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Tema IV

Torsión en barras prismáticas

Torsión

La torsión pura se presenta en toda barra rectacuando las fuerzas solicitantes actúan sólo enlas bases extremas, y equivalen mecánicamentea dos pares de sentido opuesto, cuyo ejecoincide con el eje de la pieza. Siendo la barrade sección constante, todas las seccionestransversales están solicitadas en idéntica forma.En cuanto a la deformación presenta comocaracterística mas acentuada, un giro elementalde cada sección, con respecto a la inmediata,alrededor del eje de la pieza.

Mecánica de materiales – Torsión

Ilustración de la deformación por torsión


Secciones Macizas

Sección circular. Sección elíptica. Sección triangular equilátera e isósceles. Sección rectangular y rectangular estrecha. Sección segmento circular y sector circular. Sección diamante y diamante truncado Sección trapezoidal. Sección paralelogramo. Otras.


Barra recta de sección circular

Consideremos un barra recta de seccióncircular empotrada en uno de sus dos lados,sobre la cual actúa un momento torsor; setoma el plano XY como el plano de la base, y eleje OZ coincide con la directriz de la barracomo se indica en la siguiente figura.


Barra recta de sección circularMecánica de materiales – Torsión

Distribución de esfuerzos en la sección


max

max

X

max

Y

De la figura, notamos que los desplazamientos son:

sinsincoscos

rrvrru

Con las identidades trigonométricas ytomando en cuenta que para ángulos muypequeños de giro Cos() =1 y Sen() = tendríamos:

xvyu


Desplazamientos

Hay que tomar en cuenta que cada seccióntransversal sufre un giro diferente proporcionala la distancia Z que hay hasta la base fija:

Donde θ es el ángulo de torsión por unidad de longitud a lo largo de la dirección Z

0 wxzvyzu

desplazamientosMecánica de materiales – Torsión

Tensor de esfuerzo para torsión pura

0

0000

zyzx

yz

xz

ij

Donde:

YGzu

xwGG zxzx

XGzv

ywGG zyzy


Esfuerzo de corte y ángulo de giro

yJTx

JT

zxzy00

00max GJ

TJTR

El esfuerzo máximo se produce en el contorno(x=±R, y=0) y (x=0 , y=±R) entonces elesfuerzo de corte máximo sería:

Donde:2

4

0RJ


Desplazamientos en función del momento torsor

0

0

0

w

xzGJ

Tv

yzGJ

Tu


Rigidez de torsión

Es la relación que existe entre el momento torsor y el ángulo de giro.

GJGRTD o

2

4


Torsión en barras de sección elíptica

X

Y

(0,b)

(a,0)(-a,0)

(0,-b)

max

maxmax


Rigidez de torsión

22

33

33

4422

4;

4

4

babaGD

tienesendosimplificaydosustituyen

abIbaIdonde

IaIbyx

GD

xy

xy


Ángulo de giro

33

22

baba

GT

DT

El ángulo de giro experimentado por la sección por unidad de longitud esta dado por:

Sustituyendo el valor de D se tiene:


Alabeo de una sección elípticaMecánica de materiales – Torsión

a

b

a>b

Función de alabeo Φ(x,y) y función conjugada Ψ(x,y)

2222

22

22

22

2,

,

xyababyx

xyababyx


Esfuerzo de corte máximo

2max2abT

4

2

4

222 2

by

ax

abT

zyzx

El esfuerzo de corte máximo ocurre en los extremosdel eje menor de la elipse de contorno, es decir, enx=0 e y=±b sustituyendo estos valores en laecuación anterior se tiene:


max

(-a,0)

(0,-b)

(0,b)

Y

X(a,0)

Esfuerzo de corte máximoMecánica de materiales – Torsión

Alabeo de la sección

xybaab

GTzyxw

xzbaba

GTzyxv

yzbaba

GTzyxu

33

22

33

22

33

22

,,

,,

,,


Torsión en piezas de sección triangular equilátera


Rigidez de torsión y ángulo de giro

4

4

380

803

aGT

DT

GaD


Alabeo de una sección triangular


Función de alabeo y función conjugada

ayxaxyayya

yx

xaxaxyaxya

yx

3663263),(

2363

223

3),(

22

22


Esfuerzo de corte máximo y ángulo de giro

3max20a

T

2

225 3

2280

xaxayyaxya

T

El esfuerzo cortante máximo se encuentra en elcentro de cada lado del triángulo, por ejemplopara el lado AC el esfuerzo máximo está en x=a/2e y=0


Alabeo de la sección

xaxaxyaxyGa

Tzyxw

xzGaTzyxv

yzGaTzyxu

2363

22

80),,(

380),,(

380),,(

22

5

3

3


Torsión en piezas de sección rectangular

(0,b/2)

(-a/2,0) (a/2,0)

(0,-b/2)

b/2

a/2Y

zy

zx

x

dy

T


Para verificar que lasección rectangular nosea estrecha se debecumplir que b/a ≤5

Alabeo de una sección rectangular


Función de alabeo y función conjugada

0 33

222

2

0 33

2

2cosh12

1821

4),(

2cosh12

18),(

n n

nnn

n n

nnn

bn

xsenhysenhaxyayx

bn

xsenhysenhaxyyx


Esfuerzos cortantes

0 22

0 22

2cosh12

cosh142

2cosh12

cosh18

n n

nnn

zy

n n

nnn

zx

bn

xsenhyaxGa

bn

xysenhGa


Rigidez de torsión

13

055

3

122

tanh1921

31

KGbaD

n

b

baGbaD

n

n


Ángulo de giro

0551

31

122tanh1921

31

:

n

n

n

b

baK

dondebGaK

T



023

122

2max

2cosh121412

:

n nbn

K

KKKdonde

baKT


Constantes de torsión para una barra de sección rectangular

b/a K K1 K2

1,00 0,675 0,1406 0,2081,20 0,759 0,166 0,2191,50 0,848 0,196 0,2312,00 0,930 0,229 0,2462,50 0,968 0,249 0,2583,00 0,985 0,263 0,2674,00 0,997 0,281 0,2825,00 0,999 0,291 0,29110,00 1,000 0,312 0,312

∞ 1,000 1/3 1/3


Sección triangular isósceles

b

a

c



3

3

max

0500,0600554,090

cQparacQpara

QT


Angulo de giro unitario

4

4

22

33

0216,0,º600261,0,º90

2015

cKparacKpara

babaKdonde

KGT

Rigidez de torsión:

D = KG


Sección segmento circular

R



3max CRQdonde

QT

0º 30º 60º 80º 90º

C π/2 1,25 0,8 0,49 0,35



3CRKdondeKGT

0º 30º 60º 80º 90º

C π/2 1,47 0,91 0,48 0,296

Rigidez de torsión:

D = KG=CR G


3

Sección diamante y diamante truncado

B

A



KTc

max

punto h’/h

90º 80º 70º 60º 50º 40º 30º

B 1,000 0,675 0,656 0,637 0,585 0,536 0,448 0,356A 0,750 0,589 0,527 0,452 0,378 0,288 0,138 ---B 0,750 0,651 0,646 0,635 0,596 0,555 0,485 0,382A 0,500 0,699 0,608 0,541 0,467 0,417 0,368 0,292B 0,500 0,511 0,547 0,551 0,548 0,616 0,475 0,437

C depende de y de h’/h

Valores de c


Angulo de giro unitario y rigidez de torsión

KGT

cos31sin25,0sin5,0 2

4

aK

Cuando = 70º y h’ > 0,75h el valor de K sería:

Cuando > 70º y h’ > 0,75h ó h’ < 0,75h el valor de K sería:

inerciadepolarMomentoI

ltransversacciónsedeareaAI

AK

P

P

40

4


D = KG

Sección Trapezoidal

b

h



3max cbQdonde

QT

h/b

0,577 1 2 3 4

90º --- 0,208 0,493 0,801 1,150

60º 0,077 0,184 0,474 0,781 1,102

45º --- 0,160 0,446 0,746 1,066

30º ---- --- 0,402 0,697 1,014

Valores de c



4cbKdondeKGT

h/b

0,577 1 2 3 4 h/b>4

90º --- 0,141 0,457 0,790 1,123 ---

60º 0,038 0,125 0,436 0,768 1,101 h/3b-0,232

45º --- 0,104 0,398 0,729 1,061 h/3b-0,271

30º --- --- 0,345 0,674 1,007 h/b-0,326

Valores de c


Sección Paralelogramo

2b

2a


Esfuerzo de corte máximo3

max cabQdondeQT

b/a

15º 30º 45º 60º 75º

1,00 1,618 1,207 0,7442 0,3468 0,088591,20 1,350 1,008 0,6231 0,2909 0,074341,50 1,084 0,8151 0,5071 0,2384 0,061212,00 0,8200 0,6237 0,3930 0,1871 0,048472,50 0,6605 0,5076 0,3232 0,1554 0,040553,00 0,5533 0,4256 0,275 0,1332 0,03493

Valores de c


Angulo de giro unitario3cabKdonde

KGT

b/a

15º 30º 45º 60º 75º

1,00 2,038 1,502 0,8448 0,3092 0,044051,20 1,670 1,230 0,6909 0,2525 0,035941,50 1,253 0,9203 0,5148 0,1873 0,026562,00 0,8129 0,5943 0,3300 0,1192 0,016792,50 0,5599 0,4078 0,2253 0,0808 0,011343,00 0,4055 0,2946 0,1621 0,0579 0,00811

Valores de c


Sección de un Sector Circular

R



3max CRQdonde

QT

60º 120º 180º

C 0,0712 0,227 0,35

Valores de C para calcular Q



4CRKdondeKGT

45º 60º 90º 120º 180º 270º 300º 360º

C 0,018 0,035 0,082 0,148 0,296 0,528 0,686 0,878

Valores de C para calcular K

Rigidez de torsión

D=KG=CR G


4

Sección circular con lados opuestos achatados

R W



3max CRQdonde

QT

W/R 7/8 3/4 5/8 ½

C 1,155 0,912 0,638 0,471

Valores de C para calcular Q


Angulo de giro unitario4CRKdonde

KGT

W/R 7/8 3/4 5/8 ½

C 1,357 1,076 0,733 0,438

Valores de C para calcular K

Rigidez de torsión

D=KG=CR G


4

Sección circular hueca excéntrica

d

e

D



Ddny

desiendo

nnnnnnnnnnn

nnnnnnn

nnn

nnF

dondedD

TDF

48642

121086424

3642

64222

42

2

2

2

44max

111131418281912264

111232148

1132

141

16



Q

GdDKGD

torsiónderigidez

nnn

nnnQsiendo

QdDKdonde

KGT

32

11384

11161

32

44

4422

42

42

2

44


Torsión en piezas de sección cuadrada

max

min=0

X

Y

max


Ángulo de giro

43 1124,71406,0 Ga

TaGa

T

bGaKT

31

Como a = b y para b/a = 1 K1=0,1406 entonces:


Rigidez de torsión D = 0,1406Ga4


32max 8077,4208,0 a

Taa

T

baKT

22

max

Como a = b y para b/a=1 K2=0,208 entonces:


Torsión en piezas de sección rectangular estrecha

c

d

Y

X


Para verificar que lasección rectangular seaestrecha se debe cumplirque c/d > 10

Ángulo de giro

dGcT

dGc

T3

3

3

31

bGaKT

31

a = c ; b = d y para b/a >10 K1=1/3


Rigidez de torsión D = 1/3(a bG)3


dcT

dc

T2

2max

3

31

baKT

22

max

a = c ; b = d y para b/a >10 K2=1/3


Analogía de la membrana (resolución experimental del problema de torsión)Consideremos una membrana homogénea,flexible y elástica, inicialmente plana tensadauniformemente en su contorno por un esfuerzounitario (S) y solicitada por una presión verticalconstante (P). Supóngase que el contorno esprecisamente el de la sección transversal de lapieza solicitada por torsión. Esta membrana sedeforma y sus puntos experimentandesplazamientos verticales Z en función de X e Y.Las ecuaciones de los diferentes parámetros delas secciones transversales que se muestran acontinuación fueron calculados usando la analogíade la membrana.


Equilibrio de una membrana elástica


Componentes verticales y fuerzas resultantes de una membrana elástica


Sumando las fuerzas de la última columnae igualando a cero se obtiene la ecuaciónde equilibrio del elemento de la membrana.

02

2

2

2

Pdxdydxdy

yzSdxdy

xzS


La membrana, en su deformación, adopta la forma de una superficie Z=Z(x,y)


CsobreyxZ

AenSP

yz

xz

0,

2

2

2

2

yz

PSG

xz

PSG

zy

zy

2

2

Los esfuerzos quedarían expresados de la siguiente manera


La componente del esfuerzo zy según el eje Oy,es proprcional a la pendiente ∂z/∂x que lamembrana presenta, según Ox.

Correlativamente, la componente zy, según Ox,es proporcional a la pendiente ∂z/∂y


Observando las ecuaciones anteriores sepuede concluir lo siguiente

Analogía de la membranaMecánica de materiales – Torsión

Para conocer en todo punto el esfuerzo ,será preciso medir la máxima pendiente dz/dn,por ser ésta normal a la referida curva de nivel

dndz

PSG

zyzx

2

cossin


El momento torsor se expresa como:

A

A

dxdyyxzP

SGT

dxdyyxzPSGDT

,4

,22


Observando la integral se comprueba que laecuación de enlace entre T y θ puedeexpresarse en función del volumen (V), limitadopor la membrana y el plano de contorno.

SVGPT

VPSGT

4

4


VPSGTD 4

Rigidez de torsión

Los esfuerzos en función del volumenserían

dndz

VT

yz

VT

xz

VT

zy

zy

2

2

2


En resumen tendríamos

membranalaenencerradovolumenT

VdxdyyxzT

dndz

yz

xz

yxzyx

A

zxzy

2

2,2

,,

,,


Secciones tubulares de pared gruesa cerrados

Sección circular.

Sección elíptica.


Barra recta cilíndrica de sección anular

max

Y

max

X

max

R

rro t


Para verificar que la sección sea de pared gruesa, se debe cumplir que:

ro/ t < 10

Esfuerzo máximo de corte y ángulo de giro

RrKdonde

KRT

43max 12

2

44

00

rRJdondeGJT


Secciones tubulares de pared gruesa cerrados

y

x

a

am

ao

b

bo

t


Para verificar que la sección sea de pared gruesa se debe cumplir que am / t < 10

Diámetro anular

422

33

1 KbabaGTDanular

20

20

30

30

22

33

int

baba

babaGD

DDD

anular

eriornucleomacizocilindroanular

Como K = ao/a y K = bo/b entonces:


Componentes del esfuerzo cortante

No se puede mostrar la imagen en este momento.

yKab

Tyba

aG

xKba

Txba

bG

zy

zy

4322

2

4322

2

122

122


Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión

433

22

11Kba

baGT

basiKab

T

42max 1

2


422

33

1 KbaGbaD

Secciones tubulares cerradas de pared delgada

Sección rectangular.

Sección elíptica.

Sección circular.


Ecuaciones de Bredt

tAT

m2max tGA

TStGA

fS

mm242


Estas ecuaciones fueron obtenidas mediante laanalogía de la membrana, y es a partir de estasque se calcula el esfuerzo de corte máximo paralas siguientes secciones tubulares de pareddelgada.

Sección rectangular

d2

d1

t


Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que

d2 / t ≥ 0


tddT

21max 2

GT

tdddd22

21

21

2


21

22

212

ddtGddD

Sección Elíptica

aa

b

b

t


Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que a / t ≥ 10


abtT

2max

GT

tbaba22

22

42


22

22

24

batGbaD

Sección Circular

rot


Para verificar quela sección sea depared delgada, sedebe cumplir

ro / t ≥ 10

Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro y rigidez de torsión

trT

2max 2

GtrT32


tGrD 302

Productos tubulares de pared delgada abiertos

ro

t


Para verificar que lasección sea depared delgada sedebe cumplir que

ro / t ≥ 10


18012

3

20

max

tr

T

18012

3

30

Gtr

T


º180º12

31 3

0 GtrD

Sección Elíptica

aa

b

b

t


Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que a / t ≥ 10


bat

T

2max 23

GbatT

32

3


GbatD 3

32

Sección rectangular

d2

d1

t


Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que

d2 / t ≥ 0


batT

2max 23

GbatT

323


GbatD 3

32

Secciones de perfiles laminados

Sección en L.

Sección en T.

Sección en U.

Sección en I.


Perfil laminado en L

c

a

r

b



cbacTK

2max3

GcbacT

3

3

GcbacD 3

31


374,1rcK

Perfil laminado en T

b

h

r

c



chbcTK

2max3

GchbcT

3

3


GchbcD 3

31

374,1rcK

Perfil laminado en U

c1

h

c

b



1311

3max 223 c

bcchcTK

GbcchcT

311

3 223

GbcchcD 311

3 2231


3 174,1

rccK

Perfil laminado en I

c

c1

b

h



1311

3max 223 c

bcchcTK

GbcchcT

311

3 223

GbcchcD 311

3 2231


3 174,1

rccK

Secciones con dependencia triple o múltiple

Las secciones transversales que tengandependencia triple o múltiple puedendescomponerse en forma doblemente conexas,que se denominan células; es posible asignar acada célula un flujo tangencial constante fi,manteniendo para todas la células el mismosentido de circulación (correspondiente al giropositivo alrededor del eje z). Llamando Ai el áreaencerrada por la línea media de la pared de lacélula i. La participación de la célula i en elmomento torsor T será igual a 2Aifi


Celula 1 Celula 2

Celula 3Celula 4Celula 5

f1 f2

f1f2

f3

f3f4f5

f5

f12

f14f15

f45 f34

f23

Secciones con dependencia triple o múltiple


Células descompuestas

Am5f5

f5 f5-f15

f1

f15

f1

f1

f34

-f15

f4

-f45f4

f45Am4

-f34

f12

Am1

-f12

f3Am3

f3-f23

f3

Am2f23

f2 f2

f2


El momento torsor total transmitido por la barra sería

N

iiiNtotal fATTTT

121 2......

El flujo tangencial que actúa en cada paredintermedia está formada por dos partes, quecorresponden a las células situadas a amboslados. Como consecuencia de la igualdad desentido de circulación en todas las células, cadapared intermedia absorbe la diferencia de losflujos tangenciales de las células adyacentes


jiij fff

En las paredes que rodean a la célula i actúanlos flujos fij en el sentido de circulación de lacélula i, entonces se va a introducir lasiguiente notación para cada una de lasintegrales de la ecuación del ángulo de giro

ij jiijt

ds


Entonces tendríamos las siguientesecuaciones

NiparaAGff

AGff

tdsAGf

mij

jijii

mj

ijij

iji

j ji iijmijij

,...,2,12

2

2


El ángulo de giro quedaría expresado como:

jn

ijijii

mi

ffGA 121


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