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Funciones Reales en una Variable
Contenidos Concepto función Grafica de una función Dominio y Recorrido de una función Clasificación de la funciones Función Inversa Paridad de las Funciones Operaciones con funciones Ejemplos
La palabra “función” es utilizada en nuestro lenguaje común para expresar que algunos hechos dependen de otros. Así, la idea matemática de función no es un concepto nuevo, sino una formalización de nuestra idea intuitiva
Concepto de función
Definición de Función
Donde
xfyx
IRBIRAf
:
Una función de un conjunto A no vacío en un conjunto B no vacío, es una relación que se establece entre ambos conjuntos de tal forma que a todo elemento de A le corresponde un único de B . En símbolos matemáticos
: Variable Independientex : ariable Dependientey f x V
!x A IR y B IR y f x
En forma de esquema
es la imagen de f x x : es la preimagen de x f x
¿ Cuál es Función ?
A B
B
A B
A BA
¿ Cuál es Función ?
Menú
Representación Grafica
Plano CartesianoMétodo de Óvalos
A IR
B IR
y f x
x
;P x f x
Menú
Dominio y Recorrido
Dominio Sea A y B dos conjuntos no vacío, y f una función de A en B, a un sub conjunto del conjunto A se llama Dominio de la función a
( )x A y B f x y
Y lo denotaremos por Dom f
Dominio y Recorrido
Recorrido Sea A y B dos conjuntos no vacío, y f una función de A en B, a un sub conjunto del conjunto B se llama recorrido de la función a
( )y B x A f x y
Y lo denotaremos por Rec f
Dominio y Recorrido en el plano cartesiano
Dominio y Recorrido usando Método de Óvalos
¿Cual es el Dominio y Recorrido de la siguiente función?
4 2f x x
DominioRecorrido
2 0x 2x
2;Dom f
4 2y x
24 2y x 4 2y x
24 2y x Re 4;c f
Buscar condiciones para la variable Buscar condiciones para la variable x y
Y su grafica es
Menú
Tabla de Evaluación
Clasificación de las funciones
Función Lineal
Función Cuadráticas
Función Cúbica
Función Potencia
f x mx b
2f x ax bx c
3f x ax
cf x x
Función Raíz f x x donde 0x
Función Reciproca 1f x
x donde 0x
Funciones Racionales
11 1 0
11 1 0
n nn nm m
m m
p x a x a x a x af x
q x b x b x b x b
Funciones Irracionales f x mx b
Función Valor Absoluto f x x
donde0
0 0
0
x si x
x si x
x si x
Función Exponenciales
Función Logarítmicas
xf x b
l gbf x o x
Funciones Trigonométricas
f x Sen x
f x Cos x
f x Tang x
Funciones Hiperbólicas
2
x xe ef x Senh x
2
x xe ef x Cosh x
x x
x x
e ef x Tangh x
e e
Menú
Ver Graficas
Propiedades de las funciones
Se dice que es una Función Inyectiva si
Función Inyectiva (1-1)
Función Epiyectiva (sobre)
Función Biyectiva
fDombababfaf ,
IRBIRAf :
Se dice que
IRBIRAf :
es una Función Sobre si Bfc Re
Se dice que
IRBIRAf : es una Función Biyectiva si
es inyectiva y sobre a la vez
Función Inversa
Sea :f A B una función biyectiva, entonces la función inversa
de
y
1f f es una función biyectiva tal que
1 :f B A 1f y x y f x
Gráficamente podemos representar estas funciones de la manera siguiente:
Función inversa
1f
Menú
Ejemplo
Hallar la inversa y grafica de la siguiente función 2 1f x x
SoluciónPara hallar la inversa de la función debemos despejar la variable
x2 1y x 1 2y x 1
2
yx
Por lo tanto
1 1
2
xf x
Y ambas grafica en el mismo plano cartesiano son
12 xxf
1
2
xf x
Menú
Paridad de una función
Decimos que una función es par siempre que para todo valor de la variable independiente perteneciente al dominio se cumpla que:
Funciones pares
xfxf
Ejemplo 42 43 xxxf
a) ¿es par o impar?.b) Utilizando Winplot grafique
Dada la función
SoluciónAnalizaremos si la función es par, para ello debe cumplir que xfxf
Para este caso 2 43 4f x x x
2 43 4x x f x
Por lo tanto esta función es par
Función Impar
Decimos que una función es impar siempre que para todo valor de la variable independiente perteneciente al dominio se cumpla que:
f x f x
El carácter par o impar de una función es lo que conocemos como su paridad. Las funciones que no son ni pares, ni impares, carecen de paridad.
Función sin paridad
Ejemplo 3 1
2g x x x
a) ¿es par o impar?.b) Utilizando Winplot grafique
Dada la función
SoluciónAnalizaremos si la función es impar, para ello debe cumplir que f x f x
Para este caso
3 1
2g x x x
g x
Por lo tanto esta función es impar
3 1
2x x
3 1
2x x
Menú
Operaciones con funciones
Suma de f y g xgxfxgf
f g x f x g x
f g x f x g x
0f xf
x g xg g x
Sean :f A C :g B D
Resta de f y g
Producto de f y g
Cociente de f y g
dos funciones tal que
Dom f Dom g y
Función Compuesta
Sean :f A C y :g B D funciones tales que ,f A B
Entonces se llama función compuesta de g y f y lo denotamos por
g f x g f x A la función definida por
para cada valor de A,
tal que su imagen este en el conjunto B
Gráficamente podemos expresar la función compuesta de g y f de la siguiente manera
Composición de de f y g g f x g f x
Composición de una Función con su Inversa
De la representación anterior se puede notar que:
xxff 1 1f f x x o
Considere las siguientes funciones reales definidas por
5 3f x x 2 1g x x
Determine 1g f x
Ejemplo
Solución
Por hallar la inversa de 5 3f x x Para este caso la función es biyectiva por lo tanto existe su inversa, la cual es
5 3y x 5
3
yx
1 5
3
xf x
En donde su Dominio es los números reales
Además el dominio d la función g x También son los números
reales
Por lo tanto 1Dom g f IR
Por lo tanto 1 1g f x g f x 2
5 51
3 3
x xg
Por lo tanto 2
1 51
3
xg f x
Ejemplos 1.- Para cada una de las siguientes relaciones, determine Dominio, Recorrido para que sea función
12 xxf
1
1
xf x
x
2 1f x x
a)
b)
c)
2.- Para cada una de las siguientes relaciones, determine Dominio para que sea función
21
1
xx
xxf
2
1
xf x
x
a)
b)
3 5 1
( ) 2 1 1
3 1 3
x si x
f x si x
x si x
3.- Trace la grafica de la siguiente función
a)
b)
28
202
065
)(
2 xsix
xsi
xsix
xf
4.- Considere las siguientes funciones reales definidas por
1
1
x
xf 1
1
xg x
x
Determine , , , yg f x f g x f f x g g x
Además explicite sus dominio
5.- Usando alguna aplicación grafica determine Dominio, Recorrido
23 xxf
2
4
4h x
x
1f x Sen
x
log 1f x x
123
1
x
xxf
2 4
xh x
x
a)
b)
c)
d)
e)
f)
6.- Sean la funciones definidas por
1 xxf 2g x x
Hallar dominio de cada una de las siguientes funciones.
xgxfxgf f g x f x g x
f g x f x g x 0f xf
x g xg g x
Además presente su grafica en caso que sea posible
7.- Para cada uno de los pares de funciones determine
22 xxf 2g x x
g f x
22 6f x x 7 2g x x
2 1f x x x 1g x x
2
1f x
x
2 3g x x
1
1
xf x
x
1
1
xg x
x
Terminar
Menú
a)
b)
c)
d)
e)
Función Lineal Función Cuadráticas Función Cúbica
Función Potencia Función Raíz Función Reciproca
Función Valor Absoluto Función Exponenciales Función Logarítmicas
Funciones Trigonométricas
f x Sen x f x Cos x f x Tang x
Menú
f x Senh x f x Cosh x f x Tangh x
Funciones Hiperbólicas