1. funciones reales de variable real. dominio de una función

ANTONIO ANGULO PARRA

FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD

1. Funciones reales de variable real. Dominio de una función.

DOMINIO DE LAS FUNCIONES MÁS CARACTERÍSITICAS:

· Funciones polinómicas: Son funciones del tipo y=f(x)=a0+a1x+…+anxn, es decir, f(x) es un polinomio. El dominio de estas funciones es el conjunto de los números reales, ya que para cualquier valor de x, por ejemplo x=2, la función tiene sentido siendo su imagen y= a0+a12+…+an2n . Luego en estas funciones Dom(f)=R.

· Funciones racionales fraccionarias: Son del tipo y=f(x)=!(")#(")

, siendo P(x) y Q(x)

polinomios. El dominio de la función son todos los número reales, excepto aquellos que anulan el denominador (soluciones de Q(x)=0), ya que no se puede dividir entre cero. Así en estas funciones Dom(f)=R- {x:Q(x)=0}

· Funciones irracionales: Son del tipo f(x)=$g(x)%& ; dos casos: Si n es impar el dominio de f(x) es el mismo que el de g(x), pues las raíces impares de números negativos son valores reales. Así tenemos que Dom(f(x))=Dom(g(x)). Si n es par el dominio de f(x) es el conjunto de números del domino de g(x), tales que g(x)'0, ya que las raíces pares de números negativos no son números reales. Así Dom(f(x))={x*Dom(g(x): g(x)'0}

Definición: Una función real de variable real es una aplicación o correspondencia entre un subconjunto de R, llamado dominio de la función (Dom(f)),y otro subconjunto de R llamado conjunto imagen o recorrido de la función (Im(f)), tal que a cada elemento de Dom(f) le corresponda un único elemento de Im(f). Una forma habitual de expresar las funciones es:

F: R%%%%%%%%%%%%%%%%%%+,,,,-R

x%%%%%%%%%%%%%%%%%%+,,,,-y=f(x)

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· Funciones exponenciales: son funciones del tipo y=ag(x) , su dominio es el mismo que el

dominio del exponente g(x). Así en estas funciones Dom(g(x))=Dom(f(x)).

· Funciones logarítmicas: f(x)=loga(g(x)) el dominio es el conjunto de puntos del dominio de g(x) en los que se cumple g(x)>0, pues no existe solución real para los logaritmos cuando el argumento es negativo o cero. Así en estas funciones Dom(g(x))={x*Dom(f(x)):f(x)>0}

2. Límite de una función. Funciones convergentes.

La idea intuitiva de límite de una función en un punto es fácil de comprender: es el valor hacia el que se aproxima la función cuando la variable independiente, x, se aproxima a dicho punto. O dicho de otro modo, a que valor de coordenada y se aproxima la función cuando la x se aproxima a dicho punto.

Esta definición infumable, viene a decir que, sea cual sea el entorno de y=L, existe un entorno

de x=x0 tal que en este entorno la función cae dentro del entorno de L. Otra definición infumable, pero no os preocupéis porque de lo que se trata es que sepáis hacer los ejercicios y eso seguro que con estos maravillosos apuntes lo vais a conseguir.

Definición: Matemáticamente una función f tiene límite L cuando x tiende a un valor x0, y se denota lim

"."/0(1) =L si cumple:

2345.56

7(5) =L8 9: > 6; <%%= > 6? /x-x0/ @ = ./f(x) - L/ @ :

Definición: Dada una función f(x), se dice que es convergente en x0 si, existe el límite 234

5.567(5) =L.

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LÍMITES LATERALES

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Ejemplo: Hallar el límite, si existe de f(x)=|(x2-1)| cuando x tiende a 1 y a -1

Definición: El límite de una función f(x) en x0 existe si, y sólo si, existen los límites laterales y éstos coinciden:

2345.56A

7(5) = 2345.56B

7(5) =L . 2345.56

7(5) = L

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3. Resolución de indeterminación de Límites.

INDETERMINACIONES TIPO CC

Las situaciones más simples en las que aparece es al calcular los límites infinitos de

fracciones polinómicas. Estas indeterminaciones se resuelven dividiendo el numerador y el denominador por la máxima potencia de x del denominador. De todo ello y para simplificar podemos extraer una conclusión:

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INDETERMINACIONES TIPO 66

Aparece este tipo de límites principalmente en 2 casos diferentes:

· Cociente de funciones polinómicas: Se resuelven descomponiendo factorialmente numerador y denominador (aplicando Ruffini con raíz la del límite, ya que es el valor donde sea anulan los dos polinomios), simplificando los factores comunes.

· Cociente con funciones racionales: Se resuelven multiplicando numerador y denominado por la expresión conjugada de la que lleva raíz y aplicando Ruffini:

INDETERMINACIONES TIPO D6

Este límite puede ser +E, -E o no existir por ser los límites laterales diferentes (uno +E y

otro -E). Se calcula a partir de los límites laterales:

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INDETERMINACIONES TIPO EF %E

En estos límites domina la función que crezca tienda a E más rápido. Las indeterminaciones de este tipo con funciones irracionales que tiendan a +E igual de rápido se resuelven multiplicando y dividiendo la función por el conjugado:

INDETERMINACIONES TIPO 1 ∞

Se calcula teniendo en cuenta la siguiente fórmula:

INDETERMINACIONES TIPO 0 ∞ e ∞ 0

Estas indeterminaciones se resuelven aplicando logaritmos y transformándolas de este forma (aplicando la regla del logaritmo log(ab)=b·log(a)) en los anteriores límites:

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∞

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4. Asíntotas de una función.

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y = f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

· Asíntotas verticales: Son paralelas al eje OY. Son de la forma r º x = a , donde a es un nº que cumple que el

2345.G

7(5) =±E%es algún tipo de infinito: También vale cuando tendemos a a por la izquierda o por la

derecha. Estos nº a suelen ser los puntos extremos de los intervalos del dominio.

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.- Calcula las AV (asíntotas verticales) de la función 1

)(2-

=x

xxf

Primero el dominio de la función: { }1,1)( --= RfDom posibles asíntotas verticales son x = 1 ó x =

Veamos que pasa con la función alrededor de esos puntos, calculando los límites:

En x = 1, hacemos los laterales pues aparece 0 en el denominador y nos interesa conocer el signo de la

aproximación a 0.

121 -+

® x

xlímx

=+0

1= ¥+ à Al acercarnos por la derecha al 1, la función tiende a ¥+

función tiene una asíntota vertical por la derecha en x = 1

121 --

® x

xlímx

=-0

1= ¥- à Al acercarnos por la izquierda al 1, la función tiende a ¥-

función tiene una asíntota vertical por la izquierda en x = 1.

De manera general, decimos que la recta r: x = 1 es una asíntota vertical.

En x = -1, hacemos los laterales pues aparece 0 en el denominador y nos interesa conocer el signo de la

aproximación a 0.

121 -+

-® x

xlím

x=

-

-

0

1= ¥+ à Al acercarnos por la derecha al -1, la función tiende a ¥+

función tiene una asíntota vertical por la derecha en x = -1

121 --

-® x

xlím

x=

+

-

0

1= ¥- à Al acercarnos por la izquierda al 1, la función tiende a ¥-

función tiene una asíntota vertical por la izquierda en x = -1.

De manera general, decimos que la recta r: x = -1 es una asíntota vertical.



· Asíntota horizontal

Son rectas paralelas al eje OX, o sea, de la forma r: y = a. Ese nº a se calcula mediante los límites en el +∞y en el -∞ . Es decir, calcular 234

5.AC7(5) y 234

5.BC7(5) .Como máximo una función

sólo puede tener dos A.H.

· Asíntota oblicua

Son aquellas que son inclinadas (pendiente distinta de 0). Serán rectas de la forma r:

y=mx+n. Si una función y = f(x) tiene asíntotas horizontales no puede tener asíntotas oblicuas en el correspondiente infinito.

Se calculan de la siguiente forma:

.- Calcular las asíntotas verticales de

ïïî

ïïí

ì

>

-

-

=

<+

=

22

121

21

)(

xsix

xsis

xsix

xf

En este caso, también tenemos que RfDom =)(

-¥=-

=-

-

+®

+ 0

1

2

1

2 xlímx

. Por la derecha hay A.V., que es r : x = 2

312

=+-

®

xlímx

àNO hay A.V. por la izquierda

Calcular las asíntotas horizontales de la función xx

xxf

+

--=

2

2

2

14)(

En esta función su dominio es þýü

îíì

--=2

1,0)( RfDom , que no influye

2

2

4

2

1422

-=-

=+

--

+¥® xx

xlímx

à Como el límite existe, tenemos que la recta r: y = -2 es una asíntota

horizontal en ¥+

2

2

4

2

142

2

-=-

=

+

--

-¥® xx

xlímx

à Como el límite existe, tenemos que la recta r: y = -

.

Como es la misma, podemos decir que la recta r: y = -2 es la asíntota horizontal

2 es una asíntota

¥

-

En ¥+ En ¥-

x

xflímmx

)(

+¥®

= x

xflímmx

)(

-¥®

=

[ ]mxxflímnx

-=+¥®

)( [ ]mxxflímnx

-=-¥®

)(



.- Calcular las asíntotas oblicuas de la función xx

xxxf

5

1)(

2

3

-

+-=

Tenemos que { }5,0)( -= RfDom , que no nos influye en el cálculo de las A. O.

15

1

)5·(

15

1

23

3

2

32

3

=-

+-=

-

+-=

-

+-

=+¥®+¥®+¥® xx

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xxx

xxlím

x

xx

xx

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--+-=ú

û

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-

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+¥®+¥® xx

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xx

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xx 5

)5(1

5

12

233

2

3

55

152

2

=úû

ùêë

é

-

+-=

+¥® xx

xxlímx

La A.O. en ¥+ es: 5: += xyr

Su gráfica es así:



5. Definición de continuidad.

Veámoselo con un ejemplo:

Definición: Una función f(x) es continua en un punto x0 si en dicho punto se cumplen las siguientes tres condiciones: 1. Existe 234

5.567(5) , para ello tiene que existir el límite por la izquierda y por la

derecha. 2. La función definida en x0, es decir x*Dom(f(x)) 3. Los dos valores anteriores coinciden: 234

5.567(5) = f(x0))

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�+ "3;�� +1��;

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�+ "35�� +1��5

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��"��.��

!+ "3�� +1��

��→

��"��"��.��,��

�+ "3�� −∞=

→

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��∉��1�1"++�



6. Tipos de discontinuidades.

Existen dos tipos de discontinuidades: a) Discontinuidad evitable b) Discontinuidad no evitable

Discontinuidad evitable: Una función f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto x0 si se cumple las siguientes condiciones:

1. El límite de la función en x0 existe, 2. El límite no coincide con f(x0) o bien la función no está definida en x0.

Discontinuidad no evitable: Es aquella en la que el límite en el punto o no existe o es infinito. Pueden ser a su vez de 2 tipos:

1) Salto finito en x0: los límites laterales no coinciden 2345.56A

7(5) H 2345.56B

7(5)

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2) Salto infinito en x0: cuando los dos límites laterales en x0 o al menos uno de ellos es +∞ o -∞.

7. Teorema de conservación del signo.

Este teorema no suele preguntarse mucho, pero basta que yo lo diga para que caiga en algún examen, así que os lo dejo por si acaso (no hace falta que me deis las gracias).

8. Teorema de Bolzano.

Este teorema es hiper-mega-giga-tera importante de cara a los exámenes de evau, ebau, paeg, selectividad o como quiera el/la lumbreras de turno llamarlo según la época en que estemos.

El teorema de Bolzano nos asegura al menos una valor c tal que f(c)=0, pero como vemos puede ocurrir que este valor de x no sea único. Para asegurar que sólo es único debemos además de aplicar Bolzano ver que la función en el intervalo (a,b) es siempre creciente o decreciente o recurrir al método de reducción al absurdo.

Ejemplo: Encontrar un intervalo donde la función f(x)=5I%A%5JBK

5BL corte al eje x, es decir

f(x0)=0

Si una función f(x) es continua en el punto x0 de manera que f(x0)H0, se cumple que en un entorno del punto la función conserva el signo, Esto es si f(x0)>0 se cumple que en un entorno de x0 la función positiva, y si f(x0)<0 entonces en un entorno de x0 la función es negativa.

Si una función f(x) es continua en un intervalo [a,b] tal que f(a) y f(b) tienen distinto signo (f(a)·f(b)<0), entonces existe al menos un punto c*(a,b) tal que f(c)=0.

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9. Teorema de Darboux.

Este teorema es una aplicación del teorema de Bolzano, luego es bastante menos giga tera importantes que el anterior, aun así vamos a verlo con un ejemplo.

Ejemplo: Decir un intervalo de x donde la función f(x)=x2-x+3 valga 5.

Si f(x) es una función continua en un intervalo [a,b], se cumple que para todo valor M*[f(a), f(b)] existe c*(a,b) tal que f(c)=M.

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1. funciones reales de variable real. dominio de una función

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