Exani IIIngreso A Licenciatura

www.acreditalo.comGUIA EXANI II INGRESO A LA LICENCIATURAIndice Aritmtica ........................................................................................................................................ Operaciones bsicas: suma, resta, multiplicacin y divisin ....................................................... Suma ...................................................................................................................................... Resta ...................................................................................................................................... Multiplicacin ........................................................................................................................... Division .................................................................................................................................. Clculo de porcentajes, regla de tres, potencias y races ........................................................... Porcentaje ............................................................................................................................... Regla de tres ........................................................................................................................... potencia y raiz ......................................................................................................................... Propiedades de los nmeros ..................................................................................................... lgebra ........................................................................................................................................... Literales y exponentes ............................................................................................................... Reglas de los Exponentes: ...................................................................................................... Productos notables y factorizacin ............................................................................................. Ecuaciones de primer y segundo grados ................................................................................... Proporciones y desigualdades ................................................................................................... Geometra ....................................................................................................................................... Clculo de permetros, reas y volmenes ................................................................................. Probabilidad y estadstica bsica ................................................................................................. Poblacin, muestra, medidas de tendencia central, desviacin estndar y varianza ................... Eventos dependientes e independientes, combinaciones y permutaciones ................................ Preclculo ....................................................................................................................................... Propiedades de los nmeros reales ........................................................................................... Desigualdades ........................................................................................................................... Funcin y lmite ......................................................................................................................... Espaol .......................................................................................................................................... Ortografa general (incluye acentuacin y homfonos) ............................................................... Puntuacin ............................................................................................................................... Gramtica y vocabulario .............................................................................................................. Concordancia y discordancia de las partes de la oracin ........................................................... Autores y obras importantes de la literatura clsica .................................................................... Ciencias naturales ........................................................................................................................... Fsica ....................................................................................................................................... Mecnica .................................................................................................................................... Electromagnetismo ...................................................................................................................... Acstica ...................................................................................................................................... ptica ......................................................................................................................................... Termodinmica ............................................................................................................................ Qumica .................................................................................................................................... Propiedades de la materia ........................................................................................................... Estequiometra ............................................................................................................................ Qumica orgnica ......................................................................................................................... Termodinmica ............................................................................................................................ Biologa .................................................................................................................................... Biologa celular y molecular ......................................................................................................... Anatoma y fisiologa .................................................................................................................... Gentica ..................................................................................................................................... Bioqumica .................................................................................................................................. Ciclos metablicos .......................................................................................................................

Salud y enfermedad ..................................................................................................................... Psicologa ................................................................................................................................. Ciencias sociales ............................................................................................................................. Historia universal y de Mxico.................................................................................................... Historial universal ........................................................................................................................ Mxico: historia ............................................................................................................................ Geografa universal y de Mxico .................................................................................................... Geografa fsica ........................................................................................................................... Geografia Politica ........................................................................................................................ Geografa humana ....................................................................................................................... Mxico: geografa ........................................................................................................................ Civismo .................................................................................................................................... Filosofa.................................................................................................................................... Economa ................................................................................................................................. Sociologa ................................................................................................................................ tica ......................................................................................................................................... Mundo contemporneo .................................................................................................................... Hitos o acontecimientos, polticos, econmicos, sociales y culturales ......................................... Siglas, acrnimos y funciones de organismos importantes ......................................................... Problemas y hechos significativos en el campo de la ecologa, la salud y los deportes ............... Razonamiento verbal ....................................................................................................................... La comprensin de lectura. ........................................................................................................ El establecimiento de relaciones entre palabras y frases sinnimas y antnimas ....................... El establecimiento de completamientos o interpretaciones de razonamientos lgicos y analgicos .................................................................................................................................. La elaboracin de inferencias lgicas y silogsticas .................................................................... El establecimiento de relaciones: ............................................................................................... causa-consecuencia ....................................................................................................... oposicin-semejanza ...................................................................................................... general-particular ............................................................................................................ ejemplificativas ............................................................................................................... explicativas, comparativas .............................................................................................. analgicas ...................................................................................................................... Razonamiento matemtico ............................................................................................................... Matemtica: Es el estudio de patrones en las estructuras de entes abstractos y en las relaciones entre ellas. Algunos matemticos se refieren a ella como la Reina de las Ciencias. Segn los Sabios, se dice que la matemtica abarca tres mbitos: yAritmtica. yGeometra, incluyendo la Trigonometra y las Secciones cnicas. ynlisis matemtico, en el cual se hace uso de letras y smbolos, y que incluye el lgebra, la geometra analtica y el clculo. Aritmtica Aritmtica es la parte de las matemticas que estudia los nmeros y las operaciones hechas con ellos. Las cuatro operaciones bsicas de la Aritmtica son: ySuma yResta yMultiplicacin yDivisin Operaciones bsicas: suma, resta, multiplicacin y divisin Todas estas operaciones se verifican a travs de su operacin inversa: la suma con la resta, la multiplicacin con la division Suma Se utiliza para juntar, agregar, unir, etc, 2 o mas cantidades contables de la misma magnitud (categora) La suma o adicin es una operacin aritmtica definida sobre conjuntos de nmeros (naturales, enteros, racionales, reales y complejos) y tambin sobre estructuras asociadas a ellos, como espacios vectoriales con vectores cuyas componentes sean estos nmeros o funciones que tengan su imagen en ellos.

En el lgebra moderna se utiliza el nombre suma y su smbolo "+" para representar la operacin formal de un anillo que dota al anillo de estructura de grupo abeliano, o la operacin de un mdulo que dota al mdulo de estructura de grupo abeliano. Tambin se utiliza a veces en teora de grupos para representar la operacin que dota a un conjunto de estructura de grupo. En estos casos se trata de una denominacin puramente simblica, sin que necesariamente coincida esta operacin con la suma habitual en nmeros, funciones, vectores... Propiedades de la suma yPropiedad conmutativa: si se altera el orden de los sumandos no cambia el resultado, de esta forma, a+b=b+a. yPropiedad asociativa: a+(b+c) = (a+b)+c yElemento neutro: 0. Para cualquier nmero a, a + 0 = 0 + a = a. yElemento opuesto. Para cualquier nmero entero, racional, real o complejo a, existe un nmero a tal que a + ( a) = ( a) + a = 0. Este nmero a se denomina elemento opuesto, y es nico para cada a. No existe en algunos conjuntos, como el de los nmeros naturales. Estas propiedades pueden no cumplirse en casos de sumas infinitas. Notacin Si todos los trminos se escriben individualmente, se utiliza el smbolo "+" (ledo ms). Con esto, la suma de los nmeros 1, 2 y 4 es 1 + 2 + 4 = 7. Tambin se puede emplear el smbolo "+" cuando, a pesar de no escribirse individualmente los trminos, se indican los nmeros omitidos mediante puntos suspensivos y es sencillo reconocer los nmeros omitidos. Por ejemplo: 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 es la suma de los cien primeros nmeros naturales. 2 + 4 + 8 + ... + 512 + 1024 es la suma de las diez primeras potencias de 2. En sumas largas e incluso sumas infinitas se emplea un nuevo smbolo, que se llama sumatorio y se representa con la letra griega Sigma mayscula ( ). Por ejemplo: es la suma de los cien primeros nmeros naturales. es la suma de las diez primeras potencias de 2. Suma de fracciones Hay dos casos: Fracciones que tienen el mismo denominador; Fracciones que tienen el distinto denominador Primer caso: la suma de dos ms fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla, slo hay que sumar los numeradores y se deja el denominador comn. Segundo caso: la suma de dos o ms fracciones con distinto denominador es un poco menos sencilla. Pasos 1. Se haya el mnimo comn mltiplo de los dos denominadores 2 Se calcula el numerador con la frmula: numerador antiguo x denominador comn y dividido por denominador antiguo 3 Se procede como en el primer caso (dado que las fracciones tienen el mimos denominador) Resta Se utiliza para restar, descontar, disminuir, etc., 2 o mas cantidades contables de la misma magnitud (categora) La resta o substraccin es una de las cuatro operaciones bsicas de la aritmtica, y se trata bsicamente de la operacin inversa a la suma. Por ejemplo, si a+b=c, entonces c-b=a. En la resta, el primer nmero se denomina minuendo y el segundo es el sustraendo. El resultado de la resta se denomina diferencia. En el conjunto de los nmeros naturales, N, slo se pueden restar dos nmeros si el minuendo es mayor que el sustraendo. De lo contrario, la diferencia sera un nmero negativo, que por definicin estara excluido del conjunto. Esto es as para otros conjuntos con ciertas restricciones, como los nmeros reales positivos. En matemticas avanzadas no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". En otras palabras, no se tiene a - b sino a + (-b), donde -b es el elemento opuesto de b respecto de la suma Resta de fracciones Resta de fracciones que tienen el mismo denominador Para restar dos ms fracciones que tienen el mismo denominador, slo hay que restar los numeradores y se deja el denominador comn. Ejemplo: Resta de fracciones con distinto denominador 1. Se haya el mnimo comn mltiplo de los dos denominadores: (mnimo comn mltiplo de 4 y 2)

2. Se calculan los numeradores con la frmula: numerador antiguo (6) x denominador comn (4) y dividido por denominador antiguo (4) ( 6*4/4=6 ) Numerador antiguo (1) x denominador comn (4) y dividido por denominador antiguo (2) ( 1*4/2= 2 ) 3. Se procede como en la resta de fracciones de igual denominador (dado que las fracciones tienen el mismo denominador) Multiplicacin Se utiliza para resolver problemas donde se suman n veces las mismas cantidades. El producto o la multiplicacin es una operacin aritmtica que se puede explicar como una manera de sumar nmeros idnticos. El resultado de la multiplicacin de nmeros se llama producto. Los nmeros que se multiplican se llaman factores o coeficientes, e individualmente como multiplicando (nmero a sumar) y multiplicador (veces que se suma el multiplicando). La multiplicacin se suele indicar con el aspa o el punto centrado . En ausencia de estos caracteres se suele emplear el asterisco *, sobre todo en computacin Definicin La multiplicacin de dos nmeros enteros n y m se define como: sta no es ms que una forma de simbolizar la expresin "sumar m a s mismo n veces". Puede facilitar la comprensin el expandir la expresin anterior: mn = m + m + m +...+ m tal que hay n sumandos. As que, por ejemplo: 52 = 5 + 5 = 10 25 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 43 = 4 + 4 + 4 = 12 m6 = m + m + m + m + m + m Utilizando esta definicin, es fcil demostrar algunas propiedades interesantes de la multiplicacin. Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican dos nmeros es irrelevante, lo que se conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en general para dos nmeros cualesquiera x e y: xy = yx La multiplicacin tambin cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres nmeros cualesquiera x, y y z, se cumple: (xy)z = x(yz) En la notacin algebraica, los parntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben ser realizadas con preferencia a cualquier otra operacin. La multiplicacin tambin tiene lo que se llama propiedad distributiva con la suma, porque: x(y + z) = xy + xz Asimismo: (x + t)(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz Tambin es de inters que cualquier nmero multiplicado por 1 es igual a s mismo: 1x = x es decir, la multiplicacin tiene un elemento identidad que es el 1. Qu ocurre con el cero? La definicin inicial no ayuda mucho porque 1 es mayor que 0. De hecho, es ms fcil definir el producto por cero utilizando la segunda definicin: m0 = m + m + m +...+ m donde hay cero sumandos. La suma de cero veces m es cero, as que m0 = 0 sin importar lo que valga m, siempre que sea finito. El producto de nmeros negativos tambin requiere reflexionar un poco. Primero, considrese el nmero -1. Para cualquier entero positivo m: (-1)m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -m ste es un resultado interesante que muestra que cualquier nmero negativo no es ms que un nmero positivo multiplicado por -1. As que la multiplicacin de enteros cualesquiera se puede representar por la multiplicacin de enteros positivos y factores -1. Lo nico que queda por definir es el producto de (-1)(-1): (-1)(-1) = -(-1) = 1 De esta forma, se define la multiplicacin de dos enteros. Las definiciones pueden extenderse a conjuntos cada vez mayores de nmeros: primero el conjunto de las fracciones o nmeros

racionales, despus a todos los nmeros reales y finalmente a los nmeros complejos y otras extensiones de los nmeros reales. el producto vaco, es decir, multiplicar cero factores, vale 1. Una definicin recursiva de la multiplicacin puede darse segn estas reglas: x0 = 0 xy = x + x(y-1) donde x es una cantidad arbitraria e y es un nmero natural. Una vez el producto est definido para los nmeros naturales, se puede extender a conjuntos ms grandes, como ya se ha indicado anteriormente. Division Se utiliza para determinar n partes iguales de una cantidad determinada, dividir una magnitud en partes iguales. En matemticas, especificamente en aritmtica elemental, la divisin es una operacin aritmtica que es la inversa de la multiplicacin y a veces puede interpretarse como una resta repetida. En otras palabras, consiste en averiguar cuntas veces un nmero (el divisor) est contenido en otro nmero (el dividendo). En la divisin de nmeros enteros adems del dividendo y el divisor intervienen otros nmeros. As al resultado entero de la divisin se le denomina cociente y si la divisin no es exacta, es decir, el divisor no est contenido un nmero exacto de veces en el dividendo, la operacin tendr un resto, donde: resto = dividendo - cociente divisor Orden de Operaciones Reglas Importantes para Resolver Operaciones Aritmticas: 1. Primero resolver todo lo que est dentro de simbolos de agrupacin. 2. Evaluar las expresiones exponenciales. 3. Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha. 4. Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha. Ejemplo: Propiedades de los Nmeros Reales: yConmutativa de adicin: La conmutatividad implica que no importa el orden de operacin, el resultado siempre es el mismo. Por ejemplo: 4+2=2+4 yConmutativa de multiplicacin: Por ejemplo: 4.2=2.4 yAsociativa de adicin: La asociatividad implica que no importa el orden en que se agrupe, el resultado es el mismo. Por ejemplo: (4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9) yAsociativa de multiplicacin: Por ejemplo: 4 . (2 . 9) = (4 . 2) . 9 yDistributiva de multiplicacin sobre adicin: Por ejemplo: 4 . (2 + 9) = 4 . 2 + 4 . 9 Reglas de los Signos: 1. En suma de nmeros con signos iguales, se suman los nmeros y el resultado lleva el mismo signo. Si los nmeros tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo del mayor. Ejemplo: 5 + 8 = 13 5 + -8 = -3 2. En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. Si se restan signos diferentes, se suman los nmeros y el resultado lleva el signo del mayor. Ejemplo: 5 - 8 = -3 5 - (-8) = 13 3. En multiplicacin y divisin de nmeros con signos iguales el resultado es positivo. Si los

nmeros son signos opuestos, el resultado es negativo. Ejemplo: 5 x 8 = 40 5 x -8 = -40 Clculo de porcentajes, regla de tres, potencias y races Porcentaje Un porcentaje es una forma de expresar una proporcin o fraccin como una fraccin de denominador 100, es decir, como una cantidad de centsimas. Es decir, una expresin como "45%" ("45 por ciento") es lo mismo que la fraccin 45/100. "El 45% de la poblacin humana..." es equivalente a: "45 de cada 100 personas..." Un porcentaje puede ser un nmero mayor que 100. Por ejemplo, el 200% de un nmero es el doble de dicho nmero, o un incremento del 100%. Un incremento del 200% dara como resultado el triple de la cantidad inicial. De esta forma, se puede apreciar la relacin que existe entre el aumento porcentual y el producto. Confusin en el uso de los porcentajes Surgen muchas confusiones en el uso de los porcentajes debido a un uso inconsistente o a un mal entendimiento de la aritmtica elemental. Cambios Debido a un uso inconsistente, no siempre est claro por el contexto con qu se compara un porcentaje. Cuando se habla de una subida o cada del 10% de una cantidad, la interpretacin usual es que este cambio es relativo al valor inicial de la cantidad: por ejemplo, una subida del 10% sobre un producto que cuesta 100$ es una subida de 10$, con lo que el nuevo precio pasa a ser 110$. Para muchos, cualquier otra interpretacin es incorrecta. En el caso de los tipos de inters, sin embargo, es prctica comn utilizar los porcentajes de otra manera: supongamos que el tipo de inters inicial es del 10%, y que en un momento dado sube al 20%. Esto se puede expresar como una subida del 100% si se calcula el aumento con respecto del valor inicial del tipo de inters. Sin embargo, mucha gente dice en la prctica que "los tipos de inters han subido un 10%", refirindose a que ha subido en un 10% sobre el 100% adicional al 10% inicial (20% en total), aunque en la expresin usual de los porcentajes debera querer decir una subida del 10% sobre el 10% inicial (es decir, un total del 11%). Para evitar esta confusin, se suele emplear la expresin "punto porcentual". As, en el ejemplo anterior, "los tipos de inters han subido en 10 puntos porcentuales" no dara lugar a confusin, sino que todos entenderan que los tipos estn actualmente en el 20%. Tambin se emplea la expresin "punto base", que significa la centsima parte de un punto porcentual (es decir, una parte entre diez mil). As, los tipos de inters han subido en 1000 puntos base. Cancelaciones Un error comn en el uso de porcentajes es imaginar que una subida de un determinado porcentaje se cancela con una cada del mismo porcentaje. Una subida del 50% sobre 100 es 100 + 50, o 150, pero una reduccin del 50% sobre 150 es 150 - 75, o 75. En general, el efecto final de un aumento seguido de una reduccin proporcionalmente igual es: (1 + x)(1 - x) = 1 - x es decir, una reduccin proporcional al cuadrado del cambio porcentual. Los que tenan acciones punto como en el momento de la crisis acabaron comprendiendo que, aunque una accin haya cado un 99%, puede volver a caer otro 99%. Adems, si sube por un porcentaje muy grande, seguir perdindolo todo si un da la accin reduce su valor en un 100%, porque entonces no valdr nada. Regla de tres La regla de tres es una relacin que se establece entre tres (o ms) valores conocidos y una incgnita. Normalmente se usa cuando se puede establecer una relacin de linealidad (proporcionalidad) entre todos los valores involucrados (anlogo para proporcionalidad inversa). Normalmente se representa de la siguiente forma: A-B X-C Siendo A, B y C valores conocidos y X la incgnita cuyo valor queremos averiguar. Esto se lee de la siguiente manera: A es a B como X es a C. La posicin de la incgnita puede variar, por supuesto. As por ejemplo para pasar 60 grados a radianes podramos establecer la siguiente regla de tres: 360 - 2 60 - X

potencia y raiz Notacin Exponencial La notacin exponencial se usa para repetir multiplicaciones de un mismo nmero. Es la elevacin a la ensima potencia (n) de una base (X). Ejemplos: Raz cuadrada En matemticas, la raz cuadrada de un nmero real no negativo x es el nmero real no negativo que, multiplicado con s mismo, da x. La raz cuadrada de x se denota por x. Por ejemplo, 16 = 4, ya que 4 4 = 16, y 2 = 1,41421... . Las races cuadradas son importantes en la resolucin de ecuaciones cuadrticas. La generalizacin de la funcin raz cuadrada a los nmeros negativos da lugar a los nmeros imaginarios y al campo de los nmeros complejos. El smbolo de la raz cuadrada se emple por primera vez en el siglo XVI. Se ha especulado con que tuvo su origen en una forma alterada de la letra r minscula, que representara la palabra latina "radix", que significa "raz". Propiedades Las siguientes propiedades de la raz cuadrada son vlidas para todos los nmeros positivos x, y: para todo nmero real x (vase valor absoluto) La funcin raz cuadrada, en general, transforma nmeros racionales en nmeros algebraicos; x es racional si y slo si x es un nmero racional que puede escribirse como fraccin de dos cuadrados perfectos. Si el denominador es 1 = 1, entonces se trata de un nmero natural. Sin embargo, 2 es irracional. La funcin raz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado. Propiedades de los nmeros Un nmero es un smbolo que representa una cantidad. Los nmeros son ampliamente utilizados en matemticas, pero tambin en muchas otras disciplinas y actividades, as como de forma ms elemental en la vida diaria. El nmero es tambin una entidad abstracta con la que se describe una cantidad. Los nmeros ms conocidos son los nmeros naturales 0, 1, 2, ..., que se usan para contar. Si aadimos los nmeros negativos obtenemos los enteros. Cocientes de enteros generan los nmeros racionales. Si incluimos todos los nmeros que son expresables con decimales pero no con fracciones de enteros, obtenemos los nmeros reales; si a stos les aadimos los nmeros complejos, tendremos todos los nmeros necesarios para resolver cualquier ecuacin algebraica. Podemos ampliar an ms los nmeros, si aadimos los infinitos y los transfinitos. Entre los reales, existen nmeros que no son soluciones de una ecuacin polinomial o algebraica. Reciben el nombre de transcendentales. El ejemplo ms famoso de estos nmeros es (Pi), otro ejemplo fundamental e igual de importante es e, base de los logaritmos naturales. Estos dos nmeros estn relacionados entre si por la identidad de Euler, tambin llamada la frmula ms importante del mundo. Existe toda una teora de los nmeros. Se distinguen distintos tipos de nmeros: yNmeros naturales . conjunto de numeros que utilizamos para contar cantidades enteras positivas o Tiene como primer elemento el cero o Cualquier numero puede ser escrito con los numero del sistema decimal o Es un conjunto infinito o Todos los numeros tienen su siguente o No existen numeros intermedios entre un numero y sus siguiente o Todos los numeros naturales cumplen con las relaciones de orden y comparacin. yNmero primo yNmeros compuestos yNmeros perfectos yNmeros enteros yNmeros pares yNmeros impares yNmeros racionales yNmeros reales yNmeros irracionales yNmeros algebraicos yNmeros trascendentes

yNmeros complejos yCuaterniones yNmeros infinitos yNmeros transfinitos yNmeros fundamentales: y e El estudio de ciertas propiedades que cumplen los nmeros ha producido una enorme cantidad de tipos de nmeros, la mayora sin un inters matemtico especfico. A continuacin se indican algunos: Narcisista: Nmero de n dgitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus dgitos. Ejemplo: 153 = 1 + 5 + 3. Omirp: Nmero primo que al invertir sus dgitos da otro nmero primo. Ejemplo : 1597 y 7951 son primos. Vampiro: Nmero que se obtiene a partir del producto de dos nmeros obtenidos a partir de sus dgitos. Ejemplo: 2187 = 27 x 81. Una vez entendido el problema de la naturaleza y la clasificacin de los nmeros, surge otro, ms prctico, pero que condiciona todo lo que se va a hacer con ellos: la manera de escribirlos. El sistema que se ha impuesto universalmente es la numeracin de posicin gracias al invento del cero, con una base constante. lgebra El lgebra es la rama de las matemticas que tiene por objeto de estudio la generalizacin del clculo aritmtico mediante expresiones compuestas de constantes (nmeros) y variables (letras). Etimolgicamente, proviene del rabe (tambin nombrado por los rabes Amucabala) (yebr) (al-dejaber), con el significado de reduccin, operacin de ciruga por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el mdico reparador de huesos). El lgebra lineal tiene sus orgenes en el estudio de los vectores en el plano y en el espacio tridimensional cartesiano. Aqu, un vector es un segmento, caracterizado por su longitud (o magnitud) y direccin. Los vectores pueden entonces utilizarse para representar ciertas magnitudes fsicas, como las fuerzas, pueden sumarse y ser multiplicados por escalares, formando entonces el primer ejemplo de espacio vectorial real. Hoy da, el lgebra lineal se ha extendido para considerar espacios de dimensin arbitraria o incluso de dimensin infinita. Un espacio vectorial de dimensin n se dice que es n-dimensional. La mayora de los resultados encontrados en 2 y 3 dimensiones pueden extenderse al caso ndimensional. A mucha gente le resulta imposible la visualizacin mental de los vectores de ms de tres dimensiones (o incluso los tridimensionales). Pero los vectores de un espacio n-dimensional pueden ser tiles para representar informacin: considerados como n-tuplas, es decir, listas ordenadas de n componentes, pueden utilizarse para resumir y manipular informacin eficientemente. Por ejemplo, en economa, se pueden crear y usar vectores octo-dimensionales u 8-tuplas para representar el Producto Interno Bruto de 8 pases diferentes. Se puede simplemente mostrar el PIB en un ao en particular, en donde se especifica el orden que se desea, por ejemplo, (Estados Unidos, Reino Unido, Francia, Alemania, Espaa, India, Japn, Australia), utilizando un vector (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) en donde el PIB de cada pas est en su respectiva posicin. Un espacio vectorial (o espacio lineal), como concepto puramente abstracto en el que podemos probar teoremas, es parte del lgebra abstracta, y est bien integrado en ella. Por ejemplo, con la operacin de composicin, el conjunto de aplicaciones lineales de un espacio vectorial en s mismo (endomorfismos) tiene estructura de anillo, y el subconjunto de las aplicaciones lineales que son invertibles (los automorfismos) tiene estructura de grupo. El lgebra Lineal tambin tiene un papel importante en el clculo, sobre todo en la descripcin de derivadas de orden superior en el anlisis vectorial y en el estudio del producto tensorial (en fsica, buscar momentos de torsin) y de las aplicaciones antisimtricas. Un espacio vectorial se define sobre un cuerpo, tal como el de los nmeros reales o en el de los nmeros complejos. Una aplicacin (u operador) lineal hace corresponder los vectores de un espacio vectorial con los de otro (o de l mismo), de forma compatible con la suma o adicin y la multiplicacin por un escalar definidos en ellos. Elegida una base de un espacio vectorial, cada aplicacin lineal puede ser representada por una tabla de nmeros llamada matriz. El estudio detallado de las propiedades de las matrices y los algoritmos aplicados a las mismas, incluyendo los determinantes y autovectores, se consideran parte del lgebra lineal. En matemticas los problemas lineales, aquellos que exhiben linealidad en su comportamiento, por lo general pueden resolverse. Por ejemplo, en el clculo diferencial se trabaja con una aproximacin lineal a funciones. La distincin entre problemas lineales y no lineales es muy

importante en la prctica. Algunos Teoremas tiles Todo espacio lineal tiene una base (Esta afirmacin es lgicamente equivalente al Axioma de eleccin) Una matriz A no nula con n filas y n columnas es no singular (inversible) si existe una matriz B que satisface AB = BA = I donde I es la matriz identidad. Una matriz es inversible si y solo si su determinante es distinto de cero. Una matriz es inversible si y solo si la transformacin lineal representada por la matriz es un isomorfismo (vea tambin matriz inversible para otras afirmaciones equivalentes) Una matriz es positiva semidefinida si y solo si cada uno de sus eigenvalores son mayores o iguales a cero Una matriz es positiva definida si y solo si cada uno de sus eigenvalores son mayores a cero. Literales y exponentes Una literal es una representacin general de una cierta magnitud. Por ejempo: el area de un rectangualo es igual a : A= bh donde A, b y H son literales. Expresiones Algebraicas Las expresiones algebraicas se clasifican segn su nmero de trminos. monomio = un solo trmino. Por ejemplo: binomio = suma o resta de dos monomios. Por ejemplo: trinomio = suma o resta de tres monomios. Por ejemplo: polinomio = suma o resta de cualquier nmero de monomios. Reglas de los Exponentes: yPara multiplicar factores exponenciales que tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes. Ejemplo: yPara multiplicar factores que tienen base diferente y exponentes iguales, el exponente se queda igual. Ejemplo: yEn divisin, si tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes, se restan los exponentes. Las variables m y n son enteros positivos , m > n. Ejemplo: yEn suma y resta, solo se procede si son trminos similares, en otras palabras lo que difiere es su coeficiente numrico. Productos notables y factorizacin Productos Notables Cuadrado de la suma de dos cantidades El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad ms el doble de la primera cantidad por la segunda ms el cuadrado de la segunda cantidad. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda ms el cuadrado de la segunda cantidad. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda Cubo de un binomio El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad mas el triple del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera mas el segundo al cubo. El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera menos el segundo al cubo. Cocientes Notables Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades La diferencia de los cuadrados de dos cantidades divididas entre la suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades. Factorizacin de Polinomios Factorizar un polinomio es el primer mtodo para obtener las races o ceros de la expresin. Para factorizar se comienza con una regla que te permite desarrollar la destreza, para aplicarla a ejercicios de mayor dificultad. Se buscan dos factores o nmeros cuyo producto sea el ltimo trmino y a la vez sumados o restados den como resultado el coeficiente del trmino del medio. Esta regla aplica solo a ecuaciones cuadrticas cuyo coeficiente de la variable elevado al cuadrado es 1. Si el coeficiente de la variable elevada al cuadrado no fuese 1, la manera de factorizar sera tanteando hasta poder lograr la factorizacin. Muchas veces la factorizacin es simplemente reconocer factores comunes. Se puede utilizar tambin la inversa de las frmulas de productos especiales. O sea, expresamos el polinomio como una multiplicacin o un producto, usando las frmulas a la inversa. Completando el Cuadrado Completando el cuadrado es el segundo mtodo para obtener las races o ceros de un polinomio. El proceso es el siguiente: 1. Primero mueves el tercer trmino con signo opuesto al lado contrario de la igualdad. 2. Luego, vas a calcular el trmino que te permite crear tu cuadrado de la siguiente forma: selecciona el coeficiente de la variable que est elevada a la 1, se divide entre dos y elevarlo al cuadrado. 3. Este resultado lo sumars a ambos lados de la expresin. 4. Despus, la raz cuadrada del primer trmino, el operador (signo) del medio y la raz cuadrada del ltimo termino, todo elevado al cuadrado es igual a la suma de la derecha. 5. Luego, sacas raz cuadrada a ambos lados, observando que hay dos posibles soluciones, el caso positivo y el caso negativo. 6. Por ltimo despejas por la variable y esas son las races o ceros del polinomio. Como ejemplo vamos a utilizar el ejercicio . Casos de factorizacin Caso 1 - Factor comn Cuando se tiene una expresin de dos o ms trminos algebraicos y si se presenta algn trmino comn, entonces se puede sacar este trmino como factor comn. Caso 2 - Factor por agrupacin de trminos En una expresin de dos, cuatro, seis o un nmero par de trminos es posible asociar por medio de parntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al nmero de trminos de la expresin original. Se debe dar que cada uno de estos parntesis que contiene dos, o tres o mas trminos se le pueda sacar un factor comn y se debe dar que lo que queda en los parntesis sea lo mismo para todos los parntesis o el factor comn de todos los parntesis sea el mismo y este ser el factor comn. Caso 3 - Trinomio cuadrado perfecto Una expresin se denomina trinomio cuadrado perfecto cuando consta de tres trminos donde el primero y tercer trminos son cuadrados perfectos (tienen raz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo trmino es el doble producto de sus races cuadradas. Se extrae la raz cuadrada del primer y tercer trmino y se separan estas races por el signo del segundo trmino. El binomio as formado se eleva al cuadrado. Caso 4 - Diferencia de cuadrados perfectos Dos cuadrados que se estn restando es una diferencia de cuadrados. Para factorizar esta expresin se extrae la raz cuadrada de los dos trminos y se multiplica la resta de los dos trminos por la suma de los dos. Caso especial: Se puede presentar que uno o los dos trminos de la diferencia contenga mas de un trmino. Caso especial: Se puede dar una expresin de cuatro trminos donde tres de ellos formen un trinomio cuadrado perfecto que al ser factorizado y combinado con el cuarto trmino se convierta en una diferencia de cuadrados, o pueden ser seis trminos que formen dos trinomios cuadrados perfectos y al ser factorizados formen una diferencia de cuadrados. Caso 5 - Trinomio cuadrado perfecto por adicin y sustraccin Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer trmino tienen raz cuadrada perfecta pero el trmino de la mitad no es el doble producto de

las dos races. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el trmino de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el ltimo trmino tendremos una diferencia de cuadrados. Caso especial: factorar una suma de cuadrados, se suma el trmino que hace falta para formar un trinomio cuadrado perfecto y al mismo tiempo se resta esta misma cantidad, as tendremos un trinomio cuadrado perfecto enseguida una diferencia de cuadrados. Caso 6 - Trinomio de la forma x2+bx+c Esta clase de trinomio se caracteriza por lo siguiente: El primer trmino tiene como coeficiente 1 y la variable esta al cuadrado. El segundo trmino tiene coeficiente entero de cualquier valor y signo y la misma variable. El tercer trmino es independiente (no contiene la variable). Para factorar este trinomio se deben abrir dos factores que sean binomios, y donde el primer trmino de cada binomio es la variable y el segundo trmino en cada uno de los factores (parntesis), son dos nmeros , uno en cada parntesis de tal forma que la suma de los dos del coeficiente del segundo trmino del trinomio y la multiplicacin de los dos del tercer trmino del trinomio, el signo del segundo trmino de cada factor depende de lo siguiente: y Si el signo del tercer trmino es negativo, ento nces uno ser positivo y el otro negativo, el mayor de los dos nmeros llevara el signo del segundo trmino del trinomio y el otro nmero llevara el signo contrario. Si el signo del tercer trmino es positivo, enton ces los dos signos sern iguales (positivos o negativos), sern el signo del segundo trmino del trinomio. Caso 7 - Trinomio de la forma Este trinomio se diferencia del trinomio cuadrado perfecto en que el primer trmino puede tener coeficiente diferente de 1. Se procede de la siguiente forma: Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer trmino, de esta forma se convierte en un trinomio de la forma: y se divide por el mismo coeficiente. Se factoriza el trinomio en la parte superior del fraccionario y se simplifica con el nmero que esta como denominador. Caso 8 - Cubo perfecto de binomios Podemos asegurar que una expresin algebraica es un cubo perfecto si cumple las siguientes condiciones: yPosee cuatro trminos El primer y cuarto trmino son cubos perfectos (t ienen races cbicas exactas). El segundo termino sea el triple del cuadrado de la raz cbica del primer trmino multiplicado por la raz cbica del ltimo trmino. El tercer termino sea el triple del cuadrado de l a raz cbica del ltimo trmino -multiplicado por la raz cbica del primer trmino. Los signos son todos mas o tambin podra ser pos itivo el primero y el tercero y negativo el segundo y el cuarto. Para factorizar un cubo perfecto se forma un binomio y se eleva al cubo, el primer trmino del binomio es la raz cbica del primer trmino y el segundo trmino es la raz cbica del ltimo trmino. El signo del segundo trmino es mas si todos los signos del cubo son mas y es menos si los signos del segundo y cuarto trmino del cubo son menos. Caso 9 - Suma o diferencia de cubos perfectos Su nombre lo indica, se reconoce por ser la suma o la resta de dos cubos. Su solucin ser dos factores, el primero de ellos es un binomio formado por las dos races cbicas de los trminos dados, el segundo factor esta formado por tres trminos as: la priemra raz al cuadrado, la primera raz por la segunda y la segunda raz al cuadrado. Los signos pueden ser de dos formas acuerdo a lo siguiente: Caso 10 - Suma o diferencia de dos potencias iguales Resumamos en la siguiente tabla las posibilidades: Para an-bn con n = par o impar la factorizacin ser: Para an-bn con n = par la factorizacin ser: Para an+bn con n = impar la factorizacin ser: Ecuaciones de primer y segundo grados Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen nmero y letras (incgnitas) relacionados

mediante operaciones matemticas. Por ejemplo: 3x - 2y = x2 + 1 Son ecuaciones con una incgnita cuando aparece una sla letra (incgnita, normalmente la x). Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4 Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no est elevada a ninguna potencia (por tanto a 1). Ejemplos : 3x + 1 = x - 2 1 - 3x = 2x - 9. x - 3 = 2 + x. x/2 = 1 - x + 3x/2 Ecuaciones de segundo grado con una incgnita Las ecuaciones de segundo grado o cuadrticas son aquellas en las que la variable est elevada al cuadrado, el siguiente es un ejemplo de una ecuacin cuadrtica: La ecuacin solo tiene una incgnita, y sta se encuentra elevada a la 1 y al cuadrado, adems hay trminos independientes (nmeros). Las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones o ninguna. Este es un ejemplo de una ecuacin cuadrtica completa, ya que posee coeficientes distintos de cero en los trminos cuadrticos (x^2), lineales (x^1) e independientes (x^0). Veamos entonces algunos ejemplos de ecuaciones cuadrticas incompletas: Esta ecuacin es muy fcil de resolver, ya que no se encuentra presente el trmino lineal: Pero las ecuaciones cuadrticas tienen siempre dos soluciones, o bien ninguna, as que en este caso una raz cuadrada genera dos soluciones, una con signo positivo y otra negativo: Y esto es cierto ya que tanto 2 como -2 elevados al cuadrado dan 4, as que siempre que calculemos la solucin de una raz cuadrada se debe tener en cuenta que sta genera dos signos. Esto suele expresarse de la siguiente manera: Esto es un poco confuso pero en realidad nos dice que hay dos soluciones, vemos que ambas soluciones verifican la ecuacin inicial. Veamos ahora otro caso, si la ecuacin tiene trminos cuadrticos y lineales, pero no tiene trminos independientes: En este caso sacamos factor comn X y razonamos de la siguiente forma: Para que el primer miembro se haga 0 solo hay 2 alternativas: x es igual a 0 o (x+4) es igual a 0. De aqu se obtienen las dos soluciones (que llamamos X1 y X2): Vemos que las soluciones verifican. Finalmente vamos al caso ms complejo que es el que tenamos inicialmente: Es muy difcil despejar x de esta ecuacin (pero no imposible como veremos ms adelante). Para resolverla se utiliza una frmula muy famosa, la frmula de las soluciones de la ecuacin de segundo grado, la cual es atribuda a un ind de apellido Baskara, en primer lugar hay que pasar todos los trminos a un lado de la expresin de manera que quede igualada a cero. En segundo lugar se identifican tres coeficientes llamados a, b y c (a=coeficiente cuadrtico, b=coeficiente linearl, c=trmino independiente). La ecuacin debe expresarse de la forma: Por lo tanto operamos con la ecuacin hasta llevarla a este formato (a, b y c son nmeros en definitiva). Comparando encontramos que: La frmula que da las soluciones es la siguiente: Frmula de Baskara As que reemplazando los valores a, b y c: Con lo cual obtenemos 2 soluciones, (ambas verifican la ecuacin), una con el signo + y otra con el Puede darse el caso que la ecuacin no tenga solucin (cuando queda una raz negativa). El tema es: de dnde sac Baskara esta frmula?, bueno, en realidad es sencillo, l encontr la forma de construir un trinomio cuadrado perfecto (tercer caso de factoreo), aplicando algunos "truquillos". Frmula de Baskara - Demostracin Ahora viene la parte divertida, la demostracin. En primer lugar hay que llevar la ecuacin a la forma: Luego se multiplica todo por 4a (la igualdad se mantiene desde luego): Ahora sumamos y restamos b^2, de esta manera no cambia nada tampoco: Ahora observemos los primeros 3 trminos, se trata de un trinomio cuadrado perfecto, as que factoreando se obtiene:

Y ahora es fcil despejar X: Pero como vimos antes una raz arroja 2 resultados, uno positivo y uno negativo as que queda: Esta ltima es la famosa frmula que nos da las soluciones para X. Proporciones y desigualdades Desigualdades algebraicas Definiciones: Ley de la tricotoma: "Para cada par de nmeros reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las proposiciones: Propiedades de las desigualdades Teorema1-Propiedad transitiva: Ejemplo ilustrativo: Teorema2-Suma: Ejemplo ilustrativo: Teorema3-Multiplicacin por un nmero positivo: Ejemplo ilustrativo: Teorema4: Ejemplo ilustrativo: Los Teoremas 1 a 4 tambin son vlidos si se cambia ">" por "