1

TEMA 1.- FUNCIONES DE UNA VARIABLE. INTRODUCCIÓN

DEFINICIÓN. DOMINIO E IMAGEN.

Llamamos función real de variable real a cualquier aplicación f: D ⊂ ℜ → ℜ

que a todo elemento x ∈ D le asocia un único elemento y ∈ ℜ: f(x) = y.

Ejemplo

f(x) = x2 + 3x - 4 es una función en la cual x toma únicamente valores reales, y también

son reales los valores f(x). Por ejemplo:

si x = 2 (que es un número real) , entonces f(2) = 6 (que también es un número real).

Así x = 2 ∈ Dom f y f(2) = 6 ∈ Im f

FUNCIONES MÁS USUALES.

f(x) = ax+b funciones lineales. RECTAS

Si a = 1 y b = 0 ⇒ f(x) = x función identidad.

Si a = 0 ⇒ f(x) = b función constante.

f(x)= a0 + a1x + ... + anxn funciones polinómicas. RECTAS, PARÁBOLAS,

CÚBICAS,...

f(x) = sen (x) , f(x) = cos (x) , f(x) = tg (x) , ... funciones trigonométricas

f(x) = ex , 2x , x

31 , ..... funciones exponenciales ( nota : e = 2,7182818...)

f(x) = Ln(x) funciones logarítmicas

f(x) = )()(xQxP funciones racionales (cocientes de polinomios)

f(x) = x=

<−≥

00

xsixxsix

Valor absoluto

DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCIÓN.

El subconjunto D recibe el nombre de dominio de definición de la función f, y

se denota por Dom f.

El conjunto imagen de f es: Im f = f(x) / x ∈ Dom f

2

OPERACIONES CON FUNCIONES.

Sean f y g dos funciones de una variable con dominios A y B respectivamente.

Si D = A ∩ B, se definen las siguientes funciones:

1) Suma (f+g)(x) = f(x) + g(x) ∀ x ∈ D.

2) Resta (f-g)(x) = f(x) - g(x) ∀ x ∈ D.

3) Producto por un número real Si k ∈ ℜ (kf)(x) = kf(x) ∀ x ∈ A.

4) Producto de funciones (fg)(x) = f(x)g(x) ∀x ∈ D.

5) Cociente (f/g)(x) = f(x)/g(x) si g(x) ≠ 0 ∀ x∈ D.

6) Composición de funciones : En muchas situaciones una cantidad viene dada como

función de una variable que, a su vez, puede escribirse como una función de una

segunda variable, y así sucesivamente. Ejemplo 1: La función f(x) = Ln( x2 + 1) es compuesta de dos funciones:

f(t) = Ln ( t ) y t = x2 + 1

Ejemplo 2: La función f(x) = sen ( )( )xx− +−

1 51

2

2 es compuesta de tres funciones:

f(t) = sen (t) , t = zz+ 5

y z = ( x - 1 )2

Ejemplo 3: La función de demanda de un armario depende del precio de ese armario,

donde a su vez dicho precio depende del tipo de madera utilizado. Así:

demanda → precio → materia prima

Cada una de estas dos flechas se lee como "depende de" .

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE FUNCIONES.

1) Una función de una variable f es creciente si ∀ x, y∈ Dom f se verifica x < y ⇒

f(x) ≤ f(y)

2) Una función de una variable f es decreciente si ∀ x, y∈ Dom f se verifica x < y ⇒

f(x) ≥ f(y)

3

3) Una función de una variable f es estrictamente creciente si ∀ x, y∈ Dom f se

verifica x < y ⇒ f(x) < f(y)

4) Una función de una variable f es estrictamente decreciente si ∀ x, y∈ Dom f se

verifica x < y ⇒ f(x) > f(y)

Este tipo de funciones recibe el nombre de funciones monótonas.

FUNCIONES ACOTADAS.

1) Una función de una variable f está acotada superiormente si existe una constante

k∈ℜ / f(x) ≤ k ∀ x ∈ Dom f . k recibe el nombre de cota superior de f.

2) Una función de una variable f está acotada inferiormente si existe una constante

k∈ℜ / f(x) ≥ k ∀ x ∈ Dom f . k recibe el nombre de cota inferior de f.

3) Si una función está acotada superior e inferiormente se dice que es una función

acotada.

Ejemplo de función acotada inferiormente: f(x) = x2 + 3

Observar que para todo x , se cumple que f(x) ≥ 3 , por lo que k = 3 es una cota

inferior de la función.

Ejemplo de función acotada superiormente: f(x) = 5 - 1x

Observar que para todo x , se cumple que f(x) ≤ 5 , por lo que k = 5 es una cota

superior de la función.

Ejemplo de función acotada: f(x) = sen (x)

Observar que para todo x , se cumple que -1 ≤ sen (x) ≤ 1

4

EJERCICIOS TEMA 1

Ejercicio 1. Calcular el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x) = xx+−13

b) f(x) = ln(x-x2) c) f(x) = xx+−13

d) f(x) = ln( )x x− 2 e) f(x) = xxe+−13 f) f(x) =

xln1

Ejercicio 2. Estudiar el crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones:

a) f(x) = x2 en [0,∞) b) f(x) = x2 en [-5,7] c) f(x) = -x ∀x∈R

Ejercicio 3. Estudiar si las siguientes funciones están o no acotadas (superior e

inferiormente):

a) f(x) = x b) f(x) = - x2 c) f(x) = | x – 4 |3 d) f(x) = 1/x

Soluciones

Ejercicio 1.-

a) Dom f = ℜ-{ 3 }

b) f(x) = Ln ( x - x2 ) .Para que f(x) esté definida es necesario que x - x2 > 0 . Veamos

primero para qué valores de x se cumple la igualdad x - x2 = 0 . Es inmediato ver

que para x = 0 y x = 1.

- + - ← f(x)

┼───────────────┼──────────────

0 1 ← x

Si x = -2 ⇒ f(-2) = -6 /> 0 ⇒ NO VALE

Si x = 0,5 ⇒ f(0,5) = 0,25 > 0 ⇒ SI VALE ⇒ Dom f = ( 0 , 1 )

Si x = 7 ⇒ f( 7) = -42 /> 0 ⇒ NO VALE

5

c) f(x) = 31

−+xx

x + 1 - + +

-1

x - 3 - - +

3

Dom f = (-∞ , -1] U (3 , ∞) = ℜ - (-1 , 3]

d) Para que Ln(x-x2) tenga raíz debe ser Ln(x-x2) ≥ 0 , y para que esto ocurra debe ser

x-x2 ≥ 1 , o lo que es equivalente –x2 + x – 1 ≥ 0.

–x2 + x – 1 = 0 no tiene solución, luego –x2 + x – 1> 0 ó bien –x2 + x – 1 < 0.

teniendo en cuenta, por ejemplo, que para x = 2 es –x2 + x – 1 = -3 < 0 entonces

–x2 + x – 1 es siempre < 0, y por ello concluímos que Dom f = ∅ , es decir, no existe

función para ningún valor de x.

e) Dom f = (-∞ , -1] (3 , ∞)

f) f(x) = xln

1 . Dom f = (1 , ∞) , porque Ln x ha de ser, en esta función , mayor

estrictamente que 0 ( mayor o igual que 0 para que exista su raiz cuadrada, y distinto de

0 porque está en el denominador). Para que Ln x sea mayor estrictamente que 0 , la

función que está dentro del Logaritmo tendrá que ser > 1.

Ejercicio 2.-

a) Estrictamente creciente en [0 , ∞)

b) Estrictamente creciente en (0 , 7] y estrictamente decreciente en [-5 , 0)

c) Estrictamente decreciente en todo ℜ

Ejercicio 3.-

a) No acotada, ni inferior ni superiormente

b) Acotada superiormente. Cota superior k = 0

c) Acotada inferiormente. Cota inferior k = 0

d) No acotada, ni inferior ni superiormente

6

TEMA 2. LÍMITES DE FUNCIONES

DEFINICIÓN Y OPERACIONES.

Sea f: D⊂ ℜ → ℜ , a∈ℜ. El número real L es el límite de la función f en el

punto a , si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < x-a < δ con x ∈ D, entonces

f(x) - L< ∈.

)(xflimax→

= L

El límite de una función en un punto, si existe, es único.

Idea intuitiva de límite

Si x es próximo al valor a entonces f(x) toma valores próximos a L

limx xx xx→

− ++ −1

2

2

3 22 3

= -0,25 . Lo vemos en las siguientes tablas, en las cuales nos

aproximamos al punto x = 1 por la izquierda y por la derecha.

x f(x) x f(x)

0,9 -0,282051 1,1 -0,219512

0,99 -0,253132 1,01 -0,246882

0,999 -0,250312 1,001 -0,249687

0,9999 -0,250075 1,0001 -0,249968

0,99999 -0,250003 1,00001 -0,249996

↓ ↓ ↓ ↓

1- -0,25 1+ -0,25

IZQUIERDA DERECHA

7

Idea intuitiva de límite infinito

20

1x

limx→

= ∞ . Lo vemos en la siguiente tabla, en la cual nos aproximamos a x = 0 ,

por ejemplo, por la izquierda:

x f(x)

-0,1 +100

-0,001 +1.000.000

-0,0000001 +1014

-0,000000001 +1018

↓ ↓

0- ∞

Idea intuitiva de límite en el infinito

limx xx xx→∞

+ −− + −3 3 10

2 3 1

2

2= -1,5 . Lo vemos en la siguiente tabla, en la cual nos

aproximamos a x = ∞ (en este caso no tiene sentido hablar de aproximación por la

derecha)

x f(x)

10 -1,871345029

1000 -1,50374987

1.000.000 -1,500003749

1.000.000.000.000 -1,50000000000375

↓ ↓

∞ -1,5

Para que exista f(x)limax→

no es necesario que f esté definida en el punto a, es

decir, no tiene por qué existir f(a).

8

OPERACIONES CON LÍMITES

Sean f y g : D → ℜ, siendo D un subconjunto de ℜ, tales que existe )x(flimax→

= L1

y existe lim g(x)x a→

= L2 . Entonces:

1) lim f g xx a→

+( )( ) = L1

+ L2

2) lim k f xx a→

( )( ) = k L1

∀ k ∈ R

3) lim f g xx a→

( . )( ) = L1

. L2

4) )x)(gf(lim

ax→=

2

1

LL

si L2 ≠ 0

5) lim f x g xx a→

( ) ( ) = L L1

2 si L1

> 0

LÍMITES LATERALES

Los límites por la izquierda y por la derecha de una función en un punto reciben el

nombre de límites laterales, y se representan por

)x(flimax −→

ó f(a- ) y

)x(flimax +→

ó f(a+ )

Lo vemos con un ejemplo:

f(x) =

≥+<+

372312

xsixxsix

f(3- ) = )(3

xflimx −→

= 12

3

+−→

xlimx

= 10

f(3+ ) = )(3

xflimx +→

= 723

++→

xlimx

= 13

Como )(3

xflimx −→

≠ )(3

xflimx +→

entonces ∃/ )(3

xflimx→

9

Una función f tiene límite en un punto si y solo si existen los dos límites laterales en

ese punto y son iguales.

INDETERMINACIONES.

Las operaciones con límites (suma, resta, ... )se generalizan para límites infinitos

y en el infinito teniendo en cuenta que:

∞ + L = ∞ ∞ - L = ∞

L.∞ = ∞ si L > 0 L.∞ = - ∞ si L < 0

0L = ± ∞ si L ≠ 0

∞L = 0

L∞ = ± ∞

a∞ = ∞ si a > 1 a∞ = 0 si 0 < a < 1

a-∞ = 0 si a > 1 a-∞ = ∞ si 0 < a < 1

Pero existen 7 casos de indeterminación:

∞ - ∞ , 0.∞ , 00 , ∞

∞ , ∞0 , 00 , 1∞

RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES : ∞∞ , 0

0 , ∞ - ∞ , 1∞

Lo vemos resolviendo el ejercicio 3 siguiente.

10

EJERCICIOS TEMA 2

Ejercicio 1. Calcular los límites laterales y el límite (si existen) de las siguientes

funciones en los puntos indicados:

a) f(x) = 1 23 2

si xsi x

<>

en x=2 y en x =4 e) f(x) = e1/x en x=0

b) f(x) = xx

si x

si x

≠

=

0

0 0 en x=0 y en x =2 f) f(x) = x

x2 31+ / en x=0

c) f(x) = 0 01 0

si xsi x

≠=

en x= -5 y en x =0 g) f(x) =112

+−

xx en x = -1

d) f(x) = 1/x en x=0 h) f(x) =

<

>

0

01sen

xsie

xsix

xx

en x = 0

Ejercicio 2. Calcular los siguientes límites:

a) lim x xx→+∞

− + +( )3 22 1 b) lim x xx→+∞

− +( )3 1

c) lim x xx→−∞

− +( )3 1 d) limxx→ −2

12

Ejercicio 3. Calcular los siguientes límites resolviendo la indeterminación que pueda

aparecer:

a) lim x xx xx→∞

+ −− + −3 3 102 3 1

2

2 b) lim x xx xx→−∞

+ −+ −

5

21

2 2

c) lim xxx→−∞ +3

2 12 d) lim x xx x xx→

+ −− + −1

2

3 2

22 3 2

e) lim xx x xx→

−+ − +2

2

3 2

45 31 34

f) limx

xx→−

+ −+2

5 32

g) lim xxx→

−−4

2 164

h) lim x x xx→∞

− − + +2 21 2 2 1

i) lim xxx

x

→−

++

+

1

32 4

51 j) lim x

x xx

x

→∞

++ +

+7 2

7 6 1

2

2

3 52

11

k) ( )lim xx

x→

−−

0

21cos cos l) lim x

xx→

+−

0

12

12

m) 1x1xlim 2

x+−+

∞→

SOLUCIONES

Ejercicio 1.-

1 3 3 ← f(x)

a) ────────────┼───────────────┼──────────────

2 4 ← x

f(2- ) = 1 ≠ f(2+ ) = 3 ⇒ ∃/ )(2

xflimx→

f(4- ) = 3 = f(4+ ) = 3 ⇒ ∃ )(4

xflimx→

= 3

b) f(0- ) = -1 ≠ f(0+ ) = +1 ⇒ ∃/ )(0

xflimx→

f(2- ) = 1 = f(2+ ) = 1 ⇒ ∃ )(2

xflimx→

= 1

c) f(-5- ) = 0 = f(-5+ ) = 0 ⇒ ∃ )(5

xflimx −→

= 0

f(0- ) = 0 = f(0+ ) = 0 ⇒ ∃ )(0

xflimx→

= 0

d) f(0- ) = -∞ ≠ f(0+ ) = +∞ ⇒ ∃/ x

limx

10→

e) f(0- ) = x

xelim /1

0−→= e-∞ = 0

⇒ ∃/ x

xelim /1

0→

f(0+ ) = x

xelim /1

0+→= e+∞ = ∞

f) f(0- ) = xx

xlim /10 32 +−→= ∞−+ 32

0 = 02

0+

= 0

⇒ ∃ )(0

xflimx→

= 0

f(0+ ) = xx

xlim /10 32 ++→= ∞+ 32

0 = ∞+2

0 = ∞0 = 0

g) f(x)lim1x −−→

= 2 ≠ f(x)lim1x +−→

= -2 ⇒ ∃/ f(x)lim1x −→

12

h) f(x)lim0x −→

= x

0xelim

−→=1 ≠ f(x)lim

0x +→=

+→ x1senxlim

0x= 0 ⇒

∃/ f(x)lim0x→

Ejercicio 2.-

a) - ∞

b) + ∞

c) 13 +−−∞→

xxlimx

= ( ) 1)(3 +−−−+∞→

xxlimx

= 13 ++−+∞→

xxlimx

= - ∞

d) ∃/2

12 −→ x

limx

porque 2

12 −−→ x

limx

= - ∞ y 2

12 −+→ x

limx

= ∞

Ejercicio 3. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES

a) limx xx xx→∞

+ −− + −3 3 10

2 3 1

2

2=

∞− ∞

= lim

xx

xx x

xx

xx x

x→∞

+ −

− + −

3 3 10

2 3 1

2

2 2 2

2

2 2 2

= lim x x

x xx→∞

+ −

− + −

33 10

23 1

2

2

= 3 0 02 0 0+ −

− + −= -

32

b) limx xx xx→−∞

+ −+ −

5

2

12 2

= ( ) ( )( ) ( )

limx xx xx→∞

− + − −− + − −

5

2

12 2

= limx xx xx→∞

− − −− −

5

2

12 2

= -∞

c) limx

xx→−∞ +3

2 12=

( )( )

limx

xx→∞

−− +3

2 12 = limx

xx→∞

−+

32 12

= 0

d) limx x

x x xx→

+ −− + −1

2

3 2

22 3 2

= 00

= limx x

x x xx→

− +− − +1 2

1 21 2

( )( )( )( )

=

= limx

x xx→

+− +1 2

22

( )( )

= 1 2

1 1 22

+− +

= 32

e) limx

x x xx→

−+ − +2

2

3 2

45 31 34

= 00

= limx x

x x xx→

− +− + −2 2

2 22 7 17

( )( )( )( )

=

13

= limx

x xx→

++ −2 2

27 17

( )( )

= 2 2

2 7 2 172

++ −x

= 4

f) limxxx→−

+ −+2

5 32

= 00

= ( )( )

( )( )limx x

x xx→−

+ − + +

+ + +2

5 3 5 3

2 5 3=

= ( )( )lim

xx xx→−

+ −

+ + +2

5 32 5 3( )

= ( )( )lim

xx xx→−

+

+ + +2

22 5 3

=

= ( )limxx→− + +2

15 3

= ( )1

2 5 3− + +=

12 3

= 3

6

g) limxxx→

−−4

2 162

= 00

= ( )( )( )( )limx x

x xx→

− +

− +4

2 16 2

2 2=

( )( )lim

x xxx→

− +

−4

2 16 24

=

= ( ) ( )

limx x x

xx→

− + +

−4

4 4 24

( )= ( )lim x x

x→+ +

44 2( ) = 32

h) lim x x xx→∞

− − + +2 21 2 2 1 = [ ]∞ − ∞

1º.- Conjugado

2º.- Diferencia de cuadrados

3º.- Descartar monomios de grado inferior dentro de los radicandos

( )( )( )lim

x x x x x x

x x xx→∞

− − + + − + + +

− + + +

2 2 2 2

2 2

1 2 2 1 1 2 2 1

1 2 2 1=

= ( )

( )limx x xx x xx→∞

− − + +

− + + +

( )2 2

2 2

1 2 2 11 2 2 1

= ( )limx x

x x xx→∞

− − −

− + + +

2

2 2

2 21 2 2 1

=

= ( )limx xx xx→∞

− − −

+

2

2 2

2 22

= ( )limx xx xx→∞

− − −

+

2 2 22

= ( )limx x

xx→∞

− − −

+

2 2 21 2

= -∞

i) limxxx

x

→−

+++

1

513

2 4= [ ]1∞ = eα siendo α = lim exponente.(base - 1)

α = limx

xxx→− +++

−

1

51

32 4

1 = limx

xxx→− +− −

+1

51

12 4

= limxx→−

−+1

52 4

= − 52

14

⇒ limxxx

x

→−

+++

1

513

2 4= e

5/2−= 0,082084998

j) lim xx xx

x

→∞

++ +

+7 2

7 6 1

2

2

3 52

= [ ]1∞ = eα siendo α = lim exponente.(base - 1)

α =

−

+++

+∞→

1167

27)53( 2

22

xxxxlim

x=

+++−

+∞→ 167

16)53( 22

xxxxlim

x=

= 167

5303182

23

+++−+−

∞→ xxxxxlim

x= - ∞

⇒ lim xx xx

x

→∞

++ +

+7 2

7 6 1

2

2

3 52

= e- ∞ = 0

k) ( )lim xx

x→

−−

0

21cos cos = [ ]1∞ = eα siendo α = lim exponente.(base - 1)

α = ( )1coscos1

20

−−−

→x

xlimx

= x

xlimx cos1

2cos20 −

+−→

=

=xxlim

x cos1)1cos(2

0 −+−

→= 2

0→xlim = 2

⇒ ( )lim xx

x→

−−

0

21cos cos = e2

l) lim xxx→

+−

0

12

12 =

xxx

limx

)2(20

+−

→=

xxxlim

x )2(20 +−

→=

)2(21

0 xlimx +

−→

= 41−

Esto es, en ocasiones lo que primero debemos hacer es simplificar al máximo la

función antes de proceder al cálculo del límite.

m) 112 +−+∞→

xxlimx

= [∞ - ∞] = ( )( )( )11

11112

22

+++

++++−+∞→ xx

xxxxlimx

=

= ( ) ( )11

112

2

+++

+−+∞→ xx

xxlimx

= 112

2

+++

−∞→ xx

xxlimx

= xx

xxlimx +

−∞→ 2

2

=

= 21

2

xx

xxlimx

+

−∞→

= ∞

15

TEMA 3. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

DEFINICIÓN.

Sea f: D⊂ ℜ → ℜ , a∈D, f es continua en el punto a si se cumplen las tres

condiciones siguientes:

1ª condición: el punto a está en Dom f , es decir, existe f(a)

2ª condición: existe lim f xx a→

( )

3ª condición: lim f xx a→

( ) = f (a)

Si llamamos h = x-a , la condición de continuidad puede expresarse de la siguiente

forma:

h)f(alim0h

+→

= f (a)

es decir, a un incremento infinitesimal de la variable independiente le corresponde un

incremento infinitesimal de la función.

Una función f se dice que es continua si lo es en todos los puntos de su dominio.

CONTINUIDAD LATERAL.

Sea f: D⊂ ℜ → ℜ , a∈D, f es continua por la derecha en el punto a si se cumplen

las tres condiciones siguientes:

1ª condición: el punto a está en Dom f , es decir, existe f(a)

2ª condición: existe )(xflimax +→

3ª condición: )(xflimax +→

= f (a)

16

Sea f: D⊂ ℜ → ℜ , a∈D, f es continua por la izquierda en el punto a si se cumplen

las tres condiciones siguientes:

1ª condición: el punto a está en Dom f , es decir, existe f(a)

2ª condición: existe )(xflimax −→

3ª condición: )(xflimax −→

= f (a)

f es continua en a si y sólo si lo es por la derecha y por la izquierda

OPERACIONES CON FUNCIONES CONTINUAS.

Sean f y g : D⊂ ℜ→ ℜ funciones continuas en un punto a∈D. Entonces:

1) f ± g es continua en a.

2) f.g es continua en a.

3) f/g es continua en a si g(a) ≠ 0

4) f g es continua en a si g(a) > 0

4) La composición de funciones continuas da lugar a una nueva función continua.

TIPOS DE DISCONTINUIDADES.

Si alguno de los tres requisitos de la definición de continuidad no se cumple

diremos que la función no es continua en ese punto, ó que es discontinua.

Discontinuidad evitable: si existe )(xflimax→ pero es distinto de f(a) o bien si f no está

definida en a.

Discontinuidad de primera especie: si la función tiene los dos límites laterales en a

pero no coinciden (con lo cual no existe lim f xx a→

( ) )

17

En este caso llamaremos salto de la discontinuidad a la distancia entre los dos límites

laterales, es decir, al valor absoluto de la diferencia entre los límites laterales. (el salto

puede ser finito o infinito).

Discontinuidad de segunda especie: si alguno o ninguno de los límites laterales de f en

a no existe.

Ejemplos de discontinuidades en el ejercicio 1 siguiente.

EJERCICIOS TEMA 3

Ejercicio 1. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

a) f(x) =

=≠+

3031

xsixsix

b) f(x) = xx

si x

a si x

≠

=

0

0

c) f(x) =

−≤

−>+

50

55

1

xsi

xsix d) f(x) = ( )sen /1 0

0x si x

b si x≠=

e) f(x) = [ ]x = parte entera de x = máximo entero menor o igual a x.

Ejercicio 2. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

a) ( )f x

x x

ex x

e x x

=

≤

< <

≤

sen

.

0

0 1

1

b) g(x) =

x a xx

x

x x exe

x e

2 0

20 1

1

+ ≤

< <

≤ ≤

>

sen

ln

π

Ejercicio 3. Hallar las discontinuidades de las siguientes funciones. ¿Cuales son

evitables? a) f(x) = x2-2x+1 b) g(x) = xx x

+− −

23 102

c) h(x) = xx−−

392 d) i(x) =

≥+<+−

05032

xxxx

18

Ejercicio 4. Hallar los valores que deben tomar a y b para que las siguientes funciones sean continuas en todo R.

a) f(x) = 2 1

1 32 3

si xax b si x

si x

≤ −+ − < <− ≥

b) g(x) = x si x

x ax b si x+ < <

+ + − ≥

1 1 32 12

Soluciones

Ejercicio 1.-

a) discontinuidad evitable en x = 3

b) discontinuidad de 1ª especie en x = 0 de salto 2

c) discontinuidad de 1ª especie en x = -5 de salto ∞

d) discontinuidad de segunda especie en x = 0 ∀ b

e) discontinuidad de 1ª especie (salto 1) en todos los x enteros.

Ejercicio 2.-

a) ( )f x

x x

ex x

e x x

=

≤

< <

≤

sen

.

0

0 1

1

sen x 0 ex e e.x ← f(x) ────────────┼───────────────┼──────────────

0 1 ← x

En los puntos distintos de 0 y 1 es claro que es continua, por serlo las tres funciones

implicadas. Veamos qué ocurre entonces en x = 0 y x = 1.

x = 0

)(0

xflimx

−→

= )sen(0

xlimx

−→

= sen (0) = 0

)(0

xflimx

+→

= x

xelim

+→0

= e0 = 1

En x = 0 hay discontinuidad de 1ª especie de salto s = 1.

19

x = 1

)(1

xflimx

−→

= x

xelim

−→1

= e1 = e

)(1

xflimx

+→

= xelimx

.1+

→

= e.1 = e

Por ello existe )(1

xflimx→

y vale e . además existe f(1) = e ⇒ f es continua en x = 1

b) g(x) =

>

≤≤

<<

≤+

exex

exx

xxxax

1ln

102

sen

02

π

Si x ≠ 0 , 1 , e entonces f sí es continua por serlo las 4 funciones que la conforman.

En x = 0 será continua si a = 0 y discontinua si a ≠ 0 porque )(0

xflimx

−→

= a y

)(0

xflimx

+→

= 0 siendo f(0) = a.

En x = 1 hay discontinuidad de 1ª especie de salto 1

En x = e es continua porque )(xflimex−

→

= )(xflimex+

→

= f(e)

Ejercicio 3.-

a) No tiene discontinuidades. Es continua en todo su dominio ℜ

b) Discontinua si denominador = 0 , es decir en x = -2 y x = 5.

x = -2 discontinuidad evitable porque ∃/ g(-2)

x = 5 discontinuidad evitable porque ∃/ g(5)

c) Discontinua si denominador = 0 , es decir en x = -3 y x =3.

x = -3 discontinuidad evitable porque ∃/ h(-3)

x = 3 discontinuidad evitable porque ∃/ h(3)

d) Si x < 0 ⇒ x – 2 < 0 ⇒ x-2 = - ( x – 2 ) = – x + 2 ⇒ x-2+ 3 = -x + 5

-x + 5 x + 5 ← i(x) ──────────────┼────────────── 0

20

Para x < 0 i(x) es continua por serlo -x + 5

Para x > 0 i(x) es continua por serlo x + 5

Para x = 0 i(x) es continua porque i(0-) = i(0+) = i(0) = 5

⇒ i(x) es continua en todo su dominio, es decir, no tiene discontinuidades.

Ejercicio 4.-

2 2 ax + b -2 -2 ← f(x)

a) ┼───────────────┼──────────────

-1 3 ← x

en x = -1

)(1

xflimx

−−→

= 21−

−→xlim = 2

)(1

xflimx

+−→

= baxlimx

++

−→ 1= -a + b

Para que sea continua en x = -1, debe ser entonces -a + b = 2

en x = 3

)f(xlim3x−

→

= baxlim3x

+−

→

= 3a + b

f(x)lim3x+

→

= 2lim3x−

+→

= -2

Para que sea continua en x = 3, debe ser entonces 3a + b = -2

Tenemos entonces el sistema siguiente: − + =

+ = −

a ba b

23 2

cuya única solución es

a = -1 , b = 1

Así, en el intervalo (-1 , 3) , la función que tenemos definida será -x + 1 .

b) Como nota previa, indicar que

· f(x)≥ k se desdobla en f(x) ≥ k y f(x) ≤ -k

· f(x) ≤ k se desdobla en f(x) ≤ k y f(x) ≥ -k

21

Así, en nuestro caso, x-2≥ 1 se desdobla en

x - 2 ≥ 1 ⇒ x ≥ 3

x - 2 ≤ -1 ⇒ x ≤ 1

y por consiguiente tenemos que:

x2 + ax + b x + 1 x2 + ax + b ← f(x) ──────────────┼───────────────┼──────────────

1 3 ← x

x = 1

)(1

xflimx

−→

= baxxlimx

++−

→

2

1= 1 + a + b

)(1

xflimx

+→

= 1xlim1x

++

→

= 2

Para que sea continua en x = 1, debe ser entonces 1 + a + b = 2, es decir a + b = 1

x = 3

lim f xx→

−3

( ) = lim xx→

−+

3

1 = 4

)(3

xflimx

+→

= baxxlimx

+++

→

2

3= 9 + 3a + b

Para que sea continua en x = 3, debe ser entonces 4 = 9 + 3a + b , es decir 3a + b = -5

Tenemos entonces el sistema siguiente:

−=+=+

531

baba

cuya única solución es

a = -3 , b = 4

Así, en los intervalos (-∞ , 1) y (3 , ∞) , la función que tenemos definida será

x2 - 3x + 4

22

x1 sen (x)

cos (x) Ln(x)

x2 + 3 ex

23

f(x) = 5- x1

f(x) = x4 - 3x3 + 2x + 1

f(x) = xx

24

BIBLIOGRAFÍA

Además de los libros de Bachillerato, donde esta materia viene muy bien

explicada, y con abundantes problemas, recomendamos para hacer más

ejercicios el libro siguiente:

GALÁN, CASADO, FERNÁNDEZ y VIEJO (2.002): Matemáticas para la Economía

y la Empresa. Ejercicios Resueltos. Editorial AC-THOMSON