EXANI-II ADMISION1. Pensamiento matemtico1.1 Razonamiento aritmtico1.1.1 Jerarqua de operaciones bsicas1.1.1.1 Operaciones combinadas de suma, resta, multiplicacin y divisin con nmeros enterosOperaciones combinadas sin parntesis Combinacin de sumas y diferencias9 7 + 5 + 2 6 + 8 3 = 8 Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones segn aparecen. Combinacin de sumas, restas y productos3 2 5 + 4 3 8 + 5 3 == 6 5 + 12 8 + 15 = 20 Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad. Posteriormente efectuamos las sumas y restas. Combinacin de sumas, restas, productos y divisiones10 : 2 + 5 3 + 4 5 2 8 + 4 2 20 : 4 == 5 + 15 + 4 10 8 + 8 5 = 9 Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad. Efectuamos las sumas y restas. Combinacin de sumas, restas, productos, divisiones y potencias23+ 10 : 2 + 5 3 + 4 5 2 8 + 4 22 20 : 4 == 8 + 10 : 2 + 5 3 + 4 5 2 8 + 4 4 20 : 4 == 8 + 5 + 15 + 4 10 8 + 16 5 = 25 Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad. Seguimos con los productos y cocientes. Efectuamos las sumas y restas. Operaciones combinadas con parntesis(15 4) + 3 (12 5 2) + (5 + 16 : 4) 5 + (10 22) == (15 4) + 3 (12 10) + (5 + 4) 5 + (10 4)== 11 + 3 2 + 9 5 + 6 = 22 Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos, respetando el orden de prioridad. Quitamos parntesis realizando las operaciones. Operaciones combinadas con corchetes[15 (23 10 : 2 )] [5 + (3 2 4 )] 3 + (8 2 2 ) == [15 (8 5 )] [5 + (6 4 )] 3 + (8 4 ) == [15 3] [5 + 2 ] 3 + 4 == (15 3) (5 + 2) 3 + 4 == 12 7 3 + 4 = = 84 - 3 + 4 = 85 Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los parntesis. Realizamos las sumas y restas de los parntesis. En vez de poner corchetes pondremos parntesis directamente. Operamos en los parntesis. Despus multiplicamos. Finalmente restamos y sumamos.

Operaciones combinadas con llaves

7 - {5 + 10 [20 : 5 2 + 4 (5 + 2 3)] 8 32} + 50 (6 2) == 7 - [5 + 10 (4 2 + 44) 8 32] + 50 (12) == 7 - (5 + 10 46 72) + 600 == 7 - (5 + 460 72) + 600 == 214 Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los parntesis. Realizamos las sumas y restas de los parntesis. En vez de poner corchetes pondremos parntesis directamente y donde haba llaves escribimos corchetes. Operamos en los parntesis. Volvemos a poner parntesis y operamos. Finalmente restamos y sumamos.

1.1.1.2 Problemas con suma, resta, multiplicacin y divisin con nmeros decimales y fracciones

Suma y resta de nmeros decimales Se colocan en columna haciendo corresponder las comas. Se suman (o se restan) unidades con unidades, dcimas con dcimas, centsimas con centsimas...

342.528 + 6 726.34 + 5.3026 + 0.37 =372.528 - 69.68452 =

Multiplicacin de nmeros decimales Se multiplican como si fueran nmeros enteros. El resultado final es un nmero decimal que tiene una cantidad de decimales igual a la suma del nmero de decimales de los dos factores.46.562 38.6

Divisin de nmeros decimalesPara dividir un nmero decimal por un nmero entero: Haz unadivisin larga(ignora el punto decimal) Despus pon el punto decimal en el mismo sitio que el dividendo (el nmero que dividimos)

Ejemplo: Divide 9,1 por 7Ignora el punto decimal y haz la divisin larga: 137)91 21 0

Pon el punto decimal a la misma altura que el punto decimal del dividendo: 1,37 )9,1

La respuesta es1,3

Dividir por un nmero decimal El truco es convertir el nmero por el que divides (el divisor) en un nmero entero,moviendo el punto decimal de los dos nmerosa la derecha:

Ahora estsdividiendo por un nmero entero, y puedes seguir como antes. Este mtodo es seguro si te acuerdas de mover el punto decimal delos dos nmerosla misma cantidad de espacios. Ejemplo 2: Divide 5,39 por 1,1Noests dividiendo por un nmero entero, as que tienes que mover el punto decimal para quesdividas por un entero:mover 1

5,3953,9

1,111

mover 1

Ahora ests dividiendo por un entero as que puedes continuar:Ignora el punto decimal y haz la divisin larga: 4911 )539 99 0

Pon el punto decimal en la respuesta a la misma altura que el punto decimal del dividendo: 4,911 )53,9

La respuesta es4,9

Operaciones con fracciones

Suma de Fracciones homogneas a+b =a + b c c c

Suma de Fracciones heterogneasa+b =ad + bc c d cdResta de Fracciones homogneasa-b =a - b c c cResta de Fracciones heterogneasa- b =ad - bc c d cdMultiplicacin de Fraccionesab =ab c d cdDivisin de Fraccionesa b =ad =ad c d c b cb

1.1.2 Relaciones de proporcionalidad1.1.2.1 Problemas con razonesUna razn es una comparacin entre dos o ms cantidades. Puede expresarse mediante una fraccin. Si las cantidades a comparar son a y b, la razn entre ellas se escribe como:

Ejemplo 1:La edad de 2 personas estn en la relacin de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. Hallar las edades.Solucin:Si las edades sonaybCuando nos hablan de relacin o razn entre dos cantidades sabemos que nos estn hablando de una comparacin entre dos cantidades. Por lo tanto expresamos los datos como una razn:

Ahora volvemos a los datos del problema:Nos indican que la suma de los 2 nmeros nos tiene que dar 84. Esto se expresa as:

Ahora lo que debemos hacer es trabajar con una constante, que en este caso ser " X". Por lo tanto:

Reemplazando los datos en la ecuacin tenemos:

Ahora que tenemos el valor de x podemos reemplazar para obtener los valores de a y b :

Respuesta:Por lo tanto podemos decir que las edades son 30 y 54.

1.1.2.2 Problemas con proporcionesUna proporcin es una igualdad entre dos razones, y aparece frecuentemente en notacin fraccionaria.Por ejemplo:2 =65 15

Para resolver una proporcin, debemos multiplicar cruzado para formar una ecuacin. Por ejemplo:2 = 6 =5 152 15 = 6 530 = 30

Las proporciones expresan igualdades.Ejemplo:

2 =8x 16

Ahora, se multiplica cruzado.2 16 = 8 x32 = 8x Se resuelve la ecuacin.32 =8x8 84 = x El valor que hace cierta la proporcin es 4 es decir:

2=84 16

Aplicacin:Para hacer sorullitos, mi vecina usa: 3 tazas de harina de maz por 1 taza de lquido (que contiene agua, azcar, sal y mantequilla). Si ella quiere hacer 13 tazas de harina, cunto lquido debe agregarle?

Hagamos una proporcin:harina =harinalquido lquido

3 tazas harina = 13 tazas1 taza lquido x tazas lquido

x es el valor que busco; en este caso, es el lquido para las 13 tazas de harina.3 =131 xAhora, se multiplica cruzado.3 x = 13 13x = 13Se resuelve la ecuacin para encontrar el valor de x.3x =13 3 3x = 4.3La x es igual a 4.3. Por lo tanto, para 13 tazas de harina, se necesitan 4.3 tazas de lquido para poder hacer los sorullitos.

1.2 Razonamiento algebraico1.2.1 Expresiones algebraicas1.2.1.1 Operaciones con monomios Suma de monomiosSlo podemos sumar monomios semejantes.La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.axn+ bxn= (a + b)xnEjemplo2x2y3z + 3x2y3z = (2 + 3)x2y3z = 5x2y3zSi los monomios no son semejantes, al sumarlos, se obtiene un polinomio.Ejemplo:2x2y3+ 3x2y3z

Producto de un nmero por un monomioEl producto de un nmero por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el nmero.Ejemplo:5 (2x2y3z) = 10x2y3z

Multiplicacin de monomiosLa multiplicacin de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, es decir, sumando los exponentes.axn bxm= (a b)xn + mEjemplo:(5x2y3z) (2y2z2) = (2 5) x2y3+2z1+2= 10x2y5z3

Divisin de monomiosSlo se pueden dividir monomios cuando:1Tienen la misma parte literal2El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisorLa divisin de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base, es decir, restando los exponentes.axn: bxm= (a : b)xn mEjemplo:

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos unafraccin algebraica.Ejemplo:

Potencia de un monomioPara realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente que indique la potencia.(axn)m= am xn mEjemplos:(2x3)3= 23 (x3)3= 8x9(3x2)3= (3)3 (x2)3= 27x6

1.2.1.2 Operaciones con polinomios Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los trminos del mismo grado.P(x) = 2x3+ 5x 3 Q(x) = 4x 3x2+ 2x3 Ordenamos los polinomios, si no lo estn.Q(x) = 2x3 3x2+ 4xP(x) + Q(x) = (2x3+ 5x 3) + (2x3 3x2+ 4x) Agrupamos los monomios del mismo grado.P(x) + Q(x) = 2x3+ 2x3 3 x2+ 5x + 4x 3 Sumamos los monomios semejantes.P(x) + Q(x)= 2x3+ 2x3 3 x2+ 5x + 4x 3 Tambin podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.P(x) = 7x4+ 4x2+ 7x + 2 Q(x) = 6x3+ 8x +3

P(x) + Q(x) == 7x4+ 6x3+ 4x2+ 15x + 5

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.P(x) Q(x) = (2x3+ 5x 3) (2x3 3x2+ 4x)P(x) Q(x) = 2x3+ 5x 3 2x3+ 3x2 4xP(x) Q(x) = 2x3 2x3+ 3x2+ 5x 4x 3P(x) Q(x) =3x2+ x 3

Multiplicacin de un nmero por un polinomioEs otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el nmero y dejando las mismas partes literales.Ejemplo3 (2x3 3x2+ 4x 2) = 6x3 9x2+ 12x 6

Multiplicacin de un monomio por un polinomioSe multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.Ejemplo:3x2 (2x3 3x2+ 4x 2) == 6x5 9x4+ 12x3 6x2

Multiplicacin de polinomiosEste tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distintas.Mira la demostracin con el siguiente ejemplo:P(x) = 2x2 3 Q(x) = 2x3 3x2+ 4xOPCIN 1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.P(x) Q(x) = (2x2 3) (2x3 3x2+ 4x) == 4x5 6x4+ 8x3 6x3+ 9x2 12x = Se suman los monomios del mismo grado.= 4x5 6x4+ 2x3+ 9x2 12x Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 =5OPCIN 2

Para explicar la divisin de polinomios nos valdremos de un ejemplo prctico:P(x) = x5+ 2x3 x 8 Q(x) =x2 2x + 1P(x) : Q(x) A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomiono es completodejamos huecosen los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.x5: x2= x3 Multiplicamos cada trmino del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos adividirel primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.2x4: x2= 2 x2

Procedemos igual que antes.5x3: x2= 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.8x2: x2= 8

10x 16es elresto, porque sugrado es menor que el del divisory por tanto no se puede continuar dividiendo.x3+ 2x2+ 5x + 8es elcociente.

1.2.2 Productos notables1.2.2.1 Binomio al cuadrado: (a+b)2 Binomio de suma al cuadradoUnbinomio al cuadrado(suma) es igual es igual al cuadrado del primer trmino,ms el doble producto del primero por el segundo msel cuadrado segundo.(a + b)2= a2+ 2 a b + b2(x + 3)2= x2+ 2 x 3 + 32= x2+ 6 x + 9

Binomio de resta al cuadradoUnbinomio al cuadrado(resta) es igual es igual al cuadrado del primer trmino,menos el doble producto del primero por el segundo,msel cuadrado segundo.(a b)2= a2 2 a b + b2(2x 3)2= (2x)2 2 2x 3 + 32= 4x2 12 x + 9

El desarrollo de unbinomio al cuadradose llamatrinomio cuadrado perfecto.a2+ 2 a b + b2= (a + b)2

a2 2 a b + b2= (a b)2

1.2.2.2 Binomios conjugados: (a+b) (a-b)Al producto de la suma por la diferencia de dos cantidades se le llama producto de binomios conjugados, y tiene la siguiente forma general:, cuyo resultado es el cuadrado del primer trmino menos el cuadrado del segundo trmino.EjemplosCul es el resultado de los siguientes binomios conjugados?1. Aplicando la regla de elevar al cuadrado el primer trmino menos el cuadrado del segundo trmino, se tiene:

2. Observamos que este producto de binomios se puede escribir de la siguiente manera:

Por lo tanto se trata de binomios conjugados, y para obtener el resultado se eleva al cuadrado el primer trmino y se le resta el cuadrado del segundo trmino.

1.2.2.3 Binomios con termino comn: (a+b) (a+c)Producto de dos binomios de la forma, dondeyson nmeros yrepresenta el trmino comn.En este tipo de productos se observan las siguientes reglas:El primer trmino del producto es el cuadrado del trmino comn.

El coeficiente del segundo trmino del producto es la suma algebraica de los segundos trminos de los binomios, y la parte literal es el trmino comn.

El tercer trmino del producto es el producto de los segundos trminos de los binomios:

EjemplosCul es el resultado de multiplicar los siguientes binomios?1.Identificamos el trmino comn, que en este caso es, el cual se elevar al cuadrado; ste ser el primer trmino:.Calculamos el segundo trmino del producto, que es la suma algebraica de los segundos trminos de los binomios, y la parte literal es el trmino comn:.Estimamos el tercer trmino, que es el producto de los segundos trminos de los binomios:.Finalmente integramos los tres trminos para obtener el resultado:

2.Identificamos el trmino comn, que en este caso es, el cual se elevar al cuadrado; ste ser el primer trmino:.Calculamos el segundo trmino del producto, que es la suma algebraica de los segundos trminos de los binomios, y la parte literal es el trmino comn:.Estimamos el tercer trmino, que es el producto de los segundos trminos de los binomios:Finalmente integramos los tres trminos para obtener el resultado:

1.2.2.4 Binomios al cubo: (a+b)3 Binomio de suma al cuboUnbinomio al cubo(suma) es igual al cubo del primero,msel triple del cuadrado del primero por el segundo,msel triple del primero por el cuadrado del segundo,msel cubo del segundo.(a + b)3= a3+ 3 a2 b + 3 a b2+ b3(x + 3)3= x3+ 3 x2 3 + 3 x 32+ 33== x3+ 9x2+ 27x + 27

Binomio de resta al cuboUnbinomio al cubo(resta) es igual al cubo del primero,menosel triple del cuadrado del primero por el segundo,msel triple del primero por el cuadrado del segundo,menosel cubo del segundo.(a b)3= a3 3 a2 b + 3 a b2 b3(2x 3)3= (2x)3 3 (2x)23 + 3 2x 32 33== 8x3 36 x2+ 54 x 27

Ejemplos1(x + 2)3= x3+ 3 x2 2 + 3 x 22+ 23== x3+ 6x2+ 12x + 8

2(3x 2)3= (3x)3 3 (3x)2 2 + 3 3x 22 23== 27x3 54x2+ 36x 8

3(2x + 5)3= (2x)3+ 3 (2x)25 + 3 2x 52+ 53== 8x3+ 60 x2+ 150 x + 125

1.2.3 Ecuaciones1.2.3.1 Ecuaciones de primer grado: solucin grafica, matemtica o aplicacinUna ecuacin es una igualdad que slo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x.

Resolver una ecuacin consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad.Recuerda:Si un elemento est sumando en un miembro pasa al otro restando. Si est restando pasa sumado.Si un nmero multiplica atodoslos elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si los divise pasa multiplicando.

Resuelve la ecuacin

1.2.3.2 Ecuaciones de segundo grado: solucin grafica, matemtica o aplicacinUna ecuacin de segundo grado es toda expresin de la forma:ax2+ bx +c = 0 con a 0.Se resuelve mediante la siguiente frmula:

Ejemplos1.

2.

3.Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (1).

1.2.4 Sistemas de ecuaciones1.2.4.1 Ecuaciones con dos o tres incgnitas: solucin grafica y matemtica1.2.4.2 Ecuaciones con dos o tres incgnitas: aplicacin Sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas Mtodo de sustitucin1Se despeja una incgnita en una de las ecuaciones.2Se sustituye la expresin de esta incgnita en la otra ecuacin, obteniendo un ecuacin con una sola incgnita.3Se resuelve la ecuacin.4El valor obtenido se sustituye en la ecuacin en la que apareca la incgnita despejada.5Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.Ejemplo

1Despejamosuna de las incgnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incgnita que tenga el coeficiente ms bajo.

2Sustituimosen la otra ecuacin la variable x, por el valor anterior:

3Resolvemos la ecuacinobtenida:

4Sustituimos el valorobtenido en la variable despejada.

5Solucin

Mtodo de igualacin1Se despeja la misma incgnita en ambas ecuaciones.2Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuacin con una incgnita.3Se resuelve la ecuacin.4El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que apareca despejada la otra incgnita.5Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.Ejemplo

1Despejamos, por ejemplo, la incgnitaxde la primera y segunda ecuacin:

2Igualamosambas expresiones:

3Resolvemosla ecuacin:

4Sustituimosel valor dey, en una de las dosexpresionesen las que tenemosdespejada la x:

5Solucin:

Mtodo de reduccin1Se preparan las dos ecuaciones, multiplicndolas por los nmeros que convenga.2La restamos, y desaparece una de las incgnitas.3Se resuelve la ecuacin resultante.4El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.5Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.

Ejemplo

Lo ms fcil es suprimir la y, de este modo no tendramos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuacin:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuacin inicial.

Solucin:

Sistemas de tres ecuaciones con tres incgnitas Mtodo de GaussEste mtodo consiste en utilizar elmtodo de reduccinde manera queen cada ecuacin tengamos una incgnita menos que en la ecuacin precedente.1Ponemos comoprimera ecuacinla que tenga el comocoeficiente de x: 1 -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incgnitas.2Hacemosreduccin con la 1 y 2 ecuacin, paraeliminarel trmino enx de la 2 ecuacin. Despus ponemos como segunda ecuacin el resultado de la operacin:3Hacemos lo mismo con la ecuacin1 y 3 ecuacin, paraeliminarel trmino enx.4Tomamos las ecuaciones2 y 3, trasformadas, para hacer reduccin yeliminarel trmino eny.5Obtenemos el sistema equivalente escalonado.6Encontrar las soluciones.Ejemplo

1Ponemos comoprimera ecuacinla que tenga el comocoeficiente de x: 1 -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incgnitas.

2Hacemosreduccin con la 1 y 2 ecuacin, paraeliminarel trmino enx de la 2 ecuacin. Despus ponemos como segunda ecuacin el resultado de la operacin:E'2= E2 3E1

3Hacemos lo mismo con la ecuacin1 y 3 ecuacin, paraeliminarel trmino enx.E'3= E3 5E1

4Tomamos las ecuaciones2 y 3, trasformadas, para hacer reduccin yeliminarel trmino eny.E''3= E'3 2E'2

5Obtenemos el sistema equivalenteescalonado.

6Encontrar las soluciones.z = 1 y + 4 1 = 2y = 6x + 6 1 = 1x = 4

Sistemas de ecuaciones no linealesLa resolucin de estos sistemas se suele hacer por elmtodo de sustitucin, para ello seguiremos los siguientes pasos:1Sedespeja una incgnitaen una de las ecuaciones, preferentemente enla de primer grado.2Se sustituyeel valor de la incgnita despejadaen la otra ecuacin.3Se resuelve la ecuacinresultante.4Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuacin, se obtienen as los valores correspondientes de la otra incgnita.

Ejemplo

La resolucin de estos sistemas se suele hacer por elmtodo de sustitucin, para ello seguiremos los siguientes pasos:1Sedespeja una incgnitaen una de las ecuaciones, preferentemente enla de primer grado.y = 7 x2Se sustituyeel valor de la incgnita despejadaen la otra ecuacin.x2+ (7 x)2= 253Se resuelve la ecuacinresultante.x2+ 49 14x + x2= 252x2 14x + 24 = 0x2 7x + 12 = 0

4Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuacin, se obtienen as los valores correspondientes de la otra incgnita.x = 3y = 7 3y = 4x = 4y = 7 4y = 3

1.2.5 Representaciones graficas1.2.5.1 FuncionesDada una funcinf(x)definidaf:XxYf(x)=ydefinimos la grfica de esta funcin como el conjunto de puntos:{(x,y)XY|y=f(x)}o tambin los pares de puntos(x,f(x)). Estos puntos se pueden representar con coordenadas cartesianas en el planoXYformndose as el dibujo de la grfica de la funcinf(x).EjemploTomemos la funcinf(x)=x3. Su grfica vendr dada por el conjunto de puntos{(x,f(x))}={(x,x3)}variando el valor dex.Si lo representamos obtenemos el dibujo:Pero, Cmo se representa una grfica? Para poder explicarlo debemos introducir antes el concepto de dominio e imagen de una funcin.En una funcinf(x)distinguimos dos conjuntos: uno es el conjunto de donde tomamos valores para evaluar la funcin (los posibles valores dex) y el otro es el conjunto formado por los diferentes valores que alcanza la funcinf(x).Entonces, definimos:Dominio de una funcin como el conjunto de valores donde evaluaremos la funcin. Se denota como:Dom(f).Imagen de una funcin como el conjunto de valores obtenidos por la funcin. Se denota como:Im(f).Fijmonos que cuando notamos una funcin como:f:XxYf(x)=yel conjuntoXes el dominio, puesto que tomaremos los valores dexde dentro de ste y la imagen estara dentro del conjuntoY.Vemoslo mejor con algunos ejemplos:EjemploLa funcinf(x)=xtiene como dominio toda la recta real, puesto que podemos evaluarla en cualquier punto, y tiene como imagen la misma recta, ya que la funcin es la identidad.Por lo tanto escribiremos:Dom(f)=R=(,)Im(f)=R=(,)EjemploLa funcin tf(x)=x2tiene como dominio tambin toda la recta real (podemos evaluarla en cualquier punto) y no obstante, al ser la funcin "elevar al cuadrado", slo obtenemos valores positivos. Por consiguiente su imagen ser la semirecta real positiva incluyendo el cero.Por lo tanto escribiremos:Dom(f)=R=(,)Im(f)=[0,)Podemos observar que el dominio puede ser un conjunto a eleccin nuestra (ya que podemos escogerlo ms pequeo o ms grande) mientras que la imagen vendr dada por el dominio escogido.A veces, pero, nos encontramos que nuestra funcin por ciertos motivos no puede ser evaluada en ciertos puntos ya que no est definida, as que tendremos que excluir ciertos puntos o intervalos del dominio.EjemploSi tomamos la funcinf(x)=x+1x+1podemos ver que cuandox=0tenemos la expresin10y esta divisin no puede realizarse.Por consiguiente, el dominio de esta funcin ser todos los reales exceptuando el cero:Dom(f)=R{0}=(,0)(0,)Y la imagen serIm(f)=R{1}=(,1)(1,)Clculo de dominios:Para calcular el dominio de una funcin tenemos que partir de que puede ser cualquier nmero de la recta real (R) e ir restringiendo el conjunto dependiendo de la funcin. Para hacer estas restricciones debemos localizar los puntos "dbiles" de nuestras funciones o mejor dicho, los puntos de no definicin. A continuacin listamos los conjuntos de no definicin de las principales funciones:FuncinConjunto de no definicin

f(x)=log(g(x)){x|g(x)0}=los valores dextal queg(x)se hace negativa o cero

f(x)=g(x){x|g(x)