Ejemplo 36.-Consideremos la función y = h (x) = x3 que vimos en el ejemplo 8 (ver página 8).

Recordemos su gráfica:

Podemos observar como en el punto O(origen de coordenadas) se produce unainflexión, o sea, un cambio de concavidad.Veamos:R En el intervalo (&4,0) la gráfica de

h (x) es cóncava hacia abajo(convexa hacia arriba).

R En el intervalo (0,+4) la gráfica de lafunción es cóncava hacia arriba(convexa hacia abajo).

R En el origen (0,0) se produce elcambio de concavidad, es decir, O esun punto de inflexión.

20.Función periódica .-

r Sea y = f (x) una función real de variable real cuyo dominio es Df.r Sea t un número real, es decir, t 0ú

Es decir:f (x) = f (x+ t ) = f (x& t ) = f (x+ 2·t ) = f (x& 2·t ) = f (x+ 3·t ) = f (x& 3·t ) = f (x+ 4·t ) = ······

al número t se le denomina periodo de la función f (x)

La interpretación gráfica de una función periódica de periodo t es que si consideramos intervalosde amplitud t en el eje de abcisas, la gráfica de la función se repite (es decir, tiene la mismaforma en esos intervalos).

Se dice que f (x) es una función periódica de periodo t si f (x+ k·t ) = f (x)para todo x 0Df y para todo k 0Z

En la gráfica la escala en ambos ejes es distinta, esdecir, la unidad en cada eje tiene distinto tamaño.


g

x g x x E xsiendo E x parte entera de x

:

( ) ( )( )

R R →

→ = −

=

Aclaremos nuevamente esta idea:Si y = f (x) es una función periódica de periodo t, a0Df y f (a) es la imagen de a mediante f,podemos poner que:

Es decir:

f (a) = f (a+ t ) = f (a& t ) = f (a+ 2·t ) = f (a& 2·t ) = f (a+ 3·t ) = f (a& 3·t ) = f (a+ 4·t ) = ······

para cualquier número a que pertenezca al dominio de la función.

Ejemplo 37.-Recordemos la función vista en el tema “Gráficas de funciones reales de variable real”,

ejemplo nº 23, siguiente:

En ese ejemplo la expresamos por intervalos y dibujamos su gráfica. Recordemos esta última:

Nótese que es una función periódica de periodo t = 1.Puede apreciarse que œa0ú se verifica que f (a) = f (a&1) = f (a+1) = f (a&2) = f (a+2) = þþ


Ejemplo 38.-La función f (x) = sen x (ver gráfica en el ejemplo 20, página 28) es una función

periódica de periodo t = 2π. En efecto:œx0ú (x ángulo en radianes) se verifica que:

sen x = sen (x+2π) = sen (x&2π) = sen (x+4π) = sen (x&4π) = sen (x+6π) = sen (x&6π) = þþþ

Es decir: œx0ú es f (x) = f (x ± 2kπ) œk0Z

Ejemplo 39.-La función g (x) = tg x (tangente de x) es una función periódica de periodo t = π

En efecto:Recordando la construcción de la función tangente de x ( x ángulo en radianes):

œx0Dg = ú&{π/2 , &π/2 , 3π/2 , &3π/2 , 5π/2 , &5π/2 , 7π/2 &7π/2þþþþ} se verifica quetg x = tg (x+π) = tg (x& π) = tg (x+2π) = tg (x&2π) = tg (x+3π) = tg (x& 3π) = tg (x+4π)=þþ


Apréciese en la gráfica que la función g (x) = tg x tiene infinitas asíntotas verticales.Corresponden a los puntos x = π/2 ; x = &π/2 ; x = 3π/2 ; x = &3π/2 ; x = 5π/2 ; x = &5π/2 ; þ

También pueden apreciarse los infinitos puntos de inflexión que corresponde a lospuntos de abcisa x = 0 ; x = π ; x = &π ; x = 2π ; x = &2π ; x = 3π ; x = &3π ; þþ

propiedades y formas de las funciones reales de variable … · 2014-02-12 · prólogo e l estudio...

Documents