FECHA DE CLASIFICACIÓN: JUNIO DE 2007UNIDAD RESPONSABLE: DEPTO. DE ORGANIZACIÓN Y PROMOCIÓN DE LA INVESTIGACIÓNCARACTER CONFIDENCIALPARTES CONFIDENCIALES: CARÁTULA Y ANEXOSFUNDAMENTO LEGAL: Art. 3 Fracc. II, Art. 18 Fracc. II y 21, LFTAIPG, Lineamiento 32º Fracc. VII, VIII, XVII_

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALSECRETARÍA DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO

PROTOCOLO PARA PROYECTOS DE INVESTIGACIÓN O PROPUESTAS DE ESTUDIO (Enero 2008 - Diciembre 2008) ESTUDIO DE UN MODELO EXPERIMENTAL, BASADO EN EL FLUJO DE LIQUIDOS, BAJO CONDICIONES NORMALES DE OPERACIÓN, PARA ANALIZAR EL COMPORTAMIENTO DE LA ECUACIÓN CUADRATICA DE LA FORMA aX²+ bX + c = 0 EN LA ASIGNATURA DE ALGEBRA PROYECTO INDIVIDUAL CECyT “Carlos Vallejo Márquez” Departamento de Materias Básicas Academia de Matemáticas Registro asignado por la SIP: 20080622 Directora del Proyecto de investigación: Concepción Georgina Noroña Venegas Plaza: Asociado C - (BASE) Horas de nombramiento: 20 RFC: NOVC531120 Profesor asistente: Yolanda Gaspar Cruz Plaza: Asociado B - (BASE) Horas de nombramiento: 30 RFC: GACY-610615 Alumnos PIFI Claudia Jiménez Alumnos Servicio Social Michelle Nivel académico del Proyecto: Medio Superior Clasificación CONACyT: Sector: Sector Educación Subsector: Promoción en las Instituciones del Desarrollo de la Ciencia Básica

DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO

1.1 Resumen

Estudio de un modelo experimental basado en el flujo de líquidos bajo condiciones normales de operación, para analizar el comportamiento de la ecuación cuadrática de la forma aX² + bX + c = 0 en la asignatura de algebra. Se observa que el alumno, en la generalidad no relaciona la teoría con situaciones de su entorno de aspecto práctico y mediante la observación de este modelo experimental, será capaz de graficar diferentes variables, como tiempo, volumen, variación de diámetro, altura de líquido, etc. obteniendo una curva de la forma de la ecuación cuadrática.

Palabras clave: Ecuación cuadrática, flujo de fluidos, tanques.

1.2 Objetivos

Facilitar al alumno la comprensión de la ecuación cuadrática mediante la práctica para propiciar el proceso de integración del aprendizaje significativo, que derive en una actitud propositiva, analítica y reflexiva, logrando que obtenga sus propias conclusiones.

3 6

INDICE

1. Fundamentación de la Ecuación Cuadrática en general

2. Introducción a la Fundamentación de Flujo de Fluidos

. Fundamentación de la propuesta del Modelo Experimental

4. Propuesta del Modelo Experimental 5. Análisis de las variables involucradas en el Modelo

Experimental . Análisis del comportamiento de las variables

involucradas en el Modelo Experimental 7. Análisis del comportamiento de la forma de la Ecuación

Cuadrática con respecto al Modelo Experimental

8. Generación de las gráficas 9. Cálculos para el diseño y construcción del Modelo

Experimental 10. Anteproyecto del Modelo Experimental

1. Fundamentación de la Ecuación Cuadrática en general

La Ecuación Cuadrática es una forma de expresión de una función generada para satisfacer el estudio de un fenómeno de la naturaleza.

El concepto de función tal y como se conoce hoy en día, surgió hasta el siglo XVIII. El primer matemático que intenta dar una definición formal del concepto de función fue Leonhard Euler que la definió de la siguiente forma:

"Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por números o cantidades constantes'' Leibniz es el que utiliza por primera vez en la historia, la palabra "función" cuando tenía alrededor de 31 años

El concepto de función indiscutiblemente permitió profundizar en el conocimiento de la naturaleza y al mismo tiempo dio origen a diversas disciplinas, sin las cuáles, no existirían en la actualidad campos tan diversos en ingeniería, matemática y física teórica.

Una Ecuación Cuadrática consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de las incógnitas. Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación.

Una Ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es aquella en la cual el mayor exponente de la incógnita (en este caso x) es dos.

La forma general de la ecuación cuadrática es:

ax2+ bx + c = 0 donde a, b, c son cualquier número real.

Se clasifican de acuerdo a si están completas no. Cuando esta completa se le llama Ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática completa General

Una ecuación cuadrática se denomina completa si sus coeficientes son no nulos

ax2+ bx + c = 0

La Ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática Completa Particular es cuando el coeficiente a es igual a 1 (a=1)

x2+ bx + c = 0 La Ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática Incompleta Pura es cuando la ecuación carece del término de primer grado

ax2+ c = 0

Se llama Incompleta Binomial cuando carece del término libre. (o sea que el término libre es igual a cero.)

ax2+ bx = 0 Y el último caso es cuando la ecuación carece del término de primer grado y del término libre.

ax2 = 0 La ecuación cuadrática genera el objeto geométrico llamado Parábola, cuando se grafica.

Es una curva muy interesante y muy común. Aparece en numerosos fenómenos naturales frecuentes, tales como: el chorro de una fuente, la trayectoria que describe un balón de fútbol, el movimiento de un proyectil disparado por un cañón, etc.

La definición geométrica de la parábola es:

La parábola es el conjunto de los puntos del plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo F (que se llama foco) y de una recta también fija d (que se llama directriz).

La forma de la gráfica se puede determinar analizando una parte de la Ecuación General que es una de las formas de solución de la Ecuación Cuadrática

En esta ecuación, la parte dentro de la raíz cuadrada se le nombra discriminante y junto con el valor de a determinan la posición de la parábola con respecto a los ejes de la forma siguiente:

I

Se anexa un archivo con un simulador de Ecuación Cuadrática, con el nombre de “Gráfica de Función Cuadrática” donde es posible graficar cualquier ecuación de la forma y=ax2+bx+c,

2. Introducción a la Fundamentación de Flujo de Fluidos

El Flujo de Fluidos es un tema de interés común en muchas áreas de la Ingeniería. Su objetivo principal es el movimiento de líquidos, y en las empresas siempre hay necesidad de transportarlos de un lugar a otro o de almacenarlos.

El líquido más frecuente en la vida diaria, es el agua, que corre por las tuberías de la casa o está almacenada en tanques para nuestro servicio.

Cuando se desea mover un líquido va generalmente desde el tanque de almacenamiento a los lugares donde será usado, a través de tuberías.

El Flujo de Fluidos involucra las siguientes etapas, que se muestran esquemáticamente en la Figura 1

EQUIPO CONDICIONES DE OPERACIÓN Tuberías,

bombas, tanques, compresores, ventiladores, agitadores

Gasto de fluido Caídas de presión Temperatura Potencia Alturas hidrostáticas Densidad Viscosidad, etc

LEYES DE LA NATURALEZA

Ley de Newton (Viscosidad) Leyes de los Fluidos No Newtonianos Ecuación de Bernoulli Ecuación de Darcy

FLUJO DE FLUIDOS

Figura No. 1

El tema de Flujo de Fluidos se desarrolla estableciendo balances de materia y energía, que sirven de base para dimensionar equipos y tuberías que permiten que el líquido se mueva de un lugar a otro.

La teoría de Flujo de Fluidos nos dice: Un fluido es una sustancia que tiene la facilidad de moverse libremente, por lo que no tiene forma propia, sino que adopta la forma del recipiente que lo contiene.

Hay dos estados fluidos: el líquido y el gaseoso.

Otra forma de definir un fluido nos dice que es aquel que sufre deformaciones cuando se le aplica una fuerza tangencial, siendo esta diferente a una fuerza de compresión. El fluido al recibir esta fuerza tangencial, se deforma y fluye.

Los líquidos presentan una resistencia a la deformación, llamada viscosidad. Los fluidos menos viscosos, fluyen más fácilmente. La ley que relaciona la viscosidad de los fluidos se llama Ley de Newton y es la siguiente:

Ecuación (1) dudz

τ μ=

VARIABLES CONSIDERACIÓN Fuerza tangencial, Pascales

Viscosidad, kg/ms du / dz Velocidad de corte

μ1S −

La viscosidad de los fluidos varía con la temperatura y existen Nomogramas para su cálculo.

Los fluidos que siguen la Ley de Newton se llaman Fluidos Newtonianos, y tienen una viscosidad constante a todas las velocidades de corte.

Los Balances de Materia y Energía se evalúan, porque cualquier fluido, para moverse como materia, consume energía.

La principal ecuación para estos balances es la Ecuación de Bernoulli que es la siguiente:

Ecuación (2) ( ) ( ) ( )2 2

2 1 2 1 2 11 1

2c c

FgZ Z u u P Pg g M

τρ

−− + − + − = − ∑

VARIABLES DEFINICIÓN Altura Velocidad Presión Densidad Perdidas por fricción

Gasto Másico Aceleración de la gravedad Factor de conversión

Zu

ρP

F∑Mg

cg

La última Ley de la Naturaleza mencionada es la Ecuación de Darcy que se refiere a las Perdidas por Fricción ∑F

Ecuación (3) 2

2DC

FP uf LM g Dρ

Δ= =∑

VARIABLES DEFINICIÓN Velocidad Diámetro de la tubería Longitud de la tubería Viscosidad Densidad Perdidas por fricción

Gasto Másico Diferencia de presión Factor de conversión Coeficiente de Fricción de

Darcy

u

DLμρ

F∑M

PΔ

cg

Df

3. Fundamentación de la propuesta del Modelo Experimental Como se observa, el manejo de Fluidos es muy importante en la vida diaria y en forma sencilla e incompleta, se han mostrado las bases teóricas.

Uno de los casos más sencillo en el Flujo de Fluidos es el de tanques cilíndricos de almacenamiento, verticales, abiertos a la atmósfera que se vacían a través de una perforación hecha en el costado o en el fondo del tanque de almacenamiento del líquido, como se muestra en la Figura No. 1

Sección del Tanque abierto a la atmósfera

Líquido

almacenado

Líquido desplazándose a través de una perforación en el fondo

Figura No.1

En este caso, muchas de las variables mostradas en la sección anterior, permanecen constantes y por lo tanto no intervienen en los cálculos, quedando tan solo el volumen de líquido desalojado en el tanque y el tiempo que se emplea.

En este proyecto se hace la propuesta de construir un modelo que represente este caso sencillo, un tanque lleno de agua con una perforación en el fondo para el vaciado del tanque, a fin de lo siguiente:

A través de la curva generada por el vaciado del tanque al graficar volumen de fluido desalojado contra tiempo de vaciado, y la generación de una gráfica generada por una ecuación propuesta se puede hacer un análisis y comparación.

En esta acción, el alumno genera su curva experimental con los datos obtenidos al vaciar el tanque modelo, tomando directamente los datos de tiempo y volumen desalojado. Comprueba la información a través del cálculo con las ecuaciones correspondientes y que se han vertido en un pequeño simulador en Excel que se anexa y como final, el alumno hace una propuesta de una ecuación cuadrática que podría desarrollar una gráfica similar.

Esta propuesta involucra un conocimiento y razonamiento, por parte del alumno, de la forma que adoptan las gráficas generadas por ecuaciones cuadráticas. A este fin se anexa un simulador en el que se puede asignar diferentes valores a las constantes a, b, y c y es posible ver las diferentes formas que adopta la ecuación cuadrática al ser graficada. El alumno puede jugar en el, antes de hacer su propuesta final de ecuación cuadrática.

Las variables que intervienen en la experimentación son las que se mencionan a continuación, y también se mencionan las consideraciones que se harán en los cálculos correspondientes:

VARIABLES CONSIDERACIÓN Volumen Dependiente de tiempo y

cantidad de líquido en el tanque

Gasto del líquido Es una función del volumen y del tiempo

Tiempo Para cálculos tomado directamente del experimento al vaciarse el tanque

Presión Se considera la atmosférica y no cambia a lo largo del proceso. No interviene en los cálculos

Densidad Se considera constante. Se trabaja con agua y no cambia a lo largo del proceso. No interviene en los cálculos

Viscosidad Se considera constante. Se trabaja con agua y no cambia a lo largo del proceso. No interviene en los cálculos

Temperatura Se considera la temperatura ambiente. Es constante a lo largo del proceso. No interviene en los cálculos

Área seccional del tanque Es la del equipo, es constante y no cambia a lo largo del proceso. No interviene en los cálculos.

Área seccional del orificio de salida

Es la del equipo, es constante y no cambia a lo largo del proceso. No interviene en los cálculos

Como se ve las variables que intervienen en el vaciado del tanque son volumen, tiempo y el gasto que esta en función de las 2 anteriores. (Ver la animación adjunta).

La relación entre las dos variables no es lineal, al principio, el agua es desalojada del recipiente con mayor rapidez con respecto a la forma como se desaloja al final del vaciado, en el que el líquido se desaloja más lentamente.

Por otro lado, la teoría aplicable al Cálculo del Tiempo de Vaciado (seg) de un recipiente abierto (considerado a presión atmosférica constante), con una sección abierta a la atmósfera constante (m), que se quiere vaciar a través de un orificio en el fondo del tanque con un diámetro constante (m), se determina en la siguiente ecuación:

Ecuación (4) 22or

f Hf g

τα

= VARIABLES CONSIDERACIÓN

Tiempo de vaciado, seg

Área transversal del tanque, m²

H Nivel inicial del líquido sobre el orificio, m. α Coeficiente del Gasto.

Área transversal del orificio de salida, m²

g Aceleración de la gravedad

Para este cálculo se ha elaborado un simulador de Excel. En este simulador se puede variar también, la sección abierta a la atmósfera o el diámetro del orificio en el fondo del tanque, pero esto solo aplica cuando la variación se hace también en el equipo.

Las ecuaciones que corresponden a la relación de volumen & tiempo, no son cuadráticas, sin embargo generan, gráficamente, curvas de forma similar a las obtenidas de ecuaciones cuadráticas de la forma aX²+ bX + c = 0 por lo que, una vez generada la curva experimental, se puede empezar a jugar con una propuesta de la ecuación cuadrática que pudiera semejarse a la curva experimental.

En el mismo archivo de Excel se ha hecho otro simulador para jugar con la ecuación aX² + bX + c = 0, en la que se pueden asignar deferentes valores a las constantes a, b, y c, esto permitirá a los alumnos ver como, al jugar con el simulador, la curva varía de acuerdo con la asignación de estos valores. Un análisis y comparación de ambas curvas, les permitirá hacer una propuesta de la posible ecuación cuadrática que generaría una curva semejante.

Resumiendo, el alumno tiene dos Objetivos Específicos.

1. Elaborar la gráfica de los datos experimentales volumen & tiempo 2. Encontrar una curva generada por una ecuación cuadrática que coincida en lo

posible con las características de la curva experimental

4. Propuesta del Modelo Experimental Se elaborará un Modelo Experimental como el que se muestra en los planos. Consta de : Pieza Propiedades Tubo, 0.20 m diámetro x 1 m largo Acrílico transparente, 0.5 cm de espesor,

de alta resistencia, graduado en centímetros

Placa de 20 cms de diámetro con perforación de 1 cm al centro

Acrílico transparente ½” de espesor, de alta resistencia

Tapón, 1 cm diámetro Caucho o similar Recipiente 25 Lts Plástico o similar Abrazadera doble de acero Empaque adecuado para protección y traslado

pino pintada

Se anexa una hoja de cálculo de Excel con el nombre de Tiempo Vaciado Tanque/ Dimensiones en la que se justifican las dimensiones propuestas para el equipo.

La base de cálculo es:

a. La cantidad de volumen de líquido debe ser suficiente para que sea apreciable el experimento

b. Las dimensiones son mínimas para que el equipo sea transportable, desarmable y comercializable, ya que se propone que llegue a ser un prototipo de experimentación para laboratorios de matemáticas.

Hoja de cálculo de Excel con el nombre de Tiempo Vaciado Tanque/ Dimensiones en la que se justifican las dimensiones propuestas para el equipo.

CALCULO DE VOLUMEN DEL TANQUE, CON RESPECTO AL TIEMPO DE VACIADO

En este cálculo se puede obtener el volumen desalojado del tanque variando el tiempo en que se espera realizar el experimento y que se fija en la columna de Tiempo de Vaciado del Tanque τ

Los datos que permanecen constantes son:

Diámetro del recipiente D = 0.2 m

Coeficiente de gasto 0.61

Diámetro del Orificio de salida d = 0.1 m

Aceleración de la gravedad 9.81 m/seg²

Los datos de Área de la sección del recipiente y del orificio, se derivan de los considerados anteriormente

El Nivel inicial del líquido es una función del Volúmen que se obtiene en este cálculo, por lo que irá variando con la realización del cálculo mismo.

gfHf

or 22α

τ = TIEMPO DE VACIADO DEL TANQUE

Tiempo de Vaciado 3.5 seg

Diámetro del recipiente 0.2 m

Diámetro del orificio 0.01 m

D f H α d for 2g τ τ V m m² m m m m² m/seg² m/seg² seg min Lts

Diámetro de

recipiente

Area de sección

de recipiente

Nivel inicial

del líquido sobre

el orificio

Nivel inicial

del líquido

sobre el orificio

Coeficiente de gasto

Diámetro del

orificio de salida

Area de la sección del orificio

2 veces Aceleración

de la gravedad

Aceleración de la

gravedad

Tiempo de

vaciado del

tanque

Tiempo de

vaciado del

tanque Volume0.2 0.03 0.503 0.71 0.61 0.01 7.9E-05 19.62 4.4294 210.0 3.5 15.80

g2

H

SIMULACION DEL CALCULO VOLUMEN DESALOJADO CONTRA TIEMPO DE DESALOJO

D f H

α d for 2g

τ τ V m m² m m m m² m/seg² m/seg² seg min Lts

Diámetro de

recipiente

Area de sección

de recipient

e

Nivel inicial

del líquido sobre

el orificio

Nivel inicial

del líquido

sobre el orificio

Coeficiente de gasto

Diámetro del

orificio de

salida

Area de la

sección del

orificio

2 veces Aceleración de la

gravedad

Aceleración de la

gravedad

Tiempo de

vaciado del

tanque

Tiempo de

vaciado del

tanque Volume

n 0.20 0.03 0.01 0.10 0.61 0.01 0.0001 19.62 4.43 30.00 0.50 0.32 0.20 0.03 0.04 0.20 0.61 0.01 0.0001 19.62 4.43 60.00 1.00 1.29 0.20 0.03 0.09 0.30 0.61 0.01 0.0001 19.62 4.43 90.00 1.50 2.90 0.20 0.03 0.16 0.41 0.61 0.01 0.0001 19.62 4.43 120.00 2.00 5.16 0.20 0.03 0.26 0.51 0.61 0.01 0.0001 19.62 4.43 150.00 2.50 8.06 0.20 0.03 0.37 0.61 0.61 0.01 0.0001 19.62 4.43 180.00 3.00 11.61 0.20 0.03 0.50 0.71 0.61 0.01 0.0001 19.62 4.43 210.00 3.50 15.80 0.20 0.03 0.66 0.81 0.61 0.01 0.0001 19.62 4.43 240.00 4.00 20.64

H g2

5. Análisis de las variables involucradas en el Modelo Experimental

Se proporciona un simulador en la Hoja de Cálculo de Excel con el nombre de Tiempo Vaciado Tanque/Volumen en el que se obtuvieron los siguientes datos del cálculo de Volumen desalojado con respecto a un tiempo determinado. Se ocupa la ecuación de Cálculo del Tiempo de Vaciado (seg) de un recipiente abierto (considerado a presión atmosférica constante), con una sección abierta a la atmósfera constante (m), que se quiere vaciar a través de un orificio en el fondo del tanque con un diámetro constante (m), mencionado en la Sección 3, que es la siguiente: Ecuación 4

22or

f Hf g

τα

= La descripción y consideraciones hechas a las variables, se detallan en la Sección 3 y en la hoja de cálculo mencionada, pero en resumen es lo siguiente: VARIABLES CONSIDERACIÓN

Tiempo de vaciado, seg Se van dando valores desde 0.5 hasta 4.5 minutos

Área transversal del tanque, m² Depende del valor del diámetro del tanque que se considera de 0.20 m, constante

H Nivel inicial del líquido sobre el orificio, m. Depende del volumen de líquido que se va desalojando. Cambia a lo largo del cálculo automáticamente.

α Coeficiente del Gasto. Este es un valor que depende del material de construcción del equipo y que para superficies lisas se considera de 0.6, constante

Área transversal del orificio de salida, m² Depende del valor del orificio de salida en el fondo del tanque, que se considera de 0.01m, constante

g Aceleración de la gravedad, con valor en la tierra de 9.81 m/seg², constante.

Los datos obtenidos en base a la información anterior son: Ver la Hoja de Cálculo de Excel Tiempo Vaciado Tanque/Volumen.

τ V min Lts

Tiempo de vaciado del

tanque Volume

n 0.50 0.32 1.00 1.29 1.50 2.90 2.00 5.16 2.50 8.06 3.00 11.61 3.50 15.80 4.00 20.64

6. Análisis del comportamiento de las variables involucradas en el Modelo Experimental

De acuerdo con los datos de cálculo obtenidos, la gráfica correspondiente es:

VOLUMEN DESPLAZADO

0.32 1.29 2.905.16

8.0611.61

15.80

20.64

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

Tiempo (seg)

Vol (

lt)

La ecuación que genera esta gráfica (Ecuación 4) no es aparentemente una ecuación cuadrática, sin embargo una vez que se despeja 2

22gf g

Hf

τα⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Se observa que el cálculo del Nivel Inicial de Líquido sobre el Orificio del que depende el cálculo del Volumen, si es una ecuación de segundo grado.

Sin embargo el cálculo y teoría que se podría seguir en este camino se dejará de lado para seguir con los fines de este experimento.

Como se observa en la gráfica, la curva generada cumple con características que la hacen comparable con una ecuación cuadrática, por lo que en las secciones siguientes, lo que se hará será buscar una ecuación cuadrática que genera una curva lo más parecida posible.

7. Análisis del comportamiento de la forma de la forma de la Ecuación Cuadrática con respecto al Modelo Experimental

La Ecuación Cuadrática adopta diferentes formas a consecuencia del cambio de los valores que las constantes a, b, y c pueden tener.

Es necesario efectuar un análisis del comportamiento de la gráfica de acuerdo con los cambios en los valores de las constantes y así conocer las gráficas lo mejor posible.

Para simular las gráficas de Ecuaciones Cuadráticas se anexa una carpeta marcada como “Gráfica de una Función Cuadrática”, que contiene un simulador localizado originalmente en la página de Internet

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Externos/fcuadraticas/paginas/grafica.htm.

En esta, el estudiante puede jugar asignando diferentes valores a las constantes a, b, y c y para ver las curvas que se generan.

Una vez reconocidas las gráficas, será posible encontrar una semejanza entre la curva generada en el simulador de Excel Tiempo-vaciado-tanque y la generada a través de una Ecuación Cuadrática propuesta en el simulador de Gráfica de una función Cuadrática.

Al realizar el experimento, se espera que la gráfica generada se acerque a la generada idealmente en el simulador de Excel Tiempo-vaciado-tanque y a través del simulador de Gráfica de una función Cuadrática se encuentra la que corresponde a una ecuación cuadrática determinada.

Después de hacer lo anterior se encontró que la ecuación más próxima generada en el Simulador Cuadrática de la Gráfica de Ecuación Cuadrática para los valores obtenidos teóricamente en el vaciado de tanque tiene las siguientes características:

1.35x2 – 0.32x + 0.32 = 0

Donde:

a = 1.35 b = - 0.32 c = 0.32

Quedando los valores como sigue:

τ V

min Lts Tiempo de

vaciado del tanque

Volumen

0 0.32 1.00 1.35 1.50 2.90 2.00 5.08 3.00 11.51 4.00 20.64

Esta sería la propuesta de una Ecuación Cuadrática que genere una curva, lo más parecida posible a la curva obtenida en el experimento

Deberá tomarse en cuenta la escala de las gráficas para que la comparación sea real.

El alumno a través de esta actividad, podrá conocer como varía la gráfica con respecto a los valores de las constantes a, b y c de la Ecuación Cuadrática y proponer la que se asemeje más en valores.

SIMULADOR DE GRAFICAS DE ECUACIÓN CUADRÁTICA

Si modificas los valores de las constantes a, b o c entonces los valores de la tabla se actualizan automáticamente:

Valor de a 1

Valor de b 2

Valor de c -4

y=ax²+bx+c y=1x²+2x+-4 VALOR DE X VALOR DE Y 7 59 6 44 5 31 4 20 3 11 2 4 1 -1 0 -4 -1 -5 -2 -4 -3 -1 -4 4 -5 11 -6 20 -7 31

GRAFICA DE ECUACIÓN CUADRÁTICA OBTENIDA CON EL

SIMULADOR DE EXCEL

VALOR DE Y

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

-10 0 10

VALOR DEY

8. Generación de las gráficas A continuación se presentan las dos gráficas generadas en ambos simuladores y se puede ver que la variación en datos de la tabla y en la forma de la gráfica tienen un porcentaje de diferencia mínimo que permitiría al alumno considerar como valedera la simulación

VOLUMEN DESPLAZADO

0.32 1.29 2.905.16

8.0611.61

15.80

20.64

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

Tiempo (seg)

Vol (

lt)

Grafica generada con el Simulador de Excel de Vaciado de Tanque

Grafica generada con el Simulador de Gráfica de Ecuación Cuadrática

9. Cálculos para el diseño y construcción del Modelo Experimental De acuerdo con lo expuesto en los incisos anteriores, se puede hacer la propuesta del equipo físico. Se anexa un plano de las posibles dimensiones y materiales de construcción. También se anexa una propuesta del empaque necesario para ofrecer este equipo en versión móvil, de tal forma que pueda ser instalado y desinstalado a voluntad. Una vez construido se puede considerar como un prototipo de Equipo para la generación de prácticas de Matemáticas, con opción de aplicación a algebra, calculo diferencial e integral, aunque las prácticas correspondientes a Cálculo, deberán generarse por separado. Esta propuesta solo contempla una placa con perforación para la salida de fluido, con diámetro de 20 cms. Pero es posible considerar el intercambio de diámetro del orificio de salida y la Hoja de Cálculo de Excel Tiempo Vaciado Tanque/Volumen, está adaptada para hacer estas modificaciones, pudiendo calcularse fácilmente tiempos de vaciado, ya sea por este cambio de orificio de salida, tipo de fluido, altura inicial de fluido, etc.

10. La idea original al efectuar el presente proyecto fue la de encontrar una forma de hacer más práctico el conocimiento de las matemáticas, ya que se observa que el índice de reprobación en esta materia es muy alto.

La hipótesis es de que el alumno no se identifica con los temas del programa

Conforme se avanzó en la idea, se concretó a un caso específico que es el uso de la ecuación cuadrática en una modelación matemática resultante de un fenómeno de fluidos.

Al desarrollar del proyecto nos hicimos sensibles a la problemática que se involucra y nos dimos cuenta que en este proceso intervienen un sin fin de aspectos que no solo se relacionan con el saber matemático.

Referenciado a la materia de Algebra, se observa que el alumno no logra identificarse con los temas, principalmente con los problemas de aplicación que se proponen no logrando relacionar la teoría con la práctica.

Por esto se hace sugiere como necesario un estudio que permita identificar como impactan los problemas de aplicación con la identificación del alumno a la materia.

Este estudio arrojaría líneas de investigación tendientes a la disminución en los Índices de reprobación.

BIBLIOGRAFIA SITIO WEB: FUNCIONES CUADRÁTICAS UNA EXPERIENCIA DE DESARROLLO, IMPLEMENTACIÓN Y EVALUACIÓN WEBSITE: QUADRATIC FUNCTIONS A EXPERIENCE OF DEVELOPMENT, IMPLEMENTATION AND EVALUATION Enrique Vílchez Quesada1

Gaby Ulate Solís2 http://revista.inie.ucr.ac.cr/articulos/2-2006/archivos/cuadraticas.pdf