funciones reales de variable real dirección de formación básica
TRANSCRIPT
Funciones reales de variable real
Dirección de Formación Básica
Funciones reales de variable real
Habilidades a desarrollar:
Al terminar el presente tema, usted estará en la capacidad de:
1) Identificar variables dependientes e independientes.
2) Determinar analíticamente el dominio y el rango de una función
a partir de grafica de funciones.
3) Reconocer gráficamente los intervalos en donde una función es
creciente, decreciente o constante.
4) Reconocer gráficamente los intervalos en donde una función es
positiva o negativa.
Funciones reales de variable real
Problema motivador.
Reflexiona y contesta las situaciones planteadas
1) Cuando hablas por celular, ¿de qué depende el costo de esa
llamada?____________________________
2) Un vendedor de autos tiene un sueldo fijo de S/. 2000 por
quincena, y recibe una comisión por cada auto vendido. ¿De
qué dependerá su sueldo en la próxima quincena?
______________________________
Funciones reales de variable real
Decimos que la cantidad está en FUNCIÓN de la cantidad , si se
cumple que cada valor de se relaciona con un ÚNICO valor de .
A la cantidad se le llama variable dependiente y a la cantidad se le
llama variable independiente.
La forma de denotar esta relación funcional es: , que se lee como “
está en función de ” o “ depende de ”.
Funciones reales de variable real
Cómo comprobar si una relación entre dos cantidades o variables
es una función
Para verificar si existe una relación funcional entre dos cantidades o
variables podemos representar la situación mediante diagramas, de
la siguiente manera
Variable independiente Variable dependiente𝑥 𝑦 Debemos de
analizar los valores de y de , y comprobar que se cumple que cada valor de se relaciona con un único valor de
Funciones reales de variable real
Ejemplo 1.
La relación que va del conjunto hacia el conjunto
𝐴 𝐵 En este caso si es función, ya que a cada elemento del conjunto se relaciona con un único elemento del conjunto .
𝑓
¿es una función?
Funciones reales de variable real
Ejemplo 2.
La relación que va del conjunto hacia el conjunto
𝐴 𝐵
0
En este caso no es función, ya que existe al menos un elemento del conjunto que se relaciona con dos elementos del conjunto .
𝑓
¿es una función?
Funciones reales de variable real
Prueba de la recta vertical
Otra forma de determinar si una relación es una función, es por
medio de la regla de la recta vertical, la cual consiste en trazar
líneas verticales en la grafica de la relación. Si al trazar dichas líneas,
todas cortan a la grafica de la función es un solo punto, entonces sí
es un función, ya que cada valor de la variable independiente se
relaciona con un único valor de la variable dependiente. Si al menos
una línea vertical corta la gráfica en 2 o más puntos, entonces no
es una función, ya que la variable independiente se estaría
relacionando con más de un valor de la variable dependiente.
Funciones reales de variable real
Ejemplo 3
Indica si la relación dada mediante la siguiente grafica corresponde
a una función.
Resolución.
Si es función, ya que
cualquier recta vertical
corta a la gráfica de la
relación en un solo punto.
Funciones reales de variable real
Ejemplo 4
Indica si la relación dada mediante la siguiente grafica corresponde
a una función.
Resolución.
No es función, ya que
existe al menos una recta
vertical que corta a la
gráfica de la relación en
más de un punto.
Funciones reales de variable real
Dominio y rango de una función
El dominio y rango de una función son conceptos relacionados con
sus variables, veamos cómo se definen:
Dominio: Es el conjunto de todos los posibles valores de la
variable independiente.
Rango o imagen: Es el conjunto de valores correspondientes a
la variable dependiente.
Funciones reales de variable real
Ejemplo 5
Encuentre el dominio de las siguientes funciones
a) ResoluciónNote que sin importar el valor real que asuma la variable , el valor siempre existirá.
b)
ResoluciónObserve que el denominador tiene que ser distinto de cero, es decir: .
Por tanto,
Por tanto,
Funciones reales de variable real
Ejemplo 6
A partir de la gráfica de la función , determine su dominio y rango.
Resolución.
Dominio:
Resolución.
Dominio:
Rango:
Funciones reales de variable real
Crecimiento de una funciónDiremos que una función es creciente cuando :
Por ejemplo, la función 3 es creciente en su dominio.
Analíticamente:. Sea , . Debemos de demostrar que .
En efecto: sabemos que
Por tanto, es creciente en su dominio.
Funciones reales de variable real
Decrecimiento de una funciónDiremos que una función es decreciente cuando :
Por ejemplo, la función es decreciente en su dominio.
Analíticamente:. Sea , . Debemos de demostrar que .
En efecto: sabemos que
Por tanto, es decreciente en su dominio.
Funciones reales de variable real
NotaSi una función no es creciente ni decreciente en un intervalo, entonces la función
es constante en dicho intervalo.
Por ejemplo, la función es no crece ni decreciente en su dominio.
En particular, si la función es constante en un intervalo, entonces su grafica es una recta horizontal para dicho intervalo.
Funciones reales de variable real
Ejemplo 7A partir de la gráfica de la función , determine los intervalos de crecimiento y
decrecimiento.
Es creciente en el intervalo
Es decreciente en el intervalo y
Resolución
Funciones reales de variable real
Función positivaDiremos que una función es positiva cuando para cualquier se cumple que .
Por ejemplo, de la grafica de la función
se observa que es
positiva en los intervalos
y
Si es positiva en el
intervalo , entonces su
grafica está por encima
del eje .
Funciones reales de variable real
Función negativaDiremos que una función es negativa cuando para cualquier se cumple que .
Por ejemplo, de la grafica de la función
se observa que es
negativa en los intervalos
Si es negativa en el
intervalo , entonces su
grafica está por debajo
del eje .
Conclusiones1) El dominio de una función es el “conjunto más
grande” de los valores de la variable independiente de tal manera que la función exista.
2) Si conforme el aumenta se observa que el también aumenta, entonces la función es creciente.
3) Si conforme el aumenta se observa que el disminuye, entonces la función es decreciente.
4) Si la gráfica de una función esta por encima del eje , entonces es positiva.
5) Si la gráfica de una función esta por debajo del eje , entonces es negativa.
Función real con variable real.
Bibliografía• [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración.
Ed 5. México, D.F. Pearson. • [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y
Economía. Ed 12. Pearson Educación.
Función real de variable real