Calculo DiferencialUnidad 2 – Funciones

1. Concepto de variable, función, dominio, conocimiento y recorrido de una función.

Leslie Márquez

Glenda Cardoza Ari Silva

Javier Martínez Enrique Guerrero

Aldo Daniel

Variable• En matemáticas y en lógica, una variable es un

símbolo constituyente de un predicado, fórmula, algoritmo o de una proposición. El término «variable» se utiliza aun fuera del ámbito matemático para designar una cantidad que tiene las condiciones necesarias para que suceda o se realice aquello que se indica y de tomar distintos valores numéricos dentro de un conjunto de números especificados.

Variables independientes y variables dependientes

• En cálculo, álgebra y geometría analítica, suele hacerse la distinción entre variables independientes y variables dependientes.

• En una expresión matemática, por ejemplo una función , el símbolo x representa a la variable independiente, y el símbolo Y representa a la variable dependiente. Se define variable independiente como un símbolo que toma diversos valores numéricos dentro de un conjunto de números específicos y que modifica el resultado o valor de la variable dependiente.

FunciónEn matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

• En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.

• Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

• A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16• Los números de la derecha son los cuadrados de los de la

izquierda.La regla es entonces "elevar al cuadrado": 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 x --------> x2.

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".Usualmente se emplean dos notaciones: x --------> x2 o f(x) = x2 .Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9. Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc.

Dominio• El dominio de una función es el conjunto de

números que se introducen en la función. El grupo de números que salen de la función es el "rango" de esa función.

• El dominio de una función debe especificarse para producir los resultados deseados.

• Todos los números que se ajustan o resuelven la posición x se consideran como el dominio de esa función.

El dominio de una función polinómica es .

f(x)= x2 − 5x + 6 D=R

Dominio de la función polinómica

Dominio de la función racional

• El dominio es menos los valores que anulan al denominador.

• El dominio es el dominio de la función radicando.

Dominio de la función radical de índice par

• El dominio está formado por todos los valores del dominio del radicando que hacen que éste sea mayor o igual que cero.

Dominio de la función logarítmica

• El dominio está formado por todos los valores que hacen que la función que aparece dentro del logaritmo sea mayor que cero.

Conocimiento de una Función

• Las referencias más antiguas al concepto de función se encuentran en algunos escritos de astrónomos babilonios. En la Edad Media el estudio de funciones aparece ligado al concepto de movimiento, siendo uno de los primeros en realizarlo Nicolás de Oresme (1323-1392) el cuál representó en unos ejes coordenados gráficos relacionados con el cambio de la velocidad respecto al tiempo

• Tres siglos más tarde, Galileo, en 1630, estudió el movimiento desde un punto de vista cuantitativo, justificándolo experimentalmente y estableciendo a partir de ello, leyes y relaciones entre magnitudes. A partir de Galileo, el concepto de función fue evolucionando hasta que a comienzos del siglo XIX, en 1837, Dirichlet formuló la definición de función como relación entre dos variables, que es la que actualmente aceptamos y manejamos.

Recorrido de una Función• Recorrido: Llamado también imagen,

codominio o rango es el conjunto de valores que toma la variable dependiente (y).

• El recorrido es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, y, esto es el conjunto de las imágenes. Se representa como Im f.

• Cuando nos hemos referido al dominio hemos dicho: “conjunto de valores que puede tomar x…” ¿por qué decimos puede?

• Porque no todos los valores son válidos, por ejemplo, si la función es:

vemos que si a x le das el valor cero, te queda:

• El valor infinito no lo podemos representar si no es con un signo o una palabra.

• El infinito no es un número, es un concepto, una idea, luego, no nos vale como valor numérico de y.

• Otro caso sería el de la función:

• A x no le podemos dar el valor de un número negativo, por ejemplo:

Porque los números negativos no tienen raíz cuadrada. (Ningún número multiplicado por sí mismo -incluido su signo- puede darte un valor negativo).

Actividades

¿Cuáles son los dos tipos de variables?

¿A quien se le denomina dominio

y codominio?

¿Una función es una

relación entre

dos variabl

es?

¿Cómo se le

puede llamar

al Recorrido de una

Función?

POR FIN… EL FIN.