funciones racionales€¦ · una función racional es una función que se puede expresar de la...
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Funciones racionales
Una función racional es una función que se
puede expresar de la forma
)(
)()(
xg
xfxp
donde f(x) y g(x) son funciones
polinómicas.
La función racional
Ejemplos:
• En el caso de las funciones racionales, debemos excluir del conjunto de los números reales cualquier valor que haceque el denominador sea igual a cero.
Dominio de una función racional
Dominio de una función racional
Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
.14
2)( de dominio el Determinar )1
xxf
014 x
Por lo tanto el dominio es, el conjunto de los reales excepto x = ¼.
,4
1 cuando x
,,- 41
41
Dominio de una función racional
.4
5)( de dominio el Determinar )2
2
x
xxf
1
5)( )4
2
x
xxf
Dominio de una función racional
Interceptos• Interceptos en x
o para una función racional, el intercepto en x ocurre en el valor de x que hace que el numerador de la función sea igual a cero. [f(x)=0]
o la cantidad de interceptos en x depende del grado del numerador.
o 0 ≤ # interceptos en x ≤ grado del numerador
Interceptos
• Intercepto en y
oOcurre en el valor de la función cuando x = 0. Se puede encontrar evaluando la función en cero. [f(0)]
oSi x = 0 está en el dominio de f(x), entonces existe un sólo intercepto en y.
oSi x = 0 NO está en el dominio de f(x), NO existe el intercepto en y.
Interceptos
• Hallar los interceptos de cada función.
2
1)()1(
xxf
(a) intercepto – y: b) intercepto - x
Hallar los interceptos de cada función.
(a) intercepto – y: b) intercepto - x
x
xxf
3
2)( )2
Interceptos• Hallar los interceptos de cada función.
(a) intercepto – y: b) intercepto - x
Soluciones de funciones racionales
Un par ordenado (a,b) es una solución de una
función f(x) si f(a)=b. Dicho de otra forma, si al
evaluar f en x=a el resultado es b.
Ej. Determinar si (6, 1) es una solución de5
12)(
x
xxf
111
11
11
112
5)6(
1)6(2)6(
f
(6, 1) SI es una solución de la función.
Ej. Determinar si (-2, -16) es una solución de
Soluciones de funciones racionales
Ej. Determinar el valor de a tal que (a, 4) es una
solución de
x
xxf
3
25)(
Soluciones de funciones racionales
Consideremos la función racional: 2
1)(
xxf
Hasta ahora sabemos que:
•El dominio de f(x) es D:
•NO tiene intercepto en x.
•El intercepto en y es y = - ½.
2
No podemos trazar la gráfica correctamente con
un sólo punto.
Gráficas de funciones racionales
Aunque x=2 NO pertenece al
dominio podemos observar lo
que ocurre con valores que
están muy cerca de x=2 (un
poco mayor o un poco menor).
2
1)(
xxf
Gráficas de funciones racionales
Se observa que:
• Cuando 𝑥 → 2−, 𝑓 𝑥 → −∞• Cuando 𝑥 → 2+, 𝑓 𝑥 → ∞
• Los puntos se acercan a esta línea vertical entrecortada, x=2, por ambos lados, pero extendiéndose en direcciones opuestas.
• La línea vertical, x=2, separa la gráfica en dos partes desconectadas.
• x=2 se llama una asíntota vertical
Veamos que ocurre con
los valores de la
gráfica a medida que x
se hace muy grande o
muy pequeño.
(Comportamiento en
los extremos)
2
1)(
xxf
, Cuando x 0y
, Cuando x 0y
A medida que los valores
de x se hacen más
negativos, los valores de
la función (y) se acercan
más y más a cero.
A medida que los
valores de x se hacen
más positivos, los
valores de la función (y)
se acercan más y más a
cero.
2
1)(
xxf
, Cuando x 0y
, Cuando x 0y
En este caso, la
línea y=0 se llama
una asíntota
horizontal, porque
los valores de la
función se quedan
bien cerca de esta
línea a medida que
x aumenta o
disminuye
grandemente.
2
1)(
xxf
Hallar las asíntotas de
funciones racionales
Una función racional tiene una asíntota verticalcuando el denominador de la funciónsimplificada es igual a 0.
Asíntotas Verticales
Hallar la ecuación de cada
asíntota vertical si existe.
x
xxf
22
52 .1
Calculamos los valores de x que hacen el denominador igual a cero:2 + 2x = 0 x = -1
La recta x = -1 es la única asíntotavertical de la función.
Asíntotas horizontalesLas asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes condiciones:
1. El grado del numerador es menor que el
grado del denominador. En este caso, la
asíntota es la recta horizontal y = 0.
16
1)(
153
3)(.
2
x
xxg
xxfEj El eje de x (y=0) es la
asíntota horizontal de
las gráficas de f(x) y
g(x)
Asíntotas horizontales2. El grado del numerador es igual al grado del
denominador. En este caso, la asíntota es la recta
horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente
principal del numerador y b es el del
denominador.
2
2
16
14)(
153
19)(.
x
xxg
x
xxfEj
La asíntota horizontal
de la gráfica de
f(x) es
g(x) es
Asíntotas horizontales
3. Cuando el grado del numerador es mayor
que el grado del denominador la función NO
tiene asíntota horizontal.
1
16)(
153
745)(.
2
3
x
xxg
x
xxxfEj Las gráficas de f(x) y
g(x) NO tienen
asíntota horizontal
Gráficas de funciones racionales
Para trazar gráficas de funciones racionales podemos seguir los siguientes pasos:
•Determinar si existen asíntotas verticales.
•Determinar si existe el asíntota horizontal.
•Determinar si existen interceptos.
•Determinar comportamiento alrededor de las
asíntotas. Tal vez se necesiten unos puntos
adicionales.
•Unir puntos con curvas suaves que se quedan
alrededor de las asíntotas.
x
xxf
22
52 .1
El grado del numerador y del denominador es 1.
La asíntota horizontal de la f(x) es la recta
2
5
n
n
b
a
25y
Hallar la ecuación de la asíntota horizontal si existe.
Trazar la gráfica de:
Intercepto - y:
Intercepto - x
Asíntota vertical:
Ya determinamos que la recta x = -1 es la únicaasíntota vertical de la función.
Asíntota horizontal:
x
xxf
22
52
Ya determinamos que la asíntota horizontal es la recta 2
5y
Gráficas de funciones racionales
Los interceptos
quedan en un
mismo pedazo
de la gráfica.
Podemos unir
los dos puntos
con una curva
suave que se
acerca a las
asíntotas.
x
xxf
22
52
Gráficas de funciones racionalesEvaluamos la función
en algunos otros puntos
para identificar la otra
parte de la gráfica.
x
xxf
22
52
2f
Gráficas de funciones racionales
Trazar la gráfica de:
Debemos simplicar la función primero.
9
121022
2
x
xxxf
FIN
Ejemplos adicionales