introducción - universidad nacional de colombia · con excepción de las barras prismáticas de...

Solución de Problemas de Torsión Pura en Elementos Primáticos utilizando el MEF. Pag.1 Dorian Luis Linero Segrera. Universidad Nacional de Colombia. 2001

Introducción Con el método de los elementos finitos (MEF) se pueden solucionar algunas ecuaciones diferenciales de forma aproximada y discreta. El problema de torsión pura en barras prismáticas de sección transversal arbitraria estudiado por Saint-Venant, está determinado por una ecuación diferencial de campo bidimensional y por tres ecuaciones más que permiten calcular el momento torsor y los esfuerzos cortantes. Con excepción de las barras prismáticas de sección circular y de los miembros de pared delgada, los elementos sometidos a torsión pura presentan alabeo en la sección transversal, es decir, las secciones planas antes de aplicar el momento torsor, no se mantienen planas en su condición deformada. A pesar que el método Semi-inverso esta planteado para cualquier tipo de sección transversal, analíticamente solo se ha llegado a establecer la solución para secciones sencillas como elípticas, rectangulares y triangulares. Utilizando el método de los elementos finitos no hay limitaciones en la forma de la sección transversal de la barra. Los dos primeros temas tratados en este articulo, establecen la solución analítica del problema para cualquier tipo de sección transversal y para el caso especial de sección rectangular. A continuación se muestra la preparación el MEF para el problema en cuestión y se describe el procedimiento para calcular los esfuerzos cortantes sobre la sección transversal, acompañado de un ejemplo numérico. Finalmente se comparan los resultados obtenidos por el MEF para diferentes discretizaciones contra la solución analítica.


II. Método Semi-inverso de Saint-Venant Coulomb en 1784 estableció el comportamiento de barras de sección circular sometida a torsión, donde se demostró la ausencia de alabeo. Posteriormente Navier en 1826 generalizo lo propuesto por Coulomb para cualquier forma de sección transversal. Finalmente Saint-Venant preocupado por la importancia del alabeo (Figura 2-1), elaboró un método para calcular esfuerzos en 1855, basado en la analogía de la membrana propuesta por Prandtl. El método Semi-inverso permite calcular los esfuerzos cortantes y las deformaciones producidas por torsión pura en una barra prismática. Parte del comportamiento lineal elástico del material y de la presencia exclusiva de esfuerzos cortantes sobre la sección transversal. Además se basa en dos hipótesis principales. La primera hipótesis suscribe que la deformación de cualquier sección recta es un giro alrededor del eje longitudinal de la barra, acompañado de un alabeo igual en todas las secciones [4, 6]. En la Figura 2-2 las líneas punteadas muestran a la barra antes de aplicar los momentos torsores, mientras que las líneas continuas indican la condición deformada del elemento. En el plano ZY se observa el alabeo w como un grupo de curvas paralelas entre sí. Al mismo tiempo, en el plano XY se muestra un desplazamiento angular α de toda la sección transversal.

Figura 2-1. Deformación de una barra rectangular sometida a torsión pura.

z

y

x

αw=θ·ϕ(x,y)

y

T

Figura 2-2. Alabeo y giro de la sección transversal de una barra sometida a torsión pura


La segunda hipótesis establece que el ángulo de torsión por dividido en la longitud de la barra θ es constante [4, 6]. En la Figura 2-3 se observa como la sección transversal a una distancia z, ha girado un ángulo α con respecto a la sección del extremo izquierdo de la barra. En consecuencia, el valor máximo de α o ángulo de torsión se obtiene cuando z=L. La forma como varia el ángulo de giro de la sección con respecto a z es lineal, donde la pendiente θ se es el cociente entre el ángulo de torsión y la longitud de la barra (Figura 2-4).

y

x

y

α =0

α

x

α = θ·z

x

α = θ·L

y

T

zL

T

Desplazamientos El desplazamiento de un punto de la barra se puede indicar mediante sus componentes rectangulares. El desplazamiento en dirección z o alabeo indicado como w en la Figura 2-2, es igual en todas las secciones, haciéndose independiente de su posición z. Por otro lado, a medida que aumenta el ángulo de torsión, aumenta proporcionalmente w. Este desplazamiento puede expresarse como:

Figura 2-3. Ángulo de giro de la sección transversal z de una barra sometida a torsión.

Figura 2-4. Variación lineal del ángulo de giro con respecto a z.

z

α

θ·L

L

α = θ·z

θ1


[2-1]

Donde ϕ(x,y) es la función de alabeo que varia con respecto a la posición (x,y). Cuando la sección transversal gira un ángulo de magnitud α, un punto A se desplaza a una posición B, como se indica en la Figura 2-5. La trayectoria del desplazamiento es el arco producido por el radio ρ y el ángulo α, el cual puede aproximarse al segmento recto AB y expresarse como:

[2-2] La Figura 2-6 muestra a los segmentos u y v como las componentes rectangulares del desplazamiento δ en el plano xy. En consecuencia los desplazamientos en x y en y se pueden expresar como:

[2-3]

Así mismo, el radio ρ y el ángulo β conforma un triangulo rectángulo, cuyos catetos corresponden a los segmentos que definen la posición x y y del punto B, como se muestra en la Figura 2-7. Las expresiones para las coordenadas x,y son:

[2-4]

Sustituyendo a ρ·cosβ y a ρ·senβ de las Ecuaciones 2-3 por x y y se concluye que:

[2-5]

),( yxw ϕθ ⋅=

Figura 2-5. Desplazamiento de un punto en la sección transversal.

x

y

ρ

ρ

βα

δ

A

B

z⋅⋅≅⋅≅θρδαρδ

Figura 2-6. Desplazamientos u y v de un punto de la sección transversal de una barra sometida a torsión

x

y

δv

u

β

B

A

βθρβδβθρβδ

senzsenvzu

⋅⋅⋅=⋅=⋅⋅⋅−=⋅−= coscos

βρβρ

senyx

⋅=⋅= cos

xzvyzu

⋅⋅=⋅⋅−=

θθ


Relaciones deformación - desplazamiento Las componentes de deformación se pueden expresar en función de pequeños desplazamiento u, v y w paralelos a los ejes coordenados x, y y z respectivamente. De acuerdo con la teoría de la Elasticidad [6], se tiene que:

[2-6]

Donde εxx , εyy , εzz corresponden a las deformaciones unitarias lineales en dirección x, y y z respectivamente, y γxy , γxz , γyz son las deformaciones angulares en los planos xy, xz y yz, respectivamente. Sustituyendo a las ecuaciones 2-1 y 2-5 en las expresiones de deformación, se obtienen los resultados indicados en la Ecuación 2-6, donde se observa la ausencia de deformaciones lineales y de deformación angular en el plano xy. Relaciones esfuerzo - deformación Para materiales isotrópicos que cumplen con la ley Hooke [6], las componentes de esfuerzo se relacionan con las deformaciones de acuerdo a las siguientes ecuaciones.

[2-7]

Figura 2-7. Componentes rectangulares de la posición del punto B.

βx

ρ

yB

0

0

0

=∂∂

=

=∂∂=

=∂∂=

zwyvxu

zz

yy

xx

ε

ε

ε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

⋅=∂∂

+∂∂

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

⋅=∂∂

+∂∂

=

=∂∂

+∂∂

=

xyy

wzv

yxx

wzu

xv

yu

yz

xz

xy

ϕθγ

ϕθγ

γ 0

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ]

)1(2

1211

1211

1211

νγτ

γτ

γτ

ενενεννν

σ

ενενεννν

σ

ενενεννν

σ

+=⋅=

⋅=

⋅=

⋅−+⋅+⋅⋅−+

=

⋅+⋅−+⋅⋅−+

=

⋅+⋅+⋅−⋅−+

=

Egdondeg

gg

E

E

E

yzyz

xzxz

xyxy

zzyyxxzz

zzyyxxyy

zzyyxxxx


Las tres primeras expresiones de las ecuaciones 2-7 corresponden a los esfuerzos normales en dirección x, y y z respectivamente. Las tres expresiones restantes indican los esfuerzos cortantes en los planos xy, xz y yz, respectivamente (Figura 2-8). Las constantes involucradas son: el módulo de elasticidad E, el módulo de elasticidad al corte g y la relación de Poisson ν. Al sustituir los valores de las componentes de deformación, se obtiene:

[2-8]

En este momento se demuestra una de las hipótesis planteada por el método de Saint-Venant, la cual establece la presencia exclusiva de los esfuerzos cortantes τxz y τyz . Equilibrio Las ecuaciones de equilibrio interno para un punto del volumen de un cuerpo son [6]:

[2-9]

donde X, Y y Z son las fuerzas de cuerpo o fuerzas por unidad de volumen propias del sólido; por ejemplo: el peso específico es una fuerza de cuerpo dirigida en la dirección de la gravedad.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

⋅⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

⋅⋅=

====

xy

g

yx

g

yz

xz

xyzzyyxx

ϕθτ

ϕθτ

τσσσ 0000

0

0

0

=+∂

∂+

∂∂

+∂

∂

=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=+∂

∂+

∂

∂+

∂∂

Zyxz

Yzxy

Xzyx

yzxzzz

yzxyyy

xzxyxx

ττσ

ττσ

ττσ

z

σzz

yyy

σxx

x

τxy

τxzτzx

τzy

τyz

τyx

Figura 2-8. Componentes de esfuerzo en un punto de un cuerpo.


Sustituyendo en las ecuaciones de equilibrio los valores de los esfuerzos obtenidos en la Ecuación 2-8, y despreciando las fuerzas de cuerpo se establece que:

[2-10]

Las dos primeras ecuaciones demuestran que los esfuerzos cortantes τxz y τyz son independientes de z. Para cumplir con la tercera expresión se puede suponer una función φ llamada función de esfuerzos o función de Prandtl, que se relacione con los esfuerzos de la siguiente manera:

[2-11]

Sustituyendo las expresiones anteriores en la Ecuación 2-10, se obtiene: [2-12]

Ahora, derivando la primera expresión con respecto a y y la segunda con respecto a x se encuentra que,

[2-13]

Sumando las expresiones anteriores se anulan las derivadas de ϕ y se establece la siguiente ecuación diferencial.

[2-14]

Condiciones de borde De acuerdo con las condiciones de borde de un sólido elástico, libre de fuerzas en su superficie como el mostrado en la Figura 2-9, se debe cumplir que la resultante de esfuerzos en un elemento infinitesimal en la dirección normal N a su contorno debe ser igual a cero.

022

2

2

2

=⋅⋅+∂∂

+∂∂ θφφ g

yx

xzyyzx ∂∂

−=∂∂

=φτφτ ,

000 =∂

∂+

∂∂

=∂

∂=

∂∂

yxzzyzxzyzxz ττττ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

⋅⋅−=∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

⋅⋅=∂∂ x

yg

xy

xg

yϕθφϕθφ ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂∂

⋅⋅−=∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂∂

⋅⋅=∂∂ 1,1

2

2

22

2

2

yxg

xyxg

yϕθφϕθφ

Figura 2-9. Condiciones de borde.

θ

y

τxz

N

x

dx

dyds

τyz


La Figura 2-10 ilustra la proyección de cada esfuerzo en dirección N y la relación trigonométrica aproximada entre los diferenciales dx, dy y ds.

θτxz

N

T

τyz

T

N

τxz cos θθ

τxz sen θ x

ds

y

- dx

dyθ

A partir de lo anterior, se pueden establecer las siguientes expresiones:

[2-15] Si la derivada de φ con respecto a s es igual a cero, se concluye que la función de Prandtl adquiere un valor constante en el contorno de la sección transversal. Por comodidad y en concordancia con la Analogía de la Membrana se acostumbra a adoptar un valor de cero de la función φ en el borde de la sección. Analogía de la Membrana La analogía de la membrana fue introducida por L. Prandtl, con el fin de asociar el la forma de una membrana sometida a presión uniforme, con el comportamiento de la función de esfuerzos en el problema de torsión pura. En la Figura 2-11 se muestra una membrana homogénea soportada en los bordes, a la cual se le aplica una presión uniforme hacia arriba. Si q es la presión por unidad de área y S es la tensión en los bordes, la ecuación diferencial que establece el desplazamiento z de la membrana es [6]:

Figura 2-10. Proyección de los esfuerzos en el eje N normal al contorno.

000cos ==⋅+⋅→=−⋅→=+⋅dsd

dsdx

dxd

dsdy

dyd

dsdx

dsdysen yzxzyzxz

φφφττθτθτ


[2-15]

donde el desplazamiento z en los bordes es cero. Por lo tanto, las ecuaciones diferenciales y las condiciones de borde que rigen el problema de torsión pura y el de la membrana son análogas entre sí. Entonces, es posible considerar como condición de borde del fenómeno de torsión un valor de φ igual a cero en el contorno, con el fin de acercar más la analogía de la membrana al problema en cuestión. Momento torsor El momento externo T aplicado alrededor del eje longitudinal de la barra, debe ser igual al momento interno generado por los esfuerzos cortantes τxz y τyz . Como se muestra en la Figura 2-12, en un elemento diferencial de área se producen las fuerzas internas dF1=τxz · dA y dF2=τyz · dA, que a su vez generan los siguientes momentos internos.

Igualando el momento externo con el momento interno en toda el área de la sección transversal, se obtiene:

[2-16]

02

2

2

2

=+∂∂

+∂∂

Sq

yz

xz

x

x

zmembrana

presión uniforme

pendiente

z=0

z=0z=0

Figura 2-11. Analogía de la membrana.

( )dAyxdTdTdT xzyz ⋅−⋅=+= ττ21

( )∫ ⋅−⋅=A

xzyz dAyxT ττ

x

τxz

τyz

dAxy

Figura 2-12. Esfuerzos cortantes en un elemento diferencial de área.


[2-17]

Recordando la integración por partes como:

[2-18]

y aplicándola a la Ecuación 2-17, se establecen la siguientes expresiones.

En conclusión el momento torsor igual a:

[2-19]

De acuerdo con la analogía de la membrana, dos veces el volumen que encierra la membrana corresponde al momento torsor T. Solución analítica para secciones rectangulares La solución analítica del problema se obtiene al sustituir a una función de esfuerzos especial en la ecuación diferencial 2-14. Para secciones rectangulares como la mostrada en la Figura 2-13, esa función de esfuerzos es de la forma [4]:

[2-20]

donde Xn es una función exclusivamente de x, que se puede determinar a partir de la solución de la ecuación diferencial. Por lo tanto la función de esfuerzos estará expresada con la siguiente ecuación.

( ) ∫∫∫∫∫ ⋅−⋅−=⋅−⋅−= ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ dydxydydxxdAyxT yx

Ayx

φφφφ

∫∫∫ ⋅=⋅=A

dAdydxT φφ 22

∫ ∫ ⋅+−= vuduvdvu

( ) ( )( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫ ∫

∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫ ∫⋅−⋅=⋅+⋅=⋅+⋅−−=⋅−

⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅−−=⋅−

∂∂

∂∂

dssenydydxdxydydxdxydydxdyy

dsxdydxdyxdydxdyxdxdydxx

y

x

θφφφφφφ

θφφφφφφφ

φ cos

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

,...5,3,1cos

nn b

ynX πφ

Figura 2-13. Sección

transversal rectangular.

y

x

b/2

b/2

a/2 a/2


∑∞

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅⋅−=,...5,3,1

32

1

3

2

cos

2cosh

cosh11)1(8

n

n

byn

ban

bxn

nbg π

π

π

πθφ [2-21]

Como establece la Ecuación 2-11, los esfuerzos cortantes serán el resultado de derivar a la función de Prandtl con respecto a x y y , obteniendo las siguientes expresiones.

∑

∑

∞

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∞

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅⋅−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅−=

,...5,3,12

21

2

,...5,3,12

21

2

2cosh

cosh11)1(8

cos

2cosh

1)1(8

n

n

zx

n

n

zy

bynsen

ban

bxn

nbg

byn

ban

bxnsenh

nbg

ππ

π

πθτ

ππ

π

πθτ

[2-22]


III. Solución del problema de torsión pura utilizando el método de los elementos finitos

Preparación del método de los elementos finitos para la solución de problemas de campo bidimensional Para solucionar un problema físico utilizando el MEF es necesario establecer la ecuación diferencial o el teorema de la energía que lo gobierna. Para el fenómeno de torsión pura en barras prismáticas se tiene un caso especial de la ecuación de campo bidimensional de la forma:

02

2

2

2

=+⋅−∂∂

⋅+∂∂

⋅ QGy

Dx

D yx φφφ [3-1]

donde Dx = Dy = 1, G = 0 y Q = 2·g·θ . El MEF expresa a la ecuación diferencial 3-1 como una ecuación la matricial 3-2 [1], en la cual, la función de Prandtl se convierte en un grupo de valores definidos en los nudos de la discretización que son organizados en el vector {φn} . [ ] { } { }fK n =⋅ φ [3-2] La matriz de rigidez del sistema [K] y el vector de términos independientes {f} son el resultado del ensamblaje de las matrices [K](e) y los vectores {f}(e) respectivamente, de cada uno de los elementos finitos. Las matrices elementales [K](e) y {f}(e) para el problema de torsión están definidas como [5]:

[3-3]

[3-4]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

{ } [ ] [ ]

[ ] [ ]

{ }

{ }⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⋅=⋅=

⋅=⋅+⋅⋅=

∫∫

∫∫∫

yNxN

ByD

DDsiendo

dANgdANQf

dABBdANNGdABDBK

y

x

A

T

A

Te

A

T

A

T

A

Te

0

0

2)(

)(

θ


Las funciones de forma [N] son relaciones de interpolación que permiten definir el valor de una función de aproximación dentro de un elemento finito a partir de valores dados en los nudos del mismo. Por lo tanto son propias de cada tipo de elemento finito.

En este instante es indispensable establecer los tipos de elementos finitos que se van a utilizar en la discretización del continuo. La Figura 3-1 muestra algunos de los tipos de elementos más comunes en el análisis de problemas bidimensionales. Si por ejemplo, la sección transversal de la barra a torsión tiene forma rectangular, se puede disponer de los elementos rectangulares bilineales. Mientras que si la barra tiene una sección irregular, se pueden utilizar elementos isoparamétricos o una combinación entre elementos triangulares lineales y rectangulares bilineales. Para utilizar un tipo de elemento finito es necesario conocer sus funciones de forma, y a partir de ellas, deducir la matriz de rigidez y el vector de términos independientes correspondiente mediante las Ecuaciones 3-3 y 3-4. Procedimiento para calcular los esfuerzos cortantes en la sección transversal El primer paso en la solución de un problema con elementos finitos consiste en determinar claramente sus condiciones de borde. Para el fenómeno que nos ocupa, la analogía de la membrana [6], establece como condición un valor de cero de la función de esfuerzos en el contorno de la sección transversal. Antes de discretizar el medio, deben identificarse los ejes de simetría de la sección transversal, lo cual permite realizar el análisis de solo una porción simétrica del medio continuo, ahorrando tiempo en el proceso de cálculo. En el caso del secciones transversales irregulares que no tienen ejes de simetría, se debe discretizar el medio continuo completo.

y

x

k

ji

i j

km

t

s i j

k

m

η

ξ

triangular lineal rectangular bilineal isoparaméticocuadrilateral lineal

Figura 3-1. Tipos más comunes de elementos finitos de campo bidimensional.


A continuación se discretiza el problema, como se muestra en la Figura 3-2. Este proceso consiste en dividir el medio continuo en elementos finitos conectados entre sí por nudos numerados. Con el fin de adecuar las operaciones matriciales correctamente, la numeración del los nudos debe ordenarse de acuerdo con la siguiente regla: todos los nudos donde la función de Prandtl es desconocida se numerarán primero, en consecuencia, los nudos que hacen parte del perímetro de la sección transversal, es decir, donde la función de esfuerzos es igual a cero, se numerarán al final.

x

yx dA

τxz

τyz

y

x

elementofinito

y

nudo

contorno realcontorno realcontorno de la red de EF

Se construye una tabla denominada matriz de incidencias que contenga la numeración de los nudos asociados a cada elemento finito [2]. Con base en la geometría de cada elemento finito, se calcula su respectiva matriz de rigidez [K](e) . La suma organizada de las matrices de rigidez de los elementos, de acuerdo con la numeración de los nudos indicada en la matriz de incidencias, permiten ensamblar la matriz de rigidez del sistema [K]. Al aplicar un momento torsor T , se produce un ángulo de torsión por unidad de longitud θ y un grupo de esfuerzos cortantes sobre la sección τ . De acuerdo con el principio de superposición, al aumentar α veces el momento torsor, es decir, al aplicar un momento α·T , se genera un ángulo de torsión α·θ y un grupo de esfuerzos cortantes α·τ . Dado que la ecuación diferencial que controla el fenómeno depende del ángulo de torsión por unidad de longitud θ, y no involucra al momento torsor aplicado T (Ecuación 2-14), es necesario suponer un valor del ángulo de torsión por unidad de longitud θs, que más adelante permita: encontrar la función de esfuerzos, evaluar de acuerdo con la Ecuación 2-19 al momento torsor supuesto Ts, y finalmente, calcular el factor ψ que modifica al momento, al ángulo de torsión, a la función de Prandtl y a los esfuerzos cortantes reales como se indica en las siguientes ecuaciones.

Figura 3-2. Discretización de una sección transversal.


[3-5]

[3-6] Con el valor supuesto del ángulo de torsión por unidad de longitud θs, el módulo de elasticidad al corte g, y el área, se puede calcular el vector de términos independientes {f}(e), para cada uno de los elementos finitos. De la misma forma como se suman las matrices de rigidez de los elementos, se ensambla el vector de términos independientes del sistema. Teniendo la matriz de rigidez y el vector de términos independientes del sistema, se puede expresar el problema en forma matricial como se indica en la Ecuación 3-2. En el vector que contiene los valores de la función de esfuerzos en los nudos o también llamados valores nodales, se diferencia un subvector {φnd} que incluye a los valores nodales desconocidos y un subvector {φnc} que contiene a los valores nodales iguales a cero. En consecuencia la ecuación matricial se puede expresar así:

[3-7]

[3-7A] [3-7B]

Si el subvector {φnc}={0} la Ecuación 3-7A se reduce a:

[3-8]

Dado que se conoce la submatriz de rigidez [Kdd] y el subvector de términos independientes {fnd}, se pueden calcular los valores nodales desconocidos {φnd} solucionando el sistema de ecuaciones simultaneas. Los valores de la función de esfuerzos definidos en los nudos son los primeros resultados del análisis. Para establecer la función de Prandtl en lugares del medio continuo diferentes a los nudos, se interpola de acuerdo con la función de forma del elemento finito que incluye dicho punto. La Figura 3-3 muestra a la función de esfuerzos dentro de un elemento rectangular bilineal. El procedimiento indicado hasta ahora, es precisamente la solución a la ecuación diferencial del problema (Ecuación 2-14), en otras palabras, se ha determinado la función de Prandtl para los nudos de la discretización.

sss

sTT

τψτφψφθψθ

ψ

⋅=⋅=⋅=

=

[ ] [ ]

[ ] [ ]

{ }

{ }

{ }

{ }

[ ] { } [ ] { } { }[ ] { } [ ] { } { }ncncccndcd

ndncdcnddd

nc

nd

nc

nd

cccd

dcdd

fKKfKK

f

f

KK

KK

=⋅+⋅=⋅+⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

φφφφ

φ

φ

[ ] { } { }ndnddd fK =⋅ φ


A continuación se procederá con el cálculo del momento torsor que generó el ángulo de torsión por unidad de longitud supuesto. De acuerdo con la Ecuación 2-19, el momento torsor es el resultado del doble de la integral de la función de esfuerzos definida en el área. También se puede expresar el momento como la sumatoria de las integrales definidas en cada uno de los elementos finitos, así:

[3-9]

Si se dibuja una gráfica tridimensional que tenga como ejes las variables x y y en planta y en altura a los valores nodales de la función de esfuerzos, el volumen que se genera bajo la superficie es igual a la integral de la función de Prandtl en el área. Por ejemplo, para los elementos triangular lineal y rectangular bilineal se obtienen los siguientes valores aproximados.

∑ ∫∫=

=⋅⋅=n

e eA

e

A

dAdAT1 )(

)(22 φφ

Figura 3-3. Función de esfuerzos en un elemento rectangular bilineal.


[3-10]

[3-11]

Donde A es el área del elemento finito, (φi+φj+φk)/3 y (φi+φj+φk+φm)/4 es el promedio de los valores nodales de la función de esfuerzos para el elemento triangular y para el elemento rectangular respectivamente. Cuando aprovechando la simetría, se analiza tan solo una porción del medio continuo, se debe recordar que la integral de la Ecuación 3-9 está definida en toda el área de la sección transversal, y en consecuencia, el resultado obtenido deberá multiplicarse por el número de partes en que se haya dividido la sección. Como lo indica la Ecuación 3-5, se calcula la relación entre el momento torsor aplicado T y el momento torsor Ts que se obtuvo de un ángulo supuesto θs. El factor ψ calculado modificará los valores de la función de Prandtl, los esfuerzos cortantes y el ángulo de torsión por unidad de longitud. Si se multiplica el vector de valores nodales {φn} por el escalar ψ, el resultado es el vector de valores nodales real {φn}’, como se indica a continuación.

[3-12]

El procedimiento utilizado para calcular los esfuerzos cortantes que ocurren en un punto x y y dentro de un elemento finito e, consiste en multiplicar a los operadores diferenciales actuando sobre funciones de forma [B], por el vector real de valores nodales {φn}', lo cual equivale a derivar a la función de Prandtl con respecto a x y y .

( ) [ ] [ ] [ ]

( ) [ ] [ ] [ ]nT

l

k

j

i

mkjieA

e

nT

k

j

i

kjieA

e

Q

Q

fAAdA

fAAdA

φ

φ

φ

φ

φ

φφφφφ

φ

φ

φ

φ

φφφφ

⋅=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅=+++⋅=

⋅=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅=++⋅=

=

=

∫

∫

1

1

111144

11133

)(

)(

)(

)(

{ } { }nn φαφ ⋅='


[3-13]

Normalmente, los esfuerzos cortantes se calculan en los nudos y en el centro de cada elemento finito. Dado que los elementos finitos utilizados no tienen una función continua en su primera derivada, es normal que los valores de los esfuerzos en un nudo compartido entre varios elementos, sea diferente en cada uno de ellos. En consecuencia, es importante que la discretización se afine, hasta tal punto que los diferentes valores de esfuerzos de un mismo punto presenten una desviación prudente. Finalmente, se calculan los esfuerzos cortantes en cada nudo como el promedio aritmético de los valores obtenidos en los elementos finitos asociados a dicho nudo. Los esfuerzos en puntos intermedios se pueden calcular mediante interpolación lineal de los resultados en los nudos.

[ ] { }),,(

),,(

)(),,( '

yxezx

zy

yxe

enyxe

τ

τ

y

xB

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

=⋅φ

φ

φ


IV. Ejemplo. Análisis con el MEF de una barra de sección transversal rectangular sometida a torsión pura

Procedimiento completo para red de pocos elementos Una barra prismática con módulo de elasticidad al corte del material g = 8 600 000 kN/m2 está sometida en cada extremo a un momento torsor de 50 kN·m. Su sección transversal tiene forma rectangular como se muestra en la figura, con una base de 0.30m y una altura de 0.40m.

En virtud de la doble simetría presente en la sección transversal de la barra, se analizará tan solo la cuarta parte achurada en la Figura 4-1.

0.15m

0.20

m

T=50kN·m

L=2.20m0.15m

0.20

m

T=50kN·m

Figura 4-1. Barra rectangular sometida a torsión pura.


El medio continuo se divide en 12 elementos cuadrados bilineales conectados entre sí por 20 nudos, como se ilustra en la Figura 4-2. De acuerdo con la Analogía de la Membrana el contorno de la sección transversal posee valores de cero de la función de esfuerzos, de tal forma lado derecho y el superior del rectángulo conformado por la discretización contiene las condiciones de borde del problema.

Lo anterior justifica la numeración de los nudos indicada en la Figura 4-2, donde los nudos del 1 al 12 poseen valores desconocidos de la función φ, mientras que los nudos del 13 al 20 están ubicados en lugares donde la función φ es igual a cero. Cada elemento rectangular bilineal tiene asociados 4 nudos ubicados en sus vértices. Por convención, el orden en que se definen los nudos de un elemento debe ser antihorario. En la discretización se indica con la letra i el nudo inicial de cada elemento finito, lo cual define una forma única del orden de los nudos de cada elemento. Con está información se construye la siguiente tabla comúnmente llamada matriz de incidencias, la cual contiene en la fila e la numeración de los nudos asociados al elemento e (Figura 4-3) [2].

1

4

7

10

17

2

5

8

11

18

3

6

9

12

19

13

14

15

16

20

1

4

7

10

2

5

8

11

3

6

9

12

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

0.05m 0.05m 0.05m

0.05

m0.

05m

0.05

m0.

05m

=0

φ=0

Figura 4-2. Discretización del medio continuo. ¼ de sección transversal


elem\nud i j k M 1 001 002 005 004 2 002 003 006 005 3 003 013 014 006 4 004 005 008 007 5 005 006 009 008 6 006 014 015 009 7 007 008 011 010 8 008 009 012 011 9 009 015 016 012

10 010 011 018 017 11 011 012 019 018 12 012 016 020 019

Ahora se puede establecer la matriz de rigidez de cada elemento finito a partir de su geometría como se indica en la Ecuación 3-3 y en la Figura 4-4 [3, 5]. En la discretización dada, todos los elementos tienen las mismas dimensiones y en conclusión tendrán una matriz de rigidez común.

Para un elemento finito de a=0.025m y b=0.025m la matriz de rigidez será:

i J k m i 0.6667 -0.1667 -0.3333 -0.1667 j -0.1667 0.6667 -0.1667 -0.3333 k -0.3333 -0.1667 0.6667 -0.1667 m -0.1667 -0.3333 -0.1667 0.6667

A partir de la matriz de incidencias y de las matrices de rigidez de los elementos se ensambla la matriz de rigidez del sistema, cuyo tamaño de 20 por 20 corresponde al número de valores nodales del problema. Esta matriz se puede dividir en cuatro submatrices de acuerdo al número de valores nodales desconocidos como se indica en la Ecuación 3-7. Los términos de las cuatro submatrices se muestran a continuación:

ie

159

j

m k

9

12 16

i j

km

s2b

2a

Figura 4-3. Numeración de nudos. Elemento rectangular bilineal

Figura 4-4. Geometría. Elemento rectangular

bilineal

[ ] [ ]14

2.

12

122

2112

6

2.

22

112

1122

6−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

⋅+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−

⋅=

sim

ab

sim

baK


Submatriz [Kdd] :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 0.6667 -0.1667 0.0000 -0.1667 -0.3333 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00002 -0.1667 1.3333 -0.1667 -0.3333 -0.3333 -0.3333 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00003 0.0000 -0.1667 1.3333 0.0000 -0.3333 -0.3333 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00004 -0.1667 -0.3333 0.0000 1.3333 -0.3333 0.0000 -0.1667 -0.3333 0.0000 0.0000 0.0000 0.00005 -0.3333 -0.3333 -0.3333 -0.3333 2.6667 -0.3333 -0.3333 -0.3333 -0.3333 0.0000 0.0000 0.00006 0.0000 -0.3333 -0.3333 0.0000 -0.3333 2.6667 0.0000 -0.3333 -0.3333 0.0000 0.0000 0.00007 0.0000 0.0000 0.0000 -0.1667 -0.3333 0.0000 1.3333 -0.3333 0.0000 -0.1667 -0.3333 0.00008 0.0000 0.0000 0.0000 -0.3333 -0.3333 -0.3333 -0.3333 2.6667 -0.3333 -0.3333 -0.3333 -0.33339 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.3333 -0.3333 0.0000 -0.3333 2.6667 0.0000 -0.3333 -0.3333

10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.1667 -0.3333 0.0000 1.3333 -0.3333 0.000011 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.3333 -0.3333 -0.3333 -0.3333 2.6667 -0.333312 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.3333 -0.3333 0.0000 -0.3333 2.6667

Submatriz [Kdc] :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0.0000 0.0000 -0.1667 0.0000 0.0000 -0.3333 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000014 0.0000 0.0000 -0.3333 0.0000 0.0000 -0.3333 0.0000 0.0000 -0.3333 0.0000 0.0000 0.000015 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.3333 0.0000 0.0000 -0.3333 0.0000 0.0000 -0.333316 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.3333 0.0000 0.0000 -0.333317 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.1667 -0.3333 0.000018 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.3333 -0.3333 -0.333319 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.3333 -0.333320 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.3333

Submatriz [Kcd] :

13 14 15 16 17 18 19 20 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00003 -0.1667 -0.3333 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00006 -0.3333 -0.3333 -0.3333 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00007 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00008 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00009 0.0000 -0.3333 -0.3333 -0.3333 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.1667 -0.3333 0.0000 0.000011 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.3333 -0.3333 -0.3333 0.000012 0.0000 0.0000 -0.3333 -0.3333 0.0000 -0.3333 -0.3333 -0.3333

Submatriz [Kcc] :

13 14 15 16 17 18 19 20 13 0.6667 -0.1667 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000014 -0.1667 1.3333 -0.1667 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000015 0.0000 -0.1667 1.3333 -0.1667 0.0000 0.0000 0.0000 0.000016 0.0000 0.0000 -0.1667 1.3333 0.0000 0.0000 -0.3333 -0.166717 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.6667 -0.1667 0.0000 0.000018 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.1667 1.3333 -0.1667 0.000019 0.0000 0.0000 0.0000 -0.3333 0.0000 -0.1667 1.3333 -0.166720 0.0000 0.0000 0.0000 -0.1667 0.0000 0.0000 -0.1667 0.6667


Simultáneamente con el proceso anterior, se puede crear el vector de términos independientes común a todos los elementos mediante la siguiente ecuación, donde g es el módulo de elasticidad al corte del material y θ es el ángulo de torsión por unidad de longitud.

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅=

1111

2 bagf Q θ [4-2]

Se puede suponer un valor de θ de 1 rad/m, generando el siguiente vector de términos independientes de un elemento finito.

i 10750 j 10750 k 10750 m 10750

De la misma forma como se ensamblo la matriz de rigidez del sistema, se construye el vector de términos independientes del sistema, obteniendo el siguiente resultado.

1 10750 2 21500 3 21500 4 21500 5 43000 6 43000 7 21500 8 43000 9 43000

10 21500 11 43000 12 43000 13 10750 14 21500 15 21500 16 21500 17 10750 18 21500 19 21500 20 10750

Este vector se divide en dos subvectores como se indica en la Ecuación 3-7. El primero de 12 por 1 y el segundo de 8 por 1. De acuerdo con la Ecuación 3-8, el sistema de ecuaciones simultaneas [2] que se debe resolver para encontrar los valores desconocidos de la función de esfuerzos es:


0.6667 -0.1667 0.0000 -0.1667 -0.3333 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 φ1 10750

-0.1667 1.3333 -0.1667 -0.3333 -0.3333 -0.3333 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 φ2 21500

0.0000 -0.1667 1.3333 0.0000 -0.3333 -0.3333 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 φ3 21500

-0.1667 -0.3333 0.0000 1.3333 -0.3333 0.0000 -0.1667 -0.3333 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 φ4 21500

-0.3333 -0.3333 -0.3333 -0.3333 2.6667 -0.3333 -0.3333 -0.3333 -0.3333 0.0000 0.0000 0.0000 φ5 43000

0.0000 -0.3333 -0.3333 0.0000 -0.3333 2.6667 0.0000 -0.3333 -0.3333 0.0000 0.0000 0.0000 · φ6 = 43000

0.0000 0.0000 0.0000 -0.1667 -0.3333 0.0000 1.3333 -0.3333 0.0000 -0.1667 -0.3333 0.0000 φ7 21500

0.0000 0.0000 0.0000 -0.3333 -0.3333 -0.3333 -0.3333 2.6667 -0.3333 -0.3333 -0.3333 -0.3333 φ8 43000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.3333 -0.3333 0.0000 -0.3333 2.6667 0.0000 -0.3333 -0.3333 φ9 43000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.1667 -0.3333 0.0000 1.3333 -0.3333 0.0000 φ10 21500

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.3333 -0.3333 -0.3333 -0.3333 2.6667 -0.3333 φ11 43000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.3333 -0.3333 0.0000 -0.3333 2.6667 φ12 43000

En consecuencia el vector de valores nodales desconocidos, es decir, los valores de la función de esfuerzos en los nudos es:

φ1 147350

φ2 132030

φ3 84418

φ4 140570

φ5 126150

φ6 81012

φ7 118290

φ8 106780

φ9 69723

φ10 74642

φ11 68143

φ12 46706

Como se observa en la Gráfica 4-1, la función de Prandtl adquiere un valor máximo en el centro de la sección transversal que se reduce hasta un valor de cero en el contorno. Por otro lado, las pendientes con respecto a x y a y son iguales a cero en la cumbre de la superficie y son máximas en los puntos medios de los lados de la sección. Los resultados anteriores son validos en los nudos de la discretización. Ahora, para obtener el valor de la función de esfuerzos en cualquier punto s,t dentro de un elemento finito a partir de los valores nodales, se interpola utilizando las funciones de forma de acuerdo con la siguiente operación matricial.

[ ] { }nN φφ ⋅= [4-3]

0

0.05

0.1

0.15 0

0.05

0.1

0.15

0.20

5

10

15

x 104

y (m)x (m)

func

ión

de P

rand

tl

Gráfica 4-1. Función de Prandtl en los nudos para ¼ de sección transversal rectangular del ejemplo


Para un elemento rectangular bilineal la matriz de funciones de forma es la siguiente: [ ] [ ]mkji NNNNN = [4-4]

( ) ( ) ( ) ( )sbba

tNba

tsNtaba

sNtasbba

N mkji −⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅=−⋅

⋅⋅=−⋅⋅−⋅

⋅⋅= 2

442

422

41

Al calcular en muchos puntos dentro de cada elemento se conforma una superficie curva como la mostrada en la Figura 3-3. De acuerdo con la Ecuaciones 3-9 y 3-10, el momento que genera el ángulo de torsión por unidad de longitud de 1 rad/m, es igual a dos veces el volumen que encierra la función de Prandtl en toda la sección transversal. En la siguiente tabla se calcula el volumen aproximado encerrado por la función φ en una cuarta parte de la sección.

función de Prandtl

elem i j K m promedio Area Volumen

1 147350 132030 126150 140570 136525 0.0025 341

2 132030 84418 81012 126150 105903 0.0025 265

3 84418 0 0 81012 41358 0.0025 103

4 140570 126150 106780 118290 122948 0.0025 307

5 126150 81012 69723 106780 95916 0.0025 240

6 81012 0 0 69723 37684 0.0025 94

7 118290 106780 68143 74642 91964 0.0025 230

8 106780 69723 46706 68143 72838 0.0025 182

9 69723 0 0 46706 29107 0.0025 73

10 74642 68143 0 0 35696 0.0025 89

11 68143 46706 0 0 28712 0.0025 72

12 46706 0 0 0 11677 0.0025 29

Σ = 2026

el volumen encerrado en toda la sección es cuatro veces el calculado en una cuarta parte. En consecuencia el momento torsor supuesto y el factor de corrección α serán iguales a:

003085.016207

5016207)20264(22 ==⋅=⋅⋅=⋅= ∑ αmkNVolumenTe

es

de tal forma que el ángulo de torsión real θ es igual a 0.003085 rad/m. Los valores nodales obtenidos anteriormente se corrigen multiplicándolos por α, obteniendo el siguiente vector:


φ1 147350 454.6 φ2 132030 407.3 φ3 84418 260.4 φ4 140570 433.7 φ5 126150 389.2

α · φ6 = 0.003085 · 81012 = 249.9 φ7 118290 364.9 φ8 106780 329.4 φ9 69723 215.1 φ10 74642 230.3 φ11 68143 210.2 φ12 46706 144.1

Los esfuerzos cortantes actuantes en cada elemento finito son las primeras derivadas de la función de Prandtl con respecto a x y a y , es decir, son el resultado del producto entre la matriz de operadores diferenciales actuando sobre funciones de forma del elemento y el vector de valores nodales. La matriz [B] de un punto s,t dentro de elemento rectangular bilineal es:

[ ] [ ][ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

−−−−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂∂

=∂=)2()2(

)2()2(41

sbsssbtttata

aby

Nx

N

yN

yN

yN

xN

xN

xN

NBm

m

kji

kji

[4-5]

Para este ejemplo, la matriz [B] se evalúo en cinco puntos: los cuatro nudos y el centro de cada elemento finito. A continuación se ilustran los términos de la matriz [B] común para todos los elementos. nudo i : s=0 t=0 nudo j : s=0.05 t=0

-20.00 20.00 0.00 0.00 -20.00 20.00 0.00 0.00

-20.00 0.00 0.00 20.00 0.00 -20.00 20.00 0.00

Nudo k : s=0.05 t=0.05 nudo m : s=0 t=0.05

0.00 0.00 20.00 -20.00 0.00 0.00 20.00 -20.00

0.00 -20.00 20.00 0.00 -20.00 0.00 0.00 20.00

Centro : s=0.025 t=0.025

-10.00 10.00 10.00 -10.00

-10.00 -10.00 10.00 10.00

Para el elemento número 1 los esfuerzos cortantes en los cinco puntos especiales se obtienen realizando las siguientes operaciones: nudo i : s=0 t=0

454.6

-20.00 20.00 0.00 0.00 · 407.3 = -945.2 = -τzy

-20.00 0.00 0.00 20.00 389.2 -418.3 τzx 433.7


nudo j: s=0.05 t=0

454.6

-20.00 20.00 0.00 0.00 · 407.3 = -945.2 = -τzy

0.00 -20.00 20.00 0.00 389.2 -362.9 τzx 433.7

nudo k : s=0.05 t=0.05

454.6

0.00 0.00 20.00 -20.00 · 407.3 = -889.9 = -τzy

0.00 -20.00 20.00 0.00 389.2 -362.9 τzx

433.7

nudo m: s=0 t=0.05

454.6

0.00 0.00 20.00 -20.00 · 407.3 = -889.9 = -τzy

-20.00 0.00 0.00 20.00 389.2 -418.3 τzx

433.7

centro: s=0.025 t=0.025

454.6

-10.00 10.00 10.00 -10.00 · 407.3 = -917.6 = -τzy

-10.00 -10.00 10.00 10.00 389.2 -390.6 τzx

433.7

945.2

889.9 889.9

945.2

917.6

800.1

889.9

710.4

555.7

401.0

200.5

0.0

2861.2

2937.6

2784.8

2535.6

2286.4

1804.6

1322.7

661.4

5103.7

5208.9

4998.5

4650.2

3592.0

2881.8

1440.9 -1440.9

-710.1

0.0

-348.2

0.0-210.2

-105.1

-2881.8

-3543.2

-1420.2

-1902.1

-696.5

-945.7

-210.2-362.9

-286.5

-4204.7-4605.4

-4404.9

-2383.9-2693.3

-2538.6

-1194.9-1374.4

-1284.7

-362.9-418.2

-390.6

2937.6

2784.8

5208.9

4998.5

710.4

889.9 2784.8 2784.8

2286.4

4998.5 4998.5

4302.2 4302.2710.4 710.4 2286.4 2286.4 4302.2 4302.2

401.0 1322.7 2881.8401.0 401.0 1322.7 1322.7 2881.8 2881.8

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

-418.2 -362.9 -362.9 -210.2 0.0-210.2

-1374.4 -1194.9

-1194.9

-1194.9 -696.5

-696.5

-696.5 0.0

-2693.3 -2383.9

-2383.9

-2383.9 -1420.2

-1420.2

-1420.2

0.0

0.00.0

0.0-4605.4 -4204.7

-4204.7

-4204.7 -2881.8

-2881.8

-2881.8

Esfuerzo cortante en Y. Esfuerzo cortante en X.

Gráfica 4-2. Esfuerzos cortantes en los extremos y en el centro de cada elemento finito


De la misma forma se calculan los esfuerzos cortantes en los once elementos restantes. La Gráfica 4-2 resume los valores de esfuerzos calculados en dirección y y x. Se observa que el valor del esfuerzo en un nudo cambia de acuerdo al elemento del cual fue calculado. Por ejemplo: el esfuerzo cortante en dirección y en el nudo 5 es igual a: 889.9 kN/m2 según el nudo k del elemento 1, 2784.8 kN/m2 según el nudo m del elemento 2, 2784.8 kN/m2 según el nudo j del elemento 4, y de 889.9 kN/m2 según el nudo i del elemento 5. Recordando que los esfuerzos son derivadas de la función de Prandtl y analizando los resultados anteriores, se demuestra que no existe continuidad en la primera derivada de la función φ. El cálculo más común de los esfuerzos en los nudos, consiste en promediar entre los valores de esfuerzos de los elementos asociados a dicho nudo. La siguiente gráfica muestra los esfuerzos en los nudos utilizando este tipo de aproximación.

De acuerdo con los términos de la matriz [B], los valores de esfuerzos dentro de un elemento finito rectangular bilineal siguen una trayectoria recta, paralela al eje x para τyz y paralela a y para τxz.

-2151.0-3294.3-3649.3

-2033.8 -1789.4 -1058.3

-453.3-778.9-896.3

-4605.4 -4204.7 -2881.8 0.0

0.0

0.0

0.0

0.0-210.2-362.9-418.2

0.0 0.00.00.0

2881.82102.2861.8401.0

4302.23294.31498.4710.4

4998.51837.3889.9 3891.6

945.2 1941.4 4073.2 5208.9

121110

987

654

321

17 18 19 20

10 11 12 16

15987

14654

13321 1 2 3 13

4 5 6 14

1 2 3

7 8 9 15

4 5 6

16121110

7 8 9

2019181710 11 12

Esfuerzo cortante en Y. Esfuerzo cortante en X.

Gráfica 4-3. Esfuerzos cortantes promedio en los nudos de la discretización


Análisis de resultados para diferentes discretizaciones A continuación se compararán las funciones de esfuerzos y los esfuerzos cortantes generados al someter una barra prismática de sección transversal rectangular a torsión pura. Los resultados son obtenidos de la solución analítica del problema y de análisis con elementos finitos para diferentes discretizaciones. Se resolvió el problema utilizando cuatro discretizaciones diferentes, todas con elementos cuadrados bilineales. Para cada caso se calculo: la función de esfuerzos en los nudos, los esfuerzos cortantes en los extremos y en el centro de cada elemento, y los promedios de esfuerzos en los nudos. La Figura 4-5 muestra una cuarta parte de la sección discretizada de acuerdo con las configuraciones utilizadas para el problema.

Los resultados del análisis con elementos finitos usando la malla más densa (768 elementos), se muestran en las siguientes tres gráficas.

Figura 4-5. Discretizaciones para resolver el problema utilizando el MEF

4@0.

05m

[email protected]

8@0.

025m

[email protected] [email protected]

16@

0.01

25m

[email protected]

32@

0.00

625m

12 elementos20 nudos




malla 1 malla 2 malla 3 malla 4


Gráfica 4-4. Función de Prandtl para sección rectangular calculado con MEF


500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

6000

0 0.05 0.1 0.150

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

x (m)

y (m

)

5 00

500

500

1000

1000

1000

1500

1500

1500

2000

2000

2000

2500

2500

3000

3000

3500

3500

4000

4000

4500

4500

500 0

5000

5500

-5000

-4500

-4000

-3500

-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

0 0.05 0.1 0.150

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

x (m)

y (m

)

-5000

-4500

-4000 -3500

-3000

-250

0

-2500

-200

0

-2000

-150

0

-1500 -1

000

-1000

-500

-500

-500

0

0

0

esfuerzo cortante en y

esfuerzo cortante en x

0 0.05 0.1 0.150

1000

2000

3000

4000

5000

6000

x (m)

esfu

erzo

cor

tant

e en

y (k

N/m

2)

3x4 6x8 12x24 24x32 analítica

0 0.05 0.1 0.15-500

-450

-400

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

x (m)

esfu

erzo

cor

tant

e en

x (k

N/m

2)

3x4 6x8 12x2424x32

Gráfica 4-5. Líneas de isoesfuerzos en ¼ de sección rectangular calculadas con el MEF

Gráfica 4-6. esfuerzos cortantes sobre el eje X diferentes discretizaciones


La Gráfica 4-4 ilustra a la función de Prandtl o de Esfuerzos variando en la sección transversal. Se observa que los bordes de la sección cumplen la condición de frontera, es decir, el valor de la función de esfuerzos es cero. Además, se puede apreciar que la pendiente varia desde el centro hacia los puntos medios de los lados, haciéndose máxima en la mitad del lado más largo y adoptando un valor de cero en el centro de la sección. La Gráfica 4-5 muestra la distribución de esfuerzos cortantes en dirección Y y en X sobre la sección transversal. Se puede identificar en estas gráficas que los lugares de máximo esfuerzo son los puntos medios de cada lado. Para comparar los resultados calculados analíticamente contra los obtenidos con el MEF en diferentes discretizaciones, se evaluaron esfuerzos cortantes y funciones de Prandtl sobre el eje X positivo (Figura 4-1). En general, la función de esfuerzos generada para Y igual a 0 y valores de X entre 0 y 0.15m., describe una curva suave, cóncava hacia abajo, igual a cero en X = 0.15m. y máxima para X = 0 (Gráfica 4-7).

0 0.05 0.1 0.150

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

x (m)

func

ión

de P

rand

tl (k

N/m

)

3x4 6x8 12x24 24x32 analítica

1 2 3 4 5 6 7 85000

5200

5400

5600

5800

6000

6200

n

esfu

erzo

máx

imo

(kN

/m2)

3n x 4n : elementos(3n+1) x (4n+1) : nudos

3n@d = 0.15m

4n@

d =

0.2

0m

d

d

Gráfica 4-7. Función de Prandtl sobre el eje X Gráfica 4-8. Esfuerzo máximo para cada malla


No existe una diferencia apreciable entre los valores de la función de esfuerzos obtenidos del análisis racional y del MEF, para las discretizaciones de 6x8, 12x16 y 24x32 (Gráfica 4-7). Mientras que los valores generados por la malla de 3x4, muestran una pequeña distancia con los demás resultados. Los esfuerzos cortantes en Y sobre el eje X, indican que en general existe una buena aproximación de los resultados de las mallas de 6x8, 12x16 y de 24x32. Sin embargo, en las regiones cercanas a los extremos de la curva (Gráfica 4-6), los valores aproximados se alejan un poco de la solución analítica. Sobre el eje X, los valores del esfuerzo cortante en dirección X son muy pequeños. En la Gráfica 4-6 se puede observar, a una escala mayor, la variación de estos esfuerzos para diferentes aproximaciones. A medida que la discretización se hace más densa se reduce el valor del esfuerzo. De la solución analítica se establece que el esfuerzo cortante en X sobre el eje X, debe ser igual a cero. Además de los cuatro modelos utilizados anteriormente, se calculó el esfuerzo cortante máximo para mallas de 3·n por 4·n, donde n = 1,2,3, ... 8. En la Gráfica 4-8, los ocho valores de esfuerzo máximo se indican con circulos y el valor analítico con una la línea asintótica. Todo lo anterior indica que es suficiente discretizar una cuarta parte de la sección con 48 elementos cuadrados, con el fin de obtener resultados de esfuerzos con un error máximo del 7.6%.


Bibliografía 1. CIFUENTES C., Gustavo. Notas de clase de Elementos Finitos. Primera edición.

Universidad Nacional de Colombia. Bogotá. 1996.

2. LINERO S., Dorian Luis. Euler. Programa Didáctico de Elementos Finitos. Universidad

Nacional de Colombia. Bogotá. 1999.

3. MELOSH, Robert. Structural Engineering Analysis by Finite Elements. Prentice Hall.

New Jersey. 1990.

4. ORTIZ B., Luis. Elasticidad. Tercera edición. McGraw Hill. Madrid. 1998.

5. SEGERLIN, LARRY. Applied Finite Element Analysis. Segunda Edición. Jhon Wiley &

Son. New York. 1984.

6. TIMOSHENKO, S. & GOODIER, J. Theory of Elasticity. Tercera edición. McGraw Hill.

1970.

Solución de Problemas de Torsión Pura en Elementos Prismáticos utilizando el

Método de los Elementos Finitos

Dorian Luis Linero Segrera Profesor Asistente. Universidad Nacional de Colombia

Ingeniero Civil. Magíster en Estructuras. Universidad Nacional de Colombia

Bogotá, octubre de 2001

introducción - universidad nacional de colombia · con excepción de las barras prismáticas de...

Documents