Laboratorio de Física 2

Experiencia de Laboratorio #2

“Ondas Estacionarias de una Cuerda”

1. OBJETIVOS:

Estudiar y analizar las características de las ondas estacionarias producidas en una cuerda.

Relacionar la velocidad de la onda, la densidad lineal de la cuerda, la frecuencia de oscilación (o longitud de onda) y la tensión de la cuerda.

Determinar experimentalmente la frecuencia de vibración de los armónicos de diferentes órdenes.

2. FUNDAMENTO TEÓRICO:

Onda estacionaria

Consideremos una onda armónica cualquiera, que se propaga de derecha a izquierda en la dirección del eje x. la onda incide perpendicularmente en una pared perfectamente reflectante de forma que da a lugar a una onda reflejada, que tendrá la misma amplitud, la misma frecuencia y el mismo número de ondas que la onda incidente pero que se propagará de izquierda a derecha en la dirección del eje x.A la superposición de estas dos ondas se conoce como onda estacionaria. En la cual existen puntos en los que la oscilación resultante es máxima, distantes entre ellos media longitud de onda, que se denominan vientres o antinodos, que se alternan con otros en los que la vibración es nula, llamados nodos.

Figura N°1: Onda Estacionaria

Frecuencia de una onda estacionaria

Es el número de oscilaciones por unidad de tiempo. En el caso de ondas estacionarias en cuerdas la frecuencia tiene relación directa con la tensión que se le ejerce a la cuerda y relación inversa con la longitud de la cuerda y la densidad lineal de la masa.

Velocidad de la onda en una cuerda tensionada

La relación que existe entre la velocidad, tensión y densidad lineal en una cuerda tensionada es la siguiente:

V=√ Tμ

(1)

DondeV : Velocidad de la ondaT : Tensión ejercida sobre la cuerdaμ: Densidad lineal de la cuerda

La densidad lineal de la cuerda se halla dividiendo su masa (m) sobre su longitud (L).

μ=mL

(2)

La relación que existe entre la velocidad, longitud de onda y su frecuencia es:

V= λv (3)

Donde

λ: Longitud de ondav: Frecuencia de la onda

Formación de nodos y antinodos sobre una cuerda tensionada.

Sea n el número de antinodos formados se deduce de la Figura N°2 lo siguiente:

La distancia entre dos nodos consecutivos es λ2

La longitud de la cuerda, longitud de onda y el número de antinodos están relacionados con la siguiente ecuación

λ2= L

n

Luego despejando λ:

λ=2Ln

(4 )

Sustituyendo λ de la ecuación (3) en la ecuación (4)

Figura N°2: Nodos y antinodos de una onda estacionaria sobre una cuerda.

V=2 Ln

v (5)

Reemplazando la ecuación (5) en la ecuación (1)

2Ln

v=√ Tμ

Despejando la frecuencia v:

v= n2L √ T

μ(6)

3. PARTE EXPERIMENTAL

Materiales:

Un generador de funciones Motor de 3 V (vibrador) Un medidor de frecuencia (multímetro ) Una wincha Masas Un porta pesas Un clamp con polea Una cuerda

Procedimiento

A. Manteniendo la masa constante (tensión constante)

Previa medida de la longitud total de la cuerda (LT) y su masa (mT) se obtuvo su densidad lineal (μ)

μ=mT

LT

=3.08×10−4kgm

Se procedió a instalar el equipo de la siguiente manera:

Se instaló la polea en un extremo de la mesa del laboratorio, se puso el generador de ondas a una distancia adecuada (dejando una marca para no modificar la distancia), luego se conectó el vibrador al generador de ondas, en un extremo de la cuerda se puso el portamasas y el otro extremo se ató al vibrador

Se prendió el generador de ondas y modificando la frecuencia de éste se procedió a encontrar los armónicos en la cuerda.

Una vez hallado el armónico se procedió a medirla frecuencia del generador de ondas con el multímetro

Se anotó los resultados de la experiencia en la siguiente tabla Los valores de la velocidad se obtuvieron con la ecuación (1)

Figura N°3: sistema experimental

µ (kg/m) 0.0003L (m) 1.74# de

antinodos 𝜆 (m) v (s−1) V (m/s) λ2(m2)

2 1.74 25.55 44.46 3.03

3 1.16 41.30 47.90 1.35

4 0.87 58.40 50.81 0.76

5 0.70 76.80 53.76 0.49

6 0.58 99.00 57.42 0.34

7 0.50 108.30 54.15 0.25

B. Con masa variable (tensión variable)

En este caso se escogió la frecuencia del quinto armónico y se le fue agregando masas al portamasas

Esta vez no variamos la cantidad de armónicos para ello se aumentó la frecuencia en cada caso que se iba añadiendo más masas al portamasas

Se anotó los resultados de la experiencia en la siguiente tabla:

𝜆 (m) 0.70g(m/ s2) 9.78

Tensión (N) v (s−1) V (m/s) M (kg)

0.4919 53.0 37.10 0.0503

0.6259 59.6 41.72 0.0640

0.7667 65.1 45.57 0.0784

0.9105 73.0 51.10 0.0931

1.0621 79.1 53.37 0.1086

1.5559 94.4 66.08 0.1591

4. CUESTIONARIO

Determinar el error relativo de la frecuenciaUsando

%E=|v teórico−vexpv teórico

|×100Para la primera tabla

𝜆 (m) V (m/s) vexp(s−1) v teórico(s−1) %E (%)

1.74 44.46 25.55

1.16 47.90 41.30

0.87 50.81 58.40

0.70 53.76 76.80

0.58 57.42 99.00

0.50 54.15 108.30

Para la segunda tabla

𝜆 (m) V (m/s) vexp(s−1) v teórico(s−1) %E (%)

0.7 37.10 53.0

0.7 41.72 59.6

0.7 45.57 65.1

0.7 51.10 73.0

0.7 53.37 79.1

0.7 66.08 94.4

¿Qué es un tren de ondas?, ¿Cuál es el sistema de referencia para describir el tren de ondas?

Un tren de ondas es una onda en la que la perturbación transportada es de larga duración. Por ejemplo una serie continua e interrumpida de sacudidas que se propagan a lo largo de una cuerda, un sonido monótono

Demuestre que la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda está dada por la ecuación (1)

Consideremos una cuerda cuya tensión es T. En el equilibrio la cuerda está en línea recta. Vamos a ver qué ocurre cuando un elemento de longitud dx, situado en la posición x de la cuerda se desplaza una cantidad "y" respecto de la posición de equilibrio.

Dibujamos las fuerzas que actúan sobre el elemento y calculamos la aceleración del mismo aplicando la segunda ley de Newton.La fuerza que ejerce la parte izquierda de la cuerda sobre el extremo izquierdo del elemento es igual a la tensión T, y la dirección es tangente a la cuerda en dicho punto, formando un ángulo α con la horizontal.La fuerza que ejerce la parte derecha de la cuerda sobre el extremo derecho del elemento es igual a la tensión T; la dirección es tangente a la cuerda en dicho punto y forma el ángulo α’ con la horizontal.

Todas las ondas se mueven una tras otra como si fuera un tren

Como el elemento se desplaza en dirección vertical, hallamos la resultante de las componentes de las dos fuerzas en esta dirección:Fy = T (senα’- senα)Si la curvatura de la cuerda no es muy grande, los ángulos α’ y α son pequeños y sus senos se pueden sustituir por tangentes:Fy = T (tgα’- tgα)=T d(tgα)La fuerza vertical sobre el pequeñísimo elemento de la cuerda aumenta en una cantidad diferencial el ángulo hacia arriba (dtgα). Además tgα =dy/dx. Sustituyendo el valor de la diferencial obtenemos la expresión:

Td

dx( tgα ) dx=T

d2 yd x2

dx

Por otra parte, la segunda ley de Newton nos dice que la fuerza Fy sobre el elemento es igual al producto de la masa del elemento por la aceleración vertical (derivada segunda del desplazamiento vertical).La masa del elemento infinitesimal que estamos moviendo es igual al producto de la densidad lineal m, por la longitud dx del elemento. La densidad lineal es la masa por unidad de longitud, y si la multiplicamos por la longitud obtenemos la masa del elemento.

Por tanto F y=ma , que equivale a:

F y=(μdx ) d2 yd t2

Si igualamos esta expresión con la obtenida anteriormente para la fuerza tenemos:

( μ dx ) d2 yd t 2

=Td2 yd x2

dx

Simplificando la ecuación:

d2 yd t2

=Tμ

d2 yd x2

Que al compararla con la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio:

d2 yd t2

=V 2 d2 yd x2

Permite determinar la dependencia de la velocidad de propagación de las ondas transversales en la cuerda con la tensión de la cuerda T (N) y con su densidad lineal m (kg/m):

V=√ Tμ

¿Por qué factor se deberá aumentar la tensión en una cuerda tensa para duplicar la rapidez de la onda?

De la ecuación (1) con una velocidad V 1

V 1=√ T1μ

Si la nueva velocidad es

V 2=2V 1

Y la nueva tensión T 2=b T 1

V 2=√ T2μ

→ V 2=√ b T1μ

→ V 2=√b ×√ T1μ

V 2=√b V 1

Por lo que se deduce que

√b=2→ b=4

Cuando un pulso ondulatorio viaja por una cuerda tensa, ¿Siempre se invertirá con una reflexión?

El destino del pulso en un extremo de la cuerda depende como este sujeta allí; si está atada a un poste rígido, el pulso se reflejará y regresará invertido; cuando el pulso llega a un soporte rígido ejerce una fuerza hacia arriba sobre el mismo, por lo tanto el soporte rígido ejerce sobre la cuerda una fuerza hacia abajo igual y opuesta, haciendo que el pulso se invierta en la reflexión.

Si, por el contrario, la cuerda está unida a un anillo sin masa y su rozamiento (masa y rozamiento despreciable) que pueda moverse verticalmente sobre un poste, esta unión representa lo más cercana posible a su extremo libre de la cuerda.Cuando llega el pulso, ejerce una fuerza hacia arriba sobre el anillo, que acelera hacia arriba. El anillo sobrepasa la altura del pulso, originando un pulso reflejado que no está invertido.Si la cuerda está sujeta a otra de densidad de masa diferente, parte del pulso se transmitirá y parte se reflejará.

Si la 2da cuerda es más pesada, la parte reflejada del pulso regresará invertido; si es más ligera la 2da cuerda, no se invertirá; en cualquiera de los dos casos, y el pulso transmitido no se invierte.

Cuando todas las cuerdas de una guitarra se estiran a la misma tensión, ¿La velocidad de una onda que viaja sobre la cuerda más gruesa será mayor o menor que la de una onda que viaja sobre la cuerda más ligera?

De la ecuación (1)

V=√ Tμ

Si la tensión en las cuerdas es constante entonces el cuadrado de la velocidad y la densidad lineal de la cuerda son inversamente proporcionales.

T=V 2μ→ T=V 2 mL

Si suponemos que la longitud de las cuerdas es la misma.

TL=m V 2

Por lo que se concluye:La velocidad de la cuerda más ligera es mayor que la velocidad de la cuerda mas gruesa

V ligera>V gruesa

¿Qué pasa con la longitud de onda sobre una cuerda cuando se duplica la frecuencia? Suponga que la tensión en la cuerda permanece contante.

De la ecuación (6)

v= n2L √ T

μ→ v=1

λ √ Tμ

Despejamos T

T=v2 λ2μ →Tμ=v2 λ2

De donde se observa que la velocidad y la longitud de onda son inversamente proporcionales. Por lo tanto si la frecuencia se duplica la longitud se reduce a la mitad.

Demostrar que las funciones de onda estacionaria, está dada por:yn ( x . t )=An cos ( ωn t ) sen(kn x )

Donde k n es el número de onda, ωn es la frecuencia angular y An es la amplitud de n números de nodos.

Sean y1 e y2 ondas de la siguiente forma:

y1=A sen (kx -ωt) de izquierda a derechay2=A sen (kx +ωt) de derecha a izquierda

La onda estacionaria resultante es la suma de las dos:yresultante = y 1+ y2  = 2 A sen(ωt).

El extremo por el que está sujeta la cuerda no vibra nunca y la función suma en ese punto valdrá cero (durante todo el tiempo). Para que la función anterior sume cero la única justificación es que las amplitudes se inviertan en el punto de rebote de la onda (el punto fijo) y que una valga +A y la otra -A. Sumando las funciones y sabiendo que:

sen a - sen b=2 sen(a-b) /2 ·cos (a+b)/ 2

Obtenemos:yresultante=y 1+ y2=2A sen(kx) cos(ωt).

Haciendo.

yresultante= yn

2 A=An

Se obtiene;

yn=An cos (ωnt ) sen (kn x)

¿Cuál cree que han sido las posibles fuentes de error de su experimento?

la precisión de las medidas de las masas, longitudes la fuerza del aire sobre la cuerda las perturbaciones sobre la mesa (base del sistema experimental) la alineación de la polea y el generador de ondas

¿Cómo aplicaría este tema en su carrera profesional?

En la elaboración y eficacia de antenas en el campo de las comunicaciones.

5. CONCLUSIONES

Se logró comprobar de forma experimental las relaciones existentes entre los elemento de una estacionaria.

Una onda estacionaria es la interferencia de dos ondas de igual amplitud y longitud de onda, un incidente que viaja en un sentido y su onda reflejada que se propaga en sentido contrario a la onda incidente.

Si tenemos una tensión constante, a mayor frecuencia mayor es el número de armónicos que se generan en la cuerda.

Si la longitud de onda se mantiene constante, entonces a mayor tensión ejercida sobre la cuerda mayor es la frecuencia

Existen puntos sobre la cuerda donde no se produce vibración llamados nodos.

LABORATORIO DE FÍSICA 2

EXPERIENCIA DE LABORATORIO #2

TEMA:

“ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA”

PROFESOR: JEFFERI SÁNCHEZ

FACULTAD: INGENIERÍA ELECTRÓNICA

INTEGRANTES:

ARENAS CLEMENTE LUIS G. CUTIVE JIMENEZ RONNY DO SANTO LIMAYMANTA FLORES ROOSVELT

TURNO: MAÑANA

2011