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ObjetivosDefinicion del Concepto FuncionPrueba de la Recta VerticalFunciones Inyectivas, Suprayectivas y BiyectivasPrueba de la Recta HorizontalFunciones Crecientes, Decrecientes, Constantes

Funciones en una Variable Real y sus Graficas:Conceptos Basicos

Carlos A. Rivera-Morales

Precalculo I

Rivera-Morales, Carlos A. Funciones Reales y sus Graficas

Contenido

Tabla de Contenido

Contenido

Objetivos:

Discutiremos:

funcion

funcion real

dominio, codominio, imagen (rango o recorrido) de unafuncion

grafica de una funcion

tipos de funciones (inyectivas, suprayectivas, biyectivas)

prueba de la recta vertical

prueba de la recta horizontal

funciones crecientes, decrecientes, constantes

funciones pares, funciones impares

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Objetivos:

Discutiremos:

funcion

funcion real

Contenido

Objetivos:

Discutiremos:

funcion

funcion real

Contenido

Objetivos:

Discutiremos:

funcion

funcion real

Contenido

Objetivos:

Discutiremos:

funcion

funcion real

tipos de funciones

(inyectivas, suprayectivas, biyectivas)

Contenido

Objetivos:

Discutiremos:

funcion

funcion real

tipos de funciones (inyectivas,

suprayectivas, biyectivas)

Contenido

Objetivos:

Discutiremos:

funcion

funcion real

tipos de funciones (inyectivas, suprayectivas,

biyectivas)

Contenido

Objetivos:

Discutiremos:

funcion

funcion real

Contenido

Objetivos:

Discutiremos:

funcion

funcion real

Contenido

Objetivos:

Discutiremos:

funcion

funcion real

Contenido

Objetivos:

Discutiremos:

funcion

funcion real

Contenido

Objetivos:

Discutiremos:

funcion

funcion real

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Funciones de una Variable Real y sus Graficas

Introduccion: Uno de los conceptos mas importantes enmatematica es el de funcion.

Las funciones permiten describir elmundo real en terminos matematicos, como por ejemplo, lasvariaciones de la temperatura, el movimiento de los planetas,las ondas cerebrales, los ciclos comerciales, el ritmo cardıaco, elcrecimiento poblacional, etc.

El termino funcion fue usado por primera vez en 1637 por elmatematico frances Rene Descartes para designar una potenciaxn de la variable x.

El matematico suizo Leonard Euler (1707-1783) dio unadefinicion precisa de funcion e introdujo en 1734 el sımbolo f(x)para designar la imagen de x por una funcion f .

Contenido

Introduccion: Uno de los conceptos mas importantes enmatematica es el de funcion. Las funciones permiten describir elmundo real en terminos matematicos, como por ejemplo, lasvariaciones de la temperatura, el movimiento de los planetas,las ondas cerebrales, los ciclos comerciales, el ritmo cardıaco, elcrecimiento poblacional, etc.

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Definicion del Concepto Funcion

Definicion: Sean A y B dos conjuntos no vacıos.

Entonces,una funcion f de A en B es una ley, regla o correspondenciaque asigna a cada elemento x ∈ A un, y solo un, elementoy ∈ B. Se denota por

f : A −→ B

El conjunto A es el dominio de f ; el conjunto B es elcodominio de f .

Contenido

Definicion: Sean A y B dos conjuntos no vacıos. Entonces,una funcion f de A en B es una ley, regla o correspondenciaque asigna a cada elemento x ∈ A un, y solo un, elementoy ∈ B.

Se denota por

f : A −→ B

Contenido

Definicion: Sean A y B dos conjuntos no vacıos. Entonces,una funcion f de A en B es una ley, regla o correspondenciaque asigna a cada elemento x ∈ A un, y solo un, elementoy ∈ B. Se denota por

f : A −→ B

Contenido

f : A −→ B

El conjunto A es el dominio de f ;

el conjunto B es elcodominio de f .

Contenido

f : A −→ B

Contenido

Notas: Sea f : A −→ B funcion.

1 La notacion y = f(x) senala que y es una funcion de x.Lavariable x es la variable independiente y la variable y sellama variable dependiente; f es el nombre de la funcion.

2 Si y = f(x), entonces se dice que y es la imagen de xmediante f y que x es una preimagen de y.

3 El conjunto de todas las imagenes de los elementos de Amediante o a traves de f se denomina Imagen, Recorrido,Campo de Valores o Rango de f . Generalmente utilizaremosImf o Rf para denotar la imagen o rango de f .

Contenido

1 La notacion y = f(x) senala que y es una funcion de x.

Lavariable x es la variable independiente y la variable y sellama variable dependiente; f es el nombre de la funcion.

Contenido

Pictoricamente:

Sea f : A −→ B funcion.

Contenido

Pictoricamente:

Sea f : A −→ B funcion.

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Ejercicio: Indique cuales de las siguientes aplicaciones sonfunciones.

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Funcion Real

Definicion: Sean A y B dos conjuntos no vacıos. Entonces,una funcion real f en una variable x es una funcionf : A −→R, donde A⊆R. Usualmente se denota por la formulay = f(x) .

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Grafica de una funcion real

Definicion: La grafica de una funcion real es el conjunto depuntos en el plano R2 correspondientes a los pares ordenados(x, y) de la funcion.

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Representaciones de una funcion real

Una funcion real f , en general, se puede representar de distintasformas.

Se puede representar mediante:

1 un conjunto de pares ordenados de numeros reales.

2 una tabla de valores.

3 una expresion verbal, donde se da una descripcion enpalabras de la regla que define la funcion.

4 una una expresion algebraica haciendo uso de una formula.

5 una grafica en un sistema de coordenadas cartesianas.

Nota: Estas cinco formas de representar una funcion sonequivalentes, sin embargo no siempre es posible el paso de una aotra.

Contenido

Una funcion real f , en general, se puede representar de distintasformas. Se puede representar mediante:

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Ejemplo 1: (Representacion utilizada: Conjunto de ParesOrdenados)

Definicion: Una relacion es un conjunto de pares ordenado.

Consideremos los siguientes pares ordenados de numerosenteros:

El conjunto f de pares ordenados representa una funcion. Elconjunto g no.

Contenido

El conjunto f de pares ordenados representa una funcion.

Elconjunto g no.

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Ejemplo 2 :(Representacion utilizada: Una tabla de valores)

Consideremos la siguiente tabla de valores:

La tabla representa una funcion f cuyo dominio esDf = {−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

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Ejemplo 3: (Representacion utilizada: Descripcion verbal)

Sea A = R y B = R. Consideremos la siguiente regla de A en B:Regla: A cada numero real en A le corresponde su cuadradoen B.

La situacion anterior define una funcion de A en B.

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Ejemplo 4: (Representacion utilizada: Una formula)

La formula f(x) = x2 − 2x define una funcion de R en R:

Ejercicios: Determine:

1 f(−2)

2 f(5)

3 f(a− 1)

4 f(a + h)

5f(a + h)− f(a)

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1 f(−2)

2 f(5)

3 f(a− 1)

4 f(a + h)

5f(a + h)− f(a)

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1 f(−2)

2 f(5)

3 f(a− 1)

4 f(a + h)

5f(a + h)− f(a)

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Ejemplo 5: (Representacion utilizada: Una grafica)

La grafica a continuacion define una funcion f :

Contenido

Ejemplo 5: (Representacion utilizada: Una grafica)

La grafica a continuacion define una funcion f :

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2 If3 f(−2)

4 f(2)

5 f(4)

6 todos los valores x ∈ Df para los cuales f(x) = 0.

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Funciones en una Variable Real y sus Graficas

Prueba de la Recta Vertical

Una grafica en el plano R2 es la grafica de una funcion si, y solosi, ninguna lınea vertical se interseca con la grafica mas de unavez.

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Acuerdos: Sea f una funcion real definida mediante la formulao ecuacion y = f(x).

1 Regla del maximo dominio: Cuando no se presenta eldominio de f de forma explıcita, se considera como sudominio, el maximo subconjunto de R, donde la formulapuede evaluarse. Este conjunto es le llama el dominio dedefinicion de f , o simplemente, el dominio de f . A vecestambien se le llama el dominio natural de f .

2 En aplicaciones especıficas, el dominio de una funcionesta restringido por las condiciones de un problema. Esusual llamar dominio practico al conjunto de valores quepuede tomar la variable independiente para que elproblema especıfico tenga sentido.

Contenido

1 Regla del maximo dominio: Cuando no se presenta eldominio de f de forma explıcita, se considera como sudominio, el maximo subconjunto de R, donde la formulapuede evaluarse.

Este conjunto es le llama el dominio dedefinicion de f , o simplemente, el dominio de f . A vecestambien se le llama el dominio natural de f .

Contenido

1 Regla del maximo dominio: Cuando no se presenta eldominio de f de forma explıcita, se considera como sudominio, el maximo subconjunto de R, donde la formulapuede evaluarse. Este conjunto es le llama el dominio dedefinicion de f ,

o simplemente, el dominio de f . A vecestambien se le llama el dominio natural de f .

Contenido

1 Regla del maximo dominio: Cuando no se presenta eldominio de f de forma explıcita, se considera como sudominio, el maximo subconjunto de R, donde la formulapuede evaluarse. Este conjunto es le llama el dominio dedefinicion de f , o simplemente, el dominio de f .

A vecestambien se le llama el dominio natural de f .

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2 En aplicaciones especıficas, el dominio de una funcionesta restringido por las condiciones de un problema.

Esusual llamar dominio practico al conjunto de valores quepuede tomar la variable independiente para que elproblema especıfico tenga sentido.

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Ejemplos:1) Determine el dominio de la funcion f(x) =

√1− 3x

Solucion: Para que la funcion este definida en R, el radicando1− 3x tiene que asumir valores no negativos. Esto es,1− 3x ≥ 0. Hay que resolver esta desigualdad lineal.−3x ≥ −1

x ≤ 1

Por lo tanto, Domf = (−∞),1

Contenido

√1− 3x

Solucion: Para que la funcion este definida en R, el radicando1− 3x tiene que asumir valores no negativos.

Esto es,1− 3x ≥ 0. Hay que resolver esta desigualdad lineal.−3x ≥ −1

x ≤ 1

Contenido

√1− 3x

x ≤ 1

Contenido

√1− 3x

x ≤ 1

Contenido

Ejemplos:

2) Determine el dominio de la funcion f(x) =3x2 + 5x

x2 − 5

Solucion:El dominio es el conjunto R, excepto aquellos numeros realespara los cuales el denominador es 0; la division por 0 noesta definida. Por lo tanto, tenemos que excluir los numerosreales para los cuales x2 − 5 = 0.Esto es, x = ±

Por lo tanto, Domf =R \ {±√

Contenido

Ejemplos:

x2 − 5

Solucion:El dominio es el conjunto R, excepto aquellos numeros realespara los cuales el denominador es 0; la division por 0 noesta definida.

Por lo tanto, tenemos que excluir los numerosreales para los cuales x2 − 5 = 0.Esto es, x = ±

Contenido

Ejemplos:

x2 − 5

Contenido

Ejemplos:

x2 − 5

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Funcion Inyectiva

Definicion: Una funcion f es inyectiva cuando a diferenteselementos del dominio le corresponden distintos elementos delrango, y recıprocamente, a distintos elementos del rango se leasocian diferentes elementos del dominio.

Tambien se le conocecomo funcion uno a uno.

Contenido

Funcion Inyectiva

Definicion: Una funcion f es inyectiva cuando a diferenteselementos del dominio le corresponden distintos elementos delrango, y recıprocamente, a distintos elementos del rango se leasocian diferentes elementos del dominio. Tambien se le conocecomo funcion uno a uno.

Contenido

Funcion Inyectiva

Definicion: Una funcion f es inyectiva cuando a diferenteselementos del dominio le corresponden distintos elementos delrango, y recıprocamente, a distintos elementos del rango se leasocian diferentes elementos del dominio. Tambien se le conocecomo funcion uno a uno.

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Prueba de la Recta Horizontal

Una grafica en plano R2 es la grafica de una funcion inyectiva ouno a uno si cada lınea horizontal corta su grafica comomaximo en un punto.

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Funcion Suprayectiva

Definicion: Una funcion f es suprayectiva si cualquierelemento del codominio es imagen de por lo menos un elementodel dominio de la funcion.

Tambien se le conoce comosobreyectiva o sobre. En una funcion suprayectiva elcodominio y rango son iguales.

Contenido

Definicion: Una funcion f es suprayectiva si cualquierelemento del codominio es imagen de por lo menos un elementodel dominio de la funcion. Tambien se le conoce comosobreyectiva o sobre. En una funcion suprayectiva elcodominio y rango son iguales.

Contenido

Definicion: Una funcion f es suprayectiva si cualquierelemento del codominio es imagen de por lo menos un elementodel dominio de la funcion. Tambien se le conoce comosobreyectiva o sobre. En una funcion suprayectiva elcodominio y rango son iguales.

Contenido

Funcion Biyectiva

Definicion: Una funcion f es biyectiva si cumple con serinyectiva y suprayectiva.

La regla de correspondencia esbiunıvoca.

Contenido

Funcion Biyectiva

Definicion: Una funcion f es biyectiva si cumple con serinyectiva y suprayectiva. La regla de correspondencia esbiunıvoca.

Contenido

Funcion Biyectiva

Definicion: Una funcion f es biyectiva si cumple con serinyectiva y suprayectiva. La regla de correspondencia esbiunıvoca.

Contenido

Nota: Pueden existir funciones que no son inyectivas nisuprayectivas, es decir, en donde la asociacion no sea uno a unoy ademas que no cumplan que el rango y el codominio seaniguales, como por ejemplo:

Contenido

Nota: Pueden existir funciones que no son inyectivas nisuprayectivas, es decir, en donde la asociacion no sea uno a unoy ademas que no cumplan que el rango y el codominio seaniguales, como por ejemplo:

Contenido

Funciones Crecientes, Decrecientes, Constantes

Definicion: Una funcion f es:

creciente en un intervalo I ⊆ Df si

f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2, para todo x1, x2 ∈ I.

decreciente en un intervalo I ⊆ Df si

f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2, para todo x1, x2 ∈ I.

constante en un intervalo I ⊆ Df si

f(x1) = f(x2) para todo x1, x2 ∈ I.

Contenido

Ejemplo: La funcion cuya grafica aparece en la figura es:

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Funciones Pares, Impares

Definicion: Sea f : D −→R, donde D ⊆R tal que siempre quex ∈ Df se tiene que −x ∈ Df . Entonces f es,