Clasificación de discontinuidades 1

Clasificación de discontinuidadesLas funciones continuas son de suma importancia en matemática yen distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones soncontinuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todosu dominio de definición. Si una función no es continua en unpunto, se dice que la función tiene una discontinuidad en esepunto y que la función es discontinua. En este artículo se describela clasificación de discontinuidades para el caso más simple defunciones de una sola variable real.

Conceptos previos

Considérese una función , de variable real , definidapara todo valor de excepto posiblemente para un cierto valor

. Es decir, está definida para y para .Definamos también:El límite por izquierda en , es decir, el límite al aproximarse al valor mediante valores menores a ,como:

El límite por derecha en , es decir, el límite al aproximarse al valor mediante valores mayores a ,como:

Si estos dos límites en el entorno del punto existen y son iguales se dice que la función tiene limite en este punto.

Si una función tiene limite en un punto y su valor coincide con el valor de la función en ese punto, entonces lafunción es continua en ese punto:

en cualquier otro caso es discontinua en ese punto.

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Tipos de discontinuidadesLa discontinuidad de una función puede ser clasificada en:

Discontinuidad evitable (o removible)Si una función tiene limite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto:

o no existe:

se dice que la discontinuidad es evitable (o removible), asignando a la función, en ese punto, el valor del limite:

Discontinuidad esencialSe dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientessituaciones:1. Existen los límites laterales pero no coinciden.2. Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos. Ver asíntota.3. No existe alguno de los límites laterales o ambos.

Discontinuidad de primera especie

En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:

De salto finito

Existen el limite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:

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De salto infinito

Si uno de los limites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el limite por la izquierda es finito y el de la derechainfinito:

como en el caso de que el limite por la izquierda sea infinito y por la derecha finito:

Se dice que la discontinuidad es de salto infinito.

Discontinuidad asintótica

Si los dos limites laterales de la función en el punto son infinitos:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo la asíntota.

Discontinuidad de segunda especie

Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los limites laterales de lafunción en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.

Galería de discontinuidades

De salto finito

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De salto infinito

Discontinuidad asintótica

Discontinuidad de segunda especie

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Discontinuidad evitable

Caso de continuidad

Una función y= f(x) es continua en un punto a, si loslimites por la derecha y la izquierda son iguales, ycoinciden con el valor de la función en ese punto.

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Ejemplos

Función del ejemplo 1, : una

discontinuidad evitable.

• 1. Sea la función

El punto es una discontinuidad evitable. Esta función puede hacerse contínua simplemente redefiniendo lafunción en este punto para que valga .

Función del ejemplo 2, : una

discontinuidad por salto.

• 2. Sea la función

El punto es una discontinuidad por salto.

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Función del ejemplo 3, : una

discontinuidad esencial.

• 3. Sea la función

El punto es una discontinuidad esencial, para lo cual hubiese bastado que uno de los dos límites laterales noexista o sea infinito (en este caso se cumple para ambos límites laterales: para el límite por izquierda y para el límitepor derecha).• 4. Funciones que no son continuas en ninguna parteExisten funciones que no son continuas en ningún punto. La más conocida es la función característica de Q, es decirla función que toma como valor 1 cuando x pertenece al conjunto de los racionales, y 0 si no.Obviamente, no se puede dibujar su curva, que está constituida por una infinidad de puntos en la recta y= 0, y unainfinidad (menor) de puntos en la recta y= 1.• 5. Discontinuidad evitable.Una función presenta un punto de Discontinuidad evitable si en ese punto se cumple que:

1.2.Pueden ser transformadas en otra función continua, dándole a f(a) el valor adecuado que la hace continua. Simodificamos una función obtenemos otra función, no la misma, por ello se dice que son evitables.

ejemplo:

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La función:

Presenta los siguientes limites por la izquierda y por la derecha:

pero la función para x= 2 no esta definida:

en este un caso de discontinuidad evitable y además de un modo sencillo:

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lo que es lo mismo:

simplificando:

esta función es continua para todo x de valor real y es equivalente a la primera función, excepto en que la primera esdiscontinua para x= 2.• 6. Discontinuidad de primera especieUna función presenta una discontinuidadde primera especie en un punto x1, si eneste punto se cumple que:

se produce un salto en los extremos.Un ejemplo de función con discontinuidad de este estilo es por ejemplo:

Que es continua (y diferenciable) en todos los puntos, excepto en los puntos con .• 7. Discontinuidad de segunda especie

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Son las que tienen puntos para los que existesolo uno de los limites laterales o ninguno.

o

Por ejemplo la función . Ésta tiene una discontinuidad de segunda especie en 0 pues no existe ellímite:

• 8. Discontinuidad asintóticaLa discontinuidad viene marcada por unaasíntota vertical. Se cumple lo siguiente:

En la gráfica podemos ver la función:

Donde es un valor conocido, que presenta una asíntota vertical para

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Véase también• Función continua• Gráfica de una función• Representación gráfica de una función• Lista de funciones matemáticas• Derivación (matemática)• Continuo

Enlaces externos• Descartes 2D: Discontinuidades [1]

• Discontinuous [2] en PlanetMath• "Discontinuity" [3] by Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project, 2007.• Weisstein, Eric W., «discontinuidad [4]» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research.• Clasificación de discontinuidades [5]

• Continuidad. Clasificación de discontinuidades [6]

• Tipos de discontinuidades [7]

Referencias[1] http:/ / recursostic. educacion. es/ descartes/ web/ materiales_didacticos/ Continuidad_clasificacion_discontinuidades/ discontinuidades. htm[2] http:/ / planetmath. org/ ?op=getobj& amp;from=objects& amp;id=4447[3] http:/ / demonstrations. wolfram. com/ Discontinuity/[4] http:/ / mathworld. wolfram. com/ Discontinuity. html[5] https:/ / www. itescam. edu. mx/ principal/ sylabus/ fpdb/ recursos/ r65416. PDF[6] http:/ / roble. pntic. mec. es/ ~rsoto1/ descartes/ continuidad. htm[7] http:/ / canek. uam. mx/ Calculo1/ Teoria/ Continuidad/ Tipos/ FETipos. pdf

Fuentes y contribuyentes del artículo 12

Fuentes y contribuyentes del artículoClasificación de discontinuidades  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=46238849  Contribuyentes: Alefisico, David0811, Davius, Dnu72, Farisori, Götz, Ignacioerrico, JuanMayordomo, Maleiva, 19 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesarchivo:Funcion continua 08.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Funcion_continua_08.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:HiTearchivo:Continuidad función 26.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Continuidad_función_26.svg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:User:Dnu72archivo:Continuidad función 19.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Continuidad_función_19.svg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:User:Dnu72archivo:Continuidad función 24.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Continuidad_función_24.svg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:User:Dnu72archivo:Continuidad función 25.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Continuidad_función_25.svg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:User:Dnu72archivo:Continuidad función 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