Funciones Reales en una Variable

El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia  de la variable x.

En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente.

Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859)

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Un poco de Historia…

FUNCIÓN INYECTIVA

Para determinar si una función es Inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

Definiciones Elementales

FUNCIÓN INYECTIVA

A B

C D

FUNCIÓN SOBREYECTIVA

FUNCIÓN SOBREYECTIVA

A B C

D E F

G H I

FUNCIÓN BIYECTIVA

FUNCIÓN BIYECTIVA

A B C

D E F

G H I

EN GENERAL…

Correspondencia

La noción de correspondencia representa un papel fundamental en el concepto de relación-función.

En nuestras vidas cotidianas frecuentemente hemos tenido experiencia con correspondencias o relaciones.

Ejemplos:

En un almacén a cada articulo le corresponde un precio.

A cada nombre del directorio le corresponde uno o varios números.

A cada estudiante le corresponde un promedio de calificaciones.

La palabra “función” es utilizada en nuestro lenguaje común para expresar que algunos hechos dependen de otros. Así, la idea matemática de función no es un concepto nuevo, sino una formalización de nuestra idea intuitiva

Función

Una función es una relación a la que se le añade restricción.Dados dos conjuntos N y M, se dice que f es una función definida en el conjunto N sí y solo si a cada elemento de N se le asigna uno y sólo un elemento de M.

Se representa por:

El conjunto N recibe indistintamente los nombres de conjunto origen, conjunto inicial, dominio de la función, o campo de existencia de la función, y se representa por Dm(f).

Relación Una relación es una correspondencia entre un conjunto llamado dominio con un segundo conjunto llamado rango de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponde uno o varios elementos del rango o recorrido.

Función

Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la gráfica de la función; Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x).  

El rango es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y; los valores del rango con el eje vertical (el eje y).

Dominio y Rango o Recorrido de una función

Dominio y Recorrido usando Método de Diagrama Sagital

¿Cual es el Dominio y Recorrido de la siguiente función?

4 2f x x

24 2y x

DominioRecorrido

2 0x 2x

2;Dom f

4 2y x

24 2y x 4 2y x

Re 4;c f

Buscar condiciones para la variable Buscar condiciones para la variable x y

Representación Gráfica

Plano CartesianoMétodo de Diagrama Sagital

A IR

B IR

y f x

x

;P x f x

Al trazar una línea recta perpendicular al eje y, ésta debe cortar a la gráfica solamente en un punto para que sea una Función.

Prueba de la Recta Vertical

¿ Cuál es Función ?

Clasificación de las Funciones

Estas funciones las estudiaremos en otro

lapso

Clasificación de las funciones

f x mx b Función Lineal

Función Cuadráticas 2f x ax bx c

Función Racional 1f x

x donde 0x

Función Valor Absoluto f x x

donde0

0 0

0

x si x

x si x

x si x

Función LinealFunción Cuadráticas

Función RacionalFunción Valor Absoluto

FUNCIÓN INVERSA

FUNCIÓN INVERSA

Función inversa

1f

En una función inversa el dominio, será el rango o recorrido y el rango pasa a ser el dominio

EjemploHallar la inversa y grafica de la siguiente función 2 1f x x

Solución Para hallar la inversa de la función debemos despejar la variable

x

2 1y x

1 2y x

1

2

yx

Por lo tanto

1 1

2

xf x

Y ambas grafica en el mismo plano cartesiano son

12 xxf

1

2

xf x

Paridad de una función

Decimos que una función es par siempre que para todo valor de la variable independiente perteneciente al dominio se cumpla que:

Funciones pares

xfxf

Función Impar Decimos que una función es impar siempre que para todo valor de la variable independiente perteneciente al dominio se cumpla que:

f x f x

El carácter par o impar de una función es lo que conocemos como su paridad. Las funciones que no son ni pares, ni impares, carecen de paridad. Ejemplo

Función sin paridad

𝐹 (𝑥 )=𝑥12

Ejemplos 1.- Para cada una de las siguientes relaciones, determine Dominio, Recorrido para que sea función

12 xxf

1

1

xf x

x

2 1f x x

a)

b)

c)

Función Afín o Lineal

El dominio de la función afín, al igual que el rango son todos los números reales

x y

-2 -8

-1 -6

0 -4

1 -2

2 0

Función Cuadrática

V=

Ecuación del Vértice

x y

-2 3

-1 0

0 -1

1 0

2 3

Domy=R

Rgoy=[-1,+ ∞ )

V=V= (0,-1)

a=1b=0c=-1

Función Valor Absoluto

La función valor absoluto asocia a cada número su valor absoluto, es decir su valor prescindiendo del signo.

Ejemplo

DomF(x)= R Rgo F(x)=

Función Racional

Ejemplo